Kurzfassung der Mathematik für Physiker I, WS 2006/07 von Siegfried Echterhoff

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1 Kurzfssung der Mthemtik für Physiker I, WS 2006/07 von Siegfried Echterhoff Aussgenlogik, vollständige Induktion. Zu Beginn wurden einige Grundlgen der Aussgenlogik diskutiert. Wichtige Themen wren: Ws ist ein mthemtischer Beweis? Verknüpfungen von Aussgen und indirekte Beweise. Dnch wurde ds wichtige Prinzip der vollständigen Induktion vorgestellt. Für jedes n N sei hierbei eine Aussge A n gegeben. Wir wollen lle Aussgen A n, n N, simultn beweisen. Dzu verfhren wir wie folgt: () Wir zeigen: A ist whr (Induktionsnfng). (2) Wir zeigen: Für lle n N gilt A n A n+ (Induktionsschritt). Sind die Schritte. und 2. erfolgreich durchgeführt worden, so sind lle Aussgen A n bewiesen. Beispiel: Wir wollen zeigen: n l= l = n(n+). Dzu: 2 () Ist n =, so gilt l= l = = (+), lso ist die Behuptung whr für 2 n =. (2) Wir nehmen n: Die Aussge sei whr für ein fest gewähltes n N. Dnn folgt für n + : ( n+ n ) l = l l= l= + (n + ) Ann. = n(n + ) + 2(n + ) = = 2 dh. die Aussge ist whr für n +. n(n + ) 2 + n + (n + )(n + 2), 2 Wichtige Resultte, die mit vollständiger Induktion bewiesen wurden, sind: Binomische Formel: ( + b) n = n l=0 ( n l ) l b n l. Geometrische Summe: Für gilt: n l=0 l = n+. Bernoullische Ungleichung: Für lle gilt: ( + ) n + n. 2 Mengen und Abbildungen. Hier wurden die wichtigsten Begriffe us der Mengenlehre (Durchschnitt, Vereinigung und Komplemte von Mengen) sowie der Begriff einer Abbildung zwischen zwei Mengen eingeführt. Sind X, Y nichtleere Mengen, so ist eine Abbildung f : X Y eine Vorschrift, die jedem X genu ein Element f() Y zuordnet. Sind f : X Y, g : Y Z Abbildungen, so können wir die Hintereinnderusführung g f : X Z; g f() = g(f()) definieren. Für Abbbildungen f : X Y sind die folgenden Begriffe fundmentl:

2 2 Ist A X, so heißt f(a) := {f() : A} ds Bild von A in Y bzgl. f. Ist B Y, so heißt f (B) := { X : f() B} ds Urbild von B in X bzgl. f. f heißt injektiv, flls für lle, 2 X gilt: f( ) = f( 2 ) = 2. (Eine äquivlente Formulierung ist: f ist injektiv, flls für lle, 2 X mit 2 folgt, dss f( ) f( 2 ).) f heißt surjektiv, flls zu jedem y Y ein X eistiert mit f() = y. (Dies ist äquivlent zu f(x) = Y.) f heißt bijektiv, flls f injektiv und surjektiv ist. Eine Abbildung ist genu dnn bijektiv, wenn eine Umkehrbbildung f : Y X für f eistiert, dh. f : Y X ist eine Abbildung, so dss f f = id X und f f = id Y, wobei für jede nichtleere Menge M, id M : M M; id M (m) = m die Identität uf M bezeichnet. Es ist leicht zu sehen, dss es stets nur eine Umkehrbbildung geben knn! Ist f : X Y injektiv, so erhlten wir durch Verkleinern der Menge Y eine bijektive Abbildung f : X f(x). Wir können dnn uch die Umkehrbbildung f : f(x) X bilden. Achtung: Mn muss sich dvor hüten die Bezeichnung f (y) (die Umkehrbbildung f ngewndt uf y Y ) mit der Bezeichnung f ({y}) (ds Urbild von der einelementigen Teilmenge {y} Y in X) zu verwechseln! Während f ({y}) für jede Abbildung definiert ist (und unter Umständen eine recht große Teilmenge von X sein knn), ist der Begriff f (y) nur für bijektive Abbildungen definiert und bezeichnet dnn genu ds Element X welches durch f uf y bgebildet wird! Abzählbre Mengen. Eine Menge M heißt bzählbr, flls eine surjektive Abbildung ϕ : N M eistiert (wenn M ) oder M =. Jede endliche Menge ist bzählbr. Ist M nicht endlich und bzählbr, so eistiert sogr eine bijektive Abbildung ϕ : N M, dh. M ist gleichmächtig zu N. Interessnte Beobchtungen sind: Alle bzählbren Vereinigungen bzählbrer Mengen sind bzählbr und endliche direkte Produkte bzählbrer Mengen sind bzählbr! Insbesondere ist uch die Menge Q der rtionlen Zhlen bzählbr! Die Potenzmenge P(N) (dh. die Menge ller Teilmengen von N) ist nicht bzählbr. Später wird gezeigt, dss uch echte Intervlle in R nicht bzählbr sind! 3 Die reellen Zhlen. In diesem Abschnitt werden die Aiome für einen ngeordneten, rchimedischen Körper K vorgestellt. Neben den llgemeinen Körperiomen für Addition und Multipliktion besitzt ein solcher Körper eine Anordnung K +, lso eine Teilmenge von K, die die folgenden Aiome erfüllt: () K \ {0} = K + K + und K + K + =, (2) sind, b K +, so uch + b K + und b K +. Die Elemente in K + nennen wir dnn positiv, und für, b K setzen wir < b, flls b K +, > b, flls b < und b (bzw. b), flls < b oder = b (bzw. > b oder = b). Insbesondere gilt > 0 K +.

3 R und Q sind ngeordnete Körper. Für Q gilt dbei Q + = { n m Wichtige Rechenregeln sind: 3 : n, m N}. () Aus > b und b > c folgt > c. (2) Aus > b und c > 0 folgt c > bc. Aus > b und c < 0 folgt c < bc. (3) Aus > b > 0 folgt 0 < < b. (4) Aus > b und c > d folgt + c > b + d. Gilt zusätzlich b, d > 0, so folgt uch c > bd. (5) Für 0 gilt 2 > 0. Insbesondere gilt = 2 > 0! (6) Ist < b, so uch n < n b für lle n N. Ist 0 < < b, so gilt uch 0 < n < b n für lle n N. Mit diesen Regeln folgt leicht, dss die oben ngegebene Ordnung uf Q die einzig mögliche ist! Mit vollständiger Induktion zeigt mn leicht für jeden ngeordneten Körper K (lso insb. für K = R): Bernoulli Ungleichung: Für lle und n N gilt: ( + ) n + n. Ein ngeordneter Körper K heißt rchimedisch, flls zu jedem K ein n N eistiert mit n. Die Körper R und Q sind rchimedisch (für Q folgt dies leicht us den Rechenregeln). Die wichtigsten Konsequenzen us dem gerde formulierten Archimedischen Aiom sind Zu jedem ε > 0 eistiert ein n N mit n < ε. Ist b >, so eistiert zu jedem R R ein n N mit b n > R. Ist 0 < q <, so eistiert zu jedem ε > 0 ein n N mit q n < ε. Diese Aussgen stellen wichtige Stützpfeiler der gesmten Anlysis dr! (Die beiden unteren Aussgen werden mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung bewiesen!) Die Vollständigkeit von R. Ein großes Mnko der rtionlen Zhlen besteht in der Ttsche, dss nicht jede positive Zhl Q eine Qudrtwurzel besitzt, obwohl unsere Anschuung sgt, dss solche Wurzeln eistieren sollten. So können wir uns sicher ein Qudrt mit einem Flächeninhlt von 2 m 2 vorstellen, dss dnn ber eine Seitenlänge von 2 m hben müsste. Ein leichter indirekter Beweis zeigt ber, dss 2 keine rtionle Zhl sein knn! Die Menge der rtionlen Zhlen ist lso in einem gewissen Sinne unvollständig! Die reellen Zhlen entstehen us den rtionlen Zhlen durch Vervollständigung (lso durch Auffüllen der Lücken)! Die Vollständigkeit von R lässt sich durch ds Intervllschchtelungsprinzip chrkterisieren: Sei ( [ n, b n ] ) eine Folge von kompkten Intervllen in R mit n N () [ n+, b n+ ] [ n, b n ] für lle n N; (2) zu jedem ε > 0 eistiert ein n N mit b n n < ε. Dnn eistiert (genu) ein R mit [ n, b n ] für lle n N. Mit Hilfe des Intervllschchtelungsprinzips knn mn dnn zeigen, dss jede positive Zhl R genu eine positive Qudrtwurzel R besitzt. Mn knn sogr für jedes k N eine eindeutig bestimmte positive k-te Wurzel k R finden! Eine weitere direkte Folgerung des Intervllschchtelungsprinzips ist die bereits erwähnte Ttsche, dss jedes echte Intervll I R überbzählbr ist! D Q (und dmit uch jede Teilmenge

