Mathematik I für Physiker

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1 Mthemtik I für Physiker Wintersemester 203/4 Stefn Teufel Mthemtisches Institut Uni Tübingen 3. Jnur 204 Diese Version des Skriptums ist nur zum Gebruch prllel zum Besuch der Vorlesung gedcht. Ds Studium des Skripts knn den Besuch der Vorlesung nicht ersetzen! Flls Sie Fehler finden, teilen Sie mir diese (uch die offensichtlichen) bitte mit!

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3 Inhltsverzeichnis 0 Einleitung: Besondere Zhlen, kleine Wunder und große Frgen 0. Die Kreiszhl π Die Eulersche Zhl e Die imginäre Einheit i Zhlen: ntürliche, gnze, rtionle, reelle 5. Die Körperxiome Die ntürlichen Zhlen und vollständige Induktion Vollständigkeit und Konvergenz 2. Vollständigkeit Folgen Mächtigkeit von Mengen und Abbildungen zwischen Mengen Elementre Funktionen und Stetigkeit Die Exponentilfunktion Polynome und rtionle Funktionen Die trigonometrischen Funktionen Komplexe Zhlen Definitionen und elementre Eigenschften Exponentilfunktion und Logrithmus im Komplexen Komplexe Wurzeln Unendliche Reihen 4 6 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 5 6. Grenzwerte von Funktionen Folgen von Funktionen Eindimensionle Differentilrechnung Differenzierbrkeit und Ableitungsregeln Der Mittelwertstz Der Stz von Tylor und Tylorreihen Eindimensionle Integrtion Ds Integrl für Regelfunktionen Integrtionsmethoden Uneigentliche Integrle Integrtion rtionler Funktionen Fourierreihen 9 iii

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5 0 Einleitung: Besondere Zhlen, kleine Wunder und große Frgen 0. Die Kreiszhl π Wie Sie us der Schule wissen, ht der Einheitskreis, lso der Kreis mit Rdius, den Umfng U = 2π und die Fläche F = π. Aber wie bestimmt mn π? Archimedes: Mn pproximiere den Kreis durch regelmäßige n-ecke von ußen bzw. von innen: u n 2π U n, f n π F n. Für n = 4 ergibt sich leicht u 4 = 4 2 5, 7 U 4 = 8 } 2, 8 π 4. Für n = 96 fnd schon Archimedes u 96 /2 = U 96 /2 = 3 7 } 3, 408 π 3, 428. n Es stellt sich nun die Frge, ob U n u n 0 gilt? Und wenn j, gibt es genu eine Zhl π mit n n u n 2π und Un 2π? Der Einfchheit hlber betrchten wir n dieser Stelle die gleiche Frgestellung für 2. Definiert wird 2 durch die Eigenschft ( 2) 2 = 2. Aber ws und wie groß ist 2? Ein erster Versuch ist x 0 = 3 2 lso (x 0) 2 = 9 4 = 2, 25. Ds können wir mit folgender Beobchtung verbessern: d x 0 > 2 ist, gilt 2 x 0 < 2. Es liegt lso 2 im Intervll ( 2 x 0, x 0 ) und ist ttsächlich ds geometrische Mittel der beiden Rndpunkte 2 x 0 x 0 = 2. Ersetzt mn ds geometrische Mittel durch ds rithmetische Mittel x := 2 (x x 0 ), so liefert 2/x 0 < x < x 0 eine bessere Approximtion n 2 ls der Strtwert x 0 : x = 2 ( ) 3 = 2 ( 9+8 ) 6 = 7 2 mit (x ) 2 = , 0069.

6 0 Einleitung: Besondere Zhlen, kleine Wunder und große Frgen Diesen Schritt können wir nun beliebig oft wiederholen. Für x 2 ergibt sich x 2 = 2 (x + 2 x ) = , lso (x 2) 2 = 2, , und die llgemeine Vorschrift des Bbylonischen Algorithmus lutet ( ) x n+ = 2 x n + 2 x n. Unsere Frgen von oben können wir nun präzisieren: () Konvergiert die Folge x n von Brüchen gegen eine Zhl 2? (b) Wenn j, ist 2 uch ein Bruch? Die Antwort uf (b) knnten schon die Griechen: 2 ist kein Bruch, lso nicht rtionl, 2 Q. Beweis durch Widerspruch: Angenommen 2 ist ein Bruch, lso 2 = q p für q, p N. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (O.B.d.A.) nehmen wir q und p ls teilerfremd n, d wir j sonst kürzen könnten. Dnn gilt q 2 p 2 = 2 q2 = 2p 2 q 2 ist gerde q ist gerde q 2 ist durch 4 teilbr p 2 ist gerde p ist gerde p und q sind beide durch 2 teilbr. Dies steht ber im Widerspruch zur Annhme, dss q und p teilerfremd sind. Somit knn es solche q, p N nicht geben und es gilt 2 Q. Eine der große Frgen der Mthemtik lutete: Ws genu sind irrtionle bzw. reelle Zhlen? Eine präzise Antwort wurde erst Ende des 9. Jhrhunderts von Cuchy und Dedekind gegeben. 0.2 Die Eulersche Zhl e Wir betrchten ls Beispiel die Verzinsung eines nfänglichen Kpitls K nf mit dem Zinsstz x. Bei einmliger Verzinsung zum Ende der Periode ergibt sich K end = ( + x) K nf, bei zweimliger Verzinsung jeweils zur Mitte und zum Ende der Periode und bei n-mliger Verzinsung K end = ( + x 2 ) ( + x 2 ) Knf, K end = ( + x n) n Knf. Ws pssiert im Limes kontinuierlicher Verzinsung, ws ist lso lim n ( + x n )n? Wir werden zeigen, dss uch der Limes dieser Folge existiert und definieren. Die Eulersche Zhl ist lim n ( ) + x n n =: e x ( lim + n n n) =: e 2, 78 2

7 0.3 Die imginäre Einheit i und sie ist (wie π und 2) irrtionl, ber im Gegenstz zu 2 nicht lgebrisch, d.h. nicht Nullstelle eines Polynoms mit gnzzhligen Koeffizienten. Die so definierte Funktion x e x ht erstunliche Eigenschften. Beispielsweise läßt sich e x ls konvergente Potenzreihe schreiben, und die Ableitung erfüllt e x = n=0 x n n! = + x + x2 2! + x3 3! +..., d dx (ex ) = e x. 0.3 Die imginäre Einheit i Mn definiert die imegniäre Einheit i durch ihre Eigenschft, dss i 2 =. Mn schreibt deshlb uch i =. D für lle x R gilt, dss x 2 0 ist, knn mn i nicht durch beknnte Zhlen pproximieren. Ds mcht ber nichts: Mn nimmt i einfch ls neue Zhl hinzu und rechnet wie gewohnt weiter, beispielsweise ist i + i = 2i, 2 + i ( + 2i) = i, 2i i = 2, (3i) (2i) = 6i 2 = 6 usw. Ds sieht zunächst sehr forml us, mn knn die neuen Zhlen ber visulisieren, indem mn vom Zhlenstrhl zur sogennnten Gußschen Zhlenebene übergeht. Eine komplexe Zhl entspricht dnn einem Punkt in der Ebene. z = x + iy mit x, y R Einen Punkt in der Ebene, und somit jede komplexe Zhl, knn mn ber uch mit Hilfe von Polrkoordinten ngeben, z = r(cos ϕ + i sin ϕ), mit r = z = x 2 + y 2 und ϕ = rctn y x. 3

8 0 Einleitung: Besondere Zhlen, kleine Wunder und große Frgen Ein kleines Wunder ist, dss ll die hier besprochenen Zhlen uf sehr enge Weise zusmmenhängen: es gilt nämlich die Eulersche Formel die für ϕ = 2π die Gleichung cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ, liefert. Ds ist ber lles nur der Anfng. Es gibt noch viele großrtige Entdeckungen, welche die Mthemtik in den kommenden vier Semestern für Sie bereithält. 4

9 Zhlen: ntürliche, gnze, rtionle, reelle Wir beginnen mit einer Wiederholung der üblichen Symbole: N = {, 2, 3,...} ntürliche Zhlen N 0 = {0,, 2, 3,...} Z = {0,,, 2, 2,...} = {..., 2,, 0,, 2,...} gnze Zhlen Q = {Brüche q p mit q, p Z und p 0} = { q p q, p Z, p 0} rtionle Zhlen R = Zhlenkontinuum reelle Zhlen C = Zhlenebene komplexe Zhlen Wir werden die reellen Zhlen nicht konstruieren, sondern ihre Existenz vorussetzen. Sie sind durch einige wenige Eigenschften eindeutig chrkterisiert und us diesen Axiomen lssen sich lle weiteren Rechenregeln und Eigenschften bleiten.. Die Körperxiome Auf der Menge R der reellen Zhlen sind die Verknüpfungen + : R R R Addition erklärt. Sie hben die folgenden Eigenschften: Addition : R R R Multipliktion (A) ( + b) + c = + (b + c) (Assozitivität) (A2) + b = b + (Kommuttivität) (A3) Es existiert ein Element 0 mit der Eigenschft, (Existenz des neutrlen dss + 0 = für jedes gilt. Elements der Addition) (A4) Für jedes exisitert ds dditive Inverse (Existenz des inversen mit + ( ) = 0. Elements der Addition). Folgerungen. Aus diesen Axiomen ergeben sich sofort folgende Aussgen: () Ds Nullelement ist eindeutig bestimmt, denn hben 0 und 0 die Eigenschft (A3), so ist 0 (A3) = (A2) = (A3) = 0. (b) Die Gleichung + x = b wird durch x = b := b + ( ) gelöst: + (b ) (A2) = (b ) + (A) = b + ( + ) (A2) = b + ( ) (A4) = b + 0 (A3) = b. (c) Die Lösung in (b) ist eindeutig. (Übungsufgbe) 5

