Analysis I im SS 2011 Kurzskript

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1 Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2 Konvergenz und Vollständigkeit 23 3 Reihen 30 4 Stetigkeit 34 5 Differenzierbrkeit 41 6 Integrtion 46 Version vom 15. November 2011 [email protected] Fkultät für Mthemtik, Universität Regensburg, Regensburg

2 -2 Literturhinweise Die folgenden Listen enthlten eine kleine Auswhl n Litertur zu Grundlgen der Mthemtik (insbesondere Logik und Mengenlehre) und zur Anlysis. Anlysis [1] O. Forster. Anlysis 1, neunte überrbeitete Auflge, Vieweg+Teubner, [2] S. Lng. Undergrdute Anlysis, zweite Auflge, Springer, [3] M. Spivk. Clculus, dritte Auflge, Cmbridge University Press, [4] R.S. Strichrtz. The Wy of Anlysis, Jones & Brtlett Lerning, [5] W. Wlter. Anlysis 1, siebte Auflge, Grundlgen [6] A. Beutelspcher. Ds ist o.b.d.a. trivil!, neunte Auflge, Vieweg+Teubner, [7] A. Doxidis, C. Ppdimitriou, A. Ppdtos, A. Di Donn, Logicomix: An epic serch for truth, Bloomsbury Publishing, [8] H.-D. Ebbinghus. Einführung in die Mengenlehre, dritte Auflge, BI Wissenschftsverlg, [9] H.-D. Ebbinghus et l.. Zhlen, dritte Auflge, Springer, [10] H.-D. Ebbinghus, J. Flum, W. Thoms. Einführung in die mthemtische Logik, vierte Auflge, Spektrum, [11] U. Friedrichsdorf, A. Prestel. Mengenlehre für den Mthemtiker, Vieweg, [12] R.M. Smullyn, M. Fitting. Set theory nd the continuum problem, überrbeitete Auflge, Dover, Weiterführende Themen [13] M. Aigner, G. Ziegler. Proofs from THE BOOK, vierte Auflge, Springer, [14] K. Jänich. Topologie, chte Auflge, Springer,

3 Ds griechische Alphbet Symbol Nme TEX-/L A TEX-Kommndo A α lph A \lph B β bet B \bet Γ γ gmm \Gmm \gmm δ delt \Delt \delt E ε, ɛ epsilon E \vrepsilon, \epsilon Z ζ zet Z \zet H η et H \et Θ ϑ, θ thet \Thet \vrthet, \thet I ι iot I \iot K κ kpp K \kpp Λ λ lmbd \Lmbd \lmbd M µ my M \mu N ν ny N \nu Ξ ξ xi \Xi \xi O o omikron O o Π π pi \Pi \pi P ϱ, ρ rho P \vrrho, \rho Σ σ, ς sigm \Sigm \sigm, \vrsigm T τ tu T \tu Y υ ypsilon Y \upsilon Φ ϕ, φ phi \Phi \vrphi, \phi X χ chi X \chi Ψ ψ psi \Psi \psi Ω ω omeg \Omeg \omeg 3

4 -1 Einführung Ws ist Mthemtik? Mthemtik beschäftigt sich mit dem Studium bstrkter Strukturen und Modelle (z.b. Arithmetik, Geometrie) und formlen Methoden, sowie Anwendungen dieser Theorie. Grob gesgt, besteht die Mthemtik us den folgenden Gebieten: Logik, Mengenlehre, Algebr, Anlysis, Geometrie, Kombintorik. Logik und Mengenlehre bilden die Grundlge der modernen Mthemtik; die vier zentrlen Gebiete Algebr, Anlysis, Geometrie und Kombintorik sind uf vielfältige Weise miteinnder verbunden. Ws ist Anlysis? Anlysis ist ds Studium lokler und globler Eigenschften von reell- bzw. komplexwertigen Funktionen; insbesondere ist zunächst zu klären, ws die reellen Zhlen sind. Beispiele für lokle Eigenschften sind Stetigkeit bzw. Differenzierbrkeit; Beispiele für globle Probleme sind die Bestimmung von (globlen) Extremwerten oder Integrlen. 4

