Mathematik für Physiker I

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1 Vorlesungsskript Mthemtik für Physiker I Dr. Jörg Härterich Ruhr-Universität Bochum Wintersemester 2007/08

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3 Inhltsverzeichnis Mengen, Abbildungen und Zhlen 5. Mengen Abbildungen Indirekter Beweis und Widerspruchsbeweis Ntürliche Zhlen Vollständige Induktion Reelle Zhlen Betrg und Dreiecksungleichung Komplexe Zhlen Abzählbrkeit Folgen und Reihen Konvergenz Monotone Folgen Teilfolgen Ds Cuchy-Kriterium Grenzwerte und Anordnung Beispiele Rechenregeln für Grenzwerte Reihen Konvergenzkriterien Der Produktstz für Reihen Potenzreihen und elementre Funktionen Stetigkeit Ein pr topologische Grundbegriffe Stetige Funktionen uf kompkten Intervllen Mehr zur Cosinus- und Sinusfunktion Polrkoordintendrstellung komplexer Zhlen Umkehrfunktionen streng monotoner Funktionen Der ntürliche Logrithmus Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Grenzwerte für x ± Differenzierbrkeit Differenzierbre Funktionen Differenzierbrkeitsregeln Differenzierbrkeit von Umkehrfunktionen Extrem und Mittelwertstz der Differentilrechnung Die Regel von L Hospitl

4 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I 4.6 Höhere Ableitungen und Tylor-Polynome Ds Newton-Verfhren Funktionenfolgen und -reihen 5 5. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Differentition von Funktionenfolgen und Potenzreihen Der Funktionenrum B(D) Integrtion Treppenfunktionen und Regelintegrl Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtionsregeln Prtilbruchzerlegung Tylorformel mit Restglied in Integrlform Monotonie und Mittelwertstz der Integrlrechnung Trpezregel Integrtion von Potenzreihen Uneigentliche Integrle Stichwortverzeichnis Viele Aussgen in der Physik lssen sich sehr gut in der Sprche der Mthemtik beschreiben. Sie erlubt eine präzise Beschreibung vieler Phänomene in bstrkter Form, vom Newtonschen Grvittionsgesetz über die Mxwell-Gleichungen der Elektrodynmik bis hin zu ktuellen Entwicklungen in der String-Theorie. Der Vorlesungszyklus Mthemtik für Physiker soll Ihnen helfen, die notwendigen Begriffe zu entwickeln, um mthemtische und physiklische Gesetzmäßigkeiten sorgfältig und verständlich ufzuschreiben, und die Vorussetzungen der entsprechenden Resultte klr nzugeben, sich ds Hndwerkszeug nzueignen, ds insbesondere bei der quntittiven Beschreibung physiklischer Vorgänge uftritt (siehe uch Vorlesung Mthemtische Hilfsmittel der Physik). Weiter soll sie Ihnen ermöglichen, Ihr Wissen je nch Bedrf später zu vertiefen, sei es, wenn Sie ls theoretische/r PhysikerIn numerische Verfhren entwickeln oder im Grenzgebiet zwischen Mthemtik und Physik rbeiten, sei es, wenn Sie ls ExperimentlphysikerIn Messwerte in einen sinnvollen Zusmmenhng bringen und quntittiv interpretieren möchten. Problemlösestrtegien kennenlernen, denn im Unterschied zur Schule werden Ihnen n der Hochschule und später viele Probleme begegnen, für die schon der prinzipielle Lösungsweg zunächst nicht klr ist. Sie werden unterschiedliche Herngehensweisen erleben und selbst lernen, unter mehreren Möglichkeiten die erfolgversprechendste zu finden. Ds vorliegende Skript ist ls Begleitmteril zur Vorlesung zu verstehen, es ersetzt diese nicht und es schdet uch nicht, b und zu in eines der vielen Bücher zum Them zu schuen. 4

5 Mengen, Abbildungen und Zhlen. Mengen Den grundlegenden Begriff einer Menge forml zu definieren, ist gr nicht so einfch, wie mn vielleicht glubt. Aus diesem Grund geben wir uns mit einer intuitiven Beschreibung zufrieden. Definition (Cntor, 885): Eine Menge ist eine wohldefinierte Zusmmenfssung verschiedener Objekte zu einem Gnzen. Diese Objekte nennen wir Elemente der Menge. Cntors Forderung nch verschiedenen Objekten bedeutet, dss keines der Elemente mehrfch in einer Menge vorkommt. Beispiele:. Die Menge ller Studierenden in dieser Vorlesung 2. die Menge der Postleitzhlen im Stdtgebiet von Bochum 3. die Menge N = {, 2, 3,...} der ntürlichen Zhlen 4. die Menge N 0 = {0,, 2, 3,...} 5. die Menge P = {2, 3, 5, 7,,...} der Primzhlen, d.h. der Zhlen, die genu zwei Teiler besitzen. 6. die Menge R der reellen Zhlen, mit der wir uns später noch usführlicher befssen werden. 7. Die Menge, die überhupt kein Element enthält, heißt leere Menge und wird {} oder geschrieben. Ist ein Objekt in einer Menge A enthlten, dnn schreibt mn A, nsonsten / A. Theoretisch lssen sich uch Dinge, die nicht offensichtlich miteinnder zu tun hben, zu einer Menge zusmmenfssen. Ein Beispiel wäre die Menge, die us der Frbe blu, dem Stz von Pythgors und Hrry Potter besteht... Mit solchen Mengen lässt sich llerdings nicht viel nfngen, dher werden wir uns um sie uch nicht weiter kümmern. 5

6 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Zur Schreibweise: Mengen schreibt mn üblicherweise entweder wie oben ls Auflistung in geschweiften (Mengen )Klmmern oder indem mn die Elemente der Menge durch ihre Eigenschften chrkterisiert. Auf diese Weise lssen sich uch unendliche Mengen ohne... drstellen. Wir schreiben beispielsweise P = {n N; n ist eine Primzhl}. Genu genommen meint mn dmit die Menge ller ntürlichen Zhlen, für die die Aussge n ist eine Primzhl whr ist. Dbei ist eine Aussge ein Stz, der entweder whr oder flsch ist ( tertium non dtur ). Definition: (i) Seien A und B Mengen. Dnn nennt mn B eine Teilmenge von A und schreibt B A, flls jedes Element von B uch in A enthlten ist. (ii) Seien A und B Mengen. Der Durchschnitt A B besteht us llen Elementen, die sowohl in A ls uch in B enthlten sind: A B := {x; x A und x B}. Ds hierbei verwendete Zeichen := bedeutet, dss der links stehende Ausdruck durch den Ausdruck uf der rechten Seite definiert wird. (iii) Die Vereinigung A B besteht us denjenigen Elementen, die in A oder in B enthlten sind: A B := {x; x A oder x B}. (iii) Die Differenz A\B besteht us denjenigen Elementen, die in A, ber nicht in B enthlten sind: A \ B := {x; x A und x / B}. Achtung! Mit oder ist hier (und überhupt in der Mthemtik) nicht ds usschließende entweder...oder gemeint. A B enthält uch diejenigen Elemente, die in A und in B liegen. Definition: Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn A B und B A. Bemerkung: (i) Offensichtlich gelten für Vereinigung und Durchschnitt ds Kommuttivgesetz A B = B A A B = B A 6