10 Zhlen: ntürliche, gnze, rtionle, reelle (d) Aus (b) und (c) folgt insbesondere, dss ds inverse Element eindeutig bestimmt ist. Multipliktion (M) ( b) c = (b c) (Assozitivität) (M2) b = b (Kommuttivität) (M3) Es existiert ein Element mit der Eigenschft, (Existenz des neutrlen dss = für jedes gilt. Elements der Multipliktion) (M4) Für jedes 0 exisitert ds multipliktive (Existenz des inversen Inverse mit =. Elements der Multipliktion).2 Folgerungen. (Übungsufgben): () Auch ds Einselement ist eindeutig bestimmt. (b) Für jedes 0 wird die Gleichung x = b durch x = b gelöst. (c) Die Lösung in (b) und insbesondere ds multipliktive Inverse sind eindeutig. Distributivgesetz (D) (b + c) = b + c.3 Definition. Zhlenkörper Eine mindestens zweielementige Menge K mit Verknüpfungen + : K K K und : K K K welche die Axiome (A) (A4), (M) (M4) und (D) erfüllen, heißt Körper (englisch field )..4 Bemerkung. Sowohl die reellen Zhlen R ls uch die rtionlen Zhlen Q bilden jeweils einen Körper. D lle Regeln uch für C gelten, bilden die komplexen Zhlen ebenflls einen Körper. Es gibt uch Körper mit endlich vielen Elementen (siehe Übungen). Der Sinn der bstrkten Körperxiome liegt drin, dss mn us ihnen eine Vielzhl von Rechenregeln bleiten knn. Für R sind Ihnen diese Regeln lle beknnt und scheinen trivil. Sobld mn sie ber nur us den Axiomen hergeleitet ht, knn mn sicher sein, dss sie für lle Körper gelten..5 Beispiele. Sei K ein Körper. () Für jedes K gilt 0 = 0. Beweis. Es gilt (D) = (0 + 0) (A3) = 0. Also ist 0 Lösung der Gleichung 0 + x = 0 und somit gemäß Folgerung. (b) und (c) gleich 0. (b) Für jedes K gilt ( ) =..5 () Beweis. Es gilt 0 = 0 (M2) = 0 (A4) = ( + ( )) (D) = + ( ) (M3) = + ( ). Wegen Folgerung. (d) ist lso ( ) gleich dem dditiven Inversen von. (c) Es gilt ( ) ( ) =. Beweis. Nch (b) ist ( ) ( ) = ( ), lso gleich dem Inversen von. Ds ist ber gemäß Folgerung. (d) eindeutig und somit gleich. Wir führen n dieser Stelle einige nützliche Sprechweisen ein. 6

11 . Die Körperxiome.6 Definition. Ds Krtesische Produkt von Mengen Seien M und N Mengen, so bezeichnet mn mit M N die Menge M N := {(m, n) m M, n N} der geordneten Pre (m, n) mit m M und n N. Bechte: Als Elemente des krtesischen Produkts N N sind die Pre (5, 3) und (3, 5) verschieden, (5, 3) (3, 5). Als Teilmengen von N gilt ber {5, 3} = {3, 5}..7 Definition. Gruppe Eine Menge G mit einer Verknüpfung : G G G heißt Gruppe, flls gilt: (G) (g h) j = g (h j) für lle g, h, j G. (Assozitivität) (G2) Es existiert ein neutrles Element e G (Existenz der Eins) mit g e = e g = g für lle g G. (G3) Zu jedem g G existiert ein g G (Existenz des Inversen) mit g g = g g = e. Flls weiterhin Kommuttivität gilt, (G4) g h = h g für lle g, h G, (Kommuttivität) so heißt die Gruppe belsch. Ein Körper K ist lso eine belsche Gruppe bezüglich der Addition + : K K K, und K \ {0} (K ohne die Null) ist ein belsche Gruppe bezüglich der Multipliktion : K K K. Nun weiter mit den Eigenschften von R. Reelle Zhlen sind ngeordnet, d.h. für ein Pr (, b) von reellen Zhlen, b R gilt entweder < b oder = b oder > b. Forml definiert mn eine Reltion R uf einer Menge M ls Teilmenge des Krtesischen Produkts R M M. Die Anordnungsreltion uf R ist lso R < := {(, b) R R < b}. Dmit gilt dnn, dss < b genu dnn wenn (, b) R <. Anordnung Die Kleiner-Reltion < b ( kleiner b ), uch ls Größer-Reltion b > geschrieben, ht die folgenden Eigenschften: (O) Es gilt immer genu eine der Beziehungen (Trichotomie) < b, = b, > b. (O2) Aus < b und b < c folgt < c. (Trnsitivität) (O3) Aus < b folgt + c < b + c für jedes c. (O4) Aus < b und c > 0 folgt c < bc. Wieder lssen sich die beknnten Rechenregeln für Ungleichungen us diesen Anordnungsxiomen herleiten..8 Beispiele. () Aus > 0 folgt < 0. Denn 0 = (O3) > 0 =. (b) Aus > 0 folgt > 0. Beweis. Angenommen, < 0. Dnn wäre wegen (O4) = < 0, ws wegen > 0 (Übungsufgbe) ein Widerspruch ist. Angenommen, = 0. Dnn wäre = = 0, ws wiederum im Widerspruch zu > 0 stünde. 7

12 Zhlen: ntürliche, gnze, rtionle, reelle (c) Aus 2 b 2 für, b > 0 folgt b. Beweis. Angenommen, > b, dnn wäre nch (O4) 2 > b und b > b 2. Mit der Trnsitivität (O2) würde 2 > b 2 folgen, ws wegen (O) im Widerspruch zur Annhme 2 b 2 steht. Ein Körper K mit einer Reltion R < K K welche die Axiome (O)-(O4) erfüllt, heißt ngeordnet. Der Körper R der reellen Zhlen mit der üblichen < -Reltion ist lso ngeordnet. Die komplexen Zhlen C sind nicht ngeordnet, d 0 < i mit (O4) implizieren würde, dss i 0 < i i, lso 0 <. Anlog folgt us 0 < i mit (O4), dss 0 < ( i) ( i) =..9 Definition. Eine Zhl R heißt positiv, flls > 0 ist. Sie heißt negtiv, flls < 0 ist. Mn schreibt b flls < b oder = b..0 Definition. Betrg Der Betrg einer reellen Zhl ist die nichtnegtive reelle Zhl definiert durch := { flls 0 flls < 0.. Folgerungen. Für lle, b R gilt: () 0 und = 0 nur für = 0. (b) (c) b = b (d) = (e) + b + b (f) b b (Dreiecksungleichung) (Dreiecksungleichung von unten) Beweis. () Fllunterscheidung: > 0 = > 0, < 0 = > 0, = 0 = = 0. (b) Fllunterscheidung: > 0 =, = 0 =, < 0 0 < = (O2) <. (c) Fllunterscheidung... (d) Fllunterscheidung und.5 (c). (e) +b 2 (d) = (+b) 2 = 2 +2b+b 2 (b),(o3) 2 + 2b +b 2 (c),(d) = 2 +2 b + b 2 = ( + b ) 2. D + b 0 und + b 0, folgt mit.8 (c) die Behuptung. (f) Mit (e) ergibt sich = b + ( b) b + b, lso b b. Anlog folgt us b = + (b ) + b, dss b b, und somit die Behuptung..2 Die ntürlichen Zhlen und vollständige Induktion Die ntürlichen Zhlen N = {, 2, 3,..., } spielen in vielerlei Hinsicht eine wichtige Rolle. Mn knn sie ls die kleinste induktive Teilmenge von R definieren. Eine Teilmenge M R heißt induktiv, flls () M (b) us x M folgt x + M. 8

13 .2 Die ntürlichen Zhlen und vollständige Induktion D N die kleinste induktive Menge ist, gilt ds Induktionsprinzip Ist M eine induktive Teilmenge von N, so ist M = N. Drus leitet sich ds wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion b: Für jedes n N sei A(n) eine Aussge (die whr oder flsch sein knn). Knn mn zeigen, dss () A() whr ist (Induktionsnfng) und (b) us der Gültigkeit von A(n) (Induktionsnnhme) uch die Gültigkeit von A(n + ) folgt (Induktionsschritt), so ist A(n) whr für jedes n N. Denn M = {n N A(n) ist whr} ist dnn eine induktive Teilmenge von N und ufgrund des Induktionsprizips gilt M = N..2 Beispiel. Als Beispiel beweisen wir die Formel n k 2 := n 2 = 6 n(n + )(2n + ). k= Beweis. durch Induktion: Induktionsnfng: Für n = besgt die Formel =, eine whre Aussge. Induktionsnnhme: Es gelte die Formel für n, lso n k 2 = 6 n(n + )(2n + ). k= Induktionsschritt: Nchrechnen liefert n+ k 2 = k= n k 2 + (n + ) 2 k= I.Ann. = 6 n(n + )(2n + ) + (n + )2 (n + )[n(2n + ) + 6(n + )] = 6 = = 6 = 6 lso die entsprechende Formel für n + sttt n. 6 (n + )[2n2 + 7n + 6] (n + )(n + 2)(2n + 3) Induktionsschluss: Die Formel gilt für lle n N..3 Stz. Bernoullische Ungleichung (n + )((n + ) + )(2(n + ) + ), Sei x R mit x und n N. Dnn gilt ( + x) n + nx. Ist n 2 und x 0, so gilt sogr ( + x) n > + nx. 9

14 Zhlen: ntürliche, gnze, rtionle, reelle Beweis. durch Induktion: Für n = oder x = 0 ist die Aussge offenbr richtig. Also müssen wir nur ( + x) n > + nx für x 0 und n 2 zeigen: Induktionsnfng: Für n = 2 ist ( + x) 2 = + 2x + x 2 > + 2x. Induktionsnnhme: ( + x) n > + nx. Induktionsschritt: ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) > ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 > + (n + )x..4 Definition. Fkultät und Binomilkoeffizienten () Für n N 0 = N {0} definiert mn n! (sprich n-fkultät ) induktiv durch 0! = und (n + )! = (n + ) n!. Es ist lso n! = 2 3 n = n k= k für n N. (b) Für x R und k N 0 definiert mn den Binominlkoeffizienten ( x k) (sprich k us x oder x über k ) durch ( ) x := k x(x ) (x k + ) k! flls k.5 Bemerkung. Eigenschften der Binomilkoeffizienten und () Für x N 0 und k > x ist ( x k) = 0, d ein Fktor im Zähler gleich 0 ist. (b) Für n, k N 0 und k n gilt ( ) n = k n! k!(n k)!. ( ) x :=. 0 Es ist ( n k) die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Beispielsweise ist ( ) 49 6 = die Anzhl der möglichen Ergebnisse beim Lotto. (c) Für k N gilt (nchrechnen!) (x ) ( ) ( ) + x x = +. k k k Drus erhält mn für n, k N 0, k n, ds Psclsche Dreieck In der (n + )-ten Zeile stehen ( n 0) bis ( n n)..6 Stz. Binomischer Lehrstz Für x, y R (sogr für x, y K, wobei K ein beliebiger Körper ist) und n N 0 gilt n ( ) n (x + y) n = x k y n k. k k=0 Beweis. Vollständige Induktion (Übungsufgbe). 0

