Analysis 1-Kurzskript. Prof. Dr. Wolfgang Reichel. Wintersemester 2008/2009

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1 Anlysis 1-Kurzskript Prof. Dr. Wolfgng Reichel Wintersemester 2008/2009 In LATEX gesetzt von Normn Weik Dieses Skript enthält lle Sätze, Hilfssätze, Denitionen und Aussgen der Vorlesung. Beweise, Rechnungen sowie Kommentre und Erläuterungen, die in der Vorlesung drgestellt wurden, werden hier nicht wiedergegeben. 1

2 Inhltsverzeichnis 1 Mengen, Funktionen, reelle Zhlen Mengen Funktionen Reelle Zhlen Ntürliche Zhlen und vollständige Induktion Ntürliche Zhlen Beweise durch vollständige Induktion Beziehung zwischen N und R Gnze Zhlen, rtionle Zhlen Endliche Mengen, bzählbre Mengen Summen- und Produktzeichen Binomilkoezienten Polynome und n-te Wurzeln Polynome Monotone Funktionen Die Lipschitz-Bedingung Zhlenfolgen und Konvergenz Exponentilfunktion, Logrithmus und llgemeine Potenzfunktion Häufungswerte von Folgen, Konvergenzkriterium von Cuchy Unendliche Reihen Reihen mit positiven Gliedern Alternierende Reihen Konvergenzkriterien Doppelreihen Multipliktion von Reihen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit 34 7 Potenzreihen Punktweise/gleichmäÿige Konvergenz Anwendung uf Funktionenreihen Die Exponentilreihe Sinus, Cosinus

3 7.5 Arcusfunktionen Hyperbelfunktionen Arefunktionen Komplexe Zhlen Folgen Reihen Funktionen Potenzreihen Komplexe Exponentilfunktion Dierentition Dierenzenquotient, Ableitung Rechenregeln für Ableitungen Mittelwertstz und Folgerungen Ds Riemnnsche Integrl Ober- und Untersummen Denition des Riemnnschen Integrls Riemnnsche Zwischensummen Eigenschften des Riemnnschen Integrls Integrtion über Teilintervlle Integrtionstechniken Integrtion rtionler Funktionen Vertuschung von Integrtion/Dierentition mit Limesbildung Tylor-Reihe, Tylor-Polynom Uneigentliche Integrle

4 1 Mengen, Funktionen, reelle Zhlen 1.1 Mengen Eine Menge ist eine Zusmmenfssung unterschiedlicher Objekte (Elemente) zu einem Gnzen. Schreibweisen x A (Element x gehört zu A) x / A (Element x gehört nicht zu A) A B (A ist Teilmenge von B, d.h. für jedes x A gilt uch x B) leere Menge, für jede Menge A gilt A A B = {x : x A oder x B} (Vereinigung) A B = {x : x A und x B} (Durchschnitt) A \ B = {x : x A und x / B} (Dierenz) P (A) = {M : M A} (Potenzmenge von A) A B = {(, b) : A, b B} Menge ller geordneten Pre (, b) 1.2 Funktionen Denition 1.1 X, Y seien Mengen. Eine Funktion (Abbildung) f von X nch Y ordnet jedem x X eindeutig { ein y Y zu. X Y Schreibweise: f : oder f : X Y x f(x) Merke: Eine Funktion besteht us 3 Objekten" X Denitionsmenge Y Wertemenge x f(x) Abbildungsvorschrift 4

5 Bezeichnungen Sei A X. Dnn heiÿt f(a) = {f(x) Y : x A} Bild von A Sei B Y. Dnn heiÿt f 1 (B) = {x X : f(x) B} Urbild von B f : X Y heiÿt injektiv, wenn gilt: us f(x 1 ) = f(x 2 ) folgt x 1 = x 2. (lterntiv: us x 1 x 2 folgt f(x 1 ) f(x 2 )) surjektiv, wenn gilt: f(x) = Y bijektiv, flls f surjektiv und injektiv ist. Umkehrfunktion Sei f : X Y bijektiv. Dnn gibt es zu jedem y Y genu ein x X mit f(x) = y. Die Funktion { Y X g : heiÿt Umkehrfunktion von f und wird mit f y x mit y = f(x) 1 bezeichnet. Komposition f : X Y und g : W Z seien Funktionen mit f(x) W. Die Funktion h : { X Z x g(f(x)) kurz: h = g f heiÿt Komposition von f und g. Identitätsbbildung { X X id X : x x Ist f : X Y bijektiv, so gilt f f 1 = id Y und f 1 f = id X 1.3 Reelle Zhlen Wir betrchten eine Menge R (Menge der reellen Zhlen), deren Existenz nicht bewiesen wird, welche 13 Axiomen (A1)-(A13) genügt. 5

6 Körperxiome (A1)-(A9) Es gibt Opertionen + und uf R, die zwei Elementen, b R ein Element + b R bzw. b R zuordnen mit folgenden Eigenschften: (A1) ( + b) + c = + (b + c) (Assozitivität) (A2) + b = b + (Kommuttivität) (A3) es gibt 0 R mit + 0 = (neutrles Element bzgl. + ) (A4) zu R gibt es ( ) R : + ( ) = 0 (Inverses Element bzgl. + ) (A5) ( b) c = (b c) (Assozitivität) (A6) b = b (Kommuttivität) (A7) es gibt 1 R mit 1 = (neutrles Element bzgl. ) (A8) zu R \ {0} gibt es 1 R : 1 = 1 (Inverses Element bzgl. ) (A9) (b + c) = ( b) + ( c) (Distributivität) Konventionen: für, b R sei b := + ( b) für 0 sei b := 1 b ( b) + ( c) = c + b c Anordnungsxiome (A10)-(A12) Es existiert eine Teilmenge P R (die Menge der positiven reellen Zhlen) mit: (A10) für jedes R gilt genu eine der folgenden Beziehungen: P ; P ; = 0 (A11), b P + b P (A12), b P b P Schreibweise P > 0 b P > b bzw. b < Konvention für, b R bedeutet: b, dss entweder = b oder < b gilt. für A R, ξ R bedeutet: A ξ: für lle A gilt ξ 6

7 A < ξ: für lle A gilt < ξ ξ A: für lle A gilt ξ ξ < A: für lle A gilt ξ < Denition 1.2 (obere und untere Schrnken) Sei A R. ) ξ heiÿt obere Schrnke von A, flls A ξ gilt. b) ξ heiÿt untere Schrnke von A, flls ξ A gilt. c) A heiÿt nch oben beschränkt, wenn eine obere Schrnke von A existiert. d) A heiÿt nch unten beschränkt, wenn eine untere Schrnke von A existiert. e) A heiÿt beschränkt, flls A nch oben und nch unten beschränkt ist. Denition 1.3 (Mximum, Minimum) Sei A R. ) η R heiÿt Mximum von A, flls A η und η A. b) η R heiÿt Minimum von A, flls η A und η A. Bezeichnung: mx A bzw. min A Denition 1.4 (Supremum, Inmum) Sei A R. ) η R heiÿt Supremum (kleinste obere Schrnke) von A, flls gilt: i) A η ii) us A ξ folgt η ξ b) η R heiÿt Inmum (gröÿte untere Schrnke) von A, flls gilt: i) η A ii) us ξ A folgt ξ η Bezeichnung: sup A bzw. inf A 7

8 Vollständigkeitsxiom (A13) (A13) Jede nichtleere, nch oben beschränkte Menge A R besitzt ein Supremum sup A R Betrg und Dreiecksungleichung { flls 0 Für R sei = flls < 0 Rechenregeln: i) = 0 = 0 ii) b = b iii) =, flls b 0 b b iv) + b + b v) b + b (Dreiecksungleichung) (Umgekehrte Dreiecksungleichung) Intervlle Seien, b R mit < b. (, b) := {x R : < x < b} heisst oenes Intervll [, b] := {x R : x b} heisst bgeschlossenes Intervll (, b] := {x R : < x b} [, b) := {x R : x < b} [, ) := {x R : x } (, ] := {x R : x } (, ) := {x R : x > } (, ) := {x R : x < } (, ) := R, R := (, 0), R + := (0, ) B ɛ () := ( ɛ, + ɛ) heisst ɛ-umgebung von. 8

9 Mengensysteme Eine Menge M heiÿt Mengensystem, wenn die Elemente von M selbst wieder Mengen sind. Sei M ein Mengensystem: B := {x x B für jedes B M} B M B := {x x B für mindestens ein B M} B M 9