7 Mengen, Abbildungen und Zhlen (ii) Auch kommt es bei mehrfchen Vereinigungen und Durchschnitten nicht druf n, in welcher Reihenfolge mn sie bildet. Es gilt ds Assozitivgesetz (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Stz. Seien A, B und C beliebige Mengen. Dnn gelten die Distributivgesetze A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Beweis: Um die Gleichheit der Mengen zu beweisen, müssen wir zuerst die Inklusion A (B C) (A B) (A C) und nschließend die umgekehrte Inklusion zeigen. Wir strten lso mit einem Element x A (B C) der linken Menge. Dnn ist x A oder x B C. Im ersten Fll ist x A B und x A C, lso ist x uch im Durchschnitt (A B) (A C) enthlten. im zweiten Fll ist x B und x C, lso ebenflls x A B und x A C. Dher liegt x uch in der rechten Menge und die Inklusion ist bewiesen. Für die umgekehrte Richtung (A B) (A C) A (B C) strten wir mit x (A B) (A C). Dnn ist x A B und x A C. Flls x A sind wir fertig, nsonsten muss x sowohl Element von B ls uch von C sein und dmit uch von B C. Dnn ist schließlich uch x A (B C). Gelegentlich werden wir es mit Aussgen zu tun hben, die von Vriblen bhängen. Als Beispiel betrchten wir die Aussge A(n) Die Zhl n ist eine Qudrtzhl. Mn knn nun (in Gednken) lle ntürlichen Zhlen für n einsetzen und erhält jeweils eine Aussge. Beispielsweise ist A() die Aussge Die Zhl ist eine Qudrtzhl eine whre Aussge, während A(2) Die Zhl 2 ist eine Qudrtzhl flsch ist. Häufig stellt sich die Frge, ob eine Aussge A(n) für lle n richtig, bzw. ob sie für lle n flsch ist. Quntoren dienen dzu, solche Aussgen zu formulieren. Der All-Quntor drückt us, dss eine Aussge für lle Elemente der Menge A whr ist. Die Schreibweise m M : A(m) bedeutet, dss die Aussge A(m) für lle m M eine whre Aussge ist. Der Existenz-Quntor drückt us, dss die Aussge zumindest für eine Vrible whr ist: m M : A(m) 7

8 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I bedeutet, dss (mindestens) ein Element m der Menge M existiert, für ds die Aussge A(m) whr ist. Beispiele:. Sie wissen vermutlich us der Schule, dss 2 keine rtionle Zhl ist. Wir werden ds in Kürze uch beweisen. Die Ttsche, dss es so ist, können wir schon jetzt mit Quntoren so usdrücken: q Q : q Die Menge P der Primzhlen knn mn chrkterisieren ls P = {p > ; m, n N : m > und n > p m n}. Sie besteht genu us den Zhlen, für die die Aussge nch dem Semikolon whr ist, die sich lso nicht ls Produkt von zwei Fktoren > schreiben lssen. Eine lterntive Chrkterisierung wäre P = {p > ; m, n N : p = m n (m = oder n = )}. 3. Die Ttsche, dss es zu jeder Zhl n N eine Primzhl gibt, die größer ist ls n, lässt sich schreiben ls n N : p P : p > n. Mn knn hier leicht sehen, dss verschiedene Quntoren nicht vertuscht werden dürfen, denn p P : n N : p > n. würde j bedeuten, dss es eine bestimmte Primzhl p gibt, die größer ls jede ntürliche Zhl ist. Ds ist ber offensichtlich flsch. 4. Die Menge Q der Qudrtzhlen ist Q = {q N; n N : q = n 2 }. Gelegentlich bildet mn uch Vereinigungen und Durchschnitte von unendlich vielen Mengen. Definition: Seien M, M 2,... Mengen. Dnn ist M n = M n n= n N := {x; n N : x M n } M n = M n n= n N := {x; n N : x M n } 8

9 Mengen, Abbildungen und Zhlen Definition: Seien A, B Mengen. Dnn heißt die Menge der geordneten Pre (, b) A B := {(, b); A, b B} krtesisches Produkt von A und B. Wir nennen und b die erste bzw. zweite Komponente des Prs (, b). Achtung: Hier kommt es uf die Reihenfolge n! Während für Mengen immer {, b} = {b, } gilt, ist für geordnete Pre im llgemeinen (, b) (b, ), ußer ntürlich im Fll = b. Für zwei geordnete Pre gilt dher: (, b) = (ā, b) bedeutet, dss = ā und b = b. Ds in der Physik wichtigste Beispiel für ein krtesisches Produkt ist wohl A = B = R. Sttt R R schreibt mn R 2 und beschreibt dmit beispielsweise die Menge der Punkt in der Ebene. Führt mn ein krtesisches Koordintensystem ein, so bestehen die Pre (, b) gerde us der x Koordinte und der y Koordinte eines Punktes. y (x,y) x Abbildung.: Geordnete Pre ls Koordinten eines Punktes in der Ebene Anlog zu Pren lssen sich uch geordnete Tripel (, b, c) A B C, geordnete Qudrupel (, b, c, d) A B C D und llgemein geordnete n-tupel (, 2,..., n ) A A 2... A n definieren..2 Abbildungen Definition: Seien A und B Mengen. Eine Abbildung (bzw. Funktion) f von A nch B ist eine Vorschrift, die jedem Element A genu ein Element f() B zuordnet. Mn nennt f() ds Bild von unter f, bzw. den Wert von f bei. Die Menge A heißt Definitionsbereich von f, die Menge B der Wertebereich von f. Wir schreiben f : A B 9

10 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I und wenn wir die Zuordnungsvorschrift für jedes mit ngeben wollen f : A B f(), in Kurzschreibweise mnchml uch A f() B. Beispiele:. Für A = {Borussi, Vfl, Byern} und B = {Bochum, München, Dortmund} ist eine zumindest für Fussbllfns sinnvolle Abbildung gegeben durch f(borussi) = Dortmund, f(vfl) = Bochum und f(byern) = München. 2. f : N N, n n 2 bildet die ntürlichen Zhlen uf die Menge ller Qudrtzhlen b. Nicht jede ntürliche Zhl ist lso im Bildbereich enthlten. Andererseits gibt es keine zwei Zhlen, die dsselbe Bild unter f hben. 3. f : Z Z, n n 2 bildet die gnzen Zhlen b uf die Qudrtzhlen. Wegen ( m) 2 = m 2 hben die zwei Zhlen +m und m den selben Funktionswert. 4. Die Addition ntürlicher Zhlen knn mn ebenflls ls Abbildung uffssen: Einem Pr (m, n) von ntürlichen Zhlen wird dbei ihre Summe m + n zugeordnet. + : N N N 5. Ein Polynom P ist eine Abbildung der Form (m, n) m + n P (x) = 0 + x + 2 x x n x n Mn nennt die i die Koeffizienten des Polynoms. Flls n 0, dnn ist n der Grd des Polynoms. Mn knn P ls Abbildung P : R R in den reellen Zhlen uffssen. Flls lle Koeffizienten gnzzhlig sind, dnn bildet P die Menge der gnzen Zhlen Z wieder in die Menge Z b. Genuso bildet eine Polynom mit rtionlen Koeffizienten i Q rtionle Zhlen wieder uf rtionle Zhlen b. 6. Die identische Abbildung id : A A bildet die Menge A uf die einfchst mögliche Art uf sich selbst b: für jedes A ist id() =. 7. Für eine gegebene Abbildung F : X Y und eine Teilmenge X X definiert mn die Einschränkung F X : X Y von F uf X ls F X (x) = F (x) für lle x X. 8. Die Menge A B besteht us geordneten Pren (, b) mit A und b B. Die Abbildungen P A : A B A (, b) 0

11 Mengen, Abbildungen und Zhlen und P B : A B B (, b) b beeichnet mn ls knonische Projektionen. Mit ihrer Hilfe verschfft mn sich einzelne Komponenten des Pres und vergisst die übrigen. Definition: Sei f : A B eine Abbildung und seien U A, V B Teilmengen. Dnn nennen wir die Bildmenge von U. Umgekehrt heißt die Urbildmenge, bzw. ds Urbild von V. f(u) := {f(); U} B f (V ) := { A; f() V } A Ds Urbild besteht lso us llen Elementen von A, deren Bild in der Menge V liegt. Definition: Sei f : A B eine Abbildung. Dnn nennen wir f surjektiv, flls f(a) = B. Die Abbildung f heißt injektiv, flls jedes Element us B höchstens ein Urbild ht. In diesem Fll folgt us f() = f(ã), dss = ã sein muss. Eine Abbildung, die surjektiv und injektiv ist, heißt bijektiv. Sie ordnet die Elemente von A uf eindeutige Weise den Elementen von B zu. Im englischen heißen bijektive Abbildungen dher uch one-to-one. Beispiele:. Die Abbildung f : N N, die durch f(n) = 2n definiert wird, ist injektiv, ber nicht surjektiv, d nur die gerden Zhlen ls Bilder vorkommen. 2. Die Abbildung, die p : R 2 R, die jedem Punkt (x, y) der Ebene seine x-koordinte zuordnet ist surjektiv, ber nicht injektiv, d p llen Punkte uf einer Gerden, die prllel zur y-achse verläuft, denselben Wert zuordnet. 3. Die Abbildung, die jedem Punkt der Ebene sein Spiegelbild bezüglich der Spiegelung n einer Gerden zuordnet, ist bijektiv.