5 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre Die mthemtische Logik beschreibt die Spielregeln, uf denen die Mthemtik bsiert; die Mengenlehre beschreibt ds Spielfeld bzw. die grundlegenden Busteine, us denen mthemtische Objekte konstruiert werden. Der stringente simultne Aufbu von Logik und Mengenlehre ls Grundlge der modernen Mthemtik ist zu ufwendig, um zu Beginn des Studiums im Detil usgeführt zu werden. Wir werden uns dher im folgenden uf ein pr Einblicke beschränken, die die für den mthemtischen Alltg wichtigsten Punkte behndeln. Logische Grundlgen Die mthemtische Logik beschäftigt sich mit den folgenden (miteinnder zusmmenhängenden) Frgen: Wie knn mn die mthemtische Sprche formlisieren? Ws ist eine whre mthemtische Aussge? Ws ist ein Beweis? Ws knn mn beweisen? Gibt es Grenzen der Beweisbrkeit? Wir folgen im folgenden dem llgemeinen Prinzip, mit einfchen Teilspekten zu beginnen und dnn Schritt für Schritt drus komplexere Strukturen und Theorien ufzubuen ( divide nd conquer ). Aussgenlogik Die Aussgenlogik ist ein einfches logisches System, ds die Grundlgen des logischen Denkens formlisiert. Aussgenlogik besteht us einer syntktischen und einer semntischen Ebene: Syntx ussgenlogischer Formeln. Aussgenlogische Vriblen sind ussgenlogische Formeln. Sind A und B ussgenlogische Formeln, so uch ( A), (A B), (A B), (A = B), (A B). Keine weiteren Symbolketten sind ussgenlogische Formeln. [Flls keine Missverständnisse möglich sind, setzt mn zur besseren Lesbrkeit mnchml Klmmern etws freizügiger.] Semntik ussgenlogischer Formeln. Vriblen können mit den Whrheitswerten w ( whr ) bzw. f ( flsch ) belegt werden. Belegen wir lle in einer ussgenlogischen Formel vorkommenden Vriblen mit w bzw. f (wobei verschiedene Auftreten derselben Vriblen in einer Formel denselben Wert erhlten müssen), so erhlten wir einen Whrheitswert, indem wir Schritt für Schritt die folgenden semntischen Regeln ( Whrheitstfeln ) nwenden: 5

6 A A nicht w f f w (insbesondere nehmen wir tertium non dtur n) A B A B A B A = B A B und oder impliziert gilt genu dnn, wenn w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Definition 0.1 (Tutologie). Eine ussgenlogische Formel A ist eine (ussgenlogische) Tutologie, wenn sich unter llen möglichen w/f-belegungen ller uftretenden ussgenlogischen Vriblen in A der Wert w ergibt. Beispiel 0.2. Für lle ussgenlogischen Formeln A und B sind (A = B) ( B = A) Kontrposition (A = B) ( ( A) B ) ( ) ( A) = (B B) = A reductio d bsurdum (A B) ( ( A) ( B) ) de Morgnsche Regeln (A B) ( ( A) ( B) ) de Morgnsche Regeln ussgenlogische Tutologien (knn z.b. über entsprechende Whrheitstfeln nchgewiesen werden). Cvet 0.3. Es gibt Zweige der Mthemtik/Informtik, in denen ds tertium non dtur nicht ls Axiom ngenommen wird; inbesondere steht in solchen Kontexten der Widerspruchsbeweis (reductio d bsurdum) nicht ls Beweistechnik zur Verfügung! Quntorenlogik Im llgemeinen wollen wir nicht nur über Whrheitswerte sprechen. Dher verfeinern/erweitern wir die Aussgenlogik zu einer umfngreicheren Sprche, der Quntorenlogik. Eine exkte Definition würde n dieser Stelle zu weit führen; wir begnügen uns dher mit einer prgmtischen, vereinfchten Drstellung: Sei dzu im folgenden T eine mthemtische Sprche/Theorie (z.b. die Theorie der ntürlichen Zhlen oder ähnliches). Syntx quntorenlogischer Aussgen. Atomre Aussgen us der Theorie T sind quntorenlogische Aussgen über T ; diese dürfen uch Vriblen enthlten. Ist A eine quntorenlogische Aussge über T und ist x eine (in A freie ) Vrible, so sind uch ( x A(x) ) quntorenlogische Aussgen über T. bzw. ( x A(x) ) 6