15 2 Vollständigkeit und Konvergenz 2. Vollständigkeit Alle bisher besprochenen Eigenschften von R werden uch von Q erfüllt. Q ist ebenflls ein ngeordneter Körper. Wir hben zwr gezeigt, dss es keine Zhl in Q gibt, deren Qudrt den Wert 2 ht. Aber ob es die in R gibt, ist zunächst uch nicht klr. Die Eigenschft von R, die uns fehlt, ist die Vollständigkeit. Dfür gibt es mindestens fünf in gewisser Hinsicht äquivlente Definitionen (Supremumsxiom, Monotonieprinzip, Cuchy-Kriterium, Bolzno-Weierstrß, Intervllschchtelungsprinzip), die wir nch und nch kennenlernen werden. Die Vollständigkeit ist von zentrler Bedeutung, für die Anlysis, d sie die Existenz von Grenzwerten sicherstellt (vgl. x n Q, x n 2 n Q.) 2. Definition. Beschränktheit Eine Teilmenge M R heißt nch oben beschränkt, flls es ein s R gibt so, dss x s für jedes x M. Jedes solche s heißt obere Schrnke n M. Anlog definiert mn die Begriffe nch unten beschränkt und untere Schrnke. Wir führen die (Anordnungs-)Vollständigkeit ein über ds Supremumsxiom: Jede nch oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt eine kleinste obere Schrnke in R. Diese wird ls Supremum von M, oder kurz sup M, bezeichnet. Es ist lso s = sup M eine obere Schrnke von M, zu jedem t < s gibt es ber ein x M mit x > t. Denn sonst wäre j t ebenflls obere Schrnke und gleichzeitig kleiner ls s, im Widerspruch zur Definition von s ls kleinster oberer Schrnke. Ds Infimum einer nch unten beschränkten Menge definiert mn nlog ls größte untere Schrnke. Es ist inf M = sup( M). 2.2 Beispiele. () Ds hlboffene Intervll [, b) := {x R x < b} mit < b ht ds Supremum b und ds Infimum. (b) Für M = { n n N} ist sup M = und inf M = 0. (c) Q erfüllt ds Supremumsxiom nicht, denn die Menge M = {x Q x 2 < 2} ht keine kleinste obere Schrnke in Q. Denn jede obere Schrnke s n M erfüllt s 2 > 2 und unter diesen gibt es kein kleinstes Element, wie mn sich beispielsweise n der in Abschnitt 0. konstruierten Folge x n klrmcht. Es ist nämlich sup{x Q x 2 < 2} = 2 Q. Aus dem Supremumxiom ergibt sich zunächst die Archimedische Eigenschft von R Zu je zwei positiven Zhlen, b > 0 gibt es ein n N mit n > b. Äquivlent dzu sind offenbr die Aussgen

16 2 Vollständigkeit und Konvergenz bzw. Zu jeder positiven Zhl r > 0 gibt es ein n N mit n > r, Zu jedem ε > 0 gibt es ein n N mit n < ε. Beweis. Wir zeigen die zweite Aussge durch Widerspruch. Sei r > 0 gegeben. Angenommen, es gibt kein n N mit n > r, d.h. die Menge N R ist nch oben durch r beschränkt. Dnn besitzt sie ein Supremum s := sup N und es gilt für lle n N, dss n + s lso n s. Dnn ist ber uch s obere Schrnke für N, im Widerspruch zur Definition von s ls kleinste obere Schrnke. Drus folgt nun, dss die rtionlen Zhlen dicht in den reellen Zhlen liegen. 2.3 Stz. Q liegt dicht in R In jedem nichtleeren Intervll (, b) R, lso < b, liegt eine (und somit sogr unendlich viele) rtionle Zhl. Mn sgt, Q liegt dicht in R. Beweis. Wähle n N mit n < b 2 und m := min{m Z m > n}, dnn ist < m n < m + n = m n + 2 < + (b ) = b. n 2.4 Bemerkung. Wir hben hier verwendet, dss die nch unten beschränkte Teilmenge von Z {m Z m > n } ein Minimum, lso ein kleinstes Element besitzt. Ds ist zwr uch nschulich klr, knn ber us dem Induktionsprinzip gefolgert werden. 2.5 Stz. Jede nichtleere Teilmenge von N und somit jede nch unten beschränkte Teilmenge von Z enthält ein kleinstes Element. Beweis. Sei M N nichtleer, lso M. Angenommen, M enthält kein kleinstes Element, dnn ist sicherlich M lso M c := N \ M. Per Induktion folgt nun us {, 2,..., n} M c uch n + M c, d sonst j n + kleinstes Element von M wäre. Somit ist M c = N und M =, ws im Widerspruch zur Annhme M steht. 2.6 Bemerkung. Im Beweis der Irrtionlität von 2 verwendet mn, dss jeder Bruch vollständig gekürzt werden knn. Mchen Sie sich klr, dss uch ds eine Konsequenz des vorngegngenen Stzes ist. 2.7 Bemerkung. Für R gilt die nloge Aussge nicht: Nicht jede nch unten beschränkte Teilmenge von R ht ein kleinstes Element. Beispielsweise ist für M = (0, ) := {x R 0 < x < } zwr inf M = 0, ber infm M. Die Menge M ht kein kleinstes Element, ds Minimum min M der Menge existiert nicht. Wir merken uns lso: Jede nch oben (bzw. unten) beschränkte Teilmenge von R ht ein Supremum (bzw. Infimum) ber nicht notwendigerweise ein Mximum (bzw. Minimum). 2.8 Stz. Existenz von 2 Die Zhl 2 ht eine positive reelle Qudrtwurzel, d.h. es gibt ein q R mit q > 0 und q 2 = 2. (Entsprechend existiert zu jeder Zhl > 0 us R die n-te Wurzel, wobei n N). 2

17 2.2 Folgen Beweis. Sei M := {x R x 2 < 2}. M ist nichtleer, (z.b. M) und nch oben beschränkt (z.b. durch 2). Somit existiert q := sup M R. Wir zeigen q 2 = 2. Nch obigem gilt q 2. Angenommen q 2 > 2. Dnn gibt es einerseits wegen des Archimedischen Prinzips ein n N, sodss n < q2 2 lso q 2 > 2 + n. Aufgrund der Definition des Supremums gibt es ndererseits ein x M mit x > q 4n. Insgesmt liefert ds x 2 > q 2 q 2n + 6n 2 lso einen Widerspruch zu x M. q n n + 6n 2 > 2, Angenommen q 2 < 2, lso q 2 < 2 n für ein n N. Wähle nun ein x R mit q < x < q + 8n, dnn ist einerseits x / M, ber ndererseits x 2 < q 2 + q 4n + 64n 2 lso wiederum ein Widerspruch. Dmit bleibt nur q 2 = Bemerkung. Eindeutigkeit der reellen Zhlen q 2 2 ( n ) 64n n < 2, Durch die Körperxiome (A) (A4), (M) (M4) und (D) sowie die Ordnungsxiome (O) (O4) und schließlich die (Anordnungs-)Vollständigkeit (hier Supremumsxiom) sind die reellen Zhlen bis uf Isomorphie eindeutig festgelegt. Sie bilden ds Zhlenkontinuum und hben keine Löcher. 2.2 Folgen Eine Folge (x n ) in R (oder entsprechend in jeder beliebigen Menge M) ist eine Zuordnung, die jedem n N (oder N 0 ) ein Element x n R (oder llgemein x n M) zuordnet. Genu genommen ist lso eine Folge (x n ) eine Abbildung (Funktion) von N nch R, oder kurz (x n ) R N. (x n ) : N R, Mn schreibt uch oft (x, x 2, x 3,...), lso konkret z.b. oder ( = (, n) 2, 3, ) 4,... (( ) n ) = (,,,,,...). Ein für die Anlysis zentrles Konzept ist ds der Konvergenz von Folgen. Mn sgt eine reelle Folge (x n ) konvergiert gegen x R, wenn die Folgenglieder beliebig nhe n x kommen und dort uch bleiben. Ds ist nicht präzise genug, deshlb nun die mthemtische Definition. 2.0 Definition. Folgenkonvergenz Sei (x n ) eine reelle Folge. Wir sgen, dss (x n ) gegen x R konvergiert und schreiben flls gilt: lim x n n = x oder x n x n Zu jedem ε > 0 gibt es ein n ε N so, dss für lle n n ε gilt x x n < ε. 3

18 2 Vollständigkeit und Konvergenz Mit sogennnten Quntoren es existiert und für lle schreibt mn bgekürzt ε > 0 n ε N n n ε x n x < ε. Eine gegen 0 konvergente Folge wird uch ls Nullfolge bezeichnet. Es ist lso (x n ) eine Nullfolge, flls ε > 0 n ε N n n ε x n < ε. 2. Beispiele. Nullfolgen () Die Folge x n = n ist eine Nullfolge, d mn zu ε > 0 beispielsweise n ε = /ε + (für R ist die kleinste gnze Zhl größer oder gleich ) wählen knn. Für lle n n ε gilt dnn nämlich (b) Die Folge x n = n n ε < ε. { flls n = 2 (x n ) = (,, 0,, 0, 0, 0,, 0,...) = m für ein m N 0 0 sonst ist keine Nullfolge, d es selbst zu ε = kein pssendes n ε gibt. Denn zu jedem n ε N gibt es ein m N mit n = 2 m n ε für welches dnn gilt x n = ε. 2.2 Merkregel. zur Folgenkonvergenz Eine Folge (x n ) konvergiert gegen den Wert x flls gilt: Zu jedem ε-schluch (sei er uch noch so schml) um den Grenzwert x muss es ein n ε geben, so dss b n ε lle Folgenglieder x n in diesem ε-schluch bleiben. Mn sgt uch, dss schließlich lle Folgenglieder in dem ε-schluch liegen. Lässt mn in einer Folge (x n ) Glieder weg, so spricht mn von einer Teilfolge, z.b. sind (x, x 3, x 5, x 7,...) oder (x, x 4, x 9, x 6,...) Teilfolgen von (x n ). Mn schreibt für eine Teilfolge von (x n ) n N uch (x nk ) k N, d.h. ds k-te Folgenglied der Teilfolge ist ds n k -te Glied der ursprünglichen Folge. Z.B. ist (x, x 3, x 5, x 7,...) = (x 2k ) k N, lso n k = 2k, oder (x, x 4, x 9, x 6,...) = (x k 2) k N, lso n k = k 2. Im Allgemeinen bezeichnet k n k eine streng monoton wchsende Funktion von N nch N. D mn durch Verschieben jede konvergente Folge (x n ) mit lim n x n = x zu einer Nullfolge (x n x) mit lim n (x n x) = 0 mchen knn, untersuchen wir zunächst Nullfolgen genuer. 2.3 Proposition. Eigenschften von Nullfolgen () Ist (y n ) eine Nullfolge und gibt es ein N N so, dss x n y n für lle n N, so ist uch (x n ) eine Nullfolge. 4

