Formelsammlung Analysis I / II für Physiker und Mathematiker

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1 Formelsmmlung Anlysis I / II für Physiker und Mthemtiker <Mrco.Moeller@mcrolb.de> Stnd: Version:.0. Erhältlich unter Diese Formelsmmlung bsiert uf der Vorlesung Anlysis I & Anlysis II von Prof. Dr. Linus Krmer n der Technischen Universität Drmstdt im Wintersemester 2004/05 und Sommersemester Die folgende Formelsmmlung steht zum kostenlosen Downlod zur Verfügung. Ds Urheberrecht und sonstige Rechte n dem Text verbleiben beim Verfsser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhlte übernehmen knn. Inhltsverzeichnis Ringe, Körper, Anordnung 5. Kommuttiver Ring Rechenregeln Körper (Ordnungs-) Reltionen totle Ordnung prtielle Ordnung ngeordneter Ring / Körper Absolutbetrg Konstruktion von Q us Z Konstruktion von Z us N Die Komplexen Zhlen C Mengen, ntürliche Zhlen, Induktion 7 2. Mengen Rechenregeln für Mengen Pre Intervlle ε-umgebung offene Menge Nchfolgerstruktur (Konstruktion von N) Vollständige Induktion Reltionen Einstellige Reltionen zweistellige Reltionen n-stellige Reltionen Abbildungen Fmilie Komposition injektiv, surjektiv, bijektiv Kombintorik Anzhl Elemente in einer Menge Fkultät und Binomilkoeffizient Summen / Produktsymbol Eigenschften von Teilmengen Binomische Formel Geometische Summe Wichtige Summen / Reihen Fst lle Die reellen Zhlen 0 3. Schrnken Schrnken / Mini- & Mxim Supremum / Infimum Archimedisch Die reellen Zhlen R Folgen Folge Konvergenz Beschränkt Monotonie Kombintion von Folgen Häufungspunkt Teilfolge

2 2 INHALTSVERZEICHNIS Stz von Bolzno - Weierstrss Größter / Kleinster Häufungspunkt Wichtige Folgen Konstruktion von R Idel Ring der Cuchy-Folgen R ist Körper Anordnung uf R Supremumsnorm / Archimedisch Eindeutigkeit von R Cuchy Folgen und Reihen 3 4. Cuchy Folgen Definition Vollständig Reihen Definition Cuchy Konvergenzkriterium für Reihen Leibnizkriterium Absolute Konvergenz Gleiches Konvergenzverhlten Mjorntenkriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Verdichtungsstz von Cuchy Addition von Reihen Cuchy-Produkt Funktionlgleichung der Exponentilfunktion / Logrithmus Wichtige Reihen Reelle Funktionen 5 5. Stetigkeit Definition Reelle Algebren stetige Funktionen gleichmäßig stetig Beispiele für stetige Funktionen Kompostion von Funktionen Einschränkung Zwischenwertstz Umkehrfunktion Stz von Weierstrss Funktionenfolgen Definition Konvergenz Potenzreihe Trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus Additionstheoreme PI π Hyperbolische Trigonometrische Funktionen Hermite-Polynome Integrtion 8 6. beschränkte Funktionen Definition beschränkte Funktion Supremumsnorm gleichmäßige Konvergenz Cuchy-Folge Zerlegung Stufenfunktion Chrkteristische Funktion Integrl Integrl für Stufenfunktionen Regelfunktionen Integrl llgemein Stufenfunktionsfolge zu gegebener stetiger Funktion Eigenschften des Riemnn- Integrls Mittelwertstz (MWS) der Integrlrechnung Hierrchie von Funktionsräumen 20 7 Differentition Differentition Stetige Fortsetzung Häufungspunkt von Mengen Stetige Fortsetzung in Punkt differenzierbr differenzierbr Umformulierung Ableitung / stetig differenzierbr 2

3 INHALTSVERZEICHNIS Rechenregeln Struktur der Ableitung Kettenregel Ableitung der Umkehrfunktion II Extrem striktes lokles Minimum / Mximum Monotonie Stz von Rolle Mittelwertstz (MWS) der Differentilrechung gerde und ungerde Funktionen mehrfche Ableitung / gltte Funktionen Die Huptsätze der Differentil- und Integrlrechnung Weitere Eigenschften des Integrls Integrl über Einschränkung Vertuschung von Grenzen Zerteilung von Integrlen Integrl über Funktionsfolge Differentil von Funktionenfolgen gerde und ungerde Funktionen Zusmmenhng von Differentil- und Integerlrechung Huptstz der Differentilund Integrlrechung Stmmfunktion Huptstz der Differentilund Integrlrechung Integrl einer Potenzreihe Ableitung einer Potenzreihe Prtielle Integrtion Integrtion durch Substitution Beispiele einiger Integrle Metrische und nomierte Räume Metrische Räume Metrik / Metrischer Rum offene Kugel Folgen und Konvergenz Cuchy-Folge Vollständigkeit bgeschlossen topologische Äquivlenz Segmente Abschneiden einer Metrik Normierte Räume Norm und Metrik Besondere Normen Bnch-Rum (symmetrische) Bilinerform, inneres Produkt Norm zu innerem Produkt Inneres Produkt zu Norm Cuchy-Schwrz-Ungleichung reeller Hilbert-Rum Beispiel für einen unendlich dimensionlen Hilbert Rum Prllelogrmmgleichung Weitere Ungleichungen Stetige Funktionen Stetige Funktionen Stetigkeit L-Lipschitz-stetig Eigenschften von stetigen Funktionen ε δ-kriterum für Stetigkeit Besondere Stetige Funktionen Linere Abbildungen Linere Abbildung und Stetigkeit Opertornorm, Vektorrum der lineren stetigen Abbildungen Vollständigkeit endlichdimensionle Vektorräume endlichdimensionle Räume Verhältnis zwischen Normen Stetigkeit der Identiät zwischen Räumen mit verschiedenen Normen Fundmentlstz über endlichdimensionle normierte Räume Lipschitzstetigkeit einer endlichdimensionlen lineren Abbildung Äquivlenz von Normen Fixpunkt Bnchs Fixpunktstz

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Offene Mengen, Offene Abbildungen, Kurven, Sklrfelder 29. Mengen Offen offene Abbildung Abgeschlossen Stz über offene und Abgeschlossen Mengen Stetigkeit über offenen und bgeschlossenen Mengen Abschluss Inneres Rnd kompkte Mengen Stz von Bire Stz von der offenen Abbildung Umkehrbbildung Verschiedene Aspekte der Stetigkeit Kurven Definition Peno-Kurve Wegzusmmenhng Geschwindigkeit, differenzierbr Stz über Differenzierbrkeit Beschleunigung Rechenregeln für Kurven differenzieren uf bgeschlossenen Intervll Bogenlänge Umprmeterisierung und Bogenlänge Sklrfelder Differentil Kettenregel Kettenregel Richtungsbleitung Prtielle Ableitung Rechenregeln des Differentils Affine Abbildung Grdient Kriterium für stetige Differenzierbrkeit Differentilrechnung in Vektorräumen Ableitung Definition Überblick über verschiedene Ableitungsbegriffe ffine Abbildung Struktur der Ableitungen Jkobimtrix Kettenregel Höhere Ableitungen Bilinerität der zweiten Ableitung Hesse-Mtrix Vertuschbrkeit von Ableitungen Potentile Besondere Ableitungen Lokle Extrem reeller Funktionen Extrem Kriterium für Extrem / kritische Punkte notwendig für lokle Mxim und Minim definit Entwickeln einer Funktion mit ihren Ableitungen Zweite Ableitung ls Norm Hinreichendes Kriterium für lokle Extrem Hinreichendes Kriterium für lokle Extrem in endlicher Dimension Trägheitsstz von Silvester Hurwitz-Kriterium Extrem mit Nebenbedingungen Niveumenge Existenz einer Prmeterisierung Tngentilrum Extrem mit Nebenbedingung, Lgrnge-Multipliktor Extrem uf kompkten Mengen 36

