Analysis. Prof. Dr. Linus Kramer WS SS Skript aus dem ersten und zweiten Semester. getext von Julia Wolters

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1 Anlysis Skript us dem ersten und zweiten Semester Prof. Dr. Linus Krmer WS SS 2010 getext von Juli Wolters

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3 Inhltsverzeichnis 1 Ringe, Körper, Anordnung 1 2 Die reellen Zhlen und etws Kombintorik 12 3 Cuchyfolgen und Reihen 22 4 Reelle Funktionen und Stetigkeit 29 5 Integrtion 37 6 Differentition 47 7 Huptsätze der Differentil- und Integrlrechnung 55 8 Die Konstruktion von R 63 9 Metrische und normierte Räume Stetigkeit Offene Mengen und Kurven Differentilgleichung in Vektorräumen Lokle Extrem reeller Funktionen Integrtion, Stz vom loklen Inversen, Tylorentwicklung 109 Stichwortverzeichnis iii iii

4 Inhltsverzeichnis Impressum Erstellt von Prof. Dr. Linus Krmer Vorlesungsseite: Verfsst in TEXon Mc OS X von Juli Wolters Korrigierte Fssung bis Kpitel 14.16, Stnd: 13. Juli 2010 Korrekturen bitte per mil n juli.wolters@uni-muenster.de iv getext: Juli Wolters

5 1 Ringe, Körper, Anordnung Grundlegend in der Anlysis sind Zhlen und zwr reelle Zhlen, gnze Zhlen, rtionle Zhlen, ntürliche Zhlen. Gemeinsm sind diese Zhlentypen bestimmte Rechenregeln oder Axiome. 1.1 Definition Gegeben sei eine Menge R (zum Beispiel R = Q). Wir nehmen weiter n, dss er uf R zwei Verknüpfungen gibt, + und. Jede dieser Verknüpfungen ordnen Elementen r, s R jeweils ein neues Element r + s R und r s R. In der Menge R hben wir zwei spezielle Elemente, die wir mit 0, 1 R bezeichnen. Wir nennen (R, +,, 0, 1) eine Ring, flls folgende Regeln für lle x, y, z R gelten. Kommuttivgesetze (K + ) x + y = y + x (K ) x y = y x Assozitivgesetze (A + ) (x + y) + z = x + (y + z) (A ) (x y) z = z (y z) Distributivgesetz (Verträglichkeit von + und ) (D) x (x + y) = xy + xz (x + y) x = xz + yz Existenz von Neutrlelement (N + ) x + 0 = 0 + x = x (N ) x 1 = 1 x = x Existenz von dditiven Inversen 1

6 KAPITEL 1. RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG (I + ) Zu jedem x R gibt es genu ein y R, so dss gilt x + y = y + x = 0 schreibe y = x für diese Inverse, dh. x + ( x) = 0 = ( x) + x Wenn (R, +,, 0, 1) die Axiome K +, K, A +, A, D, N +, N, I + erfüllt sind, so heißt R ein Ring. Beispiele (us der Schule) Die gnzen Zhlen Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} mit der beknnten Addition und Multipliktion bilden einen Ring. Die Menge Q = { b,, b Z, b 0} ist ebenflls ein Ring mit + und wie gewohnt. Genuso bilden die reellen Zhlen R einen Ringen. Dgegen ist die Menge N = {0, 1, 2,...} mit den blichen + - und -Verknüpfung keinen Ring, denn (I + ) gilt nicht für lle n N. Es gibt z.b. kein y N mit y + x = Beispiel F 2 = {0, 1} mit folgenden Verknüpfungen: Mit diesen beiden Verknüpfungen wird die Menge F 2 ein Ring. (Nchrechnen) 1.3 Rechenregeln Aus den Rechenregeln in Ringen folgen weitere llgemeingültige Rechenregeln, die in jede, Ring whr sind. Vereinbrung: Punktrechnung vor Strichrechnung, dh. x + y z = x + (y z) ( x) = x, denn ( x) + x = 0 us x + y = x folgt y = 0, denn 0 = x + y x 0 = (x x) + y 0 = y Kürzen. vor. Regel 0 x = 0, denn 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x 0 x = 0 x y = (x y), denn x y + ( x) y = (x x)y = 0 y = 0 lso (x y) = ( x) y Insbesondere gilt ( 1)x = (1 x) = x, sowie ( x)( y) = x y 2 getext: Juli Wolters

7 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Fzit All diese kleinen Rechenregeln gelten lso in jedem Ring, nicht nur in Z, Q, R. Ds multipliktive Kommuttivgesetz (K knn mn weglssen, es bleiben trotzdem (fst) lle Rechenregeln gültig. Solche Ringe heißen uch nicht kommuttive Ringe. Vereinbrung für Anlysis I und II: lle Ringe sind kommuttiv. Bisher wr von Inversen der Multipliktion nicht die Rede. 1.4 Definition Ein Ring (R, +,, 0, 1) heißt Körper, wenn er folgende Zustzeigenschften ht: 0 1 zu jedem x R mit x 0 gibt es genu ein y R, so dss gilt x y = 1 schreibweise: y = 1 ( ) 1 x = x 1 x = 1 x (I ) Beispiele (Q, +,, 0, 1) ist ein Körper: b b = 1 (Schule) (F 2, +,, 0, 1) ist ein Körper (siehe Tbelle) (Z, +,, 0, 1) ist kein Körper. Es gibt kein m Z mit m z = 1 In der Anlysis wollen wir Zhlen der Größe nch Vergleichen. Dnn bruchen wir ihre Anordnung. 1.5 Definition Sei X eine Menge X Eine Anordnung uf X ist eine zweistellige Reltion < (zweistellige Reltion bedeutet für x, y X gilt entweder x < y ist whr oder x < y ist nicht whr ). Dher soll folgendes gelten: (O 1 ) Entweder x < y oder y < z oder x = y, es tritt genu einer dieser Fälle ein. (O 2 ) Flls x < y und y < z, so gilt uch x < z getext: Juli Wolters 3

8 KAPITEL 1. RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG Schreibweise: x y bedeutet x < y oder x = y Beispiel Der Zhlenstrhl x < y x steht links von y. Definition Ein ngeordneter Ring (oder Körper) (R, +,, 0, 1, <) besteht us einem Ring (oder Körper) und einer Anordnung < uf R, so dss für lle x, y, z R folgendes gilt: (OR 1 ) ist x < y, so gilt x + z < y + z (OR 2 ) ist x < y und z > 0, so gilt x z < y z (Ein Element x R heißt positiv, wenn x > 0.) Beispiel: (Z, +,, 0, 1, <) und (Q, +,, 0, 1, <) Zhlenstrhlordnung sind ngeordnete Ringe. 1.6 Vereinbrung Ein Element x in einem ngeordneten Ring heißt positiv, wenn x > 0, negtiv, wenn x < 0, nicht negtiv, wenn x 0, nicht positiv, wenn x 0. positiv positiv = positiv Vorzeichenregeln : negtiv negtiv = positiv positiv negtiv = negtiv Denn: ngenommen x, y > 0 (OR 2) x y > 0 y = 0 z < 0 (OR 1) 0 < z, wenn lso x, y < 0 x, y > 0, lso ( x) ( y) > 0 }{{} =x y ngenommen x > 0, y < 0 (OR 2) x y < 0. Konsequenz: Ist x 0 in einem ngeordneten Ring, so ist x 2 > 0 Qudrte sind positiv Insbesondere ist 1 = 1 1 > 0 in jedem ngeordneten Ring. 4 getext: Juli Wolters

9 1.7 Folgerung Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Ein ngeordneter Ring (oder Körper) ht stets unendlich viele Elemente. Denn: 0 < 1 < < <... usw. 1.8 Absolutbetrg und Dreiecksungleichung In einem ngeordneten Ring (oder Körper) setzten wir den Absolutbetrg { x, flls x 0 x = x, flls x < 0 Es gilt folgendes für lle x, y im Ring (i) x y = x y (ii) x = x 0 (iii) x + y x + y (iv) x y x y Dreiecksungleichung Umgekehrte Dreiecksungleichung Wir betrchten jetzt die ntürlichen Zhlen N = {0, 1, 2, 3,...} nochml genuer. 1.9 Beobchtung jede ntürliche Zhl n ht einen Nchfolger n + 1 ( eins weiter rechts uf dem Zhlenstrhl ) durch iteriertes Übergehen zum Nchfolger erreichen wir jede ntürliche Zhl 0. Definition (Nchfolgerstruktur) (N, s, o) besteht us einer Menge N, ein Element o N und eine Abbildung s : N N die jedem Element n N einen Nchfolger zuordnet, den Nchfolger bez. wir mit s(n). Dnn soll gelten: (P 1 ) Es gibt kein n N mit s(n) = o (P 2 ) Ist s(n) = s(m), so folgt n = m (P 3 ) Ist M N eine Teilmenge und ) o M getext: Juli Wolters 5

10 KAPITEL 1. RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG b) m M, so ist uch s(m) M so gilt schon M = N. Die Axiome (P 1 ), (P 2 ) und (P 3 ) heißen Peno-Axiome Setzt mn N = N, o = 0, s(n) = n + 1, dnn beschreiben die Axiome die Eigenschften der Beobchtungen (1.9). Mn knn folgendes beweisen: Ist (N, s, o) eine Nchfolgerstruktur, dnn gibt es eine Abbildung f : N N, so dss f(0) = o, f(n + 1) = s(f(n)), f(k) = f(l) k = l (f injektiv) und zu jedem n N gibt es ein m N mit f(m) = n. Mit Hilfe der Nchfolgerfunktion s lssen sich Addition und Multipliktion ttsächlich rekursiv definieren. o + n = n s(m) + n = s(m + n) o n = o s(m) n = m n + n Beispiel: = s( =s(1) =n }{{} ) = s(4) = 5 =1+3 s(0+3)=s(3)=4 Mn muss beweisen, dss ds Kommuttiv-, Assozitiv- und Distributivgesetz gelten Peno-Axiom (P 3 ) ist ds Prinzip der Induktion Wir bruchen es oft, dher nochml: Ist M N für die gilt: o M und us m M so folgt stets m + 1 M. Dnn gilt, dss M = N. Ein Beispiel Behuptung: Fr lle n N gilt die Formel n = n (n + 1) 2 Idee: M = {m N fr m stimmt die Formel } Z Z = N Induktionsnfng: ZZ 0 M 0 = 0 (0 + 1) 2 = 0 Induktionsschritt: ZZ wenn die Formel für m gilt dnn gilt uch für m + 1. n (m + 1) IV: m = stimmt 2 6 getext: Juli Wolters

11 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Addiere uf beiden Seiten (m + 1) m + (m + 1) = Also gilt die Formel uch für m + 1. Dmit ist die Formel für lle n N gezeigt. = = m (m + 1) + (m + 1) 2 m (m + 1) + 2(m + 1) 2 (m + 1) (m + 2) Die Anordnung von N Definiere die Reltion durch m n Def n = m + l fr l N sowie m < n m n und m n (!) n = m + l fr l N, l Ds Whlnordnungsprinzip Ist S N eine nichtleere Teilmenge, so enthält S ein eindeutiges kleines Element, s = min(s) (dh. s t für lle t S und s S) Wrum ist s eindeutig? Angenommen s S ht uch die Eigenschft s t für lle t S. Dnn folgt s s und s s s = s Ds 2. Induktionsprinzip Ist M N mit folgender Eigenschft: flls lle m N, m < n Elemente von M sind, so ist uch n M. Dnn ist M = N Mengen Mengen sind fundmentl in der Mthemtik, denn lle mthemtischen Strukturen sind Mengen. Anschuliche Idee: In einer Menge werden verschiedene Dinge zusmmengefügt. In einer Menge X sind Elemente enthlten (oder nicht enthlten): X / X heißt ist ein Element der Menge X heißt ist kein Element der Menge X getext: Juli Wolters 7

12 KAPITEL 1. RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG Eine Menge B heißt Teilmenge von X, flls für lle b B gilt b X. Schreibe: B X. Fr die Konstruktion von Mengen gibt es Spielregeln (die Zermelo-Frenkel-Axiome): (Ex) Es gibt Mengen, genuer: es gibt eine Menge X, so dss / X fr lle gilt (die leere Menge) {} = (Ext) X = Y gilt gdw. X und Y die gleichen Elemente hben (dh. X Y und Y X) Keine weiteren verborgenen Eigenschften (Ans) Ist X eine Menge, ϕ eine Eigenschft, so ist uch {x X ϕ(x) gilt } eine Menge Beispiel: Der Durchschnitt von zwei Mengen X, Y {x X x Y } = X Y {x X x / X} = Ist X Y =, so heien X und Y disjunkt. Ds Komplement X \ Y = {x X x / Y } von Y in X. (Pr) Sind X, Y Mengen, so ist {X, Y } eine Menge deren Elemente genu X und Y sind. Insbesondere ist uch {X, X} = {X} eine Menge, sowie {X 1, X 2,..., X n }, wenn X 1, X 2,..., X n Mengen sind (mit Induktion). (Ver) Ist X eine Menge, so uch die Vereinigung X = { x und x X} Beispiel: {{1}, {{2}, {{4}}}} = {1, {2}, {{4}}} Insbesondere ist X Y = {X, Y } = {z z X oder z Y } eine Menge, die Vereinigung von X und Y. (Pot) Ist X eine Menge, so uch ihre Potenzmenge P(X) = {Y Y X} die Menge ller Teilmengen Beispiel: P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}} P( ) = { } (!) (Ers) Ist ϕ eine Vorschrift, die jedem x ein y zuordnete und ist X eine Menge, so ist Y = {y x X, ϕ(x, y) gilt} eine Menge. Bilder von Mengen sind Mengen (Inf) Es gibt unendliche Mengen. Genuer: sei s() = {}, dnn gibt es eine Menge N mit folgender Eigenschft: ist y N, so ist uch s(y) N. 1 (Fund) Ist X eine nicht leere Menge, so gibt es X mit X = Es gibt keine bodenlosen Mengen es gilt nie A A. 1 später: für N knn mn die Menge der ntürlichen Zhlen N nehmen. 8 getext: Juli Wolters

13 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer (Auswhl) Ist X eine Menge, deren Elemente nicht leer sind ( / X). Dnn gibt es eine Abbildung f : X X, so dss für jedes X gilt f(). So gibt es eine Menge Z, die mit jedem X ein Element gemeinsm ht. Ds Auswhl-Axiom brucht mn oft in Beweisen. Dmit lssen sich einige scheinbr prdoxe Dinge zeigen, dher wr / ist es mnchml umstritten. Wir benutzen es bedenkenlos Pre und krtesisches Produkt Ein geordnetes Pr (X, Y ) ht eine erste Komponente X und eine Komponente Y. (X, Y ) = (U, V ) gilt gdw. X = U und Y = V. [Pre lssen sich ls Mengen kodieren, indem mn setzt (U, V ) = {{U}, {U, V }}] Y Sind X, Y Mengen, so ist ds krtesische Produkt die Menge X Y = {(x, y) x X, y Y }. Anlog definiert mn Tripel, Qudrupel,..., n-tupel (x 1, x 2,..., x n ) geordnete Liste Reltionen ) einstellige Reltion R uf einer Menge X ist eine Einfche Teilmenge R X y (x,y) x X R(x) gilt R(x) flsch Def. Def. x R x / R b) zweistellige Reltion: X, Y Mengen, R X Y xry gilt (x, y) R, x Ry (x, y) / R Funktionen/Abbildungen Eine Funktion f : X Y ist eine zweistellige Reltion f X Y mit folgender Eigenschft: zu jedem x X gibt es genu ein y Y mit (x, y) f. Schreibe sttt (x, y) f f(x) = y. Mit nderen Worten: f ls Reltion ist ds Schubild / der Grph von der Abbildung f. f = X Y bedeutet: f ist eine Abbildung von der Menge X in die Menge Y. Schreibe: y = f(x) oder x y = f(x). Abbildungen knn mn komponieren (hintereinnder usführen). X f Y g Z g f : X Z, x g(f(x)) getext: Juli Wolters 9