10 2 Ntürliche Zhlen und vollständige Induktion 2.1 Ntürliche Zhlen Denition 2.1 Eine Teilmenge M R heiÿt induktive Menge, flls gilt: ) 1 M b) x M x + 1 M Denition 2.2 Sei M := {M R, M ist induktiv}. Dnn heiÿt N := ntürlichen Zhlen. M M Lemm 2.3 N ist die kleinste induktive Menge. Korollr 2.4 Ist M N eine induktive Menge, so ist M = N (Induktionsprinzip). M die Menge der 2.2 Beweise durch vollständige Induktion A(n) sei eine Aussgeform mit Whrheitsgehlt richtig oder flsch in Abhängigkeit von n N. Um zu beweisen, dss A(n) whr ist für lle n N geht mn wie folgt vor: ) Beweise, dss A(1) whr ist. b) Unter der Annhme, dss A(n) whr ist für ein n N, beweise die Whrheit von A(n+1). Dmit ist M = {n N : A(n) ist whr} eine induktive Teilmenge von N, lso M = N. Vrinte der vollständigen Induktion )' Beweise, dss A(n 0 ) whr ist für ein n 0 N. b)' Unter der Annhme, dss A(n) whr ist für ein n N, beweise die Whrheit von A(n+1). Dmit folgt, dss A(n) whr ist für lle ntürlichen n n 0. Beispiel: Bernoullische Ungleichung (Jcob Bernoulli, 1689) Für x > 1, n N gilt: (1 + x) n 1 + n x Für x > 1, x 0, n N \ {1} gilt: (1 + x) n > 1 + n x 10

11 2.3 Beziehung zwischen N und R Lemm 2.5 N ist nch oben unbeschränkt. Korollr 2.6 (i) Seien, b (0, ). Dnn existiert ein n N mit n > b. (ii) Sei (0, ). Dnn existiert ein n N mit 1 n < < n. Lemm 2.7 Sei M N, M. Dnn besitzt M ein Minimum. 2.4 Gnze Zhlen, rtionle Zhlen Z := N N {0} Q := {x = p, p, q Z, q 0} q Menge der gnzen Zhlen Menge der rtionlen Zhlen Q erfüllt (A1)-(A12), ber nicht (A13). 2.5 Endliche Mengen, bzählbre Mengen Denition 2.8 Zwei Mengen heiÿen gleichmächtig, flls eine bijektive Abbildung ϕ : A B existiert. Denition 2.9 Sei A eine Menge. ) A heiÿt endlich, flls n N existiert, so dss A und {1, 2,..., n} gleichmächtig sind. Schreibweise: A = { 1, 2,..., n } = { k : k = 1,..., n} b) A heiÿt unendlich, flls A nicht endlich ist. c) A heiÿt bzählbr, flls A und N gleichmächtig sind. Schreibweise: A = { k : k N} d) A heiÿt höchstens bzählbr, flls A endlich oder bzählbr ist. Schreibweise: A = { k } 11

12 Stz 2.10 ) A sei bzählbr, B A B ist höchstens bzählbr. b) N N ist bzählbr. c) M = {A k } sei eine höchstens bzählbre Menge, wobei jedes Element A k höchstens bzählbr ist. Dnn ist A k höchstens bzählbr. A k M Korollr 2.11 Q ist bzählbr. Proposition 2.12 Für jedes k N sei I k := [ k, b k ] ein bgeschlossenes Intervll mit k < b k und es gelte I 1 I 2 I 3... d.h. I k I k+1. Dnn ist I k. Eine Menge A heiÿt überbzählbr, flls A nicht höchstens bzählbr ist. k N Stz 2.13 R ist überbzählbr. Bemerkung Ein ähnlicher Beweis zeigt, dss jedes nichtleere Intervll I R überbzählbr ist. 2.6 Summen- und Produktzeichen Sei n N und 1, 2,..., n N. n i := n, i=1 n i := n i=1 Eigenschften n n ) (λ i + µb i ) = λ i + µ n i=1 i=1 i=1 b i 12

13 b) i b i für i = 1,..., n n i i=1 c) 0 i b i für i = 1,..., n d) n i i=1 n i i=1 n i=1 n i i=1 b i n i=1 b i 2.7 Binomilkoezienten Psclsches Dreieck n = 0 : 1 n = 1 : 1 1 n = 2 : n = 3 : n = 4 : n = 5 : usw. Bezeichnung: die Zhlen der n-ten Zeile heiÿen der Reihe nch ( ) n, 0 ( ) ( ) n n,...,, 1 n 1 ( ) n n Denition 2.14 Für n N 0 sei ( ) ( ) n n = := 1 sowie 0 n ( ) n + 1 := k ( ) n + k 1 ( ) n für k = 1,..., n. k Stz 2.15 (Binomischer Stz) Seien, b R, n N. Dnn gilt ( + b) n = n i=0 ( ) n i b n i. i Fkultäten 0! := 1, }{{} n! := n (n 1)!, n N n-fkultät 13

14 Stz 2.16 ( ) n = k n! n (n 1)... (n k + 1) = k! (n k)! k Ergänzung ( ) n ) := 0, flls n < k. k ( ) n b) = Anzhl der unterschiedlichen k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen k Grundmenge. 14

15 3 Polynome und n-te Wurzeln Denition 3.1 f, g : D R seien Funktionen und λ R. Dnn sind: { { { D R D R D R λ f : f + g : f g : x λ f(x) x f(x) + g(x) x f(x) g(x) ebenflls Funktionen. Anlog deniert mn punktweise f, mx{f, g} und min{f, g}. Denition 3.2 Eine Funktion f : D R heiÿt ) nch oben beschränkt, flls K R existiert mit f(x) K x D b) nch unten beschränkt, flls K R existiert mit f(x) K x D c) beschränkt, flls K R existiert mit f(x) K x D Schreibweise sup f(d) =: sup D f (= supf(x)) x D inf f(d) =: inf D f (= inf x D f(x)) Ist f nch oben bzw. unten unbeschränkt, so deniere sup D f = bzw. inf D f = 3.1 Polynome Denition 3.3 Ein Polynom ist eine Funktion P : R R mit P (x) = n i x i. Dbei ist n N 0 und 0,..., n R heiÿen Koezienten von P. Flls n 0, dnn heiÿt P Polynom vom Grd n. i=0 Eigenschften Sind P, Q Polynome, λ R λ P, P + Q und P Q sind Polynome. n Stz 3.4 P (x) = i x i sei ein Polynom, ξ R fest. Dnn gilt P (x) = b k = i=0 n ( ) i i ξ i k für k = 0,..., n. k i=k n b i (x ξ) i, wobei i=0 15

16 Korollr 3.5 Sei P Polynom vom Grd n und P (ξ) = 0 für ein ξ R. Dnn existiert ein Polynom Q von Grd n 1 mit P (x) = (x ξ) Q(x). Stz 3.6 (Nullstellenstz / Identitätsstz für Polynome) ) P sei Polynom vom Grd n 1 P ht höchstens n Nullstellen. b) P, Q seien Polynome vom Grd n. Flls P und Q n n + 1 Stellen übereinstimmen so folgt P = Q. Ergänzung (Fundmentlstz der Algebr) Ein Polynom vom Grd n ht genu n komplexe Nullstellen. Sei P Polynom vom Grd n. Nch Abspltung der (reellen) Nullstellen ht P die Drstellung P (x) = (x ξ 1 ) (x ξ 2 )... (x ξ k ) Q k (x) und Grd(Q k ) = n k, Q k ht keine (reellen) Nullstellen. Es seien {λ 1,..., λ l } = {ξ 1,..., ξ k }, wobei λ i λ j für i j gelte. D.h. die λ i, i = 1,..., l sind die unterschiedlichen Nullstellen von P. Dnn ht P die Drstellung P (x) = (x λ 1 ) s1 (x λ 2 ) s2... (x λ l ) sl Q k (x) Für i = 1,..., l heiÿt s i Vielfchheit der Nullstelle λ i. Es gilt s s l = k. 3.2 Monotone Funktionen Denition 3.7 Es sei f : D R R eine Funktion. f heiÿt ) monoton wchsend, wenn us x < y, x, y D folgt f(x) f(y) b) streng monoton wchsend, wenn us x < y, x, y D folgt f(x) < f(y) c) monoton fllend, wenn us x < y, x, y D folgt f(x) f(y) d) streng monoton fllend, wenn us x < y, x, y D folgt f(x) > f(y) Stz 3.8 Seien f, g : D R R monoton wchsend. ) f + g, λ f (λ > 0) sind monoton wchsend. b) f, g > 0. Dnn ist f g monoton wchsend; 1 f monoton fllend. c) Für n N ist x n streng monoton wchsend uf [0, ); x n ist streng monoton fllend uf (0, ). 16