5 .2 Körper 5 3 Mittelwertstz und Stz von loklen Inversen Integrle Rum der beschränkten Funktionen Stufenfunktion Linere Abbildung und Integrl Ableitung eines Integrls Mittelwertstz der Integrlrechnung in Vektorräumen Invertieren von Funktionen von Neumnnsche Reihe - Inverses Gruppe von invertierbren lineren Abbildungen Stz vom loklen Inversen Nottion für implizite Funktionen Stz über implizite Funktionen Digonlisierbrkeit von symmetrischen Mtizen Ableitung einer Impliziten Funktion Funktionenreihen Tylorreihe Definition Entwicklung mit endlicher Summe Fehlerbschätzung Vektorwertige Funktionen Fourierreihe Orthonormlsystem Fourrierkoeffizienten Fourierentwicklung mit Trigonometrischen Funktionen Konvergenzkriterium Ringe, Körper, Anordnung. Kommuttiver Ring Gegeben sei eine Menge R. Wir nehmen n, es gibt in R zwei spezielle Elemente, die 0 (Null) und (Eins) heißen. Weiter soll es uf R zwei Verknüpfungen + (plus) und (ml) geben, die jeweils zwei Elementen x und y in R neue Elemente x + y und x y in R zuordnen. Wir nennen (R, 0,, +, ) einen kommuttiven Ring, flls die folgenden Rechenregeln für lle x, y, z in R gelten.. Kommuttivgesetze (K + ) x + y = y + x (K ) x y = y x 2. Assozitivgesetze (A + ) (x + y) + z=x + (y + z) (A ) (x y) z=x (y z) 3. Distributivgesetze (D) x (y + z) = (x y) + (x z) (D) (x + y) z = (x z) + (y z) 4. Existens von Neutrlelementen (N + ) x + 0 = 0 + x = x (N ) x = x = x 5. Inverses Element (I + ) zu jedem x gibt es genu ein y mit x+y = 0. Schreibe y = x Q, R, Z, sind Beispiele für kommuttive Ringe. N ist kein Ring. Flls (K ) nicht usdrücklich verlngt wird, spricht mn von einem nicht-kommuttiven Ring... Rechenregeln In einem kommuttiven Ring gelten folgende Rechenregeln: Klmmern werden nur geschrieben wenn sie nicht durch die Assozitivität überflüssig gemcht werden. ( x) = x us x + y = x folgt y = 0 0 x = 0 ( x) y = (x y) = x ( y).2 Körper Ein kommuttiver Ring (R, 0,, +, ) heißt Körper wenn gilt: Inverses Element (I ) Ist x 0 so gibt es genu ein y in R mit x y = = y x. Schreibe y = x = x = /x + 0 (F 2, +, ) mit kleinste mögliche Körper. Q, R sind Körper und * ist der

6 6 RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG.3 (Ordnungs-) Reltionen.3. totle Ordnung Es sei X eine (nichtleere) Menge und < sei eine zweistellige Reltion uf X (ds heißt folgendes: für x, y X gilt entweder x < y oder nicht y < x ). Wir nennen < Ordnung oder Anordnung uf X, flls folgendes für lle x, y, z X gilt:. (O ) Entweder x < y oder x = y oder x < y (genu er dieser 3 Fälle) 2. Trnsitivität (O 2 ) Flls x < y und y < z, so gilt uch x < z.3.2 prtielle Ordnung Eine prtielle Ordnungsreltion R uf einer Menge M ist eine Teilmenge von M M die die folgenden Eigenschften besitzt:. Reflexivität (x, x) R für lle x M 2. ntisymmetrisch (x, y) R (y, x) R x = y 3. trnsitiv (x, y) R (y, z) R (x, z) R Wir schreiben nsttt (x, y) R uch x y und sgen, dss R uf M eine prtielle Ordnung definiert. Nicht lle Elemente müssen vergleichbr sein..4 ngeordneter Ring / Körper Ein Ring oder Körper (R, +,, 0, ) heißt ngeordneter Ring (entspr. Ring mit us LA) / Körper, flls < eine (totle) Ordnung uf R ist, schreibe (R, +,, 0,, <), flls folgendes für lle x, y, z R gilt:. (OR ) Wenn x < y, so uch x + z < y + z 2. (OR 2 ) Wenn x < y und 0 < z, so uch x z < y z Jeder ngeordnete Ring/Körper ht unendlich viele Elemente negtiv * negtiv = positiv negtiv * positiv = negtiv 0 < x 2 flls x 0 0 < Bernoulli sche Ungleichung: n N : x : ( + x) n + nx Vereinbrungen. Schreibe x y flls x < y x = y 2. Schreibe x > y flls y < x 3. Schreibe x y flls x > y x = y 4. x heißt positiv flls x > 0 5. x heißt nicht positiv flls x 0 6. x heißt negtiv flls x < 0 7. x heißt nicht negtiv flls x 0.5 Absolutbetrg Wir definieren den Absolutbetrg (oder Betrg) in einem ngeordneten Ring oder Körper R durch { x x 0 x = x x < 0. x = x 0 2. x y = x y 3. Dreiecksungleichung x + y x + y 4. Umgekehrte Dreiecksungleichung x y x y.6 Konstruktion von Q us Z Die Elemente von Q sind die gnzzhligen Brüche der Form b mit, b Z, b 0. Brüche werden lso durch Pre gnzer Zhlen beschrieben, llerdings nicht eindeutig. Setze X = {(, b), b Z b 0} die Menge ller Pre gnzer Zhlen (, b) mit b 0. Ds Pr (, b)soll den Bruch b drstellen. Wir nennen zwei Pre (, b) und (, b ) äquivlent, flls b = b ((, b) (, b )). Wir identifizieren äquivlente Pre miteinnder und schreiben b für die Menge ller Pre (, b ) mit b = b. Wir definieren die Rechenregeln wie folgt uf Q = X/ :. Addition 2. Multipliktion b + 2 b 2 = b b b b 2 b 2 b 2 = 2 b b 2 Aus Ringen lssen sich Körper bsteln, ds mcht mn in der Algebr. Stichwort loklisieren von Ringen.

