Analysis I und II 8. Juni 2017

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1 Anlysis I und II 8. Juni 2017

2 Kpitel 1 Einführung 1.1 Qudrtur der Prbel Proposition 1.1. Angenommen es gibt einen Begriff eines Flächeninhlts für Gebiete in R 2, der folgende Eigenschften erfüllt: Der Flächeninhlt des sogennnten bgeschlossenen Rechtecks [, b] [c, d] = { (x, y) R 2 x b, c y d } und des sogennnten offenen Rechtecks (, b) (c, d) = { (x, y) R 2 < x < b, c < y < d } ist gleich (b )(d c), wobei, b, c, d reelle Zhlen sind mit b, c d. Flls G ein Gebiet in R 2 ist und F ein in G enthltenes Gebiet ist, dnn ist der Flächeninhlt von F kleiner oder gleich dem Flächeninhlt von G. Für disjunkte 1 Gebiete F, G in R 2 ist der Flächeninhlt des vereinigten Gebietes F G die Summe der Flächeninhlte von F und G. Dnn ist der Flächeninhlt von P wie in Gleichung (??) (flls überhupt definiert) gleich 1 3. Lemm 1.2. Sei n 1 eine ntürliche Zhl. Dnn gilt (n 1) 2 + n 2 = n3 3 + n2 2 + n 6. (1.1) 1.2 Mengenlehre und Abbildungen Nive Mengenlehre Definition 1.3. Wir sgen, dss eine Menge P Teilmenge einer Menge Q ist und schreiben P Q, flls für lle x P uch x Q gilt (in Prädiktenlogik x P : x Q). Wir sgen, 1 Ds heisst, dss es keinen Punkt gibt, der in F und G liegt oder intuitiv usgedrückt, dss sich F und G nicht überschneiden. 1

3 Kpitel 1.2 Mengenlehre und Abbildungen dss P eine echte Teilmenge von Q ist und schreiben P Q, flls P eine Teilmenge von Q ist, ber nicht gleich Q ist. Wir schreiben P Q, flls P nicht eine Teilmenge von Q ist (lso (P Q) gilt). Definition 1.4. Seien P, Q zwei Mengen. Der Durchschnitt P Q, die Vereinigung P Q, ds reltive Komplement P \ Q und die symmetrische Differenz P Q sind durch P Q = {x x P x Q} P Q = {x x P x Q} P \ Q = {x x P x / Q} P Q = P \ Q Q \ P = {x x P XOR x Q} definiert. Wenn us dem Zusmmenhng klr ist, dss lle betrchteten Mengen Teilmengen einer gegebenen (Ober-) Menge X sind, dnn ist ds Komplement P c von P definiert durch P c = X \ P. Dies ist lles in den Bildern?? und?? vernschulicht. Definition 1.5. Sei A eine Kollektion von Mengen. Dnn definieren wir die Vereinigung resp. den Schnitt der Mengen in A ls A = {x A A : x A} A A A A A = {x A A : x A} Vergewissern Sie sich n dieser Stelle, dss sich diese beiden Begriffe zu Definition?? komptibel sind. Flls wir die Vereinigung nicht über lle Mengen in A nehmen wollen, sondern nur über solche, die eine gewisse Eigenschft E(A) erfüllen, dnn schreiben wir uch A = A A A:E(A) A {B A E(B)} und nlog für den Durchschnitt. Flls A = {A 1, A 2,...}, dnn schreiben wir uch A n = A n = A = {x n N : x A n } n 1 n=1 A A und A n = A n = A = {x n N : x A n }. n 1 n=1 A A Definition 1.6. Zwei Mengen A, B heissen disjunkt, flls A B = {}. In diesem Fll wird ihre Vereinigung A B disjunkte Vereinigung gennnt und uch ls A B geschrieben. Für eine Kollektion A von Mengen, sgen wir, dss die Mengen in A prweise disjunkt sind, flls für lle A 1, A 2 A mit A 1 A 2 gilt A 1 A 2 = {}. Die Vereinigung der Mengen in A wird dnn uch disjunkte Vereinigung gennnt und ls A A A geschrieben. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 2

4 Kpitel 1.2 Mengenlehre und Abbildungen Definition 1.7. Für zwei Mengen X und Y ist ds krtesische Produkt X Y die Menge ller geordneten Pre (x, y) wobei x X und y Y. In Symbolen, X Y = {(x, y) x X und y Y }. Allgemeiner ist ds krtesische Produkt von n-mengen X 1, X 2,..., X n definiert ls X 1 X 2... X n = {(x 1,..., x n ) x 1 X 1, x 2 X 2,..., x n X n }. Weiters definieren wir X n, für eine ntürliche Zhl n, ls ds n-fche krtesische Produkt von X mit sich selbst. Ds heisst, X 2 = X X, X 3 = X X X und so weiter. Definition 1.8. Für eine Menge X ist die Potenzmenge P(X) durch die Menge ll ihrer Teilmengen gegeben, ds heisst P(X) = {Q Q ist eine Menge und Q X} Abbildungen Definition 1.9. Sei f : X Y eine Funktion. Die Funktion f heisst injektiv, eine Injektion oder eine eindeutige Abbildung, flls für lle x 1, x 2 X gilt, dss f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. Die Funktion f ist surjektiv, eine Surjektion oder eine Funktion von X uf Y, flls f(x) = Y. Die Funktion f heisst bijektiv, eine Bijektion oder eine eineindeutige Abbildung, flls f surjektiv und injektiv ist. Definition Angenommen f : X Y und g : Y Z sind Funktionen. Dnn ist die Verknüpfung g f : X Z (gesprochen g nch f oder g Ring f) für lle x X durch g f(x) = g(f(x)) definiert. Lemm Seien f : X Y und g : Y Z Funktionen. ) Flls f und g injektiv sind, dnn ist uch g f injektiv. b) Flls f und g surjektiv sind, dnn ist uch g f surjektiv. c) Flls f und g bijektiv sind, dnn ist uch g f bijektiv und es gilt (g f) 1 = f 1 g 1. Definition Für eine Funktion f : X Y und eine Teilmenge B Y definieren wir ds Urbild f 1 (B) von B unter f ls f 1 (B) = {x X f(x) B}. Definition Sei f : X Y eine Funktion. Der Grph von f ist grph(f) = {(x, y) X Y y = f(x)} X Y. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 3

5 Kpitel 1.2 Mengenlehre und Abbildungen Reltionen Definition Seien X und Y Mengen. Eine Reltion uf X Y ist eine Teilmenge R X Y. Wir schreiben uch xry flls (x, y) R und verwenden oft Symbole wie <,,, =,, für Reltionen. Flls X = Y ist, dnn sprechen wir uch von einer Reltion uf X. Wenn (resp. =,...) eine Reltion ist, dnn schreiben wir uch x y (resp. x = y,...) für (x y) (resp. (x = y),...). Definition Eine Reltion uf X ist eine Äquivlenzreltion, flls folgende drei Eigenschften erfüllt sind: Reflexivität: x X : x x. Symmetrie: x, y X : x y = y x. Trnsitivität: x, y, z X : ((x y) (y z)) = x z. Definition Sei eine Äquivlenzreltion uf einer Menge X. Dnn wird für x X die Menge [x] = {y X y x} die Äquivlenzklsse von x gennnt. Weiters ist X / = {[x] x X} der Quotient von X modulo. Ein Element x X wird uch Repräsentnt seiner Äquivlenzklsse [x] gennnt. Definition Sei X eine Menge und P eine Fmilie von nicht-leeren, prweise disjunkten Teilmengen von X, so dss X = P P P. Dnn wird P eine Prtition von X gennnt. Proposition Sei X eine Menge. Dnn entsprechen Äquivlenzreltionen uf X und Prtitionen von X einnder im folgenden Sinne: Für eine gegebene Äquivlenzreltion uf X ist die Menge P = {[x] x X} eine Prtition von X. Umgekehrt definiert für eine Prtition P von X x P y P P : x P y P für x, y X eine Äquivlenzreltion uf X. Des Weiteren sind die Konstruktion der Prtition us der Äquivlenzreltion und die Konstruktion der Äquivlenzreltion us der Prtition zueinnder inverse Konstruktion: Für jede Prtition P von X gilt P P = P und für jede Äquivlenzreltion uf X gilt P =. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 4

