Ein Aufschrieb der Vorlesung Analysis I an der Uni Karlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog.

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1 Anlysis I Ein Aufschrieb der Vorlesung Anlysis I n der Uni Krlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog. GeTEXt von Andres Klöckner (k@ixion.net). Für Kommentre und Berichtigungen bin ich jederzeit dnkbr. Neue Versionen gibt es unter Copyright (c) 2000 Andres Klöckner. Permission is grnted to copy, distribute nd/or modify this document under the terms of the GNU Free Documenttion License, Version 1.1 or ny lter version published by the Free Softwre Foundtion; with no Invrint Sections, with the Front-Cover Texts being the first two prgrphs of this title pge, nd with no Bck- Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled GNU Free Documenttion License. L A TEX-Luf m 23. Februr Nch der Klusur -Edition, so wenige Fehler wie noch nie!

2 2 Inhltsverzeichnis 1 Reelle Zhlen 4 2 Ntürliche Zhlen 7 3 Folgen/Abzählbrkeit 8 4 Einige Formeln 9 5 Wurzeln 11 6 Konvergente Folgen 11 7 Wichtige Beispiele 14 8 Teilfolgen und Häufungswerte 15 9 Oberer und unterer Limes Ds Cuchy-Kriterium Unendliche Reihen Konvergenzkriterien für Reihen Umordnung von Reihen Potenzreihen g-dische Entwicklung Grenzwerte bei Funktionen Stetigkeit Eigenschften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und -reihen Gleichmäßige Stetigkeit Differenzierbrkeit 35

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 22 Die Regel von de L Hospitl Ableitungen von Potenzreihen, Sinus, Cosinus Potenzreihen II Höhere Ableitungen Extremwerte Ds Riemnn-Integrl Mehr zu Integrlen Stetige Funktionen und Mittelwertsätze Der Riemnn sche Zugng zum Integrl Der zweite Huptstz der Integrlrechnung Integrtionsregeln Verschiedenes Uneigentliche Integrle Funktionen von beschränkter Vrition Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl 58 A Tricks for kicks 60 B Ds Beste us Übungen und Blättern 62 C GNU Free Documenttion License 67

4 4 1 Reelle Zhlen Definition 1.1 Körper Ein Körper (K; +; ) ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + und, für die die folgenden Axiome gelten: (1) (, b, c K)(( + b) + c = + (b + c)) (Assozitivgesetz +) (2) ( 0 K)( K)( + 0 = ) (Neutrlelement +) (3) ( K)( ( ) K)( + ( ) = 0) (Inverses +) (4) (, b, c, K)( + b = b + ) (Kommuttivgesetz +) (5) (, b, c K)(( b) c = (b c)) (Assozitivgesetz ) (6) ( 1 K \ {0})( K \ {0})(1 = ) (Neutrlelement ) (7) ( K \ {0})( 1 K \ {0})( 1 = 1) (Inverses ) (8) (, b K \ {0})( b = b ) (Kommuttivgesetz ) (9) (, b, c K)( (b + c) = b + c) (Distributivgesetz) Insbesondere ist (R, +, ) ein Körper. Alle beknnten Rechenregeln lssen sich us den obigen Axiomen bleiten. Definition 1.2 Kurzschreibweisen Der Kürze hlber definiert mn folgende Schreibweisen: b := b b := + ( b) b := b 1 (b 0) Definition 1.3 Anordnung Eine Menge M heißt ngeordnet, wenn eine Reltion gegeben ist, die die folgenden Axiome erfüllt: (1) (, b M)( b b ) (2) (, b M)(( b b ) = = b) (3) (, b, c M)(( b b c) = c) (Trnsititivität)

5 1 REELLE ZAHLEN 5 (4) (, b, c M)( b = + c b + c) (5) (, b, c M)(( b 0 c) = c bc) Definition 1.4 Kurzschreibweisen Für die Anordnung definiert mn weiterhin: b : b < b : ( b) b > : < b Es ist einfch zu zeigen, dß sämtliche obigen Axiome uch mit den obigen Kurzschreibweisen gelten. Definition 1.5 Betrg Sei R. Dnn ist der Betrg von : { flls 0 := flls < 0 Hilfsstz Vorussetzung:, b R Es gelten: b = b = 0 = 0 = b = b ± + b + b (Dreiecksungleichung) b b Definition 1.6 Beschränktheit Sei M R, M. Dnn heißt M nch oben unten beschränkt : ( γ R)( x R)(x γ)

6 6 Dnn heißt γ obere untere Schrnke. M heißt beschränkt : M ist nch oben und unten beschränkt. Definition 1.7 Infimum/ Supremum und Minimum/ Mximum γ heißt Supremum Infimum : ( γ R)( γ OS US = γ γ) Kurzschreibweise: γ = sup inf M. Gilt sup inf sup Minimum M M, so nennt mn inf M uch gleichzeitig Mximum von M. Kurzschreibweise: γ = min mx M. Definition 1.8 Intervll Sei, b R, < b. (, b) := {x R < x < b} heißt offenes, (, b] := {x R < x b} und [, b) := {x R x < b} hlboffenes und [, b] := {x R x b} geschlossenes Intervll von bis b. Definition 1.9 Vollständigkeitsxiom Ein Axiom fehlt noch zur Bestimmung der reellen Zhlen, ds Vollständigkeitsxiom: ( M R, M )(M nch oben beschränkt = sup M) Stz 1.1 Vorussetzung: M R, M, M nch unten beschränkt Dnn existiert inf M. Hilfsstz Vorussetzung: M R, M M ist beschränkt : ( c > 0)( x M)( x < c). Stz 1.2 Vorussetzung: B A R) Dnn gilt ds folgende:

7 2 NATÜRLICHE ZAHLEN 7 (1) A ist beschränkt inf A sup A (2) A ist nch oben sup B sup A inf B inf A. unten beschränkt = B ist nch oben unten beschränkt und (3) A ist nch oben obere unten beschränkt und γ eine untere Schrnke von A = γ = sup inf A ( ε > 0)( x A)(x> < γ ε) 2 Ntürliche Zhlen Definition 2.1 Induktionsmenge A R heißt Induktionsmenge/IM/induktiv, wenn die folgenden Axiome gelten: (1) 1 A (2) x A = x + 1 A Definition 2.2 Ntürliche Zhlen Die ntürlichen Zhlen sind wie folgt festgelegt: N := A. AIM Stz 2.1 Dnn gelten (1) N ist eine Induktionsmenge (2) N ist nicht nch oben beschränkt. (3) x R = ( n N)(n > x) (4) A N A Induktionsmenge = A = N (Prinzip der vollst. Induktion) Beweisverfhren der vollständigen Induktion Für jedes N sei eine Aussge A(n) definiert. Sei A := {n N A(n)}. Knn mn zeigen, dß A(1) richtig ist und A(n) = A(n + 1), so ist A Induktionsmenge. Weil A N und A Induktionsmenge ist, gilt A = N. A(n) gilt lso für jedes n N.

8 8 Hilfsstz Wohlordnungsprinzip für die nt. Zhlen Vorussetzung: M N Dnn existiert minm. Definition 2.3 Gnze Zhlen,Brüche Die folgenden Mengen buen uf den ntürlichen Zhlen uf: N 0 := N {0} Z := { n n N} N 0 Q := { p q p Z, q N} Stz 2.2 Vorussetzung: x, y R, x < y Dnn existiert ein r Q mit x < r < y. 3 Folgen/Abzählbrkeit Definition 3.1 In-/Sur-/Bijektivität Seien A, B beliebige Mengen, wobei A B und f : A B eine Funktion. Dnn ist f(a) := {f(x) x A} die Bildmenge von f. f heißt dnn (1) injektiv : f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 (2) surjektiv : f(a) = B (3) bijektiv : f injektiv und surjektiv Definition 3.2 Folge Sei A eine beliebige Menge. Eine Funktion : N A heißt Folge in A. Schreibweise: n := (n) ( n ), ( n ), ( 1, 2,...) := ( n-tes Folgenglied )

9 4 EINIGE FORMELN 9 Definition 3.3 endlich,unendlich,bzählbr Sei X beliebige Menge. (1) X heißt endlich : ( n N)( f : {1,...,n} X)(f surjektiv) (2) X heißt unendlich : X ist nicht endlich. (3) X heißt bzählbr : ( f : N X)(f surjektiv) (4) X heißt bzählbr unendlich : X ist bzählbr und unendlich. (5) X heißt überbzählbr : X ist nicht bzählbr, ber unendlich. N, Z und Q sind bzählbr unendlich. R ist überbzählbr. Die Menge ller Folgen in {0, 1} ist überbzählbr. Stz 3.1 Vorussetzung: B A bzählbr Dnn ist uch B bzählbr. Stz 3.2 Vorussetzung: X 1, X 2, X 3... bz. viele Mengen X n bzählbr n N 4 Einige Formeln Stz 4.1 Summenformel Vorussetzung: n N Dnn gilt n k = k=1 n(n + 1) 2 Definition 4.1 Ntürliche Potenzen Sei R, n N. Dnn ist n := n-ml { }} { und 0 := 1.