19 2.2 Folgen Beweis. Sei ε > 0. Wähle n ε N so, dss y n < ε für lle n n ε. Dnn gilt uch x n y n < ε für lle n n ε und x n ist eine Nullfolge. Insbesondere knn mn endlich viele Glieder einer Nullfolge beliebig bändern und erhält immer noch eine Nullfolge. (b) Ist (x n ) eine Nullfolge, so ist für jedes c R uch (cx n ) eine Nullfolge. Beweis. Sei ε > 0. Wähle n ε N so, dss x n ε c für lle n n ε. Dnn gilt cx n < ε für lle n n ε und cx n ist eine Nullfolge. (c) Für q < ist (q n ) eine Nullfolge (für q offensichtlich nicht, d q n für lle n N). Beweis. Sei q < lso q = +h für ein h > 0. Dnn folgt us der Bernoullischen Ungleichung q n = q n = ( + h)n + nh > nh, lso q n nh, und die Aussge folgt mit (), (b) und Beispiel 2. (). (d) Jede Teilfolge (x nk ) k N einer Nullfolge (x n ) n N ist eine Nullfolge. Beweis. Sei ε > 0 und wähle n ε N so, dss x n < ε für lle n n ε. Dnn ist wegen n k k uch x nk < ε für lle k n ε. (e) Mit (x n ) und (y n ) sind uch (x n ± y n ) Nullfolgen. Beweis. Folgt us der Dreiecksungleichung x n ± y n x n + y n. (f) Ist (x n ) eine Nullfolge und (y n ) beschränkt, d.h. es gibt ein c R mit y n c für lle n N, so ist uch (x n y n ) eine Nullfolge. Beweis. Folgt us x n y n c x n. (g) Jede Nullfolge (x n ) ist beschränkt. Beweis. Zu ε = existiert ein n mit x n < für lle n n. Also gilt für lle n N, dss x n mx{, x, x 2,... x n }. (h) Ist (x n ) eine Nullfolge, so ist uch ( m x n ) eine Nullfolge. Beweis. Sei ε > 0 und n ε so, dss x n < ε m. Dnn ist m x n < ε für lle n n ε. 2.4 Proposition. Eigenschften konvergenter Folgen () Grenzwerte sind eindeutig, d.h. us lim n x n = x und lim n x n = y folgt x = y. Beweis. Angenommen, x y. Setze ε = 2 x y > 0, dnn impliziert x n x < ε ber x n y > ε. Also knn (x n ) nicht gleichzeitig gegen x und gegen y konvergieren. (b) Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis. x n x n x + x und x n x ist nch Proposition 2.3 (g) beschränkt. (c) Konvergiert (x n ) gegen x, so ist ( x n ) konvergent gegen x. Beweis. x n x x n x. (d) Dreifolgenstz: Gilt lim n x n = lim n z n = und x n y n z n für lle n N, so ist uch lim n y n =. Beweis. Übungsufgbe. 5

20 2 Vollständigkeit und Konvergenz (e) Ist M R beschränkt und s = sup M, so gibt es eine Folge (x n ) in M mit lim n x n = s. Beweis. Zu jedem n N wähle x n M mit x n > s n. So ein x n gibt es immer, denn sonst wäre j s n < s = sup M schon eine obere Schrnke n M. Also ist s n < x n s für lle n N und lim n x n = s folgt us (d). (f) Seien lim n x n = x, lim n y n = y und, b R, dnn gilt und Flls y 0 ist, so gilt uch lim (x n + by n ) = x + by n lim x ny n = xy. n x n lim = x n y n y. Beweis. Wir zeigen exemplrisch die letzte Aussge: Für n groß genug ist y n > 2 y lso y n 0. Dnn gilt x n x = x ny xy n 2 xn y n y y n y y 2 y xy n = 2 (xn y 2 y xy) + (xy xy n ) 2 ( ) y 2 x n x y + y n y x = 2 y x n x + 2 x y 2 y n y n 0. (g) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den gleichen Grenzwert. (h) Ist lim n x n = x, so ist für jedes m N uch lim n m x n = m x. Beweis. Übungsufgbe. Oft ist es nicht gnz einfch, die Konvergenz einer Folge direkt zu zeigen, insbesondere, wenn mn den Grenzwert nicht kennt. Häufig genügt es ber uch zu wissen, dss die Folge überhupt konvergiert und dfür zeigen wir einfche ber wichtige Kriterien. 2.5 Definition. Monotone Folgen Eine Folge (x n ) heißt monoton wchsend (bzw. fllend), flls x n x n+ für lle n N (bzw. x n x n+ ). Sie heißt streng monoton wchsend (bzw. fllend), flls sogr x n < x n+ (bzw. x n > x n+ ) für lle n N gilt. 2.6 Stz. Monotoniekriterium Jede monoton wchsende und nch oben beschränkte Folge (x n ) in R konvergiert gegen x := sup{x n n N}. Beweis. Zu jedem ε > 0 gibt es ufgrund der Definition des Supremums ein n ε so, dss x ε < x nε x. D x n monton wächst, ist ber uch worus die Konvergenz folgt. x ε < x n x für lle n n ε, 6

21 2.2 Folgen 2.7 Bemerkung. D mn bei einer Folge endlich viele Glieder beliebig bändern oder uch weglssen knn, ohne ds Konvergenzverhlten zu ändern, reicht es beispielsweise die Monotonie der Folge b einem endlichen N N zu fordern. Mn sgt dnn uch, eine Eigenschft (Monotonie, Positivität etc.) gilt für n groß genug. 2.8 Beispiele. () Für jedes x R \ {0} ist die Folge n = ( + x n) n b einem hinreichend großen n streng monoton wchsend und beschränkt und somit konvergent: n+ n = ( + x ( n+ )n+ + x ( + x = ( + x n )n n ) + x n = ( + x n ) ( + = ( + x n ) ( + x n+ x n + x n x (n + )(n + x) }{{} > für n > x ) n+ n+ ) n+ = ( + x n ) ) n+ Bernoulli > ( + x n )( x n+x ) = ( + x n )( + x n ) =. ( ) x n+ n(n+) n+x n Somit ist die Folge n b einem hinreichend grossen n streng monoton wchsend. Weiterhin ist ( + x n )n beschränkt durch ( x n ) n, d für n > x. ( + x n )n ( ) n ( x = ( + x n ) n n )( x n ) = ( x 2 ) n < n 2 Schließlich ist ( x n ) n für n groß genug monoton fllend, d j ( + ( x) n )n für n groß genug monoton wächst. Also ist ( x n ) n und somit uch ( + x n )n beschränkt. (b) Es gilt lim n n n = : Die Folge n = n n ist nch unten beschränkt, denn n für lle n N, und monoton fllend für n groß genug, denn ( n+ n ) n(n+) = (n + ) n n n+ = n ( + ) n () c n n < für n groß genug. Also konvergiert ( n ) (und uch die Teilfolge ( 2n )) nch dem Monotoniekriterium, sgen wir gegen. Wir zeigen nun, dss = gilt, worus dnn 2 = und somit = folgt. = lim n 2n = lim n 2n 2n = lim n Bemerkung: Später folgern wir ds us lim n 2n 2 2n n = lim n n n = lim e n ln n = e 0 =. 2n 2 lim n = =. n Wir kommen nun zu einer lterntiven Chrkterisierung der Vollständigkeit von R, lso der Idee, dss R keine Lücken ht. Wir formulieren die Aussge ls Stz, d sie eine Konsequenz us dem Supremumsxiom ist. 2.9 Stz. Intervllschchtelungsprinzip Eine Folge von Intervllen [ n, b n ] = {x R n x b n } mit n < b n und [ n+, b n+ ] [ n, b n ] für lle n N sowie lim n ( n b n ) = 0 heißt Intervllschchtelung. Zu jeder Intervllschchtelung gibt es ein eindeutiges x R mit x [ n, b n ] für lle n N. Es gilt lim n n = lim n b n = x. 7

22 2 Vollständigkeit und Konvergenz Beweis. Aus der Schchtelungseigenschft [ n+, b n+ ] [ n, b n ] folgt sofort, dss ( n ) monoton wächst und (b n ) monoton fällt. Weiterhin ist n < b m für lle n, m N, denn us n b m folgt entweder n b m b n flls n > m oder m n b m flls n < m, beides ein Widerspruch zur Annhme, dss n < b n für lle n N. Aufgrund des Monotoniekriteriums gilt lso mit Für jedes n gilt lim n = := sup{ n n N} und lim b n = b := inf{b n n N} n n b. 0 b b n n, ws wegen lim n (b n n ) = 0 schon b = 0 impliziert. Mit x := b = gilt dnn n = x = b b n, lso x [ n, b n ] für lle n N. Jedes x R mit x x liegt ber schließlich ußerhlb von [ n, b n ]: Flls x < x =, dnn gibt es ein n N mit n > x, flls x > x = b, dnn gibt es ein n N mit b n < x. Dmit ist x eindeutig. Für eine reelle Zhl x > 0 sei die Dezimlbruchentwicklung definiert durch x 0 := mx{k Z k < x} x := mx{k {0,, 2,..., 9} x 0 + k 0 < x}. x n+ := mx{k {0,..., 9} x 0 + x x n 0 n + k 0 n < x}. Es wird lso jedem x > 0 eine Folge (x n ) mit x n {0,..., 9} für n zugeordnet, die nicht b einer Stelle identisch Null ist. (Wrum?) 2.20 Korollr. Dezimlbruchentwicklung Zu jeder Dezimlfolge (x n ), lso x n {0,..., 9} für lle n N und x n 0 für unendlich viele n N, gibt es genu eine reelle Zhl x im Intervll (0, ], welche die Folge (x n ) ls Dezimlbruchentwicklung ht. Beweis. Durch (x n ) wird die Intervllschchtelung n := x x n 0 n, b n := n + 0 n definiert. Gemäß Stz 2.9 gilt lso lim n n = lim n b n = x. D x n 0 für unendlich viele n N gilt, ist n < x b n für lle n N. Dmit ergibt sich ber uch sofort die Behuptung, dss (x n ) die Dezimlbruchentwicklung von x ist. Mn schreibt ntürlich für die Dezimlbruchentwicklung einer reellen Zhl wieder x = x 0, x x 2 x Nch obigem Stz gilt: Verschiedene Zhlen hben verschiedene Entwicklungen und verschiedene Entwicklungen stehen für verschiedene Zhlen. Allerdings ist die Entwicklung von 2 durch, gegeben. Diese Feinheit werden wir ber in Zukunft ignorieren und sttt, wieder, 5 schreiben. 8

23 2.2 Folgen 2.2 Bemerkung. Anlog definiert mn b-dische Entwicklung für b N, b 2. x = x 0 + x b + x 2 b 2 +. Ein weiteres Konvergenzkriterium und eine weitere Chrkterisierung der Vollständigkeit liefert ds Konzept der Cuchyfolge Definition. Cuchyfolge Eine Folge (x n ) in R heißt Cuchyfolge, wenn es zu jedem ε > 0 ein n ε N gibt, sodss für lle n, m n ε gilt x n x m < ε. In Quntorenschreibweise ε > 0 n ε N n, m n ε x n x m < ε. In einer Cuchyfolge liegen lso je zwei beliebige Folgenglieder b einem n ε höchstens ε voneinnder entfernt Bemerkung. Jede konvergente Folge ist eine Cuchyfolge: sei n ε N so, dss x x n < ε 2 für lle n n ε, dnn gilt für lle n, m n ε x n x m = x n x + x x m x n x + x x m < ε Stz. Konvergenzkriterium von Cuchy Jede Cuchyfolge in R konvergiert. Den Beweis holen wir gleich nch Bemerkung. Die Definition der Cuchyfolge knn mn sofort uf Folgen in metrischen Räumen (ds sind Räume, in denen ein Abstnd d(x n, x m ) zwischen Punkten definiert ist) verllgemeinern. Mn sgt, ein metrischer Rum ist vollständig, flls jede Cuchyfolge in diesem Rum konvergiert. Die reellen Zhlen sind lso uch gemäß dieser Definition vollständig. Die im Supremumsxiom usgedrückte Ordnungsvollständigkeit von R besgt mehr ls die Vollständigkeit nch Cuchy, d sie uch die Archimedische Eigenschft impliziert. Wir könnten llerdings ds Supremumsxiom durch die zwei Axiome Cuchykriterium und Archimedische Eigenschft ersetzen Lemm. Jede Cuchyfolge ist beschränkt. Beweis. Sei (x n ) eine Cuchyfolge, ε = und n so, dss x n x m < für m, n n. Dnn gilt für n n x n = x n x n + x n x n x n + x n < + x n, lso x n mx x{ x,, x n, + x n } Definition. Häufungspunkt Eine Zhl x heißt Häufungspunkt einer Folge (x n ), flls (x n ) eine Teilfolge besitzt, die gegen x konvergiert Beispiele. () Die Folge (x n ) = (( ) n ) = (,,,,,...) konvergiert zwr nicht, ht ber die Häufungspunkte und. 9