6 Kpitel 1.2 Mengenlehre und Abbildungen Lemm Seien X und Y Mengen und sei P eine Prtition von X. Angenommen es ist für jedes P P eine Funktion f P : P Y gegeben. Dnn existiert eine eindeutige Funktion f : X Y, so dss f P = f P für jedes P P gilt Mächtigkeit Definition Zwei Mengen X, Y sind gleichmächtig, geschrieben X Y, flls es eine Bijektion f : X Y gibt. Theorem Sei X eine Menge. Dnn ist X nicht zu seiner Potenzmenge P(X) gleichmächtig. Insbesondere ist die Menge N = {1, 2, 3,...} der ntürlichen Zhlen nicht gleichmächtig zu P(N). Definition Seien X und Y zwei Mengen. Dnn sgen wir, dss X schmächtiger ls (oder genu formuliert höchstens so mächtig wie) Y ist und schreiben X Y, flls es eine Injektion f : X Y gibt. Wir sgen, dss X echt schmächtiger (oder weniger mächtig) ls Y ist, flls X schmächtiger ls Y ist (X Y ) und Y nicht schmächtiger ls X ist (Y X). Theorem Seien X und Y Mengen, so dss X Y und Y X. Dnn gilt X Y. Definition Eine Menge heisst bzählbr unendlich, flls sie die Krdinlität N ht oder in nderen Worten gleichmächtig zu N ist. Die Krdinlität von N wird uch ℵ 0, gesprochen Aleph-0, gennnt. Definition Eine Menge X heisst überbzählbr, flls N schmächtiger ist ls X, ber N nicht gleichmächtig zu X ist. Nch Theorem?? ist P(N) überbzählbr. Die Krdinlität von P(N) wird uch mit c bezeichnet und ds Kontinuum gennnt. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 5

7 Kpitel 2 Die reellen Zhlen 2.1 Die Axiome der reellen Zhlen Definition 2.1. Eine Menge R gemeinsm mit einer Abbildung + : R R R, (x, y) x + y, die wir Addition nennen, einer Abbildung : R R R, (x, y) x y, die wir Multipliktion nennen, und einer Reltion uf R, die wir kleiner gleich nennen, wird ls Menge der reellen Zhlen bezeichnet, flls die in diesem Abschnitt ufgelisteten 16 Axiome erfüllt sind. 2.2 Die ntürlichen Zhlen Definition der ntürlichen Zhlen und vollständige Induktion Definition 2.2. Eine Teilmenge M R ist induktiv, flls folgende zwei Eigenschften gelten: (i) 1 M (ii) Für lle x R gilt x M = x + 1 M. Definition 2.3. Wir definieren die Teilmenge der ntürlichen Zhlen N R ls Durchschnitt ller induktiven Teilmengen von R N = M. M R induktiv Lemm 2.4. Die ntürlichen Zhlen N bilden eine induktive und somit die kleinste induktive Teilmenge der reellen Zhlen. Stz 2.5. Flls für eine Aussge A(n) über die ntürlichen Zhlen n N 6

8 Kpitel 2.3 Die komplexen Zhlen (Induktionsnfng) A(1) und (Induktionsschritt) n N : (A(n) = A(n + 1)) gelten, dnn gilt A(n) für lle n N. Lemm 2.6. Für lle m, n N gilt m + n N und m n N. Lemm 2.7. Für n N gilt n = 1 oder n 1 N. Für m, n N mit m n m + 1 gilt n = m oder n = m + 1. Stz 2.8. Sei M N eine nicht-leere Teilmenge. Dnn ht M ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, ds heisst!n 0 M n M : n n 0. Stz 2.9. Flls für eine Aussge A(n) über die ntürlichen Zhlen n N die Aussge ( ( k ) ) (Induktion) n N : N : (k < n = A(k)) = A(n) erfüllt ist, dnn gilt A(n) für lle n N Lemm Für lle m, n N mit m < n gilt n m N Die gnzen Zhlen Lemm Die gnzen Zhlen sind unter Addition und Multipliktion bgeschlossen, ds heisst, für lle m, n Z gilt m + n Z und mn Z Die rtionlen Zhlen Lemm Die rtionlen Zhlen bilden einen Unterkörper von R, ds heisst, für lle r, s Q gilt r, r + s, rs Q und uch r 1 Q, flls r 0. Lemm Die reelle Zhl 2 ist irrtionl Division mit Rest und Anfänge der Zhlentheorie Stz Für lle n N 0 und d N gibt es ein q N 0 und ein r N 0 mit r < d, welches wir den Rest nennen, so dss n = qd + r. 2.3 Die komplexen Zhlen Verwendung der gnzen Zhlen und deren Eigenschften Proposition Mit den oben definierten Verknüpfungen definiert C einen Körper, den Körper der komplexen Zhlen. Hierbei ist die Null gleich 0 + 0i und die Eins gleich 1 + 0i. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 7

9 Kpitel 2.4 Intervlle und der Absolutbetrg Definition Die komplexe Konjugtion ist die Abbildung : C C, z = x + yi z = x yi. Lemm Die komplexe Konjugtion erfüllt folgende Eigenschften: (i) Für lle z C ist z z R und z z 0. Des Weiteren gilt für lle z C, dss z z = 0 genu dnn, wenn z = 0. (ii) Für lle z, w C gilt z + w = z + w. (iii) Für lle z, w C gilt z w = z w. 2.4 Intervlle und der Absolutbetrg Intervlle Definition Seien, b R mit b. Dnn ist ds bgeschlossene Intervll [, b] durch [, b] = {x R x b}, ds offene Intervll (, b) durch (, b) = {x R < x < b}, ds (rechts) hlboffene Intervll [, b) durch [, b) = {x R x < b} und ds (links) hlboffene Intervll (, b] durch (, b] = {x R < x b} definiert. Wenn ds Intervll nicht-leer ist, dnn wird der linke Endpunkt, b der rechte Endpunkt, und b die Länge des Intervlls gennnt. Definition Für, b R definieren wir die unbeschränkten bgeschlossenen Intervlle [, ) = R = {x R x} (, b] = R b = {x R x b} und die unbeschränkten offenen Intervlle (, ) = R > = {x R < x} (, b) = R <b = {x R x < b} Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 8

10 Kpitel 2.5 Mximum und Supremum (, ) = R Definition Sei x R. Ein offenes Intervll, ds x enthält, wird uch Umgebung von x gennnt. Für ein δ > 0 wird ds offene Intervll (x δ, x + δ) die δ-umgebung von x gennnt Der Absolutbetrg uf den reellen Zhlen Definition Der Absolutbetrg ist die Funktion : R R, x x = { x flls x 0 x flls x < 0. Definition Eine Teilmenge U R heisst offen, wenn für jedes x U ein ε > 0 existiert mit {y R y x < ε} = (x ε, x + ε) U. Eine Teilmenge A R heisst bgeschlossen, wenn ihr Komplement R \ A offen ist Der Absolutbetrg uf den komplexen Zhlen Definition Der Absolutbetrg uf C ist gegeben durch x + yi = x 2 + y 2 für x + yi C. Definition Der offene Bll mit Rdius r > 0 um einen Punkt z C ist die Menge B r (z) = {w C z w < r}. Definition Eine Teilmenge U C heisst offen, wenn zu jedem Punkt in U ein offener Bll um diesen Punkt existiert, der in U enthlten ist. Formler: Für lle z U existiert ein Rdius r > 0, so dss B r (z) U. Eine Teilmenge A C heisst bgeschlossen, flls ihr Komplement C \ A offen ist. 2.5 Mximum und Supremum Mximum und Minimum Definition Wir sgen, dss x 0 = mx(x) R ds Mximum einer Teilmenge X R ist, flls x 0 X und für lle x X die Ungleichung x x 0 gilt. Definition Wir sgen, dss x 0 = min(x) ds Minimum einer Teilmenge X R ist, flls x 0 X und x x 0 für lle x X gilt. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 9