4 4 von Q) bzählbr ist, folgt hierus, dss jedes echte Intervll I R (überbzählbr viele) nichtrtionle Zhlen enthält. Auf der nderen Seite gilt ber uch I Q für jedes echte Intervll I R! 4. Supremum und Infimum. Eine Teilmenge M R heißt nch oben (bzw. unten) beschränkt, fll ein c R eistiert mit c für lle M (bzw. c für lle M). c heißt dnn obere (bzw. untere) Schrnke von M. Aus der Vollständigkeit von R folgt: Jede nch oben (bzw. unten) beschränkte nichtleere Teilmenge M R besitzt eine kleinste obere Schrnke (bzw. größte untere Schrnke). Die kleinste obere Schrnke sup(m) von M heißt Supremum von M (Bez. sup(m)) und die größte untere Schrnke heißt Infimum von M (Bez. inf(m)). Ist sup(m) M, so ist sup(m) ds größte Element von M, welches wir dnn ls Mimum m(m) von M bezeichnen. Ebenso: ist inf(m) M, so ist inf(m) ds kleinste Element von M, welches wir ls Minimum min(m) von M bezeichnen. Es mcht Sinn, die Bezeichnungen sup(m) und inf(m) uch uf unbeschränkte Teilmengen von R uszudehenen. Wir sgen dnn sup(m) =, flls M nch oben unbeschränkt, und inf(m) =, flls M nch unten unbeschränkt. Ist I R ein Intervll, so ist sup(i) (bzw. inf(i)) gerde die obere (bzw. untere) Intervllgrenze von I. 5. Komplee Zhlen. In diesem Abschnitt wurde der Körper C der kompleen Zhlen eingeführt: C = { + iy :, y R}, wobei i eine (imginäre) Lösung der Gleichung z 2 = ist. Aus der Regel i 2 = lssen sich sofort durch formles Ausrechnen die korrekten Formeln für Addition und Multipliktion in C herleiten! Ebenso folgt us i 2 =, dss C keine Anordnung besitzt. Großer Vorteil gegenüber R: Jede qudrtische Gleichung z 2 + z + b = 0 in C besitzt mindestens eine Lösung und jede komplee Zhl z 0 besitz genu zwei verschiedene Wurzeln in C. Ist z = + iy C, so heißt z = iy die zu z konjugiert komplee Zhl und z = 2 + y 2 heißt der Betrg von z. Wichtige Rechenregeln: () ( + ib) + (c + id) = ( + c) + i(b + d), ( + ib)(c + id) = (c bd) + i(d + bc), +ib = ( + ib)(c id). c+id c 2 +d 2 (2) z z = z 2 und w = w z 2. z z 2 Sind z, w C, so ist z w der Abstnd von z zu w in der Ebene. Gnz wichtig: Dreiecksungleichung: z + w z + w (bzw. z w z w ) 6. Polrkoordinten, Sinus- und Cosinusfunktionen, komplee Wurzeln und Polynome. Ist ϕ R, so bezeichne z(ϕ) den Punkt uf dem Einheitskreis der vom Punkt usgehend nch Durchlufen der Streckenlänge ϕ uf dem Einheitskreis, entgegen dem Uhrzeigersinn wenn ϕ 0 und im Uhrzeigersinn wenn ϕ 0, erreicht wird. D in jedem ngeordneten Körper ds Element negtiv ist, und jede Qudrtzhl positiv ist! 2 Diese Gleichung liefert eine leichte Fustformel zur Berechnung kompleer Brüche!

5 5 Wir definieren dnn die Cosinus- und Sinusfunktionen sin : R R, cos : R R durch cos(ϕ) = Re(z(ϕ)) = ( ) ( ) z(ϕ) + z(ϕ), sin(ϕ) = Im(z(ϕ)) = z(ϕ) z(ϕ). 2 2i Wir werden später lernen, dss für lle ϕ R die Gleichung z(ϕ) = e iϕ gilt, worus dnn die Eulerdrstellungen e iϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ), cos(ϕ) = ( e iϕ + e iϕ), sin(ϕ) = e 2 2i( iϕ e iϕ) folgen. Wir definieren die Zhl π ls den hlben Umfng des Einheitskreises. Dnn folgt Stz. Ist 0 z C eine beliebige komplee Zhl, so eistiert eine eindeutig bestimmte Zhl ϕ [0, 2π) mit z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) (= z e iϕ ). 3 Ds Pr ( z, ϕ) [0, ) [0, 2π) heißt Polrkoordinten von z. Die Zhl ϕ ist hierbei der Winkel (im Bogenmß) zwischen der reellen Achse in C und der Verbindungsstrecke von z und 0. Diese Drstellung erlubt eine schöne geometrische Deutung der Multipliktion in C: Beim Multiplizieren zweier kompleer Zhlen werden die Beträge multipliziert und die Winkel ddiert. Als reltiv leichte Folgerung us der Polrkoordintendrstellung kompleer Zhlen erhält mn die Eistenz der n-ten Einheitswurzeln: Die Gleichung z n = besitzt in C genu n-verschiedene Lösungen, nämlich z l = e i l2π n, 0 l < n. Ist dnn 0 C, so eistieren genu n verschiedene komplee Wurzeln von, lso Lösungen der Gleichung w n =. Schreiben wir = e iϕ in Polrkoordinten, so sieht mn sofort, dss w 0 = n e i ϕ n eine dieser Lösungen ist. Die nderen erhält mn durch Multipliktion mit den n-ten Eiheitswurzeln z,..., z n. Wegen z 0 = folgt lso w l = w 0 z l, 0 l < n sind genu die n-ten Wurzeln us. Im Rest des Abschnitts hben wir uns mit Polynomfunktionen beschäftigt, lso mit Funktionen der Form n p : C C; p(z) = k z k mit 0,..., n C. Sind die Koeffizienten 0,..., n reell (bzw. rtionl), so nennen wir p reelles (bzw. rtionles) Polynom. Ist der höchste Koeffizient n 0, so setzen wir grd(p) := n. Es gilt: Stz 2. (Division mit Rest) Es seien f und g Polynome mit g 0. Dnn eistieren eindeutig bestimmte Polynome q und r mit grd(r) < grd(g) und f = q g + r. Sind f und g reell (bzw. rtionl), so uch q und r. Als Folgerungen erhlten wir: Ist 0 f ein Polynom, und it z C mit f(z ) = 0, so eistiert ein eindeutig bestimmtes Polynom q mit grd(q) < grd(f) und f(z) = q(z)(z z ) für lle z C. D nch dem Fundmentlstz der Algebr (der hier nicht bewiesen wurde) jedes nichtkonstnte Polynom mindestens eine komplee Nullstelle 3 Formel für ϕ: Ist z = +iy mit y 0, so ist ϕ = rccos( z ); ist y < 0, so ist ϕ = 2π rccos( z ). k=0