24 2 Vollständigkeit und Konvergenz (b) Eine konvergente Folge ht ls einzigen Häufungspunkt ihren Grenzwert, d nch Proposition 2.4 (g) jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenflls gegen den Grenzwert der ursprünglichen Folge konvergiert. (c) Eine Folge knn sogr -viele Häufungspunkte hben, z.b. ist für jede ntürliche Zhl ein Häufungspunkt. (x n ) = (, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,, 2, 3, 4, 5,,...) (d) Mnche Folgen hben gr keinen Häufungspunkt, z.b. (x n ) = (n) = (, 2, 3, 4,...) Merkregel. Konvergenz und Häufungspunkt Eine Folge (x n ) konvergiert gegen x, wenn in jeder ε-umgebung von x schließlich lle Folgenglieder liegen. Eine Folge (x n ) ht x ls Häufungspunkt, wenn in jeder ε-umgebung von x unendlich-viele Folgenglieder liegen Stz. Bolzno-Weierstrß Jede beschränkte Folge (x n ) in R ht mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. D (x n ) beschränkt, gibt es ein Intervll [, b] in dem die Folge enthlten ist, lso x n [, b] für lle n N. Hlbiert mn ds Intervll gemäß [, b] = [, +b 2 ] [ +b 2, b], so sind in mindestens einem der Teilintervlle unendlich-viele Folgenglieder enthlten. Wir nennen diese Teilintervll I und setzen n := min{n N x n I }. Nun wiederholen wir diesen Schritt rekursiv: im k-ten Schritt wird ds zuvor definierte Intervll I k, welches unendlich-viele Folgenglieder enthält, hlbiert. Mindestens eines der Teilintervlle, nennen wir es I k+, enthält wieder unendlich-viele Folgenglieder und wir setzen n k+ := min{n N n > n k und x n I k+ }. Die Intervllfolge I k ist eine Intervllschchtelung, die nch Stz 2.9 genu einen Punkt enthält x, gegen den die Teilfolge (x nk ) dnn konvergiert. Nun können wir den Beweis des Cuchykriteriums, Stz 2.24 nchreichen. Beweis. des Cuchykriteriums. Nch Lemm 2.26 ist jede Cuchyfolge beschränkt und ht somit einen Häufungspunkt x, d.h. eine gegen x konvergente Teilfolge. Die Konvergenz einer Teilfolge (x nk ) k N einer Cuchyfolge (x n ) n N gegen x impliziert ber die Konvergenz der gnzen Folge gegen x. Ds sieht mn so: Sei ε > 0. D (x n ) Cuchy ist, gibt es ein n ε N so, dss x n x m < ε 2 für lle n, m n ε. D (x nk ) gegen x konvergiert, existiert ein k ε N so, dss n kε n ε und x nkε x < ε 2. Dnn ist für lle n n ε x n x = x n x + x x x nkε nkε n x + x nkε nkε x < ε. 2.3 Definition. Divergente Folgen Eine Folge (x n ) die nicht konvergiert, heißt divergent. Sie heißt bestimmt divergent und mn schreibt lim x n = bzw. lim x n =, n n flls M R n M N n n M x n M bzw. x n M. Eine Folge divergiert bestimmt gegen Unendlich, wenn für jedes (noch so große) M R gilt, dss schließlich lle Folgenglieder größer ls M sind Beispiel. Die Folge (x n ) = (n) = (, 2, 3, 4,...) ist bestimmt divergent gegen Unendlich. 20

25 2.3 Mächtigkeit von Mengen und Abbildungen zwischen Mengen 2.3 Mächtigkeit von Mengen und Abbildungen zwischen Mengen 2.33 Definition. Endliche Mengen Eine Menge M heißt endlich, flls sie endlich viele Elemente enthält. Ihre Mächtigkeit M ist dnn die Zhl ihrer Elemente, M N Beispiele. () Die leere Menge enthält keine Element, es gilt lso = 0. (b) Die Menge M = {n N n 2 0} ht Mächtigkeit M = 3. Bei unendlichen Mengen ist die Frge nch der Mächtigkeit nicht gnz so offensichtlich zu bentworten. Ws ist beispielsweise mit N und R? Sicherlich ist N = und R =, ber gilt uch N = R und mcht die Frge überhupt Sinn? Klr, zwei Mengen sind gleichmächtig, flls wir eine eins-zu-eins Zuordnung zwischen ihren Elementen finden können: 2.35 Definition. Funktion/Abbildung Eine Funktion oder Abbildung f : M N, x f(x), ordnet jedem Element x M ein Element f(x) N zu. Dbei können zwei verschiedene x, x M, x x, uf dsselbe y N bgebildet werden, lso f(x) = f(x ) = y. Es knn ber uch Werte y N geben, uf die kein x M bgebildet wird, lso f(x) y für lle x M. Wir nennen M den Definitions- oder Urbildbereich, N die Zielmenge und ds Bild von f. Bildf := {y N es gibt ein x M mit y = f(x)} N Eine Funktion f : M N heißt injektiv, flls jeder Wert y N höchstens einml ngenommen wird. Also f ist injektiv f(x) = f(x ) impliziert x = x x x impliziert f(x) f(x ). Eine Funktion f : M N heißt surjektiv, flls jeder Wert y N mindestens einml ngenommen wird. Also f ist surjektiv y N x M mit f(x) = y Bildf = N. Eine Funktion f : M N heißt bijektiv, flls sie injektiv und surjektiv ist, flls lso jeder Wert y N genu einml ngenommen wird. Eine Bijektion ist somit eine eins-zu-eins Zuordnung der Elemente von M und N. 2

26 2 Vollständigkeit und Konvergenz 2.36 Beispiele. () Die Funktion f : Z Z, z f(z) = z 2 ist weder injektiv, d f(z) = f( z), noch surjektiv, d Bildf Z. (b) Die Funktion f : N N, n f(n) = n 2 ist injektiv, d für n, m N us n 2 = m 2 schon n = m folgt. Wegen Bildf N ist f wieder nicht surjektiv. (c) Die Funktion f : Z Z, z f(z) = z ist injektiv und surjektiv, lso bijektiv Bemerkung. Umkehrbbildung Offenbr existiert zu f : M N genu dnn eine Umkehrbbildung f : N M mit und flls f bijektiv ist. (f f)(x) := f (f(x)) = x für lle x M (f f )(y) := f(f (y)) = y für lle y N, Achtung: Die Umkehrbbildung f ist nicht zu verwechseln mit der Funktion f, welche für f : M R \ {0} definiert ist durch f : M R \ {0}, x f(x) Definition. Gleichmächtige Mengen Zwei Mengen M und N heißen gleichmächtig, M = N, flls es eine Bijektion f : M N gibt Beispiel. Die Mengen M = N und N = {n N n gerde} sind gleichmächtig, d f : M N, n f(n) = 2n bijektiv ist Definition. Abzählbr unendliche Mengen Eine Menge M heißt bzählbr unendlich, flls sie die gleiche Mächtigkeit wie die ntürlichen Zhlen ht, lso M = N gilt. Eine Menge M heißt bzählbr, flls M = N oder M N 0. Offenbr ist M genu dnn bzählbr, flls sich M ls Folge M = {x n n N} schreiben lässt. 2.4 Stz. Abzählbrkeit der rtionlen Zhlen Die Menge Q der rtionlen Zhlen ist bzählbr. Beweis. Cntors Digonltrick Nummer : Ds folgende Schem liefert eine Abzählung (q, q 2, q 3,...) der positiven rtionlen Zhlen, wobei kürzbre Brüche weggelssen werden, lso (q, q 2, q 3,...) = (, 2, 2, 3, 3, 4, 2 3, 3 2, 4, 5, 5,...). In der k-ten Zeile steht hier die Folge ( n k ) n N. Somit ist sichergestellt, dss jeder positive Bruch in der so konstruierten Folge (q, q 2, q 3,...) vorkommt. Eine Abzählung von Q erhält mn dnn durch (0, q, q, q 2, q 2,...).. 22

27 2.3 Mächtigkeit von Mengen und Abbildungen zwischen Mengen 2.42 Stz. Die Vereinigung bzählbr vieler bzählbrer Mengen ist wieder bzählbr. Beweis. Cntors Digonltrick Nummer Stz. Überbzählbrkeit von R Die reellen Zhlen R sind nicht bzählbr, mn sgt, sie sind überbzählbr. Beweis. Cntors Digonltrick Nummer 2: Wir zeigen, dss schon ds Intervll (0, ) R nicht bzählbr ist. Angenommen, es existiert eine Abzählung von (0, ), lso (0, ) = {x n n N}. In Dezimlbruchentwicklung schreiben wir x = 0, x x 2 x 3 x 4 x 2 = 0, x 2 x 22 x 23 x 24 x 3 = 0, x 3 x 32 x 33 x 34 x 4 = 0, x 4 x 42 x 43 x 44 Die Zhl y = 0, y y 2 y 3... mit der Dezimlbruchentwicklung { flls xnn y n = 2 flls x nn = liegt im Intervll (0, ), kommt ber in obigem Schem nicht vor. Ds steht im Widerspruch zur Annhme (0, ) = {x n n N} Bemerkung. Kontinuumshypothese von Cntor (878) Die Kontinuumshypothese besgt, dss jede Teilmenge von R entweder bzählbr oder gleichmächtig zu R ist, lso für jedes M R gilt, dss entweder M < oder M = N oder M = R. Kurt Gödel (938): die Kontinuumshypothese läßt sich us den üblichen Axiomen der Mengenlehre (Zermelo-Frenkel-Axiome) herus nicht widerlegen. Pul Cohen (960): die Kontinuumshypothese läßt sich mit Hilfe den üblichen Axiome der Mengenlehre (Zermelo-Frenkel-Axiome) nicht beweisen. Die Kontinuumshypothese ist lso innerhlb der Zermelo-Frenkel-Mengenlehre nicht entscheidbr. 23