14 KAPITEL 1. RINGE, KÖRPER, ANORDNUNG Ist A X und f : X Y eine Abbildung, so ist f(a) = {f() A} ds Bild von A unter f. Ist B Y, so ist f 1 (B) = {x X f(x) B} ds Urbild von B. Beispiel f : R R, x f(x) = x 2, f(r) = {r R r 0 f 1 ({ 1}) = Für lle U, V Y gilt: f 1 (U) f 1 (V ) = f 1 (U V ) f 1 (U) f 1 (V ) = f 1 (U V ). Dgegen gilt für A, B X im Allgemeinen nicht: f(a B) = f(a) f(b). Eine Abbildung heißt injektiv, flls fr u v stets gilt f(u) f(v), surjektiv, flls f(x) = Y (dh. zu jedem y Y gibt es x X mit f(x) = y, bijektiv, flls surjektiv und injektiv Äquivlenzreltionen Eine zweistellige Reltion R X X mit folgenden Eigenschften: (R 1 ) xrx gilt immer (R 2 ) us xry folgt stets yrx (R 3 ) us xry und yrz folgt stets xrz. Beispiele ) R = id x = {(x, x) x X} Digonle ist eine Äquivlenzreltion. b) X = Z, rrs r s ist gerde ist eine Äquivlenzreltion. c) X = Z, rrs r s ist ungerde oder r = s ist keine Äquivlenzreltion (0R1, 1R2 ber 0 R2). Beliebte Symbole für Äquivlenzreltionen: R =, R =. Ist R eine Äquivlenzreltion uf X, x X, so ist [x] R = {y X yrx} die Äquivlenzklsse von X. Die Menge der Äquivlenzklssen ist X/ R = {[x] R x X}. X mod R X modulo R 10 getext: Juli Wolters

15 Anlysis 1.19 Aufbu des Zhlensystems Prof. Dr. Linus Krmer ) Die Menge der ntürlichen Zhlen N = {0, 1, 2,...} N ist folgende Nchfolgerstruktur: s() = {} mit Nullelement = 0, 1 = s(0) = { } = { } 2 = s(1) = { } {{ }} = {, { }} 3 = s(2) = {, { }} {{, { }}} = {, { }, {, { }}} b) Die Menge Z der gnzen Zhlen N N, Idee, b N, b Z. Äquivlenzreltion uf N N(x, y) (u, v) Def. x + v = u + y ( x y = u v ) Mnn knn nchrechnen, dss ds eine Äquivlenzreltion uf Pren von ntürlichen Zhlen ist. Fr die Äquivlenzklsse von [(x, y)] schreibe x y. Mn muss dnn nchrechnen, dss Addition, Multipliktion und Anordnung richtig funktionieren. c) Die Menge Q der rtionlen Zhlen Eine rtionle Zhl q = ist Äquivlenzklsse eines Pres (, b) von gnzen Zhlen, b mit b 0. ( (, b) (r, s) s = b r Idee: b = r ) s Mn knn wieder nchrechnen, dss ds eine Äquivlenzreltion ist und dss Addition, Multipliktion richtig funktionieren. getext: Juli Wolters 11

16 2 Die reellen Zhlen und etws Kombintorik 2.1 Definition Ist R ein Ring / Körper, x 1,..., x n R, so ist n x k = x x n k=1 Stz (Die geometrische Summenformel) Sei R ein Ring, x R n (1 x) x k = 1 x n+1 (Konvention x 0 = 1) Ist R ein Körper und ist x 1, so schreibe uch 1 x n+1 n 1 x = 2.2 Lemm (Bernoulli sche Ungleichung) Sei R ein ngeordneter Ring (z.b. R = R). Für lle n N und lle x R, x 1 gilt (1 + x) n 1 + n x 2.3 Definition x k Für eine endliche Menge X ist #X die Anzhl der Elemente von X (uch Schreibweise #X = X ). 12

17 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Stz Ist X eine endliche Menge, so ist #P(X) = 2 #X. 2.4 Binomilkoeffizient Setze rekursiv 0! = 1 und (n + 1)! = (n + 1) n!, dh. für k 1 ist k! = k ( k Fkultät ) Der Binomilkoeffizient ist ( ) n n! k = k!(n k)! für 0 k n (lies ( n k) n ber k.) ( ) n = 1 = 0 ( n n ) sowie ( ) ( ) n n = k n k Es gilt Stz ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1 k + 1 (2.1) Sei ( X eine endliche Menge. Die Anzhl der k-elementigen Teilmengen von X ist genu n ) k für k n. Insbesondere gilt stets ( n k) N. Korollr Für lle n N, 0 k n gilt: n ( ) n = 2 n k 2.5 Die binomische Formel Sind, b Elemente eines Ringes, n N, so gilt ( + b) n = n ( ) n n k b k k getext: Juli Wolters 13

18 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN UND ETWAS KOMBINATORIK 2.6 Definiton Sei (X, <) eine ngeordnete Menge, sei A X. Ein Element s X heißt obere (bzw. untere) Schrnke, flls für lle A gilt s (bzw. s). Flls zusätzlich s A gilt, so heit s Mximum (bzw. Minimum) von A. Flls Mximum / Minimum s A existiert, so ist es eindeutig bestimmt (klr). Eine Menge A knn viele obere / untere Schrnken hben. Beispiel X = Q, A = {q Q 2 < q 3} untere Schrnken: 100, 5, 2,... es gibt kein Minimum obere Schrnken: 3, 4, 100,... Mximum liegt bei Definition Sei A X, (X, <) ngeordnete. Eine kleinste obere Schrnke von A heißt (wenn sie existiert) Supremum von A. Eine größte untere Schrnke heißt Infimum von A. Beispiel A = {q Q 2 < q 3} Q = X Supremum ist 3, Infimum ist -2. Schreibweise: mx(a), min(a), sup(a), inf(a) (wnn immer diese Elemente existieren) 2.8 Beispiel X = Q, B = {q Q q 2 2} B ht obere Schrnke, z.b. 2. Aber B ht in X = Q keine kleinste obere Schrnke, dh. B ht in Q kein Supremum. Wrum? Sei s Q obere Schrnke, dnn ist s 2 2. Folglich sogr s 2 > 2 (denn es gibt kein q Q mit q 2 = 2). Mn findet leicht ein n N, n 1, so dss s 1 uch noch obere Schrnke ist. Also gibt n es keine kleinste obere Schrnke. 14 getext: Juli Wolters

19 2.9 Definition Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Eine ngeordnete Menge (X, <) ht die Supremumseigenschft, wenn jede nicht leere Menge A X, die eine obere Schrnke ht uch eine kleinste obere Schrnke ht. Beispiel 2.8 sgt: Q ht nicht die Supremumseigenschft. Ds ist ein Nchteil von Q Definition Ein ngeordneter Ring heißt rchimedisch, wenn es zu jedem x R ein n N gibt, so dss n 1 = } {{ } x. n ml Stz Ist R ein ngeordneter Ring mit Supremumseigenschft, dnn ist R rchimedisch Lemm Ist R ein rchimedisch ngeordneter Körper, ε R, ε > 0, so gibt es n N, so dss 1 n ε. Beispiel der ngeordnete Ring (Z, 0, 1, <) ist rchimedisch, ht ber nicht die Supremumseigenschft Theorem Es gibt einen ngeordneten Körper mit Supremumseigenschft, den Körper R der reellen Zhlen. Ist R ein weiterer ngeordneter Körper mit der Supremumseigenschft, dnn gibt es eine bijektive Abbildung f : R R mit f(x + y) = f(x) + f(y) f(x y) = sowie x < y f(x) < f(y) für lle x, y R. R ist eindeutig bestimmt bis uf Isomorphie f(x) f(y) getext: Juli Wolters 15

20 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN UND ETWAS KOMBINATORIK 2.13 Definition Sei I N eine unendliche Menge von ntürlichen Zhlen. Eine reelle Folge mit Indexmenge I ist eine Abbildung c : I R die jedem Index i I eine reelle Zhl c(i) = c i zuordnet. In der Prxis ist oft I = N oder I = {1, 2, 3,...}. Häufige Schreibweise c = (c i ) i I. Beispiel Konstnte Folge c i = r R für lle i I. Definition Eine reelle Folge (c i ) i I konvergiert gegen eine reelle Zhl r R, wenn gilt: zu jedem ε > 0 in R gibt es n N, so dss c k r < ε für lle k I, k n gilt. Beispiele ) i = r für lle i (konstnte Folge) konvergiert gegen f: i r = w ε ist richtig für lle i I. b) I = {1, 2, 3,...}, b i = 1 i konvergiert gegen r = 0. Wähle 1 k ε für lle k n Nch Lemm 2.11 gibt es n N mit 1 ε. n Für k n ist 1 1, lso k n k = 1 k 1 ε für lle k n. n { 1 k gerde c) sei c k 1 k ungerde I = N k Die Folge konvergiert weder gegen 0, noch gegen 1. Ttsächlich konvergiert sie gegen keine reelle Zhl r) Stz Eine reelle Folge konvergiert höchstens gegen eine reelle Zhl. R 1 N getext: Juli Wolters

21 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Eine Folge ( k ) k I gegen r konvergiert, so heißt r der Grenzwert oder Limes der Folge, [ ] r = lim k = lim k k I k Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent Definition Eine Folge reeller Zhlen ( k ) k I heißt Folge!beschränkt (bzw. nch oben / unten beschränkt), wenn es ein s R gibt, so dss k s (bzw. k s) für lle k I. Stz Ist eine Folge konvergent, so ist sie beschränkt. Bemerkung Nicht jede beschränkte Folge ist konvergent! 2.16 Definition Eine reelle Folge heißt (streng) monoton wchsend (bzw. fllend), flls gilt: k < j k < j streng monoton wchsend k < j k j monoton wchsend k < j k > j streng monoton fllend k < j k j monoton fllend Stz Ist ( k ) k I monoton wchsend (oder fllend) und beschränkt, so konvergiert ( k ) k I. Der Stz sgt nicht, wie mn den Grenzwert findet! Beispiel c 0 = 0 c k+1 = 6 + c k Es gilt c k 3: stimmt für k = 0. Ist c k 3 c 2 k c k 9 c k 3 (Für lle k: 5 + c k 0 Induktion) getext: Juli Wolters 17

22 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN UND ETWAS KOMBINATORIK Die Folge wächst monoton: c k+1 = 6 + c k! 6 + c k 1 = c k us x y folgt x y. ist monoton. Ws ist der Grenzwert? Beobchtungen: Ist (c i ) i I eine reelle Folge, r R, m R, m > 0, so konvergiert die Folge (c i ) i I genu dnn gegen r, wenn gilt: Für jedes ε > 0 gibt es ein n N, so dss für lle k I, k n gilt: c k r ε m Denn: ist ε > 0 gegeben, wähle ε > 0, so dss ε m ε mit ε > 0. Dnn n N wie oben, so folgt für lle k n, dss 2.17 Definition c k r ε m ε lim k I c k = r. Sei I N unendliche Menge (z.b. I = N) Sei R I die Menge ller reellen Folgen mit Indexmenge I. R I ist eine reeller (unendlichdimensionler) Vektorrum, wenn wir für, b R I, s R setzten ( + b) k = k + b k (Summenfolge) ( s) k = k s Wir können uch gliedweise multiplizieren: ( b) k = k b k (Produktfolge) Mit dieser Multipliktion wird R I ein Ring mit Nullelement (0, 0, 0,...) und Einselement (1, 1, 1,...). Mn sgt R I ist eine (kommuttive) reelle Algebr Definition Sei c(i) R I die Menge ller konvergenten reellen Folgen. 18 getext: Juli Wolters

23 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Theorem Die Menge c(i) R I ist ein Untervektorrum und ein Unterring (eine Unterlgebr), dh.:, b c(i), s R + b c(i) b c(i) s c(i) Summen, Produkte und Vielfche von konvergenten Folgen sind konvergent. Für die Grenzwerte gilt lim ( + b) k k I = lim k + lim b k k I k I lim ( b) k k I = lim k lim b k k I ( k I ) sowie lim ( s) k k I = lim k k I s Mit nderen Worten: die Abbildung lim k I k, c(i) R ist ein Homomorphismus / eine linere Abbildung. Addentum Flls α 0 und flls k 0 für lle k I: lim k I k = α, so konvergiert ( ) 1 k gegen 1 α. Beispiel I = {1, 2, 3,...} = N \ {0} ) sei l N, l 1, k = 1 = 1 k l k 1 k... 1 }{{ k} l ml lim k I 1 k l = 0 k + k 5 1 b) b k = 3k 7 + 4k = + 1 k 8 k k 2 k diese Folge konvergiert gegen 9 lim b k = k I = lim 1 k 8 + lim 1 k 4 lim 3 k lim 1 k = 0 4 = 0 getext: Juli Wolters 19

24 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN UND ETWAS KOMBINATORIK 2.19 Definition Eine reelle Zhl r R heißt Häufungspunkt der Folge ( k ) k I, wenn für jedes ε > 0 die Menge {k I k r ε} unendlich ist Beispiel { 1 k gerde k = 1 0 und 1 sind beides Häufungspunkte der Folge. k ungerde k Klr: jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt. Definition Sei J I eine unendliche Teilmenge der Indexmenge I. Dnn heißt die Folge ( j ) j J Teilfolge der Folge ( j ) j I 2.20 Stz Sei ( k ) k I eine reelle Folge. Die Zhl α R ist genu dnn ein Häufungspunkt von ( k ) k I, wenn es J I gibt, so dss Bemerkung lim k = α. k J Flls die Folge ( k ) k I gegen α konvergiert, so ist α der einzige Häufungspunkt. Denn: Ist α β α + β, setzte ε =. Für k n gilt k α ε k β ε {k 4 I k β ε} ist dnn endlich β ist kein Häufungspunkt Stz von Bolzno-Weierstrß Jede beschränkte Folge ht einen Häufungspunkt (und dmit eine konvergente Teilfolge) Bemerkung Der im Beweis von Theorem 2.21 konstruierte Häufungspunkt t ist der kleinste Häufungspunkt: Angenommen t < t ist ebenflls ein Häufungspunkt. Setze ε = t t 3. Es gibt 20 getext: Juli Wolters

25 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer unendlich viele j I mit j t ε j < t ε für diese j. Diesen kleinen Häufungspunkt nennt mn Limes Inferior t = lim inf i I ( i ) = lim i i I Gnz ähnlich zeigt mn: es gibt einen größten Häufungspunkt einer beschränkten Folge, der Limes Superior 2.23 Bemerkung lim sup( i ) = lim i = mx{r R r ist HP der Folge} i I i I Ändert mn die Folge n endlich vielen Stellen, so ändert ds nichts n ihrem Konvergenzverhlten oder n ihrem Häufungspunkten. getext: Juli Wolters 21

26 3 Cuchyfolgen und Reihen Ist ( i ) i I eine reelle Folge mit Grenzwert lim i I n N, so dss für lle i I, i n gilt i = r, dnn gibt es zu jedem ε > 0 ein i r ε 2 Ist k, l n, so ist k l = k r + r l k r + l r ε 3.1 Definition Eine reelle Folge heißt Cuchyfolge (oder Fundmentlfolge), wenn es zu jedem ε > 0 ein n N gibt, so dss für lle k, l n gilt k l ε äquivlent: zu jedem ε > 0 gibt es n N, so dss k l ε fr lle k n Denn: k l = k n + n l k n + l n. Wir wissen schon: jede konvergente Folge ist eine Cuchyfolge. Ws ist mit der Umkehrung? 3.2 Cuchy-Kriterium für Folgen Jede reelle Cuchyfolge konvergiert. Die Eingenschft von R, dss jede Cuchyfolge reeller Zhlen einen Grenzwert ht, nennt mn die Vollständigkeit uf R. 22

27 3.3 Definition Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei ( n ) n N eine reelle Folge. Setze s k = k. Die Folge (s k ) k N heit Prtilsummenfolge der Folge ( n ) n N. Mn schreibt dfür symbolisch k = (s k ) k N Flls diese Folge (s k ) k N gegen r R konvergiert, schreibt mn k = r Ds Symbol k ht lso zwei Bedeutungen: Die Folge der Prtilsummen und eventuell den Grenzwert der Folge! 3.4 Lemm Ist q R, q < 1, so gilt lim n N q n = Die geometrische Reihe Für lle q R, q < 1 gilt: q k = 1 1 q 3.6 Cuchy-Kriterium zur Konvergenz von Reihen Die Reihe k konvergiert genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein n N gibt, so dss 3.7 Folgerung l k ε fr lle l n k=n Wenn die Reihe k konvergiert, dnn bilden die ( k ) k N eine Nullfolge. getext: Juli Wolters 23