11 Kpitel 2.7 Ds Archimedische Prinzip Supremum und Infimum Definition Eine Teilmenge X R heisst von oben beschränkt, flls es ein s R gibt mit x s für lle x X. Die Zhl nennt mn in diesem Fll eine obere Schrnke von X. Die Begriffe von unten beschränkt und untere Schrnke sind nlog definiert. Eine Menge X R heisst beschränkt, flls sie von oben und von unten beschränkt ist. Stz Sei X R eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dnn gibt es eine kleinste obere Schrnke von X, die uch ds Supremum sup(x) von X gennnt wird. Forml gelten lso für s 0 = sup(x) folgende Eigenschften: () (s 0 ist eine obere Schrnke) x X : x s 0 (b) (s 0 ist kleiner gleich jeder oberen Schrnke) s R : (( x X : x s) = s 0 s) Äquivlenterweise knn s 0 = sup(x) uch durch () und die folgende Bedingung definiert werden: (b ) (Kleinere Zhlen sind keine oberen Schrnken) ε > 0 x X : x > s 0 ε. Proposition Sei A R eine nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge und sei c > 0. Dnn ist ca von oben beschränkt und es gilt sup(ca) = c sup(a). Proposition Seien A, B R zwei nicht-leere, von oben beschränkte Teilmengen von R. Dnn ist A + B von oben beschränkt und es gilt sup(a + B) = sup(a) + sup(b). 2.6 Ds Archimedische Prinzip Verwendung des Supremums und des Infimums Stz Es gelten folgende Aussgen: (i) Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von Z ht ein Mximum. (ii) Für jedes x R existiert genu ein n Z mit n x < n + 1. (iii) Für jedes ε > 0 existiert ein n N mit 1 n < ε. Korollr Zwischen je zwei reellen Zhlen, b R mit < b gibt es ein r Q mit < r < b. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 10

12 Kpitel 2.8 Intervllschchtelung 2.7 Intervllschchtelung Stz Sei für jedes n N ein nicht-leeres, bgeschlossenes, beschränktes Intervll I n = [ n, b n ] gegeben, so dss für lle ntürlichen Zhlen m n die Inklusion I m I n oder äquivlenterweise die Ungleichungen m n b n b m gelten. Dnn ist der Durchschnitt I n = [ sup { n n N}, inf {b n n N} ] nicht-leer. n= Überbzählbrkeit Korollr Die Teilmenge [0, 1] R (und dher uch R) ist überbzählbr Die Cntor-Menge Definition Die Cntor-Menge ist der Schnitt C = n=1 C n. Stz Die oben konstruierte Abbildung f : C {l, r} N ist eine Bijektion. Insbesondere ist lso C {l, r} N {0, 1} N P(N) nch Übung?? und die Cntor-Menge ist überbzählbr. 2.8 Eindeutigkeit der Menge der reellen Zhlen* Stz Die Axiome von R in Abschnitt?? legen die reellen Zhlen bis uf eindeutige Isomorphie fest. Genuer formuliert gilt folgende Aussge: Sei R eine weitere Menge, uf der eine Addition, eine Multipliktion und eine kleinergleich-reltion definiert sind, so dss lle Axiome der reellen Zhlen erfüllt sind (ds heisst, R ist ein weiterer vollständiger ngeordneter Körper). Wir bezeichnen mit 0 R ds Nullelement in R und mit 1 R ds Einselement in R. Dnn existiert eine bijektive Abbildung Φ : R R, so dss folgende Eigenschften erfüllt sind. (i) Φ(0) = 0 und Φ(1) = 1. (ii) (Φ ist dditiv) x, y R : Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) (iii) (Φ ist multipliktiv) x, y R : Φ(xy) = Φ(x)Φ(y) (iv) (Φ ist ordnungserhltend) x, y R : (x y Φ(x) Φ(y)) Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 11

13 Kpitel 3 Funktionen und die reellen Zhlen 3.1 Summen und Produkte Rechenregeln für ds Produkt Lemm 3.1. Für lle reellen Zhlen 1 und n N 0 gilt (1 + ) n 1 + n Die geometrische Summe Proposition 3.2. Sei n N 0 und q C. Dnn gilt 3.2 Polynome { n n + 1 flls q = 1 q k = q n+1 1 q 1 flls q 1. k=0 Definition 3.3. Eine Polynomfunktion uf C ist eine Funktion der Form f : z C n k z k C k=0 für n N 0 und 0,..., n C. Die Zhlen 0,..., n C heissen die Koeffizienten von f. Ds grösste k {0,..., n} mit k 0 ist der Grd deg(f) der Polynomfunktion f und deg(f) ist der Leitkoeffizient oder führende Koeffizient von f. Flls kein solches k existiert, ds heisst, flls f die Polynomfunktion z C 0z 0 = 0 C ist, so nennt mn die Polynomfunktion die Null und setzt den Grd uf. Eine Polynomfunktion der Form z C 0 z 0 C für 0 C wird uch konstnt gennnt und kurz mit 0 bezeichnet. Eine Polynomfunktion mit Grd 1 wird ffin oder liner gennnt. Eine Polynomfunktion der Form z C k z k C für k N 0 heisst ein Monom. Wir sgen, dss eine Polynomfunktion reell ist, wenn die Koeffizienten reell gewählt werden können. Wir werden eine reelle Polynomfunktion uch mit der zugehörigen Funktion von R nch R identifizieren. Definition 3.4. Sei K ein beliebiger Körper. Ein Polynom f über K ist ein formler Ausdruck der Form n k=0 kx k für n N 0 und Koeffizienten 0,..., n K. Hierbei ist x ein Symbol, 12

14 Kpitel 3.3 Die Fkultät und der Binomilstz ds mn uch ls Vrible bezeichnet. Wir definieren den Polynomring K[x] ls die Menge der Polynome über K in der Vriblen x mit Addition und Multipliktion gegeben durch die Formeln in Übung??. Proposition 3.5. Sei f(x) C[x] ein nicht-konstntes Polynom. Dnn gibt es zu jeder positiven reellen Zhl M > 0 eine reelle Zhl R 1, so dss für lle z C mit z R uch f(z) M gilt. Des Weiteren ist die Zuordnung, die jedem Polynom f(x) C[x] die zugehörige Polynomfunktion z C f(z) C zuweist, bijektiv. 3.3 Die Fkultät und der Binomilstz Fkultät Definition 3.6. Die Funktion n N 0 n! N ist definiert durch 0! = 1, n! = n k. k=1 Die Zhl n! wird ls n-fkultät oder n-fktorielle bezeichnet. Lemm 3.7. Für n N ist n! die Krdinlität der Menge S n der bijektiven Abbildungen {1,..., n} {1,..., n} (uch Permuttionen von {1,..., n} gennnt) Binomilkoeffizienten Proposition 3.8. Für lle n, k N 0 mit 0 k n 1 gilt ( n 0) = ( n n) = 1 und ( ) ( ) n n + = k k + 1 Insbesondere ist ( n k) N für lle n, k N0 mit 0 k n Der binomische Lehrstz Stz 3.9. Für w, z C und n N 0 gilt (w + z) n = n k=0 ( ) n + 1. (3.1) k + 1 ( ) n w n k z k. k Eine Summe von Binomilkoeffizienten Proposition Für jedes d N 0 gibt es Konstnten c 0,..., c d Q, so dss für lle n N. n k=1 k d = 1 d + 1 nd+1 + c d n d c 1 n + c 0 Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 13

