Ferienkurs Analysis 1

Transkript

1 Skript Ferienkurs Anlysis 1 Fbin Hfner und Thoms Blduf TUM Wintersemester 2014/ Ds Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfsst von Andres Wörfel. Inhltsverzeichnis 1 Stetigkeit Funktionenfolgen Differentilrechnung Rechnen mit Ableitungen Integrtion Definitionen Rechnen mit dem Riemnn-Integrl Integrtionstechniken Spezilfälle

2 1 Stetigkeit Die meisten Funktionen, mit denen wir es zu tun hben, sind stetig oder zumindest stückweise stetig. Anschulich knn mn sich drunter vorstellen, dss der Grph einer Funktion keine Sprünge mcht. Eine mögliche Definition ist lim x x f(x) = lim f(x) = f() + lso rechter und linker Grenzwert übereinstimmen. Ist eine Funktion f : D R R (D kompkt) in jedem D stetig, so heißt sie uf gnz D stetig. Eine äquivlente Definition ist: ɛ > 0 δ > 0 : x D mit x < δ : f(x) f() < ɛ Anschulich: Ändert mn ein wenig m Wert von, so sollte sich der Funktionswert f() uch nicht groß ändern. Dies ist eine lokle Definition. Von gleichmäßiger Stetigkeit spricht mn, flls die Stetigkeit unbhängig von gegeben ist. Von Lipschitz-Stetigkeit spricht mn, flls ein L > 0 existiert mit f(x) f(y) < L uf einem Intervll. Sind zwei Funktionen f, g stetig, so sind uch λf + µg, fg, f/g, f g stetig. Wird nch einem Stetigkeitsbeweis gefrgt, so reicht es oft die Stetigkeit durch beknnte Funktionen zu zeigen. Oft kommt es vor, dss eine Funktion n einer Stelle gr nicht definiert ist, in vielen Fällen lässt sie sich dnn ber stetig fortsetzen durch einen pssenden Wert. Beispiel: Intensitätsverteilung nch Durchgng eines Mehrfchsplts Mnn knn zeigen, dss die Intensität einer Welle nch einem Spltdurchgng durch ( ) 2 sin(c sin α) I I 0 c sin α beschrieben werden knn. Die Funktion ist für α = 0 nicht definiert, d mn einen Ausdruck 0/0 erhält. Mit dem Limes (die L Hosppitlsche Regel kommt später) erkennt mn ber (x = c sin α) sin 2 x lim x 0 x 2 L Hosp. = lim x 0 sin x cos x x L Hosp. = lim x 0 cos 2 x sin 2 x 1 = 1 1

3 Bei α = 0 ht mn lso die größte Intensität und wir können die Funktion n dieser Stelle stetig fortsetzen. Allgemein muss mn jedoch druf chten, dss rechts und links der selbe Grenzwert ruskommt und setzt deswegen eine llgemeine Folge x n ein, die gegen die gewünschte Stelle konvergiert. Wichtige Sätze: (1) Stz von Mximum und Minimum: Es gibt Stellen x mx, x min [, b] mit f min = f(x min ) f(x) f(x mx ) = f mx (2) Zwischenwertstz: zu jeden y [f min, f mx ] gibt es ein x [, b] mit f(x ) = y Drus folgt unmittelbr der Nullstellenstz: ist f() < 0 und f(b) > 0, so gibt ein x mit f( x) = 0 (3) Fixpunktstz: Ist f : [, b] [, b] stetig, so existiert ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) = x Funktionenfolgen Eine Folge von Funktionen f n : M N konvergiert punktweise gegen eine Grenzfunktion f, flls lim f n(x) f(x) = 0 n x M Sind lle f n stetig und konvergieren gleichmäßig so ist uch f stetig. lim sup f n (x) f(x) = 0 n 2