10 10 Definition 4.2 Fkultät Sei n N. Dnn ist n! := n und 0! := 1. Definition 4.3 Binomilkoeffizient Sei n N; k N 0 ; k n. Dnn ist ( ) n n! := k k!(n k)! Stz 4.2 Vorussetzung: n N; k N 0 ; k n Dnn gilt ( ) n k ( ) n + = k + 1 ( ) n + 1 k Stz 4.3 Bernoulli sche Ungleichung Vorussetzung: x 1, n N Es gilt (1 + x) n 1 + nx Stz 4.4 Allgemeine 3. binomische Formel Vorussetzung:, b R; n N In Verllgemeinerung von 2 b 2 = ( b)( + b) gilt n n+1 b n+1 = ( b) k b n k Insbesondere = 1, t 1: n t k = 1 tn+1 1 t k=0 k=0 Stz 4.5 Binomilformel Vorussetzung:, b R; n N Es gilt ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k

11 6 KONVERGENTE FOLGEN 11 Hilfsstz Monotonie ntürlicher Potenzen Vorussetzung: x, y 0; n N Dnn gilt x y = x n y n 5 Wurzeln Definition 5.1 Wurzel Sei 0, n N. Dnn ex. ein x R mit x n =. Schreibweise: x = n. Definition 5.2 Rtionle Potenzen Sei 0; r = m n ; m, n N. Dnn ist r = m n := ( n ) m Diese Drstellung ist unbhängig dvon, ob m n gekürzt ist oder nicht. Definition 5.3 Negtive Potenzen Sei > 0; r Q; r < 0. Dnn ist r := 1 r 6 Konvergente Folgen Definition 6.1 Beschränktheit einer Folge ( n ) heißt beschränkt (nch oben/unten): die Bildmenge beschränkt ist (nch oben/unten). Anlog übertrgen sich die Definitionen von min, mx, inf, sup. Definition 6.2 Epsilon-Umgebung Sei x 0 R, ε > 0. Dnn heißt U ε (x 0 ) die ε-umgebung von x 0. U ε (x 0 ) := (x 0 ε; x 0 + ε)

12 12 Definition 6.3 Konvergenz einer Folge Sei ( n ) eine reelle Folge. ( n ) heißt konvergent : ( R)( ε > 0)( n 0 (ε) N)( n n 0 N)( n U ε ()) Ist ( n ) konvergent, so heißt Grenzwert/GW von ( n ). Schreibweise: n für n oder lim n =. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Stz 6.1 Vorussetzung: ( n ) konvergente reelle Folge (1) lim n ist eindeutig bestimmt. (2) ( n ) ist beschränkt. In Konvergenzfrgen kommt es uf endlich viele Folgenglieder nicht n. Beispiel (1) c R = lim c = c 1 (2) lim n = 0 (3) (n) ist divergent. (4) (( 1) n ) ist divergent. 1 (5) lim n = 0 Definition 6.4 Folge (II) Sei k Z fest. Eine Fkt. : {n Z n k} X heißt ebenflls Folge. Schreibweise: ( n ) n k oder ( n ) n k Definition 6.5 für fst lle Sei k, n Z, A(n) eine Aussge für lle n k. Dnn sgt mn: A(n) gilt für fst lle n k : ( n 0 k)( n n 0 )(A(n)gilt).

13 6 KONVERGENTE FOLGEN 13 Stz 6.2 Vorussetzung: ( n ), (b n ), (c n ) reelle Folgen Dnn gilt (1) lim n = = lim n = 0 (2) lim b n = 0 n b n f.f.. n N = (3) lim n = = lim n = ( ) Sei nun lim n =, lim b n = b. Dnn gilt weiter: (1) lim ( n + b n ) = + b (2) α R = lim α n = α (3) lim n b n = b lim n = (4) b 0 = ( n 0 N)( n n 0 )(b n 0, lim n bn = b ) (5) n b n f.f.. n N = b (6) = b n c n b n f.f.. n N = lim c n = Beispiel 1 Sei p N. Dnn ist lim n = 0. p Definition 6.6 Monotonie n sei reelle Folge. (1) ( n ) heißt monoton wchsend : ( n N)( n+1 n ) (2) ( n ) heißt monoton fllend : ( n N)( n+1 n ) (3) ( n ) heißt monoton : ( n ) monoton wchsend fllend (4) ( n ) heißt streng monoton wchsend : ( n N)( n+1 > n ) (5) ( n ) heißt streng monoton fllend : ( n N)( n+1 < n ) Stz 6.3 Monotoniekriterium Vorussetzung: ( n ) sei monoton wchsend sup n Dnn gilt lim n = inf n. fllend und nch oben unten beschränkt

14 14 7 Wichtige Beispiele Stz 7.1 Vorussetzung: p N, ( n ) reelle Folge, ( n N)( n 0), lim n = Es ist lim p n = p. Stz 7.2 Vorussetzung: x R, n N, n := x n (1) x = 0: lim n = 0 (2) x = 1: lim n = 1 (3) x = 1: ( n ) divergent (4) x > 1: ( n ) divergent (5) x < 1: lim n = 0 Stz 7.3 Es ist lim n n = 1. Stz 7.4 Vorussetzung: c > 0 Es ist lim n c = 1. Stz 7.5 Vorussetzung: n = (1 + 1 n )n, b n = n Dnn sind lim n = lim b n = e. Definition 7.1 Eulersche Zhl e k=0 1 k! Mn legt fest e := lim (1 + 1 n )n.

15 9 OBERER UND UNTERER LIMES 15 8 Teilfolgen und Häufungswerte Definition 8.1 Teilfolge Sei ( n ) Folge und ϕ : N N streng monoton wchsend. b n := ϕ(n) heißt dnn Teilfolge von n. Definition 8.2 Häufungswert α R ist Häufungswert/HW von ( n ) : ( ε > 0)( n U ε (α)) gilt für unendlich viele Folgenglieder. Jede reelle Zhl ist Häufungswert der rtionlen Zhlen. Stz 8.1 Vorussetzung: ( n ) reelle Folge (1) α ist HW von ( n ) Teilfolge von ( n ) mit lim nk = α k (2) lim n = = Teilfolgen ( nk ) von ( n ): lim nk = k (3) ( n ) konvergent = ( n ) ht genu einen HW, nämlich den Grenzwert. Stz 8.2 Vorussetzung: ( n ) reelle Folge Es gibt eine monotone Teilfolge von ( n ). Stz 8.3 Stz von Bolzno-Weierstrß Vorussetzung: ( n ) beschränkte reelle Folge ( n ) ht mindestens einen Häufungswert. 9 Oberer und unterer Limes Definition 9.1 Sei ( n ) eine reelle Folge. H( n ) := {α R α ist HW von ( n )}

16 16 Stz 9.1 Vorussetzung: ( n ) beschränkte reelle Folge (1) H( n ) ist beschränkt. (2) suph( n ), inf H( n ) H( n ) min H( n ), mx H( n ). (Wegen Stz 8.3: H( n ) ) Definition 9.2 limsup / liminf Sei ( n ) beschränkte reelle Folge. Dnn heißt (1) limsup n := mx H( n ) (limes superior/oberer Limes) (2) liminf n := minh( n ) (limes inferior/unterer Limes) Stz 9.2 Vorussetzung: ( n ) beschränkte reelle Folge, α R α = liminf n ( ε > 0)(α ε < n ) f.f.. n N ( ε > 0)( n < α + ε) für unendlich viele n N α = limsup n ( ε > 0)(α ε < n ) für unendlich viele n N ( ε > 0)( n < α + ε) f.f.. n N Stz 9.3 Vorussetzung: ( n ) beschränkte reelle Folge, α R Die folgenden drei Aussgen sind äquivlent: (1) liminf n = limsup n (2) ( n ) ht genu einen HW. (3) ( n ) ist konvergent. Hilfsstz Vorussetzung: ( n ), (b n ) beschränkte reelle Folgen

17 11 UNENDLICHE REIHEN 17 (1) n b n f.f.. n N = limsup n lim inf (2) limsup lim inf ( n + b n ) limsup ( n + b n ) liminf (3) α 0 = limsup (4) limsup( n ) = liminf (5) liminf lim sup b n lim inf n + limsup b n n + liminf b n α n = α limsup n n ( n) = limsup n 10 Ds Cuchy-Kriterium Definition 10.1 Cuchy-Folge Eine reelle Folge ( n ) heißt Cuchy-Folge : ( ε > 0)( n 0 = n 0 (ε) N)( n, m n 0 )( n m < ε) Stz 10.1 Cuchy-Kriterium ( n ) ist konvergent ( n ) ist Cuchy-Folge. ( n ) ist Cuchy-Folge ( ε > 0)( n 0 (ε) N)( n n 0 )( k N)( n n+k < ε) 11 Unendliche Reihen Definition 11.1 Reihe Sei ( n ) reelle Folge. Für n N sei s n := n i. Die Folge (s n ) heißt unendliche i=1 Reihe (kurz:reihe) und wird bezeichnet n. (s n ) heißt (n-te) Teilsumme der Reihe. n heißt konvergent divergent : (s n ) ist konvergent divergent.