15 Kpitel 3.4 Reellwertige Funktionen Proposition Für jedes d N 0 ist p d (x) ein Polynom mit rtionlen Koeffizienten vom Grd d; für lle k N 0 mit k < d gilt p d (k) = 0. Des Weiteren gilt p d (n) = ( n d) für lle n N0 mit n d (siehe uch ds Bild??) und wir hben die Summenformel für lle n N. n p d (k) = p d+1 (n + 1) k=0 3.4 Reellwertige Funktionen Monotonie Definition Eine Funktion f : D R ist monoton wchsend, flls x, y D : x y = f(x) f(y), streng monoton wchsend, flls x, y D : x < y = f(x) < f(y), monoton fllend, flls x, y D : x y = f(x) f(y), streng monoton fllend, flls x, y D : x < y = f(x) > f(y), monoton, flls f monoton wchsend oder monoton fllend ist, streng monoton, flls f streng monoton wchsend oder streng monoton fllend ist Stetigkeit Definition Sei f : D R eine Funktion. Wir sgen, dss f stetig bei einem Punkt x 0 D ist, flls es für lle ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x D die Impliktion x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε gilt. Die Funktion f ist stetig, flls sie bei jedem Punkt in D stetig ist. Forml gilt lso f ist stetig x 0 D : ε > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. Proposition Sei D R. Flls f 1, f 2 : D R Funktionen sind, die bei einem Punkt x 0 D stetig sind, dnn sind uch f 1 +f 2, f 1 f 2 und f 1 für R stetig bei x 0. Insbesondere bildet die Menge der stetigen Funktionen C(D) = {f F (D) f ist stetig} einen Unterrum des Vektorrums F (D). Korollr Polynome sind stetig, ds heisst, R[x] C(R). Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 14

16 Kpitel 3.6 Der Zwischenwertstz Proposition Seien D 1, D 2 R zwei Teilmengen und sei x 0 D 1. Angenommen f : D 1 D 2 ist eine bei x 0 stetige Funktion und g : D 2 R ist eine bei f(x 0 ) stetige Funktion. Dnn ist g f : D 1 R bei x 0 stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig. 3.5 Der Zwischenwertstz Komplex-wertige Funktionen Stz Sei I R ein Intervll, f : I R eine stetige Funktion und, b I. Für jedes c R zwischen f() und f(b) gibt es ein x R zwischen und b, so dss f(x) = c gilt. 3.6 Der Stz der Umkehrbbildung Stz Sei I ein Intervll und f : I R eine stetige, streng monotone Funktion. Dnn ist f(i) R wieder ein Intervll und die Abbildung f : I f(i) ht eine stetige, streng monotone inverse Abbildung f 1 : f(i) I Wurzeln us ntürlichen Zhlen Lemm Seien m, k N. Die m-te Wurzel gnze Zhl ist. m k ist genu dnn rtionl, wenn sie eine Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 15

17 Kpitel 4 Ds Riemnnn-Integrl 4.1 Treppenfunktionen und deren Integrl Zerlegungen Definition 4.1. Eine Zerlegung (oder Unterteilung) Z von [, b] ist gegeben durch endlich viele Punkte = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b mit n N. Die Punkte x 0,..., x n werden die Teilungspunkte der Zerlegung gennnt. Wir schreiben Z = { = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b}. Definition 4.2. Eine Funktion f : [, b] R ist eine Treppenfunktion (bgekürzt TF), flls es eine Zerlegung Z = { = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b} gibt, so dss es für jedes k {1,..., n} eine Zhl c k R gibt mit x (x k 1, x k ) : f(x) = c k. Eine Treppenfunktion soll lso konstnt sein uf den Intervllen in der Prtition P(Z). Die Intervlle (x k 1, x k ) für k {1,..., n} heissen uch Konstnzintervlle der Treppenfunktion f und Z heisst eine Zerlegung in Konstnzintervlle von f. Die Zhlen c 1,..., c n nennen wir Konstnzwerte von f bezüglich Z. Definition 4.3. Seien Z, Z zwei Zerlegungen von [, b]. Wir sgen, dss Z feiner ls Z ist, flls jeder Teilungspunkt von Z ein Teilungspunkt von Z ist. Die gemeinsme Verfeinerung zweier Zerlegungen Z und Z ist die Zerlegung, deren Menge von Teilungspunkte die Vereinigung der Menge der Teilungspunkte von Z und von Z ist Ds Integrl einer Treppenfunktion Definition 4.4. Sei f : [, b] R eine Treppenfunktion und Z = { = x 0 <... < x n = b} eine Zerlegung von [, b] in Konstnzintervlle von f. Seien c 1,..., c n die Konstnzwerte von 16

18 Kpitel 4.2 Definition des Riemnn-Integrls f bezüglich Z. Dnn definieren wir n I(f, Z) = c k (x k x k 1 ). k=1 Lemm 4.5. Sei f : [, b] R eine Treppenfunktion und Z = { = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b} eine Zerlegung in Konstnzintervlle von f. Dnn hängt I(f, Z) nicht von den Funktionswerten f(x k ) für k {1,..., n} und von der Whl der Zerlegung Z b. Definition 4.6. Für eine Treppenfunktion f : [, b] R definieren wir ds Integrl der Treppenfunktion f ls b f(x) dx = b f dx = I(f, Z), wobei Z eine Zerlegung in Konstnzintervlle von f ist. Lemm 4.7. Die nicht-leere Menge T F ([, b]) = {f F ([, b]) f ist eine Treppenfunktion} der Treppenfunktionen uf dem Intervll [, b] ist ein Unterrum des Vektorrums F ([, b]) der Funktionen uf [, b] und die Abbildung : T F ([, b]) R ist liner. Ds heisst, für lle f, g T F ([, b]) und s R ist f + g T F ([, b]), sf T F ([, b]) und b (f + g) dx = b f dx + b g dx, b (sf) dx = s b f dx. Lemm 4.8. Sind f, g T F ([, b]) zwei Treppenfunktionen mit f g, dnn gilt b f dx b g dx. Insbesondere impliziert f T F ([, b]) und f 0, dss b f dx Definition des Riemnn-Integrls Definition 4.9. Sei D R eine Teilmenge und f : D R eine Funktion. Wir sgen, dss f von oben beschränkt ist, flls die Wertemenge f(d) von oben beschränkt ist, von unten beschränkt ist, flls die Wertemenge f(d) von unten beschränkt ist, beschränkt ist, flls f von oben und von unten beschränkt ist. Definition Sei f F ([, b]) beschränkt. Dnn definieren wir die (nicht-leere) Menge der Untersummen durch { b U(f) = } u dx u T F ([, b]) u f Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 17

19 Kpitel 4.3 Erste Integrtionsgesetze und die (nicht-leere) Menge der Obersummen durch { b O(f) = } o dx o T F ([, b]) f o. Definition Für eine beschränkte Funktion f F ([, b]) wird I(f) = sup U(f) ds untere Integrl von f und I(f) = inf O(f) ds obere Integrl von f gennnt. Die Funktion f heisst Riemnn-integrierbr, oder kurz R-integrierbr, flls I(f) = I(f). In diesem Fll wird dieser gemeinsme Wert ds Riemnn-Integrl b gennnt. Des Weiteren definieren wir f dx = I(f) = I(f) R([, b]) = {f F ([, b]) f ist Riemnn-integrierbr}. Proposition Sei f F ([, b]) beschränkt. Folgende Bedingungen sind äquivlent: (i) f ist Riemnn-integrierbr. (ii) Es existiert höchstens eine (oder uch genu eine) reelle Zhl I, die die Ungleichungen b u dx I für lle u, o T F ([, b]) mit u f o erfüllt. (iii) Für lle ε > 0 existieren u, o T F ([, b]) mit u f o, so dss b (o u) dx < ε. b o dx 4.3 Erste Integrtionsgesetze Stz Die Menge R([, b]) = {f F ([, b]) f ist Riemnn-integrierbr} der Riemnn-integrierbren Funktionen uf [, b] bildet einen Unterrum von F ([, b]) und ds Integrl ist eine linere Funktion uf R([, b]). Ds heisst, für f, f 1, f 2 R([, b]) und s R ist sf, f 1 + f 2 R([, b]) und b (sf)(x) dx = s b f(x) dx, b (f 1 + f 2 )(x) dx = b f 1 (x) dx + b f 2 (x) dx. Stz Für zwei Funktionen f 1, f 2 R([, b]) gelten folgende Monotonie-Eigenschften des Riemnn-Integrls: (i) Flls f 1 0 ist, so gilt b f(x) dx 0. (ii) Flls f 1 f 2 ist, so gilt b f 1(x) dx b f 2(x) dx. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 18