4 2 Differentilrechnung Die Motivtion für die Differentilrechnung ist, dss wir einer Funktion n jeder beliebigen, definierten Stelle eine Steigung zuordnen wollen. Wir werden schon bei der Definition sehen, dss uns dies immer dnn gelingt, wenn sich in einer kleinen, offenen Kugel um die Stelle die Steigung nicht wesentlich ändert, die Funktion lso keinen Knick wie z.b. f(x) = x oder Sprungstelle ht. Definition: Differenzenquotient, Differentilquotient, Ableitung, Differenzierbrkeit Sei f : D R C eine Funktion. Dnn ist: der Differenzenquotient von f(x) und f(x 0 ): f(x) f(x 0 = f(x 0 + h) f(x 0 ), x = x 0 + h x x 0 h Es hndelt sich hierbei um die Steigung der Seknte zwischen x und x 0. der Differentilquotient bzw. die Ableitung von f(x 0 ): f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Wir bezeichnen die Ableitung einer Funktion meist mit f (x). Sie gibt die Steigung der Tngente im Punkt x 0 n. Eine Funktion heißt differenzierbr, wenn die Ableitung existiert. Ds heißt insbesondere ist f (x) < und eindeutig, egl mit welcher Nullfolge wir den Grenzwert bilden (lso uch egl ob von links oder rechts). Eine Funktion heißt n-ml differenzierbr, wenn die n-te Ableitung (f (n) ) existiert. Beispiel: Ableitung von cos(x) cos(x 0 + h) cos(x 0 ) lim h 0 h cos x 0 cos h sin x 0 sin h cos x 0 = lim h 0 h cos h 1 sin h = cos x 0 lim sin x 0 lim h 0 h 0 = sin x 0 } {{ h } =0 }{{ h } =1 3

5 wobei die Regel nch l Hospitl verwndt wurde. Folgerung: linere Approximtion Mit Hilfe von geschickten Umformungen knn mn zeigen, dss es für lle differenzierbren Funktionen eine linere Approximtion gibt, ds heißt in einer ɛ-umgebung um jeden Punkt gibt es eine linere Funktion, die sich kum von der ttsächlichen Funktion unterscheidet. Wir können die linere Approximtion drstellen ls f(x 0 + h) = f(x o ) + h f (x 0 ). Die Korrekturen sind von der Ordnung O(h 2 ) für h 0. Es hndelt sich hierbei um die ersten zwei Terme der Tylor-Entwicklung einer Funktion, die in der nächsten Vorlesung weiter besprochen wird: T f (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )x + O(x 2 ) Korollr: Stetigkeit Ist eine Funktion differenzierbr in x 0, so ist sie dort stetig. 2.1 Rechnen mit Ableitungen Seien f, g C 1 (D), dnn gilt: Summenregel: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) Produktregel: (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Kettenregel: (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) ( ) Quotientenregel: f(x) g(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) Stz: Differentition der Umkehrfunktion Sei f C 1 (D) streng monoton und f (x 0 ) 0, dnn knn mn f 1 in y 0 = f(x 0 ) differenzieren mit: Anlog berechnet mn höhere Ableitungen: ( f 1 ) (y0 ) = ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )) 1 (f (f 1 (y 0 ))) 2 f (f 1 (y 0 )) ( f 1) (y0 ) = f (f 1 (y 0 )) (f (f 1 (y 0 ))) 3 usw. 4

6 Korollr: Besondere Ableitungstechniken In einigen Fällen von nicht elementren Funktionen ist eine einfche Ableitung ohne den Differentilquotient trotzdem möglich, indem mn geschickt (z.b. mit der Exponentilfunktion) umformt oder ds Argument mit der Umkehrfunktion substituiert. Stz: Stz von Rolle Sei f C 1 ([, b]) mit f() = f(b), wobei b. Dnn gibt es x 0 [, b] mit f (x 0 ) = 0. Ds heißt, die Funktion ist entweder konstnt uf [, b] oder sie ht ein Extremum. Stz: Mittelwertstz Sei f C 1 ([, b]), wobei < b. Dnn gibt es x 0 [, b] mit f(b) f() = (b )f (x 0 ) Korollr: Monotonie 0 < 0 f (x) 0 > 0 monoton fllend streng monoton fllend = f(x) monoton wchsend streng monoton wchsend Stz: Bedingungen für Extrem, Wendepunkte, Flchpunkte, konvexe und konkve Funktionen Sei f C 2 ((, b)), f (x 0 ) = 0 für x 0 (, b) Dnn ht f bei x 0 ein lokles Mximum, wenn f dort konkv (rechtsgekrümmt) ist, lso f (x 0 ) < 0 oder wenn: f (x 0 ɛ) > 0 und f (x 0 + ɛ) < 0 für kleine ɛ > 0 ein lokles Minimum, wenn f dort konvex (linksgekrümmt) ist, lso f (x 0 ) > 0 oder wenn: f (x 0 ɛ) < 0 und f (x 0 + ɛ) > 0 für kleine ɛ > 0 Ist f C 3 ((, b)), f (x 0 ) = 0 für x 0 (, b) Dnn ht f bei x 0 einen Wendepunkt, wenn f (x 0 ) 0. Flls f (x 0 ) = 0, so muss ds Monotonieverhlten von f (x 0 ) untersuchtwerden nlog zu Extrem. Ändert sich ds Krümmungsverhlten, so liegt ein Wendepunkt vor, ndernflls ein Flchpunkt. Stz: Funktionenfolgen Mn knn zeigen: Konvergiert eine Funktionenfolge f n gegen eine Funktion f, so gilt dies uch für die Ableitungen. 5