7 7.7 Konstruktion von Z us N Gnz ähnlich wie die Konstruktion von Q us Z durch Äquivlenzklssen von Pren. Setze Y = {(m, n) m, n N}. Ds Pr (m, n) soll die gnze Zhl m n kodieren. Wir nennen zwei Pre (m, n) und (m, n ) äquivlent ( ), flls m + n = m + n. Die entsprechenden Äquivlenzklssen von Pren sind die gnzen Zhlen Z = N 2 /. Schreibe m n für die durch (m, n) kodierte Zhl. Es gelten folgende Rechenregeln:. Addition 2. Multipliktion (m n )+(m 2 n 2)=(m +m 2) (n +n 2) (m n ) (m 2 n 2)=(m m 2+n n 2) (m n 2+m 2n ).8 Die Komplexen Zhlen C Wir konstruieren den Körper C der komplexen Zhlen wie folgt: C = {(x, y) x, y R} Wir stellen uns eine komplexe Zhl z = (x, y) ls Punkt in der Ebene vor. Wir definieren Verknüpfungen + und uf C wie folgt:. Addition 2. Multipliktion (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ) Einselement (, 0) Nullelement (0, 0) ( Inverses Element zu (x, y) x x 2 +y, 2 z = z z 2 ) y x 2 +y 2 Identifiziere Teilmenge {(x, 0) x R} C mit R schreibe i = (0, ) i 2 = schreibe sttt z = (x, y) nun z = x + iy hiermit lssen sich die Rechenregeln leichter merken Relteil R (x + iy) = Re (x + iy) = x Imginärteil I (x + iy) = Im(x + iy) = y Komplex konjungiert wenn z = x + iy dnn z = x iy z = z z = z y = 0 z R z z = x 2 + y 2 0 Betrg oder Norm von einer komplexen Zhl z = z z = x 2 + y 2 2 Mengen, ntürliche Zhlen, Induktion 2. Mengen In der Sprche der Mengenlehre gibt es nur ein fundmentles Zeichen: ist Element von x y x ist Element von y x / y x ist nicht Element von y Vereinbrung: schreibe A X (A ist Teilmenge von X) flls für jedes A gilt X. Mengen werden nch bestimmten Spielregeln gebut, den Zermelo-Frenkel-Axiomen (ZFC (c wie choice)):. (Ex) Es gibt Mengen 2. (Ext) Zwei Mengen sind gleich, flls sie die gleichen Elemente hben: X Y Y X X = Y 3. (Aus) Ist X eine Menge, ϕ eine Formel (Bedingung), so ist {x X ϕ(x) gilt} ebenflls eine Menge (eine Teilmenge von X). Die leere Menge ist definiert durch = {} := {x X x x} Der Durchschnitt (Schnittmenge) X Y = {x X x Y } Disjunkt heißen zwei Mengen, wenn X Y = Ds Komplement X\Y = X Y = {x X x / Y } Die symmetrische Differenz A B = A\B B\A 4. (Pr) Sind X, Y Mengen, dnn gibt es eine Menge Z, deren Elemente genu X und Y sind. (entsprechend mit mehr ls 2 Mengen) 5. (V er) Ist X eine Menge, so gibt es eine Menge Z, deren Elemente genu die Elemente der Elemente von X sind, Z = X = {z x X : z x} Die Vereinigung von zwei Mengen lässt sich uch so schreiben: X Y = {X, Y }

8 8 2 MENGEN, NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION Für die Vereinigung von disjunkten Mengen X, Y schreibe uch X Y 6. (Pot) Ist X eine Menge, so gibt es eine Menge, deren Elemente genu die Teilmengen von X sind, die Potenzmenge P (X) = {Y Y X}. P (X) X P (X) P ( ) = { } Ist X endlich mit n Elementen, so ht die Potenzmenge 2 n Elemente Ist X endlich mit n Elementen, so gibt es genu ( n k) k-elementige Mengen in der Potenzmenge von X (bzw. k-elementige Teilmengen in X) 7. (Fund) Es gibt keine bodenlosen Mengen. Ist X eine nichtleere Menge, so gibt es ein Y X mit X Y = für keine Menge X knn gelten X X Die Russelmenge R = {M M / M} ist nch den Axiomen keine Menge. 8. (Inf) Es gibt unendliche Mengen. 9. (Ers) Ist ϕ(x, y) eine Formel, die einer Menge x eine neue Menge y zuordnet, und ist X eine Menge, so ist uch {y x X ϕ(x, y)} eine Menge. 0. (Choice) Ist X eine nichtleere Menge mit der Eigenschft, dss lle Elemente von X disjunkt sind, so gibt es eine Menge Z, die mit jedem Element von X genu ein Element gemeinsm ht. (Teilweise umstrittenes Axiom) 2.. Rechenregeln für Mengen Komplementbildung Sei A M dnn ist A c = M\A Distributivgesetz A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) de Morgn sch Regel (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 2..2 Pre Ein geordnetes Pr (x, y) ht eine erste Komponente x und eine zweite Komponente y. In der Sprche der Mengenlehre setzt mn (x, y) = {{x}, {x, y}}. Es gilt (x, y) = (x, y ) genu dnn, wenn x = x und y = y. Ds krtesische Produkt X Y zweier Mengen X, Y ist {(x, y) x X y Y }. Ist X = Y schreibt mn X X = X 2 = {(x, x 2 ) x, x 2 X}. Dieses lässt sich Iterrieren zu Produkten (...(X X 2 )...) X n. Die Klmmern sind nicht wichtig, wir lssen sie weg. Ist X = X =... = X n, schreiben wir X n = X... X. }{{} n ml Die Elemente dieser Menge heißen n-tupel Intervlle Sei, b R, b. Die Menge [, b] = {x R x b} heißt bgeschlossenes endliches Intervll (bgeschlossenes beschränktes Inervll). Die Menge (, b) = {x R < x < b} heißt offenes endliches Intervll. ndere Schreibweise uch gebäuchlich: (, b) = ], b[ 2..4 ε-umgebung Für ε > 0 heißt die Menge U ε (x) = (x ε, x + ε) ε- Umgebung von x offene Menge Eine Menge X heißt offen, flls es zu jedem Punkt x X eine ε-umgebung U ε (x) gibt, welche gnz in X liegt. Mit Qntoren: x X ε > 0 : U ε (x) X R,, (, b),(, b) (c, d) sind offene Mengen N, Z, Q, [, b] sind nicht offen 2.2 Nchfolgerstruktur (Konstruktion von N) Eine Menge N mit einer Abbildung σ : N N (σ heiße Nchfolgerbbildung) heißt Nchfolgerstruktur, flls sie die Peno-Axiome erfüllt:. (P ) Es gibt ein Element o N, so dss x N : σ (x) o 2. (P 2 ) Aus σ (x) = σ (y) folgt x = y (σ ist injektiv) 3. (P 3 ) Ist X N eine Teilmenge, und gilt o X, und folgt us x X σ (x) X (d.h. X ist bgeschlossen unter der Nchfolgerfunktion) so gilt X = N. (P 3 ) ist ds Axiom der vollständigen Induktion. Es gibt genu eine Nchfolgerstruktur mit (N, s) mit o = und s (x) = x {x} Ist (N, σ) eine Nchfolgerstruktur, dnn gibt es genu eine bijektive Abbildung ϕ : N N mit ϕ( ) = o, s (x) = x {x} und ϕ(s (x)) = σ (ϕ(x))