20 Kpitel 4.6 Integrierbrkeit monotoner Funktionen (iii) Die Funktion f 1 ist Riemnn-integrierbr und es gilt die Dreiecksungleichung b b f 1 (x) dx f 1 (x) dx 4.4 Integrierbrkeit monotoner Funktionen Stz Jede monotone Funktion in F ([, b]) ist Riemnn-integrierbr. 4.5 Integrtion über Teilintervlle Stz Unter Verwendung obiger Nottion gilt, dss f F ([, c]) genu dnn Riemnnintegrierbr ist, wenn f 1 und f 2 Riemnn-integrierbr sind. In diesem Fll gilt c f(x) dx = b f 1 (x) dx + c b f 2 (x) dx. Definition Sei I = [, b] ein bgeschlossenes, beschränktes Intervll mit < b. Eine Funktion f F ([, b]) heisst stückweise monoton, flls es eine Zerlegung Z = { = x 0 < x 1 <... < x n = b} von [, b] gibt, so dss f (xk 1,x k ) monoton ist für lle k {1,..., n}. Korollr Sei I = [, b] ein bgeschlossenes, beschränktes Intervll mit < b. Jede stückweise monotone, beschränkte Funktion in F ([, b]) ist Riemnn-integrierbr. 4.6 Integrtion von Polynomen Stz Die Einschränkung einer reellen Polynomfunktion uf [, b] ist Riemnn-integrierbr. Für lle Monome x d mit d N 0 gilt b x d dx = 1 ( b d+1 d+1). d + 1 Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 19

21 Kpitel 5 Folgen, Grenzwerte und Kompktheit 5.1 Folgen und Konvergenz Definition 5.1. Sei X eine Menge. Eine Folge in X ist eine Abbildung : N X. Ds Bild (n) von n N schreibt mn uch ls n und bezeichnet mn ls ds n-te Folgenglied von. Ansttt : N X schreibt mn oft ( n ) n N, ( n ) n=1 oder kurz ( n) n. Die Menge der Folgen in X wird uch ls X N bezeichnet. Eine Folge ( n ) n heisst konstnt, flls n = m für lle m, n N, und schliesslich konstnt, flls ein N N existiert mit n = m für lle m, n N mit m, n N. Definition 5.2. Wir sgen, dss eine Folge ( n ) n in C gegen eine Zhl A C strebt, gegen die Zhl A konvergiert oder Grenzwert A ht, flls es für jedes ε > 0 ein N N gibt, so dss n A < ε für lle n N. In diesem Fll nennen wir die Folge konvergent. Flls es keinen Grenzwert in C gibt, nennen wir die Folge divergent. Lemm 5.3. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ( n ) n ist eindeutig bestimmt. Wir bezeichnen ihn mit lim n n. Lemm 5.4. Eine konvergente Folge ist beschränkt. Proposition 5.5. Seien ( n ) n, (b n ) n zwei konvergente Folgen. (i) Die Folge ( n ) n + (b n ) n ist konvergent und es gilt (ii) Die Folge ( n b n ) n ist konvergent und es gilt lim ( n + b n ) = lim n + lim b n. n n n lim ( nb n ) = ( lim n)( lim b n). n n n Insbesondere ist für α R die Folge α( n ) n konvergent und lim (α n) = α lim n. n n 20

22 Kpitel 5.2 Folgen und Konvergenz (iii) Angenommen n 0 für lle n N und lim n n 0. Dnn ist die Folge ( 1 n ) n konvergent und es gilt lim n 1 n = 1 lim n n. Nch (i) und (ii) bildet die Menge der konvergenten Folgen in C N einen Unterrum und der Grenzwert stellt eine linere Abbildung von diesem Unterrum nch C dr. Lemm 5.6. Für eine konvergente Folge ( n ) n und l N ist die Folge ( n+l ) n konvergent und es gilt Teilfolgen lim n = lim n+l. n n Definition 5.7. Wenn ( n ) n eine Folge ist und (n k ) k : k N n k N eine streng monoton wchsende Folge ist, dnn wird ( nk ) k eine Teilfolge von ( n ) n gennnt. Lemm 5.8. Sei ( n ) n eine konvergente Folge. Jede Teilfolge ( nk ) k von ( n ) n konvergiert und ht denselben Grenzwert lim k nk = lim n n Zusmmenhng zur Stetigkeit Proposition 5.9. Sei D C eine Teilmenge, f : D C eine Funktion und z 0 D. Die Funktion f ist genu dnn stetig bei z 0, wenn für jede Folge ( n ) n in D mit lim n n = z 0 uch lim n f( n ) = f(z 0 ) gilt Cuchy-Folgen Definition Eine Folge ( n ) n in C ist eine Cuchy-Folge, flls es für jedes ε > 0 ein N N gibt, so dss für lle m, n N. m n < ε Reduktion uf reelle Folgen Lemm Eine komplexwertige Folge ( n ) n ist genu dnn konvergent (mit Grenzwert C), wenn die beiden reellwertigen Folgen (Re( n )) n und (Im( n )) n konvergent sind (mit Grenzwerten Re() respektive Im()) Folgen von Vektoren Lemm Eine Folge ( n ) n konvergiert genu dnn gegen A = (A 1,..., A d ) t R d, wenn für jedes j {1,..., d} die reelle Folge ( j,n ) n der j-ten Komponenten gegen A j strebt. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 21

23 Kpitel 5.2 Reelle Folgen 5.2 Reelle Folgen Proposition Seien ( n ) n, (b n ) n reelle Folgen mit Grenzwerten = lim n n, b = lim n b n. (i) Flls n b n für lle n N, dnn gilt uch b. (ii) Flls < b, dnn existiert ein N N, so dss n < b n für lle n N. Lemm Es seien ( n ) n, (b n ) n, (c n ) n drei reelle Folgen, so dss n b n c n für lle n N gilt. Angenommen ( n ) n und (c n ) n sind konvergent und A = lim n n = lim n c n. Dnn ist uch die Folge (b n ) n konvergent und A = lim n b n Monotone Folgen Stz Eine monotone reelle Folge ( n ) n konvergiert genu dnn, wenn sie beschränkt ist. Flls die Folge ( n ) n monoton wchsend ist, gilt Flls die Folge ( n ) n monoton fllend ist, gilt lim n = sup { n n N}. n lim n = inf { n n N}. n Limes superior und Limes inferior Definition Für eine beschränkte reelle Folge ( n ) n ist der Limes superior definiert durch lim n = lim sup n n ( n = lim n sup k n ) ( k = inf n 1 Definition Für eine beschränkte, reelle Folge ( n ) n ist der Limes inferior definiert durch ( ) lim n = lim inf n = lim inf k n n n k n sup k n k ). ( ) = sup inf k. n 1 k n Stz Für eine reelle, beschränkte Folge ( n ) n erfüllt der Limes superior lim sup n n die folgenden Eigenschften: Für lle ε > 0 gibt es nur endlich viele Folgenglieder n mit n > lim sup n n + ε. Für lle ε > 0 gibt es unendlich viele Folgenglieder n mit n lim sup n n ε Konvergente Teilfolgen Stz Für jede konvergente Teilfolge ( nk ) k einer beschränkten, reellen Folge ( n ) n gilt lim n k [lim inf n, lim sup n ]. k n Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 22 n