28 KAPITEL 3. CAUCHYFOLGEN UND REIHEN Beispiele ) Die geometrische Reihe q k, q < 1 konvergiert und die (q k ) k N bilden eine Nullfolge. b) Die hrmonische Reihe k=1 1 k = 1 divergiert, obwohl ( ) 1 k+1 k k 1 eine Nullfolge ist. Denn = ( ) ( ) ( ) = = = 1 2 Die Folge der Prtilsummen ht lso keine obere Schrnke. Also konvergiert sie nicht. Wir stellen jetzt Konvergenzkriterien fr Reihen uf. ( Leibniz-Kriterium Ist ( k ) k N streng monoton fllende Nullfolge, dnn kovergiert die Reihe ( 1) k k (bechte k > 0 nch Vorussetzung) Beispiel Die lternierende hrmonische Reihe ( 1) k 1 k konvergiert nch dem Leibniz-Kriterium 3.8. Aber gegen welchen Grenzwert? k=1 3.9 Definition Eine Reihe k konvergiert bsolut, flls die Reihe k konvergiert. Stz Eine Reihe, die bsolut konvergiert, konvergiert. 24 getext: Juli Wolters

29 3.10 Definition Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei I eine unendliche Menge (z.b. I = N). Eine Eigenschft für fst lle i I, wenn es nur endliche viele Ausnhmen gibt. Fst lle ntürlichen Zhlen sind größer ls 1 Million ( ) Fst lle ntürlichen Zhlen sind durch 3 teilbr (f) Sind ( k ) k N und (b k ) k N reelle Folgen und gilt k b k fr fst lle k N, so konvergiert k genu dnn (bsolut), wenn die Reihe b k ds tut. Vorsicht: Die Grenzwerte können ber verschieden sein! 3.11 Mjornten-Kriterium Angenommen k b k fr fst lle k N. Wenn b k bsolut konvergiert, so konvergiert uch k bsolut. Mn nennt b k Mjornte von k Quotienten-Kriterium Wenn es ein q R gibt, 0 q < 1, so dss k+1 q k fr fst lle k, dnn konvergiert die Reihe k bsolut Wurzel-Kriterium Wenn es q R mit 0 q < 1 gibt und wenn fr fst lle k gilt dnn konvergiert die Reihe k bsolut. k k q, getext: Juli Wolters 25

30 3.14 Beispiele KAPITEL 3. CAUCHYFOLGEN UND REIHEN ) b) k=1 1 k 2 Denn: 2m+1 Wegen: k! k k konvergiert 1 1 k 2 k=2 m m=0 (2 m+1 2 m ) = 1 (2 1) = 1 (2 m ) 2 2 m 1 2 = 1 m konvergiert = 2 konvergiert! Denn: Wir betrchten ds Mjornten-Kriterium. Fr k 1 ist 2 m D nch Teil ) die Reihe k=1 konvergiert uch die Reihe c) Die Reihe k=1 k! k k = k k k k... k 2 k 2 2 k 2 k!. k k 1 k(k + 1) divergiert. konvergiert, bildet diese Reihe eine Mjornte, lso 1 Denn: > 1 fr k 1. k(k + 1) 2k Wenn diese Reihe 1 konvergieren wrde, wre sie eine Mjornte der Reihe k(k + 1) k=1 1 k=1 2k = k=1 k Die hrmonische Reihe konvergiert nicht Die Exponentilreihe Für lle x R konvergiert die Exponentilreihe Wir setzten exp(x) = 1 k! xk bsolut 1 k! xk ls die Exponentilfunktion. exp(0) = getext: Juli Wolters

31 3.16 Definition Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sind k und b k Reihen (nicht unbedingt konvergent). Sei r R. Wir setzten k + r k = b k = r k k + b k Mit dieser Verknüpfung bilden diese Reihen eine reellen (unendlichdimensionlen) Vektorrum, vlg Ebenflls us 2.17 folgt: Wenn die Reihen konvergieren α = k, β = b k so ist α r = r k k + b k = α + β Die konvergenten Reihen bilden lso einen Untervektorrum. Wenn mn einer konvergenten Reihe ihren Grenzwert zuordnet, erhält mn eine linere Abbildung vom Vektorrum der konvergenten Reihe in die reellen Zhlen. Es gilt ( m ) ( m ) 2m k b k = wobei c k = k j b k j. j=0 Motiviert durch diese Formel definieren wir ds Cuchy-Produkt von zwei Reihen ls ( ) ( ) k b k = c k c k mit c k = k j b k j Mn rechnet leicht nch, dss dieses Produkt kommuttiv, ssozitiv und distributiv ist. Die Reihen bilden mit dem Cuchy-Produkt einen Ring. j=0 getext: Juli Wolters 27

32 KAPITEL 3. CAUCHYFOLGEN UND REIHEN 3.17 Cuchyscher Produktstz Angenommen, die Reihen k und b k konvergieren bsolut. Sei c k ihr Cuchy- Produkt mit c k = k j b k j. Dnn konvergiert uch c k bsolut und für den Grenzwert gilt j=0 ( ) ( ) k b k = 3.18 Die Funktionsgleichung der Exponentilfunktion Sei exp(x) = 1 k! xk. Dies ist die Definition der Exponentilfunktion exp. Fr lle x, y R gilt: exp(x + y) = exp(x) exp(y). c k Fzit: exp ist ein Homomorphismus der Gruppe (R, +) in die Gruppe (R \ {0}, ). 28 getext: Juli Wolters

33 4 Reelle Funktionen und Stetigkeit 4.1 Definition Es sei A R eine Teilmenge. Wir sgen eine reelle Folge ( k ) k I liegt in A, flls lle k in A liegen. Flls die Folge konvergiert und flls ihr Grenzwert = lim k uch k I in A liegt, sgen wir: die Folge konvergiert in A. Eine Funktion (= Abbildung) f : A R heit stetig im Punkt α A, wenn gilt: fr jede Folge ( k ) k I in A mit Grenzwert lim k = α ist lim f( k ) = f(α). k I k I Flls f in jedem Punkt α A stetig ist, dnn heit f stetig. 4.2 Beispiel ) f konstnt: f(x) = c x A Konstnte Funktionen sind stetig. Denn: f( k ) = c = f(α). Wenn lso lim k = α gilt, so gilt ntrlich uch lim f( k ) = k I k I c = f(α). b) f(x) = x n n N ist stetig. Denn: Sei α A. Sei ( k ) k I irgendeine Folge in A mit Grenzwert α. Es gilt lim f( k ) = ( ) k I n lim ( n k ) 2.18 = lim k = α n = f(α) k I k I { 1, flls x Q c) A = R, f(x) = 0, sonst Dirichlet s Sprungfunktion Diese Funktion ist in keinem α R stetig. 1. Fll: α Q, f(α) = 1 setze k = k α / Q f( k ) = 0, lso ist lim f( k ) = 0 1 = f(α). 2. Fll: α R \ Q irrtionl Es gibt eine Folge (q k ) k I in Q. (dh. q k Q) mit Grenzwert α. f(q k ) = 1 lim f(q k ) = 1 0 = f(α). k I 29

34 KAPITEL 4. REELLE FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 4.3 Beobchtung Für A R. Sei R A die Menge ller Abbildungen von A nch R. Diese Menge R A wird ein reeller Vektorrum, wenn wir definieren für f, g R A, r R (f + g)(x) = f(x) + g(x) f + g R A (r f)(x) = r f(x) r f R A Mit diesen Verknüpfungen wird R A ein Vektorrum über R. Setzt mn so wird R A sogr ein Ring. Einselement ist f(x) = 1 = const. Nullelement ist f(x) = 0 = const. 4.4 Definition (f g)(x) = f(x) g(x), Die Menge ller stetigen Funktionen uf A R, A ist C(A, R) = {f : A R f stetig} Nch Beispiel 4.2 ist jedenflls C(A, R) Stz Die Menge C(A, R) ist ein reeller Vektorrum und ein Ring: Summen, Produkte und Vielfche von stetigen Abbildungen sind wieder stetig. 4.5 Beispiel ) Polynomfunktionen sind stetig. j R, n N f(x) = n x n + n 1 x n x + 0 Denn: x x n ist steig nch Beispiel 4.2b, lso ist eine Polynomfunktion eine Linerkombintion stetiger Funktionen und deshlb stetig. b) Angenommen 0 / A, f(x) = 1. Dnn ist f stetig uf A. x Denn: Sei α A, sei ( k ) k I eine Folge in A. Dnn ist k, α 0 für lle k I, lso gilt lim 1 k I k }{{} lim f( k) k I = 1 nch }{{} α f(α) 30 getext: Juli Wolters

35 4.6 Stz Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Seien f : A R und g : B R stetig mit f(a) B. Dnn ist g f : x g(f(x)) stetig Vorsicht: Bechte den Unterschied zwischen (f g)(x) = f(x) g(x) und (f g)(x) = f(g(x)). Beispiel Angenommen f ist stetig und f() 0 für lle A. Dnn ist uch 1 f (x = ) 1 f(x) stetig: Betrchte g(x) = 1 x, 1 f = g f. 4.7 Beobchtung Ist f : A R eine Abbildung. B A, dnn knn mn die Einschränkung von f uf B betrchten f B : B R, x f(x) Einschränkungen von stetigen Funktionen sind wieder stetig (klr). Klr: es gilt (f + g) B = f B + g B (f g) B = f B g B (r f) B = r f B Fzit: f f B : R A R B, C(A, R) C(B, R) ist eine linere Abbildung ein Ringhomomorphismus. 4.8 Definition Für, b R, < b ist [, b] = {x R x b} ds bgeschlossene Intervll von und b. (, b) =], b[= {x R < x < b} ds offene Intervll von und b. 4.9 Zwischenwertstz Sei A = [, b] R bgeschlossenes Intervll und sei f : A R stetig. Dnn gibt es zu jedem y R zwischen f() und f(b) (dh. f() y f(b) oder f(b) y f()) ein x A mit f(x) = y. Jeder Wert y zwischen f() und f(b) wird von f ngenommen. getext: Juli Wolters 31

36 KAPITEL 4. REELLE FUNKTIONEN UND STETIGKEIT () Zwischenwertstz (b) stetige Umkehrfunktion Abbildung 4.1: stetige Funktionen 4.10 Stz Sei [, b] bgeschlossenes Intervll, f : A R sei stetig und monoton wchsend (us s < t folgt f(s) < s(t). Dnn ht f eine stetige Umkehrfunktion g : [f(), f(b)] A. dh. }{{} =B f g = id B (f g)(x) = x fr lle x B g f = id A (g f)(x) = x fr lle x A. Exkurs der Umkehrfunktion g Weil f stetig monoton, ist f injektiv. Fr x b ist f() f(x) f(b) (Monotonie). Also ist f(a) B = [f(), f(b)]. Nch dem Zwischenwertstz 4.9 gibt es zu jedem y B ein x A mit f(x) = y. Zu jede, y B gibt es folglich genu ein x A mit f(x) = y. Definiere g(y) = x f(g(y)) = y, g(f(x)) = x Anwendung (Stetigkeit der llgemeinen Wurzelfunktion) Sei A = [0, r], r > 0, f(x) = x n fr n N, n 1. f(x) = x n ist stetig nch Beispiel 4.5. Fr t > 0 ist f(x + t) = (x + t) n = x n + nx n 1 t nx t n 1 }{{} 0 + t n }{{} >0 Also ist f streng monoton. Nch 4.10 ht f eine stetige Umkehrfunktion g : [0, r n ] [0, r], y n y 32 getext: Juli Wolters

37 4.12 Stz von Weierstrß Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei A = [, b] R, sei f : A R stetig. Dnn ist f(a) wieder ein bgeschlossenes Intervll, dh. es gibt c, d R mit f([, b]) = [c, d]. Insbesondere nimmt f ein Minimum und Mximum n Beispiel ) f(x) = x 2, A = [ 1, 3] f(a) = [0, 9] b) f(x) = 1, A = [1, 4] x f(a) = [ 1, 1] 4 c) f(x) = 1, A = {x R x 1} x f(a) = {y R 0 < y 1} kein Minimum (und A ist kein bgeschlossenes Intervll der Form A = [, b]) 4.14 Definition Sei I N unendlich. Eine Folge von Funktionen (f k ) k I (mit Indexmenge I) ist eine Abbildung I R A k f k : A R. Jedes Folgeglied f k ist lso eine Funktion f k : A R, wobei A R fest gewählt ist. Flls es f : A R gibt und flls für jedes x A gilt lim f k (x) = f(x), k I so konvergiert die Folge (f k ) k I punktweise gegen f. Beispiel A = [0, 1], f k (x) = x k, k N lim f k (x) = lim x k = k N k N { 0 fr 0 x < 1 1 fr x = 1 Also konvergiert diese Folge stetiger Funktionen punktweise gegen die unstetige Funktion { 0 fr 0 x < 1 f(x) = 1 fr x = 1. getext: Juli Wolters 33

38 KAPITEL 4. REELLE FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Diese Funktionenfolge (f k ) k I konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion f, wenn folgendes gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es n N, so dss f k (x) f(x) ε fr lle k n und lle x A. Klr: us gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz! 4.15 Stz Ist A R und (f k ) k N eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmig gegen eine Funktion f konvergiert, dnn ist f ebenflls stetig Definition Sei ( n ) n N eine Folge reeller Zhlen. Sei p n (x) = x + 2 x n x n = n k x k Die Folge (p n ) n N stetige Funktion (uf R) heit Potenzreihe, schreibe (p n ) n N = n k x k { lim sup n N n n, wenn n n beschrnkt Sei L =., sonst 0, flls L = 1 Sei R =, flls L, L 0. L, flls L = 0 Stz Mit dieser Bezeichnung gilt: Für x < R konvergiert die Reihe Für x > R divergiert die Reihe n n k x k bsolut. k x k. Mn nennt R den Konvergenzrdius der Potenzreihe. 34 getext: Juli Wolters

39 4.17 Theorem Sei Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer k x k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R. Fr lle 0 < r < R konvergiert k x k gleichmäßig uf dem Intervll A = [ r, r]. Insbesondere ist x k x k stetig uf ] R, R[= {x R R < r < R} 4.18 Beispiel ) Die Exponentilreihe exp(x) = 1 k! xk konvergiert für jedes x R (vgl. 3.15) Es folgt R =. Nch Theorem 4.17 ist x exp(x) stetig uf gnz R. b) x k = 1 flls x < 1 1 x Konvergenzrdius ist R = 1, denn k = 1. Fr x = 1 ist die Reihe divergent. c) Die trigonometrischen Funktionen cos(x) = sin(x) = ( 1) k x2k (2k)! ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! Mit dem Quotienten-Kriterium 3.12 sieht mn direkt, dss beide Reihen fr jedes x R (bsolut) konvergieren. Also hben beide Reihen den Konvergenzrdius R =, dh. sin und cos sind uf gnz R stetig. Aus der Definition sehen wir cos( x) = cos(x) Weiter gelten folgende Additionstheoreme sin( x) = sin(x) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Beweis der Additionstheoreme: Rechte Seite mit Cuchy-Produkt usrechnen. Sei α die kleinste positive Zhl mit cos(α) = 0, definiere π R durch π = 2 α π = 3, Fr sin zeigt mn hnlich sin(x) 0 fr 0 x 3. Nun ist cos(0) = 1 = cos(x) cos( x) sin(x) sin( x) = cos(x) 2 + sin(x) 2 getext: Juli Wolters 35

40 KAPITEL 4. REELLE FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 1 sin(x) cos(x) 1 (cos(x),sin(x)) 1 cos ( ) π 2 = 0 (Nch Definition von π) sin ( ) ( π 2 0 sin π ) 2 = 1 Mit den Additionstheoremen folgt nun 2 π-perioditt ( sin x + π ) ( = cos(x) cos x + π ) = sin(x) 2 2 sin (x + π) = sin(x) cos (x + π) = cos(x) sin (x + 2π) = sin(x) cos (x + 2π) = cos(x) 36 getext: Juli Wolters

41 5 Integrtion Idee: Bestimme Flächeninhlt unter Funktionen. () Riemnn-Integrl: pproximieren f durch einfche Funktionen Abbildung 5.1: Flächeninhlt einfcher Funktionen 5.1 Definition Eine Funktion f : A R heißt beschränkt, wenn f(a) R beschränkt ist (dh. es gibt ein K R, so dss f(x) K gilt für lle x A Die Menge B(A, R) = {f : A R f ist beschränkt } ller beschränkten Funktionen uf A ist ein Vektorrum und Ring. 37