18 18 Ist Schreibweise: n konvergent, so heißt lim s n der Reihenwert/die Reihensumme. n = lim s n Ist p Z und ( n ) n=p eine reelle Folge, so def. mn entsprechend: s n := n i i=p und. Die folgenden Sätze und Definitionen übertrgen sich entsprechend. n=p Beispiel Geometrische Reihe Für x < 1 ergibt sich x n = 1 1 x Beispiel Hrmonische Reihe Die hrmonische Reihe 1 n divergiert. Q knn von bzählbr vielen Intervllen mit bel. kleiner Längensumme überdeckt werden. Stz 11.1 Vorussetzung: ( n ) reelle Folge (1) n 0 und (s n ) beschränkt = n konv. (Monotoniekriterium) (2) n konv. ( ε > 0)( n 0 = n 0 (ε))( m, n)(m > n = (Cuchykriterium) m k < ε) k=n+1

19 12 KONVERGENZKRITERIEN FÜR REIHEN 19 (3) (4) n konv. = ( ν N)( n konv.). n=ν Weiterhin gilt für ν uch n 0. n konvergiert = n=ν lim n = 0 Stz 11.2 Linerität von Reihen Vorussetzung: n, b n konv. Reihen, α, β R n=2 (α n + βb n ) = α n + β b n ( n + b n ) knn konvergieren, obwohl n und b n divergieren. Definition 11.2 Absolute Konvergenz Eine Reihe heißt bsolut konvergent : n konvergiert. Stz 11.3 Dreiecksungleichung für Reihen Vorussetzung: n bsolut konvergent n konvergiert und es gilt n n 12 Konvergenzkriterien für Reihen Stz 12.1 Leibniz-Kriterium Vorussetzung: ( n ) monoton fllende Nullfolge, b n = ( 1) n+1 n Dnn konvergiert b n.

20 20 Stz 12.2 Mjorntenkriterium Vorussetzung: n b n f.f.. n N und b n konvergent Dnn konv. n bsolut. Hilfsstz Minorntenkriterium Vorussetzung: 0 b n n f.f.. n N und b n divergent Dnn ist n divergent. Beispiel 1 n = π n α konvergiert α > 1. Stz 12.3 Wurzelkriterium Vorussetzung: ( n ) reelle Folge (1) Ist n n unbeschränkt, so div. n. (2) Ist n n beschränkt, so ex. α := limsup (3) α < 1 = n konv. bsolut (4) α = 1 : keine Aussge möglich (5) α > 1 = n divergiert n n. n n < 1 für lle n N genügt im llgemeinen nicht für Konvergenz. Stz 12.4 Quotientenkriterium Vorussetzung: ( n ) reelle Folge mit n 0 f.f.. n N

21 13 UMORDNUNG VON REIHEN 21 (1) (2) (3) n+1 n beschränkt, limsup n+1 n 1 f.f.. n N = n+1 n beschränkt, liminf n+1 n < 1 = n bsolut konv. n divergent n+1 n > 1 = n divergent Ist ( n ) Folge in R \ {0} und lim inf n + 1 n liminf n+1 n beschränkt, so gilt n n n limsup n limsup n + 1 n Liefert ds Quotientenkriterium keine Entscheidung, so brucht mn es mit dem Wurzelkriterium gr nicht erst zu versuchen, d.h. ds Quotientenkriterium ist ds empfindlichere Werkzeug. Beispiel Exponentilfunktion E(x) := x n n! konvergiert für lle x R. (Quotientenkriterium) Es gilt E(0) = 1, E(1) = e. Klmmern in Reihen In konverg. Reihen drf mn im llgemeinen Klmmern nicht weglsssen, ohne die Konvergenz zu beeinflussen. Hinzufügen von Klmmern ist jedoch kein Problem, wie der folgende Stz zeigt: Stz 12.5 Vorussetzung: n konvergent, (n k ) streng wchsende Folge in N Setze b 1 := n1, b 2 = n n2.... Dnn konvergiert b n und es ist b n = n. 13 Umordnung von Reihen Definition 13.1 Umordnung Sei ( n ) reelle Folge und ϕ : N N bijektiv. Setze b n := ϕ(n).

22 22 Dnn heißt (b n ) Umordnung von ( n ) und b n Umordnung von n. Die Reltion ist Umordnung von ist symmetrisch. Hilfsstz Vorussetzung: ϕ : N N bijektiv, n 0 N Dnn existiert ein n 0 N so, dss ( n n 0 )(ϕ(n) n 0 ). Stz 13.1 Umordnungsstz Vorussetzung: (b n ) Umordnung von ( n ) (1) ( n ) konvergiert = (b n ) konvergiert und lim n = lim b n. (2) n konv. bsolut = b n konv. bsolut und n = b n Hilfsstz Riemnn scher Umordnungsstz Vorussetzung: n konvergent, ber nicht bsolut konvergent (1) Es ex. eine divergente Umordnung b n von n. (2) Sei s R. Dnn ex. eine Umordnung c n von n mit c n konv. und c n = s. n konvergiert bsolut Jede Umordnung b n von n konvergiert (gegen n ). Definition 13.2 Produktreihe Seien n, b n bsolut konv. Reihen. Sei Φ : N N N bijektiv und j b k = p Φ(j,k). p n heißt dnn Produktreihe von n, b n.

23 14 POTENZREIHEN 23 Sind p n und p n zwei solche Produktreihen, dnn ist jede Umordnung der nderen. Stz 13.2 Vorussetzung: n, b n bs. konv., p n sei eine ihrer Produktreihen. ( p n konv bsolut und ( ) p n = n) b n Definition 13.3 Cuchyprodukt Seien n, b n bsolut konvergent. Sei weiterhin c n := n k b n k. Dnn heißt c n ds Cuchyprodukt von n und b n. Stz 13.3 Vorussetzung: k=0 n, b n bs. konv., c n sei ihr Cuchyprodukt ( c n konv. bsolut und c n = n)( b n ). Funktionlgleichung der Exponentilfunktion Aus (13.3) ergibt sich die Funktionlgleichung für die Exponentilfunktion: E(x) E(y) = E(x + y) 14 Potenzreihen Definition 14.1 Potenzreihe Sei ( n ) eine reelle Folge. Eine Reihe der Form n x n heißt Potenzreihe/PR. Stz 14.1 Vorussetzung: n x n Potenzreihe

24 24 (1) Ist n n unbeschränkt, so konv. die PR nur für x = 0. (2) Ist n n n beschränkt, so ex. := limsup n : (3) = 0 = PR konv. bs. für lle x R (4) > 0 = PR konv. bs. für lle x < 1 und div. für lle x > 1. Für x = 1 ist keine llgemeine Aussge möglich. Definition 14.2 Konvergenzrdius Sei n x n eine Potenzreihe und wie oben. Dnn heißt 0 n n unbeschränkt r := n n beschränkt und = 0 n n beschränkt und > 0 1 der Konvergenzrdius/KR der PR. Definition 14.3 Konvergenzbereich Sei n x n eine Potenzreihe und r ihr KR. Dnn heißt die Menge K := { x R } n x n konv. der Konvergenzbereich/KB der PR. In Abhängigkeit von r ht der KB folgende Gestlt: {0} flls r = 0 KB = R flls r = ( [ r, r ) flls r (0; ) ] Definition 14.4 Sinus/Cosinus Sinus und Cosinus werden hier über ihre Potenzreihenentwicklung festgelegt: cos : R R cosx := ( 1) n x2n (2n)! sin : R R sinx := ( 1) n x2n+1 (2n + 1)!

25 15 G-ADISCHE ENTWICKLUNG 25 Die beiden Potenzreihen konvergieren bsolut für lle x R. Stz 14.2 Vorussetzung: n x n, b n x n PR mit KRen r 1, r 2 > 0. Sei R := min{r 1, r 2 }, c n := n k b n k. k=0 Dnn ist der Konvergenzrdius von c n x n mindestens R und es gilt ( )( ) c n x n = n x n b n x n Stz 14.3 Vorussetzung: E(x) = x n n! (1) ( x, y R)(E(x)E(y) = E(x + y)) (2) E(0) = 1 E(1) = e (3) ( r Q)(E(r) = e r ) (4) ( x Q)(E( x) = 1 E(x) E(x) > 0) (5) E : R R streng monoton wchsend 15 g-dische Entwicklung Definition 15.1 Guß-Klmmer Sei R. Dnn ex. genu ein k Z mit k k + 1. Dnn ist [] := k die größte gnze Zhl kleiner oder gleich. Konvention für Kpitel 15 0 g N g > 1

26 26 Definition 15.2 g-dische Entwicklung Ist die Zhl R gegeben, so erhält mn die g-dische Entwicklung von durch diese Folge: z 0 := [] [( z n+1 := z 0 z ) ] 1 g zn g n g n+1 Stz 15.1 Vorussetzung: R, (z n ) die g-dische Entwicklung von (1) z 0 + z1 g + + zn g n < z 0 + z1 g + + zn g n + 1 g n (2) ( n N 0 )(z n N 0 ) (3) ( n N 0 )(z n g 1) (4) Die Folge (z n ) ist bei festem eindeutig bestimmt. (5) z n = Definition 15.3 g-dische Schreibweise Seien R, (z n ) die g-dische Entwicklung von. Dnn schreibt mn = z 0, z 1 z 2 z 3... Stz 15.2 Vorussetzung: R, (z n ) die g-dische Entwicklung von (z n ) = g 1 f.f.. n N ist nicht möglich. Stz 15.3 R ist überbzählbr.