24 Kpitel 5.3 Kompkte Intervlle und stetige Funktionen Des Weiteren existiert eine konvergente Teilfolge ( nk ) k mit lim k nk = lim sup n n und eine konvergente Teilfolge ( mk ) k mit lim k mk = lim inf n n. Definition Sei ( n ) n eine reelle Folge. Eine Zhl A R heisst Häufungspunkt von ( n ) n, flls es eine Teilfolge nk gibt, so dss lim k nk = A. Lemm Sei ( n ) n eine reelle Folge. Dnn ist A R genu dnn ein Häufungspunkt von ( n ) n, wenn es für jedes ε > 0 unendlich viele n N gibt mit n A < ε Reelle Cuchy-Folgen Stz Eine reelle Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchy-Folge ist Uneigentliche Grenzwerte Definition Eine reelle Folge ( n ) n divergiert gegen, wenn für jedes ɛ > 0 ein N N existiert, so dss n ɛ 1 gilt für lle n N. In diesem Fll schreiben wir lim n n =. Genuso sgen wir, dss ( n ) n gegen divergiert, flls für jedes ɛ > 0 ein N N existiert, so dss n ɛ 1 für lle n N. In letzterem Fll schreiben wir lim n n =. In beiden Fällen spricht mn uch von uneigentlicher Konvergenz und uneigentlichen Grenzwerten Konvergente Teilfolgen von komplex- und vektorwertigen Folgen Korollr Jede beschränkte Folge in C (oder in R d mit d N) ht eine konvergente Teilfolge. Korollr Eine Folge in C (oder in R d mit d N) ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchy-Folge ist. 5.3 Kompkte Intervlle und stetige Funktionen Extremwerte einer Funktion Stz Sei [, b] ein kompktes Intervll und f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn ist f([, b]) ein kompktes Intervll. Insbesondere nimmt die stetige Funktion f uf [, b] ein Mximum und ein Minimum n Gleichmässige Stetigkeit Definition Eine reellwertige Funktion f uf D R heisst gleichmässig stetig, flls es für lle ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x, y D gilt x y < δ = f(x) f(y) < ε. Stz Sei [, b] ein kompktes Intervll und f eine reellwertige Funktion uf [, b]. Die Funktion f ist genu dnn stetig, wenn sie gleichmässig stetig ist. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 23

25 Kpitel 5.5 Grenzwerte von Funktionen Riemnn-Integrierbrkeit von stetigen Funktionen Stz Eine stetige Funktion uf einem kompkten Intervll [, b] mit < b ist Riemnnintegrierbr. 5.4 Grenzwerte von Funktionen Grenzwerte und punktierte Umgebungen Lemm Sei D R eine Teilmenge, x 0 D ein Häufungspunkt von D und f eine reellwertige Funktion uf D. Dnn ist f genu dnn stetig bei x 0, wenn lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Lemm Sei D R eine Teilmenge, f : D R eine Funktion und x 0 D ein Häufungspunkt von D. Dnn gilt A = lim x x0 f(x) genu dnn, wenn für jede Folge ( n ) n in D \ {x 0 } mit lim n n = x 0 uch lim n f( n ) = A gilt. Proposition Seien D, E R, x 0 ein Häufungspunkt von D, f : D E eine Funktion, y 0 = lim x x0 f(x) E, und g : E R eine bei y 0 stetige Funktion. Dnn gilt lim x x0 g(f(x)) = g(y 0 ) Umgebungsfilter und Konvergenz entlng eines Filters Definition Für eine gegebene Menge X ist eine nicht-leere Fmilie F von Teilmengen von X ein Filter uf X, flls folgende drei Eigenschften erfüllt sind: Die leere Menge ist kein Element von F. Für U 1, U 2 F gilt uch U 1 U 2 F. Flls U F und V X eine Teilmenge, die U enthält, dnn ist uch V F. Die in F enthltenen Mengen werden uch Filtermengen gennnt. Definition Seien nun D R eine beliebige Teilmenge, f : D R eine Funktion, F ein Filter uf D und A R gegeben. Dnn sgen wir, dss f entlng F gegen A konvergiert und schreiben lim F f(x) = A, flls V U A F F x F : f(x) V. Lemm Sei D R eine Teilmenge und F ein Filter uf D. Angenommen f, g 1, g 2 : D R sind Funktionen mit g 1 f g 2 und wir hben lim F g 1 (x) = lim F g 2 (x) = A R. Dnn existiert uch der Grenzwert lim F f und ist durch A gegeben. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 24

26 Kpitel 5.5 Riemnn-Summen 5.5 Riemnn-Summen Lndu Nottion Definition Für eine Zerlegung Z = { = x 0 < x 1 <... < x n = b} von [, b] definieren wir die Mschenweite der Zerlegung Z ls Z = mx k=1,...,n (x k x k 1 ). Weiters bezeichnen wir z = (z 1,..., z n ) [, b] n ls eine erlubte Whl von Zwischenpunkten der Zerlegung Z flls z k [x k 1, x k ] für k {1,..., n}. Für eine reellwertige Funktion f uf [, b], eine Zerlegung Z von [, b] und eine erlubte Whl von Zwischenpunkten z definieren wir die Riemnn-Summe durch R(f, Z, z) = n f(z k )(x k x k 1 ). k=1 Stz Sei f eine Riemnn-integrierbre reellwertige Funktion uf [, b]. Dnn ist b f(x) dx der Grenzwert der Riemnn-Summen R(f, Z, z), wenn die Mschenweite Z der Zerlegung gegen Null geht. Forml geschrieben gilt lso ε > 0, δ > 0 Z z : Z < δ = R(f, Z, z) b f(x) dx < ε, wobei Z über die Zerlegungen von [, b] läuft und z über die erlubten Whlen von Zwischenpunkten der Zerlegung Z (wie in Definition??) läuft. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 25

27 Kpitel 6 Reihen, Funktionenfolgen und Potenzreihen 6.1 Reihen Definition 6.1. Sei ( k ) k eine Folge reeller oder komplexer Zhlen. Wir wollen die unendliche Reihe k=1 k betrchten, wobei k für k N ds k-te Glied oder der k-te Summnd der Reihe gennnt wird. Für n N ist die n-te Prtilsumme der Reihe k=1 k durch s n = n k=1 k gegeben. Wir nennen die Reihe k=1 k konvergent, flls der Grenzwert k = lim k=1 n n k=1 k = lim n s n existiert, wobei wir diesen dnn ls Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent. Proposition 6.2. Flls die Reihe k=1 k konvergiert, dnn ist die Folge ( n ) n eine Nullfolge, ds heisst lim n n = 0. Lemm 6.3. Seien k=1 k, k=1 b k konvergente Reihen und α C. Dnn sind die Reihen k=1 ( k + b k ), k=1 (α k) konvergent und es gilt ( k + b k ) = k + b k, k=1 k=1 k=1 (α k ) = α k. k=1 k=1 Also bilden konvergente Reihen einen Vektorrum über C und der Wert der Reihe stellt eine linere Abbildung uf diesem Vektorrum nch C dr. Lemm 6.4. Sei k=1 k eine Reihe. Für jedes N N ist die Reihe k=n k = l=1 l+n 1 genu dnn konvergent, wenn die Reihe k=1 k konvergent ist. In diesem Fll gilt k = k=1 N 1 k=1 k + k. k=n 26