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29 3 Elementre Funktionen und Stetigkeit 3. Die Exponentilfunktion Wie wir im letzten Abschnitt gezeigt hben, konvergieren die Folgen (+ x n )n und ( x n ) n gegen denselben Grenzwert und wir definieren die Exponentilfunktion zunächst durch ( exp : R R, x exp(x) := lim + x n ( = lim n n) x n. n n) 3. Stz. Exponentilgesetz Es gilt () exp(0) = (b) exp(x + y) = exp(x) exp(y) für lle x, y R Drus folgt sofort, dss exp(x) > 0 für lle x R und exp( x) = exp(x) (Übung) Beweis. Teil () ist offensichtlich. Für (b) stellen wir fest, dss ( ( exp(x + y) exp(x) exp(y) = lim + x+y ) n ( ) n n + x n ( n + y ) ) n n. }{{} ( ) Der Ausdruck ( ) ht die Form wobei und c n (b) n = (c b) ( b + x n ) ( Also gilt ( c n k (b) k + x n und somit + y n ) n ( ( ) n c n k (b) k (vgl. Übung b) k= ) (, c + x n + y n + x n + y n x y n 2 c b = xy n 2. ) n ( + x n n exp( x ) exp( y ) n 0. ) ( + y n ) n ( + y n ) n exp( x ) exp( y ) ) 3.2 Definition und Stz. Die Eulersche Zhl Die Eulersche Zhl e ist definiert durch e := exp(). Es gilt exp(x) = e x für jede rtionle Zhl x Q, d.h. ( exp ( q p)) p = (exp()) q. 25

30 3 Elementre Funktionen und Stetigkeit Beweis. Übungsufgbe. Dher liegt es nhe, für jede reelle Zhl x R zu definieren. e x := exp(x) 3.3 Stz. Eigenschften der Exponentilfunktion () e 0 = und e x+y = e x e y für lle x, y R. (b) e x > 0 für lle x R. (c) e x > + x für x 0. (d) e x ist streng monoton wchsend, d.h. us x < y folgt e x < e y. (e) e x wächst schneller ls jede Potenz von x, d.h. für jedes n N und jedes c 0 gibts es ein x 0 R so, dss e x > cx n für x > x 0. (f) e x fällt schneller ls jede inverse Potenz von x, d.h. für jedes n N und jedes c > 0 gibt es ein x 0 R so, dss e x < cx n für x > x 0. (g) Für x < ist e x x x. Beweis. () und (b) wurden schon gezeigt. (c) Für x > (ußer x = 0) ist n ( + x n )n b n = streng monoton wchsend (vgl. Beispiel 2.8 ()), lso Für x ist + x 0 < e x. + x = ( + x ) < ( + x n )n < e x. (d) Nch (b) und (c) ist e x > 0 für lle x R und e x > flls x > 0. Für x < y folgt dher e y e x = e x (e y x ) > 0. (e) Sei c := c n. Für x > 4n 2 c =: x 0 ist x > 2n c lso x 2n > c x. Somit gilt (f) Folgt sofort us (e) e x > ( + x ) ( cx) 2n 2n 2n > + > ( cx) 2n = cx n. (g) D ( n) x n für x < streng monoton gegen e x fällt, ist e x x, lso ex für x 0 die Behuptung ist. Für < x < 0 ist nch (c) e x x = x < x x, ws x x. 3.4 Definition. Monotone Funktionen Eine reelle Funktion f : D R uf einer Teilmenge D R heißt monoton wchsend (fllend), flls us x < y folgt, dss f(x) f(y). Sie heißt streng monoton wchsend (fllend), flls us x < y folgt, dss f(x) < f(y). 3.5 Bemerkung. Streng monotone Funktionen sind injektiv. Denn sei f(x) = f(y), dnn knn weder x < y noch x > y gelten. Also folgt x = y. 26

31 3. Die Exponentilfunktion Wir wissen lso, dss exp : R (0, ) := {x R 0 < x} injektiv ist. Flls exp uch surjektiv ist, so können wir die Umkehrfunktion ln = exp (0, ) R definieren. Surjektivität ist eigentlich klr, d einerseits lim n e n = 0 und lim n e n = und ndererseits e x keine Sprünge ht, lso stetig ist. Umgngssprchlich heißt eine Funktion f stetig, wenn sich der Wert f(x) mit x kontinuierlich ändert, oder nders gesgt, wenn mn den Grphen in einem Zug zeichnen knn. 3.6 Definition. Folgenstetigkeit Eine Funktion f : D R uf einer Teilmenge D R heißt stetig im Punkt x 0 D, wenn für jede Folge (x n ) in D mit lim n x n = x 0 gilt, dss lim f(x n) = f(x 0 ). n Die Funktion f heißt stetig, flls sie in llen Punkten x 0 D stetig ist. 3.7 Bemerkung. Folgenstetigkeit bedeutet lso, dss mn den Limes in die Funktion ziehen knn, lso für gegen ein x 0 D konvergente Folgen (x n ) in D gilt, dss lim f(x n) = f( lim x n). n n 3.8 Beispiele. () Die Funktion f : R \ {0} R, x f(x) = x ist stetig, d für x n x 0 0 gilt, dss lim n x n = x 0. (b) Die Funktion { 0 für x < 0 g : R R, x g(x) = für x 0 ist nicht stetig, d für x n = n gilt. lim g(x n) = 0 g( lim x n) = f(0) = n n 3.9 Stz. Die Exponentilfunktion ist stetig. Beweis. Sei lim n x n = x 0. Dnn gilt für x n x 0 <, dss e xn e x 0 = e x 0 e xn x 0 e x x 0 n x 0 n 0. x n x Stz. Zwischenwertstz Sei f : [, b] R stetig und f() < f(b). Dnn gibt es zu jedem Zwischenwert y 0 (f(), f(b)) mindestens ein Urbild x 0 (, b) mit f(x 0 ) = y 0. Die nloge Aussge gilt für f(b) < f(). Beweis. Sei f() < y 0 < f(b) und M := {x [, b] f(x) < y 0 }. Dnn ist {} M und M ist durch b nch oben beschränkt. Also existieren x 0 := sup M und eine Folge (x n ) in M [, b] mit lim n x n = x 0. Wegen der Stetigkeit von f und f(x n ) < y 0 gilt nun f(x 0 ) = lim n f(x n) y 0 27

32 3 Elementre Funktionen und Stetigkeit und somit insbesondere x 0 < b. D ndererseits x 0 + n M für lle n N und x 0 + n [, b] für n groß genug, folgt wiederum us der Stetigkeit von f, dss f(x 0 ) = lim n f(x 0 + n ) y 0. Also muss f(x 0 ) = y 0 gelten. 3. Stz. über die Umkehrfunktion Sei f : [, b] R stetig und streng monoton wchsend. Dnn bildet f ds Intervll [, b] bijektiv uf ds Intervll [f(), f(b)] b. Die Umkehrfunktion f : [f(), f(b)] [, b] ist ebenflls stetig und streng monoton wchsend. y x [, b] mit f(x) = y, Die nloge Aussge gilt für streng monoton fllende Funktionen. Beweis. Setze A := f() und B := f(b). Aus < x < b folgt A < f(x) < B für lle x (, b), lso insbesondere A < B. Wegen der strengen Monotonie ist f injektiv und us dem Zwischenwertstz folgt, dss f jeden Wert zwischen A und B nnimmt, d.h. f : [, b] [A, B] ist bijektiv. Somit existiert die Umkehrfunktion f : [A, B] [, b]. f ist streng monoton wchsend: Sei y < z. Wäre f (y) f (z) so folgte us der Monotonie von f, dss y = f(f (y)) f(f (z)) = z, ein Widerspruch. f ist stetig in y 0 [A, B] : Zunächst bemerken wir, dss (f (y 0 + n )) n N monoton fällt und durch f (y 0 ) nch unten beschränkt ist und somit gegen ein x 0 [, b] konvergiert. Mit der Stetigkeit von f folgt drus f(x 0 ) = lim f ( f ( y 0 + )) n n = y0, d.h. es gilt f (y 0 ) = x 0. Entsprechend folgt f ( y 0 ) n n f (y 0 ) = x 0. Für y 0 = A mcht nur die erste Aussge Sinn, für y 0 = B nur die zweite. Mn nennt ds dnn rechtsseitige bzw. linksseitige Stetigkeit. Sei nun (y n ) eine Folge in [A, B] mit y n y 0. Für jedes ε > 0 existiert nch der Vorbemerkung ein N N mit f (y 0 ) f ( y 0 N ) < ε 2 und f ( y 0 + N ) f (y 0 ) < ε 2. Außerdem gibt es ein N N mit N N und y n y 0 < N für lle n N. D f streng monoton steigt, gilt für n N f (y n ) f (y 0 ) f ( y 0 + ) N f ( y 0 ) N f ( y 0 + ) N f (y 0 ) + f (y 0 ) f ( y 0 + ) N < ε, d.h. f (y n ) f (y 0 ). 28

33 3. Die Exponentilfunktion 3.2 Definition und Stz. Die Logrithmusfunktion Die Exponentilfunktion exp : R (0, ) ist bijektiv und stetig. Die Umkehrfunktion wird mit ln : (0, ) R, x ln(x) bezeichnet. Die Logrithmusfunktion ln ist streng monoton wchsend und stetig. Beweis. Die Exponentilfunktion ist streng monoton wchsend, lso injektiv. Nch Stz 3.3 (e) und (f) gilt lim n e n = und lim n e n = 0. Also existieren zu y 0 (0, ) Werte n +, n N mit e n < y 0 < e n +. D exp stetig ist, existiert nch dem Zwischenwertstz x 0 ( n, n + ) mit exp(x 0 ) = y 0. Also ist exp surjektiv und somit bijektiv. Der Stz über die Umkehrfunktion besgt nun, dss der Logrithmus ln uf jedem endlichen bgeschlossenen Intervll und somit uf gnz (0, ) stetig und streng monoton wchsend ist. 3.3 Korollr. Eigenschften des Logrithmus () Es gilt e ln y = y für lle y > 0 und ln(e x ) = x für lle x R. Insbesondere ist ln = 0 und ln e =. (b) Für, b > 0 gilt ln( b) = ln() + ln(b) und ln ( b ) = ln() ln(b). (c) Für x > 0 und n N ist ln(x n ) = n ln(x). (d) Für x > und x 0 ist ln( + x) < x. (e) Der Logrithmus wächst lngsmer ls jede Potenz x n, n N, für x, d.h. n N c > 0 x 0 (0, ) x > x 0 ln x < cx n. (f) Der Logrithmus fällt lngsmer ls jede Potenz x n, n N, für x 0, d.h. n N c > 0 x 0 (0, ) x < x 0 ln x > cx n. Beweis. () ist klr, d ln die Umkehrfunktion zu exp ist. (b)-(d) werden in den Übungen gezeigt. Zu (e): D exp streng monoton ist gilt ( ) ( ) ln x < cx n exp(ln x) < exp cx n x < exp cx n }{{} c y n < e y. n y Dmit läßt sich die Aussge (und nlog uch (f)) uf Stz 3.3 (e) zurückführen. 3.4 Definition und Stz. Reelle Exponenten Für x > 0 und y R setzen wir x y := e y ln x. Für y Q stimmt ds mit der üblichen Definition x q p Für x, y > 0 und r, s R gelten = p x q überein. (x y) r = x r y r, (x r ) s = x r s, x r+s = x r x s. Insbesondere ist lso x 0 = und x r = x r. 29