27 16 GRENZWERTE BEI FUNKTIONEN Grenzwerte bei Funktionen Definition 16.1 Häufungspunkt Sei D R und x 0 R. Dnn heißt x 0 Häufungspunkt/HP von D : ( ε > 0)(D U ε (x 0 ) \ {x 0 } ) Endliche Mengen hben keinen Häufungspunkt. Hilfsstz Vorussetzung: D R, x 0 R x 0 ist HP von D Es ex. eine Folge (x n ) in D \ {x 0 } mit lim x n = x 0. Konvention für Kpitel 16 D R, x 0 Häufungspunkt von D. Definition 16.2 Grenzwert einer Funktion Sei f : D R eine Funktion und R. Dnn heißt der Grenzwert von f : ( (x n ) in D \ {x 0 })( lim x n = x 0 = Schreibweise: x x0 lim = oder f(x) x x0. lim f(x n ) = ) Flls x 0 D, so ist der Funktionswert n dieser Stelle nicht relevnt. Für Existenz und Größe von x x0 lim f(x) ist nur ds Verhlten von f in der Nähe von x 0 relevnt. Definition 16.3 Einseitige Grenzwerte Mn legt fest lim x x 0 + lim x x 0 f(x) := lim f(x) x x 0 x>x 0 f(x) := lim f(x) x x 0 x<x 0

28 28 Stz 16.1 Epsilon-Delt-Chrkterisierung des Grenzwert Vorussetzung: f : D R, R Es ist lim x x0 f(x) = ( ε > 0)( δ = δ(ε))( x D \ {x 0 })( x x 0 < δ = f(x) < ε) Stz 16.2 Folgen-Chrkterisierung des Grenzwerts Vorussetzung: f : D R Der Grenzwert lim x x0 f(x) existiert ( (x n ) in D \ {x 0 })( lim x n = x 0 = (f(x n )) konvergiert) Stz 16.3 Vorussetzung: f, g, h : D R, := lim x x0 f(x), b := lim x x0 g(x) Für x x 0 : (1) f(x) + g(x) + b, f(x) g(x) b, f(x) (2) ( δ > 0)( x D U δ (x 0 ) \ {x 0 })(f(x) g(x)) = b (3) ( δ > 0)( x D U δ (x 0 )\{x 0 })(f(x) h(x) g(x)), = b = h(x) (4) b 0 = ( δ > 0)( x D U δ (x 0 ) \ {x 0 })( g(x) > b f(x) 2 ) = g(x) b Definition 16.4 Sei (x n ) reelle Folge. Dnn sgt mn x n : ( c R)( n 0 N)( n n 0 )(x n > c) x n : ( c R)( n 0 N)( n n 0 )(x n < c) Definition 16.5 Sei D R : f : D R. Dnn ist limf(x) = ± : ( (x n ) in D \ {x 0 })( lim x n = x 0 = lim f(x n ) = ± )

29 17 STETIGKEIT 29 Definition 16.6 D R sei nicht nch oben unten beschränkt, f : D R. Dnn ist lim f(x)= : x ± ( (x n ) in D)( lim x n = ± = ( = ± zugelssen) Beispiel lim f(x n ) = ) Es gilt x lim E(x) = und lim E(x) = 0. x 17 Stetigkeit Definition 17.1 Stetigkeit Sei D R, f : D R. f heißt stetig in x 0 D : ( (x n ) in D)( lim x n = x 0 = lim f(x n ) = f(x 0 )) Schreibweise: f C(D), wobei C(D) := {f : D R f ist uf D stetig} Stz 17.1 Epsilon-Delt-Chrkterisierung der Stetigkeit Vorussetzung: D R, f : D R, x 0 D (1) f stetig in x 0 ( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x D) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε) (2) x 0 HP von D = f ist stetig in x 0 lim x x0 f(x) = f(x 0 ) Stz 17.2 Vorussetzung: f, g : D R, f, g seien stetig in x 0 D. Dnn sind uch f + g, f g, f stetig. Ist D = {x D g(x) 0}, x 0 D, so ist f g uch stetig in x 0. Somit ist C(D) ein Vektorrum. Stz 17.3 Vorussetzung: f : D R sei stetig in x 0, g : E R, wobei f(d) E, g stetig in f(x 0 ) Dnn ist f g stetig in x 0.

30 30 Stz 17.4 Potenzreihen mit Konvergenzrdius r > 0 sind stetig. E(x), sinx, cosx sind stetig uf R. 18 Eigenschften stetiger Funktionen Stz 18.1 Zwischenwertstz Vorussetzung: f C([; b]) und f() y 0 f(b) oder f() y 0 f(b) Dnn existiert ein x 0 [; b] mit f(x 0 ) = y 0 ). Stz 18.2 Nullstellenstz von Bolzno Vorussetzung: f C([; b]) und f() < 0 < f(b) Dnn existiert ein x 0 (; b) mit f(x 0 ) = 0. E(R) = (0; ) Definition 18.1 bgeschlossen/offen D R heißt bgeschlossen : ( (x n ) in D)( lim x n D) D R heißt offen : R \ D ist bgeschlossen. R ist offen und bgeschlossen, [, b) ist weder offen noch bgeschlossen. Ds bedeutet, offen und bgeschlossen sind bei Mengen keine Gegensätze, während dies im llgemeinen z.b. bei Türen der Fll ist. :-) Hilfsstz D ist bgeschlossen Jeder HP von D D D ist offen ( x D)( δ > 0)(U δ (x) D)

31 18 EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN 31 Hilfsstz Vorussetzung: D R bgeschlossen und beschränkt, (x n ) sei Folge in D (x n ) enthält konvergente TF in D. ( D ist folgenkompkt. ) Definition 18.2 Beschränktheit einer Funktion f : D R heißt beschränkt, flls f(d) beschränkt ist. Stz 18.3 Vorussetzung: D R, D bgeschlossen, beschränkt. f C(D) Dnn existieren x 1, x 2 D so, dss ( x D)(f(x 1 ) f(x) f(x 2 )), d.h.: f ist beschränkt und f(d) besitzt Minimum und Mximum. Sei I R ein Intervll und f : I R sei streng mon. wchsend fllend und f 1 : f(i) I. f streng mon. wchsend fllend f 1 streng mon. wchsend fllend = f injektiv Stz 18.4 Vorussetzung: Sei I ein Intervll, f C(I) f(i) ist Intervll Hilfsstz Vorussetzung: f C([; b]), A := min f([; b]), B := mxf([; b]) Dnn ist f([; b]) = [A; B]. Stz 18.5 Vorussetzung: I Intervll,f C(I) streng monoton f 1 C(f(I)) Definition 18.3 Logrithmus Auf log : (0; ) R wird der Logrithmus log x folgendermßen definiert: log x := E 1 (x). Eigenschften von log

32 32 (1) log ist uf (0; ) streng monoton wchsend und stetig. (2) log 1 = 0, log e = 1, lim log x =, lim x 0+ x log x =. (3) log(x y) = log x + log y (4) log( x y ) = log x log y Definition 18.4 Allgemeine Potenz Sei > 0, x R. Speziell für = e: e x := E(xlog e) = E(x) Dnn ist x := E(xlog ) = e x log Eigenschften der llgemeinen Potenz (1) x x stetig (2) x > 0 (3) x+y = x y (4) x = 1 x (5) ( x ) y = x y 19 Funktionenfolgen und -reihen Konvention für Kpitel 19 Sei D R und (f n ) eine Folge von Funktionen. f n : D R, n N, s n := n f k. k=1 f n bezeichnet die Funktionenfolge (s n ). Definition 19.1 Punktweise Konvergenz Die Funktionenfolge (f n ), f n heißt punktweise/pw konvergent : lim f n(x)/ f n (x)ex. für lle x D

33 19 FUNKTIONENFOLGEN UND -REIHEN 33 Dnn heißt f(x) := lim f n (x) bzw. s(x) := f n (x) die Grenz- bzw. Summenfunktion von (f n )/ f n. Punktweise Konvergenz in Quntorenschreibweise: ( x D)( ε > 0)( n 0 = n 0 (x, ε))( n n 0 ) ( fn(x) f(x) <ε) ( s n(x) s(x) <ε) Definition 19.2 Gleichmäßige Konvergenz (f n ) bzw. f n heißt gleichmäßig/glm konvergent : Es ex. ein f : D R bzw. s : D R mit: ( ε > 0)( n 0 = n 0 (ε))( n n 0 )( x D) ( fn(x) f(x) <ε) ( s n(x) s(x) <ε) (f n ) konv. glm gegen f = (f n ) konv. pw gegen f. (nlog für (s n )) Stz 19.1 Vorussetzung: (f n ) Funktionenfolge und f : D R eine Fkt. Genu dnn, wenn eine Nullfolge (α n ) und ein n N mit ( n n 0 )( x D)( f n (x) f(x) < α n ) existieren, konvergiert (f n ) glm gegen f. Stz 19.2 Mjorntenkriterium von Weierstrß Vorussetzung: (f n ) Funktionenfolge und f : D R eine Fkt. Existiert eine Folge (c n ) und ein n 0 N mit ( n n 0 )( x D)( f n (x) c n ) und ist c n konvergent, so konv. f n glm uf D. Potenzreihen konvergieren im llgemeinen nicht glm uf ihrem Konvergenzbereich, jedoch konvergieren sie gleichmäßig uf einem bgeschlossenen Intervll, ds Teilmenge ihres Konvergenzbereiches ist:

34 34 Stz 19.3 Vorussetzung: n x n Potenzreihe, D ihr Konvergenzbereich, [; b] D n x n konvergiert glm uf [; b]. Stz 19.4 Vorussetzung: (f n )/ f n glm gegen f : D R konvergente Funktionenfolge Dnn gilt: (1) ( n N)(f n ist stetig in x 0 ) = f ist stetig in x 0 (2) ( n N)(f n C(D)) = f C(D) Ist (f n ) pw konvergent uf D gegen f : D R, so gilt: f n C(D), ber f C(D) = (f n ) konvergiert nicht glm. Ist (f n )/ f n eine glm gegen f : D R konvergente Funktionenfolge, sind lle (f n ) in x 0 D stetig und ist x 0 HP von D, so gilt: ( ) lim lim f x x 0 n(x) = lim x x0 f(x) = f(x 0 ) = lim f n (x 0 ) = lim ( ) lim f x x n (x) 0 Stz 19.5 Identitätsstz Vorussetzung: f(x) = n x n, g(x) = b n x n PRen mit KRen r 1, r 2 > 0 Sei R := min{r 1, r 2 }. Sei (x k ) eine Folge in ( R, R) \ {0} mit lim x k = 0. k Dnn gilt ( k N)(f(x k ) = g(x k )) = ( n N 0 )( n = b n ) 20 Gleichmäßige Stetigkeit Konvention für Kpitel 20 D R f : D R

35 21 DIFFERENZIERBARKEIT 35 Es ist f C(D) ( x D)( ε > 0)( δ(ε, x ))( x D)( x x < δ = f(x) f(x ) < ε) Definition 20.1 Gleichmäßige Stetigkeit f : D R heißt gleichmäßig stetig/glm stetig : ( ε > 0)( δ(ε))( x, x D)( x x < δ = f(x) f(x ) < ε) f ist glm stetig uf D = f C(D) Stz 20.1 Vorussetzung: D beschränkt und bgeschlossen, f C(D) f ist glm stetig Definition 20.2 Lipschitz-Stetigkeit f : D R heißt Lipschitz-stetig : ( L > 0)( x, x D)( f(x) f(x ) < L(x y)) f ist Lipschitz-stetig uf D = f ist glm stetig uf D 21 Differenzierbrkeit Konvention für Kpitel 21 I R Intervll Definition 21.1 Differenzierbrkeit f : I R heißt in x 0 differenzierbr/db : f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h

36 36 existiert. Definition 21.2 Ableitung Ist f db, so heißt f (x) := lim x x0 f(x) f(x 0) x x 0 die (erste) Ableitung von f in x 0. Ist f in jedem x I db, so heißt f db uf I. In diesem Fll wird durch f : I R eine Funktion definiert. Diese Funktion heißt die (erste) Ableitung von f. Stz 21.1 Vorussetzung: f : I R db in x 0 I Dnn ist f stetig in x 0. Beispiel Seien c, x R, n N. Dnn gilt (c) = 0 (x n ) = nx n 1 (e x ) = e x Stz 21.2 Vorussetzung: f, g : I R, beide db in x 0 I Sei f := f(x 0 ) g := g(x 0 ), f := f (x 0 ) g := g (x 0 ). Dnn gelten: (1) ( α, β R)((αf + βg) = αf + βg ) (2) (f g) = fg + f g (3) ( f g ) = f g fg g 2 Stz 21.3 Kettenregel Vorussetzung: I, J Intervlle, g : I R sei db in x 0 I, g(i) J, f : J R sei db in y 0 := g(x 0 ) Dnn gilt (f g) = f (g(x)) g (x) Beispiel Seien, x R. Dnn gilt ( x ) = log x

37 21 DIFFERENZIERBARKEIT 37 Stz 21.4 Vorussetzung: I Intervll, f C(I) streng monoton, in x 0 db, f (x 0 ) 0 Dnn ist f 1 : f(i) R db in y 0 := f(x 0 ) und es gilt (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) Beispiel Seien x, α R, y > 0. Dnn gilt (log x) = 1 x (x α ) = αx α 1 Definition 21.3 Innerer Punkt Sei M R. x 0 M heißt innerer Punkt von M : ( δ > 0)(U δ (x 0 ) M) Mn beobchtet (1) M R ist offen ( x M)(x ist innerer Punkt) (2) Q ht keine inneren Punkte. Definition 21.4 Reltives Extremum Sei D R. f : D R ht in x 0 D ein reltives Minimum Mximum : ( δ > 0)( x D U δ (x 0 ))( f(x) f(x0) f(x) f(x 0) ) Reltives Extremum := reltives Mximum oder Minimum. Stz 21.5 Vorussetzung: I R Intervll, f : I R in x 0 db, x 0 rel. Extremum von f, x 0 innerer Punkt von I Dnn gilt notwendigerweise f (x) = 0.

38 38 Stz 21.6 Mittelwertstz der Differentilrechnung Vorussetzung: f C([, b]) db uf [, b] Dnn gilt ( ξ (; b))(f (ξ) = f(b) f() ) b Hilfsstz Stz von Rolle Vorussetzung: f C([, b]) db uf [, b],f() = f(b) Dnn gilt ( z [, b])(f (z) = 0) Stz 21.7 Vorussetzung: f C([, b]) db uf [, b], I R Intervll Folgende Monotonieeigenschften knn mn n der Ableitung blesen: (1) ( x I)(f (x) = 0) f ist konstnt uf I (2) ( x I)(f (x) > 0) = f ist streng monoton wchsend uf I (3) ( x I)(f (x) < 0) = f ist streng monoton fllend uf I (4) ( x I)(f (x) 0) f ist monoton wchsend uf I (5) ( x I)(f (x) 0) f ist monoton fllend uf I (6) ( x I)(f (x) = g (x)) ( c R)(f = g + c) Stz 21.8 Verllgemeinerter Mittelwertstz Vorussetzung: f, g C([, b]) db uf (; b) und ( x (; b))(g (x) 0) Dnn ist g() g(b) und es gilt ( f(b) f() ( z (; b)) g(b) g() = f ) (z) g (z)

39 23 ABLEITUNGEN VON POTENZREIHEN, SINUS, COSINUS Die Regel von de L Hospitl Stz 22.1 Vorussetzung: f, g : (; b) R diffbr uf (; b) (, b = ± zugelssen), g (x) 0 Ist (I) lim f(x) = lim g(x) = 0 oder (II) lim g(x) = ± und existiert x x b x b b f (x) L := lim x b g (x) (dbei ist L = ± zugelssen), so gilt: f(x) lim x b g(x) = L 23 Ableitungen von Potenzreihen, Sinus, Cosinus Stz 23.1 Ableiten einer Potenzreihe Es gilt ( ) n x n = ( n x n ) = n n x n 1 Die beiden PR hben den gleichen KR. (Wichtig: ( 0 x 0 ) = 0!) Beispiel Sei x R. Dnn gilt (sin x) = cosx (cos x) = sinx Stz 23.2 Stz des Pythgors Vorussetzung: x R Es gilt sin 2 x + cos 2 x = 1 Dher uch insbesondere sin x 1 und cosx 1

40 40 Stz 23.3 Vorussetzung: x R Dnn ist sin x x. Stz 23.4 Vorussetzung: x (0; 2) Dnn ist sinx > x x3 3!. Stz 23.5 Additionstheoreme Vorussetzung: x, y R Es gilt: sin(x + y) = sin xcos y + cosxsin y cos(x + y) = cosxcos y sin xsin y Definition 23.1 Pi Ein für lleml: π := 2 die erste Nullstelle der cos-funktion = 3, Stz 23.6 Vorussetzung: x R (1) cos π 2 = 0 und sin π 2 = 1 (2) sin( x) = sinx und cos( x) = cosx (3) sin(x + π 2 ) = cosx und cos(x π 2 ) = sinx (4) sin(x + π) = sinx und cos(x + π) = cosx (5) sin(x + 2π) = sin x und cos(x + 2π) = cosx Stz 23.7 cosx ht in [0;π] genu eine Nullstelle, nämlich π 2.