42 KAPITEL 5. INTEGRATION 5.2 Folgerung Ist A = [, b] und ist f stetig, dnn gilt nch dem Stz von Weierstrß 4.12 f([, b]) = [c, d], lso f B([, b], R), lso C([, b], R) B([, b], R) Bechte: Beschränkte Funktionen sind nicht unbedingt stetig. 5.3 Definition Ist f B(A, R), so setzen wir Diese Zhl heit Supremumsnorm von f. sup{ f(x) x A} = f Stz (Eigenschften der Supremumsnorm) Sei f, g B(A, R), sei r R. Dnn gilt (i) f = 0 f(x) = 0 = const (ii) f + g f + g (Dreiecksungleichung) (iii) r f = r f (iv) f g f g 5.4 Lemm Sei (f k ) k I. Folge in B(A, R). Dnn sind äquivlent. (i) die Folge (f k ) k I konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f B(A, R) (ii) lim k I f k f = 0 für ein f B(A, R) 5.5 Definition Eine Folge (f k ) k I in B(A, R) heißt Cuchyfolge, wenn es zu jedem ε > 0 ein n N gibt, so dss für lle l, m n gilt: f l f m 38 getext: Juli Wolters

43 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Stz Ist (f k ) k I eine Cuchyfolge in B(A, R), dnn konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen ein f B(A, R). Mn sgt dfür: (B(A, R), ist ein vollständig normierter Vektorrum oder Bnchrum Anlysis II. 5.6 Definition Eine Zerlegung des Intervlls [, b] R ist eine endliche Folge = 0 < 1 <... < r = b, Z = { = 0 < 1 <... < r = b}. Die Zerlegung Z von [, b] heißt feiner, wenn Z Z. Sind Z 1, Z 2 Zerlegungen von [, b], dnn sind uch Z 1 Z 2 sowie Z 1 Z 2 wieder Zerlegungen von [, b]. Eine Abbildung f : [, b] R heißt Stufenfunktion (Treppenfunktion) bzgl. Z, flls gilt: b = 4 { yk f(x) = k < x < k+1 b k flls x = k Klr: Stufenfunktionen sind beschränkt. Ist Z U feiner ls Z und ist f eine Stufenfunktion bzgl. Z, dnn ist f uch eine Stufenfunktion bzgl. Z. 5.7 Lemm f + g Sind f, g : [, b] R Stufenfunktionen bzgl. Zerlegungen Z 1 und Z 2, dnn ist f g ebenflls Stufenfunktion bzgl. Z 1 Z 2. Ebenflls sind f : x f(x) sowie r f : x r f(x) Stufenfunktionen. Also ist die Menge Step([, b], R) ller Stufenfunktionen ein Vektorrum und Ring Step([, b], R) = {f : [, b] R f Stufenfunktion } ist ein Vektorrum Step([, b], R) B([, b], R). getext: Juli Wolters 39

44 KAPITEL 5. INTEGRATION 5.8 Definition Sei f : [, b] R Stufenfunktion bzgl. der Zerlegung Z = { 0 < 1 <... < r = b} { yk f(x) = k < x < k+1 b k x = k Ds Integrl von f ist b f(x)dx = r y k ( k k 1 ) k= Beobchtungen Ist Z Z eine feinere Zerlegung, so enthält mn den gleichen Wert fr ds Integrl (Induktion über #Z #Z, betrchte den Fll, dss eine zusätzliche Stützstelle dzu kommt). Sind f, g Stufenfunktionen bzgl. einer (gemeinsmen) Zerlegung Z, so ergibt sich b b b (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx Für r = R gilt r b f(x)dx = b r f(x)dx. Die Abbildungen Step([, b], R) R, f Linerform / ein Element des Dulrums von Step([, b], R) b f(x)dx ist eine linere Abbildung / eine 40 getext: Juli Wolters

45 5.9 Lemm Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sind f, g Step([, b], R), dnn gibt es b b (f(x) g(x))dx f(x) g(x) dx f g (b ) 5.10 Definition Eine Funktion f B([, b], R) heißt Regelfunktion, wenn es eine Folge (f k ) k I von Stufenfunktion gibt, die gleichmäßig gegen f konvergiert, dh. lim k I f f k = 0. Sei R([, b], R) die Menge der Regelfunktionen Stz Es gilt folgendes () R([, b], R) ist ein Vektorrum und Ring (b) Flls (f k ) k I und (g k ) k I Folgen von Stufenfunktionen sind, die gegen die gleiche Regelfunktion f gleichmäßig konvergieren, dnn ist lim f k g k = 0 k I (c) Ist (h k ) k I Folge von Regelfunktionen, die gleichmäßig gegen h B([, b], R) konvergiert, dnn ist h wieder eine Regelfunktion. Die Menge ller Regelfunktionen ist der Abschluss der Menge der Stufenfunktionen im Rum B([, b], R) 5.12 Definition (Ds Riemnnintegrl) Sei f R([, b], R) Regelfunktion. Sei (f k ) k I eine Folge von Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen f konvergieren. Dnn ist b f(x)dx = lim k I b f k (x)dx getext: Juli Wolters 41

46 KAPITEL 5. INTEGRATION Diese Definition ist sinnvoll: ) Der Grenzwert existiert: (f k ) k I konvergiert gleichmäßig gegen f, ist lso Cuchy-Folge, dh. zu jedem ε > 0 gibt es n N, so dss f k f l ε für lle k, l > n b (f k (x) f l (x))dx f k f l (b ) ( f k (x)dx ) k I ist eine Cuchyfolge reeller Zhlen, lso konvergiert. b) Der Grenzwert hängt nicht von der gewählten Folge (f k ) k I b: Um ds zu sehen, wählen wir für jedes k N, k 1 g k Step([, b], R), so dss g k f k 1 k Fr k I gilt dnn stets b b f k (x)dx g k (x)dx f k g k (b ) f k f + f g k (b ) ε fr k n }{{} 1 k 2 ε(b ) fr k n, 1 ε lim k I b f k (x)dx = lim k I b b g k (x)dx = lim g(x)dx k N Also ergeben lle Folgen, die f pproximieren, den gleichen Grenzwert Beispiel f(x) = mx + t. Ws ist b f(x)dx? ) Beweis Mittelstufe Flcheninhlt A = (b ) h = m 2 (b2 2 ) + (b ) t h = 1 2 (f() + f(b)) = 1 2 (m + t + bm + t) = m ( + b) t 2 42 getext: Juli Wolters

47 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Abbildung 5.2: Flächeninhlt von Funktionen bestimmen b) Beweis Oberstufe Stmmfunktion F mit F = f, F (x) = 1 2 mx2 + tx A = F (b) F () = m 2 ( b 2 2) + t(b ) c) Beweis Anlysis I Stufenfunktion Z n Zerlegung { Z n = 0 = < 1 = b n < 2 = + 2 b n n <... < b = + n b } n f n (x) = m k t fr k x < k+1 f f n m b n die Folge (f n ) n N konvergiert gleichmig gegen f. b f n (x)dx = = = n 1 (m k + t) b n n 1 ( ( m + k b n n 1 ( m b n ) ) b + t n ( ) ) 2 b + m k + t b n n (b )2 n(n 1) = m (b ) + m + t(b ) n 2 2 (b )2 (n 1) = m (b ) + t(b ) + m 2 n getext: Juli Wolters 43

48 KAPITEL 5. INTEGRATION Im Grenzwert b f(x)dx = m (b 2 (b )2 ) + t(b ) + m 2 = m 2 (b2 2 ) + t(b ) Alle drei Verfhren liefern ds gleiche Ergebnis, ber ds dritte Verfhren ist viel zu kompliziert! Wir bruchen Methoden zur Berechnung von Integrlen Studieren von Ableitungen und Stmmfunktionen Ds Verfhren von eben (5.13c) funktioniert für lle stetigen Funktionen, wie wir jetzt überlegen Definition Sei f : [, b] R stetig. Sei Z n die Zerlegung { Z n = 0 = < 1 = b n < 2 = + 2 b n n <... < b = + n b } n Sei f n Stufenfunktion zur Zerlegung Z n f n (x) = f( k ) fr k x < k+1. Abbildung 5.3: Zerlegung einer Stufenfunktion 44 getext: Juli Wolters

49 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Stz Die Folge (f n ) n N von Stufenfunktionen konvergieren gleichmäßig gegen die stetige Funktion f. Bemerkung Der Stz liefert nun ein numerisches Verfhren zur näherungsweisen Berechnung eines Integrls: 5.15 Lemm b n 1 f(x)dx f( k ) b n k = + k b n Sei f, g R([, b], R) mit f(x) g(x) für lle x [, b]. Dnn gilt b f(x)dx b g(x)dx 5.16 Stz (Eigenschften des Riemnn-Integrls) Sei f, g R([, b], R), sei r R. Dnn gilt b (f + g)(x)dx = b b f(x)dx + g(x)dx b b r f(x)dx = r f(x)dx sowie b f(x)dx b b f(x) dx f dx = f (b ) Insbesondere ist R([, b], R) R, f Funktionl / ein Element des Dulrums von R([, b], R) Fzit Wir hben folgende Hierrchie von Vektorräumen b f(x)dx eine linere Abbildung / ein lineres getext: Juli Wolters 45

50 KAPITEL 5. INTEGRATION B([, b], R) R([, b], R) C([, b], R) Step([, b], R) {konst.f unktionen} =R Ds sind lles integrierbre Funktionen. Die Räume, mit Ausnhme von Step([, b], R), sind bgeschlossen unter Grenzwerten bzgl. gleichmäßiger Konvergenz Stz (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei p R([, b], R), f C([, b], R), p(x) 0 für lle x [, b]. Dnn gibt es t [, b], so dss b b f(x)p(x)dx = f(t) p(x)dx Spezilfll p(x) = 1 = const b f(x)dx = f(t)(b ) Abbildung 5.4: Mittelwertstz 46 getext: Juli Wolters

51 6 Differentition 6.1 Definition Eine Menge U R heißt offen, wenn sie folgende Eigenschften ht. Fr jedes x U gibt es r > 0, so dss (x r, x + r) = {t R x r < t < x + r} in U liegt. Mit nderen Worten: U ist eine Vereinigung von (unendlich vielen) offenen Intervllen. Beispiele R, sind offen. offene Intervlle (, b) = {t R < t < b} sind offen. Vereinigungen von offenen Mengen sind offen. z.b. (0, 3) (5, 11) Q ist nicht offen. R \ Q ist nicht offen. [, b] = {t R t b} ist nicht offen. 6.2 Definition Sei U R offen und sei f : U R eine linere Abbildung. Sei x 0 U. Wir sgen die Funktion f ist differenzierbr im Punkt x 0, wenn folgendes gilt: Es gilt eine Funktion p : ( r, r) R, die stetig ist im Punkt 0, so dss p(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h existiert, wenn h gegen 0 kon- fr lle h ( r, r), h 0. Dbei sei r > 0 so gewählt, dss (x 0 r, x 0 + r) U. Mit nderen Worten: der Grenzwert f(x 0 + h) f(x 0 ) h vergiert. 47

52 KAPITEL 6. DIFFERENTIATION f(x 0 + h) f(x 0 ) Der Wert p(0) = lim heißt dnn die Ableitung von f im Punkt x 0. h 0 h Häufige Schreibweise: p(0) = f (x 0 ) = df dx = f(x 0 ) x x0 Bemerkung: Der Wert der Ableitung f (x 0 ) hängt nicht von r > 0 oder von P b. Stetigkeit von p Denn p(0) = lim p ( ( ) f x0 + 1 n>1 n) 1 = lim n f(x0 ) n>1 1. n Wenn f in x 0 differenzierbr, dnn ist f in x 0 stetig. 6.3 Definition Sei U R offen, f : U R eine Abbildung. Wenn f in jedem Punkt x 0 U differenzierbr ist, dnn heißt f differenzierbr uf U und f : U R, x f (x) heißt Ableitung von f. Bechte: Differenzierbre Funktionen sind stetig. 6.4 Beispiele f(x + h) f(x) ) f(x) = c = const h p(h) = 0 f (x) = p(0) = 0 b) f(x) = m x + 1 = c c h = 0 f(x + h) f(x) h = m(x + h) + 1 mx 1 h = m h h = m c) f(x) = x 2 f(x + h) f(x) h = (x + h)2 x 2 h p(h) = 2x + h ist stetig n der Stelle h = 0. p(0) = 2x = f (x). = 2hx + h2 h = 2x + h 48 getext: Juli Wolters

53 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer d) U = R \ {0}, f(x) = 1 x p(h) = 1 x(x + h) p(0) = 1 x 2 = f (x). f(x + h) f(x) h = ist stetig in h = 0 1 x+h 1 x h = x (x + h) x(x + h)h = 1 x(x + h) e) U = R, f(x) = x = { x, x > 0 x, x < 0 f(x + h) f(x) h = x + h x h 1. Fll: x > 0. Fr h < x ist uch x + h > 0 x + h x = 1 = p(h) ist stetig in h = 0, lso ist f (x) = 1 fr x > 0 h 2. Fll: x < 0. Fr h < x ist x + h < 0. (x + h) + x = h h h = 1 = p(h) ist stetig in h = 0, lso ist f (x) = 1 fr x < Fll: x = 0. f(x + h) f(x) = h 0 = h { 1, h > 0 h h h = 1, h < 0 = p(h). ( lim p 1 ) n 1 n lim n 1 p ( ) 1 n Diese Funktion knn nicht stetig sein, lso ist f(x) = x im Punkt x = 0 nicht differenzierbr. Bemerkung Es gibt stetige Funktionen f : R R die im keinen Punkt x R differenzierbr sind. 6.5 Stz Sei U R offen, sei x 0 U, sei r > 0, so dss (x 0 r, x 0 + r) U. Dnn ist f genu dnn differenzierbr in x 0, wenn es eine Abbildung ϕ : ( r, r) R gibt mit ϕ(0) = 0. ϕ ist stetig in h = 0 und f(x 0 + h) = f(x 0 ) + h c + hϕ(h) fr eine Konstnte x fr lle h ( r, r). Dnn gilt c = f (x 0 ), f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + hϕ(h). Fzit: f(x 0 + h) f(x 0 ) + hf (x 0 ) getext: Juli Wolters 49

54 KAPITEL 6. DIFFERENTIATION 6.6 Rechenregeln für Ableitungen Seien f, g Funktionen uf der offenen Menge U R, die beide in x 0 U differenzierbr sind. Dnn sind uch f + g, f g, r f (für r R), sowie f (flls g keine Nullstelle in U g ht) differenzierbr in x 0 und es gilt (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (f r) (x 0 ) = r f (x 0 ) ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 ) 2 ( ) 1 Insbesondere ist (x g 0 ) = g (x 0 ) g(x 0 ) Definition Eine Funktion f : U R heißt stetig differenzierbr, wenn sie in jedem Punkt differenzierbr ist und wenn ihre Ableitung f wieder stetig ist. C 1 (U, R) = {f : U R f ist stetig differenzierbr} C 1 (U, R) ist nch den vorherigen Rechenregeln ein Vektorrum und ein Ring. Die Abbildung d dx : f f ist eine linere Abbildung C 1 (U, R) C(U, R). Allerdings heit f k-ml stetig differenzierbr, k 1, wenn mn f k-ml bleiten knn und diese Ableitung stetig sind. C k (U, R) = {f : U R f ist k ml stetig differenzierbr} C(U, R) C 1 (U, R) C 2 (U, R) C 3 (U, R).... Die Funktionen mit Durchschnitt dieser Kette von Vektorräumen heißen gltte Funktionen C (U, R) = k 1C k (U, R) oder C Funktionen 50 getext: Juli Wolters