28 Kpitel 6.1 Reihen Lemm 6.5. Sei n=1 n eine konvergente Reihe und (n k ) k eine streng monoton wchsende Folge ntürlicher Zhlen. Definiere A 1 = n1 und A k = nk nk für k 2. Dnn gilt A k = k=1 n. n= Reihen mit nicht-negtiven Gliedern Proposition 6.6. Für eine Reihe k=1 k mit nicht-negtiven Gliedern k 0 für lle k N bilden die Prtilsummen s n = n k=1 k eine monoton wchsende Folge. Flls diese Folge der Prtilsummen beschränkt ist, dnn konvergiert die Reihe k=1 k. Ansonsten gilt k=1 k = lim n s n =. Korollr 6.7. Seien k=1 k, k=1 b k zwei Reihen mit der Eigenschft 0 k b k für lle k N. Dnn gilt k=1 k k=1 b k und insbesondere gelten die Impliktionen b k konvergent = k=1 k divergent = k=1 k konvergent k=1 b k divergent. k=1 Diese beiden Impliktionen treffen uch dnn zu, wenn 0 n b n nur für lle hinreichend grossen n N gilt. Proposition 6.8. Eine Reihe k=1 k mit nicht-negtiven, monoton bnehmenden Gliedern ist genu dnn konvergent, wenn k=1 2k 2 k konvergent ist Bedingte Konvergenz Stz 6.9. Sei n=1 n eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern. Dnn gibt es zu jedem A R eine bijektive Funktion (eine Umordnung) ϕ : N N, so dss die Reihe n=1 ϕ(n) bedingt konvergiert und n=1 ϕ(n) = A ist. Weiters gibt es eine Umordnung der Reihe, die divergiert Alternierende Reihen Proposition Gegeben sei eine monoton fllende Folge ( n ) n positiver Zhlen, die gegen Null konvergiert. Dnn konvergiert die zugehörige lternierende Reihe k=1 ( 1)k+1 k und es gilt, dss l ( 1) k+1 k ( 1) k+1 k l+1. (6.1) k=1 k=1 Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 27

29 Kpitel 6.2 Absolute Konvergenz für lle l N. Weiters ist für lle n N. 2n ( 1) k+1 k 2n 1 ( 1) k+1 k ( 1) k+1 k k=1 k=1 k= Ds Cuchy-Kriterium Stz Die Reihe k=1 k konvergiert genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dss für n m N erfüllt ist. n k < ε k=m 6.2 Absolute Konvergenz Proposition Eine bsolut konvergente Reihe n=1 n ist uch konvergent und es gilt die verllgemeinerte Dreiecksungleichung n n=1 n Hinreichende Kriterien für bsolute Konvergenz Korollr Sei ( n ) n eine komplexe und (b n ) n eine reelle Folge mit n b n für lle hinreichend grossen n N. Flls n=1 b n konvergiert, dnn ist n=1 n bsolut konvergent und dher uch konvergent. n=1 Korollr Sei ( n ) n eine Folge komplexer Zhlen und Dnn gilt α = lim sup n n n R { }. α < 1 = α > 1 = n ist bsolut konvergent, n=1 n ist divergent und ( n ) n ist keine Nullfolge. n=1 Korollr Sei ( n ) n eine Folge komplexer Zhlen mit n 0 für lle n N, so dss n+1 α = lim n n Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 28

30 Kpitel 6.3 Konvergenz von Funktionenfolgen existiert. Dnn gilt α < 1 = α > 1 = n ist bsolut konvergent. n=1 n ist divergent und ( n ) n konvergiert nicht gegen Null. n= Umordnen von Reihen Stz Sei n=1 n eine bsolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Dnn ist n=1 ϕ(n) ebenso bsolut konvergent für jede bijektive Abbildung ϕ : N N und es gilt Produkte n = n=1 ϕ(n). (6.2) n=1 Stz Seien n=1 n und n=1 b n zwei bsolut konvergente Reihen und ϕ : N N N eine bijektive Abbildung. Dnn ist ϕ(n)1 b ϕ(n)2 n=1 eine bsolut konvergente Reihe, wobei ϕ(n) = (ϕ(n) 1, ϕ(n) 2 ) für lle n N. Weiters gilt ( )( ϕ(n)1 b ϕ(n)2 = n b n ). (6.3) n=1 Korollr Flls n=0 n und n=0 b n bsolut konvergente Reihen mit komplexen Gliedern sind, dnn gilt n=1 n=1 ( n ) ( )( n k b k = n b n ), n=0 k=0 n=0 wobei die Reihe n=0 ( n k=0 n kb k ) bsolut konvergent ist. n=0 6.3 Konvergenz von Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Definition Eine reellwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge uf einer Menge X ist eine Folge (f n ) n von Funktionen f n : X R (oder f n : X C). Wir sgen, dss eine Funktionenfolge (f n ) n punktweise gegen eine Funktion f : X R (oder f : X C) konvergiert, flls f n (x) f(x) für n und lle x X. Wir bezeichnen die Funktion f ls den punktweisen Grenzwert oder Limes der Funktionenfolge (f n ) n. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 29

31 Kpitel 6.4 Potenzreihen Gleichmässige Konvergenz Definition Sei (f n ) n eine komplexwertige Funktionenfolge uf einer Menge X und f eine weitere komplexwertige Funktion uf X. Dnn strebt f n gleichmässig gegen f für n, flls es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dss für lle n N und lle x X die Abschätzung f n (x) f(x) < ε gilt. In Prädiktenlogik ist gleichmässige Konvergenz durch ε > 0 N N n N : ( n N = ( x X : f n (x) f(x) < ε) ) gegeben. Stz Sei D C und f n : D C eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Flls (f n ) n gleichmässig gegen f : D C konvergiert, dnn ist f ebenso stetig. Stz Sei [, b] ein kompktes Intervll und f n : [, b] R eine Funktionenfolge Riemnnintegrierbrer Funktionen. Flls (f n ) n gleichmässig gegen f : [, b] R konvergiert, dnn ist f Riemnn-integrierbr und b lim n f n dx = b lim f n dx = n b f dx. (6.4) 6.4 Potenzreihen Definition Für jedes n N 0 sei n C. Dnn ist der formle Ausdruck n z n (6.5) eine Potenzreihe in der Vrible z. n= Konvergenzrdius Stz Sei n=0 nz n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzrdius. Dnn konvergiert die Reihe n=0 nz n für lle z C mit z < R bsolut und divergiert für lle z C mit z > R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge N n=0 nz n gleichmässig gegen n=0 nz n uf jeder Kreisscheibe der Form B S (0) = {z C z < S} für jedes S < R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z B R (0) n z n C. n=0 Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 30

32 Kpitel 6.5 Trigonometrische Funktionen Lemm Sei n=0 nz n eine Potenzreihe mit n 0 für lle n N. Der Konvergenzrdius R ist gegeben durch flls dieser Grenzwert existiert. R = 1 lim n n+1 n n = lim n n Addition und Multipliktion Proposition Seien n=0 nz n und n=0 b nz n zwei Potenzreihen mit Konvergenzrdius R respektive R b. Dnn gilt für lle z C mit z < min {R, R b } n z n + b n z n = n=0 n=0 ( )( ) n z n b n z n = n=0 n=0 ( n + b n )z n n=0 ( n n k b k )z n. Insbesondere ist der Konvergenzrdius der Potenzreihen uf der rechten Seite mindestens min {R, R b } Stetigkeit bei Rndpunkten n=0 Stz Unter obigen Annhmen ist uch f stetig. Ds heisst, n=0 k=0 n R n = f(r) = lim f(x) = lim x R x R Eine nloge Aussge gilt, flls n=0 n( R) n konvergiert. n x n n=0 6.5 Trigonometrische Funktionen Die Kreiszhl π Stz (Pi) Es gibt genu eine Zhl π (0, 4) mit sin(π) = 0. Für diese Zhl gilt weiters e 2πi = cos(2π) + i sin(2π) = 1, e πi = cos(π) = 1, e 1 2 πi = cos ( π ) (π ) + i sin = i, 2 2 e 3 2 πi = cos ( 3π ) (3π ) + i sin = i, 2 2 e 1 4 πi = cos ( π ) (π ) 1 + i sin = 2 + i Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 31