41 24 POTENZREIHEN II 41 Stz 23.8 Vorussetzung: x R Dnn gelten sin x = 0 ( k Z)(x = kπ) cosx = 0 ( k Z)(x = π 2 + kπ) 24 Potenzreihen II Definition 24.1 Allgemeine Potenzreihe Eine Reihe der Gestlt n (x x 0 ) n heißt Potenzreihe/PR mit Entwicklungspunkt x 0. und -bereich von n x n und n (x x 0 ) n stimmen bis uf Verschiebung um x 0 in positiver Richtung überein. Alle bisherigen Sätze über Potenzreihen lssen sich uf die llg. PR übertrgen. Definition 24.2 Drstellung durch PR Sei I R ein beliebiges Intervll, f : I R eine Funktion und x 1 I. f wird in einer Umgebung von x 1 durch eine PR drgestellt : ( δ > 0)( n (x x 1 ) n mit KR r > δ ) ( x I U δ (x 1 ))(f(x) = n (x x 1 ) n ) Hilfsstz Vorussetzung: f(x) := n (x x 0 ) n Potenzreihe mit KR r > 0, I = (x 0 r; x 0 + r), x 1 I Dnn sei δ := r x 1 x 0 und J := (x 1 δ; x 1 + δ). Dnn gilt: Es ex. eine PR b n (x x 1 ) n mit KR r > δ und ( x J)(f(x) = b n (x x 1 ) n )

42 42 25 Höhere Ableitungen Definition 25.1 Zweite, n-te Ableitung Sei I R und f : I R db uf I. f heißt in x 0 I zweiml db : f db in x 0. In diesem Fll heißt f (x 0 ) := (f ) (x 0 ) die zweite Ableitung von f(x 0 ). Die Definition lässt sich nlog uf Intervlle und höhere Ableitungen übertrgen: f = f (0),..., f, f (4), f (5),..., f (n) Definition 25.2 Stetige Differenzierbrkeit f heißt stetig db : f existiert und ist stetig. Bezeichnung: f C n (I). Dbei ist C 0 (I) = C(I), C (I) := f differenzierbr = f C 1 n N 0 C n (I). Betrchte hierzu z.b. ( ) 1 f(x) := x 2 sin x I R Intervll, f : I R Funktion, x 0 innerer Pkt. von I. Weiterhin: f lsse sich in einer Umgebung von x 0 ls PR drstellen: Dnn gilt: ( δ > 0)( n (x x 0 ) n mit KR r δ ) (1) f C (U δ (x 0 )) (2) f(x) = (U δ (x 0 ) I ( x U δ (x 0 ))(f(x) = f (n) (x 0) n! (x x 0 ) n n (x x 0 ) n )) Definition 25.3 Tylorreihe Sei ε > 0, f C (U ε (x 0 )). Dnn heißt die PR f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n!

43 25 HÖHERE ABLEITUNGEN 43 die zu f gehörige Tylorreihe. Im Allgemeinen ist die Tylorreihe keine Drstellung für die Funktion f. Beispiel: {e 1 x f(x) = 2 für x 0 0 für x = 0 Stz 25.1 Stz von Tylor Vorussetzung: I R,n N 0,f C n (I),f (n+1) ex. uf I Seien, b I, b. Dnn existiert ξ (min{, b}, mx{, b}) mit f(b) = n k=0 f (k) () k! (b ) k + f(n+1) (ξ) (b )n+1 (n + 1)! Für n = 0 ist der Stz von Tylor äquivlent zum Mittelwertstz. Ds vom Stz von Tylor versprochene ξ ist von, b und n bhängig. Mit dem Stz von Tylor läßt sich u.. zeigen, dß e Q oder log 2. Definition 25.4 Tylorpolynom ( 1) n+1 n = Sei I R Intervll, f C n (I),n N 0,x 0 I. Dnn heißt T n (x; x 0 ) := n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! ds n-te Tylorpolynom von f in x 0. Eigenschften des Tylorpolynoms Mn beobchtet (1) T n (x; x 0 ) ist Polynom vom Grd n.

44 44 (2) T n (k) (x 0 ; x 0 ) = f (k) (x 0 ) für lle k {0,...,n} (3) Die beiden obigen Eigenschften bestimmen ds Tylorpolynom eindeutig. Andere Formulierung des Stzes von Tylor Es existiere f (n+1) uf I. Dnn gilt: ( n N 0 )( ξ(x, n) (min{x, x 0 }, mx{x, x 0 })) (f(x) = T n (x; x 0 ) + f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 ) Hilfsstz Ist f C (I), so sind die folgenden Aussgen äquivlent: (1) f läßt sich in einer Umgebung U δ (x 0 ) ls Potenzreihe drstellen. (2) ( x U δ (x 0 ))( lim T n (x; x 0 ) = f(x)) (3) ( x U δ (x 0 ))( lim f (n+1) (x) n! (x x 0 ) n+1 = 0) Stz 25.2 Vorussetzung: I = (; b) mit, b = ± zugelssen, f C (I), x 0 I Existiert ein c > 0 mit ( x I)( n N 0 )( f (n) (x) n! cn ) so gilt ( x (x 0 1 c ; x 0 1 c ))(f(x) = f (n) (x) (x x 0 ) n ) n! 26 Extremwerte Stz 26.1 Vorussetzung: I R Intervll, n 2, f C n (I), x 0 innerer Punkt von I Gilt f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 und f (n) (x 0 ) 0, so läßt sich über f folgendes ussgen: (1) Ist n ungerde, so ht f in x 0 kein lok. Extremum. (2) Ist n gerde und f (n) (x 0 ) <0 >0, so ht f in x 0 ein lokles Mximum Minimum

45 27 DAS RIEMANN-INTEGRAL Ds Riemnn-Integrl Konvention für Kpitel 27 In diesem Kpitel sei stets < b, f : [, b] R beschränkt. Setze überdies m := inf f([, b]), M := supf([, b]). Definition 27.1 Zerlegung Eine Menge z = { = x 0, x 1,...,x n = b} heißt Zerlegung von [, b] : = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, n 1. Konvention für Kpitel 27 Sei z eine Zerlegung von [, b] Dnn sei für j = 1...n I j := [x j 1, x j ], I j = x j x j 1 m j := inf I j, M j := supi j n s f (z) := m j I j s f (z) := j=1 n M j I j j=1 Dbei heißen heißt s f (z) Untersumme und s f (z) Obersumme für f und z. Verschiedene Abschätzungen Es gilt m m j M j M, m I j m j I j M j I j M I j n I j = b j=1 m(b ) s f (z) s f (z) M(b ) für lle Zerlegungen z von [, b]. Stz 27.1 Vorussetzung: z 1, z 2 Zerlegungen von [, b] (1) z 1 z 2 = s f (z 1 ) s f (z 2 ) und s f (z 2 ) s f (z 1 ) (2) s f (z 1 ) s f (z 2 )

46 46 Definition 27.2 Oberes/unteres Integrl Für eine Funktion f mit den obigen Eigenschften definiert mn: f(x)dx := sup{s f (z) z Zerlegung von [, b]} f(x)dx := inf{s f (z) z Zerlegung von [, b]} Eine Abschätzung Es gilt m b f(x)dx f(x)dx M(b ) Definition 27.3 Riemnn-Integrl f heißt Riemnn-integrierbr (ib) über [, b] : f(x)dx := f(x)dx = f(x)dx Dieser Ausdruck heißt dnn ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. Die Menge R([, b]) ist dnn die Menge ller uf dem Intervll [, b] ib en Funktionen. Stz 27.2 Vorussetzung: f, g : [, b] R seien beschr. Dnn gelten (1) f g uf [, b] = (2) Sei α 0. Dnn gilt: f(x)dx αf(x)dx = α b g(x)dx und f(x)dx und b f(x)dx g(x)dx. αf(x)dx = α b f(x)dx. (3) f(x)dx = f(x)dx und f(x)dx = f(x)dx.

47 27 DAS RIEMANN-INTEGRAL 47 (4) f(x) + g(x)dx g(x)dx. f(x)dx + g(x)dx f(x) + g(x)dx f(x)dx + (5) R([, b]) ist R-Vektorrum und f f(x)dx ist liner. Stz 27.3 Riemnn sches Integrbilitätskriterium Es gilt f R([, b]) ( ε > 0)( z(, b) Zerlegung)(s f (z) s f (z) < ε) Stz 27.4 Vorussetzung: f : [, b] R monoton Dnn ist f R([, b]) Definition 27.4 Stmmfunktion Sei I R Intervll, G, g : I R Funktionen. Dnn heißt G Stmmfunktion/SF von g uf I : G ist uf I db und G = g. Sind G, H Stmmfunktionen von g uf I, so folgt ( c R)(G = H + c) Stz Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Vorussetzung: Sei f R([, b]) und F C([, b]) eine SF von f uf (, b) Dnn gilt f(x)dx = F(b) F() =: [F] b Mn beobchtet Es gibt Funktionen, die eine Stmmfunktion besitzen, ber nicht integrierbr sind.