12 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Spiegelchse Mn knn mehrere Abbildungen ncheinnder usführen, flls die jeweiligen Bild- und Definitionsbereiche ds zulssen. Definition: Seien f : A B und g : B C Abbildungen. Dnn wird durch g f : A C x g(f(x)) eine neue Abbildung g f erklärt, die Hintereinnderusführung von g und f. Achtung! Gelegentlich verwirrt diese Schreibweise etws, d wir von links nch rechts lesen, f ber zuerst ngewendet wird. Es hilft ein wenig, wenn mn sich für die Komposition von Abbildungen die Sprechweise g nch f ngewöhnt. Beispiel: Sind p und q Polynome, die wir beispielsweise ls Abbildungen p : R R und q : R R uffssen können, dnn ist uch die Verkettung q p wieder ein Polynom, denn wenn wir p(x) = 0 + x + 2 x x n x n in ds Polynom q(x) = b 0 + b x + b 2 x 2 + b 3 x b m x m einsetzen, erhält mn zunächst q(p(x)) = b 0 + b ( 0 + x +... n x n ) + b 2 ( 0 + x +... n x n ) b m ( 0 + x +... n x n ) m und nch dem Ausmultiplizieren wieder ein Polynom (vom Grd m n). Jede bijektive Funktion besitzt eine Umkehrbbildung. 2

13 Mengen, Abbildungen und Zhlen Stz.2 Sei f : A B eine bijektive Abbildung. Dnn gibt es genu eine Abbildung g : B A mit den Eigenschften (g f)() = für lle A (f g)(b) = b für lle b B. Beweis: Wir müssen zwei Dinge zeigen:. Es gibt überhupt eine solche Abbildung g. 2. Es gibt genu eine solche Abbildung g. zu. D die Abbildung surjektiv ist, gibt es zu jedem b 0 B ein Urbild 0 A. D f injektiv ist, gibt es uch wirklich genu ein Urbild. Wir setzen g(b 0 ) = 0. Dmit ist f(g(b 0 )) = f( 0 ) = b 0 und g(f( 0 )) = g(b 0 ) = 0. zu 2. Wir nehmen n, dss sowohl g ls uch g Umkehrbbildungen von f sind. Um zu zeigen, dss g(b) = g(b) ist für jedes b B, nutzen wir die Surjektivität von f us. Zu b B gibt es ein A mit f() = b. Dnn ist ber = g(f()) = g(f()) g(b) = g(b). D b B beliebig wr, sind wir fertig. Definition: Sei f : A B eine Abbildung. dnn nennt mn die Menge den Grph von f. G := {(, b) A B; b = f()}.3 Indirekter Beweis und Widerspruchsbeweis Auch wenn wir in dieser Vorlesung nicht lle Aussgen streng mthemtisch beweisen werden, ist es doch nützlich, einige der Werkzeuge kennenzulernen, die es erluben, Aussgen streng logisch herzuleiten. Die einfchste Methode ist der sogennnte direkte Beweis. Um zu zeigen, dss us einer Aussge A eine ndere Aussge B zwingend folgt (geschrieben A B) strtet mn mit der Aussge A und ersetzt diese so lnge durch äquivlente Aussgen, bis mn die Aussge B erhält. Beispiel: Ds Qudrt jeder ungerden Zhl ergibt bei Division durch 8 den Rest, denn: jede ungerde Zhl knn mn in der Form 2n + mit einer ntürlichen Zhl n drstellen. Dnn ist mit der us der Schule beknnten binomischen Formel (2n + ) 2 = 4n 2 + 4n + = 4n(n + ) +. 3

14 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I B f() A Abbildung.2: der Grph einer Abbildung D von den Zhlen n und n + eine gerde ist, muss 4n(n + ) durch 8 teilbr sein. Eine ndere Möglichkeit ist der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis. Anstelle der Aussge A B zeigt mn beim indirekten Beweis die äquivlente Aussge B A, wobei A die Negtion der Aussge A ist, d.h. A ist genu dnn whr, wenn A flsch ist und umgekehrt. B A bedeutet lso Wenn B keine whre Aussge ist, dnn knn A uch nicht whr sein. Beispiele zur Negtion: Die Negtion der Aussge Spint ist lecker und gesund lutet Spint ist nicht lecker oder Spint ist nicht gesund. Die Negtion der Aussge Wenn es regnet, ist die Erde nss ist Es regnet und die Erde ist nicht nss. Bechten Sie, dss Wenn es nicht regnet, ist die Erde nicht nss eben nicht die logische Umkehrung der ersten Aussge ist, denn die Erde könnte ohne weiteres nss sein, uch wenn es nicht regnet. Vom Stndpunkt der Aussgenlogik ist die Aussge A B whr, wenn A und B beide whr sind, ber uch dnn, wenn A flsch ist. Dies ist die sogennnte ex-flso-regel, nch der us einer flschen Vorussetzung lles geschlossen werden knn. Es gilt dher A B ist whr, genu dnn wenn ( A oder B) whr ist. Die Negtion von A B ist dher die Aussge A und B. Vorsicht ist uch geboten bei den Quntoren. Die Negtion der Aussge Alle Menschen sind kleiner ls 2,0 Meter lutet ntürlich nicht Alle Menschen sind größer ls 2,0 Meter, sondern Es gibt einen Menschen, der größer ls 2,0 Meter ist. Den Umgng mit Negtionen werden Sie in den Übungen noch üben. Zurück zum indirekten Beweis. Mn nimmt lso zunächst n, dss die Aussge B (die mn j eigentlich beweisen möchte) flsch ist, und zeigt dnn, dss unter dieser Annhme uch A flsch ist. Ähnlich geht mn beim Widerspruchsbeweis vor. Mn nimmt die Negtion der Aussge n, die mn eigentlich beweisen möchte und folgert drus eine Aussge, die dieser Annhme widerspricht. Drus knn mn dnn umgekehrt schließen, dss die Annhme flsch gewesen sein 4