17 3.3 Die Lipschitz-Bedingung Denition 3.9 Eine Funktion f : D R R genügt einer Lipschitz-Bedingung uf D, flls eine Konstnte L > 0 existiert, sodss gilt f(x) f(y) L x y x, y D kurz: f Lip(D); L heiÿt Lipschitz-Konstnte von f uf D. Lemm 3.10 ) Flls f, g Lip(D) und λ R f + g, λ f Lip(D) b) D beschränkt, f Lip(D) f beschränkt. c) D beschränkt, f, g Lip(D) f g Lip(D). d) D beschränkt, P Polynom P Lip(D). Stz 3.11 (Stz über die Umkehrfunktion) Vorussetzung: Sei I ein Intervll und f : I R streng monoton wchsend und für jedes Intervll [, b] I gelte f Lip([, b]). Behuptung: i) I = f(i) ist ein Intervll ii) f : I I ist bijektiv iii) f 1 : I I ist streng monoton wchsend Beispiel: n N, n 2 f : { [0, ) [0, ) x x n ist streng monoton wchsend und f Lip([0, k]) für jedes k N. Nch Stz 3.11 gibt es eine streng monoton wchsende Umkehrfunktion f 1 : [0, ) [0, ). Bezeichnung: f 1 (x) = n x "n-te Wurzel" Achtung: die n-te Wurzel ist immer 0 2 x = x, 2 = 4 = 2 ( 4 = 2 oder 4 = ±2 ist flsch!) 17

18 Stz 3.12 (Ungleichung zwischen rithmetischem und geometrischem Mittel) Seien n N und x 1, x 2,..., x n 0 gegebene reelle Zhlen. Dnn gilt: n x1 x 2... x n x 1 + x x n n und "="gilt genu dnn, wenn x 1 = x 2 =... = x n. Denition 3.13 (Potenzen mit rtionlem Exponenten) Sei r = p q mit p Z, q N. Für R+ deniere r := q p und 0 := 1. Bemerkung (Wohldeniertheit der Potenz mit rtionlem Exponenten) Sei r = p q = n p n q und sei ξ = q p sowie η = n q n p. Gilt dnn η = ξ? J, denn mn bechte: ξ q = p, ξ n q = n p = η n q lso ξ = η. Stz 3.14 Seien, b R +, r, s Q. Dnn gilt: ) r+s = r s b) r b r = ( b) r c) ( r ) s = r s d) x x r ist streng monoton wchsend für r > 0, streng monoton fllend für r < 0. e) Sei r < s. Für > 1 gilt r < s und für 0 < < 1 gilt r > s. 18

19 4 Zhlenfolgen und Konvergenz Denition 4.1 Sei p Z und Z p := {n Z : n p}. Eine Abbildung : Z p R heiÿt reelle Zhlenfolge. Schreibweise: Folgenglieder n := (n), Folge ( n ) n p oder ( n ) Übertrgung der Begrie us 3.2 und 3.7 Die Folge ( n ) heiÿt beschränkt, flls c 0 existiert mit n c für lle n p. Die Folge ( n ) heiÿt monoton wchsend, flls n n+1 für lle n p. nlog monoton fllend, streng monoton wchsend / fllend Denition 4.2 (Nullfolge) N N existiert, sodss gilt: Eine Folge ( n ) heiÿt Nullfolge, flls zu jedem ɛ 0 ein Index n N n ɛ. Schreibweise lim n = 0, n 0 für n, n 0 oder nur n 0 Lemm 4.3 ) ( n ) Nullfolge, (b n ) beschränkte Folge ( n b n ) Nullfolge b) Flls n 0 und flls c > 0 existiert mit b n c n, dnn folgt b n 0 c) Aus n 0 und b n 0 folgt n + b n 0 Beispiele von Nullfolgen ) flls n 0 und p > 0 p n 0 1 b) p > 0 : lim p = 0 n c) Für 0 < q < 1 ist lim qn = 0 d) Für 0 < q < 1 und p 1 gilt lim np q n = 0 19

20 Denition 4.4 Eine Folge ( n ) heiÿt konvergent, flls R existiert, sodss ( n ) Nullfolge ist. heiÿt Grenzwert von ( n ). Eine Folge ( n ) heiÿt divergent, flls ( n ) nicht konvergiert. Schreibweise lim n =, n für n, n oder nur n Gleichbedeutend zur Denition 4.4: Zu jedem ɛ > 0 existiert ein Index N N, sodss gilt: n N n ɛ. Stz 4.5 Sei ( n ) konvergent. Dnn gilt: ) lim n ist eindeutig bestimmt. b) ( n ) ist beschränkt. Stz 4.6 Sei lim n = und f Lip([c, d]) mit (c, d). Dnn gilt lim f( n) = f(). Folgerung Ist P Polynom und n, so folgt P (n ) P (). Lemm 4.7 Es gelte lim n =, lim b n = b. Dnn folgt: ) lim ( n + b n ) = + b, lim ( n b n ) = b, lim n =, flls b 0, b n b b) lim n =, lim (λ n) = λ, lim p n = p für p N, c) Flls ein N N exisitert und n b n für lle n N, so folgt b. Stz 4.8 (Sndwich-Theorem) Flls n, b n für n und n c n b n, so folgt, dss c n für n. 20

21 Beispiele n n (n + 1) ) lim n 2 = lim 2n 2 = 1 2 lim (1 + 1 n ) = 1 2 3n 3 4n n b) lim 2n 3 = lim + 7 n 3 + 5n = n 2 c) Sei > 0. lim n = 1 lim 3 4 n + 7 n 3 3 lim = 2 n 2 1. Fll > 1, dnn gilt 1 < < n für groÿe n, lso: 1 = n 1 < n < n n und mit dem Sndwich-Theorem folgt lim n = 1. n 1 2. Fll 0 < < 1, lim = 1, d.h. Lemm 4.7 n = 1 1 n Denition 4.9 (Teilfolgen, Umordnungen) Sei ( n ) n p eine Folge, Z p = {z Z, z p} und sei Φ : Z p Z p eine Abbildung. Durch b n := Φ(n) für n Z p wird eine neue Folge (b n ) n p deniert. ) Ist Φ bijektiv, so heiÿt (b n ) Umordnung von ( n ). b) Ist Φ streng wchsend, so heiÿt (b n ) Teilfolge von ( n ). 1 Beispiel n = 1 n. Dnn sind ( 1 n 2 ) und ( 1 2n) Teilfolgen von (n ). Stz 4.10 Sei gegen. lim n =. Jede Umordnung und jede Teilfolge von ( n ) konvergiert uch Denition 4.11 (Bestimmte Divergenz) Eine Folge ( n ) n p heiÿt bestimmt divergent gegen (bzw. ), flls zu jedem K > 0 ein Index N Z p existiert, sodss gilt: n N n > K (bzw. n < K). Schreibweise lim n =, n bzw. lim n =, n 21

22 Stz 4.12 (Monotone Konvergenz) Sei ( n ) n p eine monoton wchsende und beschränkte Folge. Dnn ist ( n ) n p konvergent und Schreibweise: n lim n = sup n. n p Anlog: Sei ( n ) n p eine monoton fllende und beschränkte Folge. Dnn ist ( n ) n p konvergent und lim n = inf n. n p 4.1 Exponentilfunktion, Logrithmus und llgemeine Potenzfunktion Ziel: Denition von x für > 0 und x R. Idee: Wähle eine Folge (r n ) n 1, r n rtionl, r n x und untersuche die Folge ( rn ) n 1. Lemm 4.13 Zu jedem x R gibt es eine monoton wchsende Folge (r n ) n 1 von rtionlen Zhlen mit lim r n = x. Lemm 4.14 Sei > 0, m N und J = [ m, m]. Dnn existiert L m > 0 mit der Eigenschft: r, s J Q gilt: r s L m r s. Stz 4.15 Sei > 0, x R und (r n ) n 1 eine Folge rtionler Zhlen mit lim r n = x. Dnn existiert lim rn und ist unbhängig von der Whl der Folge (r n ) n 1. Deniere x := lim rn. Stz 4.16 (Eigenschften von x ) ) Sei > 0. Die Funktion { R R x x heiÿt llgemeine Exponentilfunktion. Es gilt: i) x+y = x y, ( x ) y = x y, ( b) x = x b x ii) x Lip([ m, m]) für lle m N. Insbesondere gilt: us x n x folgt xn x. iii) für > 1 ist x streng monoton wchsend. iv) für 0 < < 1 ist x streng monoton fllend. 22

23 { (0, ) R b) Sei α R. Die Funktion x xα heiÿt llgemeine Potenzfunktion. (Deniere 0 α := 0 für α > 0). Sie ist für α > 0 streng wchsend uf [0, ) und für α < 0 streng fllend uf (0, ). Betrchte für > 1 nochmls die Funktion f : { R R x x f ist streng monoton wchsend, f Lip(I) für jedes beschränkte Intervll I. Nch Stz 3.11 (Stz über die Umkehrfunktion) ist f(r) ein Intervll. Bestimme den Bildbereich f(r): Sei = 1 + h, h > 0. Für n N ist n = (1 + h) n 1 + n h und n 1. Folglich: lim 1 + n h n = +, lim n = 0, lso f(r) = (0, ). Anlog: der Bildbereich von x α für x (0, ) ist (0, ). Denition 4.17 { Die Umkehrfunktion f 1 von x heiÿt log x (Logrithmus von x zur Bsis (0, ) R ). Es gilt: f 1 : ist streng monoton wchsend. x log x Es gelten die Rechenregeln (vgl. 4.16): log (x y) = log x + log y, log ( x y ) = log x log y, log (x y ) = y log x, log 1 = 0 Die Zhl e: Sei x n, x 0: [ ( x n )... (1 + x ) ] 1 n+1 AGM-Ungl. n x ( < = 1 + x ) n ( < 1 + x ) n+1, }{{ n } n + 1 n n + 1 n ml d.h., Folgerungen: ( i) n = 1 + n) 1 n monoton wchsend in n ( ii) b n = 1 n) 1 n monoton wchsend in n iii) c n = 1 ( n + 1 ) n+1 ( = = n+1 monoton fllend und n < c n. b n+1 n n) 23