48 48 Eine integrierbre Funktion muß keine Stmmfunktion besitzen. Stz 27.6 Vorussetzung: f n Funktionenfolge in R([, b]), f n / f n glm konv. uf [, b] gegen f/s : [, b] R Dnn ist f, s R([, b]) und lim f n (x)dx = f n (x)dx = f(x)dx f n (x)dx 28 Mehr zu Integrlen Stz 28.1 Vorussetzung: f R([, b]), D := f([, b]) und h : D R Lipschitz-stetig Dnn ist h f R([, b]). Folgerung: f R([, b]) = f 2 = f f R([, b]) Stz 28.2 Vorussetzung: f, g R([, b]) Dnn gilt uch (1) f R([, b]) und f(x)dx f(x) dx (2) f g R([, b]) (3) ( δ > 0)( x [, b])(g(x) δ) = f g R([, b])

49 29 STETIGE FUNKTIONEN UND MITTELWERTSÄTZE Stetige Funktionen und Mittelwertsätze Stz 29.1 C([, b]) R([, b]) Stz 29.2 Vorussetzung: f : [, b] R beschränkt, c (; b) Dnn ist und es gilt f R([, b]) f R([; c]) R([c; b]) f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx Stz 29.3 Vorussetzung: f : [, b] R beschränkt, M := {x [, b] f ist unstetig in x} Ist M endlich, so ist f R([, b]). Stz 29.4 Vorussetzung: f R([, b]), g : [, b] R (1) Ist M := {x [, b] f(x) g(x)} endlich, so gilt g R([, b]) und f(x)dx = g(x)dx. (2) f = g uf (; b) = g R([, b]) und b f(x)dx = b g(x)dx Stz 29.5 Erster und erweiterter Mittelwertstz der Integrlrechnung Vorussetzung: f, g R[, b], g 0 uf [, b], m := inf f([, b]), M := sup f([, b]) (1) ( µ [m, M])( f(x)dx = µ(b )) Außerdem f C([, b]) = ( ξ [, b])(µ = f(ξ))

50 50 (2) ( µ [m, M])( f(x)g(x)dx = µ g(x)dx) Außerdem f C([, b]) = ( ξ [, b])(µ = f(ξ)) 30 Der Riemnn sche Zugng zum Integrl Konvention für Kpitel 30 f : [, b] R beschränkt. Sei z := {x 0,...,x n } Zerlegung von [, b] m j, M j, I j wie in Definition Definition 30.1 Zwischenvektor Wähle in jedem Intervll I j ein ξ j (j = (1,...,n)) und setze ξ = (ξ 1,...,ξ n ). Dnn heißt ξ ein zu z pssender Zwischenvektor (ZV) und σ f (z, ξ) = n f(ξ j ) I j eine Riemnn sche Zwischensumme. j=1 Es gilt m j ξ j M j und deswegen s f (z) σ f (z, ξ) s f (z). Hilfsstz Es gilt f R([, b]) ( s R)( ε > 0)( Zerlegung von [, b])( ZV ξ)( σ f (z; ξ) s < ε) In diesem Fll f(x) = s. 31 Der zweite Huptstz der Integrlrechnung Definition 31.1 Sei f R([, b]). Dnn ist b f(x)dx := b Sei c [, b]. Dnn ist c f(x)dx := 0 c f(x)dx

51 32 INTEGRATIONSREGELN 51 x f R([, b]), x [, b]. Dnn ex. f(x)dx. Stz Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Vorussetzung: f R([, b]), F : [, b] R, x F(x) := x f(t)dt (1) F ist Lipschitz-stetig uf [, b], insbes. F C([, b]) (2) Ist f in x 0 [, b] stetig, so ist F in x 0 db und F (x 0 ) = f(x 0 ) (3) f C([, b]) = F C 1 ([, b]) und F = f uf [, b] Jede Funktion f C([, b]) besitzt uf [, b] eine Stmmfunktion. 32 Integrtionsregeln Stz 32.1 Vorussetzung: I R bel. Intervll, f C(I), ξ I fest, F : I R, x F(x) := x f(t)dt F = f uf I Definition 32.1 Unbestimmtes Integrl Sei I R bel. Intervll, f : I R eine Funktion. Besitzt f uf I eine Stmmfunktion F, so schreibt mn für eine solche uch f(x)dx := F Stz 32.2 Prtielle Integrtion (1) f, g R([, b]), F, G Stmmfunktionen von f, g. Dnn: F(x)g(x)dx = [F(x)G(x)] b f(x)g(x)dx

52 52 (2) f, g C 1 ([, b]) Dnn: f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x)dx (3) I R beliebiges Intervll, f, g C 1 (I) Dnn: f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx Definition 32.2 Hilfsschreibweise zur Substitutionsregel Für den folgenden Stz legen wir fest < α; β >:= [min{α, β}; mx{α, β}] Stz 32.3 Substitutionsregel Vorussetzung: f R(< α; β >) besitze uf < α; β > eine Stmmfunktion. (1) g :< α; β > R db, (f g) g R((α; β)) g(< α; β >) < α; β >, := g(α), b := g(β) β Dnn: f(x)dx = f(g(t)) g (t)dt α (2) f C(< ; b >), g C 1 (< α; β >) g(< α; β >) < α; β >, := g(α), b := g(β) β Dnn: f(x)dx = f(g(t)) g (t)dt α (3) I, J seien bel. Intervlle, f C(I), g C 1 (J) I (4) f(g(t)) g (t)dt = f(x)dx x=g(t) uf J. (5) g streng monoton = ( g 1 : g(j) J) f(x)dx = f(g(t))g (t)dt t=g 1 (x) Merkregel für die Substitution Sei g = g(x) eine db Funktion. Dnn schreibt mn dg dx für g. Subst. x = g(t). Dnn ist dx dt = g (t) dx = g (t)dt. Keine Mthemtik, ber schick zum Merken.

53 33 VERSCHIEDENES Verschiedenes Definition 33.1 Feinheitsmß Sei z eine Zerlegung von [, b] und I j, j = 1...n die Länge des j-ten Intervlls. Dnn ist z := mx{ I j j = 1...n} ds Feinheitsmß von z. Stz 33.1 Vorussetzung: f : [, b] R, ( x [, b])( f(x) M), z, z Zerlegungen von [, b], z z, z enthält p Teilpunkte mehr ls z. Dnn gelten s f ( z) s f (z) + 2pM z s f ( z) s f (z) 2pM z Stz 33.2 Vorussetzung: f : [, b] R, ( x [, b])( f(x) M), (z n ) Folge von Zerlegungen von [, b], lim z n = 0, zu jedem z n existiert ein pssender Zwischenvektor ξ(n). (1) lim s f (z n ) = b f(x)dx lim s f(z n ) = f(x)dx (2) f R([, b]) = lim σ f (z n ; ξ(n)) = f(x)dx Stz 33.3 Vorussetzung: (f n ) Folge in C 1 ([, b]). f n () konvergiert, f n konvergiert glm uf [, b] gegen g : [, b] R f n konvergiert glm uf [, b] und für die Grenzfunktion gilt f(x) = lim f n (x) f C 1 [, b] ( x [, b])(f (x) = g(x)) Vorstehender Stz läßt sich usdrücken (mit den obigen Vorussetzungen): ( lim f n ) = f = g = lim (f n )

54 54 Obiger Stz gilt entsprechend für Funktionenreihen. Stz 33.4 Stz von Tylor mit Integrlrestglied Vorussetzung: I R Intervll, f C n+1 (I),, b I, < b Es gilt f(b) = n k=0 f (k) () b (b ) k + k! (b x) n f (n+1) (x)dx n! 34 Uneigentliche Integrle Konvention für Kpitel 34, b R, α R { }, β R { } Definition 34.1 Uneigentliches Integrl f : [α;β) (α;β] [;t] R sei ib über jedem Intervll mit t (;β). Existiert der Grenz- [t;b] (α;b) R t lim f(x)dx t β wert br lim f(x)dx t α t βr R f(x)dx lim t f(x)dx t β = br br f(x)dx lim f(x)dx α t α t Hilfsstz, so heißt f uneigentlich integrierbr über [;β) (α;b]. und ds Integrl heißt konvergent. Andernflls heißt βr f(x)dx br f(x)dx α divergent. Vorussetzung: f : [α; β) R ib für lle [; t) mit t (α; β) Es ist β β f(x)dx konvergent ( c (α; β))( f(x)dx konvergent) c In diesem Fll: β c β f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx c Für untere Grenzen gilt dieser Stz nlog.

55 34 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 55 Definition 34.2 Beidseitiges uneigentliches Integrl f : (α, β) R heißt uneigentlich ib über (α; β) : c ( c (α; β))( In diesem Fll: β α f(x)dx := α c α f(x)dx konvergent f(x)dx + β c f(x)dx β c f(x)dx konvergent) Gilt obige Beziehung für ein c (α; β), so gilt sie für lle c (α; β). Aus der Existenz von lim f(x)dx folgt nicht die Konvergenz des entsprechenden Integrls. t t t Konvention für Kpitel 34 β Die folgenden Sätze und Definitionen sind für Integrle der Form f(x)dx formuliert, gelten ber sinngemäß uch für den nderen Typ. Sei b hier f R([, b]), t (α, β). Stz 34.1 Cuchy-Kriterium für uneigentliche Integrle Es gilt β f(x)dx konvergent ( ε > 0)( c = c(ε) (, β))( u, v [c, β))( v u f(x)dx < ε) Definition 34.3 Absolute Konvergenz bei uneigentlichen Integrlen β β f(x)dx heißt bsolut konvergent : f(x) dx konvergiert.