9 2.4 Abbildungen 9 Addition: o + o = o o + x = x = x + o σ (x) + y = σ (x + y) Multipliktion: o o = o o x = o = x o σ (x) y = x y + y Bei dieser Kodierung der ntürlichen Zhlen gilt: n < m n m 2.2. Vollständige Induktion Ds Peno-Axiom (P 3 ) sgt: ist ϕ eine Aussge über ntürliche Zhlen und gilt:. ϕ(0) ist whr 2. ϕ(n) ϕ(n + ) dnn ist ϕ(m) whr für lle m N. 2.3 Reltionen Reltionen sind Eigenschften von Elementen von Mengen bzw. von n-tupeln. Sie sind entweder erfüllt oder nicht erfüllt. Diese Eigenschft wird repräsentiert durch ds Element sein in einer entsprechenden Teilmenge oder nicht Element sein Einstellige Reltionen Eine einstellige Reltion einer Menge X ist eine Teilmenge R X, schreibe R (x) für x R n-stellige Reltionen Eine Teilmenge R X... x n heißt n-stellige Reltion. Schreibe R (x,..., x n ) flls (x,..., x n ) R. 2.4 Abbildungen Eine Reltion f Y X heißt Abbildung oder Funktion flls es zu jedem x Xgenu ein y Y gibt mit (y, x) f. Schreibe f (x) = y flls yfx. Schreibe dfür kurz f : X Y x y = f (x) Ist f : X Y eine Abbildung, und ist A X, so ist f (A) = {f () A} Y ds f-bild von A. Ist B Y, so ist f (B) = {x X f (x) B} X ds f-urbild von B. Sei f : X Y eine Abbildung. Für A X definiere f A : A Y mit f () die Einschränkung von f uf A. Es gilt für B, B 2 Y f (B ) f (B 2 ) = f (B B 2 ) f (B ) f (B 2 ) = f (B B 2 ) f ( ) ( B C = f (B ) ) C 2.4. Fmilie Eine Fmile k ist eine Funktion die n k n n ist dbei ein Element us der Indexmenge, die lle möglichen k n sozusgen durchindiziert zweistellige Reltionen Eine Teilmenge R X Y heißt zweistellige Reltion. Schreibe xry flls (x, y) R. Eine zeistellige Reltion R X 2 heißt reflexiv flls x X : xrx symmetrisch flls xry yrx trnsitiv flls xry yrz xrz Äquivlenzreltion flls sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Die Menge [x] = [x] R = {y X xry} heißt Äquivlentzklsse von x. Setze X/R = {[x] R x X}, gesprochen X mod R, ist die Menge ller Äquivlenzklssen. Ordnungsreltionen siehe.3 uf Seite Komposition Sind R Z Y und S Y X Reltionen, setze R S Z X durch R S = {(z, x) Z X y Y : zry ysx}. Speziell: sind f : Y Z und g : X Y Abbildungen, so ist f g die Abbildung x f (g (x)), lies f nch g. Kompositionen sind ssozitiv, d.h. es muss nicht geklmmert werden injektiv, surjektiv, bijektiv Eine Abbildung f : X Y heißt: surjektiv flls es zu jedem y Y ein x X mit f (x) = y gibt g : Y X : f g = id Y

10 0 3 DIE REELLEN ZAHLEN injektiv flls f (x) = f (y) x = y bzw. x y f (x) f (y) g : Y X : g f = id X Verknüpfung von injektiven Funktionen ist wieder injektiv bijektiv flls sie surjektiv und injektiv ist, d.h. flls es zu jedem y Y genu ein x X gibt mit f (x) = y g : Y X : f g = id Y g f = id X 2.5 Kombintorik 2.5. Anzhl Elemente in einer Menge Für die Anzhl der Elemente einer Menge A schreibe kurz: n = #A = crd(a) (bzw. n = A ) Fkultät und Binomilkoeffizient Wir schreiben für die Zhl n dessen Fkultät mit n!. Wir definieren 0! = und (n + )! = (n + )n! = 2... (n + ). Der Binomilkoeffizient ( n k ist definiert für lle 0 k n. ) = n! k!(n k)!, lies n über k, ergibt im gesmten Definitionsbereich ntürliche Zhlen n! = n i= i ( ) ( ) n k + n k+ = n ( n ) k=0 k = 2 n ( ) ( ) n k = n n k 2 n n! für n > 3 n! n n ( ) n+ k+ für 0 k < n Summen / Produktsymbol Sind i, i+,..., n Elemente eines Ringes. Dnn setze ds Summensymbol wie folgt: n l = i + i n l=i Sind sie sogr Elemente eines kommuttiven Ringes setzen wir ds Produktsymbol wie folgt: n l = i i+... n l=i Diese Zeichen binden ähnlich wie ds Integrlzeichen solnge, wie nur Multipliktionen vorgenommen werden. n! = n k= k Eigenschften von Teilmengen Sei X eine n-elementige endliche Menge. Dnn besitzt X genu 2 n Teilmengen. Drunter sind genu ( n k) k- elementige Teilmengen Binomische Formel Sind, b Elemente eines kommuttiven Ringes, so gilt: ( + b) n = n k= Geometische Summe ( n k ) n k b k Sei K ein Körper, q K und q. Dnn gilt: n k=0 q k = qn+ q Wichtige Summen / Reihen n k= n k = k= n k 2 = k= Fst lle k (k + ) = n (n + ) 2 n (n + )(2n + ) 6 n n + = n + Eine Aussge gilt für fst lle ntürlichen Zhlen, wenn sie nur endlich viele Ausnhmen ht. 3 Die reellen Zhlen 3. Schrnken 3.. Schrnken / Mini- & Mxim Es sei (X, <) eine geordnete Menge und sei A X. Ein Element x X heißt obere Schrnke (untere Schrnke) für A, flls für lle A gilt x (bzw. x). Flls es 0 A gibt, ds obere Schrnke (untere Schrnke) ist, so heißt 0 Mximum (Minimum) von A). eine Menge knn im llgemeinen mehrere odere / untere Schrnken hben, ber höchstens ein Minimum / Mximum ds Minimum / Mximum muss nicht existieren

11 3.2 Folgen 3..2 Supremum / Infimum Eine kleinste (größte) obere (untere) Schrnke heißt Supremum (Infimum) für A, schreibe x = sup (A) (x = inf (A)). Eine geordnete Menge (X, <) ht Supremumseigenschft, flls jede Teilmenge A X die eine obere Schrnke ht, uch ein Supremum besitzt. flls A ein Minimum (Mximum) ht, ist dies uch ds Infimum (Mximum) Q ht die nicht Supremumseigenschft N, Z, R hben die Supremumseigenschft Jeder ngeordnete Ring / Körper der die Supremumseigenschft ht, ist uch rchimedisch Archimedisch Ein ngeordneter kommuttiver Ring oder Körper R ist rchimedisch, flls es zu jedem Element r R ein n N gibt mit n = r. }{{} n ml Ist R ein rchimedischer geordneter Körper, und ist ε > 0, so gibt es ein n N\ {0} mit n < ε Z, Q sind rchimedisch es gibt viele Körper, die nicht rchimedisch sind, z.b. die nicht-stndrd-zhlen Konvergenz Eine Folge (c i ) i I konvergiert gegen eine Zhl r, flls es zu jedem ε > 0 ein n N gibt, so dss c l r ε für lle l I mit l n gilt. Mit Quntoren usgedrückt: lim i I c i = r ε R,ε>0: n N: l I,l n: c l r ε Für diesen Grenzwert r schreiben wir lim c i = r i I Eine Folge mit dem Grenzwert 0 nennen wir Nullfolge. Wenn eine Folge konvergiert, nennt mn sie konvergent, nderenflls divergent. Eine Folge konvergiert gegen höchstens eine Zhl Für Grenzwert uch ndere Schreibweisen gebräuchlich: lim i c i = r Umformulierung des Stzes: lim i I c i = r k R : ε R, ε > 0 : n N : l n : c l r kε Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt Beschränkt Eine Folge (c i ) i I heißt beschränkt, flls es Zhlen k, K R gibt mit k c i K für lle i I. Äquivlent dzu: Es gibt ein l R mit c i l für lle i I. Jede konvergente Folge ist beschränkt Monotonie 3..4 Die reellen Zhlen R Es gibt ngeordnete Körper mit der Supremumseigenschft. Je zwei solcher Körper sind knonisch isomorph (es gibt genu einen Isomorphismus zwischen ihnen). Ein solcher Körper ist R. 3.2 Folgen 3.2. Folge Es sei I N eine unendliche Menge ntürlicher Zhlen. Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung c : I R, i c (i) = c i. I ist die Indexmenge der Folge, die Zhlen c i heißen Folgenglieder der Folge. Schreibe uch (c i ) i I. c i = r ist eine konstnte Folge Eine Folge (c i ) i I heißt monoton wchsend flls c i c j streng monoton wchsend flls c i < c j monoton fllend flls c i c j streng monoton fllend flls c i > c j für lle i < j gilt. Ist die Folge (c i ) i I monoton wchsend (fllend) und beschränkt, dnn konvergiert sie. Bei monoton wchsenden konvergenten Folgen gilt lim i I c i = sup {c i i I} Bei monoton fllenden konvergenten Folgen gilt lim i I c i = inf {c i i I}