24 ( n Denition 4.18 e := lim n) = lim ( ) Bechte: wegen c n = n n n. gilt uch lim c n = e. 4.2 Häufungswerte von Folgen, Konvergenzkriterium von Cuchy Denition 4.19 R heiÿt Häufungswert einer Folge ( n ) n p, flls zu jedem ɛ > 0 für unendlich viele n p gilt: n < ɛ. Beispiel: n ht den Häufungswert 1; 1 n + ( 1)n ht die Häufungswerte 1, 1 Lemm 4.20 R ist Häufungswert von ( n ) es existiert eine Teilfolge von ( n ) mit Grenzwert. Stz 4.21 (Bolzno-Weierstrÿ) Sei ( n ) n p eine beschränkte Folge und H = {Häufungswerte von ( n )}. Dnn gilt: ) H b) Es gibt = mx H und = min H. Schreibweise: =: lim sup c) Sei ɛ > 0. Es gilt: n (limes superior), =: lim inf n (limes inferior) n > + ɛ nur für endlich viele n; n > ɛ für unendlich viele n. n < ɛ nur für endlich viele n; n < + ɛ für unendlich viele n. Korollr 4.22 ( n ) sei beschränkte Folge. Dnn gilt: ( n ) konvergiert lim inf n = lim sup n Denition 4.23 Eine Folge ( n ) n p heiÿt Cuchy-Folge, flls zu jedem ɛ > 0 ein Index N p existiert, sodss gilt: n, m N n m < ɛ. 24

25 Stz 4.24 ( n ) konvergiert ( n ) ist Cuchy-Folge. Beispiel: n := n = n k=1 1 k, n ist monoton wchsend. Frge: Ist ( n ) konvergent? Antwort: Nein, ( n ) ist keine Cuchy-Folge, denn 2n n = 1 2n n + 1 n 2n = 1 2 für lle n N. 25

26 5 Unendliche Reihen Denition 5.1 Sei ( n ) n p eine gegebene reelle Zhlenfolge. Für k p heiÿt s k = k n = p + p k n=p k-te Teilsumme. Die Folge der Teilsummen (s k ) k p heiÿt unendliche Reihe mit Gliedern n. Die unendliche Reihe heiÿt konvergent, flls die Folge (s k ) k p der Teilsummen konvergiert. Ds Symbol Beispiele: n steht für n=p i) Geometrische Reihe s k = k x n, x 0: x n = 1 xk+1 1 x (x 1) die Folge der Teilsummen s k. lim k s k, flls s k konvergiert. x < 1 lim s k = 1 k 1 x x 1 s k ist divergent. Mn sgt: Die Reihe x n konvergiert für x < 1 und ht den Wert ii) Hrmonische Reihe n=1 n=1 1 n : 1 1 x. 1 n divergiert, denn (s k) k 1 ist keine Cuchy-Folge (vgl. letztes Beispiel Kpitel 4). 26

27 Stz 5.2 Sei ( n ) n p Folge. Dnn gilt: die Reihen n, n (q > p) und n+p hben ds gleiche Konvergenzverhlten und im Fll der Konvergenz gilt die Beziehung: n=p n=q n+p = n = p q 1 + n. n=p n=q Folgerung: Es genügt, im Folgenden Reihen der Form n zu betrchten. Stz 5.3 n, b n seien konvergent. Dnn gilt: ) (λ n + µb n ) konvergiert und (λ n + µb n ) = λ n + µ b) n b n für lle n N 0 n b n Stz 5.4 Sei n konvergent. Dnn ist ( n ) n 0 eine Nullfolge und ebenso (r n ) n 0, wobei r n = i=n+1 i die Folge der Reihenreste ist. b n 5.1 Reihen mit positiven Gliedern k Sei ( n ) n 0 Folge mit n 0, s k = n. Dnn gilt: n konvergiert (s k ) k 0 ist beschränkt n divergiert gegen (s k ) k 0 ist unbeschränkt 27

28 Stz 5.5 (Mjornten-/ Minorntenkriterium) ) Sei b) Sei c n konvergent und 0 n c n. Dnn ist n konvergent. d n divergent und 0 d n n. Dnn ist n divergent. Beispiele 1) 2) n=1 n=2 1 5n + 2 divergent, denn 1 5n n + 1 und 1 n 2 konvergiert, denn 1 n 2 1 n (n 1) = 1 n 1 1 n ( 1 n 1 1 ) = 1 (konvergent), d s k = n k n=2 1 n + 1 divergiert. (n 2) und ( 1 n 1 1 ) = 1 1 n k 5.2 Alternierende Reihen Denition 5.6 Eine Reihe für lle n N 0. n heiÿt lternierend, flls stets ( 1) n n 0 oder 0 ist Stz 5.7 (Leibnizkriterium) Sei n lternierend und ( n ) n 0 sei eine streng monoton fllende Nullfolge. Dnn konvergiert n. Beispiele n=1 ( 1) n n, n=2 ( 1) n log n, n=1 ( 1) n n 2 konvergieren. 28

29 5.3 Konvergenzkriterien Stz 5.8 (Cuchykriterium für Reihen) n konvergiert ɛ > 0 N N, sodss gilt: k > l N Denition 5.9 (bsolute Konvergenz) n heisst bsolut konvergent, flls n konvergiert. k n=l+1 n < ɛ. Beispiele ( 1) n n=1 n 2 ( 1) n n=1 n bsolut konvergent nicht bsolut konvergent, ber konvergent Stz 5.10 Ist n bsolut konvergent, so ist n konvergent und es gilt: n n Stz 5.11 (Wurzelkriterium) Sei ( n ) Folge: ) Flls q (0, 1) und N N existieren mit n n q für lle n N, so ist n bsolut konvergent. b) Flls n n 1 für unendlich viele n, so ist n divergent. 29

30 Stz 5.12 (Quotientenkriterium) ) Flls q (0, 1) und N N existieren mit den Eigenschften n 0 und n+1 q für n lle n N ist, so ist n bsolut konvergent. b) Flls N N existiert mit den Eigenschften n 0 und n+1 1 für lle n N, so n ist n divergent. Korollr 5.13 ) lim sup b) lim sup n n < 1 n n > 1 n bsolut konvergent. n divergent. c) lim sup n+1 < 1 n bsolut konvergent. d) lim inf n n+1 > 1 n divergent. n Beispiele ) Für p R und x ( 1, 1) ist b) c) n p x n bsolut konvergent. Wurzelkriterium: n=1 n n p x n = n n p x 1 p x < 1 n=1 n=1 1 n! konvergiert, denn n+1 n! = n (n + 1)! = 1 0 n + 1 x n n! konvergiert bsolut für lle x R, denn n+1 x n! = 0 n (n + 1)! 30

31 d) n=1 1 n α : α = 1: divergent α < 1: divergent, denn 1 n 1 α n α = 2: konvergent α > 2 konvergent, denn 1 n 1 α n 2 Ws pssiert für 1 < α < 2? Stz 5.14 (Verdichtungsstz von Cuchy) Sei n 0 für lle n N, n monoton fllend. Dnn gilt: n konvergent n=1 2 n 2 n }{{} verdichtete Reihe konvergent Beispiel 1 n α, n = 1 n α, 2 n = 1 2 α n, 2n 2 n = 2 (1 α) n = q n mit q = 2 1 α < 1, d α > 1. n=1 D.h. die "verdichtete Reihe" (geometrische Reihe) ist konvergent. S.5.14 n=1 2 n 2 n = q n = 1 1 q 1 konvergiert für 1 < α < 2 (sogr für 1 < α < ) nα Denition 5.15 (Umordnung von Reihen) Sei ( n ) eine Folge und Φ : N 0 N 0 bijektiv. Dnn heiÿt n. Φ(n) eine Umordnung von 31

32 Stz 5.16 (1. Umordnungsstz) Flls n bsolut konvergiert, so konvergiert jede Umordnung gegen den selben Wert. Lemm 5.17 ( n ) n 0 sei Folge und + n = mx{ n, 0}, n = mx{ n, 0}. Dnn gilt: n ist bsolut konvergent + n, n sind konvergent Stz 5.18 (2. Umordnungsstz) Sei mit n konvergent, ber nicht bsolut konvergent. Zu jedem c R existiert eine Umordnung Φ(n) = c. 5.4 Doppelreihen Denition 5.19 ) Eine Abbildung : { N0 N 0 R (i, j) ij heiÿt Doppelfolge. b) Sei Φ : N 0 N 0 N 0 eine Bijektion und ( ij ) i,j 0 eine Doppelfolge. Die Reihe heiÿt Relisierung der Doppelreihe Bechte: Flls ij. i,j=0 Φ(n) bsolut konvergiert, so ist der Wert S = In diesem Fll heiÿt die Doppelreihe Φ(n) Φ(n) unbhängig von Φ. ij bsolut konvergent und ht den Wert S. i,j=0 32