55 6.8 Beispiele Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer ) U = R, n N, f(x) = x n n = 0 f (x) = 0 n = 1 f (x) = 1 n = 2 f (x) = 2x Allgemein: f (x) = n x n 1 (n 1) Mit Induktion: g(x) = x n 1, f(x) = x n = xg(x), (n 2) Mit der Produktregel folgt f (x) = g(x) + xg (x) = x n 1 + x(n 1)x n 1 = nx n 1 b) U = R \ {0}, n N, n 1, f(x) = 1 = x n x n Quotientenregel: f (x) = nxn 1 x n x = n 1 = n n x (n+1) xn+1 Fzit: Fr U = R \ {0}, m Z, f(x) = x m gilt immer c) f(x) = exp(x), U = R, exp(x) = lso ist g(h) = f (x) = m x m 1 1 k! xk p(h) = f(x + h) f(x) exp(x + h) exp(x) = h h = exp(x) exp(h) exp(x) = exp(h) 1 exp(x) h h exp(h) 1 = 1 k! hk = h h k=1 = 1 h k! hk 1 = h k=1 1 (k + 1)! hk, 1 (k+1)! hk eine stetige Funktion (weil Potenzreihe). g(0) = 1 p(h) = h g(h) exp(x) = g(h) exp(x) h Die rechte Seite ist stetig in h = 0 und es gibt dort exp(x), exp = exp, exp ist gltte Abbildung. Fr sin und cos knn mn mit den Additionstheoremen ähnlich rgumentieren. sin = cos cos = sin getext: Juli Wolters 51

56 KAPITEL 6. DIFFERENTIATION Allgemein gilt: ist k x k = f(x) Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, dnn ist f gltt und f (x) = k+1 (k + 1)x k 6.9 Stz (Kettenregel) Sei f : U R, g : V R Funktionen mit U, V R offen, f(u) V, f(x 0 ) = y 0. Wenn f in x 0 differenzierbr ist und g in y 0 differenzierbr ist, dnn ist g f in x 0 differenzierbr mit Ableitung (g f) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) 6.10 Anwendung (Extrem) Erinnerung: Wir sgen f ht Extrem (Minimum / Mximum) in x 0, flls entweder f(x 0 ) f(x) für lle x gilt, oder f(x 0 ) f(x) für lle x. Stz Wenn f : U R in x 0 differenzierbr ist, und wenn f in x 0 ein Extrem ht, dnn gilt f (x 0 ) = 0. Ist lso f : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr, dnn sind die einzigen Kndidten fr Extrem die Rndpunkte, b sowie lle x (, b) mit f (x 0 ) = 0. Beispiel f(x) = x 4 4x 3 uf [ 2, 4]. Rndpunkte: f( 2) = 48, f(4) = 0 Ableitung f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) Ableitung ht Nullstellen in 0 und 3, f(0) = 0, f(3) = 27 Mximum in x = 2, Minimum in x = Stz von Rolle Sei f : [, b] R stetig, f sei differenzierbr uf (, b) und es sei f() = f(b). Dnn gibt es ein x 0 (, b) mit f (x 0 ) = getext: Juli Wolters

57 Anlysis 6.12 Theorem (Mittelwertstz der Differentilrechnung) Prof. Dr. Linus Krmer Ist f : [, b] R stetig, f differenzierbr uf (, b), dnn gibt es x 0 (, b) mit 6.13 Folgerung f(b) f() b Sei f : (, b) R differenzierbr uf (, b). = f (x 0 ) ) Flls f (x) 0 fr lle x (, b), so ist f monoton steigend. b) Flls f (x) 0 fr lle x (, b), so ist f monoton fllend. c) Flls f (x) = 0 fr lle x (, b), so ist f konstnt Stz (Verllgemeinerter Mittelwertstz) Seien f, g : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b). Dnn gibt es x 0 (, b) mit Der Mittelwertstz ist Spezilfll g (x) = x. f (x 0 )(g(b) g()) = g (x 0 )(f(b) f()) 6.15 Anwendung (Regel von l Hopitl) Problemstellung: f, g : [, b] R stetig. f() = 0 = g(), g(x) 0 fr x. Wie verhlt sich der Quotient f (x) nhe x =? g (x) z.b. [, b] = [0, 1], f(x) = x, g(x) = sin(x) Stz von l Hopitl Seien f, g : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b) mit f() = 0 = g(). Fr x sei g(x) 0, sowie g (x) 0. Wenn sich die Funktion f (x) stetig im Punkt x = fortsetzten g (x) lsst, dh. wenn es eine stetige Funktion p : [, b] R gibt, so dss p(x) = f (x) fr x, g (x) dnn lsst sich uch f(x) stetig in x = fortsetzen durch den Wert p(), kurz g(x) f (x) lim x g (x) = lim f(x) x g(x) getext: Juli Wolters 53

58 KAPITEL 6. DIFFERENTIATION 6.16 Grenzwert von Funktionen Die Schreibweise lim f(x) bedeutet folgendes: x Sei f : A R eine Funktion, sei R ein Punkt. Weiter nehmen wir n: es gibt wenigstens eine Folge in A, die gegen konvergiert (z.b. A = (, b) oder A = (r, r + ) \ {}). Dnn bedeutet lim f(x) = c: Für jede Folge (x n ) n I in A mit Grenzwert gilt lim f(x n ) = x n I c. Andere Formtierungen mit Stetigkeit: Es gibt eine Funktion p : A {} R, die in stetig ist und f(x) = p(x) für lle x A. Mn sgt, p setzt f stetig fort im Punkt. Ds km vor z.b. bei f (x)lim, denn wir htten gesgt p : ( r, r) R soll stetig f(x+h) f(x) n 0 h sein in h = 0 und p(h) = f(x+h) f(x) h für h getext: Juli Wolters

59 7 Huptsätze der Differentil- und Integrlrechnung 7.1 Vorüberlegung Ist f : [, b] R eine Regelfunktion und ist u < u b, dnn ist uch die Einschränkung von f uf ds Intervll [u, v] eine Regelfunktion. Also können wir v u f(x)dx berechnen. Denn: Fr jedes ε > 0 gibt es eine Stufenfunktion g Step([, b], R) mit f g ε. Nun ist die Einschränkung von g uf [u, v] eine Stufenfunktion uf [u, v]. Für lle x [u, v] ist g(x) f(x) ε, lso gilt f [u,v] g [u,v] ε Also ist f [u,v] durch Stufenfunktionen pproximiert und folglich eine Regelfunktion. 7.2 Stz Sei f : [, b] R Regelfunktion, sei < c < b. Dnn ist b c b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx c 7.3 Konventionen v u u f(x)dx = 0 und fr u < v u f(x)dx = f(x)dx v v 55

60 KAPITEL 7. HAUPTSÄTZE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Mit diesen Konventionen gilt für lle u, v, w [, b] v f(x)dx + w f(x)dx = w f(x)dx (unbhngig von der Reihenfolge von u, v, w) u v u 7.4 Definition x Sei f : [, b] R stetig. Sei x 0 [, b]. Sei F (x) = f(t)dt x 0 Theorem (1. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei F wir oben definiert. Dnn ist F stetig uf [, b] und differenzierbr uf (, b) und F (x) = f(x) für lle x (, b). 7.5 Definition Sei U R offen, f : U R Abbildung. Eine differenzierbre Abbildung F : U R heißt Stmmfunktion von f, wenn gilt F = f. Bemerkung Ist F Stmmfunktion von f und c R, dnn ist uch F + c = [x F (x) + c] eine Stmmfunktion. Stmmfunktionen sind lso nicht eindeutig. Lemm Ist U = (, b) und sind F, F zwei Stmmfunktionen für f, dnn ist F F = const. 7.6 Theorem (2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Wenn F : [, b] R stetig und wenn F uf (, b) eine Stmmfunktion von f ist (dh. F (x) = f(x) fr lle x (, b)). Dnn gilt für lle u, v [, b] v u f(x)dx = F (v) F (u) = F (x) v x=u 56 getext: Juli Wolters

61 7.7 Beispiel F (x) = 1 n + 1 xn+1 n Z, n 1 F (x) = x n (x 0, flls n < 0) Fr n 0 gilt folglich Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer v u x n dx = F (x) v u = 1 [ v n+1 u n+1] n + 1 Fr n < 0 und u, v > 0 oder u, v < 0 gilt ebenflls die Formel. Sei m 2, m N v n 1 x = 1 [ 1 m m 1 u 1 ] m 1 v m 1 Problem: Ws ist die Stmmfunktion von f(x) = 1 x? Weitere Beispiele v u v u v u sin(x)dx = cos(x) v x=u = cos(u) cos(v) cos(x)dx = sin(x) v x=u = sin(v) sin(u) exp(x)dx = exp(x) v x=u = exp(v) exp(u) 7.8 Stz Sei (f n ) n I eine Folge von Regelfunktionen uf [, b], die gleichmäßig gegen f : [, b] R konvergiert. Dnn gilt lim n I b f n (x)dx = b f(x)dx getext: Juli Wolters 57

62 7.9 Stz KAPITEL 7. HAUPTSÄTZE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Sei f(x) = n x n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Dnn ist n=0 F (x) = n=0 n n + 1 xn+1 eine Stmmfunktion (und die Potenzreihe konvergiert fr lle x ( R, R)). Anwendungen exp = exp Denn: exp(x) = 1 n! xn = f(x) 7.9 F (x) = 1 1 n! n+1 xn+1 = n=0 lso ist (exp(x) + 1) = exp(x) exp = exp. Gnz genuso folgt: 7.10 Stz sin = cos, n=0 cos = sin n=0 1 (n+1)! xn+1 = exp(x) 1, Sei (f n ) n I eine Folge von stetig differenzierbren Funktionen uf (, b), dh. f n C 1 ((, b), R) Flls die Folge (f n) n I gleichmäßig gegen g : (, b) R konvergiert und flls (f n ) n I punktweise gegen G : (, b) R konvergiert, dnn ist G stetig differenzierbr mit Ableitung g = G Stz Sei f(x) = n x n Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Dnn ist f(x) gltt und n=0 f (x) = (n 1) n+1 x n mit dem gleichen Konvergenzrdius R. n= Integritätskriterien (Finden von Stmmfunktionen) (i) Prtielle Integrtion b f (x) g(x)dx = (f(x) g(x)) b x= b f(x)g(x) dx 58 getext: Juli Wolters

63 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Ds ist einfch die Produktregel rückwärts gelesen: b b b (f(x)g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx }{{} = (f(x) g(x)) b x= b Beispiel: }{{} x cos(x) dx = (x sin(x)) b }{{} x= 1 sin(x) dx = (x sin(x) + cos(x)) b x= =:g =:f Probe: F (x) = x sin(x) + cos(x) F (x) = sin(x) + x cos(x) sin(x) = x cos(x) ( ) (ii) Integrtion durch Substitution b b f(g(t))g (t)dt = g(b) g() F (x)dx Denn: F ist Stmmfunktion von f b (F g) (t)dt = (F g) = (F g) g (Kettenregel) b F (g(t))g (t)dt Huptstz = F (g(t)) b t= = g(b) f(x)dx g() b Beispiel: t 2 cos(4t 3 )dt = b 3 cos(x)dx 4 3 = 1 12 (sin(x)) 4b3 Hierbei gilt f(x) = cos(x), g(t) = 4t 3 g (t) = 12t 2. Merkregel: x = x(t) = g(t) dx = dt g dx = dx dt dt dx f(x(t)) dt dt = f(x)dx!! Richtige Grenzen einsetzen! x= Exponentilfunktion und Logrithmus Stz exp : R R ist streng monoton wchend und bildet R bijektiv b uf R >0 = {y R y > 0}. getext: Juli Wolters 59

64 Der Logrtihmus KAPITEL 7. HAUPTSÄTZE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Wir definieren für x > 0 den Logrtihmus ln(x) = x 1 1 t dt Stmmfunktion zu 1 x Es folgt ln(1) = 0, sowie ln (x) = 1 x. Betrchte g(x) = exp(ln(x)). Ds ist differenzierbr und Betrchte ln(exp(x) = f(x) }{{} >0 Weiter ist ln(exp(0)) = 0. g (x) = exp(ln(x)) 1 x f (x) = 1 exp(x) exp(x) = 1 Eine Stmmfunktion von f (x) ist f(x) = x. Es folgt f f = const.. Es folgt: ln(exp(x)) = x für lle x R. f(0) = 0 = f(0) f = f Der Logrithmus ln : R >0 R ist gltt. Es gilt ln (x) = 1 für lle x > 0. Für lle x x R gilt ln(exp(x)) = x. Für lle y R, y > 0 gilt exp(ln(y)) = y. Weiter gilt ln(u) + ln(v) = ln(u v) für lle u, v > 0. ln : (R > 0, ) (R, +) ist ein Homomorphismus dieser beiden Gruppen Weiteres Beispiel von Substitution b 1 exp(x) + 1 dx =? exp(x) + 2 Anstz: t = exp(x), Merkregel: dx = dx dt dt ln(t) = ln(exp(x)) = x, dx = 1 dt, v = exp(b), u = exp(). dt b 2 exp(x) + 1 v exp(x) + 1 dx = u 2t + 1 t v t dt = u 2t + 1 v t } 2 dt = {{ + } t u =:h(t) h (t) h(t) dt 60 getext: Juli Wolters

65 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Allgemeine Beobchtung Die Ableitung von ln(h(t)) ist h (t) h(t) In diesem Fll: (mn nennt ds die logrithmische Ableitung). v u h (t) h(t) = [ln(h(t))] v t=u = [ ln(t 2 + t) ] v t=u = [ln((t + 1)t)]v t=u = [ln(t) + ln(t + 1)]v t=u = [x + ln(1 + exp(x))] b x= Probe: F (x) = ln(1 + exp(x)) + x F 1 exp(x) exp(x) (x) = exp(x) + 1 = 1+exp(x) exp(x) + 1 = 2 exp(x) + 1 exp(x) + 1 ( ) 7.15 Die Kreisfläche A = 4 r 0 r2 + x 2 dx Anstz: x = r sin(t), y = r cos(t), r 2 = r 2 sin(t) 2 + r 2 cos(t) 2 A = 4 π 2 0 r cos(t) r cos(t)dt = 4r 2 = 4r 2 [ 1 2 cos(t) sin(t) + t 2 ] π 2 t=0 π 2 0 cos(t) 2 dt = 4r 2 π = πr Lemm Sei f : A R stetig, sei f(x 0 ) = s > 0. Dnn gibt es r > 0, so dss f(x) 5 2 x A mit x x 0 r. für lle 7.17 Stz Ist f : U R stetig differenzierbr und gilt f (x) > 0, so gibt es r > 0, so dss f uf dem Intervll (x 0 r, x 0 + r) streng monoton wächst. getext: Juli Wolters 61

66 KAPITEL 7. HAUPTSÄTZE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 7.18 Definition Sei f : U R eine Abbildung. Wir sgen f ht in x 0 ein lokles Mximum/Minimum, flls es r > 0 gibt, so dss f(x 0 ) f(x) für lle x U mit x x 0 r, bzw. f(x 0 ) f(x). Stz (Vorzeichenwechselkriterium) Sei U R offen und f : U R stetig differenzierbr. Wenn gilt f (x 0 ) = 0 und f (x 0 + h) < 0 sowie f (x 0 h) > 0 für lle h > 0, h < r so ht f in x 0 ein lokles Mximum (Dbei ist r > 0 fest). Korollr Ist f : U R zweiml stetig differenzierbr mit f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0, dnn ht f in x 0 ein lokles Mximum Stz Sei p : [, b] R stetig mit p(x) 0 für lle x [, b], Wenn es x 0 [, b] mit p(x 0 ) > 0, dnn ist b 7.20 Theorem p(x)dx > 0. Die Zhl π 2 ist irrtionl. Insbesondere ist lso π 3, irrtionl. 62 getext: Juli Wolters

67 8 Die Konstruktion von R 8.1 Ringe und Idele Ist R ein kommuttiver Ring, I R eine nicht leere Telmenge in (I1) x, y I x ± y I (I2) x I, r R x r I so heißt I Idel in R Beispiel R = Z, I = {n Z n gerde}. Der Fktorring R \ I ist die Menge der Nebenklssen r + I = {r + i i I} mit den Verknüpfungen (r + I) + (s + I) = (r + s) + I (r + I) (s + I) = r s + I Lemm Flls I R und flls es zu jedem x R \ I ein y R gibt mit x y 1 I, dnn ist R \ I ein Körper. Bemerkung Die Umkehrung gilt uch. Beispiel Z \ 2Z = F 2 ist Körper: x ungerde x x ungerde (x + 2Z)(x + 2Z) = 1 + 2Z Z \ 4Z ist kein Körper, denn es gibt kein y Z mit 2y 1 4Z. 63