12 2 3 DIE REELLEN ZAHLEN Kombintion von Folgen Seien ( n ) n I und (b n ) n I konvergent mit lim n I n = und lim n I b n = b. Betrchte die Summenfolge( n + b n ) n I und Produktfolge ( n b n ) n I. Es gilt lim ( n + b n ) n I lim ( n b n ) i I = + b = b Flls 0 n für lle n I gilt, folgt ( ) lim = n I n Die Menge der konvergenten Folgen F bildet einen Vektorrum. Die Grenzwertbildung ist ein lineres Funktionl uf F, ds heist, dss lim : F R eine linere Abbildung ist Häufungspunkt Eine Zhl r heißt Häufungspunkt der Folge (c n ) n I, flls für jedes ε > 0 die Menge {n I c n r ε} unendlich ist. Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt Eine konvergente Folge ht genu einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Eine Zhl r ist Häufungspunkt der Folge (c i ) i I genu dnn, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen r konvergiert Teilfolge Ist (c i ) i I eine Folge, und ist J I unendlich, so heißt die Folge (c j ) j J Teilfolge der urspünglichen Folge Stz von Bolzno - Weierstrss Jede beschränkte Folge uf einem Ring / Körper der die Supremumseigenschft erfüllt (z.b. R) ht mindestens einen Häufungspunkt. Jede beschränkte Folge ht eine konvergente Teilfolge Größter / Kleinster Häufungspunkt Der größte Häufungspunkt der beschränkten Folge (c n ) n I nennt mn Limes superior: lim sup c i = lim i I c i i I Der kleinste Häufungspunkt heißt Limes inferior: lim inf c i = lim i I c i i I Eine konvergente Folge ht genu einen Häufungspunkt. lim c i liminf i I i I c i = limsup c i i I Wichtige Folgen Hrmonische Folge ( ) n n N lim n n = 0 Konstnte Folge (k) i N lim n k = k geometrische Folge ( q k) k N q < lim n q k = Konstruktion von R 3.3. Idel Ist R ein (kommuttiver) Ring, I R eine nichtleere Teilmenge mit. x, y I x + y I 2. x I y R x y I dnn heißt I Idel in R. Dnn ist der Fktorring R/I = {r + I r R} mit r + I = {r + i i I} mit den Verknüpfungen. (r + I) + (s + I) = (r + s) + I 2. (r + I) (s + I) = r s + I 3. Nullelement 0 = I 4. Einselement = + I wieder ein Ring. Hiermit lssen sich in R Äquivlenzklssen bilden, mit der Eigenschft [r] = {r + i i I} Ring der Cuchy-Folgen Setze q = (q) n N = (q, q, q,...). Sei R = CF (Q) = {Cuchy-Folgen in Q} und I = NF (Q) = {Nullfolgen in Q} mit den Verknüpfungen. ( n ) n N + (b n ) n N = ( n + b n ) n N 2. ( n ) n N (b n ) n N = ( n b n ) n N 3. Einselement = 4. Nullelement 0 = 0 I ist ein Idel. Also ist R/I = R ein Ring. Reelle Zhlen sind lso Äquivlenzklssen von Cuchy Folgen (bis uf Addition von Nullfolgen verschieden). Dieses Konzept nennt sich Vervollständigung eines metrischen Rumes

13 3.3.3 R ist Körper 4 Cuchy Folgen und Reihen 3 R ist ein Körper, d.h. wir können dividieren. Sei x R, x 0 gesucht: y R mit x y =. Es gilt, dss x = (x n ) n N + I I d.h. (x n ) n N ist keine Nullfolge. { Insbesondere ist x n 0 für fst lle n. Setze 0 flls x n = 0 y n = x n. Dnn ist x n y n = für fst sonst lle n. Also ist diese (y n ) n N ds gesuchte Inverse zu x Anordnung uf R Sei Dnn gilt X = {r CF (Q) Es gibt ε > 0, so dss r n ε für fst lle n N gilt} CF (Q) = X I X Seien P R die positiven reellen Zhlen. P = {r + I r X}. Dmit gilt R = P {0} P und X X X, X + X X, X + I X. Also uch P P P und P + P P. Wir definieren eine Ordnung < uf R durch: x < y y x P. Dnn ist R ein ngeordneter Körper und es gelten die Eigenschften us.4 uf Seite Supremumsnorm / Archimedisch R ist rchimedisch, d.h für jedes r R lässt sich ein n N finden, so dss n r gilt. R ht die Supremumseigenschft, d.h. jede beschränkte Teilmenge A von R ht uch eine kleinste obere Schrnke. Zu jedem n N findet mn eine obere Schrnke q n Q für A mit q n n für ein A. Dnn bilden die q n eine rtionle Cuchy-Folge, und (q n ) n N +I ist die kleinste obere Schrnke für A, ds gesuchte Supremum Eindeutigkeit von R Ist R ein ngeordneter Körper mit der Supremumseigenschft, dnn gibt es genu einen Isomorphismus ϕ : R R. Dieser ist wie folgt definiert.. ϕ(n ) = n I R 2. ϕ ( ) n = n ϕ() = n I R ) ( ) 3. ϕ = pϕ ( p q q 4. Für r R sei A r = {q Q q r}, dnn ist r = sup (A r ). Setze ϕ(r) = sup (ϕ(a r )) In R gilt: P = { r 2 r R\ {0} }, die Anordnung von R ist lgebrisch bestimmt. Deshlb muss mn ϕ so konstruieren, es gibt keinen nderen Isomorphismus. 4. Cuchy Folgen 4.. Definition Sei R ein ngeordneter Ring oder Körper (z.b. R = Z, Q, R). Eine Folge (c i ) i I in R heißt Cuchy-Folge oder Fundmentlfolge flls es zu jedem ε R mit ε > 0 ein n N gibt, so dss c l c m ε für lle l, m n. 0 < ε R : n N : l, m n : c l c m ε Eine Folge in R (bzw. einem Körper mit der Supremumseigenschft) ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchy-Folge ist. Cuchy Folgen sind immer beschränkt Vollständig Der ngeordnete Ring / Körper heißt (folgen-) vollständig, wenn jede Cuchy-Folge in R uch konvergent ist. Wenn R die Supremumseigenschft ht, ist R uch vollständig. Z, R sind vollständig Q ist nicht vollständig 4.2 Reihen 4.2. Definition Es sei ( n ) n N eine Folge. Setze s k = k i=0 i. Diese neue Folge (s k ) k N heißt Prtilsummenfolge oder unendliche Reihe, schreibe (s k ) k N = n=0 n. Flls diese Folge (s k ) k N konvergiert, spricht mnn von einer konvergenten Reihe, nsonsten von einer divergenten Reihe. Für den Grenzwert s = lim k s k schreibe lim k s k = n=0 n. Ds Symbol n=0 n ht lso mehrere Bedeutungen, den Grenzwert der Reihe und die Reihe selber Cuchy Konvergenzkriterium für Reihen Eine Reihe k=0 k konvergiert genu dnn, wenn die Folge (s n ) n N ihrer Prtilsummen eine Cuchy-Folge ist. D.h. die Reihe konvergiert genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein n N gibt, so dss m k=l k ε für lle n l m. Mit Quntoren: k=0 k ist konvergent m ε > 0 : n N : n l m : k ε k=l Insbesondere muss ( k ) k N eine Nullfolge sein, wenn die Reihe konvergieren soll.