7 Sind A und B quntorenlogische Aussgen über T, so uch (A), (A B), (A B), (A = B), (A B). Keine weiteren Symbolketten sind quntorenlogische Aussgen über T. Semntik ussgenlogischer Aussgen. 1 Die Semntik von,,, =, wird nlog zur Aussgenlogik definiert. Zusätzlich gelten die folgenden Interprettionen: x A(x) gilt genu dnn, wenn: für lle x gilt A(x) x A(x) gilt genu dnn, wenn: es existiert (mindestens) ein x mit A(x) ( x A(x)) gilt genu dnn, wenn: ( x A(x)) ( x A(x)) gilt genu dnn, wenn: ( x A(x)) Cvet 0.4. Im llgemeinen drf die Reihenfolge von Quntoren nicht vertuscht werden! Mn betrchte dzu zum Beispiel die quntorenlogischen Aussgen x y A(x, y) bzw. y x A(x, y), wobei A(x, y) bedeute, dss x eine Fru ist, y ein Mnn und x eine Affäre mit y ht. Cvet 0.5. Formeln wie A(x) x mchen keinen Sinn (selbst wenn es die deutsche Sprche mnchml nhe legt... )! Ws ist ein Beweis? Wir beschreiben im folgenden den klssischen Beweisklkül der Mthemtik; er ist eine Formlisierung der gängigen logischen Schlussweisen. Gegeben seien eine mthemtische Sprche/Theorie T, Axiome/Vorussetzungen V (gegeben durch quntorenlogische Aussgen über T ), eine Behuptung B (d.h. eine quntorenlogische Aussge über T ). Der Nchweis, dss B logisch us V folgt, wird in Form eines Beweises gegeben. Ein Beweis von B us V über T ist dbei eine endliche Folge von quntorenlogischen Aussgen über T mit folgenden Eigenschften: Jede dieser Aussgen ist ein Axiom (d.h. eine Aussge us V ), 2 oder ein quntorenlogisches Axiom [die quntorenlogischen Axiome sind: für lle Formeln t in T (die beim Einsetzen keine ungewollten Vriblenbindungen erzeugen): ( x A(x) ) = A(t) für lle quntorenlogischen Aussgen A und A : ( x (A = A (x)) ) ( A = x A (x) ) (wobei x nicht frei in A vorkommen drf).], 1 Dbei können quntorenlogische Aussgen ber nur dnn uf einen Whrheitswert reduziert werden, wenn sie keine freien Vriblen enthlten. 2 oder ein identitätslogisches Axiom; druf soll hier ber nicht eingegngen werden. 7