6 6 besitzt, folgt durch Induktion, dss jedes Polynom f mit grd(f) = n eine (bis uf Vertuschen der Fktoren eindeutige) Zerlegung f(z) = α (z z ) (z z 2 ) (z z n ) besitzt. Hierus folgt dnn, dss ein Ploynom f mit grd(f) = n höchstens n verschiedene Nullstellen besitzt. Fssen wir gleiche Fktoren zusmmen, erhlten wir eine Zerlegung f(z) = α (z z ) k (z z 2 ) k2 (z z r ) kr, mit k + + k r = n und z,..., z r sind die prweise verschiedenen Nullstellen von f. Der i-te Eponent k i heißt dnn die (lgebrische) Vielfchheit der Nullstelle z i. Ist f() = n k=0 k k ein reelles Polynom, und ist z eine komplee Nullstelle von f, so ist uch z eine Nullstelle von f. Wegen ( z i )( z i ) = 2 + b i + c i mit b i = 2 Re(z i ), c = z i 2 R, erhlten wir durch geeignetes Zusmmenfssen der kompleen Nullstellen in der obigen Zerlegung von f in komplee Linerrfktoren eine reelle Zerlegung von f der Gstlt f() = α ( ) l ( s ) ls ( 2 + b + c ) k ( 2 + b t + c t ) kt, mit α,,... s, b,..., b t, c,... c t R und l + + l s + 2(k k t ) = n. 7. Konvergenz von Folgen. Sei M eine Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung N M; n n. Definition. Sind ( n ) n N eine Folge in C und C, so sgen wir ( n ) n N konvergiert gegen, wenn zu jedem ε > 0 ein N N eistiert mit n ε für lle n N mit n N. Wichtige Grenzwerte sind (unter nderem): () lim n n α = 0 (für jedes α > 0). (2) lim n z n = 0 für jedes z C mit z <. 4 (3) lim n n n = = lim n n für lle > 0. (4) lim n ( + n )n = e (Definition von e; später: lim n ( + z n )n = e z für lle z C). Wichtige Rechenregeln für Grenzwerte sind: () n, b n b n + b n + b, n b n b und n b n (flls b 0). b (2) n, b n und n c n b n für lle n N 0 c n. (3) n n 0 (insb. n 0 n 0). (4) Aus 2. und 3. folgt: b n 0 und n b n für lle n N, so gilt n. (5) n Re n Re und Im n Im. Ferner gilt: n n. (6) Ist ( n ) n N eine beschränkte monoton steigende (bzw. fllende) Folge in R, so gilt lim n n = sup{ n : n N} (bzw. lim n n = inf{ n : n N}). 4 Diese Grenzwerte folgen us dem Archimedischen Aiom und der Bernoullischen Ungleichung (siehe die Diskussion zu )

7 7 Ferner gilt: jede konvergente Folge in C ist beschränkt. 8. Häufungspunkte, Teilfolgen und Cuchy-Folgen. Ist ( n ) n N eine Folge und ist N N; k n k eine Abbildung von N nch N mit n k+ > n k für lle k N, so heißt ( nk ) k N eine Teilfolge von ( n ) n N (wir betrchten lso nur die Folgenglieder mit Inde n k, k N). Einfche Beispiele: n k = 2k, n k = 2k, n k = k 2 (z.b. ist ( 2k ) k N die Teilfolge von ( n ) n N die entsteht, wenn wir nur die Folgenglieder mit gerdem Inde uswählen). Wichtige Eigenschft: Jede Teilfolge ( nk ) k N einer konvergenten Folge ( n ) n N ist konvergent und es gilt dnn lim k nk = lim n n. Eine Zhl R (bzw. C) heißt Häufungspunkt der Folge ( n ) n N, flls zu jedem ε > 0 unendlich viele Folgenglieder n eistieren mit n < ε. Es gilt: ist genu dnn ein Häufungspunkt von ( n ) n N wenn eine Teilfolge ( nk ) k N von ( n ) n N eistiert mit nk. Es gilt der folgende fundmentle Stz 3. (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge in R (oder C) besitzt eine konvergente Teilfolge. Für reelle Folgen lässt sich dieser Stz noch genuer formulieren. Sei dzu ( n ) n N eine beschränkte Folge in R. Wir setzen s n := inf{ m : m n} und S n := sup{ m : m n}. Dnn ist (s n ) n N eine nch oben beschränkte monoton wchsende Folge, (S n ) n N ist eine nch unten beschränkte monoton fllende Folge und es eistieren die Grenzwerte lim n := lim n S n und lim n := lim n s n. lim n heißt Limes Superior und lim n heißt Limes Inferior von ( n ) n N. Mn knn dnn zeigen, dss lim n (bzw. lim n ) der größte (bzw. kleinste) Häufungspunkt der Folge ( n ) n N ist. Definition 2. Eine Folge in C heißt Cuchy-Folge, flls zu jedem ε > 0 ein N N eistiert mit n m < ε für lle n N. Es ist leicht zu sehen, dss jede konvergente Folge eine Cuchy-Folge ist. Umgekehrt konnten wir mit Hilfe des Stzes von Bolzno-Weierstrß zeigen: Stz 4. Jede Cuchy-Folge in C ist konvergent. Ttsächlich liefert der obige Stz eine Chrkterisierung der Vollständigkeit von R mit Hilfe von Cuchy-Folgen. Mn knn sogr zeigen (dieser Stz wurde nicht in der Vorlesung formuliert und dient hier nur zur zusätzlichen Informtion): Stz 5. (Vollständigkeit von R). Setzen wir die Anordnung von R und ds Archimedische Aiom ls gegeben vorus, so sind die folgenden Aussgen äquivlent: () Es gilt ds Intervllschchtelungsprinzip (siehe oben). (2) Jede nch oben beschränkte nichtleere Teilmenge M R besitzt ein Supremum. (3) Jede nch oben beschränkte monoton wchsende Folge ( n ) n N ist konvergent.

8 8 (4) (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge ( n ) n N besitzt einen Häufungspunkt. (5) Jede beschränkte Folge ( n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. (6) Jede Cuchy-Folge ( n ) n N ist konvergent. 9. Reihen. Definition 3. Eine Reihe ist eine formle unendliche Summe n mit n C und n 0 Z. Eine Reihe n heißt konvergent, flls die Folge der Prtilsummen (s k ) k N definiert durch s k = k n konvergiert, und dnn heißt n := lim k s k der Wert der Reihe. Die Reihe n heißt bsolut konvergent flls die Reihe der Beträge n konvergiert. Wichtige Reihen sind: () (Hrmonische Reihe) (2) Ist α > 0, so ist n= (3) (Geometrische Reihe) n= n ist divergent (d.h. nicht konvergent). n α genu dnn konvergent, wenn α >. 5 n=0 zn ist konvergent für lle z C mit z < und divergent für z (folgt us der Formel für die geometrische Summe). Bei der Untersuchung von Reihen spielen die Konvergenzkriterien eine herusrgende Rolle: () (Cuchy-Kriterium) n ist konvergent genu dnn, wenn zu jedem ε > 0 ein N N eistiert mit ln=k n < ε für lle l k N (folgt sofort us dem Cuchy Kriterium für Folgen). (2) Ist n konvergent, so ist ( n ) n N eine Nullfolge (folgt leicht us.) 6. (3) (Mjornten-Minornten-Kriterium) Ist b n bsolut konvergent und n b n für lle n n 0, so ist n (bsolut) konvergent und n b n (Insbesondere folgt: Jede bsolut konvergente Reihe ist konvergent). Ist b n divergent und b n n für lle n n 0, so ist uch n divergent (folgt beides us dem Cuchy-Kriterium). (4) (Leibniz-Kriterium) Ist ( n ) n N eine monoton fllende Nullfolge, so ist n= ( )n n konvergent. Insbesondere folgt, ds ( ) n n= konvergent ist n (diese Reihe ist ber nicht bsolut konvergent). (5) (Wurzelkriterium) Sei α := lim n n. Ist α <, so ist n bsolut konvergent. Ist α >, so ist n divergent (folgt us Mjorntenkriterium und Vergleich mit geometrische Reihe) 7. 5 Wurde gezeigt für α Q. Für α R + folgt die Aussge dnn leicht mit dem Mjornten- Minornten-Kriterium 6 Die Umkehrung gilt nicht, d n 0 ber n= n ist nicht konvergent 7 Für die (bsolute) Konvergenz reicht es us, dss ein 0 α < und ein N 0 N eistieren mit n n α für lle n N 0. Es reicht ber nicht, dss n n < für lle n N 0! Erinnerung: Ist (b n ) n N eine beschränkte Folge in R, so ist limb n = lim n (sup{b k : k n}). Ist (b n ) n N nch oben unbeschränkt, so setzen wir limb n =.