33 Kpitel 6.7 Integrtion von Potenzreihen Korollr Es gilt sin(z + π) = sin(z), sin(z + 2π) = sin(z), cos(z) = sin ( z + π ) 2 cos(z + π) = cos(z), cos(z + 2π) = cos(z), für lle z C Polrkoordinten und Multipliktion uf C Lemm Für lle z C existiert ein eindeutig bestimmtes r 0 und ein Winkel θ [0, 2π) mit z = re iθ. Des Weiteren ist der Winkel θ eindeutig bestimmt, flls z Integrtion von Potenzreihen Zwei Logrithmen uf der komplexen Zhlenebene Stz Sei f(x) = n=0 c nx n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R. Dnn definiert F (x) = n=0 cn n+1 xn+1 eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzrdius R und für lle, b ( R, R). b f(x) dx = F (b) F () Korollr Für lle, b R gelten die Integrtionsformeln b b b b b exp(x) dx = exp(b) exp() sin(x) dx = cos(b) + cos() cos(x) dx = sin(b) sin() sinh(x) dx = cosh(b) cosh() cosh(x) dx = sinh(b) sinh() 6.7 Ziffernentwicklungen und frktle Konstruktionen Penos rumfüllende Kurve Lemm Für jedes n N ist die Abbildung x C d n (x) {0, 2} stetig. Insbesondere ist die Abbildung f C : C [0, 1] 2 stetig. Proposition Die Abbildung f P : [0, 1] [0, 1] 2 ist stetig und surjektiv. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 32

34 Kpitel 7 Differentilrechnung 7.1 Die Ableitung Definition und geometrische Interprettion Definition 7.1. Sei D R eine Teilmenge, f : D R eine Funktion und D ein Häufungspunkt von D. Wir sgen, dss f bei differenzierbr ist, flls der Grenzwert f f(x) f() f( + h) f() () = lim = lim x x h 0 h (7.1) existiert. In diesem Fll nennen wir f () die Ableitung von f bei. Flls f bei jedem Häufungspunkt von D in D differenzierbr ist, dnn sgen wir uch, dss f (uf D) differenzierbr ist und nennen die Funktion f () definiert uf den Häufungspunkten von D in D die Ableitung von f. Flls D ein rechtseitiger Häufungspunkt von D ist, dnn ist f bei rechtsseitig differenzierbr, wenn die rechtsseitige Ableitung f +() f(x) f() f( + h) f() = lim = lim x x h 0 h existiert. Linksseitige Differenzierbrkeit und die linksseitige Ableitung f () werden nlog über die Bewegung x definiert Beispiele und Ableitungsregeln Proposition 7.2. Sei D R eine Teilmenge und D ein Häufungspunkt von D. Seien f, g : D R bei differenzierbr. Dnn sind f + g und f g bei differenzierbr und es gilt (f + g) () = f () + g (), (fg) () = f ()g() + f()g (). Insbesondere ist jedes sklre Vielfche von f bei differenzierbr und (αf) () = αf () für lle α R. Dies gilt ebenso für komplexwertige Funktionen. 33

35 Kpitel 7.1 Die Ableitung Korollr 7.3. Reelle Polynome sind uf gnz R differenzierbr und es gilt (1) = 0, (x n ) = nx n 1 (7.2) für lle n N. Stz 7.4. Seien D, E R Teilmengen und sei x 0 D ein Häufungspunkt. Sei f : D E eine bei x 0 differenzierbre Funktion, so dss y 0 = f(x 0 ) ein Häufungspunkt in E ist, und sei g : E R eine bei y 0 differenzierbre Funktion. Dnn ist g f : D R in x 0 differenzierbr und (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Korollr 7.5. Sei D R eine Teilmenge, D ein Häufungspunkt und seien f, g : D R bei differenzierbr. Flls g() 0 ist, dnn ist uch f g bei differenzierbr und es gilt ( ) f () = f ()g() f()g () g g() 2. Stz 7.6. Seien D, E R Teilmengen und sei f : D E eine stetige, bijektive Abbildung, deren inverse Abbildung f 1 : E D ebenflls stetig ist. Flls f in dem Häufungspunkt x 0 D differenzierbr ist und f (x 0 ) 0 gilt, dnn ist f 1 in y 0 = f(x 0 ) differenzierbr und es gilt (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) VO 28. Nov Extremlwerte Definition 7.7. Sei D R eine Teilmenge und x 0 D. Wir sgen, dss eine Funktion f : D R in x 0 ein lokles Mximum ht, flls es eine Umgebung U von x 0 in D gibt, uf der f durch f(x 0 ) beschränkt ist. Genuer formuliert, heisst dies, dss es ein δ > 0 gibt, so dss für lle x D (x 0 δ, x 0 + δ) gilt f(x) f(x 0 ). Flls es sogr ein δ > 0 gibt, so dss f(x) < f(x 0 ) für lle x D (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } gilt, dnn ht f in x 0 ein isoliertes lokles Mximum. Der Wert f(x 0 ) wird uch ein lokler Mximlwert von f gennnt. Ein lokles Minimum, ein isoliertes lokles Minimum und ein lokler Minimlwert von f sind nlog definiert. Des Weiteren nennen wir x 0 ein lokles Extremum von f und f(x 0 ) einen loklen Extremwert von f, flls f ein lokles Minimum oder ein lokles Mximum in x 0 ht. Proposition 7.8. Sei D R eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion uf D. Angenommen f ist in einem loklen Extremum x 0 D differenzierbr und x 0 ist sowohl ein rechtsseitiger ls uch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dnn gilt f (x 0 ) = 0. Korollr 7.9. Sei I R ein Intervll und f : I R. Sei x 0 I ein lokles Extremum von f. Dnn bestehen genu folgende Möglichkeiten: Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 34

36 Kpitel 7.2 Zentrle Sätze der Differentilrechnung (1) x 0 ist ein in I enthltener Endpunkt von I, (2) f ist bei x 0 nicht differenzierbr oder (3) f ist bei x 0 differenzierbr und f (x 0 ) = 0. Insbesondere sind lle loklen Extrem einer differenzierbren Funktion uf einem offenen Intervll Nullstellen der Ableitung Ableitungen höherer Ordnung Korollr Sei D R eine Teilmenge, so dss jeder Punkt in D ein Häufungspunkt von D ist. Seien f, g : D R n-ml differenzierbr. Dnn sind f + g und f g ebenso n-ml differenzierbr und es gilt f (n) + g (n) = (f + g) (n) sowie (fg) (n) = n k=0 ( ) n f (k) g (n k). k Insbesondere ist jedes sklre Vielfche n-ml differenzierbr und (αf) (n) = αf (n) für lle α R. Korollr Seien D, E R Teilmengen, so dss jeder Punkt in D respektive E ein Häufungspunkt von D respektive E ist. Sei des Weiteren f : D E eine n-ml differenzierbre Funktion und sei g : E R eine n-ml differenzierbre Funktion. Dnn ist g f : D R n-ml differenzierbr. 7.2 Zentrle Sätze der Differentilrechnung Der Mittelwertstz Stz Sei [, b] ein bgeschlossenes Intervll mit < b und f : [, b] R eine stetige Funktion, die uf dem offenen Intervll (, b) differenzierbr ist. Flls f() = f(b), dnn existiert ein ξ (, b) mit f (ξ) = 0. Stz Sei [, b] ein bgeschlossenes Intervll mit < b und f : [, b] R eine stetige Funktion, die uf dem offenen Intervll (, b) differenzierbr ist. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (ξ) = f(b) f(). b Korollre des Mittelwertstzes und Kurvendiskussion Korollr Sei I R ein Intervll mit Endpunkten < b und f : I R eine Funktion. Dnn ist f genu dnn konstnt, wenn f differenzierbr ist und f (x) = 0 für lle x I. Rückmeldungen n ndres.wieser@mth.ethz.ch 35