8 oder eine ussgenlogische Tutologie über T [d.h. eine ussgenlogische Tutologie, in der lle ussgenlogischen Vriblen durch quntorenlogische Aussgen über T ersetzt werden], oder mn erhält sie us vorherigen Aussgen des Beweises mit Hilfe des Modus Ponens 3 : Enthlten die vorherigen Aussgen eine Aussge der Form A = A und die Aussge A, so knn mn A zum Beweis hinzufügen. und die letzte Aussge ist B. Im Normlfll werden Beweise ntürlich nicht in dieser Form ufgeschrieben, sondern sprchlich poliert und vereinfcht. Bemerkung 0.6. Häufig werden die folgenden Beweisschemt verwendet: Beweis von Äquivlenzen. Oft zerlegt mn den Beweis von Aussgen der Form Es gilt A genu dnn, wenn B gilt. in den Beweis von Wenn A gilt, dnn gilt uch B. und Wenn B gilt, dnn gilt uch A. Dies leitet sich von der ussgenlogischen Tutologie (A B) ( (A = B) (B = A) ) b. Widerspruchsbeweis. Knn mn us der Annhme, dss die Aussge A gilt, einen Widerspruch (lso eine Aussge der Form B B) bleiten, so folgt, dss A gilt. Dies leitet sich von der ussgenlogischen Tutologie ( ( A) = (B B) ) = A b (reductio d bsurdum). Mengentheoretische Grundlgen Die Mengenlehre beschreibt die grundlegenden Busteine, us denen lle mthemtischen Objekte ufgebut sind. Nive Mengenlehre Wir beginnen mit der sogennnten niven Mengenlehre, die uf folgender Begriffsbildung beruht: Definition 0.7 (Cntor, 1895). Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschuung oder unseres Denkens (welche Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen. Cvet 0.8. Obige Definition ist keine Definition im mthemtischen Sinne, d einige der uftretenden Begriffe nicht erklärt sind (bzw. nicht erklärbr sind). Wir werden zunächst mit diesem niven Mengenbegriff rbeiten und erst später uf einen exkten Zugng eingehen. 3 oder der Generlisierungsregel; uf diese soll hier ber nicht eingegngen werden. (Die Generlisierungsregel beschreibt, wnn der Allquntor eingeführt werden drf.) 8

9 Definition 0.9 (Gleichheit von Mengen). Zwei Mengen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Bemerkung 0.10 (Beweis von Gleichheit von Mengen). Um zu beweisen, dss zwei Mengen A und B gleich sind, ist lso zu zeigen, dss lle Elemente von A in B liegen und dss lle Elemente von B in A liegen. Nottion 0.11 (Grundlegende Nottionen in der Mengenlehre). Im folgenden seien A und B Mengen. Nottion x A A B Bedeutung/Definition x ist ein Element von A A ist eine Teilmenge von B, d.h. lle Elemente von A sind Elemente von B {x, y, z,... } die Menge mit den Elementen x, y, z,... {x C(x)} die Menge ller x, für die C(x) gilt A B die Schnittmenge von A und B, d.h. die Menge 4 A B := { x } (x A) (x B) A B A \ B die Vereinigung von A und B, d.h. die Menge A B := { x } (x A) (x B) ds Komplement von B in A (oder A ohne B), d.h. die Menge 5 A \ B := { x } (x A) (x B) oder {} P (A) die leere Menge, d.h. die Menge, die keine Elemente enthält die Potenzmenge von A, d.h. die Menge ller Teilmengen von A: P (A) := {x x A} Cvet Es ist P ( ) = { }, denn { } enthält ein Element (nämlich ), ber enthält keine Elemente. Definition 0.13 (Disjunkt). Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A B =. Proposition 0.14 (Eigenschften der Mengenopertionen). Seien A, B, C Mengen. 1. Ist A B und B C, so folgt A C. 2. Es gilt ( Kommuttivität von bzw. ) A B = B A und A B = B A. 3. Es gilt ( Assozitivität von bzw. ) (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C). 4 Hierbei bedeutet x := y, dss x durch y definiert wird. 5 Hierbei ist x B eine Abkürzung für (x B). 9