68 KAPITEL 8. DIE KONSTRUKTION VON R 8.2 Nullfolge und Cuchy-Folge Seien jetzt C = {(q i ) i N q i Q Cuchy-Folge} und N = {(q i ) i N q i Q Nullfolge} mit Einselement 1 = (1, 1,...) gleichweiser Verknüpfung. Dnn ist C ein Ring mit Nullelement 0 = (0, 0,...) und N ein Idel denn Cuchy-Folgen sind beschränkt. Nullfolge Cuchy F olge = Nullfolge, 8.3 Definition Der Körper der reellen Zhlen ist R = C \ N { 1 Wrum ist ds ein Körper? Sei x C \ N. Setze y K = x k x k 0 0 x k = 0 D (x k) k N keine Nullfolge ist, ist y k 0 für fst lle k, lso x k y k = 1 für fst lle k, lso x y 1 N R ist Körper. (y k ) ist Cuchy-Folge. 8.4 Die Anordnung von R Sei X = {x C es gibt c Q, ε > 0, so dss x n ε für fst lle n N}. Es folgt: C = X N X, so wie X + X X X X X X + N X Sei P = {x + N x X} R. Es folgt R = P {0} P. Wir nennen die Elemente von P positive reelle Zhlen. Setze x + I < y + I Def. (y x) + I P. Eine kurze Rechnung zeigt: (R, <) ist ein ngeordnerter Körper. Wir identifizieren q Q mit der konstnten Folge (q, q,...) + N R und erhlten eine injektive Abbildung Q R. Weil jede Cuchy-Folge beschränlt ist, gibt es zu jedem r R ein q Q Z mit q r P, d.h. R ist rchimedisch. 64 getext: Juli Wolters

69 Anlysis 8.5 Supremumseigenschft von R Prof. Dr. Linus Krmer R ht die Supremumseigenschft. Idee: Sei A R noch oben beschränkt. Wähle q k Q, so dss gilt (i) q k ist obere Schrnke von A (ii) es gibt A mit q k 1 k (ds geht in jedem rchimedisch ngeordnetem Körper). Zeigen dnn () (q k ) k N + N R ist obere Schrnke für A. (b) (q k ) k N + N ist kleinste obere Schrnke für A. 8.6 Ergebnis R ist rchimedisch ngeordneter Körper mit der Supremumseigenschft. 8.7 Stz Sind K, L zwei rchimetisch ngeordnete Körper mit der Supremumseigenschft, dnn sind K, L (ls ngeordnete Körper) isomorph. getext: Juli Wolters 65

70 9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstnd soll eine reelle Zhl 0 sein (ohne Dimensionsngbe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik uf X ist eine Abbildung d : X X R, (x, y) d(x, y). Dbei soll gelten: (M1) Für lle u, v X ist d(u, v) = d(v, u) 0 (symmetrisch und positiv) (M2) Es gilt d(u, v) = 0, wenn u = v (M3) Für u, v, w X gilt d(u, w) d(u, v) + d(v, w) (Dreiecksungleichung) Mn nennt (X, d) dnn einen metrischen Rum. 9.2 Beispiel ) X = R, d(u, v) = u v. Dnn gelten (M1), (M2) und (M3) ist die Dreiecksungleichung der Betrgsfunktion (1.8). Also ist R mit d(u, v) = u v ein metrischer Rum. { 1, flls u v b) X eine beliebige Menge. Setzte d(u, v) = 0, flls u = v. (M1) und (M2) gelten. Ist u = w d(u, w) = 0 d(u, v) + d(v, w) ( ). Ist u w d(u, w) = 1. Für lle v X gilt entweder v u oder v w, lso folgt d(u, v) + d(v, w) 1 = d(u, w). Folglich gilt (M3) und d ist eine Metrik uf X. Mn nennt d die diskrete Metrik uf X. c) X = R 2. Für u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ). Setze d(u, v) = u 1 v 1 + u 2 v 2 l 1 -Metrik uf R 2 oder Mnhttn-Txi-Metrik. (M1) und (M2) gelten. d(u, w) = u 1 w 1 + u 2 w 2 = u 1 v 1 + v 1 w 1 + u 2 v 2 + v 2 w 2 u 1 v 1 + v 1 w 1 + u 2 v 2 + v 2 w 2 = d(u, v) + d(v, w) 66

71 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer (u 1, u 2 ) (v 1, v 2 ) Abbildung 9.1: Mnhttn-Txi-Mtrik (M3) gilt. Also ist d eine Metrik uf R Beobchtung Ist (X, d) ein metrischer Rum und A X, dnn ist A mit der Metrik d ebenflls ein metrischer Rum, ein Unterrum. 9.4 Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum, sei r > 0 und x X. Dnn heißt B r (x) = {v X d(v, x) < r} der offene r-bll um x. In den drei Beispielen: ) B r (x) = (x r, x + r) offenes Intervll ( x ) X r r b) B r (x) = {x}, flls r 1 B r (x) = X, flls r > 1 c) B r (x) in der Tximetrik: r x r r r getext: Juli Wolters 67

72 9.5 Definition KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Sei J N eine unendliche Indexmenge, sei (X, d) ein metrischer Rum. Eine Folge in X mit Indexmenge J ist eine Abbildung J X, j x j (Folgenglied). Ist K J eine unendliche Teilmenge, dnn heißt (x k ) k K Teilfolge der Folge (x j ) j J. Wir sgen, die Folge (x j ) j J konvergiert gegen x X, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es n N, so dss d(x, x j ) ε j J, j n In Beispiel X = R, d(u, v) = u v liefert ds genu den Konvergenzbegriff us Anlysis I für reelle Folgen. 9.6 Lemm Sei (X, d) metrischer Rum, (x j ) j J eine Folge in X. Die Folge konvergiert gegen x X genu dnn, wenn gilt: Für jedes r > 0 gibt es ein n N, so dss x j B r (x) für lle j > n. Ebenflls äquivlent dzu: Für jedes r > 0 liegen fst lle Folgenglieder x j in B r (x). 9.7 Lemm (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Eine Folge (x j ) j J x X. in einem metrischen Rum (X, d) konvergiert höchstens gegen ein Der eindeutige Grenzwert einer konvergenten Folge (x j ) j J wird (wie in Anlysis I) geschrieben: lim j J x j = x Beispiel ): X = R, d(u, v) = u v. Ds ist genu der Konvergenzbegriff us Anlysis I für reelle Folgen. Beispiel b): X mit diskreter Metrik. Konvergente Folgen sind genu die Folgen in X, die b einem gewissen Index konstnt sind. 68 getext: Juli Wolters

73 9.8 Definition Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer (X, d) metrischer Rum ( i ) i I Folge. Dies heißt Cuchy-Folge, flls ε > 0 N N i, j I mit i Nundj N : d( i, j ) ε 9.9 Stz (X, d) metrischer Rum. Dnn ist jede konvergente Folge eine Cuchy-Folge Definition Ein metrischer Rum (X, d) heißt vollständig, flls jede Cuchy-Folge in X konvergiert. Beispiel: ) X = R, d(x, y) = x y ist vollständig, vgl. (3.2) ) X = Q, d(x, y) = x y ist nicht vollständig, denn es gilt Folgen ( i ) rtionler Zhlen die (in R) gegen 2 konvergieren. b) Diskrete Räume sind vollständig. Flls ( i ) Cuchy-Folge in X, gilt für ε > 1 : N N, 2 so dss i, j I mit i N und j N: d(, j ) ε d( 2 i, j ) = 0, lso i = j. c) R 2 mit Mnnhttn Mtrix ist vollständig. Achtung: (X, d) vollständig. Y X Unterrum nicht notwendig vollständig Definition (X, d) metrischer Räume. Eine Teilmenge A X heißt bgeschlossen in X, flls für jede Folge in A, die in X konvergiert, der Grenzwert in A liegt. Beispiel i), X sind immer bgeschlossen getext: Juli Wolters 69

74 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME ii) u, v R, u < v, A = [u, v] ist bgeschlossen. Dnn ( i ) in A i I gilt u v. Insbesondere gilt für x := lim, u x v (vgl. An I) x A. iii) A = (0, 1) = {x R 0 < x < 1} nicht bgeschlsosen, dnn setzte i = 1 2, I = N. Dnn gilt lim = 0 / A Stz (X, d) metrischer Rum i) Vereinigung endlich vieler bgeschlossener Mengen sind bgeschlossen. ii) Beliebige Durchschnitte bgeschlossener Mengen sind bgeschlossene. Bemerkung Stz 9.12 flsch für beliebige Vereinigungen. Beispiel Für n N sei A n := [ 1, 1 ] 1 n n, n 2. A2 = { } 1 2, A3 = [ 1, 2 3 3],.... A = A n = (0, 1) nicht bgeschlossen. n Stz Sei (X, d) vollständiger metrischer Rum A X ist bgeschlossen A ist ls Teilmenge vollständig. 1 Achtung Beispiel: X = (0, 1) R, d(u, v) = u v A = ( 0, 2] 1 X. Die Teilmenge A ist bgeschlossen in X (ber nicht in R!). Aber: A ist nicht vollständig. n = 1, n 1 ist Cuchy-Folge in A, ht ber keinen 2 Grenzwert in A. Ds ist KEIN Widerspruch zu Stz 9.13! Denn X ist selber gr nicht vollständig. Vollständigkeit ist eine innere Eigenschft von metrischen Räumen. 1 Umformulierung: Sei (X, d) vollständiger metrischer Rum. Eine Teilmenge A X ist genu dnn vollständig, wenn sie bgeschlossen ist in X. 70 getext: Juli Wolters

75 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Abgeschlossenheit ist eine Eigenschft von Teilmengen eines metrischen Rumes, mn muss dzu sgen: bgeschlossen in folgenden Rum Definition Sei V ein reeller Vektorrum (beliebiger, evt. unendlicher Dimension). Eine Norm uf V ist eine Abbildung : V R, v v. Dnn soll folgendes gelten: (N1) v 0 für lle v V. v = 0 v = 0 (Nullvektor). (N2) Für lle v V, r R gilt v r = v r. Insbesondere gilt v = v. (N3) Für lle u, v V ist u + v u + v (Dreiecksungleichung) Ds Pr (V, ) heißt normierter (Vektor)Rum. Beispiele ) V = R n, v = (v 1,..., v n ) R n, v 1 = n v k. Sogennnte l 1 -Norm uf R n. k=1 b) V = R n, v = = mx { v 1,..., v n } ebenflls Norm. Sogennnte l -Norm oder Supremumsnorm Stz Sei (V, ) ein normierter Vektorrum. Setze d(u, v) = u v. Ds ist eine Metrik uf V. Jeder normierte Vektorrum ist lso ein metrischer Rum und wir können nun über Konvergenz, Abgeschlossen, Cuchy-Folgen usw. in normierten Räumen sprechen Definition Ein normierter Vektorrum, der vollständig ist, heißt Bnchrum 2. getext: Juli Wolters 71

76 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Beispiel R n mit der l 1 -Norm oder l -Norm ist ein Bnchrum. Beweis: Sei (v j ) j J eine Folge von Vektoren, die Cuchy-Folge ist. v k = (v 1,j, v 2,j,..., v n,j ). Es gilt (für beide Normen) v k,l v k,m v l v m v l v m 1 Folglich ist die reelle Folge (v k,j ) j J eine Cuchy-Folge in R. Sei u k R ihr Grenzwert, sei u = (u 1,..., u n ). Beh: Die Folge der (v j ) j J konvergiert gegen u. Es sei ε > 0 gegeben. Wähle n 0 N so, dss v k,j u k ε für lle k = 1,..., n und lle n j n 0. Es folgt v j u 1 ε + ε ε = ε für j n n n n 0, v j u v j u 1 ε für j n 0. Dmit sind (R n, 1 ) und (R n, ) Bnchräume. 3 Beispiele [, b] R B([, b], R) = {f : [, b] R f beschränkt}. Setze f = sup { f(x) x [, b]} Supremumsnorm, vlg Anlysis I. Ds ist eine Norm und (B([, b], R), ) ist vollständig, vlg. Anlysis I. R([, b], R) = {f : [, b] R f Regelfunktion}. Nch Stz 5.11 ist (R([, b], R), ) vollständig. C([, b], R) = {f : [, b] R f stetig} ist ebenflls vollständig, vlg Kpitel 4 Übungsufgbe Fzit: (B([, b], R), ), (R([, b], R), ) und (C([, b], R), ) sind Bnchräume Definition Sei V ein reeller Vektorrum. Eine Abbildung h : V V R, (u, v) h(u, v) heißt biliner, flls für lle u, v, w V, r R gilt: h(u + v, w) = h(u, w) + h(v, w), h(u, v + w) = h(u, v) + h(u, w) h(u r, v) = h(u, v r) = h(u, v) r h ist Bilinerform. Flls h(u, v) = h(v, u) für lle u, v, so heißt h symmetrische Bilinerform. Flls weiter gilt: h(u, u) 0 für lle u V und h(u, u) = 0 u = 0, dnn heißt h inneres Produkt oder Sklrprodukt. 3 Später: R n ist bzgl. jeder Norm vollständig. 72 getext: Juli Wolters

77 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Beispiel V = R n, A = ( i,j ) n i,j 1, n n-mtrix, Bilinerform ist genu dnn symmetrisch, wenn die Mtrix A symmetrisch ist, ij = ji für lle i, j, d.h. wenn A T = A. Beispiel 1 0 Die Einheitsmtrix E =... = A 0 1 n u i ij v j = n u i v i Stndrdsklrprodukt uf R n i,j=1 i=1 h(u, u) = n u 2 i 0, i=1 n u 2 i = 0 genu dnn, wenn lle u i = 0. Sklrprodukt. i= Definition und Stz Sei V ein reeller Vektorrum, sei h ein inneres Produkt / Sklrprodukt. Setze u = h(u, u). Behuptung Ds ist eine Norm uf V. Ds Pr (V, h) heißt Prä-Hilbert-Rum 4 Wrum ist ds eine Norm? u 0 und u = 0 genu dnn, wenn u = 0. ( ) u r = h(u r, u r) = h(u, u)r 2 = h(u, u) r = u r. ( ) Fehlt noch die Dreieckungleichung. Dzu benötige wir die Cuchy-Schwrz-Ungleichung Stz (Cuchy-Schwrz-Ungleichung) Sei h ein inneres Produkt uf V. Dnn gilt für lle u, v V h(u, v) h(u, u) h(v, v) getext: Juli Wolters 73

78 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME Beweis, dss u = h(u, u) die Dreiecksungleichung erfüllt u + v 2 = h(u + v, u + v) = u 2 + v 2 + 2h(u, v) 9.20 Beispiel Cuchy Schwrz Ungleichung u 2 + v u v = ( u + v ) 2 R n, h(u, v) = n u i v i (Stndrd-Sklrprodukt) i=1 u + v u + v Die zugehörige Norm ist eine l 2 -Norm, die euklidsche Norm u 2 = n Mn nennt (R n, 2 ) einen (den) euklidschen Vektorrum. Die Cuchy-Schwrz-Ungleichung für den R n besgt ( n ) 2 ( n u i v i i=1 Klssische Formulierung: Es gilt im R n i=1 i=1 u 2 i u 2 i ) ( n i=1 v 2 i ) u 1 u 2 u 1 n u 1 Folgerung: Alle drei Normen liefern den selben Begriff von Konvergenz, Abgeschlossenheit, Cuchy-Folgen, etc. Insbesondere ist der R n bzgl. ller drei Normen vollständig Definition Ein Vektorrum mit innerem Produkt, der vollständig ist in der zugehörigen Norm heißt Hilbert-Rum. Beispiel R n ist Hilbert-Rum mit dem Stndrd-Sklrprodukt. Hilbert-Räume sind lso spezielle Bnch-Räume. 74 getext: Juli Wolters