56 56 Stz 34.2 Dreiecksungleichung für uneigentliche Integrle β Vorussetzung: f(x)dx bsolut konvergent β f(x)dx konvergent und es gilt β f(x)dx β f(x) dx Stz 34.3 Mjornten-/Minorntenkriterium für uneigentliche Integrle β (1) ( x [, β))( f(x) g(x)), g(x)dx konv. = (Mjorntenkriterium) β f(x)dx konv. bsolut β (2) ( x [, β))(f(x) g(x) 0), g(x)dx divergent = β f(x)dx divergent (Minorntenkriterium) Sei W die Menge ller über [, β) uneigentlich ib en Funktionen. Dnn ist W β ein reeller Vektorrum und die Abbildung f f(x)dx(f W) ist liner. 35 Funktionen von beschränkter Vrition Definition 35.1 Vrition Sei [, b] R, < b und f : [, b] R eine Funtkion. z = {x 0,...x n } sei Zerlegung von [, b]. Dnn heißt V f (z) := n f(x j ) f(x j 1 ) die Vrition von f bezgl. z. Hilfsstz j=1 Vorussetzung: z 1, z 2 Zerlegungen von [, b] mit z 1 z 2 V f (z 1 ) V f (z 2 )

57 35 FUNKTIONEN VON BESCHRÄNKTER VARIATION 57 Definition 35.2 Beschränkte Vrition f : [, b] R heißt von beschränkter Vrition (bv) : ( M 0)( z Zerlegung von [, b])(v f (z) M) In diesem Fll heißt V f ([, b]) := sup{v f (z) z Zerlegung von [, b]} die Totlvrition von f. BV([, b]) bezeichnet die Menge ller Funktionen von beschränkter Vrition uf [, b] Hilfsstz Es ist C 1 ([, b]) BV([, b]), ber C([, b]) BV([, b]). Stz 35.1 Vorussetzung: f : [, b] R, c [, b] (1) f BV([, b]) f BV([; c]) BV([c; b]) ( f BV([, b]))(v f ([, b]) = V f ([; c]) + V f ([c; b]) (2) f BV([, b]) = f ist beschränkt (3) f monton uf [, b] = f BV([, b]) (4) f ht beschränkte Ableitung = f BV([, b]) Dieser Fll tritt z.b. ein, wenn f C 1 ([, b]) oder f Lipschitz-stetig. (5) BV([, b]) ist ein reeller Vektorrum. Stz 35.2 Es ist f BV([, b]) ( f 1, f 2 : [, b] R monton ր)(f = f 1 f 2 ) Stz 35.3 Vorussetzung: f C 1 ([, b]) Dnn gilt V f ([, b]) = f (x) dx

58 58 36 Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl Konvention für Kpitel 36 f, g : [, b] R beschränkt Definition 36.1 Riemnn-Stieltjes-Integrl Sei z = {x 0,...x n } Zerlegung von [, b] und ξ ein zu z pssender ZV. σ f (z; ξ; g) := n f(ξ j )(g(x j ) g(x j 1 )) heißt dnn Riemnn-Stieltjes-Summe. j=1 f heißt (Riemnn-Stieltjes-)ib bzgl. g : ( s R)( ε > 0)( δ > 0)( z Zerlegung von [, b] mit z < δ) ( ξ ZV pssend zu z)( σ f (z; ξ; g) s < ε) R g ([, b]) bezeichnet die Menge ller über [, b] bzgl. g Riemnn-Stieltjes-ib en Funktionen. Mn knn zeigen, dß s in diesem Fll eindeutig bestimmt ist. s heißt dnn ds Riemnn-Stieltjes-Integrl von f bzgl. g über [, b] Schreibweise: f(x)dg(x) := s Es gilt (1) Sei g : [, b] R, g(x) := x. Dnn ist σ f (z, ξ, g) = σ f (z, ξ) und es gilt R g ([, b]) = R([, b]). (2) Sei g : [, b] R, g(x) := c, c R. Dnn gilt: R g ([, b]) = {f : [, b] R f beschränkt} Stz 36.1 Es gilt f R g ([, b]) ( (z n ) z n Zerl. von [, b] mit z n 0(n )) ( (ξ n ) ξ n zu z n pssender ZV)(σ f (z n, ξ n, g) f(x)dg(x))

59 36 DAS RIEMANN-STIELTJES-INTEGRAL 59 Stz 36.2 Vorussetzung: g 1, g 2 : [, b] R beschränkt (1) R g ([, b]) ist reeller Vektorrum. Die Abbildung f b R g ([, b])) ist liner. (2) f R g1 ([, b]) R g2 ([, b]), α, β R. Dnn: f R αg1+βg 2 und f(x)dαg 1 (x) + f(x)dβg 2 (x) = f(x)dg(x)(f f(x)dαg 1 (x) + βg 2 (x) (3) < c < b; f R g ([; c]) R g ([c; b]) R g ([, b]) Dnn: c f(x)dg(x) + b c f(x)dg(x) f(x)dg(x) = f R g ([; c]) R g ([c; b]) = f R g ([, b]) Stz 36.3 Prtielle Integrtion (Riemnn-Stieltjes) Vorussetzung: f R g ([, b]) g R f ([, b]) und es gilt b f(x)dg(x) = [f(x)g(x)] b g(x)df(x) Stz 36.4 Vorussetzung: f C([, b]), g BV([, b]) Dnn ist f R g ([, b]). Stz 36.5 Vorussetzung: f C([, b]), g C 1 ([, b]) f R g ([, b]) und es gilt f(x)dg(x) = f(x) g (x)dx

60 60 Stz 36.6 Vorussetzung: g : [, b] R ր, f 1, f 2 R g ([, b]), f 1 f 2 Dnn gilt f 1 (x)dg(x) f 2 (x)dg(x) f R g ([, b]), g ր, m, M R, m f M uf [, b]. Dnn gilt m[g(x)] b b f(x)dg(x) M[g(x)] b Stz 36.7 Vorussetzung: f C([, b]), g BV([, b]), F(x) := x f(t)dg(t) (1) F BV([, b]) (2) g in x 0 stetig = F in x 0 stetig Sind f C([, b]), g C 1 ([, b]), so gilt x x F(x) = f(t)dg(t) = f(t)g (t)dt = F C 1 ([, b]) F (x) = f(x)g (x) uf [, b] Ds wr s weiter geht s in An II :-) A Tricks for kicks Trick Grenzwert einer rekursiv def. Folge Monotonie/Beschränktheit beweisen, Grenzwert durch Einsetzen in Definition.

61 A TRICKS FOR KICKS 61 Trick Geht nicht? Schätz es b. Geht immer noch nicht? Versuch s mit Bernoulli. Immer noch nicht? Schreib den Anfng der Reihe hin. Immer noch nicht? Versuch doch ml, den Mittelwertstz ls Abschätzung zu verwurschten. Auch nicht? Dnn versuch ml eine Formel us Kpitel 4! Geht immer noch nicht? Substituier doch ml wieder! Trick Polynom im Zähler, Polynom im Nenner? Klmmer doch x z, z Z us. Trick Steht d ws von + c? Dnn hilft Dir vielleicht + c = b + b + c b + b + c. Trick Reihenwert berechnen Versuch ml, zu integrieren, dnn zu berechnen, und dnn wieder zu differenzieren! (Vor. glm konv.) Trick Integriert sich nicht von selbst? Zwing es: Prtielle Integrtion mit 1 ls f? Prtielle Integrtion, bei der immer ds gleiche ruskommt: nch Integrl uflösen! So ähnlich wie 1 1+x 2? D steckt die Trigonometrie dhinter! Wo wir bei Trigonometrie sind: sin 2 = 1 cos 2 und umgekehrt. Rtionle Funktion in Abhängigkeit von sinx und cosx? Substituiere t = tn x 2. Dnn wird us: sinx 2t 1+t 2 cosx 1 t2 1+t 2 sin 2 x 2 t2 1+t 2 cos 2 x t 2 Rtionle Funktion in Abhängigkeit von x 2 + bx + c und x? Substituiere t = 2(x+b) ±D mit D = 4c b 2. Dnn bleibt irgendetws von der Form 1 + t 2, 1 t 2 stehen. Versuch es dnn so: 1 + t 2 t = sinhs t2 1 t = coshs 1 t 2 t = sin/ coss Rtionle Funktion in Abhängigkeit von x + b, cx + d und x? Substituiere x = t2 b.

62 62 Trick Hilft lles nichts? Schlf drüber. B Ds Beste us Übungen und Blättern Stz B.1 Vorussetzung:, b, c R (1) x y + y x 2 (2) b + bc + c 2 + b 2 + c 2 (3) x2 y + y2 x x + y Stz B.2 Vorussetzung: ( n ), (b n ) reelle Folgen ( n ) 2 ( n i b i = ) ( n ) 2 i b 2 i i=1 i=1 i=1 Stz B.3 Vorussetzung:, b, c > 0, n N (1) n + b n + n b (2) n + n b n b (3) b + 1 c +b+c 3 Stz B.4 Vorussetzung: M (1) α 0 : supαm = α sup M (2) α < 0 : supαm = α inf M