9 (6) (Quotientenkriterium) Sei n 0 für ll n N 0 und es eistiere α := lim n+ n n. Ist α <, so ist n bsolut konvergent, und ist α >, so ist die Reihe divergent 8. (7) (Beschränktheitskriterium) n ist bsolut konvergent genu dnn, wenn ein C 0 eistiert mit k n C für lle k N (folgt sofort us dem Konvergenzkriterium für monotone Folgen). Absolut konvergente Reihen hben die schöne Eigenschft (im Gegenstz zu norml konvergenten Reihen), dss jede Umordnung einer bsolut konvergenten Reihe wieder bsolut konvergent ist, und dss der Wert der umgeordneten Reihe gleich dem Wert der ursprünglichen Reihe ist. Drüberhinus gilt für bsolut konvergente Reihen die Produktformel (Cuchy-Produkt) ( ) ( ) n n b n = c n, mit c n = l b n l. n=0 n=0 Hierus folgt die Funktionlgleichung der Eponentilfunktion z n ep : C C; ep(z) = n! n=0 (die Reihe konvergiert für lle z C nch dem Quotientenkriterium). Es gilt n=0 l=0 ep(z + w) = ep(z) ep(w) z, w C Potenzreihen. Ein wichtiger Grund für die Betrchtung von Reihen ist die Ttsche, dss viele Funktionen (z.b. ep, sin, cos) eine Reihendrstellung besitzen. Eine Potenzreihe ist eine Reihe n=0 n(z z 0 ) n, wobei z eine komplee Vribel ist. Ist D = {z C : n=0 n(z z 0 ) n ist konvergent}, so erhlten wir eine Funktion f : D C durch die Vorschrift f(z) = n=0 n(z z 0 ) n. Ntürlich sind wir us diesem Grunde sehr drn interessiert für eine gegebene Potenzreihe die Menge D zu bestimmen. Aus dem Wurzelkriterium für Reihen folgt: Stz 6. Sei n=0 n(z z 0 ) n eine Potenzreihe und sei α := lim n n (dieser Wert ist, flls { n n : n N} unbeschränkt). Ist dnn R := (wobei R = 0, flls α α = und R =, flls α = 0), so gilt: n=0 n(z z 0 ) n ist bsolut konvergent für lle z C mit z z 0 < R und n=0 n(z z 0 ) n ist divergent für lle z C mit z > R. Der Wert R im obigen Stz heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe n=0 n(z z 0 ) n. R ist eindeutig chrkterisiert durch die Eigenschft, dss die Reihe n=0 n(z z 0 ) n uf dem offenen Kreis um z 0 mit Rdius R konvergiert und ußerhlb des bgeschlossenen Kreises um z 0 mit Rdius R divergiert. Auf dem Kreisring {z C : z z 0 = R} knn beides vorkommen, und deshlb müssen diese Werte im llgemeinen gesondert betrchtet werden. Eine oft bequeme Möglichkeit 8 Auch hier genügt für die Konvergenzussge die Eistenz von 0 α < und N 0 N mit n α für lle n N 0. Achtung: Es reicht nicht n+ n < für lle n N 0. Betrchte hierzu n+ n= n

10 0 den Konvergenzrdius zu berechnen liefert ds Quotientenkriterium: Ist n 0 für n N 0 und eistiert α := lim n+ n n, so ist R := der Konvergenzrdius der Potenzreihe α n=0 n(z z 0 ) n. Wichtige Potenzreihen mit Konvergenzrdius sind z n ep(z) = n! ; sin(z) = ( ) n z 2n+ (2n + )! ; cos z = ( ) n z2n (2n)!. n=0 n=0 n=0. Stetige Funktionen. Definition 4. Ist D C und ist f : D C eine Funktion, so heißt f (folgen-)stetig in z 0 D flls gilt: Für jede Folge (z n ) n N in D mit z n z 0 gilt f(z n ) f(z 0 ). f heißt stetig, flls f in jedem Punkt z 0 D stetig ist. Eine lterntive (und äquivlente) Definition für Stetigkeit in z 0 folgende: D ist die Definition 5. f : D C heißt (ε-δ) stetig in z 0 D flls gilt: Zu jedem ε > 0 eistiert ein δ > 0, so dss für lle z D gilt: z z 0 < δ = f(z) f(z 0 ) < ε. Die wichtigsten Rechenregeln für stetige Funktionen sind: () Sind f, g : D C stetig, so sind uch f + g : D C, f g : D C stetig, und ist D f = {z D : g(z) 0}, so ist uch f : D C stetig (folgt us g g f g entsprechenden Rechenregeln für Folgen). (2) Sind f : D C und g : E C stetig und ist f(d) E, so ist uch g f : D C stetig. (3) Ist f(z) = n=0 n(z z 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, so ist f stetig uf U R (z 0 ) = {z C : z z 0 < R}. Insbesondere sind lle Polynome und lle rtionlen Funktionen uf ihren Definitionsbereichen stetig. Ferner sind ep, sin, cos, z z, z Re z, z Im z stetig. Ebenso ist f : [0, ) R; f() = α für lle α > 0 stetig. Ferner sind Umkehrfunktionen f : f(i) I von jeder streng monoton wchsenden (bzw. fllenden) Funktion f : I R stetig, wenn I R ein Intervll ist. Mit Hilfe der obigen Regeln knn mn us diesen Grundfunktionen viele weitere stetige Funktionen erzeugen. 2. Konvergenz von Funktionenfolgen Sei D C und seien f n : D C und f : D C Funktionen. Dnn sgen wir: die Funktionenfolge (f n ) n N konvergiert punktweise gegen f, wenn für lle z D gilt, dss f n (z) f(z). Stetigkeit der Funktionen f n wird im llgemeinen leider nicht uf den punktweisen Limes f vererbt, z.b. konvergiert die Folge von stetigen Funktionen f n : [0, ] R; f n (t) = t n punktweise gegen die in unstetige Funktion f : [0, ] R; f(t) = { } 0 für t < für t =. Bessere Vererbungseigenschften erhlten wir bei gleichmäßiger Konvergenz der Funktionenfolge: wir sgen (f n ) n N konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn zu jedem ε > 0 ein N N eistiert mit f n (z) f(z) < ε für lle n N und für lle

11 z D (bei punktweiser Konvergenz hängt die mögliche Whl von N uch von der betrchteten Stelle z D b). Hier folgt mit einem leichten ε 3 -Argument: Stz 7. Ist f : D C der gleichmäßige Limes der stetigen Funktionen f n : D C, so ist uch f stetig. Wichtige Beispiele für gleichmäßige Konvergenz sind gegeben durch Potenzreihen: Stz 8. Ist n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, so gilt für jedes 0 < r < R: die Funktionenfolge (f k ) k N definiert durch f k (z) := k n (z z 0 ) n konvergiert uf der bgeschlossenen Kugel B r (z 0 ) := {z C : z z 0 r} gleichmäßig gegen die durch die Potenzreihe gegebene Funktion f(z) = n (z z 0 ) n. Kombinieren wir die beiden obigen Sätze, und nutzen wir us, dss Stetigkeit in einem Punkt z D eine lokle Eigenschft ist, d.h. nur von den Funktionswerten in einer kleinen Umgebung von z bhängt, erhlten wir ls wicthtige Folgerung Folgerung 9. Ist n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, so ist die Funktion f : U R (z 0 ) C; f(z) = n (z z 0 ) n stetig. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen knn mn uch mit Hilfe der Supremums-Norm beschreiben: Ist f : D C eine beschränkte Funktion, so setzen wir f D := sup{ f(z) : z D}. Dnn gilt: die Folge von Funktionen f n : D C konvergiert genu dnn gleichmäßig gegen f : D C, wenn f n f D 0 gilt. Hierus knn mn leicht ein weiteres interessntes Resultt für unendliche Summen von Funktionen herleiten: Stz 0. Seien g n : D C Funktionen mit n= g n D <. Dnn konvergiert für jedes z D die Reihe f(z) := n= g n(z) bsolut, und die Folge f k : D C, f k (z) = k n= g n(z) konvergiert gleichmäßig gegen f. Insbesondere folgt: sind lle g n stetig, so ist uch f stetig. Den obigen Stz knn mn zum Beispiel uf die Funktion sin(n) f : R R; f() = n 2 nwenden, denn sin(n) n 2 R = n 2 und n= n= n 2 ist konvergent. 2. Der Zwischenwertstz und stetige Funktionen uf kompkten Intervllen. Als erstes wurde in diesem Abschnitt der wichtige Zwischenwertstz für stetige Funktionen bewiesen: Stz (ZWS). Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn eistiert zu jedem γ [f(), f(b)] (bzw. γ [f(b), f()] flls f(b) < f()) ein c [, b] mit f(c) = γ. Als direkte Folgerung dieses Stzes erhält mn die wichtige Ttsche, dss für jede stetige Funktion f : I R mit I R Intervll, uch ds Bild f(i) R wieder