10 4. Es gilt (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Nottion Ist A eine Menge, so schreiben wir uch oft x A... sttt x ( (x A) =... ) {x A... } sttt { x (x A)... }. Cvet 0.16 (Russellsches Prdoxon). Die Betrchtung von {x x ist eine Menge und x x} führt zu einem Widerspruch! Mn drf lso nicht wie in Cntors Definition von Mengen lle Konstrukte ls Mengen zulssen. Ein möglicher Ausweg ist, ein zweistufiges System einzuführen (s.u.). Abbildungen Es ist ein llgemeines Prinzip in der Mthemtik, nicht nur Objekte zu betrchten, sondern uch zu studieren, wie gewisse Objekte zueinnder in Beziehung stehen; im Fll der Mengenlehre sind die Objekte Mengen und die Beziehungen sind Abbildungen: Definition 0.17 (Abbildung). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung X Y ordnet jedem Element us X genu ein Element us Y zu. Cvet Dies ist keine mthemtische Definition, denn zuordnen besitzt keine mthemtisch exkte Bedeutung! Definition 0.19 (Abbildung). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung X Y ist eine Teilmenge f X Y mit folgender Eigenschft: Für jedes x X gibt es genu ein y Y mit (x, y) f; mn schreibt in diesem Fll f(x) := y. Zwei Abbildungen f, g : X Y sind genu dnn gleich, wenn die zugehörigen Teilmengen von X Y gleich sind, d.h., wenn für lle x X gilt, dss f(x) = g(x). Definition 0.20 (Identität). Sei X eine Menge. Die Identität (uf X) ist die wie folgt definierte Abbildung id X : id X : X X x x. (D.h. id X ist durch die Teilmenge {(x, x) x X} X X gegeben.) 10

11 Definition 0.21 (Komposition von Abbildungen). Seien X, Y, Z Mengen und seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. Die Komposition von g mit f ist die Abbildung g f : X Z x g ( f(x) ). Bemerkung Die Komposition von Abbildungen ist ssozitiv, d.h. für lle Abbildungen f : X Y, g : Y Z, h: Z U gilt (h g) f = h (g f). Definition 0.23 (Einschränkung von Abbildungen). Seien X und Y Mengen, sei f : X Y eine Abbildung und sei A X eine Teilmenge. Die Einschränkung von f uf A ist die Abbildung f A, die wie folgt definiert ist: f A : A Y x f(x). Definition 0.24 (Bild/Urbild). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. Ist A X, so ist f(a) := { f(x) x A } Y ds Bild von A unter f. Ist B Y, so ist f 1 (B) := { x X f(x) B } X ds Urbild von B unter f. Definition 0.25 (Injektiv/surjektiv/bijektiv). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung f : X Y ist surjektiv, wenn f(x) = Y ist, d.h., wenn es zu jedem y Y ein x X mit f(x) = y gibt. Eine Abbildung f : X Y ist injektiv, wenn jedes Element us Y höchstens ein Urbild unter f besitzt, d.h., wenn für lle x, x X gilt: Ist f(x) = f(x ), so ist x = x. Eine Abbildung X Y ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist (d.h., wenn jedes Element us Y genu ein Urbild unter dieser Abbildung besitzt). Cvet Injektiv ist nicht ds Gegenteil von surjektiv! Definition 0.27 (Umkehrbbildung/inverse Abbildung). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. Eine Abbildung g : Y X ist eine Umkehrbbildung/inverse Abbildung von f, wenn g f = id X und f g = id Y. Proposition 0.28 (Umkehrbbildungen und Bijektivität). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. 1. Ist f bijektiv, so besitzt f eine Umkehrbbildung; ußerdem ist die Umkehrbbildung von f eindeutig bestimmt. 2. Besitzt f eine Umkehrbbildung, so ist f bijektiv. 11