15 Mengen, Abbildungen und Zhlen muss. Beispiel: Es gibt unendlich viele Primzhlen. Euklid ht c. 300 v.chr. einen indirekten Beweis für diese Aussge ngegeben. Er nimmt dzu n, dss die Aussge flsch ist, es lso nur endlich viele Primzhlen gibt. Diese listet er die Primzhlen p, p 2, p 3,..., p n lle uf und bildet drus die Zhl M := p p 2 p 3, p n. Diese Zhl ist ntürlich durch lle Primzhlen teilbr. Andererseits ist M + durch keine der Primzhlen teilbr, denn wenn M + durch irgendeine Primzhl p i teilbr wäre, dnn wäre uch die Differenz M + M = durch p i teilbr. Ds ist ber offenbr flsch, lso muss die Annhme, dss es nur endlich viele Primzhlen gibt ebenflls flsch sein. Beispiel: Es gibt keine rtionle Zhl x Q, für die x 2 = 2 ist. Wir nehmen wieder n, dss x = p/q die Gleichung x 2 = 2 erfüllt, wobei p, q N und der Bruch vollständig gekürzt sein soll. Dnn gilt die Gleichung p 2 = 2q 2 und d die rechte Seite durch zwei teilbr ist, muss uch die linke Seite durch zwei teilbr sein. Dnn ist ber p durch zwei teilbr und wir können p = 2r schreiben. Eingesetzt erhlten wir dnn 2r 2 = q 2. Hier ist nun die linke Seite durch zwei teilbr, die rechte jedoch nicht, d der Bruch p/q vollständig gekürzt wr. Ds knn jedoch nicht sein, d unsere Vorussetzung j gerde wr, dss p/q bereits vollständig gekürzt is. Aus diesem Widerspruch ergibt sich, dss die ursprüngliche Annhme flsch wr, und es kein x Q geben knn mit x 2 = 2. Weiter unten werden wir sehen, dss es eine reelle Zhl x gibt, die die Gleichung x 2 = 2 erfüllt..4 Ntürliche Zhlen Gnz sicher können Sie schon lnge mit ntürlichen Zhlen rechnen. Aber ws sind die ntürlichen Zhlen überhupt? Diese Frge ht Mthemtiker immer wieder beschäftigt. Dieses Kpitel soll Ihnen einen kurzen Einblick geben, ws Mengen, Abbildungen und Zhlen miteinnder zu tun hben. Um 880 ht Dedekind eine mengentheoretische Definition der ntürlichen Zhlen vorgeschlgen, die schließlich 889 von Peno in den folgenden fünf Axiomen für die Menge N formuliert wird:. Es gibt ein usgezeichnetes ( kleinstes ) Element in N. 2. Zu jeder Zhl n gibt es einen Nchfolger ν(n). 3. ist nicht Nchfolger einer ntürlichen Zhl 4. Flls n n 2, dnn unterscheiden sich uch die Nchfolger: ν(n ) ν(n 2 ) 5. Enthält eine Menge M die Zhl und gilt, dss mit n uch ν(n) in M enthlten ist, dnn ist M = N. Axiome sind in der Mthemtik die elementrsten Grundregeln, us denen sich (im Prinzip) lle weiteren Aussgen durch logische Ableitung ergeben. Peno xiomtisiert lso den Begriff des Zählens, uf dem unsere intuitive Vorstellung ntürlicher Zhlen bsiert. Die durch Penos Axiome konstruierte Menge {, ν(), ν(ν()), ν(ν(ν())),...} kennen wir llerdings üblicherweise in der Schreibweise {, 2, 3, 4,...}. 5

16 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I.5 Vollständige Induktion Als zweite wichtige Beweismethode behndeln wir die Vollständige Induktion. Dbei geht es drum zu zeigen, dss eine Aussge A(n), die von einer ntürlichen Zhl n bhängt, für lle n N whr ist. Eine solche von n bhängige Aussge ist beispielsweise oder Die Zhl (2n + ) 2 ist durch 4 teilbr oder n = 2n(n + ) 5 n < n 5. Dbei sind die ersten beiden Aussgen ttsächlich für lle n richtig, während die dritte nur für n = 2, n = 3 und n = 4 whr ist. Nun knn mn ntürlich meist nicht für lle n einzeln usprobieren, ob die Aussge A(n) whr ist. Eine Möglichkeit, die Aussge für lle n streng mthemtisch zu beweisen, besteht drin, sich der Reihe nch von Zhl zu Zhl zu hngeln. Stz.3 [Induktionsprinzip] Sei A(n) eine Aussge über ntürliche Zhlen n N. Flls gilt:. A() ist whr (Induktionsnfng) 2. Wenn A(n) whr ist, dnn ist uch A(n + ) whr (Induktionsschritt), dnn ist die Aussge A(n) für lle n N whr. Beweis: Sei F die Menge der n N, für die A(n) whr ist. Nch dem letzten der Penoschen Axiome ist F = N, d.h. die Aussge ist wirklich für lle ntürlichen Zhlen whr. Beispiel: Für die Summe ungerder Zhlen gilt: (2n ) = n (2j ) = n 2. ( ) Hier sehen Sie gleich eine der m häufigsten vorkommenden mthemtischen Abkürzungen, ds Summenzeichen. Beweis: Induktionsnfng (n=): klr, d links und rechts jeweils nur eine Eins steht. j= 6

17 Mengen, Abbildungen und Zhlen Induktionsschritt (n n+): Wir müssen zeigen, dss die Aussge A(n + ) whr ist, dss lso n (2n ) + (2n + ) = (2j ) = (n + ) 2. Dbei dürfen wir die Aussge A(n) ls whr vorussetzen, d.h. die Gleichung ( ) benutzen. Dmit erhlten wir ber sofort (2n ) + (2n + ) = n 2 + (2n + ) = (n + ) 2. Nch Stz.3 gilt die Behuptung dnn für lle ntürlichen Zhlen n. Beispiel: Geometrische Summenformel Sei q eine reelle Zhl. Dnn ist für n = 0,, 2, 3,... n + q + q 2 + q q n = q k = qn+. ( ) q Beim Induktionsnfng n = 0 ist wieder nichts zu zeigen. Für den Induktionsschritt n n + nehmen wir n, dss die Summenformel ( ) für eine Zhl n gelte und wir sie nun für die Zhl n + beweisen müssen. Dnn ist ber + q + q 2 + q q n }{{} nch Vorussetzung = qn+ q j= +q n+ = qn+ q + q n+ = qn+ + q n+ q n+2 q = q(n+)+. q Also gilt ( ) uch für die Zhl n +. Nch dem Prinzip der Vollständigen Induktion ist die Summenformel dher für lle n N 0 richtig. Beispiel: Die Bernoullische Ungleichung Behuptung: Für jede Zhl h >, h 0 und jede ntürliche Zhl n gilt die Ungleichung ( + h) n + nh. Ds beweisen wir nun mittels Vollständiger Induktion nch n. Induktionsnfng (n=): Für n = herrscht offenbr Gleichheit. Induktionsschritt (n n+): Sei die Ungleichung für ein n bereits bewiesen. Dies ist die Induktionsvorussetzung, die wir benutzen wollen, um die Ungleichung uch für n + zu beweisen. Es ist ( + h) n+ = ( + h) ( + h) n ( + h)( + nh) nch Induktionsvorussetzung = + (n + )h + nh 2 > + (n + )h. 7

18 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Mit Stz.3 folgt nun, dss die Bernoullische Ungleichung für lle n N erfüllt ist. Wir werden sie später bei mehreren Gelegenheiten noch benutzen. Es ist übrigens einfch zu zeigen, dss für n 2 sogr > sttt gilt. Als drittes Beispiel zur vollständigen Induktion zählen wir die Anzhl ller möglichen Teilmengen einer gegebenen endlichen Menge. Definition: Sei A eine Menge. Die Potenzmenge P(A) ist die Menge ller Teilmengen von A, d.h. P(A) := {B; B A}. Stz.4 Sei A eine endliche Menge mit n Elementen. Dnn ht die Potenzmenge P(A) genu 2 n Elemente, d.h. es gibt 2 n verschiedene Teilmengen von A (einschließlich A selbst und der leeren Menge). Beweis: Mittels Vollständiger Induktion nch der Anzhl n der Elemente. Induktionsnfng (n=): Besitzt A genu ein Element, dnn ist Also ht P(A) genu 2 Elemente: P(A) = {, {}}. Induktionsschluss: Sei die Aussge lso für beliebige (n )-elementige Mengen schon bewiesen und besitze A genu n Elemente. Wähle ein Element us A us. Es gibt nun Teilmengen von A, die enthlten und solche, die nicht enthlten. Von beiden Sorten gibt es genu 2 n, d die Anzhl jeweils der Anzhl der Teilmengen von A \ {} entspricht. Insgesmt besitzt A lso 2 2 n = 2 n Teilmengen. Ds Induktionsprinzip knn mn uch umgekehrt nutzen, um einen Ausdruck A(n) für lle ntürlichen Zhlen zu definieren. Bei einer solchen rekursiven Definition legt mn zuerst A() fest und gibt dnn n, wie sich A(n + ) us dem schon vorher definierten Ausdruck A(n) ergibt. Auf diese Weise knn mn beispielsweise Potenzen einer ntürlichen Zhl folgendermßen definieren: Mn beginnt mit 0 := und setzt dnn n+ = n. So ergeben sich der Reihe nch lle Potenzen von us der Multipliktion mit. 8