33 m Stz 5.20 Sei ( ij ) i,j 0 eine Doppelfolge. Flls K > 0 existiert mit dnn ist ij bsolut konvergent und es gilt: i,j=0 i,j=0 i=0 j=0 j=0 i=0 k=0 i=0 i,j=0 ( ) ( ) ( k ) ij = ij = ij = i,k i ij < K m N, 5.5 Multipliktion von Reihen Stz 5.21 Flls n, b n bsolut konvergieren, dnn konvergiert die Doppelreihe ( i b j ) bsolut und es gilt: i,j=0 ( )( ) ( i b j ) = n b n i,j=0 Mn knn die Produktreihe uch wie folgt berechnen: ( n ) ( i b j ) = i b n i i,j=0 i=0 Diese Art der Summtion heiÿt Cuchy-Produkt. Beispiel: ( x n )( n! d (x + y) n = y n ) = n! n k=0 ( n k=0 x k k! ( ) n x k y n k = k Später werden wir sehen, dss y n k ) = (n k)! n k=0 (x + y) n, n! n! k!(n k)! xk y n k x n n! = ex, d.h. wir hben soeben e x e y = e x+y veriziert. 33

34 6 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Ziel: Erklärung des Begris lim x ξ f(x) sowie des Begris der Stetigkeit von f im Punkt ξ. Dzu sei f : D R eine Funktion uf D R. Denition 6.1 ) ξ R heiÿt Häufungspunkt von D, wenn in jedem Intervll (ξ ɛ, ξ +ɛ), ɛ > 0 unendlich viele Punkte von D liegen. b) ξ D heiÿt isolierter Punkt von D, wenn ξ kein Häufungspunkt von D ist. In diesem Fll ex. δ > 0, sodss gilt (ξ δ, ξ + δ) D = {ξ} Beispiel: Sei D = ( 1, 1) {2}. Dnn ist 2 ein isolierter Punkt und die Häufungspunkte von D sind [ 1, 1]. Denition 6.2 Sei f : D R eine Funktion und ξ R Häufungspunkt von D. Mn sgt: f strebt gegen R für x ξ, flls zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert mit der Eigenschft x ξ < δ, x D \ {ξ} f(x) < ɛ. In Symbolen: lim x ξ f(x) = oder f(x) für x ξ. Denition 6.3 Sei f : D R eine Funktion und ξ D. f heiÿt stetig n der Stelle ξ, flls zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert mit der Eigenschft x ξ < δ, x D f(x) f(ξ) < ɛ Bemerkungen: ) Sei x D Häufungspunkt. f ist stetig n der Stelle ξ lim x ξ f(x) = f(ξ) b) Sie ξ D isolierter Punkt. Dnn ist f utomtisch stetig im Punkt ξ. Stz 6.4 Sei f : D R R stetig n der Stelle ξ D. Flls f(ξ) > 0 ist, dnn ex. δ, η > 0 mit f(x) η > 0 für lle x (ξ δ, ξ + δ) D. 34

35 Denition 6.5 f : D R heiÿt stetig uf D, flls f in jedem Punkt von D stetig ist. Mn schreibt f C(D). Stz 6.6 Lip(D) C(D). D.h. jede Funktion, die uf D einer Lipschitz-Bedingung genügt, ist stetig uf D. Sprechweise: f ist Lipschitz-stetig. Beispiele: { x 2, x 2 ) f(x) =. Dnn ist lim 2, x = 2 f(x) = 4, denn x 2 x2 Lip([1, 3]) und limf(x) = x 2 lim x 2 x2 = 4. f ist stetig in llen Punkten x 2 und unstetig bei x = 2. { b) f(x) = e 1 x, x 0. Dnn ist f stetig uf R; insbesondere bei x = 0. 0, x = 0 Denition 6.7 (Einseitiger Limes, einseitige Stetigkeit) ) f : (ξ, ξ + α) R ht in ξ einen rechtsseitigen Grenzwert R, flls ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, sodss gilt: Symbol: = f(ξ+) = lim x ξ+ f(x). ξ < < ξ + δ f(x) < ɛ Anlog für den linksseitigen Grenzwert: = f(ξ ) = lim x ξ f(x) b) f : [ξ, ξ + α) R heiÿt rechtsseitig stetig in ξ, flls f(ξ) = f(ξ+) c) f : (ξ α, ξ] R heiÿt linksseitig stetig in ξ, flls f(ξ) = f(ξ ) Stz 6.8 (Folgenkriterium) Sei f : D R eine Funktion. ) ξ sei Häufungspunkt von D. Dnn gilt: lim f(x) = für jede Folge (x n) D \ {ξ} mit lim x n = ξ gilt lim f(x n) = x ξ b) f stetig in ξ D für jede Folge (x n ) D mit lim x n = ξ D gilt lim f(x n) = f(ξ) 35

36 Lemm 6.9 (Rechenregeln für Grenzwerte) Seien f, g, h : D R Funktionen und es existieren A = lim x ξ f(x) und B = lim x ξ g(x). Dnn gilt: ) limλ f(x) = λ A x ξ ( ) ( ) b) lim f(x) + g(x) = A + B, lim f(x) g(x) = A B x ξ x ξ c) flls B 0, dnn gilt:lim x ξ f(x) g(x) = A B d) gilt f(x) g(x) x D, so folgt A B e) gilt f(x) h(x) g(x) und gilt A = B, dnn folgt lim x ξ h(x) = A Beispiele: ) (n N) lim (Regel b)) x n 1 x 1 x 1 = n, denn xn 1 = (x 1) (1+x+...+x n 1 ) und lim x 1 x m = 1 m N b) Sei α > 0. lim x 1 x α = 1. Wähle n N mit 0 < α < n. Dnn gilt für x > 1 : 1 < x α < x n 0 < x < 1 : x n < x α < 1 Mit Regel e) lim x 1 x α = 1. Für α < 0 folgt lim x ξ x α = 1 mit c) Stz 6.10 (Konvergenzkriterium von Cuchy) Sei f : D R eine Funktion und ξ sei Häufungspunkt von D. Dnn gilt: limf(x) existiert ɛ > 0 δ > 0, sodss gilt: us x ξ x, y D \ {ξ} und x ξ, y ξ < δ folgt f(x) f(y) < ɛ. Lemm 6.11 Sei f, g : D R stetig in ξ D. Dnn gilt für λ R, dss λ f, f + g, f g stetig in ξ sind. Flls g(ξ) 0, dnn ist uch f g stetig in ξ. Stz 6.12 Sei f : D R und sei ξ R Häufungspunkt von D. Dnn gilt: lim f(x) = Folgen (x n), (y n ) in D mit x n < ξ bzw. ξ < y n und lim x n = lim y n = ξ x ξ gilt: lim f(x n) = lim f(y n) = 36

37 Folgerung: f ist stetig in ξ D Folgen (x n ), (y n ) in D mit x n < ξ bzw. ξ < y n und lim x n = lim y n = ξ gilt: lim f(x n) = lim f(y n) = f(ξ). Mit nderen Worten: f stetig in ξ lim f(x) = lim f(x) = f(ξ). x ξ x ξ+ Stz 6.13 (Komposition stetiger Funktionen) Seien f : D R, g : D R Funktionen mit f(d) D und h : D R sei deniert durch h = g f. Ist f stetig in ξ D und g stetig in f(ξ) D, dnn ist h stetig in ξ. Beispiele: ) Seien f, g : D R stetig in ξ D. Dnn sind f +, f, f, mx{f, g}, min{f, g} stetig in ξ D. b) Seien α R, ξ > 0. Wir zeigen: limx α = ξ α. Sei f(x) = x x ξ ξ, g(y) = (ξ y)α. Dnn ist g stetig bei y = 1 und f stetig bei x = ξ. Also gilt limf(x) = 1, limg(y) = g(1) = ξ α. x ξ y 1 Folglich limx α = limg(f(x)) = ξ α mit Stz x ξ x ξ Die llgemeine Potenzfunktion ist demzufolge stetig uf (0, ). Stz 6.14 (stetige Funktionen uf kompkten Intervllen) Sei I R ein kompktes Intervll, d.h. I = [, b] für < b,, b R. Flls f : I R stetig ist, dnn gilt: ) f ist beschränkt b) f nimmt Minimum und Mximum n, d.h. x, x I mit f(x ) f(x) f(x ) x I Stz 6.16 (Nullstellenstz) Sei f : I = [, b] R stetig und f() > 0, f(b) < 0 (oder umgekehrt). Dnn ht f in [, b] eine erste Nullstelle c 1 und eine letzte Nullstelle c 2 mit < c 1 c 2 < b. Korollr 6.17 (Zwischenwertstz) Ist f : I = [, b] R stetig, so nimmt f jeden Wert zwischen f() und f(b) n. 37