79 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Beispiel (R n, 1 ) Bnch-Rum, ber kein Hilbert-Rum (es gibt keine Bilinerform zur 1 - Norm) Beispiel (Der Hilbert-Rum l 2 (R)) l 2 (R) ist die Menge ller reellen Folgen ( n ) n N, n R mit der Eigenschft Stz n 2 n < i=0 l 2 (R) ist ein Hilbert-Rum mit innerem Produkt h(, b) = i b i mit i = ( i ) i N, b = (b i ) i N. Beispiel l 2 (R), Folgen ( n ) R, h(, b) = n b n. Wir htten gezeigt, l 2 (R) ist ein Vektorrum. n=0 Bleibt zu zeige l 2 (R) ist vollständig. Angenommen ( j ) j J ist eine Cuchy-Folge in l 2 (R). Jedoch ist eine reelle Folge ( k,j ) k N. Für jedes k N gilt ( k,l 2 k,m l m 2 2) Folglich ist für jedes k N die Folge ( k,j ) j J eine Cuchy-Folge. Sei lso b k = lim j J k,j. Sei ε > 0 geben, sei n 0 N, so dss i=1 Grenzumgebung n l n 2 2 ε2 l, m n 0 k,l n,m 2 < ε l, m n 0 n b k n,m 2 ε l, m n 0 dbei ist n beliebig. Nun lssen wir n lufen. Es folgt b k k,m 2 ε m n 0 Insbesondere ist lso b = (b k ) k N l 2 (R) und die Folge ( j ) j J konvergent gegen b. getext: Juli Wolters 75

80 KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 9.23 Bemerkung Nicht jede Norm kommt von einem inneren Produkt. Ds knn mn so sehen: u 2 = h(u, u), so folgt: h(u + v, u + v) = h(u, u) + h(v, v) +2h(u, v) }{{}}{{}}{{} u+v 2 u 2 v 2 = h(u, v) = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) d.h. us der Norm knn mn h gewinnen. Aber wenn mn rechts zum Beispiel die l 1 -Norm uf R 2 einsetzt, so ist die linke Seite keine Bilinerform. 76 getext: Juli Wolters

81 10 Stetigkeit Wir übertrgen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen uf metrische Räume Definition (Stetigkeit) Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume, f : X Y eine Abbildung. Wir sgen f ist stetig im Punkt x X genu dnn, flls für jede Folge (x j ) j J in X mit Grenzwert lim j J x j = 0 gilt lim j J f(x j ) = f(x) = f(lim j J x j ) f vertuscht mit Grenzwertbildung Wenn f in jedem Punkt x X stetig ist, dnn heißt f stetig. Wir setzen C(X, Y ) = {f : X Y f ist stetig} 10.2 Beispiele 1. X R, Y = R mit Stndrtmetrik uf R. f : X Y ist stetige Funktion Stetigkeit im Sinne von Anlysis I. 2. Sei (V, ) ein normierter Vektorrum. : V R ist stetig. lim j Ju j = u u = u u j + u j u u j + u j u j = u j u + u u j u + u u j = u j u + u u j u u u u j u u j }{{} 0 nch V orrussetzung 3. Sei (X, d) ein metrischer Rum, p X, f(x) = d(p, x), f : X R ist stetig. 77

82 KAPITEL 10. STETIGKEIT 10.3 Definition (Lipschitz-Stetigkeit) Seien (X, d x ), (Y, d y ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt Lipschitz- Stetig wenn gilt: L 0 : u, v X : d x (f(u), f(u)) L d x (u, v) 10.4 Stz Seien X, Y, Z metrische Räume. Sei f : X Y und g : Y Z stetig. Dnn ist g f stetig Beobchtung Ist X metrischer Rum, so bildet C(X, R) = {f : X R f stetig} einen reellen Vektorrum und einen Ring (eine reelle Algebr, vgl Beobchtung 4.3) f + g : x f(x) + g(x) f, g C(X, R), v R f r : x f(x) r sind stetig (10.1) f g : x f(x) g(x) 10.6 Stz (ε δ-kriterium der Stetigkeit) Seien X, Y metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. Dnn ist f stetig im Punkt x X, wenn gilt forllε > 0 δ > 0, so dssd X (x, u) δ d Y (f(x), f(u)) ε 10.7 Beispiele X = Y = R, f(x) = x 2 ist stetig, ber nicht L-Stetig für ein L 0 (x + 1) 2 x 2 = 2x + 1 L(x + 1 x) = L 1. X = R n mit l 1 -, l 2 - oder l -Norm. Sei (t 1,..., t n ) R n, sei f(v) = n f k v k, (f : k=1 78 getext: Juli Wolters

83 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer X R Linerform ) ) In der l 2 -Norm: f(u) f(v) = = n (u k v k )t k k=1 n (u k v k ).t k k=1 n (u k v k ) t k k=1 f(u) f(v) u v 2 t 2 (CSU) b) In der l 1 -Norm: f(u) f(v) u v 1 t c) In der l -Norm In llen Normen ist f Lipschitzstetig. 2. X = C([, b], ), ϕ : X R ϕ(f) = ϕ(f) ϕ(g) = n f(u) f(v) u v t 1 (f(x) g(x))dx b b f(x)dx = lso ist ϕ eine (b )-L-stetige Abbildung. 3. X = Y = C([, b], R) mit der -Norm. ψ(f) := x x f(t)dt ψ(f)(x) ψ(g)(x) = x f(x) g(x) dx b f(t) g(t)dt (x ) f g ψ(f) ψ(g) (b ) f g_ Also sind uch diese Abbildungen (b )-L-Stetig. Bechte: f und ψ sind linere Abbildungen! f g dx = f g (b ) getext: Juli Wolters 79

84 KAPITEL 10. STETIGKEIT 10.8 Stz Es seien (V, V ) und (W, W ) normierte Vektorräume. Sei f : V W liner. Dnn sind äquivlent: i) f ist stetig. ii) f ist L-Lipschitzstetig für ein L 0 iii) Es gibt L 0, so dss für lle v V gilt f(v) W L v V 10.9 Stz und Definition Sei f : V W stetige linere Abbildung zwischen zwei normierten Vektorräumen. Definiere f := sup{ f(v) W v V, v 1} (Nch Stz (10.8) wohldefiniert, denn flls v 1 f(v) L v L) heißt Opertornorm. Dnn gilt v V : f(v) W f v V. L(V, W ) = {f : V W f : V W liner und stetig} Opertornorm f = sup { f(w) W v V, v V 1} Beispiel V = R n, W = R, f(v) = n t i v i i=1 L(R n, R) = R n. Wie sieht die Opertornorm { us? } n (R n, 1 ), f = sup t i v i v v n n i=1 n t i v i t v i 1 f t. i=1 = t, dnn Andere Abschätzung: Sei t 1 = t, v = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) f(v) = t 1 = t und V 1 = 1 f f, lso f = t. (R n, ) Opertornorm von f ist f = t 1. (R n, 1 ) Opertornorm von f ist f = t 2. n t i v i i= Stz Seien (V, V ) und (W, W ) normierte Räume. Wenn W vollständig ist, dnn ist L(V, W ) vollständig bzgl. der Opertornorm. 80 getext: Juli Wolters

85 Anlysis Korollr (Spezilfll W = R) Prof. Dr. Linus Krmer Der Rum L(V, R) der stetigen Linerformen uf V (stetiger Dulrum von V ) ist immer vollständig, wenn V ein normierter Vektorrum ist Beispiel Eine unvollständige linere Abbildung, V = {f : [0, 1] R f ist Polynomfunktion} mit -Norm. Betrchte D : V D, f f. Diese Abbildung ist liner und unstetig. Betrchte f n (x) = x n f = 1. D(f) = f = n x n 1 n f n 1. D(f n ) = n. Also knn es kein L 0 geben mit D(f n ) L f n = L D ist unstetig bzgl. -Norm Drei Lmmt Lemm A Sei (V, V ) normierter Vektorrum, sei f : R n C liner. Dnn ist f stetig bzgl. der 1 -Norm uf R n. Lemm B Sei eine beliebige Norm uf R n. Dnn gibt es r > 0, so dss gilt: für lle v R n mit v 1 = 1 gilt v r. Lemm C Sei eine beliebige Norm uf R n. Dnn ist (R n, ) id (R n, 1 ) stetig Theorem ( Huptstz über endlichdimensionle normierte Räume ) Seien (V, V ) und (W, W ) zwei normierte Vektorräume. Sei f : V W liner. Flls V endliche Dimension ht, dnn ist f utomtisch stetig. Insbesondere sind lle lineren Abbildungen zwischen endlich dimensionlen normierten Vektorräumen stetig. getext: Juli Wolters 81

86 10.15 Definition und Stz KAPITEL 10. STETIGKEIT Sei V ein Vektorrum mit zwei Normen und b. Die Normen heißen äquivlent, wenn es Konstruktoren r, s > 0 gibt, so dss für lle v V gilt v v b r und v b v s Beispiel Wir hben im BSP (9.20) in R n gezeigt, u 1 u 2 u 1 n u 1 Diese drei Normen uf R n sind prweise äquivlent. Stz Sei V ein endlichdimensionler Vektorrum. Dnn sind lle Normen uf V äquivlent. Folgerung Alle Normen uf R n liefern den gleichen Konvergenzbegriff, die gleichen Cuchy-Folgen etc. Insbesondere ist jeder endlicher dimensionler Vektorrum vollständig, d.h. ein Bnchrum ist Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum. Wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge ht, so heißt X konvergent (oder: X ht die Bolzno-Weierstrß-Eigenschft). Beispiel Sei X = [, b] R, d(u, v) = u v. Nch 2.21 ist lso [, b] kompkt. X = [0, 1] Q, d(u, v) = u v. Ist nicht kompkt. Z.B. giibt es eine Folge in X, die gegen 1 konvergiert und 1 / X 2 2 X = R, d(u, v) = u v ist nicht kompkt. Z.B. (x n ) n N, x n = n. Jede Teilfolge (x j ) j J ist unbeschränkt, denn jede unendliche Teilmenge J N ist unbeschränkt. Also knn keine Teilfolge dieser Folgen konvergieren. 82 getext: Juli Wolters

87 10.17 Stz Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei (X, d) metrischer Rum, sei A X Teilmenge. Wenn (A, d) kompkt ist, dnn ist A bgeschlossen in X und vollständig. Insbesondere ist jeder kompkt metrische Rum vollständig Stz Seien X, Y metrische Räume, sei f : X Y stetig. Wenn A X eine kompkte Teilmengt ist, dnn ist f(a) kompkt Stetige Bilder kompkter Mengen sind kompkt Stz (Bolzno-Weierstrß in mehreren Vriblen) Sei V ein endlich dimensionler normierter Vektorrum. Dnn ist A V kompkt, genu dnn wenn A bgeschlossen in V ist und beschränkt (A ist beschränkt, flls es R > 0 gibt, mit B R (0) A) Korollr Sei (X, d) metrischer Rum, A X sei kompkt, f : X R sei stetig. Dnn nimmt f uf A ein Minimum und ein Mximum n, dh. es gibt, b A, so dss für lle c A gilt f() f(c) f(b). Beispiele für kompkte Mengen in R n Die (n 1)-Späre $ n 1 = {x R n x 2 = 1} $ 0 = {±1} R $ 1 = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} $ 2 = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 1} Die Sphären $ n sind lle kompkt, weil bgeschlossen und beschränkt im R m+1. 1 Umformulierung: Sei V eindlich dimensionler Vektorrum. Dnn ist A V genu dnn kompkt, wenn A bgeschlossen und beschränkt. getext: Juli Wolters 83

88 KAPITEL 10. STETIGKEIT D n = {x R n x 2 1} n-dimensionle Vollkugel (n-bll oder n-scheibe) llgemeiner: v R n, r > 0. Vollkugel vom Rdius r mit Mittelpunkt v. B r (v) = {w R n v w 2 r} Sind ds ebenflls kompkte Mengen? Der n-würfel I n = {x R n 0 x i 1, i = 1,..., n} ist ebenflls kompkt. Nicht kompkt in R n : z.b. ist jeder Untervektorrum V R n mit v {0} nicht kompkt. Denn: wähle v V, v 0, die Menge {v, 2v, 3v,...} ist unbeschränkt. Fzit: linere Abbildungen zwischen endlich dimensionlen normierten Vektorräumen sind immer stetig. stetige linere Abbildungen sind sogr Lipschitz-stetig. Auf R n sind lle Normen äquivlent, lle liefern den gleichen Konvergenzbegriff. bschlossen und beschränkte Mengen im R n hben die Bolzno-Weierstrß-Eigenschft. Im unendlich Dimensionlen gilt dies nicht Definition und Stz Sei X eine Menge, f : X X. Ein Punkt x X heißt Fixpunkt von f, wenn gilt f(x) = x. Viele Gleichungen lssen sich ls Fixpunktgleichungen umschreiben. Mn interessiert sich dnn für die Existenz, Eindeutigkeit und die Berechnung von Fixpunkten. Beispiel (Brouwers-Fixpunktstz) Ist f : D m D m stetig, dnn ht f mindestens einen Fixpunkt. Spezilfll m = 1: f : [ 1, 1] [ 1, 1]. Zwischenwertstz liefert einen Punkt x [ 1, 1] mit f(x)x. Beispiel X = R f(x) = x 2, zwei Fixpunkte: 0,1 g(x) = x + 1 ht keinen Fixpunkt 84 getext: Juli Wolters

89 Stz (Bnchs Fixpunktstz) Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei (X, d) vollständiger metrischer Rum, sei f : X X Lipschitz-Stetig mit L < 1 (dh. für lle u, v X gilt d(f(u), f(v)) L d(u, v)). Dnn ht f genu einen Fixpunkt. Bemerkung Der Beweis liefert einen Algorithmus, den Fixpunkt näherungsweise zu berechnen, mit Kontrolle über den Fehler. Wähle x 0 X, iteriere f(x n ) = x n+1. Diese Folge konvergiert gegen den Fixpunkt x und es gilt d(x n, x) L n R 1. Dbei ist L die Lipschitz-Konstnte 1 L und R = d(x 0, f(x 0 )). (Gegen-)Beispiele: X = R f(x) = x 2 ist nicht Lipschitz-stetig. g(x) = x + 1 ist 1-Lipschitz-stetig g(u) g(v) = (u + 1) (v + 1) = u v, ber nicht L-Lipschitz-stetig für ein L < 1 getext: Juli Wolters 85

90 11 Offene Mengen und Kurven Ein offenes Intervll (, b) R ht folgende Eigenschft: für jedes x (, b) gibt es ein ε > 0, so dss (x ε, x + ε) (, b) Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum. Eine Menge U X heißt offen in X, wenn folgendes gilt: Bemerkung x U ε > 0 : B ε (x) = {y X d(x, y) < ε} U Die leere Menge ist offen (in X)! X ist offen in X. Es gibt die Menge, die in X sowohl offen, ls uch bgeschlossen sind (so gennnte bgeschloffene Mengen ) Es gibt Mengen in X, die weder offen noch bgeschlossen sind! z.b. Q R ist nicht offen oder bgeschlossen Stz über offene und bgeschlossene Mengen Sei X metrischer Rum, sei U X Teilmenge. Dnn sind äquivlent (i) U X ist offen in X (ii) X \ U = {x X x / U} ist bgeschlossen in X Beispiel Q R ist weder bgeschlossen noch offen. (X, d) metrischer Rum. Dnn sind die Teilmengen, X offen in X. B r (x) = {y X d(x, y) < r} ist stets offen in X. X = [0, 1] [2, 3]. X ist bgeschlossen in R. A = [0, 1] X und U = x \ A = [2, 3] sind bgeschlossen in R und in X. Folgerung: In X sind A und U bgeschloffen. Vorsicht: [2, 3] ist offen in X = [0, 1] [2, 3], ber nicht in R. 86

91 11.4 Stz Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei (X, d) metrischer Rum. Dnn sind beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte von offenen Mengen in X wieder offen in X Stz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume und sei f : X Y eine Abbildung. Dnn sind äquivlent: i) f ist stetig. ii) Für jede bgeschlossene Menge A Y ist f 1 (A) X bgeschlossen. iii) Für jede offene Menge U Y ist f 1 (U) X offen Definition und Stz Sei (X, d) ein metrischer Rum, sei Z X beliebige Teilmenge. Der Abschluss von Z in X ist Z = {A X A bgeschlossen in X und A Z} Diese Menge Z enthält Z, Z Z und ist nch (9.12) bgeschlossen in X. Ist A X bgeschlossene Menge und gilt Z A, so folgt Z A, dh. Z ist die kleinste bgeschlossene Menge in X, die Z enthält. Beispiele =, X = X, llgemein: wenn A X bgeschlossen ist, dnn gilt A = A. X = R, Z = Q Z = Q = R (weil jede reelle Zhl Grenzwert einer Folge in Q ist). X = R, Z = (0, 1) ÜA Z = [0, 1]. Stz Der Abschluss von Z in X besteht genu us llen Grenzwerten von Folgen in Z, die (in X) konvergieren. getext: Juli Wolters 87