19 Mengen, Abbildungen und Zhlen Mn knn im Übrigen uch die Multipliktion ntürlicher Zhlen durch eine rekursive Definition uf die Addition zurückführen. Dzu setzt mn für ein festes N zunächst := und dnn rekursiv für n einfch (n + ) := n +. Etws llgemeiner geht es uch: Ansttt lleine us A(n) knn mn A(n + ) mnchml uch mit Hilfe von A(), A(2),..., A(n) definieren. Ds ist im folgenden Beispiel der Fll. Beispiele:. Fibonccis Kninchen In seinem Buch Liber bbci ht Leonrdo von Pis um 220 die Aufgbe behndelt, wie die Anzhl der Kninchen wächst, wenn mn folgende Regeln zugrundelegt: Ein Kninchenpr wirft vom zweiten Mont n ein junges Pr und in jedem weiteren Mont ein weiteres Pr, die Nchkommen verhlten sich ebenso und Kninchen sind unsterblich. Bezeichnet mn mit F n die Anzhl der Kninchenpre im n-ten Mont, dnn ist F = und F 2 =, d ds Kninchenpr im ersten Mont noch keine Jungen bekommt. Dnch ist F 3 = 2 und F 4 = 3, weil ds erste Pr jeweils ein Pr Junge bekommt. Im nächsten Mont bekommt uch ds im dritten Mont geborene Pr Junge, lso ist F 5 = 5, usw. Allgemein überlegt mn sich, dss F n+ = F n + F n, denn die Anzhl der Pre im Mont n + setzt sich zusmmen us den Pren, die im Mont vorher bereits d wren und den neugeborenen Pren. Es werden ber genu so viele Pre neu geboren wie Pre im Mont n vorhnden wren. Mit dieses Rekursionsformel lässt sich nun F n prinzipiell für lle n bestimmen. Die Zhlen F, F 2, F 3,... heißen Fiboncci Zhlen und besitzen viele interessnte Eigenschften, von denen wir in denen Übungen noch einige kennenlernen werden. 2. Ds Summenzeichen müsste mn streng mthemtisch ebenflls rekursiv definieren, und zwr durch j = j= n j = j= n j= j + n. Die Summtion über n Terme führt mn lso zurück uf die Summtion über n Terme. Anlog knn mn übrigens uch Produkte mit mehreren Fktoren drstellen, indem mn definiert: j = j= n j = j= n j= j + n 9

20 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I 3. Eine Folge reeller Zhlen knn mn rekursiv durch x = 5, x n+ = 4x n ( x n ) definieren. Auch wenn ds Bildungsgesetz dieser Folge völlig klr und einfch ist, springen die Folgenglieder chotisch im Intervll zwischen 0 und hin und her. 4. Binomilkoeffizienten Wir bezeichnen mit ( ) n, gesprochen n über k k die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge k, n N 0, 0 k n. Dnn gilt für lle erlubten k, n ( ) n + k ( ) n = k ( ) n + denn: Es reicht ntürlich, ls n-elementige Menge die Menge {, 2,..., n} zu betrchten, d es nur uf die Anzhl von Elementen und nicht uf die Elemente selbst nkommt. Sei B {, 2,..., n + } eine Menge mit genu k Elementen. Dnn gibt es zwei Möglichkeiten: (i) n + / B, ds heißt B {,..., n}. Dfür gibt es genu ( n k) Möglichkeiten. ) n + B, d.h. B \ {n + } enthält noch k Elemente. Dnn gibt es genu ( n k ) Möglichkeiten, diese restlichen k Elemente von B us der verbleibenden Menge {,..., n} zu wählen. D die Fllunterscheidung vollständig ist, ergeben sich insgesmt ( ) ( n k + n k ) Möglichkeiten, B zu wählen. Nch Definition gibt es ber genu ( ) n+ k Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge B us der (n + )-elementigen Menge {...., n + } uszuwählen. Von Pscl stmmt die folgende Drstellung, mit deren Hilfe mn Binomilkoeffizienten rekursiv berechnen knn, wenn mn zunächst nur die Werte ( ( n 0) = und n n) = kennt. Mn benutzt dbei ds Psclsche Dreieck ( 5 0 ( 4 0 k ( ) ( 0 ( ) 0) ( ( 0 2 ) ( 2 ) ) ( 2 ( 0 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ) 0 ( 2 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( ) 4) ( 5 5). ) ( 5. ) ( 5 2. ) ( 5 3. ) ( Nch ( ) ist jeder Eintrg die Summe der links und rechts über ihm stehenden Binomil- 20

21 Mengen, Abbildungen und Zhlen koeffizienten. Mn berechnet dher leicht Im Prinzip knn mn uf diese Weise jeden Binomilkoeffizienten berechnen, es ist nur für große n recht ufwändig. In den Übungen werden Sie dher noch die Drstellung ( ) n n (n )... (n k + ) n! = = k k! k!(n k)! herleiten. Anwendung: In der Elementrteilchenphysik unterscheidet mn Fermionen und Bosonen. Fermionen unterliegen dem Puli-Prinzip, ds besgt, ds keine zwei Teilchen in llen Quntenzhlen übereinstimmen können. Wenn mn sich die möglichen Zustände ls Zellen vorstellt, dnn führt ds uf die Frge, wie mn k nicht unterscheidbre Teilchen uf n ( Zellen so verteilt, dss in jeder Zelle höchstens ein Teilchen enthlten ist. Es gibt genu n ) k verschiedene solche Verteilungen. Berücksichtigt mn noch die Energie der Zustände so erhält mn für große n die Fermi-Dirc-Verteilung. Bosonen müssen ds Puli-Prinzip nicht erfüllen. Hier stellt sich die Frge, uf wie viele Arten k nicht unterscheidbre Teilchen uf n Zellen verteilt werden können, wobei jede Zelle beliebig viele Teilchen ufnehmen knn. Hierfür gibt es genu ( ) n+k k verschiedene Möglichkeiten. Dies führt für große n unter Berücksichtigung der Energie uf die Bose- Einstein-Verteilung. Binomilkoeffizienten bruchen wir uch für die folgende Verllgemeinerung der us der Schule beknnten binomischen Formel : Stz.5 [Binomischer Stz] (x + y) n = n ( ) n x k y n k für n N 0, x, y R. k Beweis: Durch Ausmultiplizieren vernschulicht mn sich dies erstml: zum Beispiel wie in der Schule (x + y) n = (x + y) (x + y)... (x + y) }{{} n Klmmern (x + y) 3 = (x + y) (x + y) (x + y) = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3. 2