38 Korollr 6.18 Sei I R ein beliebiges Intervll und f C(I). Dnn ist f(i) ein Intervll. Stz 6.19 (Stz über Stetigkeit der Umkehrfunktion) Sei I beliebiges Intervll und f : I R sei stetig und streng monoton wchsend (fllend) sowie I := f(i). Dnn ist f 1 : I I stetig und streng monoton wchsend (fllend). Denition 6.20 (Gleichmäÿige Stetigkeit) Eine Funktion f : D R heiÿt gleichmäÿig stetig, uf D R, flls ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, sodss gilt: ( ) x, y D mit x y < δ folgt f(x) f(y) < ɛ Bechte: δ > 0 muss so gewählt werden, dss die Bedingung ( ) für lle x, y D mit x y < δ erfüllt ist. Beispiele: ) f(x) = x, D = [0, ) ist gleichmäÿig stetig. Bechte: für x, y 0 gilt: x y x + y + 2 x y, lso x y x + y Folglich: x x y y = x + x y = x y < ɛ, flls x y δ := ɛ 2 und y x y x y und entweder x 0 oder y 0 (in diesen Ausnhmefällen ist die Abschätzung llerdings uch richtig). b) f(x) = 1 x, x D = (0, 1]. Seien x, y > η 0 flls x y < δ := η 2 ɛ 1 x 1 x y x y = y x y η 2 ɛ, Problem: Whl von ɛ hängt dvon b, dss x, y η > 0 sind. Es ist unmöglich δ unbhängig von x, y (0, 1] zu wählen, denn x := 1 n, y := 1 1 2n ergeben, dss x y = 2n beliebig klein, ber f(x) f(y) = n beliebig groÿ wird. c) f Lip(D). Dnn ist f gleichmäÿig stetig uf D. Wähle δ = ɛ L, L Lipschitzkonstnte. Stz 6.21 Sei f : I = [, b] R uf dem kompkten Intervll I = [, b] stetig. Dnn ist f gleichmäÿig stetig uf I. 38

39 Denition 6.22 (Grenzwerte für x ± ) Sei f : (α, ) R eine Funktion. Mn sgt, f strebt gegen R für x, flls gilt: ɛ > 0 existiert c > α mit der Eigenschft: In Symbolen: lim f(x) =, x Anlog: lim x Bemerkungen: x > c f(x) < ɛ f(x) für x f(x) =, flls f : (, α) R. Es gelten folgende Beziehungen: ) lim f(x) = lim x t 0+ f(1 t ) =, lim f(x) = lim x t 0 f(1 t ) = b) lim f(x) = für jede Folge (x n) mit x n gilt f(xn ) x Beispiel: lim 2x 2 1 x 2 + 3x + 2 = lim 2 1 x 2 2 t x + 2 = lim t t + 2t x 2 = 2 2 Denition 6.23 (Uneigentliche Grenzwerte) ) Sei f : D R eine Funktion und ξ Häufungspunkt von D. Mn sgt: lim x ξ f(x) = (bzw. ), flls K > 0 ein δ > 0 existiert mit der Eigenschft x ξ < δ, x D \ {ξ} f(x) > K (bzw. f(x) < K). b) Sei f : (α, ) R eine Funktion. Mn sgt lim f(x) =, flls K > 0 ein c > α Beispiele: existiert mit der Eigenschft: Anlog deniert mn lim f(x) =, lim x x x > c f(x) > K. f(x) = (bzw. ) x ) lim x xα =, flls α > 0, denn x α > K flls x > c := K 1 α 1 1 b) lim =, denn x 1+ 1 x 1 x < K flls 1 < x < 1 + δ, δ := 1 K. 39

40 7 Potenzreihen Denition 7.1 Sei ( n ) n 0 eine Folge reeller Zhlen. Dnn heiÿt die Reihe Vriblen x). n x n Potenzreihe (in der Bemerkungen ) Wie bei Polynomen deniert mn x 0 := 1 für lle x R. b) Gelegentlich werden Potenzreihen uch in der Form n (x ξ) n betrchtet (ξ R fest). 7.1 Punktweise/gleichmäÿige Konvergenz Denition 7.2 Sei D R, (f n ) n 1 eine Folge von Funktionen f n : D R sowie f : D R eine Funktion. ) (f n ) n 1 konvergiert punktweise gegen f, flls für lle x R gilt: f(x) = lim f n(x). D.h. zu jedem x D und zu jedem ɛ > 0 gibt es einen Index N = N(ɛ, x) N mit f n (x) f(x) < ɛ n N. b) (f n ) n 1 konvergiert gleichmäÿig gegen f, flls gilt: zu jedem ɛ > 0 gibt es einen Index N = N(ɛ) N mit f n (x) f(x) < ɛ für lle n N und lle x D. Bemerkung: us gleichmäÿiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz Beispiele ) D = [, b], f n (x) = 1 n x2. f n (x) konvergiert gleichmäÿig uf D gegen die Nullfunktion f = 0, denn: f n (x) 1 n mx{2, b 2 } < ɛ, flls n > 1 ɛ mx{2, b 2 } 40

41 b) D = [0, 1], f n (x) = x n konvergiert punktweise. Für x = 1 gilt lim f n(x) = 1 Für x [0, 1) gilt lim f n(x) = 0 { 1, x = 1 Deniere f(x) := 0, 0 x < 1 f n (x) konvergiert punktweise uf [0, 1] gegen f, ber f n (x) konvergiert nicht gleichmäÿig uf [0, 1] gegen f. Stz 7.3 (Cuchy-Kriterium für gleichmäÿige Konvergenz) Die Folge (f n ) n 1 von Funktionen konvergiert genu dnn gleichmäÿig uf D, flls zu jedem ɛ > 0 ein Index N = N(ɛ) N existiert, sodss gilt: f n (x) f m (x) < ɛ für lle n, m N und lle x D Stz 7.4 Die Folge (f n ) n 1 konvergiere gleichmäÿig uf D gegen die Funktion f. Flls jede Funktion f n n der Stelle ξ D stetig ist, so ist uch die Funktion f stetig n der Stelle ξ. 7.2 Anwendung uf Funktionenreihen Denition 7.5 Sei (f n ) n 0 eine Folge von Funktionen uf D. Die Reihe f n (x) heiÿt gleichmäÿig konvergent uf D, flls die Funktionenfolge (s k ) k 0 der Teilsummen, deniert k durch s k (x) = n x n, gleichmäÿig uf D konvergiert. Stz 7.6 (Weierstrÿ'sches Mjorntenkriterium) Sei (f n ) n 0 eine Folge von Funktionen uf D und ( n ) n 0 eine Folge reeller Zhlen mit f n (x) n für lle x D und lle n N 0. Flls n konvergiert, dnn konvergiert f n (x) gleichmäÿig uf D. 41

42 Stz 7.7 (Konvergenzstz für Potenzreihen) Gegeben sei die Potenzreihe n x n n. Sei L := lim sup n (L = zugelssen) und r := 1 L (wobei r = 0 flls L = und r = flls L = 0). Dnn gilt: ) Die Reihe konvergiert bsolut uf D = {x R : x < r} und b) Die Reihe divergiert für x R, x > r. n x n ist stetig uf D. c) Sei 0 < s < r. Dnn konvergiert die Reihe gleichmäÿig uf D s = {x R : x s}. d) Flls n 0 n N und flls lim n existiert (Wert erlubt), so gilt: r = lim n. n+1 n+1 r heiÿt Konvergenzrdius der Potenzreihe. 7.3 Die Exponentilreihe exp(x) := x n n! exp(x) konvergiert für lle x R gleichmäÿig uf beschränkten Intervllen, insbesondere ist exp(x) stetig uf R. Proposition 7.8 Es gilt exp(x) = ẽ x x R mit ẽ := exp(1) = 1 n!. Stz 7.9 x R gilt lim (1 + x n )n = ẽ x. Insbesondere gilt ẽ = e =Eulersche Zhl. Korollr 7.10 α > 0 gilt: lim =, lim x xα e x x ln x x α = 0, lim x xα e x = 0, limx α ln x = 0 x 0 42