12 Axiomtische Mengenlehre Ws ist xiomtische Mengenlehre? Sttt wie in Cntors Definition nzugeben, ws eine Menge ist, beschreibt mn die Mengenlehre durch eine Liste von Axiomen, die ngeben, wie mn mit Mengen umgehen knn. Wir geben im folgenden die Axiome für die Mengenlehre nch von Neumnn, Bernys und Gödel n 6 : Es gibt zwei Sorten von Objekten, Mengen und Klssen; mn sollte sich dbei Mengen ls kleine Klssen vorstellen. Nch dem Komprehensionsxiom drf mn Klssen sehr freizügig zusmmenstellen ber nicht jede Klsse ist eine Menge! Axiome 0.29 (Axiome der Mengenlehre nch von Neumnn, Bernys, Gödel). Es gibt zwei Sorten von Objekten, Mengen und Klssen. Jede Menge ist eine Klsse. Elemente von Klssen sind Mengen. Extensionlität. Zwei Klssen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Komprehension. Ist C eine quntorenlogische Aussge erster Stufe in einer mengenwertigen Vriblen und wird in C nicht über Klssenvriblen quntifiziert, so ist { x x ist eine Menge und es gilt C(x) } eine Klsse. Die leere Klsse := {x x ist eine Menge und x x} ist eine Menge. Jede Teilklsse einer Menge ist eine Menge; eine Klsse A ist eine Teilklsse einer Klsse B, wenn jedes Element von A ein Element von B ist. Prmengenxiom. Sind A und B Mengen, so ist uch {A, B} eine Menge. Vereinigungsxiom. Ist A eine Menge, so ist uch A := { x y ((x y) (y A)) } eine Menge, die Vereinigungsmenge von A. Potenzmengenxiom. Ist A eine Menge, so ist uch P (A) := {x x A} eine Menge, die Potenzmenge von A. Ersetzungsxiom. Ist F : X Y eine Funktion zwischen den Klssen X und Y und ist A X eine Teilmenge, so ist uch F (A) eine Menge. Unendlichkeitsxiom. Es gibt eine induktive Menge; eine Menge A heißt induktiv, wenn A und wenn für lle x A uch x {x} A ist. Auswhlxiom. Ist A eine Menge mit A, so gibt es eine Auswhlfunktion für A, d.h. eine Funktion f : A A mit folgender Eigenschft: Für lle x A ist f(x) x. Cvet Mn knn us den Axiomen der Mengenlehre nicht folgern, dss die Mengenlehre widerspruchsfrei ist! (Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitsstz). Die 6 Eine ndere weitverbreitete Axiomtisierung stmmt von Zermelo und Frenkel; es ergibt sich dbei dieselbe Mengenlehre (jedoch ohne Klssen). 12

13 Mthemtik beruht uf der Annhme, dss die Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind. Cvet Ds Auswhlxiom ist unbhängig von den nderen Axiomen der Mengenlehre. Aufgrund der Nicht-Konstruktivität und etws ungewöhnlicher Konsequenzen wird im Normlfll explizit ngegeben, wenn ein Beweis ds Auswhlxiom verwendet. Proposition Es gibt eine echte Klsse (d.h. eine Klsse, die keine Menge ist), nämlich zum Beispiel {x x ist eine Menge und x x}. 13

14 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper Ziel dieses und des nächsten Kpitels ist es, zu verstehen, ws die reellen Zhlen sind. Insbesondere werden wir uns zunächst mit den ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen beschäftigen. Im nächsten Kpitel werden wir den Übergng von den rtionlen zu den reellen Zhlen studieren. Ntürliche Zhlen Die ntürlichen Zhlen formlisieren ds Zählen; zum Zählen benötigt mn einen Strtpunkt ( null ), die Möglichkeit weiterzuzählen ( +1 ), und lle Anzhlen müssen uf diese Weise erreicht werden können. Genuer: Axiome 1.1 (Peno-Axiome der ntürlichen Zhlen). Ein Tripel (N, 0, s) erfüllt die Peno-Axiome, wenn N eine Menge ist, 0 N und s: N N eine Abbildung ist, die die folgenden Eigenschften besitzen: Es ist 0 s(n). Die Abbildung s: N N ist injektiv. Induktionsprinzip. Ist A N eine Teilmenge mit 0 A und s(a) A, so ist A = N. Ds zentrle Axiom ist ds Induktionsprinzip; etws expliziter knn es wie folgt formuliert werden: Bemerkung 1.2 (Prinzip der vollständigen Induktion). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Sei E eine Eigenschft von Elementen von N (d.h. wir können E ls Teilmenge von N uffssen), und es gelte: Induktionsnfng. Ds Element 0 ht die Eigenschft E. Induktionsschritt. Für lle n N gilt: Ht n die Eigenschft E, so uch s(n). Dnn hben lle Elemente von N die Eigenschft E. Ds Prinzip der vollständigen Induktion besitzt viele Vrinten. Mit Hilfe des Induktionsprinzips lssen sich uch Abbildungen induktiv/rekursiv definieren: Stz 1.3 (Rekursionsstz). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Sei A eine Menge, sei A und sei g : A A eine Abbildung. Dnn gibt es genu eine Abbildung f : N A mit der Eigenschft, dss f(0) = und, dss f ( s(n) ) = g ( f(n) ) für lle n N gilt. Definition 1.4 (Addition/Multipliktion/Potenzen). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt und sei m N. Wir definieren die Abbildungen m+ : N N, m : N N und m : N N mit Hilfe des Rekursionsstzes wie folgt: Addition. Es sei m + 0 := m und für lle n N sei m + s(n) := s(m + n). Multipliktion. Es sei m 0 := 0 und für lle n N sei m s(n) := m n + m. Potenzen. Es sei m 0 := s(0) und für lle n N sei m s(n) := m n m. 14