12 2 ein Intervll ist. Diese Ttsche wird sehr häufig benötigt, um die Bilder stetiger Funktionen zu berechnen. Als interessnte Anwendungen erhält mn zum Beispiel die Resultte, dss jedes ungerde reelle Polynom p : R R surjektiv ist, oder dss die Tngens-Funktion tn : ( π, π ) R bijektiv ist, und dher (d monoton 2 2 wchsend) eine stetige Umkehrfunktion rctn : R ( π, π) besitzt. 2 2 Für stetige Funktionen uf kompkten Intervllen erhält mn durch eine Anwendung des Stzes von Bolzno-Weierstrß den folgenden sehr wichtigen Stz: Stz 2. Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R stetig. Dnn eistieren, 2 [, b] mit f( ) f() f( 2 ) für lle [, b], d.h. f nimmt uf [, b] sein Minimum und sein Mimum n. Für komplee stetige Funktionen f : [, b] C folgt zumindest die Eistenz eines Punktes [, b] mit f() f( ) für lle [, b]. Insbesondere ist jede stetige Funktion uf einem kompkten Intervll beschränkt! Kombiniert mn den obigen Stz mit dem Zwischenwertstz, so erhält mn: ist f : [, b] R stetig, so gilt f([, b]) = [m, M] mit m = inf{f() : [, b]}, M = sup{f() : [, b]}. Ein wichtiger neuer Begriff in diesem Abschnitt wr der Begriff des Funktionen- Grenzwerts: Ist D C, so definieren wir den Abschluss D von D durch D := {z C : Folge (z n ) n N in D mit z n z}. Sind dnn f : D C eine Funktion, z 0 D und d C, so definieren wir lim z z 0 f(z) = d : für jede Folge (z n ) n N in D mit z n z 0 gilt f(z n ) d. Gnz ähnlich definiert mn dnn lim z z0 f(z) = ±. Ist D R nch oben (bzw. unten) unbeschränkt, so definieren wir lim f() = d (bzw. lim f() = d) für d C oder d = ±, durch lim f(z) = d : für jede Folge ( n) n N in D mit n gilt f( n ) d (bzw. mit ersetzt durch ). Ist I R ein Intervll mit den Intervllgrenzen, b (wobei uch und b uch sein knn), so gilt für jede monoton wchsende Funktion f : I R mit lim f() = c und lim f() = d, b c := inf{f() : I} und d := sup{f() : I} die Intervllgrenzen des Intervlls f(i). Ist f : I R monoton fllend, so gilt entsprechend lim f() = d und lim b f() = c mit c, d wie oben.. Die Eponentilfunktion. Eine der wichtigsten Funktionen in der Mthemtik ist die Eponentilfunktion: ep(z) = z n n=0. Wegen der Stetigkeit von n! Potenzreihen im Inneren des Konvergenzkreises ist ep stetig uf gnz C, und us dem Cuchy Produkt für Reihen folgt die Funktionlgleichung ep(z + w) = ep(z) ep(w). Eine ndere Drstellung der Eponentilfunktion erhält mn durch die Gleichung ep(z) = lim n ( + z n )n. Insbesondere gilt ep() = e. Ferner gilt

13 ep : R R + ist streng monoton wchsend und surjektiv (ZWS) und dmit eistiert eine stetige Umkehrbbildung ln : R + R für ep (ln heißt der ntürliche Logrithmus). Mit Hilfe der Eponentilfunktion und des ln können nun llgemeine Potenzen definiert werden: Ist > 0 und z C, so setze z := ep(z ln ). Wegen ln e = folgt insbesondere ep(z) = e z für lle z C. Interessnte Eigenschften der Eponentilfunktion und des Logrithmus sind: ep() geht für schneller gegen unendlich ls jede feste Potenz von (genuer: lim n = 0 für lle n N). e ln Umgekehrt gilt für den Logrithmus: lim 0 für jedes α > 0, lso konvergiert ln() lngsmer gegen unendlich ls jede (noch so kleine) positive Potenz von α. Mit Hilfe der Eponentilfunktion können uch die trigonometrischen Funktionen sin und cos beschrieben werden, bzw. zu Funktionen uf gnz C fortgesetzt werden. Es gelten sin(z) = 2i (eiz e iz ) = n=0 ( ) n z 2n+ (2n + )! ; cos(z) = 2 (eiz +e iz ) = 3 ( ) n z2n (2n)! n=0 5. Differenzierbre Funktionen. In diesem Abschnitt hben wir die Differenzierbrkeit von Funktionen f : I R (bzw. C) untersucht. Ds grundlegende Problem ist hierbei die Frge, ob und wie wir die Steigung der Funktion n einer Stelle 0 I berechnen können. Geometrisch bedeutet dies ntürlich die Steigung der Tngente m Grphen von f n der Stelle ( 0, f( 0 )) zu berechnen. Die Idee hierfür ist gnz einfch: betrchte zu Punkten in der Nähe von 0 die Steigung der Seknte durch die Punkte (, f()) und ( 0, f( 0 )). Diese ist gegeben durch den Differenzenquotienten f() f( 0 ) 0. Lssen wir dnn gegen 0 lufen, so sollten sich die Seknten (und dnn uch ihre Steigungen) der Tngente (bzw. der Steigung der Tngente) im Punkt ( 0, f( 0 )) nnähern, zumindest wenn wir einen verwertbren Grenzwert erhlten. Diese Überlegungen führen zu Definition 6. Seien I R ein echtes Intervll und f : I C eine Funktion. Dnn heißt f differenzierbr im Punkt 0 I, flls f ( 0 ) := lim 0 f() f( 0 ) 0 eistiert. Der Wert f ( 0 ) heißt Ableitung von f n der Stelle 0. f heißt differenzierbr, flls f in jedem Punkt 0 I differenzierbr ist. Erste wichtige Ableitungen sind () ( ) =, für 0 (uf den jeweiligen Definitionsbereichen); (2) ep () = ep(); (3) sin = cos, cos = sin. Im llgemeinen knn mn viele Ableitungen mit Hilfe von Ableitungsregeln berechnen. Sind f und g differenzierbr, so gilt:

14 4 () (Summenregel) (f + g) () = f () + g (); (2) (Produktregel) (f g) () = f ()g() + g ()f(); ( (3) (Quotientenregel) (4) (Kettenregel) (f g) () = f (g())g (); f g ) () = f ()g() g ()f() g 2 () (wenn g() 0); (5) (Umkehrfunktion) (f ) (y) =, flls f stetig und f (f (y)) 0. f (f (y)) Zum Beispiel gilt ln (y) = ep (ln y) = ep(ln y) = y. Ist f in 0 differenzierbr, so ist f uch stetig in 0. Die Umkehrung gilt ber nicht: Die Funktion ist stetig, ber nicht differenzierbr in Mittelwertsätze der Differentilrechnung. Sehr wichtig bei Anwendungen der Differentilrechnung sind die Mittelwertsätze. Zunächst hben wir gezeigt: i st 0 (, b) ein lokles Etremum der differenzierbren Funktion f : (, b) R, so ist f ( 0 ) = 0. Hierus hben wir den Stz von Rolle hergeleitet, der besgt, dss für jede stetige Funktion f : [, b] R, die uf (, b) differenzierbr ist, und die f() = f(b) erfüllt, ein 0 (, b) eistiert mit f ( 0 ) = 0. Als leichte Anwendung erhielten wir den ersten Mittelwertstz: Stz 3 (. MWS). Seien < b und f : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b). Dnn eistiert ein 0 (, b) mit f ( 0 ) = f(b) f() 9. b Der erste Mittelwertstz ht viele interessnte Folgerungen. Ist I R ein echtes Intervll und f : I R differenzierbr, so folgt () Ist f () = 0 für lle I, so ist f konstnt. (2) Ist f () 0 (bzw. f () > 0) für lle I, so ist f (streng) monoton wchsend. (3) Ist f () 0 (bzw. f () < 0) für lle I, so ist f (streng) monoton fllend. (4) Ist f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 (bzw. f ( 0 ) < 0), so liegt in 0 ein lokles Minimum (bzw. Mimum) der Funktion f vor. Mn bechte hier: liegt 0 im Inneren des Intervlls, so ist f ( 0 ) = 0 eine notwendige (ber keine hinreichende) Bedingung für ds Vorliegen eines loklen Etremums von f n der Stelle 0. Die Rndpunkte des Intervlls (wenn im Intervll liegend) müssen immer gesondert betrchtet werden! Der zweite Mittelwertstz ist eine Verllgemeinerung des ersten Mittelwertstzes und folgt ebenflls us dem Stz von Rolle: 9 Ds heißt: es eistiert ein 0 (, b) so, dss die Steigung der Tngente n f( 0 ) mit der Steigung der Seknte durch die Punkte (, f()) und (b, f(b)) übereinstimmt.