22 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Ttsächlich liefert ds sture Ausmultiplizieren zu jeder k-elementigen Teilmenge B von {, 2,..., n} genu einml den Summnden x k y n k. Wir nehmen nämlich us der j-ten Klmmer den Term x, flls j B. Wenn ber j / B, nehmen wir us dieser Klmmer y. Insgesmt tucht lso der Term x k y n k dbei genu ( n k) ml uf, weil es gerde so viele k-elementige Mengen B {...., n} gibt..6 Reelle Zhlen Wir werden in dieser Vorlesung die reellen Zhlen nicht konstruieren, der Weg über die gnzen und rtionlen Zhlen würde zu viel Zeit benötigen. Stttdessen chrkterisieren wir die reellen Zhlen durch ihre Eigenschften, ds sind einerseits die Körper-Axiome, die etws über ds Rechnen mit reellen Zhlen ussgen, sowie die Anordnungsxiome und ds Vollständigkeitsxiom. Lose usgedrückt bedeuten die letzten beiden Dinge, dss wir uns die reellen Zhlen ls Punkte uf einer Gerden vorstellen können, die keine Löcher ht. Wir beginnen mit den Körperxiomen, die qusi die Rechenregeln für Addition und Multipliktion bereitstellen. Definition: Eine Gruppe besteht us einer Menge G und einer Verknüpfung für die folgende Eigenschften gelten: : G G G (, b) b. Die Verknüpfung ist ssozitiv, ds heißt es gilt ( b) c = (b c) für lle, b, c G. 2. Es existiert ein neutrles Element e, ds heißt ein e G so dss e = e = für lle G. 3. Zu jedem Element G existiert ein inverses Element G, so dss = = e für lle G. Eigenschft (i) besgt, dss es nicht druf nkommt, in welcher Reihenfolge wir die Verknüpfung nwenden. Allerdings dürfen wir die Reihenfolge der verknüpften Elemente nicht verändern. Bemerkung: Es knn immer nur ein neutrles Element geben, denn wäre ( indirekter Beweis) ẽ noch ein weiteres neutrles Element mit ẽ e, dnn wäre ẽ = e ẽ = e 22

23 Mengen, Abbildungen und Zhlen wobei wir beim ersten Gleichheitszeichen usgenutzt hben, dss e neutrles Element ist und beim zweiten Gleichheitszeichen, dss ẽ ebenflls ein neutrles Element ist. Anlog gibt es zu jedem Element G uch genu ein inverses Element, denn flls b und b zwei inverse Elemente zu sind, dnn folgt wegen b = b = b = b = e direkt b = b ( b) = ( b ) b = b. Die Gleichung x = b besitzt dher für lle, b G genu eine Lösung x = b. Definition: Eine Gruppe G heißt kommuttiv oder uch belsch, flls zusätzlich ds Kommuttivgesetz b = b für lle, b G erfüllt ist. Beispiele:. Ds beknnteste Beispiel einer kommuttiven Gruppe ist vermutlich die Addition in den gnzen Zhlen Z. Ds neutrle Element ist in diesem Fll die Zhl 0 und ds inverse Element zu einer Zhl m ist die Zhl m. 2. Bechten Sie, dss N 0 mit der Addition keine Gruppe bildet, d zu einer ntürlichen Zhl n N kein inverses Element in N existiert. 3. In der Physik spielen Symmetriegruppen eine wichtige Rolle. Dbei hndelt es sich um eine Menge von Abbildungen mit der Hintereinnderusführung ls Verknüpfung. Beispielsweise bilden lle Kongruenz-Abbildungen der Ebene R 2 in sich, die ein gleichseitiges Dreieck uf sich selbst bbilden, eine Gruppe. Diese Gruppe besteht us sechs Elementen, d die Ecken des Dreiecks uf sechs verschiedene Arten ufeinnder bgebildet werden können. Diese Gruppe ist übrigens nicht kommuttiv, d die Hintereinnderusführung einer Spiegelung und einer Drehung von der Reihenfolge der Abbildungen bhängt. Definition: Ein Körper ist eine Menge K versehen mit zwei Verknüpfungen + ( Addition ) und ( Multipliktion ), so dss die folgenden Eigenschften erfüllt sind:. (K, +) ist eine kommuttive belsche Gruppe mit neutrlem Element 0, 2. (K \ {0}, ) ist eine kommuttive belsche Gruppe mit neutrlem Element 0, 3. es gilt ds Distributivgesetz ( + b) c = c + b c 23

24 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Ds letzte dieser drei Körperxiome drückt us, dss Addition und Multipliktion miteinnder verträglich sind. Ds zu K inverse Element bezüglich der Addition bezeichnen wir mit. Für 0 existiert ein inverses Element bezüglich der Multipliktion, ds wir mit bezeichnen. Es gilt lso ( + b) + c = + (b + c), b, c K + 0 = 0 + = K + ( ) = ( ) + = 0 + b = b +, b K ( b) c = (b c), b, c K = = K = = K \ {0} b = b, b K. Subtrktion und Division werden dnn definiert ls b := + ( b), /b := (b ). Alle weiteren Rechenregeln lssen sich us diesen Grundregeln herleiten. Exemplrisch zeigen wir, wrum 0 x = 0 ergibt: Zunächst ist 0 x = (0 + 0) x wegen der Eigenschft von 0 ls neutrlem Element der Addition. Mit Hilfe des Distributivgesetzes erhält mn drus Die Gleichung 0 x = 0 x + 0 x 0 x = 0 x + y besitzt genu eine Lösung, nämlich y = 0, dher muss uch 0 x = 0 sein. Beispiele: Die Menge R der reellen Zhlen bildet mit der üblichen Addition und Multipliktion einen Körper. Die Menge Q der rtionlen Zhlen bildet mit Addition und Multipliktion ebenflls einen Körper. Einen Körper Z 2, der nur zwei Elemente 0 und enthält, erhält mn, indem mn Addition und Multipliktion folgendermßen definiert: = = + = = 0 0 = 0 = Diese Regeln knn mn sich leicht merken, wenn mn sttt 0 gerde und sttt ungerde einsetzt. Zu zeigen, dss uf diese Weise ttsächlich ein Körper definiert wird, überlsse ich Ihnen ls Übung. 24

25 Mengen, Abbildungen und Zhlen Neben den Rechenregeln besitzen die reellen Zhlen eine weitere Struktur, ihre Anordnung. Sie erlubt uns, verschiedene reelle Zhlen bezüglich ihrer Gr ße zu vergleichen. Ausgngspunkt ist dbei die Null. Wir zeichnen innerhlb der reellen Zhlen die Teilmenge R + der positiven Zhlen us. Wir schreiben x > 0, flls x R + und x < 0, flls x R +. Es gelten dnn die folgenden Regeln: (O ) jede reelle Zhl R erfüllt genu eine der Bedingungen < 0, = 0 oder > 0, (O 2 ) Für beliebige positive Zhlen, b R + ist + b > 0 und b > 0. (O 3 ) Für eine beliebige reelle Zhl R gibt es immer eine ntürliche Zhl n N, so dss n > 0 ist (Archimedisches Axiom). Auch hier knn mn wieder lle beknnten Rechenregeln us diesen drei Grundregeln herleiten. Dzu definiert mn zunächst die folgenden Schreibweisen: > b : b > 0 < b : b > 0 b : > b oder = b b : < b oder = b Stz.6 Für beliebige Zhlen, b, c R gilt: (i) > b und b > c > c (Trnsitivität) (ii) > b + c > b + c (iii) > b und c > 0 c > b c Beweis: (i) Aus b > 0 und b c > 0 folgt nch (O 2 ) ( b) + (b c) > 0 c > 0 > c. (ii) Nch Vorussetzung ist b = b + 0 = b + (c c) = + c b c = ( + c) (b + c) > 0. Also ist + c > b + c. (iii) Es ist b > 0 lso nch (O 2 ) ( b) c > 0 c b c > 0 c > b c. In den Übungen wird gezeigt, dss x x 0 ist für jede reelle Zhl x. Drus folgt sofort, dss = 0 und d 0 vorusgesetzt wr, sogr > 0. Im nächsten Kpitel werden wir die folgende Vrinte des Archimedischen Axioms benötigen: 25