34 3 Elementre Funktionen und Stetigkeit Beweis. Übungen. 3.5 Bemerkung. So wie mn den Logrithmus nturlis ln ls Umkehrfunktion zu e x definiert, knn mn den Logrithums log zur Bsis > ls Umkehrfunktion von x definieren. Es gilt dnn denn ln x = ln e x ln = x ln. log (x) = ln x ln, 3.2 Polynome und rtionle Funktionen Einige Möglichkeiten us gegebenen Funktionen f, g : D R neue Funktionen zusmmenzusetzen sind und f g f + g : D R, x f(x) + g(x) f g : D R, x f(x) g(x) λf : D R, x λ f(x), λ R : D \ {x D g(x) = 0} R, f(x) x g(x). Die Nullfunktion uf D ist 0 : D R, x 0. Dementsprechend bedeutet f 0 lediglich, dss es mindestens ein x D gibt mit f(x) 0. Für f : D M und g : M N ist die Komposition g f : D N gegeben durch x (g f)(x) := g(f(x)). Besonders einfche Funktionen sind die Monome Durch Zusmmensetzen erhält mn Polynome R R, x x n für n N 0. x 0 + x n x n =: p(x). Ist n 0 so heißt n der Grd von p. Der Grd einer konstnten Funktion ist lso 0. Wir nehmen im folgenden immer implizit n, dss ein Polynom gegeben in der Form 0 + x n x n uch ttsächlich Grd n ht, lso n 0 ist. 3.6 Stz. Sind zwei Polynome p(x) = n x n und q(x) = b b m x m ls Funktionen gleich, d.h. p(x) = q(x) für lle x R, so gilt n = m und j = b j für lle j = 0,..., n. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei n m. Auch r := p q ist ein Polynom, ht lso die Form r(x) = c 0 + c x + + c n x n. Zu zeigen ist c 0 = c = = c n = 0. Nch Vorussetzung gilt r(x) = 0 für lle x R und es folgt c 0 = r(0) = 0. Für x 0 ist dnn ber uch 0 = r(x) x = c + c 2 x + + c n x n und für (x k ) mit x k 0 und lim k x k = 0 folgt Der Rest folgt durch Induktion. 0 = lim k (c + c 2 x k + + c n x n k ) = c. 30

35 3.2 Polynome und rtionle Funktionen 3.7 Bemerkung. Ttsächlich reicht es schon, dss zwei Polynome uf einer bzählbr unendlichen Menge mit Häufungspunkt übereinstimmen, um ihre Gleichheit zu folgern. Offenbr sind Summen und Produkte von Polynomen wieder Polynome. Sei p(x) = n j=0 jx j und q(x) = m j=0 b jx j dnn ist und p(x) q(x) = p(x) + q(x) = n+m j=0 mx{n,m} j=0 c j x j mit c j = ( j + b j ) x j µ+ν=j µ b ν = Dbei setzen wir n+ = n+2 = = 0 = b m+ =. Es gilt lso Rtionle Funktionen sind von der Form Grd (p q) = Grd (p) + Grd (q). x p (x) p 2 (x) j k b j k. wobei p und p 2 Polynome und p 2 0 ist (lso nicht die Nullfunktion). Als Definitionsbereich kommt zunächst nur D = {x R p 2 (x) 0} in Frge. Aber für p (x) = x 2 und p 2 = ( + x) ist ds unbefriedigend, p (x) p 2 (x) = x2 = x für x, + x d die Singulrität hebbr ist. 3.8 Stz. Polynomdivision Sind p und p 2 Polynome und Grd(p 2 ), so gibt es eindeutig bestimmte Poylnome q und r mit p = p 2 q + r und Grd(r) < Grd(p 2 ). 3.9 Bemerkung. Ds ist nlog zur Division mit Rest in N: für je zwei ntürliche Zhlen n und n 2 gibt es eindeutig bestimmte Zhlen q, r N 0 mit lso n : n 2 = q Rest r. n = n 2 q + r und r < n 2, Beweis. Skizze: Mn dividiert wie bei ntürlichen Zhlen, beispielsweise ( 0x 3 + 5x 2 + 3x 4 ) : ( 2x 2 + 2x ) = 5x x 3 2 2x 2 + 2x 0x 3 0x 2 + 5x 5x 2 + 8x 4 5x 2 + 5x 5 2 3x 3 2 lso p = p 2 (5x 5 2 ) + (3x 3 2 ). Die Eindeutigkeit folgt so: Ist p = p 2 q + r = p 2 q + r, lso p 2 (q q) = r r, so wäre bei q q der Grd der rechten Seite mindestens Grd(p 2 ), ber Grd (r r) < Grd (p 2 ). Also gilt q = q und somit uch r = r. k=0 3

36 3 Elementre Funktionen und Stetigkeit 3.20 Definition. Mn sgt p 2 teilt p, flls p 2 0 und p = p 2 q für ein Polynom q. Mn schreibt dnn p 2 p. Es gelten die folgenden Aussgen () Aus p 3 p 2 und p 2 p folgt p 3 p, denn us p 2 = p 3 q und p = p 2 q folgt p = p 3 (q q). (b) Aus p p und p p 2 folgt, dss p (q p + q 2 p 2 ) für beliebige Polynome q, q 2. (c) Gilt p 2 p und p 0, so ist Grd(p 2 ) Grd(p ). (d) Aus p 2 p und p p 2 folgt p = cp 2 für ein c 0. Eine Zhl λ heißt Nullstelle von p, flls p(λ) = 0. Es gilt (Übungsufgbe) p(λ) = 0 (x λ) p. Es heißt λ eine k-fche Nullstelle von p, flls (x λ) k p, ber nicht (x λ) k+ p, lso flls p(x) = (x λ) k q(x) für ein Polynom q mit q(λ) Bemerkung. Offenbr ht ein Polynom p vom Grde n höchstens n verschiedene Nullstellen Bemerkung. Mn knn rtionle Funktionen p (x) p 2 (x) kürzen, flls p und p 2 einen gemeinsmen Teiler hben, lso insbesondere dnn, wenn sie gemeinsme Nullstellen hben Stz. Stetigkeit von Summen und Produkten von Funktionen Sind f, g : D R stetig, so sind uch f + g : D R, x f(x) + g(x) f g : D R, x f(x) g(x) λf : D R, x λ f(x), λ R und f g : D \ {x D g(x) = 0} R, f(x) x g(x). stetig. Insbesondere sind lso Polynome und rtionle Funktionen stetig. Beweis. Sei (x n ) eine Folge in D mit lim n x n = x 0. Dnn ist lim (f +g)(x n) = lim (f(x n)+g(x n )) () = lim f(x n)+ lim g(x n) (2) = f(x 0 )+g(x 0 ) = (f +g)(x 0 ). n n n n Bei () hben wir verwendet, dss Summen konvergenter Folgen nch Proposition 2.4 (f) wieder konvergent sind, oder nders usgedrückt, dss die Abbildung + : R R R, (x, y) x + y stetig ist. Schritt (2) ist einfch die Stetigkeit von f und g. Die nderen Aussgen zeigt mn nlog. 32

37 3.3 Die trigonometrischen Funktionen 3.3 Die trigonometrischen Funktionen Wir definieren die trigonometrischen Funktionen zunächst geometrisch m Einheitskreis K = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = }. Im Bogenmß ist der Winkel α gleich der Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis. Mn definiert und sin α := cos α := Länge der Gegenkthete Länge der Hypothenuse Länge der Ankthete Länge der Hypothenuse = y-koordinte des Punktes uf dem Einheitskreis = x-koordinte des Punktes uf dem Einheitskreis. Plots von Funktionsgrphen von Sinus und Kosinus sowie von llen weiteren in diesem Kpitel definierten Funktionen finden Sie beispielsweise uf Wikipedi. Aus der geometrischen Anschuung ergeben sich folgende Aussgen: () Pyhtgors: sin 2 α + cos 2 α = (wobei sin 2 α := (sin α) 2 ). (b) Symmetrie: sin( α) = sin α, der Sinus ist ungerde. cos( α) = cos α, der Kosinus ist gerde. (c) Periodizität: sin(α + 2π n) = sin α für lle n Z.. cos(α + 2π n) = cos α für lle n Z. (d) Die Abbildungen sin : [ π 2, π 2 ] [, ] und cos : [0, π] [, ] sind stetig und bijektiv. Dmit können wir die Umkehrfunktionen rcsin = sin und rccos = cos rcsin : [, ] [ π 2, π 2 ] rccos : [, ] [0, π] definieren. Weiterhin gelten die Additionstheoreme cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ 33

38 3 Elementre Funktionen und Stetigkeit und die Hlbwinkelformeln cos ϕ = 2 sin 2 ϕ 2 + cos ϕ = 2 cos 2 ϕ 2. Die Additionstheorme liest mn us dieser Figur b: QA = QB cos ϕ = sin ψ cos ϕ AR = BS = OB sin ϕ = cos ψ sin ϕ OS = OB cos ϕ = cos ψ cos ϕ RS = AB = QB sin ϕ = sin ψ sin ϕ lso cos(ϕ+ψ) = OR = OS RS = cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin(ϕ+ψ) = QR = QA+AR = sin ψ cos ϕ + cos ψ sin ϕ Die Hlbwinkelformeln sind Übungsufgben. Mn definiert noch die Tngensfunktion, tn : ( π 2, π 2 ) R, sin α tn α = cos α und den Kotngens, cot : (0, π) R, cot α = cos α sin α = tn α. Der Tngens wächst streng monoton und ist surjektiv, lso bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt Arcustngens, rctn : R ( π 2, π 2 ), rctn = tn. 34