15 Stz 4 (2. MWS). Seien < b und f, g : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b). Ist g () 0 für lle (, b), so eistiert ein 0 (, b) mit (insb. gilt g(b) g()). 0 f ( 0 ) g ( 0 ) = f(b) f() g(b) g() Der zweite Mittelwertstz wurde zur Herleitung der Regel von L Hospitl benutzt: 5 Regel von L Hospitl: Seien f, g : (, b) R differenzierbr und seien g(), g () 0 für lle (, b). Ist dnn lim f() = lim g() = 0 (bzw. ± ), so gilt f() lim = lim g() f (), flls letzterer eistiert (hierbei drf ls Grenzwert uch g () ± heruskommen). Eine nloge Aussge gilt uch für ±. Eine Anwendung: e ln() lim = lim l H (ln() + )e ln() = lim =, wobei letzteres us den in der Vorlesung gezeigten Grenzwerten lim 0 ln() = und lim 0 ln() = 0 folgt (worus dnn uch lim 0 e ln() = lim 0 = folgt). 7. Ds Riemnn Integrl. In diesem Abschnitt hben wir den Integrlbegriff nch Riemnn eingeführt. Dzu sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Wir wollen die zwischen -Achse und dem Grphen von f eingeschlossene Fläche berechnen, wobei wir lle Flächen oberhlb der -Achse positiv und lle Flächen unterhlb der -Achse negtiv berechnen wollen. Die Grundidee hierfür ist die gegebene Funktion möglichst gut von oben und von unten durch Treppenfunktionen zu pproimieren, und dnn ds Integrl von f ls Grenzwert (bzw. Supremum und/oder Infimum) der Integrle der Treppenfunktionen zu berechnen. Eine Treppenfunktion ist eine Funktion ϕ : [, b] R, so dss eine Zerlegung Z = { = t 0 < t < < t n = b} und Zhlen,..., n R eistieren mit ϕ() = k für lle (t k, t k ) und k n. Ist ϕ eine solche Treppenfunktion, so definieren wir den Inhlt von ϕ durch n I(ϕ) := k (t k t k ), k= ws genu dem Flächeninhlt der Fläche zwischen -Achse und dem Grphen der Treppenfunktion ϕ : [, b] R entspricht. Schreiben wir T [, b] für die Menge ller Treppenfunktionen uf [, b], so definieren wir Definition 7. Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn heißt ds Oberintegrl von f und O(f) := inf{i(ψ) : ψ T [, b], f ψ} U(f) := inf{i(ϕ) : ϕ T [, b], ϕ f} 0 Der erste MWS folgt us dem zweiten mit g() =

16 6 ds Unterintegrl von f. f heißt (Riemnn-) integrierbr, flls O(f) = U(f) und dnn setzen wir b f() d := O(f) (= U(f)). Nicht lle beschränkten Funktionen sind integrierbr. Zum Beispiel gilt für die Funktion { } f : [0, ] R; f() = 0 für Q für [0, ] \ Q, dss U(f) = 0 und O(f) = 0, und dmit ist f nicht Riemnn-integrierbr. Ein nützliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Integrierbrkeit von Funktionen liefert der folgende Stz Stz 5. Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn sind äquivlent: () f ist integrierbr. (2) Zu jedem ε > 0 eistieren Treppenfunktionen ϕ, ψ T [, b] mit ϕ f ψ und I(ψ ϕ) < ε. (3) Es eistieren Folgen (ϕ n ) n N und (ψ n ) n N in T [, b] mit ϕ n f ψ n für lle n N und I(ψ n ϕ n ) 0. Sind diese Bedingungen erfüllt und sind (ϕ n ) n N und (ψ n ) n N wie in (3), so folgt zudem b f() d = lim n I(ϕ n ) = lim n I(ψ n ). Mit Hilfe dieses Stzes knn mn dnn gnz schnell die folgenden Eigenschften des Integrls nchweisen: Sind f, g : [, b] R integrierbr, so gilt f + g : [, b] R ist integrierbr und es gilt b (f + g)() d = b f() d + Ist f g, so gilt uch b f() d b g() d. Sind f +, f : [, b] R definiert durch b g() d. f + () = m{f(), 0}, f () = min{f(), 0}, so sind f +, f und f = f + + f integrierbr. Ferner gilt immer b b f() d f() d. Sind, b, c R mit < b < c und ist f : [, c] R gegeben mit f inetegrierbr über [, b] und [b, c], so ist f uch integrierbr über [, c] und es gilt c f() d = b f() d + c b f() d. Jede monotone Funktion f : [, b] R ist integrierbr. Aber noch wichtiger ist: Es gibt ber einen besseren Integrlbegriff, ds Lebesgue-Integrl, wo diese Funktion integrierbr ist. Es gilt dnn f() d =. [0,]

17 Stz 6. Jede stetige Funktion f : [, b] R ist integrierbr und für ds Integrl gilt die Formel b b n f() d = lim f( + k b n n n ). Dieses zentrle Resultt folgt us Stz 5 zusmmen mit der wichtigen Ttsche, dss jede stetige, uf einem kompkten Intervll definierte Funktion f : [, b] C sogr gleichmäßig stetig ist, d.h. zu jedem ε > 0 eistiert ein δ > 0, so dss für lle, y [, b] gilt: k= y < δ = f() f(y) < ε. Bechte, dss bei der gleichmäßigen Stetigkeit ds δ nur in Abhängigkeit von ε gewählt werden knn, wohingegen bei der gewöhnlichen Stetigkeit einer Funktion f : D C ds δ von ε und einem gegebenen Punkt 0 D bhängt. Als Beispiel dfür, ds gleichmäßige Stetigkeit im llgemeinen echt stärker ls gewöhnliche Stetigkeit ist, betrchten wir die Funktion f : (0, ) R; f() =. Diese Funktion ist stetig, ber nicht gleichmäßig stetig, denn zu ε = und beliebigem δ > 0 folgt für lle n > m{, }, dss = < δ ber f( ) f( ) = n 2n = n > = ε. δ n 2n 2n n 2n Ein weiterer wichtiger Stz in diesem Abschnitt ist der Mittelwertstz der Integrlrechnung: Sind f, g : [, b] R stetige Funktionen mit g 0, so eistiert ein 0 [, b] mit f( 0 ) b g() d = b f()g() d. Im Fll g = folgt hierus die Ttsche, dss jede stetige Funktion f : [, b] R uf [, b] seinen Mittelwert nnimmt, d.h. es eistiert ein 0 [, b] mit f( 0 ) = b b f() d. Der Mittelwertstz der Integrlrechnung folgt leicht us dem Zwischenwertstz für stetige Funktionen und der Ttsche, dss für jedes stetige g : [, b] R mit g > 0 (d.h. g 0 und es eistiert mindestens ein [, b] mit g() > 0) uch b g() d > 0 gilt (Achtung! Dies gilt im llgemeinen nicht, wenn g nicht stetig ist!). Schließlich hben wir noch einige zusätzliche Nottionen eingeführt: ist f : [, b] C eine komplee Funktion, so heißt f integrierbr, wenn Re(f), Im(f) : [, b] R integrierbr sind, und dnn setzen wir b f() d = b Re(f)() d + i b Im(f)() d. Ferner setzen wir für jede integrierbre Funktion f : [, b] C: b f() d := b f() d. 8. Der Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung. Ist I R ein Intervll und ist f : I C eine Funktion, so heißt eine Funktion F : I C Stmmfunktion von f, flls F differenzierbr ist und F = f gilt. Sind F, G : I C zwei beliebige Stmmfunktionen von f, so eistiert eine Konstnte c C mit F () = G() + c für lle I. Dies folgt us der Ttsche (die wir us dem. 7