26 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Lemm: Zu jeder positiven, reellen Zhl b > 0 existiert eine ntürliche Zhl n N mit n < b. Beweis: Für eine beliebige positive reelle Zhl b ist uch b positiv, d sonst b 0 und wegen (O 2 ) dnn = b b b 0 = 0. Wir wählen mit Hilfe von (O 3 ) eine ntürliche Zhl n N mit n b > 0. Durch Multipliktion mit den positiven Zhlen b und n folgt drus die gewünschte Ungleichung b n > 0. Definition: Für reelle Zhlen, b R definieren wir verschiedene Arten von Intervllen wie folgt: [, b] := {x R; x b} (bgeschlossenes Intervll) (, b) := {x R; < x < b} (offenes Intervll) [, b) := {x R; x < b} (hlboffenes Intervll) (, b] := {x R; < x b} (hlboffenes Intervll) (, b] := {x R; x b} (, b) := {x R; x < b} [, ) := {x R; x } (, ) := {x R; x > } Auch durch die Anordnung unterscheidet sich R nicht von Q. Dher führen wir noch eine letzte Eigenschft der reellen Zhlen ein, die Vollständigkeit. Sie ist für die Anlysis (und dmit für den Rest dieser Vorlesung) von entscheidender Bedeutung, d sie bei der Grenzwertbildung lufend benutzt wird. Definition: Sei A R eine Menge reeller Zhlen. Dnn heißt C R obere Schrnke für die Menge A, flls C A. Wenn eine solche obere Schrnke existiert, nennt mn die Menge A von oben beschränkt. Flls es unter llen oberen Schrnken für die Menge A eine kleinste obere Schrnke C 0 gibt, dnn nennt mn diese ds Supremum von A: C 0 = sup A. 26

27 Mengen, Abbildungen und Zhlen Beispiel: Die Menge A := { 2, 2 3, 3 4, 4 } { } n 5,... = n + ; n N ist von oben beschränkt, d für jedes Element von A gilt: <. Die Zhl ist sogr die kleinste obere Schrnke. Wir verifizieren, dss eine Zhl s < keine obere Schrnke für A sein knn. Dnn wäre nämlich s > 0 und nch dem Archimedischen Prinzip können wir eine Zhl n finden mit n < s. Dnn ist ber s < n = n n A, d.h. s ist keine obere Schrnke für A. Gnz nlog heißt eine Menge A R von unten beschränkt, flls es eine Zhl c R gibt, so dss c für lle A. Wenn es eine größte untere Schrnke c 0 für A gibt, so nennen wir diese ds Infimum von A, geschrieben c 0 = inf A. Nun sind wir in der Lge, die letzte Eigenschft nzugeben, die die reellen Zhlen uszeichnet, ds Vollständigkeitsxiom Jede von oben beschränkte nichtleere Menge reeller Zhlen besitzt ein Supremum. Beispiel: Existenz der Qudrtwurzel Um zu zeigen, dss es eine positive reelle Zhl w mit der Eigenschft w 2 = 2 gibt, betrchten wir die Menge W := {x R; x > 0 und x 2 < 2}. Diese ist nichtleer, denn W. Die Menge W ist von oben beschränkt, denn für x W gilt sicher x < 2. Ansonsten wäre nämlich ls Konsequenz der Ordnungsxiome x x > 2 x > 2 2 = 4. Nch dem Vollständigkeitsxiom existiert lso w := sup W. Behuptung: w 2 = 2. Den Beweis dieser Behuptung zerlegen wir in zwei Teile:. w 2 2 denn: wäre w 2 > 2, lso w 2 2 > 0, dnn könnte mn sogr die Zhl ls obere Schrnke für W benutzen, denn = w w2 2 2w < w 2 = w 2 (w 2 2) + (w2 2) 2 4w 2 = 2 + (w2 2) 2 4w 2 > 2. Dnn wäre ber w nicht die kleinste obere Schrnke für W Widerspruch. 27

28 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I 2. w 2 2 denn: wäre w 2 < 2, dnn könnte mn eine positive Zhl ε finden, so dss sogr 2 w 2 > ε 2 > 0 wäre. Wir betrchten nun Wenn wir δ > 0 so klein wählen, dss (w + δ) 2 = w 2 + 2δw + δ 2. dnn ist δ < ε 2 und δ < ε2 8w (w + δ) 2 = w 2 + 2δw + δ 2 < w 2 + 2w ε2 8w + ( ε 2 ) 2 < w 2 + ε2 4 + ε2 4 < w2 + ε 2 < 2. Also knn w keine obere Schrnke für die Menge W sein Widerspruch. Beide Ungleichungen zusmmen zeigen, dss w 2 = 2. Wir schreiben wie us der Schule gewohnt w = 2. Bemerkung: Mit ähnlichen Argumenten knn mn zeigen, dss zu jeder positiven reellen Zhl eine positive Qudrtwurzel existiert. Auch die Existenz n-ter Wurzeln, lso von Lösungen der Gleichung x n = für > 0 lässt sich uf diese Weise beweisen. Es lässt sich beweisen, dss die reellen Zhlen durch die Körperxiome, die Anordnungsxiome und ds Vollständigkeitsxiom eindeutig bestimmt sind. Ds bedeutet folgendes: Hätte mn eine weitere Menge S, die ebenflls diese Axiome erfüllt, dnn gäbe es eine bijektive Abbildung zwischen R und dieser Menge S, die mit den Verknüpfungen und der Anordnung verträglich wäre. Außer einer nderen Schreibweise wäre S lso nichts nderes ls die schon beknnten reellen Zhlen..7 Betrg und Dreiecksungleichung Definition: Der Betrg (oder Absolutbetrg) einer reellen Zhl ist definiert ls x := { x flls x < 0 x flls x 0 28

29 Mengen, Abbildungen und Zhlen Stz.7 Für beliebige reelle Zhlen x, y gilt: (i) x 0 und x = 0 genu dnn, wenn x = 0, (ii) x y = x y, (iii) x + y x + y (Dreiecksungleichung), (iv) x y x + y (umgekehrte Dreiecksungleichung, Version ) (v) x y x y (umgekehrte Dreiecksungleichung, Version 2) Beweis: (i) folgt direkt us der Definition des Betrgs, denn wenn x < 0 ist, dnn ist x = x > 0. (ii) ergibt sich us der Unterscheidung der vier möglichen Fälle. (iii)und (iv): Übungsufgbe (v) D x = x y + y x y + y x y x y und folgt y = y x + x y x + x y x y x = x y x y x y. Bemerkung: Die Dreiecksungleichung ist vermutlich ds im weiteren Verluf der Vorlesung m häufigsten gebruchte Hilfsmittel..8 Komplexe Zhlen Eine komplexe Zhl ist ein geordnetes Pr, dessen Einträge us R sind: z C = R 2, z = (x, y) Um mit diesen Pren von Zhlen rechnen zu können, definiert mn:. Addition: z + z = (x + x, y + y ), ds heißt mn ddiert diese Zhlen wie Vektoren im R Multipliktion: z z := (xx yy, xy + x y) Mn knn nun nchprüfen, dss beide Verknüpfungen ssozitiv sind (tun Sie ds für die Multipliktion!) und dss C bezüglich der Addition eine Gruppe mit neutrlem Element (0, 0) bildet. Ds inverse Element zu z = (x, y) ist ntürlich z := ( x, y). 29