14 4 4 CAUCHY FOLGEN UND REIHEN Leibnizkriterium Ist ( k ) k N eine streng monoton fllende Nullfolge. Dnn konvergiert die Reihe ( ) k k k= Absolute Konvergenz Eine Reihe k=0 k konvergiert bsolut, flls die Reihe k=0 k konvergiert. Jede bsolut konvergente Reihe konvergiert Gleiches Konvergenzverhlten Sind ( k ) k N und (b k ) k N Folgen, und gilt k = b k für fst lle k N, so hben die beiden Folgen ( k ) k N,(b k ) k N und die beiden Reihen k=0 k und k=0 b k ds gleiche Konvergenzverhlten Wurzelkriterium Gibt es ein Θ R mit Θ < so, dss n n Θ für fst lle n, dnn konvergiert die Reihe k=0 k bsolut. Θ <, Θ R : n N : n n Θ Flls für fst lle n n n ist, divergiert die Reihe. Für sowohl unendlich viele kleinere, ls uch größere Glieder lässt sich keine llgemeine Aussge mchen Verdichtungsstz von Cuchy Sei ( n ) n eine positive, monoton fllende Folge. Dnn gilt: n konvergent 2 n 2 n konvergent n= n= die Grenzwerte der Reihen können verschieden sein die Grenzwerte der Folgen sind gleich Addition von Reihen Sind k=0 k und k=0 b k konvergent, so uch k=0 ( k + b k ), mit dem Grenzwert k=0 k + k=0 b k = k=0 ( k + b k ) Mjorntenkriterium Sind k=0 k und k=0 b k Reihen mit k b k für fst lle k, und wenn dnn konvergiert uch k=0 b k bsolut konvergiert, k=0 k bsolut. Anlog Minorntenkriterium um zu zeigen, dss eine Reihe nicht konvergiert Quotientenkriterium Ist k=0 k eine Reihe, und gibt es Θ R mit 0 Θ < so dss für fst lle k gilt k+ Θ { k. Dnn konvergiert } die Reihe bsolut. Ist jedoch k N k+ k eine unendliche Menge divergiert die Reihe. Ansonsten lssen sich keine Aussgen mchen. Ds Θ muss fest gewählt werden für lle k oft uch so geschrieben: 0 Θ <, Θ R : k N : k=0 k konvergiert bsolut k+ k Θ Flls der folgende Grenzwert existiert, muss zusätzlich gelten: limsup k k+ k < 4.2. Cuchy-Produkt Sind k=0 k und k=0 b k Reihen, definieren wir ihr Cuchy-Produkt k=0 c k durch c k = k l=0 lb k l. Sind k=0 k und k=0 b k bsolut konvergent, dnn ist ihr Cuch-Produkt ebenflls bsolut konvergent und im Grenzwert gilt: k=0 c k = ( k=0 k) ( k=0 b k). Entspricht dem Ausmultiplizieren von zwei geklmmerten Summentermen Funktionlgleichung der Exponentilfunktion / Logrithmus exp : R R >0 exp (0) = exp ( x) = exp(x) exp (x) = e x = k=0 exp (x + y) = exp (x) exp (y) k! xk exp (x) ist stetig und streng monoton wchsend Umkehrfunktion: ntürlicher Logrithmus ln : R >0 R

15 5. Stetigkeit 5 ist stetig und streng monoton steigend exp (ln (x)) = id R>0 ln (exp (x)) = id R ln () = 0 ln (x) + ln (y) = ln (x y) Die exp-funktion und der ntürliche Logrithmus sind Gruppenisomorphismen. Sie trnsformieren von einer kommuttiven Gruppe in eine ndere. (R, +, 0) (R >0,, ) Wichtige Reihen geometrische Reihe x < k=0 xk = x Ist innerhlb ihres Konvergenzrdius stetig. x < k=0 (n + )xn = ( x) 2 hrmonische Reihe k= k lternierende hrmonische Reihe k= ( )k k = ln 2 ist divergent. Exponentilreihe k=0 k! xk = exp(x) = e x k=0 k! = e siehe uf der vorherigen Seite Sonstige k= k = π Reelle Funktionen 5. Stetigkeit 5.. Definition Sei A R. Eine Folge von Elementen ( n ) n I von Elementen us A konvergiert in A, flls sie gegen ein Element A konvergiert. Es sei f : A R eine Abbildung. Wir sgen f ist stetig im Punkt A, flls folgendes gilt: Für jede Folge ( n ) n I, die in A gegen konvergiert, gilt lim n I f ( n ) = f (). Äquivlent dzu ist A: ε>0: δ>0:u δ () U ε(f()) 5..2 Reelle Algebren Für A R sei R A die Menge ller Abbildungen A R. Für f, g R A und r R schreibe. f + g : x f (x) + g (x) 2. f g : x f (x) g (x) 3. r f : x r f (x) Mit. und 3. ist R A ein reeller Vektorrum, die Vektoren sind Funktionen. Mit. und 2. ist R A ein kommuttiver Ring (ds Einselement ist die Funktion x ). Beides zusmmen sgt, dss R A eine (kommuttive und ssozitive) reelle Algebr ist stetige Funktionen Sei A R, und sei C (A, R) die Menge ller stetigen Funktionen uf A. C (A, R) = { f R A f ist stetig } C (A, R) ist eine reelle Algebr gleichmäßig stetig Sei A R. Eine Abbildung f : A R heißt gleichmäßig stetig genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle u, v [, b] mit u v δ gilt f (u) f (v) ε. Mit Quntoren: ε>0: δ>0: u,v [,b]: u v δ f(u) f(v) ε Alle gleichmäßig stetigen Funktionen sind uch stetig Alle stetigen Funktionen uf bgeschlossenen Intervllen sind gleichmäßig stetig gleichmäßige Stetigkeit besgt nschulich in etw, dss die Steigung der Funktion uf dem gesmten Definitionsbereich endlich ist. nicht mit gleichmäßiger Konvergenz verwechseln! 5..5 Beispiele für stetige Funktionen Eine Polynomfunktion ist eine Abbildung der Form p : x n k=0 kx k. Polynomfunktionen sind stetig. Flls f in jedem Punkt A stetig ist, heißt f stetig. x x ist stetig Bei stetigen Funktionen gilt: f (lim n n ) = lim n f ( n ) Eine Funktion f : [, b] R ist stetig genu dnn, wenn mn ihr Schubild ohne Abzusetzen zeichnen knn. Die Wurzelfunktion ist stetig. Für R 0 R 0 mit x = n x = g (x) wobei g (x) die Umkehrfunktion von x n ist. Die e-funktion ist stetig. Siehe uf der vorherigen Seite.