18 8 MWS der Differentilrechnung gefolgert hben), dss eine differenzierbre Funktion g : I C mit Ableitung g = 0 konstnt sein muss. Angewndt uf g = F G folgt dnn, dss F G konstnt ist, denn (F G) = F G = f f = 0. Stz 7 (Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung). Sei f : I C eine stetige Funktion und sei I fest gewählt. Dnn gelten () Ist F : I C definiert durch F () = f(t) dt, so ist F eine Stmmfunktion von f. (2) Ist G eine beliebige Stmmfunktion von f, und ist b I beliebig, so gilt b f() d = G(b) G(). Die Aussge in (2) ist eine direkte Konsequenz us () und der obigen Diskussion, denn ist F wie in () und G : I C eine beliebige weitere Stmmfunktion von f, so eistiert ein c C mit G() = F () + c für lle I, und dnn folgt G(b) G() = F (b) F () = b f(t) dt f(t) dt = b f(t) dt. Für den Beweis der ersten Aussge zerlegt mn zunächst f in Relteil und Imginärteil um o.b.d.a. nnehmen zu können, dss f reell ist. Dnn ist der Beweis eine reltiv leichte Folgerung us dem Mittelwertstz der Integrlrechnung. Als Konsequenz des Huptstzes folgt, dss zur Berechnung des Integrls b f() d einer stetigen Funktion f die Berechnung einer Stmmfunktion F : I C von großem Nutzen ist, d wir dnn Integrle mit beliebigen Grenzen einfch durch Einsetzen der Grenzen in die Stmmfunktion berechnen können. Es ist hier nützlich ds unbestimmte Integrl f() d einzuführen. Dieses steht für die Gesmtheit ller Stmmfunktionen von f. Ist eine konkrete Stmmfunktion F : I C für f gegeben, so schreiben wir f() d = F () + c wobei c für eine Konstnte c C steht. Wichtige Stmmfunktionen sind: () d = c, wenn, C und (0, ); (2) n d = n+ n+ + c, wenn n Z \ { }, R \ {0} (bzw. R, wenn n N 0 ); (3) d = ln( ) + c, R \ {0}; (4) e d = e + c, R; (5) sin() d = cos() + c, cos() d = sin() + c, R; (6) d = rctn() + c, R; + 2 (7) 2 d = rcsin() + c, (, ). Im llgemeinen ist es ber viel schwieriger Stmmfunktionen zu berechnen ls umgekehrt Ableitungen uszurechnen. Oft ist es sogr unmöglich eine Stmmfunktion in geschlossener Form (lso ls Kombintion beknnter Funktionen) uszurechnen (mn versuche zum Beispiel eine Stmmfunktion der Funktion f : R R; f() = e 2

19 zu berechnen). Einige Hilfsmittel für die Berechnung von Stmmfunktionen knn mn ber us den Ableitungsregeln herleiten. Als erstes Beispiel betrchten wir die Produktregel fürs Differenzieren. Diese liefert ds Verfhren 9 Prtielle Integrtion: Seien f, g : I C zwei stetig differenzierbre Funktionen (d.h. f, g sind differenzierbr und die Ableitungen f, g sind stetig). Die Produktregel liefert Durch Umordnen folgt hierus (f g) = f g + f g. f g = (f g) f g. Integrieren uf beiden Seiten liefert f ()g() d = f() g() f() g () d + c für die unbestimmten Integrle, bzw. b f ()g() d = ( f() g() ) b b f() g () d für die bestimmten Integrle, wobei für eine beliebige Funktion h der Ausdruck h() b für die Differenz h(b) h() steht. Im Vorlesungsmnuskript finden Sie einige Beispiele für diese Methode. Interessnt ist insbesondere, dss mn mit Hilfe der prtiellen Integrtion oftmls recht gut Stmmfunktionen von Umkehrfunktionen berechnen knn, indem mn ls zusätzlich Funktion die Einsfunktion (ls f ) einfügt: zum Beispiel gilt ln() d = ln() d f =,g=ln() = ln() d = ln() + c. Anlog rechnet mn rctn() d = rctn() d = rctn() Ds uf der rechten Seite ufgetuchte Integrl + 2 d. d berechnet mn mit der + 2 Substitutionsregel: Diese bsiert uf der Kettenregel für die Ableitung. Sei f : I C eine stetige Funktion und sei F : I C eine Stmmfunktion für f. Ferner sei u : J I eine stetig differenzierbre Funktion. Dnn folgt mit der Kettenregel (F u) () = F (u())u () = f(u())u () Integrieren uf beiden Seiten (und Vertuschen der Seiten) liefert b f(u())u () d = b (F u) () d = F (u(b)) F (u()) = u(b) u() f(u) du, wobei die letzte Gleichung us der Ttsche folgt, dss F eine Stmmfunktion von f ist. Wir betrchten uf der rechten Seite u ls Integrtionsvrible und nicht mehr ls Funktion. Vereinfcht bekommen wir lso die Formel b f(u())u () d = u(b) u() f(u) du

20 20 bzw f(u())u () d = f(u) du + c, u = u() für die unbestimmten Integrle. Hierbei müssen wir ber uf der rechten Seite nch Berechnen der Stmmfunktion die Vrible u durch die Funktion u() ersetzen. Dher der Zustz u = u()! Als Beispiel betrchten wir ds oben ufgetuchte integrl erhlten wir + 2 d. Setzen wir u() = + 2, so folgt u () = 2. Mit f(u) = u + 2 d = 2 u() u () d Subst. = 2 u du (mit u = + 2 ) = 2 ln( u ) + c (mit u = + 2 ) = 2 ln( + 2 ) + c. Zusmmen mit der obigen Rechnung erhlten wir dnn rctn() d = rctn() 2 ln( + 2 ) + c. Einige generelle Formeln, die mn mit der Substitutionsregel erhält sind die folgenden: () b f( + c) d = b+c f() d für c R fest und b f(c) d = cb f() d +c c c wenn c 0. (2) f () d = ln( f() ) + c, wenn f() 0. f() Ein interessntes Beispiel ist uch ds folgende: rcsin() d = Wir berechnen u () = 2 und dmit d = 2 2 rcsin() d f =,g=rcsin = rcsin() 2 d 2 d mit Hilfe der Substitution u() = 2. dnn folgt u () d = u() 2 u du (mit u = 2 ) = u + c (mit u = 2 ) = 2 + c. Dmit folgt rcsin() d = rcsin() 2 + c. Wenn wir die Rechnung oben genuer verfolgen, so sehen wir, dss wir diese nur uf dem offenen Intervll (, ) durchführen dürfen, d nur dort die rcsin-funktion differenzierbr ist, und wir die Ableitung bei der prtiellen Integrtion benötigen. Auf der nderen Seite ist rcsin ber uf dem gnzen Intervll [, ] stetig, und besitzt nch dem Huptstz der Integrl-und Differentilrechnung uf gnz [, ] eine Stmmfunktion. Die oben berechnete Stmmfunktion für rcsin ist sicher uf dem gnzen Intervll [, ] definiert, und dort uch stetig. Dnn folgt us dem folgenden Lemm, dss sie dnn uch utomtisch uf gnz [, ] eine Stmmfunktion ist: Lemm 8. Seien F, f : [, b] C stetig und sei F Stmmfunktion von f uf (, b). Dnn gilt uch F = f uf gnz [, b].