7 Stz: Regel von L Hospitl Sei f, g C 1 (D), g (x 0 ) 0. Dnn gilt, flls f, g x x 0 0 oder f, g x x 0 : f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) = lim f (n) (x) x x 0 g (n) (x) Ist jedoch f, g x x 0 0 oder f, g x x 0, dnn knn mn den Stz erneut nwenden, so oft bis ds Problem behoben ist. 3 Integrtion 3.1 Definitionen Im Gegenstz zum Differenzieren, welches eher eine Fingerübung ist, ist Integrieren ein Kunst. Viele Integrle lssen sich durch genügend Erfhrung lösen. Es gibt einige wenige Techniken, die ds Integrieren möglich mchen, wenn mn die Lösung des Integrls nicht gleich sehen knn. Jedoch ist uch hier Erfhrung von Nöten, um zu sehen, welche Technik nzuwenden ist. Motivtion für die Integrlrechnung ist, die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen. Definition: Stmmfunktion Sei F : I = [, b] C differenzierbr und F = f. Dnn heißt F Stmmfunktion zu f uf I. Zwei Stmmfunktionen zu f unterscheiden sich höchstens um eine Konstnte. Definition: Riemnn-Integrl Wir können eine Funktion f : I = [, b] C pproximieren durch eine Treppenfunktion (stückweise uf konstnte Funktionen). Wir teilen hierzu den zu integrierenden Bereich in n Stücke der Länge x k und setzen den entsprechenden Funktionswert der Treppenfunktion ls f(x k ). In der Vorlesung wurde die Definition über Ober- und Untersumme gemcht. Hierzu wählen wir gerde den Wert der Funktion m rechten oder linken Rnd der Teilung. Dnn können wir ds Riemnn-Integrl definieren ls f(x) dx = lim n n x k f(x k ) k=0 Bemerkung: Können wir für eine Funktion feststellen, dss Ober- und Untersumme gegen 6

8 den gleichen Wert konvergieren, so nennen wir diese Riemnn-integrierbr, im folgenden kurz: integrierbr. Es gibt uch Funktionen, die integrierbr ber nicht Riemnn-integrierbr sind. Hierfür benötigt mn ber ds Lebesgue-Integrl. Stz: Integrtion monotoner und stetiger Funktionen Ist eine monotone oder stetige Funktion uf einem Intervll [, b] definiert, so ist sie integrierbr. 3.2 Rechnen mit dem Riemnn-Integrl Wir hben im folgenden (stückweise) stetige Funktionen f und g Aufteilen eines Integrls (hierfür reicht stückweise stetig): f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Umkehren der Integrtionsrichtung (hierfür reicht stückweise stetig): f(x) dx = b f(x) dx Linerität des Integrls (hierfür reicht stückweise stetig): (f(x) + kg(x)) dx = f(x) dx + k g(x) dx Integrl über einen Punkt (hierfür reicht stückweise stetig): f(x) dx = 0 Mittelwertstz der Integrlrechnung: es gibt ein y [, b], sodss: f(x) dx = f(y)(b ) 7