16 6 5 REELLE FUNKTIONEN 5..6 Kompostion von Funktionen Sind f : A R und g : B R stetig, und gilt f (A) B, so ist die Hintereinnderusführung (Komposition) A f B g R ebenflls stetig. Schreibe für die Komposition g f : x g (f (x)) 5..7 Einschränkung Ist B A R, betrchte die Einschränkungsbbildung R A R B, f f B f eingeschränkt uf B mit f B : B R, x f (x) Dies ist eine linere Abbildung denn (f + g) B = f B + g B und (f g) B = f B g B gilt. Einschränkungen von stetigen Funktionen sind stetig Zwischenwertstz Sei I = [, b] ein (bgeschlossnes endliches) Intervll. Sei f : I R stetig. Zu jeder Zhl y zwischen f () und f (b) gibt es ein x I mit f (x) = y. Mit Quntoren: y [f (),f (b)] : x I : f (x) = y Mithilfe der Einschränkung knn dieser Stz uch Erweitert werden us ds Intervll [min (f (x)), mx(f (x))] 5..9 Umkehrfunktion Sei I = [, b] ein (bgeschlossenes endliches) Intervll, f : I R stetig und streng monoton wchsend (bzw. fllend), d.h. r < s f (r) < f (s) (bzw. r > s f (r) > f (s)). Dnn ht f eine stetige Umkehrfunktion g : [f (),f (b)] I. D.h. g f = id I und f g = id [f(),f(b)] Stz von Weierstrss Sei I = [, b] ein (bgeschlossenes endliches) Intervll und f : I R stetig. Dnn ist f (I) = J ebenflls ein endliches bgeschlossenes Intervll. Dieses f besitzt folglich im Intervll J ein Minimum und ein Mximum. 5.2 Funktionenfolgen 5.2. Definition Für A R betrchten wir Folgen von Funktionen in R A bzw. in C (A, R) d.h. Abbildungen L R A L N Indexmenge (unendlich) (f l ) l L. Jedes f l ist lso eine Abbildung f l : A R Konvergenz Eine Folge (f l ) l L von Funktionen konvergiert punktweise gegen eine Funktion f, flls gilt x A : lim l L f l (x) = f (x) Eine Folge (f l ) l L konvergiert gleichmäßig gegen f, flls folgendes gilt. Zu jedem ε > 0 gibt es ein n N so, dss für lle x A und lle l L mit l n gilt f l (x) f (x) ε. Mit Quntoren: ε>0: n N: x A,l L,l n: f l (x) f(x) ε gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz Sei A R, (f l ) l L eine Folge stetiger Funktionen. Flls die Folge gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, ist dieses f uch stetig. nicht mit gleichmäßiger Stetigkeit verwechseln! Potenzreihe Sei ( n ) n N eine Folge. Betrchte die stetige Funktion p n (x) = n k=0 kx k uf R. Die Funktionenfolge (p n ) n N heißt formle Potenzreihe und mn schreibt kurz dfür n=0 nx n = (p n ) n N. Setze L = limsup n n n bzw. L = flls es keinen größten Häufungspunkt gibt. Setze weiter R = L flls L 0, L sonst R = für L = 0 und R = 0 für L =. R heißt Konvergenzrdius der Potzenzreihe. Für x < R ist die Reihe n=0 nx n bsolut konvergent, und die Funktionsfolge p n : x n k=0 kx k ist gleichmäßig konvergent uf {x R r < x < r} für r < R. Somit ist n=0 nx n eine stetige Funktion für x < R. Für x > R divergiert die Potenzreihe. Für x = R knn mn keine llgemeinen Aussgen mchen Flls folgender Grenzwert existiert, gilt: R = lim k k k+ Zu einer Funktion gibt es immer höchstens eine Potenzreihe. 5.3 Trigonometrische Funktionen 5.3. Sinus und Cosinus cos(x) = ( ) n x 2n n=0 (2n)! = x2 2 + x4 24 x

17 5.3 Trigonometrische Funktionen 7 Sinus Hyperbolicus sin(x) = n=0 ( ) n x 2n+ (2n + )! = x x3 6 + x sind konvergent für lle x R cos(0) = sin (0) = 0 cos( x) = cos(x) sin ( x) = sin(x) Additionstheoreme sin (x + y) = sin (x)cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) sin (x) sin(y) cos 2 (x) + sin 2 (x) = cos(2x) = 2 cos 2 (x) cos(rcsin(x)) = sin (rccos(x)) = x 2 cos(x) = sin (x) sin (x) = cos(x) sinh(x)= 2 (exp(x) exp( x))=p k=0 x2k+ (2k+)! Hben ihre Nmen uf grund Ihrer Ähnlichkeit zu der Sinus und Cosinusreihe Tngens Hyperbolicus: tnh (x) = sinh(x) cosh(x) Cotngens Hyperbolicus: coth(x) = cosh(x) sinh(x) Umkehrfunktionen: Arerfunktion existieren für lle Trigonometrischen Funktionen, d diese lle streng monoton und stetig sind (zumindest uf einem Teilintervll) n N : (sinh (x) + cosh(x)) n = sinh (nx) + cosh(nx) cosh 2 (x) sinh 2 (x) = tnh 2 (x) = cosh 2 (x) rsinh(x) = ln ( x + x 2 + ) ) (+x x (, ) : rtnh(x) = 2 ln x sinh (x) = cosh(x) cosh(x) = sinh (x) cosh(rcsinh(x)) = x 2 + sinh (rccosh(x)) = x PI π Die kleinste positive Nullstelle des Cosinus heißt per Definition π 2. Auf diese Weise definieren wir die Zhl π 3, cos ( ) π 2 = 0 sin ( ) π 2 = cos ( x + π 2 ) = sin(x) sin ( x + π 2 ) = cos(x) sin (x + π) = sin(x) cos(x + π) = cos(x) sin (x + 2π) = sin (x) cos(x + 2π) = cos(x) Hyperbolische Trigonometrische Funktionen Cosinus Hyperbolicus cosh(x)= 2 (exp(x)+exp( x))=p k=0 x2k (2k)! Hermite-Polynome Die sogennnten Hermite-Polynome H n sind uf gnz R definiert durch H n (x) = ( ) n dn x2 e dx n, n N e x2 wobei d n dx n f die n-te Ableitung von f nch x bezeichnet. H 0 = H = 2x H 2 = 4x 2 2 H 3 = 8x 3 2x H 4 = 6x 4 48x H n+ (x) = 2xH n (x) H n (x) H n (x) = 2nH n (x) H n (x) 2xH n (x) + 2nH n (x) = 0 Für f n (x) = H n (x) e x2 2 gilt x 2 f n (x) f n (x) = (2n + )f n (x) Die e-funktionen kürzen sich nch dem Ableiten herrus

18 8 6 INTEGRATION 6 Integrtion 6..4 Cuchy-Folge 6. beschränkte Funktionen 6.. Definition beschränkte Funktion Sei A R. Eine Funktion f : A R heißt beschränkt, flls f (A) = {f () A} beschränkt ist. D.h. flls es eine Zhl k R gibt, so dss f () k für lle A. f beschränkt k R : A : f () k Sei B (A, R) = { f R A f ist beschränkt } die Menge ller beschränkten Funktionen. B (A, R) ist ein reeller Vektorrum und ein Ring, d.h. es gilt f, g B (A, R), c R :. f + g B (A, R) 2. f g B (A, R) 3. c f B (A, R) Ist der Definitionsbereich ein endliches bgeschlossenes Intervll, dnn gilt C ([, b],r) B ([, b],r). D.h. dss die stetigen Funktionen eine (echte) Teilmenge der beschränkten Funktionen sind Supremumsnorm Für f B (A, R) setzte f = sup { f () A} f heißt (Supremums-)Norm der Funktion f. f = 0 A : f () = 0 Dreiecksungleichung f + g f + g c R : c f = c f f g f g (B (A, R), ) ist ein normierter Vektorrum und sogr eine normierte Algebr dnk der Produkteigenschft der Norm gleichmäßige Konvergenz Ist (f n ) n L eine Folge von Funktionen in B (A, R), so konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen f B (A, R) genu dnn, wenn gilt lim n f f n = 0. Eine Folge (f n ) n L in B (A, R) heißt Cuchy-Folge, flls gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein n N, so dss f l f m ε für lle l, m n. ε > 0 : n N : l, m n : f l f m ε Eine Folge (f l ) l L in B (A, R) ist genu dnn eine Cuchyfolge, wenn sie gegen eine Funktion f B (A, R) gleichmäßig konvergiert. Im normierten Rum (B (A, R), ) konvergiert jede Cuchyfolge. Mn nennt den Rum dher vollständig oder Bnchrum Zerlegung Eine Zerlegung Z von [, b] ist eine enliche Folge Z = { = 0 < <... < r = b}. Eine ndere Zerlegung Z heißt feiner ls Z flls Z Z. Flls Z und Z 2 Zerlegungen von [, b] sind, so uch Z Z 2, welche feiner ist ls Z und Z Stufenfunktion Eine Funktion f B ([, b],r) heißt Stufenfunktion (bzgl. Zerlegung Z) flls { y k flls k < x < k+ f (x) = w k flls x = k Die Menge ller Stufenfunktionen wird mit Step ([, b], R) B ([, b],r) bezeichnet. Flls f eine Stufenfunktion bzgl. Z ist, und flls Z feiner ls Z ist, dnn ist f uch Stufenfunktion bzgl. Z Eine Stufenfunktion muss endlich viele Stufen hben Ist f Stufenfunktion bzgl. Z und g Stufenfunktion bzgl. Z 2, dnn sind f +g, f g und c f (für c R) Stufenfunktionen bzgl. Z Z 2. Step ([, b], R) < B ([, b],r) ist Untervektorrum der beschränkten Funktionen. Außerdem ist diese Menge ein Ring. Somit lso eine Algebr. Die Einschränkung einer Stufenfunktion ist wieder eine Stufenfunktion Chrkteristische Funktion Ist A R eine Teilmenge der reellen Zhlen, so heißt die Funktion { flls x A χ A : R R : χ A (x) = 0 flls x / A die chrkteristische Funktion der Menge X.