21 Ds Lemm ist eine leichte Folgerung us dem. MWS der Differentilrechnung. Im obigen Fll wenden wir ds Lemm uf F, f : [, ] R; f() = rcsin() und F () = rcsin() 2 + c n. 2 Umgekehrte Substitution. Hierbei ist f : I C gegeben, und wir wollen f() d berechnen. Wir versuchen nun ds Problem zu vereinfchen, indem wir ls Funktion von t uffssen, d.h. wir suchen eine bijektive stetig differenzierbre Funktion : J I; t (t), so dss ds unbestimmte Integrl f((t)) (t) dt (ntürlich bezüglich der Vriblen t) beknnt ist. Dnn folgt us der gewöhnlichen Substitutionsregel: (b) () f((t)) (t) dt = ( (b)) ( ()) f() d = b f() d. Für die unbestimmten Integrle erhlten wir die Formel f() d = f((t)) (t) dt + c, mit t = t() (d.h. wir schreiben t ls Funktion von vermöge der Umkehrfunktion ). Als Beispiel wollen wir die Fläche des Einheitskreises berechnen. Der Einheitskreis wird nch oben durch die Funktion f() = 2, [, ] und nch unten durch die Funktion g = f begrenzt. Die Fläche des Kreises berechnet sich dher durch (f g)() d = 2 π 2 f() d = 2 2 d. Um den Ausdruck zu vereinfchen setzen wir (t) = sin(t) und bemerken, dss sin : [ π, π] [, ] stetig differenzierbr und bijektiv ist. Wegen 2 2 sin2 (t) = cos 2 (t), und d cos(t) 0 für lle t [ π, π ], erhlten wir 2 2 π π 2 2 d = sin 2 2 (t) cos(t) dt = cos 2 (t) dt Prt. Int = 2 ( sin(t) cos(t) + t ) π 2 π 2 = π 2, und dmit ist der Flächeninhlt des Einheitskreises gleich π. Wollen wir ds unbestimmte Integrl 2 d uf [, ] berechnen, so erhlten wir wie oben zunächst 2 d = ( ) sin(t) cos(t) + t + c 2 und ersetzen dnn uf der rechten Seite ds t durch die Umkehrfunktion von sin ngewndt uf, lso t = rcsin(). Dnn folgt 2 d = ( ) sin(rcsin()) cos(rcsin()) + rcsin() + c 2 = 2( 2 + rcsin() ) + c. Grundsätzlich sind Substitutionen = sin(t), = cos(t) nützlich für Ausdrücke mit 2 uf dem Intervll [, ], und die Substitution = cosh(t) ist oft nützlich bei Ausdrücken mit 2 für (wegen cosh 2 (t) = sinh 2 (t)). Die Substitution = sinh(t) ist nützlich bei Ausdrücken mit + 2 (wegen cosh 2 () = + sinh 2 ()). π 2

22 22 Die Substitution = 2 rctn(t). Integrle mit Funktionen die sich ls Summen, Produkte und Quotienten us den Funktionen sin(), cos() zusmmen setzen, und die sich nicht direkt mit nderen Methoden, wie etw der prtiellen Integrtion lösen lssen, knn mn oft mit der Substitution = 2 rctn(t) berechnen. Es gilt nämlich cos(2 rctn(t)) = t2 + t 2 und sin(2 rctn(t)) = 2t + t 2. Wegen 2 rctn (t) = 2 +t 2 erhlten wir dnn bei der Substitution = 2 rctn(t) eine rtionle Funktion in t, deren Integrl sich dnn mit Hilfe der Prtilbruchzerlegung lösen läßt. Als Beispiel betrchten wir cos() sin() d, für (0, π 2 ). Die Substitution = 2 rctn(t) liefert cos(2 rctn(t)) sin(2 rctn(t)) 2 + t dt = 2 + t 2 dt, t (0, ). t( t 2 ) Wie schon oben erwähnt, löst mn dieses Integrl mit der Methode der Prtilbruchzerlegung: Hierbei betrchtet mn generell Integrle über rtionle Funktionen, d.h. Funktionen der Form f() = p(), wobei p und q Polynome sind. q() In einem ersten Schritt stellen wir hierbei sicher, dss grd(p) < grd(q) gilt: ist dies nicht der Fll, so schreiben wir mit Hilfe der Polynom-Division mit Rest die Funktion p ls p() = h()q() + r() wobei h und r Polynome sind mit grd(r) < grd(q). Dnn folgt p() r() q() d = h() d + q() d. D h ein Polynom ist, können wir ds Integrl über h sehr leicht usrechnen. Für ds zweite Integrl gilt dnn ber grd(r) < grd(q)! Sei lso nun f() = p() mit grd(p) < grd(q). Nch 6 eistiert eine Zerlegung q() q() = α ( z ) l ( z s ) ls, wobei z,..., z s die prweise verschiedenen kompleen Nullstellen von q mit den Vielfchheiten l,..., l s sind. Wir mchen dnn einen Anstz () p() q() = A + A 2 z ( z ) + + A l 2 ( z ) + + A s + + l z s A sl s ( z s ) ls. 2 Multiplizieren wir die Gleichung uf beiden Seiten mit q(), so erhlten wir eine äquivlente Polynomgleichung, wobei uf beiden Seiten Polynome mit Grd 2 Sind p und q reell, so knn mn uch denn lterntiven Anstz p() q() = durchführen, wenn A + A 2 ( ) A l ( ) l + + A s s B + C 2 + b + c + + A sls ( s) ls B k + C k ( 2 + b + c ) k + + B t + C t 2 + b t + c t + + q() = α ( ) l ( s ) ls ( 2 + b + c ) k ( 2 + b t + c t ) kt die in 6 vorgestellte reelle Fktor-Zerlegung von q ist. B tk t + C tkt ( 2 + b t + c t) k t.

23 < grd(q) = n stehen. Es folgt dnn us dem Identitätsstz für Polynome, dss Einsetzen von n verschiedenen -Werten genügend Gleichungen zur Berechnung der Koeffizienten A,..., A sls entstehen. Am schnellsten berechnet mn diese Koeffizienten ber meist durch Einsetzen der Nullstellen z,..., z s in diese Polynomgleichung, sowie in lle Polynomgleichungen die zusätzlich entstehen, wenn wir beide Seiten bis zu m-ml bleiten, für m := m{l,..., l s }. Ist diese Zerlegung durchgeführt, so bleibt ds Problem der Berechnung der (kompleen) Integrle d ( z) k mit k N und z C fest. Ist k >, so gilt ( z) d = k k ( z) k + c = + c. ( k)( z) k Ist k = und ist z = R, so folgt d = ln( ) + c. Für k = und z C \ R ist die Sitution leider ein wenig komplizierter. Mn knn ds Problem hier im Prinzip zwr mit einem uf einer geeignetenteilmenge von C definierten kompleen Logrithmus lösen, wir wollen diese Funktion ber hier nicht einführen. Sind p und q reelle Polynome (lle obigen Überlegungen treffen nsonsten uch für komplee Polynome zu), so gehört zu einer kompleen Nullstelle z von q uch gehören- die Nullstelle z (mit gleicher Vielfchheit). Ist dnn A C der zu z de Koeffizient in der Zerlegung (), so knn mn nchrechnen, dss 23 Ā der zu z gehörende Koeffizient ist. Fssen wir jetzt beide Anteile zusmmen, so bekommen wir einen neuen Summnden A z + Ā z = A( z) + Ā( z) ( z)( z) = B + C 2 + b + c, mit B = 2 Re(A), C = 2 Re(A z), b = 2 Re(z), c = z 2 (vergleiche uch mit 6). Wir hben ds Problem jetzt uf die Berechnung des Integrls B+C d reduziert, 2 +b+c wobei wir immer nnehmen dürfen, dss c b2 > 0 ist (ds folgt us b = 2 Re(z) 4 und c = z 2 ). Durch die Substitution u = + b q 2 knn mn dieses Integrl uf die c b2 4 Form B 2u + C du = B 2u du + u 2 + u 2 C + u 2 + du mit geeigneten Konstnten B, C R bringen. Mit diesen Konstnten erhlten wir dnn B + C 2 + b + c d = B ln(u 2 + ) + C rctn(u) + d ( ) ( + b = B 2 ln )2 + + C rctn + b 2 + d c b2 4 c b2 4 = B ln( 2 + b + c) + C rctn + b 2 c b2 4 + d, wobei wir im letzten Schritt einen konstnten Summnden B ln(c b2 ) in die neue 4 Integrtionskonstnte d mit ufgenommen hben.