39 4 Komplexe Zhlen 4. Definitionen und elementre Eigenschften Historisch wurde die neue Zhl i, die imginäre Einheit mit i 2 =, eingeführt, um Rechnungen usführen zu können, bei denen in Zwischenschritten us negtiven Zhlen Wurzeln gezogen werden mussten Eine modernere Sichtweise ( ) ist es, R 2 = R R ls Körper ufzufssen: Mit der üblichen Vektorschreibweise z = für (x, y) R x y 2 ist es klr, wie mn die Addition zu definieren ht: z + z 2 = ( x y ) ( x2 + y 2 ) ( ) x + x = 2. (A) y + y 2 Diese Addition von Vektoren ist kommuttiv, ssozitiv, ht ds neutrle Element (0, 0), und ds zu (x, x 2 ) inverse Element ist ( x, x 2 ). Geometrisch entspricht die Addition dem Aneinndersetzen von Vektoren. D wir z = (x, y) mit z = x + iy identifizieren wollen, legt z z 2 = (x + iy )(x 2 + iy 2 ) = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + x 2 y ) (M) die Multipliktion : R 2 R 2 R 2 (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ) nhe. Diese Multipliktion in R 2 ist kommuttiv (offensichtlich), ssozitiv (nchrechnen oder us geometrischer ( Interprettion folgern), ht ds neutrle Element (, 0), und ds Inverse zu (x, y) ist x y, ). Ds Distributivgesetz gilt ebenflls. x 2 +y 2 x 2 +y 2 Es bildet lso die Zhlenebene R 2 mit der Addition (A) und der Multipliktion (M) einen Körper, den Körper der komplexen Zhlen C. Insbesondere gelten dieselben lgebrischen Rechenregeln wie für reelle Zhlen. Für z C schreiben wir sttt z = (x, y) nun z = x + iy, ws im Sinne von (x, y) = (x, 0) + (0, ) (y, 0) zu lesen ist. Es gilt i i = (0, ) (0, ) = (, 0). Wenn wir reelle Zhlen x mit den Punkten (x, 0) in C identifizieren, so setzt ds Rechnen in C ds Rechnen in R fort, (x, 0) + (x 2, 0) = (x + x 2, 0) (x, 0) (x 2, 0) = (x x 2, 0). 35

40 4 Komplexe Zhlen Nun noch einige Definitionen: Für z = x + iy C heißen Re z = x der Relteil Im z = y der Imginärteil z = x 2 + y 2 der Betrg z = x iy ds komplex Konjugierte von z. 4. Beispiel. z = 2 + i (2 + i)( i) 2 + i 2i i2 = = + i ( + i)( i) i 2 = 3 i = i, lso Re z = 3 2, Im z = 2, z = = 0 2, z = i Bemerkung. Einfche Folgerungen Für z, w C gelten die folgenden Beziehungen: () z 2 = z z (b) z = z (c) Rez = 2 (z + z) und Imz = 2i (z z) (d) Rez z und Imz z (e) zw = z w (f) z + w = z + w und zw = z w (g) z = z (h) Die Dreiecksungleichung z + w z + w Beweis. () bis (g) sind einfche Übungsufgben. Die Dreiecksungleichung folgt us z + w 2 = (z + w)( z + w) = z 2 + w 2 + zw + zw = z 2 + w 2 + 2Re (zw) z 2 + w z w = z 2 + w z w = ( z + w ) 2. Weiter in den Definitionen. Sttt durch krtesische Koordinten (x, y) knn mn Punkte in der Ebene uch durch Polrkoordinten (r, ϕ) chrkterisieren. Für eine komplexe Zhl z = x + iy definiert mn dher ds Argument von z, kurz rg(z) ( π, π] ls den Winkel zwischen dem Vektor (x, y) R 2 und der positiven reellen Achse. Es ist lso x = z cos ϕ y = z sin ϕ und z = z (cos ϕ + i sin ϕ). 36

41 4.2 Exponentilfunktion und Logrithmus im Komplexen Für die Multipliktion komplexer Zhlen z, w C ergibt sich dnn mit ϕ = rg(z) und ψ = rg(w) z w = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = z w ((cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)) = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). Es werden lso die Beträge multipliziert und die Winkel ddiert. Dmit entspricht die komplexe Multipliktion geometrisch einer Drehstreckung! Genuer: Multipliktion mit z operiert uf der Zhlenebene ls Drehung um den Winkel ϕ = rg(z) und Streckung um den Fktor z. 4.2 Exponentilfunktion und Logrithmus im Komplexen 4.3 Definition. Die komplexe Exponentilfunktion Die komplexe Exponentilfunktion ist durch exp : C C, z = x + iy exp(z) = e z := e x (cos y + i sin y) definiert. Sie setzt offenbr die reelle Exponentilfunktion fort, d.h. für y = 0 ist e x+i0 = e x, und erfüllt ds Exponentilgesetz Insbesondere liegt lso für ϕ R e z e w = e x+iy e u+iv = e x e u (cos y + i sin y)(cos v + i sin v) e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ uf dem Einheitskreis, d.h. e iϕ =. Für z C mit ϕ = rg z ist = e x+u (cos(y + v) + i sin(y + v)) = e z+w. Diese Polrdrstellung ist für z 0 eindeutig, flls mn ϕ uf ein hlboffenes Intervll der Länge 2π, z.b. uf [0, 2π) oder ( π, π], einschränkt. Es gilt ber offensichtlich Dmit ist e i(ϕ+2πn) = e iϕ für lle n Z. exp : {z = x + iy C x R, y ( π, π]} C \ {0} bijektiv. Die Umkehrfunktion ist der komplexe Logrithmus, ln : C \ {0} {z = x + iy C x R, y ( π, π]} der explizit durch gegeben ist. ln(w) = ln w + i rg(w) 37

42 4 Komplexe Zhlen D rg : C \ {0} ( π, π] uf der negtiven reellen Achse einen Sprung ht, lso unstetig ist, springt dort uch der Logrithmus. Mn spricht von einem Schnitt (engl. cut ) bei (, 0] durch die komplexe Ebene. Den Definitionsbereich des Logrithmus nenn mn dnn uch die geschlitzte Ebene. Mn knn den Logrithmus uch zu jedem nderen Streifen der Breite 2π definieren, indem mn rg : C\{0} (α, α+2π] umdefiniert. Den Schnitt knn mn dnn uf jede beliebige Hlbgerde legen, die im Ursprung beginnt. Er ist dnn wieder die Umkehrfunktion zur Exponentilfunktion eingeschränkt uf den entsprechenden Streifen. Die obige Whl nennt mn Huptzweig des Logrithmus. 4.4 Bemerkung. Der Definitionsbereich des Logrithmus ls Riemnnsche Fläche D die Exponentilfunktion uf gnz C stetig ist, ber nur Streifen der Form S n := {z = x + iy x R, y (2πn, 2π(n + )]}, n R, bijektiv uf C \ {0} bbildet, stellt mn sich vor, dss exp die disjunkte Vereinigung solcher Streifen uf die disjunkte Vereinigung der Bilder bbildet, lso exp : C = n N S n n N exp(s n ). Auf der rechten Seite steht jetzt die disjunkte Vereinigung von geschlitzten Ebenen, lso N Kopien von C mit Schnitt. Nun ist ber us Sicht der Funktion exp die Whl der Streifen völlig beliebig und insbesondere ist exp n den Übergängen von S n nch S n+ stetig. Deshlb stellt mn sich die Bilder der Streifen, lso die geschlitzten Ebenen exp(s n ) und exp(s n+ ) n den entsprechenden Stellen neinndergeklebt vor. Der ntürliche Definitionsbereich des Logrithmus ist die Spirle, die mn us den bzählbr unendlich vielen verklebten Ebenen erhält. Mn nennt so eine Fläche eine Riemnnsche Fläche. 38

43 4.3 Komplexe Wurzeln 4.3 Komplexe Wurzeln 4.5 Bemerkung. Die Wurzel im Komplexen Zu jeder komplexen Zhl z 0 existieren genu n verschiedene n-te Wurzeln: Sei z = z e iϕ, dnn sind w = n z e i ϕ n, w2 = n z e i ϕ+2π n,..., w n = n z e i ϕ+2π(n ) n lle verschieden und es gilt ( ) (w j ) n n = z e i ϕ+2π(j ) n n = z e i(ϕ+2π(j )) = z. Es bezeichnet n z hier immer die eindeutige positive reelle n-te Wurzel. Die Zhlen, e i 2π n, e i 4π n,..., e i 2π(n ) n sind die n verschiedenen n-ten Wurzlen von und heißen die n-ten Einheitswurzeln. 4.6 Beispiele. Komplexe Wurzeln () Die beiden Qudrtwurzeln von i = e i π 2 sind ( i) = e i π 4 = 2 ( + i) und ( i) 2 = e i 5π 4 = ( i). (b) Die 5-ten Wurzeln von sind, e i 2π 5, e i 4π 5, e i 6π 5, e i 8π Bemerkung. Die Riemnnsche Fläche der Wurzelfunktion Die n-te Wurzelfunktion ist lokl die Umkehrfunktion zu z z n. Allerdings ist z z n nur uf Sektoren der Form T α := {z = z e iϕ z 0, ϕ (α, α + 2π n ]} C bijektiv. Ds Bild eines solchen Sektors ist wieder eine geschlitzte Ebene: für n = 2 und α = π 2 ist beispielsweise {z = z e iϕ z 0, ϕ ( π 2, π 2 ]} einfch die rechte Hlbebene, welche unter z z 2 bijektiv uf gnz C bgebildet wird. Die Umkehrfunktion wird der Huptzweig der Wurzel gennnt und ist uf dem Schnitt (, 0) wieder unstetig. 39

44 4 Komplexe Zhlen Es bildet lso z 7 z n die n disjunkten Sektoren Tj 2π bijektiv uf geschlitzte Ebenen n b, welche mn wie beim Logrithmus n den Schnitten entsprechen verkleben knn. Mn erh lt so ls den ntu rlichen Definitionsbereich der Wurzelfunktion wieder entsprechende Riemnnsche Fl chen. Im Bild ist die Riemnnsche Fl che der Qudrtwurzel skizziert. 4.8 Bemerkung. Komplexe Exponenten und Bsen Fu r x R mit x > 0 knn mn mit Hilfe der komplexen Exponentilfunktion und des reellen Logrithmus xw := exp(w ln(x)) fu r komplexe Exponenten w C definieren. Mn knn z 7 z w mit Hilfe des komplexen Logrithmus ber uch fu r komplexe Bsen definieren: Fu r z 6= 0 setzt mn wieder z w := ew ln z. Der Wert von z w h ngt llerdings von der Whl des Zweiges fu r den Logrithmus b. Beispiels weise gibt es fu r z n mit n N genu die n verschiedenen Mo glichkeiten, die wir zuvor besprochen hben. Die oben beschriebene Stndrdwhl fu r reelles und positives x > 0 entspricht dem Huptzweig des Logrithmus. 4.9 Bemerkung. Komplexe Polynome Die Ergebnisse us Abschnitt 3.2 lssen sich lle eins-zu-eins uf komplexe Polynome p(z) = 0 + z + + n z n mit Koeffizienten j C und z C u bertrgen. Im komplexen gilt ber sogr der 4.0 Stz. Fundmentlstz der Algebr Jedes komplexe Polynom p(z) = 0 + z + n z n vom Grd n ht mindestens eine Nullstelle λ C. Es ist lso p(z) = (z λ)q(z) mit Grd q = n. Induktiv ergibt sich p(z) = n (z λ ) (z λn ), es zerf llt lso jedes Polynom u ber C in Linerfktoren. Fsst mn die gleichen Nullstellen zusmmen und bezeichnet mit kj die Vielfchheit von λj, so schreibt mn uch p(z) = n (z λ )k (z λm )km wobei k + + km = n ist. Einen elegnten Beweis des Fundmentlstzes werden wir im dritten Teil der Vorlesungsreihe nchliefern. 40