30 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Zunächst sieht mn, dss (, 0) ds neutrle Element der Multipliktion ist. Es gibt uch eine Division, zum Beispiel gilt für die Zhl z = ( ) x z := x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ttsächlich z z = z z = (, 0). Wir hben mit C die Ebene R 2 zu einem kommuttiven Körper gemcht, denn (C, +), (C\{0}, ) sind belsche Gruppen und es gilt ds Distributivgesetz: (z + z 2 )z = z z + z 2 z. Mn knn lso Vektoren im R 2 uf eine vernünftige Weise ddieren und multiplizieren. Mit obiger Definition knn mn R ls Teilmenge von C = R 2 uffssen, nämlich indem mn x R mit (x, 0) C = R 2 identifiziert. Dbei reduziert sich die Addition und die seltsme Multipliktion in C uf die gnz gewöhnliche Addition bzw. Multipliktion in R, d.h. uf der x Achse. Die komplexe Zhl i := (0, ) heißt imginäre Einheit. Aus unseren Rechenregeln folgt (0, ) (0, ) = (, 0) =, dher löst z = ±i die Gleichung z 2 =. Wir können dnk unserer Identifiktion von R mit der x-achse in R 2 nun uch jede Zhl z C eindeutig zerlegen in z = (x, y) = x + iy. Anders geschrieben heißt ds für ein z = (x, y) C mit x, y R: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y). Wir nennen x = Re z den Relteil von z und y = Im z den Imginärteil von z. Achtung! Der Imginärteil einer komplexen Zhl ist reell. Zhlen mit Relteil 0 nennt mn rein imginär. Definition: Für z = (x, y) C nennen wir z = (x, y) = x iy komplex konjugiert zu z = (x, y). Der Betrg von z ist z = z z = x 2 + y 2, lso der (euklidische) Abstnd von z zum Ursprung. Bemerkung:. Die Konjugtion einer komplexen Zhl entspricht einer Spiegelung n der x-achse. Dher ist z = z 2. Die Konjugtion lässt sich mit der Addition und der Multipliktion vertuschen: z + z 2 = z + z 2 z z 2 = z z 2 30

31 Mengen, Abbildungen und Zhlen 3. Auch für den komplexen Betrg gilt die Dreiecksungleichung: z + z z + z ( Übungsufgbe!) 4. der Betrg verträgt sich mit der Multipliktion. Es gilt z z 2 = z z 2, denn z z 2 2 = (z z 2 ) (z z 2 ) = (z z 2 ) (z z 2 ) = (z z ) (z 2 z 2 ) = z 2 z 2 2 Bemerkung: Anders ls R knn C nicht so ngeordnet werden, dss die Ordnungsxiome (O ) (O 3 ) gelten. Ds knn mn leicht sehen. Sowohl der Versuch i 0 ls uch i 0 geht schief: Wäre i 0, dnn würde wegen (O 2 ) gelten: = i i 0 Wäre i 0, dnn eben = i i = ( i) ( i) 0 Wir werden sehen, dss C ähnlich wie R keine Löcher besitzt. Um diese Vollständigkeit zu beweisen, führen wir im nächsten Kpitel Folgen ein..9 Abzählbrkeit Definition: Sei B eine Menge. Mn nennt sie. endlich, wenn für ein n N eine Bijektion {,..., n} B existiert. In diesem Fll schreiben wir B = n. (Wenn B =, dnn ist B = 0.) 2. bzählbr, wenn eine Bijektion N B existiert. 3. überbzählbr, wenn B weder endlich noch bzählbr ist. Bemerkung:. Ist eine Menge A bzählbr, dnn enthält sie unendlich viele Elemente, deshlb sgt mn uch bzählbr unendlich. 2. Existiert eine Bijektion zwischen zwei Mengen A und B, dnn nennt mn A und B gleich mächtig. 3

32 J. Härterich: Mthemtik für Physiker I Stz.8 (i) N N = {(p, q); p N, q N} ist bzählbr. (ii) Die Vereinigung von zwei bzählbren Mengen ist ebenflls bzählbr. (iii) Bilder bzählbrer Mengen sind höchstens bzählbr. (iv) Z und Q sind bzählbr. Beweisskizze: (i) Erstes Cntorsches Digonlverfhren Die Pre (p, q) können in der ngegebenen Reihenfolge lle bgezählt werden. (ii) Zähle die Elemente der beiden Mengen einfch bwechselnd b. (iii) Sei B ds Bild einer bzählbren Menge A unter einer Abbildung f. Mn knn sich eine Abzählung von B verschffen, indem mn von einer Abzählung, 2, 3,... der Menge A zu f( ), f( 2 ), f( 3 ),... übergeht. Dies ist im Allgemeinen keine (bijektive) Abzählung der Menge B, d eventuell noch Elemente mehrfch gezählt werden. Lässt mn diese Mehrfchzählungen jedoch weg, kommt mn zu einer echten Abzählung von B. Die Menge B ist dher höchstens bzählbr. (iv) Z ist bzählbr ls Vereinigung Z = N 0 ( N) von zwei bzählbren Mengen, siehe (ii). Q ist bzählbr: α : Z N Q (p, q) p/q lso sind wir fertig wegen (i) und (iii). 32

33 Mengen, Abbildungen und Zhlen Stz.9 Die Menge der reellen Zhlen R ist überbzählbr. Beweis: Zweites Cntorsches Digonlverfhren Cntor ht sich einen indirekten Beweis erdcht, der zeigt, dss die Menge der reellen Zhlen nicht bzählbr sein knn. Dzu nimmt er n, dss es doch eine solche Abzählung der reellen Zhlen im Intervll [0, ) gibt. Jede dieser Zhlen soll dbei ls Dezimlzhl mit i {0,, 2, 3,..., 9} drgestellt sein. Cntor schreibt diese Zhlen untereinnder und möchte nun eine Zhl konstruieren, die in dieser Liste nicht vorkommt. Wie geht ds? Er wählt die erste Nchkommstelle so, dss sie verschieden ist von der ersten Nchkommstelle der ersten Zhl uf der Liste. Die zweite Nchkommstelle wählt er so, dss sie nders ls die zweite Nchkommstelle der zweiten Zhl uf der Liste ist. Bei der dritten Nchkommstelle chtet er druf, dss diese nicht mit der dritten Nchkommstelle der dritten Zhl uf der Liste übereinstimmt und so fort. Auf diese Weise konstruiert er eine reelle Zhl, die in der Liste nicht vorkommt. Also wr die Liste eben doch keine vollständige Abzählung ller reellen Zhlen zwischen 0 und. Aus diesem Widerspruch zu unserer Anfngsnnhme folgt, dss die Menge der reellen Zhlen in [0, ) und dmit uch R selbst nicht bzählbr ist. 33

34 2 Folgen und Reihen In diesem Kpitel legen wir endlich richtig mit der Anlysis los. Definition: Sei X eine Menge. Unter einer Folge in X versteht mn eine Abbildung x : N X n x n, die jeder ntürlichen Zhl n ein Folgenglied x n zuordnet. Wir schreiben die Folge x entweder in der Form (x 0, x, x 2, x 3,...) oder kurz (x n ) n N. Wir nennen n den (Folgen-)Index des Folgenglieds x n. Im folgenden betrchten wir fst immer reelle Folgen (X = R) bzw. komplexe Folgen (X = C). 2. Konvergenz Auf dem Begriff der Konvergenz bsieren viele weitere Eigenschften von Folgen und Funktionen in der Anlysis. Es geht drum zu beschreiben, wie sich Glieder einer Folge schließlich verhlten, wenn mn n immer größer mcht. Definition: Sei (x n ) n N eine Folge reeller bzw. komplexer Zhlen und eine reelle bzw. komplexe Zhl. Dnn konvergiert die Folge (x n ) n N gegen, flls es zu jeder reellen Zhl ε > 0 eine ntürliche Zhl N N gibt, so dss Mn schreibt dnn x n < ε für lle n > N. lim x n n = oder uch x n. n Die Zhl nennt mn den Grenzwert oder Limes der Folge. Eine Folge, die nicht konvergiert, nennt mn divergent. Flls für jede (große) Zhl C > 0 ein Index N N existiert, so dss x n > C für lle n > N dnn sgt mn, die Folge divergiert gegen +. Häufig hben wir es mit Folgen zu tun, die gegen 0 konvergieren. Diese Folgen nennt mn Nullfolgen. 34