43 7.4 Sinus, Cosinus Denition 7.11 sin x := ( 1) n x2n+1 (2n + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x := ( 1) n x2n (2n)! = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... Stz 7.12 sin x, cos x sind stetig uf R, beide hben Konvergenzrdius r =. Lemm 7.13 (Eigenschften von sin x, cos x) ) sin 0 = 0; cos 0 = 1 b) sin( x) = sin x; cos( x) = cos x c) Additionstheoreme: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y d) cos 2 x + sin 2 x = 1 Lemm 7.14 cos x besitzt eine erste positive Nullstelle im Intervll (1, 3). Denition 7.15 π 2 bezeichnet die erste positive Nullstelle von cos x. Korollr 7.16 ) sin π 2 = 1; sin π = 0; sin 2π = 1; cos π = 1; cos 2π = 1 b) sin(x + 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos x c) sin(x + π) = sin x; cos(x + π) = cos x d) sin(x + π 2 ) = cos x; cos(x + π 2 ) = sin x = cos( x + π 2 ) Korollr 7.17 Auf [0, π 2 ] ist cos x streng monoton fllend, sin x streng monoton steigend. Korollr 7.18 lim x 0 sin x x = 1; lim x 0 cos x 1 x 2 = 1 2 Denition 7.19 (Tngens, Cotngens) tn x := sin x cos x für x (2k + 1) π 2, cos x cot x := sin x für x kπ 43

44 7.5 Arcusfunktionen sin x : [ π 2, π 2 ] [ 1, 1] streng wchsend und stetig, cos x : [0, π] [ 1, 1] streng fllend und stetig Umkehrfunktionen rcsin x : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] rccos x : [ 1, 1] [0, π] tn x : ( π 2, π 2 ) R streng wchsend und stetig, cot x : (0, π) R streng fllend und stetig Umkehrfunktionen rctn x : R ( π 2, π 2 ) rccot x : R (0, π) 7.6 Hyperbelfunktionen sinh x := ex e x 2 cosh x := ex + e x 2 = = x 2n+1 (2n + 1)! x 2n (2n)! (Sinus Hyperbolicus) (Cosinus Hyperbolicus) tnh x = sinh x cosh x = 1 2 cosh x e 2x ; coth x = + 1 sinh x 7.7 Arefunktionen Aufgrund von Monotonie besitzen die Hyperbelfunktionen folgende Umkehrfunktionen: Funktion sinh x cosh x [0, ) tnh x coth x Umkehrfunktion Arsinh x (Aresinushyperbolicus) Arcosh x Artnh x Arcoth x 44

45 Lemm 7.20 ) Arsinh x = ln(x + x 2 + 1) b) Arcosh x = ln(x + x 2 1), flls x > 1 c) Artnh x = 1 2 d) Arcoth x = x ln( 1 x ), flls x < 1 x+1 ln( x 1 ), flls x > 1 45

46 8 Komplexe Zhlen Denition 8.1 Auf R 2 = {(, b);, b R} wird eine Addition und eine Multipliktion wie folgt deniert: (, b) + (c, d) = ( + c, b + d) (, b) (c, d) = (c bd, d + bc) C := (R 2, +, ) ist ein Körper (Körper der komplexen Zhlen) R = {(, 0), R} wird ls Unterkörper von C ufgefsst, denn (, 0) + (c, 0) = ( + c, 0), (, 0) (c, 0) = ( c, 0) Konvention: (, 0) =. Deniere ı := (0, 1). Sei z = (, b) C. Wegen (, b) = (, 0) + (0, 1) (b, 0) schreibt mn: z = (, b) = + ıb = Re z heisst Relteil von z, b = Im z heisst Imginärteil von z z = (, b) = ıb (zu z komplex konjugierte Zhl) z := 2 + b 2 (Betrg einer komplexen Zhl z) Lemm 8.2 (Recheneregeln für komplexe Zhlen) 1) ı ı = (0, 1) (0, 1) = 1 2) ( + ıb) (c + ıd) = c bd + ı(d + bc) 3) z = zz 4) z = + ıb; 1 z = 2 + b 2 + ı b 2 + b 2 5) Re(z) = z + z 2 ; Im(z) = z z 2ı 6) z + w = z + w; z w = z w; 7) z + w z + w ( ) 1 = 1 z z 46

47 8) z w z w 9) Re z, Im z z Re z + Im z Denition 8.3 Ein komplexes Polynom ist eine Abbildung P : C C der Form P (z) = n α j z j mit Koezienten α j C, j = 0,..., n. Mn nennt n den Grd von P, flls α n 0. Stz 8.4 (Fundmentlstz der Algebr) Ein komplexes Polynom vom Grd n (n 1) besitzt genu n komplexe Nullstellen. j=0 8.1 Folgen Denition 8.5 (Konvergente Folgen) Ein Folge (α n ) n 1 komplexer Zhlen konvergiert gegen α C flls gilt lim α n α = 0. In Symbolen: lim α n = α. Lemm 8.6 Es gelte lim α n = α, lim β n = β. Dnn folgt: () (b) lim (α n + β n ) = α + β, lim α n = α, lim (α n β n ) = α β, lim lim (λ α n) = λ α für λ C. α n = α, flls β 0, β n β Lemm 8.7 Sei (α n ) n 1 eine Folge komplexer Zhlen und n = Re α n, b n = Im α n. Dnn gilt: lim α n = α = + ib lim n =, Beweis: n, b n b α n α n + b n b. lim b n = b. Denition 8.8 (Beschränkte Folgen) Eine Folge (α n ) n 1 komplexer Zhlen heiÿt beschränkt, flls K > 0 existiert mit α n K für lle n N. 47

48 Denition 8.9 (Häufungswert) α C heiÿt Häufungswert der Folge (α n ) n 1 komplexer Zhlen, flls zu jedem ɛ > 0 für unendlich viele n N gilt: α n α < ɛ. Stz 8.10 (Bolzno-Weierstrss) Sei (α n ) n 1 eine beschränkte Folge komplexer Zhlen. Dnn besitzt (α n ) n 1 einen Häufungswert. Denition 8.11 (Cuchy-Folge) Eine Folge (α n ) n 1 komplexer Zhlen heiÿt Cuchy-Folge, flls zu jedem ɛ > 0 ein Index N N existiert, sodss gilt: n, m N = α n α m < ɛ. Stz 8.12 Sei (α n ) n 1 eine Folge komplexer Zhlen. Dnn gilt: (α n ) n 1 konvergiert (α n ) n 1 ist Cuchy-Folge. 8.2 Reihen Denition 8.13 (Unendliche Reihen) Sei (α n ) n 0 eine Folge komplexer Zhlen. Für k 0 heiÿt k s k = α n = α 0 + α α k k-te Teilsumme. Die Folge der Teilsummen (s k ) k 0 heiÿt unendliche Reihe mit Gliedern α n. Die unendliche Reihe heiÿt konvergent, flls die Folge (s k ) k 0 der Teilsummen konvergiert. Die Reihe α n heisst bsolut konvergent, flls α n konvergiert. Stz 8.14 α n, β n seien konvergent. Dnn ist (λα n + µβ n ) konvergent und (λα n + µβ n ) = λ α n + µ β n. 48

49 Stz 8.15 (Wurzel- und Quotientenkriterium) Sei (α n ) n 0 eine Folge in C. n ) lim sup αn < 1 = α n bsolut konvergent. n b) lim sup αn > 1 = α n divergent. c) α n 0 für grosse n und lim sup α n+1 < 1 = α n bsolut konvergent. d) α n 0 für grosse n und lim inf α n α n+1 > 1 = α n divergent. α n Für bsolut konvergente Reihen gelten der Umordnungsstz 5.16 und der Multipliktionsstz Funktionen B r (ζ) := {z C : z ζ < r} heisst (oene) Kreisscheibe mit Rdius r > 0 um ζ C. Denition 8.16 (Häufungspunkt, isolierter Punkt) Sei D C. ) ζ C heiÿt Häufungspunkt von D, wenn in jeder Kreisscheibe B ɛ (ζ), ɛ > 0, unendlich viele Punkte von D liegen. b) ζ D heiÿt isolierter Punkt von D, wenn ζ kein Häufungspunkt von D ist. In diesem Fll ex. δ > 0, sodss gilt B δ (ζ) D = {ζ}. Denition 8.17 (Grenzwert) Sei f : D C eine Funktion und ζ C sei Häufungspunkt von D. Mn sgt: f strebt gegen α C für z ζ, flls zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert mit der Eigenschft z ζ < δ, z D \ {ζ} = f(z) α < ɛ. In Symbolen: lim z ζ f(z) = α oder f(z) α für z ζ. Denition 8.18 (Stetigkeit) Sei f : D C eine Funktion und ζ D. f heiÿt stetig n der Stelle ζ, flls zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert mit der Eigenschft z ζ < δ, z D = f(z) f(ζ) < ɛ 49