19 6.2 Integrl Integrl 6.2. Integrl für Stufenfunktionen Für eine Stufenfunktion f f (x) = bzgl. einer Zerlegung Z { y k flls k < x < k+ w k flls x = k Z = { = 0 < <... < r = b} definieren wir ds Integrl folgendermßen: r f (x) dx = ( k+ k )y k k=0 w k spielen für ds Integrl keine Rolle Für Z Z Verfeinerung, kommt für ds Integrl über f bzgl. Z der gleiche Wert herus. Ds Integrieren ist eine linere Abbildung. Es gilt lso: (f (x) + g (x))dx = f (x) dx + g (x) dx λf (x)dx = λ f (x) dx Achtung, für Produkte gilt dies nicht Sind f, g Stufenfunktionen und gilt x [, b];h (x) h 2 (x) dnn folgt: h (x) dx h 2 (x) dx Integrl llgemein Ist f eine Regelfunktion und (f n ) n L eine Folge von Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Wir setzen f (x)dx = lim f n (x) dx n Dieser Grenzwert existiert Ist unbhängig von der konkreten Whl der Stufenfunktion Dieser Ausdruck heißt Riemnn-Integrl von f, es gibt noch weitere Integrldefinitionen Sind f, g Regelfunktionen mit f (x) g (x) für lle x [, b], so gilt f (x) dx g (x)dx Stufenfunktionsfolge zu gegebener stetiger Funktion Die Menge Z n={ 0=< =+ b n <2=+2 b n <...<n=b} [,b] nennt sich eine äquidistnte Zerlegung der Intervlls [, b]. Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Die Funktionsfolge n f n (x) = f ( k )χ [k, k+ ) (x) k=0 von Stufenfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen f, d.h. lim n f f n = 0. Ds Integrl ist hiermit lso: (f g)(x) dx f (x) g (x) dx f g (b ) f (x)dx = lim n b n n f k=0 ( + k b ) n Regelfunktionen Eine beschränkte Funktion f heißt Regelfunktion, flls es eine Folge von Stufenfunktionen f n gibt, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Wir sgen dnn, diese Stufenfunktion pproximiert die Regelfunktion f. Es sei R ([, b], R) < B ([, b],r) die Menge ller Regelfunktionen. R ([, b], R) ist ein (Folgen-)Vollständiger normierter Vektorrum (bzgl. ) flls (f n ) n L und (g n ) n L Folgen in Step ([, b], R), die die gleiche Regelfunktion pproximieren, so gilt lim n f n g n = 0 Alle stetigen Funktionen uf endlich bgeschlossenen Intervllen sind Regelfunktionen: C ([, b],r) R ([, b],r) Ist ein Ring bzg. Addition und Multipliktion. Dies ist keine prktikbele Methode zum symbolischen errechnen des Integrls, ber es ist eine Bsis für numerische Verfhren. für mnche Funktionen können uch ndere Zerlegungen von Vorteil sein Eigenschften des Riemnn-Integrls Sei f, g R ([, b],r) und λ R. Dnn gilt: (f (x) + g (x))dx = λf (x)dx = λ f (x) dx + f (x)dx g (x)dx b f (x) dx b f (x) dx f (x) dx f dx = f (b )

20 20 7 DIFFERENTIATION Mittelwertstz (MWS) der Integrlrechnung f : R\ {0} R : x x stetig fortsetzbr. ist im Punkt 0 nicht Sei p R ([, b],r) und f C ([, b],r) und es gelte p (x) 0 für lle x [, b]. Dnn gibt es t [, b] mit f (x) p (x)dx = f (t) p (x)dx f (x)dx = f (t)(b ) mit t (, b) Hierrchie von Funktionsräumen B([, b], R) R([, b], R) C([, b], R) Step([, b], R) 7..2 Häufungspunkt von Mengen Wenn es eine Folge ( n ) n L in A\ {b} gibt mit lim n n = b dnn heißt b Häufungspunkt der Menge A Stetige Fortsetzung in Punkt Ist b R und A R und B = A {b}, und gibt es eine Folge ( n ) n L in A mit lim n n = b, dnn ht jedes f C (A, R) höchstens eine stetige Fortsetzung uf B = A {b} mit f (b) = lim n L f ( n ). Besgt nur, dss wenn es möglich ist, uch eindeutig ist. Flls b Häufungspunkt der Menge A ist, dnn ist C (A {b},r) C (A, R) injektiv. Bei Funktionen uf endlichen Mengen ist f immer stetig. Die Fortsetzung in endlich vielen Punkten ist beliebig (lso nicht eindeutig), und ebenflls stetig. {konstnte Funktionen} = R Die Pfeile A B deuten n, dss A B (A ein Untervektrorrum von B ist) {konstnte Funktionen} = C ([, b], R) Step ([, b],r) Bis uf den Rum der konstnten Funktionen sind dies lles unendlichdimensionle Vektorräume Zwischen B ([, b],r) und R ([, b], R) liegen noch weitere integrierbre Funktionen, llerdings mit nderen Integrldefinitionen. Alle Vektorräume bis uf Step ([, b], R) sind vollständig bezüglich 7 Differentition 7. Differentition 7.. Stetige Fortsetzung Sei A B R. Für f C (B, R) betrchte die Einschränkung f A : A R : f () mit f A C (A, R). D.h. wir hben eine linere Abbildung C (B, R) C (A, R) : f f A. Umgekehrte Frgestellung: gegeben g C (A, R), gibt es f C (B, R) mit f A = g? Dieses f wird ls stetige Fortsetzung von g bezeichnet differenzierbr Sei U R offen, f C (U R) und x 0 U Die Funktion f heißt differenzierbr in x 0, flls es ein ε > 0 gibt, so dss für die Funktion ( ε, ε) \ {0} R : h f (x 0 + h) f (x 0 ) h eine stetige Fortsetzung p : ( ε, ε) R existiert. p (0) nennt mn die Ableitung von f im Punkt x 0. Mn schreibt hierfür p (0) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = df dx = df x=x0 dx (x 0) Die Ableitung ist eindeutig Es gibt stetige Funktionen, die in keinem Punkt differenzierbr sind! 7..5 differenzierbr Umformulierung Sei U R offen, f : U R stetig, und x 0 U. Dnn ist f in x 0 differenzierbr genu dnn, wenn es eine Konstnte c R gibt und eine stetige Funktion ϕ : ( ε, ε) mit ϕ(0) = 0 f (x 0 + h) = f (x 0 ) + c h + ϕ(h) h für h < ε. Dnn gilt f (x 0 ) = c