9 Eine (von bhängige) Stmmfunktion F (x) zu f finden wir mit: F (x) = x f(t) dt Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI): f(x) dx = F (b) F () =: [F (x)] b Wir hben Integrle bisher nur uf bgeschlossenen Intervllen I definiert. Wir wollen ds nun verllgemeinern. Definition: Uneigentliche Integrle Wir können ein Integrl folgendermßen für offene Intervlle [, b) mit b R { } definieren: β f(x)dx = lim f(x)dx β b Wir können dies nlog für ein entsprechendes definieren. Flls beide Fälle gleichzeitig eintreten, teilen wir ds Integrl mit den obigen Regeln uf in 2 Bereiche: (, c] [c, b). Somit hben wir ds Problem umgngen, 2 Limiten gleichzeitig lösen zu müssen. Bemerkung: Trotz unendlicher Integrlgrenzen knn der Wert des Integrls endlich sein, und trotz endlicher Intervllgrenzen knn ein Integrl unendlich sein. 3.3 Integrtionstechniken Für einige Integrle können wir die Lösung mittels verschiedener Techniken finden. Mnchml ist es günstig, bei einem Produkt zweier Funktionen, ds in der Form (f g) geschrieben werden knn, die Ableitung von f uf g zu schieben. Hierzu kehren wir die Produktregel der Differentilrechnung (fg) = f g + fg um. Stz: Prtielle Integrtion 8

10 Seien f, g C 1 ((, b)). Dnn ist: f (x)g(x) dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x) dx Bemerkung: Einige Funktionen können integriert werden, indem sie durch Einfügen einer 1 zu einem Produkt umgeschrieben werden. Beispiel: Integrtion des Logrithmus Wir können den Logrithmus durch prtielle Integrtion integrieren 1 ln(x) dx = [x ln(x)] b x 1 x dx = [x ln(x)]b [x]b Oftmls ist es uch leichter, wenn wir zum Integrieren die Funktion durch eine ndere ersetzen, die besser zu hndhben ist oder die Geometrie des Problems berücksichtigt. Dies wird im 2. Semester für Koordintentrnsformtionen besonders relevnt sein. Stz: Integrtion durch Substitution Sei g C 1 ((, b)) und f C 1 ((c, d)), wobei c = g() und d = g(b) f(g(y))g (y) dy = d=g(b) c=g() ndererseits ist mit nlogen (ngepsten) Vorussetzungen: f(x) dx f(x) dx = d=g 1 (b) c=g 1 () f(g(y))g (y) dy Es bieten sich häufig Substitutionen wie sin x, cos x, sinh x oder cosh x n. Bemerkung: Die Ersetzung des dx durch dy knn mn sich so merken: x = g(y) g (y) = dx dy dx = g (y) dy Beipiel: Integrtion mit Hilfe des Logrithmus 9

11 Eine Integrl der Form g (y) g(y) Logrithmus gelöst werden: knn durch die Ersetzung x = g(y) dy = dx g (y) g (y) g(b) g(y) dy = 1 dx = [ln x ]g(b) g() g() x = [ln g(y) ]b mit Hilfe des Zustz: Integrtion mittels Prtilbruchzerlegung Die Prtilbruchzerlegung knn ngewndt werden, um beliebige gebrochen rtionle Funktionen in elementr, logrithmisch oder per rctn integrierbre Ausdrücke zu überführen. Schwierigkeiten können sich jedoch dnn ergeben, wenn die Nullstellen des Nenners nicht leicht zu finden sind oder Nennernullstellen einen größeren Grd ls 1 hben und erst durch geschicktes Einfügen von zusätzlichen 1en integrierbr werden. 3.4 Spezilfälle In einigen Fällen gibt es uch nicht-trivile Substitutionen, die eine Integrtion ermöglichen (jedoch nicht immer der einfchste Weg!). Mn findet für eine rtionle Funktion R: substituiere t = n x + 1: R(x, n x + 1) dx = n R(t n 1, t)t n 1 dt substituiere t = e x : R(e x ) dx = R(t) 1 t dt substituiere t = tn ϕ : 2 R(cos ϕ, sin ϕ) dϕ = ( ) 1 t 2 R 1 + t, 2t t t dt 2 substituiere t = sinh u, t = cosh u bzw. t = cos u für folgende Fälle: R(t, t 2 + 1) dt R(t, t 2 1) dt R(t, 1 t 2 ) dt 10