50 Ist ζ D Häufungspunkt so gilt: f ist stetig n der Stelle ζ lim z ζ f(z) = f(ζ). Stz 8.19 (Folgenkriterium) Sei f : D C eine Funktion und ζ C sei Häufungspunkt von D. Dnn gilt ) lim z ζ f(z) = α für jede Folge (z n ) D \ {ζ} mit lim z n = ζ gilt lim f(z n) = α. b) f stetig in ζ D für jede Folge (z n ) D mit lim z n = ζ D gilt lim f(z n) = f(ζ). Für Grenzwerte gelten die Rechenregeln (), (b), (c) us Lemm 6.9. Die Komposition stetiger Funktion ist wieder stetig; vgl. Stz Denition 8.20 (Punktweise, gleichmäÿige Konvergenz) Sei D C und (f n ) n 1 eine Folge von Funktionen f n : D C. () (f n ) n 1 konvergiert punktweise uf D gegen f flls für lle z D gilt: lim f n(z) = f(z). (b) (f n ) n 1 konvergiert gleichmäÿig uf D gegen f flls gilt: zu jedem ɛ > 0 exisitert ein N = N(ɛ) N mit der Eigenschft f n (z) f(z) < ɛ für lle z D und lle n N. Es gilt ds Cuchy-Kriterium für gleichmäÿige Konvergenz, vgl. Stz 7.3. Stz 8.21 Sei D C. Die Folge (f n ) n 1 von Funktionen f n : D C konvergiere gleichmäÿig uf D gegen die Funktion f. Flls jede Funktion f n n der Stelle ζ D stetig ist, so ist f stetig n der Stelle ζ. Denition 8.22 Sei D C und (f n ) n 0 eine Folge von Funktionen f n : D C. Die Reihe f n (z) heisst gleichmäÿig uf D konvergent, flls die Folge (s k ) k 0 der k-ten Teilsummen, deniert durch s k (z) := k f n (z), gleichmäÿig uf D konvergiert. Stz 8.23 (Weierstrÿsches Mjorntenkriterium) Sei D C, (f n ) n 0 eine Folge von Funktionen f n : D C und ( n ) n 0 eine Folge reeller Zhlen mit f n (z) n für lle z D und lle n 0. Flls D. n konvergiert, dnn konvergiert die Reihe f n (z) gleichmäÿig uf 50

51 8.4 Potenzreihen Denition 8.24 (Komplexe Potenzreihen) Sei (α n ) n 0 eine Folge komplexer Zhlen. Dnn heisst die Reihe α n z n Potenzreihe (in der komplexen Vriblen z C). Gelegentlich werden uch Potenzreihen in der Form fest. Stz 8.25 (Konvergenzstz) Gegeben sei die komplexe Potenzreihe Sei L = lim sup n αn und r := 1. Dnn gilt: L () Die Reihe konvergiert bsolut uf der Kreisscheibe B r (0) und B r (0). (b) Die Reihe divergiert für z C mit z > r. α n (z ζ) n betrchtet. Dbei ist ζ C α n z n. (c) Für 0 < s < r konvergiert die Reihe gleichmäÿig uf D s = {z C : z s}. (d) Flls α n 0 für groÿe n und flls lim α n α n+1. lim r heisst Konvergenzrdius der Potenzreihe. α n α n+1 α n z n ist stetig uf existiert ( zugelssen), so gilt r = 8.5 Komplexe Exponentilfunktion e z z n = n! cos z = ( 1) n z2n (2n)! sin z = ( 1) n z2n+1 (2n + 1)! bsolut konvergent für lle z C, Konvergenzrdius r = 51

52 Lemm 8.26 ) e z e w = e z+w z, w C b) e ız = cosz + ı sin z, insbesondere e ıπ = 1 c) Für t R ist e ıt = 1 { [0, 2π) {z C : z = 1} d) Die Abbildung t e ıt ist bijektiv Denition 8.27 (Polrkoordinten) Sei z C \ {0}. Dnn existiert genu ein t [0, 2π) mit z = z e ıt und t = rg z heisst Argument von z. Lemm 8.28 (Multipliktion komplexer Zhlen) Sei z, w C \ {0}, z = z e ı rg z ; w = w e ı rg w. Dnn gilt: zw = z w e ı(rg z+rg w), d.h. die Längen multiplizieren sich und die Winkel ddieren sich. Lemm 8.29 (Additionstheoreme) sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w Denition 8.30 (Komplexe Hyperbelfunktionen) sinh z := ez e z z 2n+1 = 2 (2n + 1)! cosh z := ez + e z 2 = z 2n (2n)! Es gilt: sinh(ız) = ı sin z und cosh(ız) = cos z 52

53 9 Dierentition 9.1 Dierenzenquotient, Ableitung Denition 9.1 Sei I ein oenes Intervll und f : I R eine Funktion. f heiÿt n der Stelle ξ I dierenzierbr, flls lim existiert (gleichbedeutend: lim f(x) f(ξ) f(ξ + h) f(ξ) x ξ x ξ h 0 h existiert). Der Wert des Limes heiÿt Ableitung von f n der Stelle ξ. In Symbolen: f (ξ) bzw. df dx (ξ) Geometrische Bedeutung: Tngentensteigung der Kurve (x, f(x)) im Punkt (ξ, f(ξ)). Beispiele: ) f(x) = e x f(ξ + h) f(ξ) ; h b) f(x) = sin x = eξ+h e ξ h = eξ (e h 1) h h 0 e ξ sin(ξ + h) sin ξ h = sin ξ cos h 1 h = sin ξ cos h + cos ξ sin h sin ξ h + cos ξ sin h h h 0 cos ξ c) f(x) = x n (n N) (ξ + h) n ξ n = 1 h h n k=1 = 1 n ( n h k k=0 ( ) n h k ξ n k h 0 k ) h k ξ n k ξ n ( n 1 ) ξ n 1 = nξ n 1 Denition 9.2 (Einseitige Dierenzierbrkeit) Sei δ > 0. ) f : [ξ, ξ + δ] R. Dnn heiÿt f +(ξ) = lim h 0+ f n der Stelle ξ, flls der Limes existiert. f(ξ + h) f(ξ) h rechtsseitige Ableitung von 53

54 b) f : [ξ δ, ξ] R. Dnn heiÿt f (ξ) = lim h 0 f n der Stelle ξ, flls der Limes existiert. f(ξ + h) f(ξ) h linksseitige Ableitung von Denition 9.3 Sei I R Intervll und f : I R. ) f heiÿt uf I dierenzierbr, wenn f (ξ) für lle ξ I existiert. In Rndpunkten müssen nur die einseitige Ableitungen existieren. { I R b) f : x f heiÿt Ableitungsfunktion von f. (x) c) f heiÿt stetig dierenzierbr uf I, flls f uf I existiert und stetig ist. In Symbolen: f C 1 (I). Im Folgenden sei I ein beliebiges Intervll. Stz 9.4 (Eigenschften der Ableitung) Sei f : I R n der Stelle ξ I dierenzierbr. Dnn gilt: ) Es existiert K > 0, δ > 0 mit b) f ist stetig n der Stelle ξ. c) Ist f (ξ) > 0, so gibt es ein h 0 > 0 mit d) Ist f (ξ) < 0, so gibt es ein h 0 > 0 mit f(x) f(ξ) K x ξ x I mit x ξ δ. f(ξ h) < f(ξ) < f(ξ + h), flls 0 < h h 0. f(ξ h) > f(ξ) > f(ξ + h), flls 0 < h h 0. Ist ξ Rndpunkt von I, so gilt in c), d) jeweils nur eine der beiden Ungleichungen. Korollr 9.5 Sei δ > 0 und f : (ξ δ, ξ + δ) R sei in ξ dierenzierbr und besitze ein Minimum oder Mximum n der Stelle ξ. Dnn ist f (ξ) = 0. 54

55 Stz 9.6 (Äquivlente Chrkterisierung der Ableitung) Sei δ > 0 und f : (ξ δ, ξ + δ) R eine Funktion. Dnn gilt: f ist dierenzierbr in ξ c R und eine Funktion η : ( δ, δ) R mit f(ξ + h) = f(ξ) + c h + η(h) h und lim h 0 η(h) = 0. In diesem Fll gilt f (ξ) = c. 9.2 Rechenregeln für Ableitungen Stz 9.7 Seien f, g : I R n der Stelle ξ I dierenzierbr. Dnn sind f +g, λ f (λ R), f g n der Stelle ξ dierenzierbr und es gilt: (f + g) (ξ) = f (ξ) + g (ξ), (λ f) (ξ) = λ f (ξ), (f g) (ξ) = f (ξ) g(ξ) + f(ξ) g (ξ) Ist g(ξ) 0 so ist f g n der Stelle ξ dierenzierbr mit ( f g ) (ξ) = f (ξ) g(ξ) f(ξ) g (ξ) g(ξ) 2. Stz 9.8 (Kettenregel) Seien I, J R Intervlle, f : I R, g : J R Funktionen mit f(i) J und es sei die Funktion h : I R gegeben durch h := g f. Dnn gilt: ist f n der Stelle ξ I dierenzierbr und g n der Stelle η = f(ξ) dierenzierbr, dnn ist h n der Stelle ξ dierenzierbr mit: h (ξ) = g (f(ξ)) f (ξ) Stz 9.9 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei f : I R stetig und streng monoton und ξ I. Flls Φ = f 1 : f(i) I n der Stelle η = f(ξ) dierenzierbr ist mit Φ (η) 0, so ist f n der Stelle ξ dierenzierbr und es gilt: f (ξ) = 1 Φ (f(ξ)) Denition 9.10 f : I R sei dierenzierbr und f : { I R x f (x) sei die Ableitungsfunktion. 55