92 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN 11.7 Stz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, f : X Y eine Abbildung. Dnn sind äquivlent: (i) f ist stetig. (ii) Für jede Teilmenge S X gilt f(s) f(s) 11.8 Definition Eine Teilmente I R heißt offenes Intervll, wenn sie von der Form I = (, b) = {x R < x < b} I = (, ) = {x R < x} I = (, ) = {x R x < } I = (, ) = R ist. In den letzten beiden Fällen spricht mn mnchml von unendlihen Intervllen. Wenn I von der Form I = [, b] = {x R x b} I = [, ) = {x R x} I = (, ] = {x R x } I = (, ) = R ist, heißt I bgeschlossenes Intervll Offene / bgeschlossene Intervlle sind offen / bgeschlossen in R im Sinn der Definition us Kpitel 9 und 11. Sei X ein metrischer Rum. Eine (stetige) Kurve in X ist eine stetige Abbildung c : I X, wobei I R ein offenes oder bgeschlossenes Intervll ist. Beispiel ) I = R, c : I R stetige reelle Funktion. b) X = V normierter Vektorrum, z.b. X = R 2 mit 2 -Norm. Seien u, v V. c(t) = v t + u(1 t), t I = R, c(0) = u, c(1) = v. c(t) liegt uf der ffinen Gerden durch u und v. 88 getext: Juli Wolters

93 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer u c(t) v Abbildung 11.1: Beispiel c) f : I R stetige Abbildung, c(t) = (t, f(t)) R 2 = X. Anschuliche Vorstellung: ein Punkt wndert - bhängig von der Zeit t - duch den Rum X zum Zeitpunkt t befindet der Punkt sich bei c(t) X. Ws ist die normierte Geschwindigkeit von c? Idee: t 0 I fester Zeitpunkt. Vergeleicht c(t 0 +h) mit c(t 0 ) für h klein. Wir interessieren uns für 1 h (c(t 0 + h) c(t 0 )) betrchte Übergng h 0. Dmit diese Formel sinnvoll wird, nehmen wir n, dss X ein normierter Vektorrum ist Definition Sei V ein normierter Vektorrum, sei I R offenes Intervll, sei c : I V eine Kurve. Sei t 0 I. Wir sgen c ist differenzierbr in t = t 0 wenn gilt: es gibt eine stetige Funktion p : ( ε, ε) V mit p(h) = 1 h (c(t 0 + h) c(t 0 )) h 0 Dbei ist ε > 0 so gewällt, dss (t 0 ε, t 0 + ε) I. Die Ableitung oder Geschwindigkeitsvektor in t 0 ist dnn p(0) = lim h (c(t 0 + h) c(t 0 )). Diese Schreibweise bedeutet: für jede Nullfolge 1 (h j ) j J, h j 0, gilt lim j J h j (c(t 0 + h j ) c(t 0 )) = p(0). Mn sieht dnn c(t 0 ) = p(0) = 1 lim (c(t h 0 h 0 + h) c(t 0 )). Ds ist wieder ein Vektor, c(t 0 ) V, der Geschwindigkeitsvektor oder Tngentilvektor der Kurve c zum Zeitpunkt t 0. Wenn c in jedem t 0 I differentierbr ist, heißt c differenzierbre Kurve. Wenn die Kurve c : t c(t) stetig ist, heißt c stetig differenzierbre Kurve oder C 1 -Kurve. h 0 1 getext: Juli Wolters 89

94 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Beispiel Wie vorher u, v V, c(t) = v t + u (1 t). c(t 0 + h) c(t 0 ) = v ( t 0 + h t 0 ) + u( 1 t 0 h 1 + t 0 ) = (v u) h p(h) = v u = const ist stetig in h = 0. Diese Kurve ist C 1 -Kurve, c(t 0 ) = v u für lle t 0 I. Die Geschwindkeit ist konstnt Stz Ist V = R n (mit beliebiger Norm), c : I R n Kurve, c(t) = (c 1 (t, c 2 (t),..., c n (t)), dnn ist c differenzierbr 1 in t 0 genu dnn, wenn die n reellen Funktionen c 1,..., c n es sind. Für die Geschwindkeit gilt dnn Beispiel c(t 0 ) = (c 1(t 0 ),..., c n(t 0 )) V = R 3, I = R, c(t) = (cos(t), sin(t), t). Geschwindigkeit Geschwindigkeit : ZweiteAbleitung : c(t) = ( sin(t), cos(t), 1) c = ( cos(t), sin(t), 0) Die zweite Ableitung einer (zweiml differenzierbren) Kurve ist die Beschleunigung (momentne Änderung der Geschwindigkeit) Rechenregeln für Kurven und ihre Ableitungen (i) Sind c, d : I V differenzierbre Kurven, so ist c+d : t c(t)+d(t) differenzierbr mit c + d = c + d. (ii) Sind c : I V differenzierbre Kurve, f : I R differenzierbre Funktion, so ist c f : t c(t) f(t) differenzierbr und c f = cf + cf (iii) Sind I 1, I 2 offene Intervlle, f : I 1 I 2 differenzierbre Funktion, c : I V differenzierbre Kurve, so ist c f : t c(f(t)) differenzierbr und c f = ( c f)+f. Bechte den Unterschied zwischen (ii) und (iii). (iv) Ist c : I V differenzierbre Kurve, f : V W liner und stetig, so ist f c : t f(c(t)) differenzierbr mit c f = f c. 1 oft uch nur diff br 2 Die Größe von c ist ein Mß der Krümmung der Kurve. Genuer der Anteil von c senkrecht zu c ist die Krümmung. 90 getext: Juli Wolters

95 11.12 Definition Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Ist c : [, b] C stetige Kurve und sei c uf (, b) differenzierbr. Wir sgen, c ist uf [, b] differenzierbr, wenn es ε > 0 gibt und wenn sich c uf ds offene Intervll ( ε, b + ε) differenzierbr fortsetzen lässt Definition Sei c : [, b] V stetig differenzierbr. Die Länge der Kurve c ist L(c) = b c(t) dt Physiklische Interprettion Wir integrieren die Geschwindigkeit über dem Zeitrum der Bewegung uf und erhlten so die zurückgelegte Strecke. Beispiel u, v V fest gewählt, c(t) = v(1 t) + u(t), c(t) = u v 1 0 c(t) dt = Ds ist genu der Abstnd von u und v. 1 0 u v dt = u v Stz (Umprrmetrisierung von Kurven) Sei c : [, b] V stetig differenzierbre Kurve. Sei f : [, b] [, b] bijektiv, monoton steigend und stetig differenzierbr. Erinnerung n die Anlysis 1 L(c) = L(c f) f : (, b) R differenzierbr in t (, b). Bedeutet: es gibt eine stetige Funktion p : ( ε, ε) R mit p(h) = (f(t + h) f(t)) 1 h (11.1) getext: Juli Wolters 91

96 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Für h = 0 und p(0) liefert genu die Ableitung f (t) = p(0) = lim h 0 (f(t + h) f(t)) 1 h. Wir schreiben (11.1) um: p(h) h = f(t + h) f(t) (p(h) p(0)) h + f (t)h = f(t + h) f(t) λ(h) h + f (t)h = f(t + h) f(t) { p(h) p(0) flls h 0 λ(0) = 0 und λ(h) = (p(h) p(0)) flls h < 0 λ ist stetig uf ( ε, ε) Definition Sei (V, ) ein normierter Vektorrum und sei U V offen. Sei f : U R stetig. Sei u U. Wähle ε > 0 so, dss B ε U. Wir sgen, f ist differenzierbr in u, wenn gilt: f(t + h) f(t) = λ(h) h + g(h) Dbei soll g : V R liner und stetig sein, λ : B ε (0) R sei stetig und λ(0) = 0. Interprettion der Gleichung g ist linere Approximtion für die Differenz f(t + h) f(t). Lemm Die Bedingungen liegen die linere Abbildung g eindeutig fest. Wir schreiben g = df(u) : V R und nennen df(u) die Ableitung oder ds Differentil von f im Punkt u. Erinnerung L(V, R) = {g : V R g liner und stetig } ist der Dulrum von V, L(V, R) = V. Also ist df(u) ein Element von V. Wenn f in jedem Punkt u U differenzierbr ist, heißt f differenzierbr uf U. Dnn ist u df(u) eine Abbildung U V. Flls diese Abbildung stetig ist, heißt f stetig differenzierbr uf U. Erinnerung Die Norm uf V ist die Opertornorm df(u) = sup { df(u)(v) v V, v 1}. Es gilt df(u)(v) df(u) v. 92 getext: Juli Wolters

97 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Beispiel V = R, U = (, b) offenes Intervll, f : (, b) R, t (, b) Ableitung f (t) ist relle Zhl. Die zugehörige linere Abbildung ist df(t)(v) = f (t) v, v R d.h. df(t) = [v f (t)v] Stz Sei V normierter Vektorrum, U V offen, sei f : U R (stetig) differenzierbr. Sei c : (, b) U V eine (stetig) differenzierbre Kurve. Dnn ist f c : (, b) R (stetig) differenzierbr und (f c) (t) = df(c(t))( c(t)) Wichtige Spezilfälle dieser Rechnung c(t) = u + v t, u U V, v V, c(0) = v Ist f : U R (stetig) differenzierbr, ergibt sich (f c) (0) = df(u)(v) = D v f(u) Richtungsbleitung von f in Richtung v (m Punkt u U). D v f(u) = lim t f(u + vt) f(u) t Noch spezieller: V = R n mit Stndrd-Bsis e 1,..., e n, e k = (0,..., 0, 1, 0,... 0) k te Stelle df(u)(e k ) = D ek f(u) = f x k (u) k te prtielle Ableitung von f = lim t 0 f(u + e k t) f(u) t Beispiel V = U = R 3, u = (u 1, u 2, u 3 ), f(u) = u 2 1 u 1 u 2 + u 2 3 f(u + h) f(u) = (u 1 + h 1 ) 2 u 2 1 (u 1 + h 1 )(u 2 + h 2 ) + u 1 u 2 + (u 3 + h 3 ) 2 u 2 3 = 2u 1 h 1 + h 2 1 u 2 h 1 u 1 h 2 h 1 h 2 + 2u 3 + h 2 3 = 2u 1 h 1 u 2 h 1 u 1 h 2 + 2u 3 h }{{} 1 + h 2 1 h 1 h 2 + h 2 3 }{{} df(u)(h) λ(h) h getext: Juli Wolters 93

98 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Problem mit dem hinteren Term! Wenn ds richtig ist, erhlten wir Stz f (u) x 1 = 2u 1 u 2 f (u) x 2 = u 1 f (u) x 3 = 2u 3 Sei V ein normierter Vektorrum, sei U V offen. Sei C 1 (U, R) = {f : U R f ist stetig differenzierbr } Dnn ist C 1 (U, R) ein Vektorrum und Ring. Dbei gilt für f, g C 1 (U, R) und r R d(f + g)(u) = df(u) + dg(u) d(r f)(u) = r df(u) d(f g)(u) = f(u) dg(u) + g(u) df(u) Definition und Lemm Ist V ein normierter Vektorrum, α : V R liner un dstetig. Dnn ist α stetig differenzierbr mit dα(u)(v) = α(v) u, v V Im R n = V stetze x k (u) = u k, u = (u 1,..., u n ) R n für k = 1,..., n. Dmit ist x k : R n R liner. Mn nennt die x k Koordintenfunktion. Ihre Differentile sind lso die Ableitungen dx k (u)(v) = v k v = (v 1,..., v n ) Lemm Ist U R n offen, f C 1 (U, R), so gilt df(u) = f x 1 (u)dx 1 + f x 2 (u)dx f x n (u)dx n 94 getext: Juli Wolters

99 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Beispiel Jetzt rechnen wir Beispiel (11.17) nochml. f : R n R; f(u) = f(u 1, u 2, u 3 ) = u 2 1 u 1 u 2 + u 2 3 f(u) = x 1 (u) 2 x 1 (u)x 2 (u) + x 3 (u) 2 = df(u) = 2x 1 (u)dx 1 x 1 (u)dx 2 x 2 (u)dx 2 + 2x 3 (u)dx 3 Weiter folgt us dem Lemm: = 2u 1 dx 1 u 1 dx 2 u 2 dx 1 + 2u 3 dx 3 f (u) x 1 = 2u 1 u 2 f (u) x 2 = u 1 f (u) x n = 2u Definition (Grdient einer reellen Funktion) Ist U R n offen und f : U R (stetig) differenzierbr, so heißt der Vektor der Grdient von f in U. f(u) = ( f x 1 )(u),..., f x n (u)) Zum Beispiel f(u) = u 2 1 u 1 u 2 + u 2 3 Erinnerung f(n) = (2u 1 u 2, u 1, 2u 3 ) Auf R n ist u, v = u 1 v u n v n, u, v R n ds Stndrdsklrprodukt. Dmit gilt: df(u)(v) = < f, v > df(u)(v) = f f (u) dx 1 (v) + + (u) dx x 1 }{{} n (v) x n }{{} = f(u), v =v 1 v n getext: Juli Wolters 95

100 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN Abbildung 11.2: Die Niveulinen Beispiel V = U = R 2 f(u 1, u 2 ) = cos(u u 2 2) Die Kettenregel gilt (nächstes Kpitel). U V offen, f : U R differenzierbr. Ist nun g : R R uch differenzierbr, so gilt Für f(u 1, u 2 ) = cos(u 2 1, u 2 2) erhlten wir d(g f)(u) = g f((u))df(u) df(u 1, u 2 ) = sin(u u 2 2)(2u 1 dx 1 + 2u 2 dx Theorem Sei U R n offen, f : U R stetig. Dnn sind folgende Bedingungen äquivlent: (i) f ist stetig differenzierbr. (ii) u U f (u) := lim t 0 f(u+e k t) f(u) t x k sind stetig uf U. Wenn (i) oder (ii) gilt, ist df(u) = n Definition k=1 f x k (u)dx k k = 1,..., n und diese n Funktionen f x k 96 getext: Juli Wolters

101 Anlysis Prof. Dr. Linus Krmer Sei X ein metrischer Rum, f : X R eine reelle Funktion. Wir sgen, f ht ein Mximum (bzw. Minimum), im Punkt x X, flls f(y) f(x) (bzw f(y) f(x)) y X gilt. Ist f(y) < f(x) (bzw f(y) > f(x)) y x, so htf in x ein striktes Mximum (bzw. Minimum). Wenn f in x ein Mximum (bzw. Minimum) uf B ε (x) ht, für ε > 0, so spricht mn von einem loklen Mximum (bzw. Minimum) Stz Sei V ein normierter Vektorrum, U V offen und f : U R stetig differenzierbr. Wenn f in u ein (lokles) Extremum ht, dnn gilt df(u) = Beispiele ) U = V = R 2, f(u 1, u 2 ) = u u 2 2 Prtielle Ableitungen: f C 1 f (u) x 1 = 2u 1 f (u) x 2 = 2u 2 df(u) = 2u 1 dx 1 2u 2 dx 2 df(u) = 0 u 1 = u 2 b) U = V = R 2, f(u 1, u 2 ) = cos(u u 2 2) (Abbildungen 11.2) getext: Juli Wolters 97

102 KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN f (u) x 1 = sin(u u 2 2)2u 1 f (u) x 2 = sin(u u 2 2)2u 2 df(u) = 2 sin(u u 2 2)(u 1 dx 1 + u 2 dx 2 ) df(u) = 0 u u 2 2 = k π, k Z Diese Punkte bilden konzentrische Kreise um (0, 0) mit Rdius r = kπ, k N Ein Punkt u U heißt kritischer Punkt der differenzierbren Funktion f, flls gilt df(u) = 0. c) U = V = R 2, f(u 1, u 2 ) = u 2 1 u 2 2 df(u) = 2u 1 dx 1 2u 2 dx 2 kritischer Punkt in (0, 0) f(0, 0) = 0 f(ε, 0) = ε 2 > 0 f(0, ε) = ε 2 < 0 f ht in (0, 0) kein lokles Extremum. Fzit Kritische Punkte sind Kndidten für lokle Extrem. Aus df(u) = 0 folgt noch nicht, dss ein Extremum vorliegt. 98 getext: Juli Wolters