15 Proposition 1.5 (Eigenschften von Addition/Multipliktion/Potenzen). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Dnn gilt: 1. Neutrle Elemente. Für lle n N gilt n + 0 = n = 0 + n und n s(0) = n = s(0) n. 2. Assozitivität. Für lle k, m, n N gilt k + (m + n) = (k + m) + n und k (m n) = (k m) n. 3. Kommuttivität. Für lle m, n N gilt m + n = n + m und m n = n m. 4. Distributivität. Für lle k, m, n N gilt 5. Potenzgesetze. Für lle k, m, n N gilt (k + m) n = k m + k n. (k m) n = k n m n, (k m ) n = k m n, k m k n = k m+n. Stz Es existiert ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. 2. Je zwei Tripel, die die Peno-Axiome erfüllen, sind knonisch isomorph; genuer: Erfüllen (N, 0, s) und (N, 0, s ) die Peno-Axiome, so gibt es genu eine Bijektion f : N N mit f(0) = 0 und dss für lle n N gilt, dss f(s(n)) = s (f(n)). Der Beweis der ersten Aussge beruht uf dem Unendlichkeitsxiom; der Beweis der zweiten Aussge beruht uf dem Rekursionsstz. Definition 1.7 (Ntürliche Zhlen). Ds (bis uf knonische Isomorphie) eindeutige Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt, bezeichnen wir mit (N, 0, + 1) und nennen es ntürliche Zhlen. Nottion 1.8. Im Normlfll bezeichnen wir ntürliche Zhlen durch ihre Dezimldrstellung, d.h. N = {0, 1, 2,... }. Cvet 1.9. In mnchen Quellen wird die Konvention verwendet, dss die ntürlichen Zhlen mit 1 beginnen. Achten Sie dher unbedingt druf, welche Konvention jeweils verwendet wird! Nottion 1.10 ( / ). Sei X eine Menge zusmmen mit einer ssozitiven und kommuttiven Addition +: X X X, die ein bezüglich Addition neutrles Element 0 enthält, n und seien x 0, x 1,... X. Dnn definieren wir j=0 x j für lle n N induktiv durch 0 x j := x 0 j=0 15

16 und n+1 ( n ) x j := x j + x n+1 j=0 j=0 für lle n N. D.h. n j=0 x j = x x n. Ist k N, so definieren wir nlog k+n j=k x j = x k + x k x k+n (durch Induktion über n). Sind k, k N und gibt es kein n N mit k + n = k, so sei k j=k x j := 0. Anlog: Sei X eine Menge zusmmen mit einer ssozitiven und kommuttiven Multipliktion : X X X, die ein bezüglich Multipliktion neutrles Element 1 enthält, und seien x 0, x 1,... X. Dnn definieren wir n j=0 x j für lle n N induktiv durch 0 x j := x 0 und n+1 j=0 j=0 ( n x j := j=0 x j ) x n+1 für lle n N. D.h. n j=0 x j = x 0 x n. Ist k N, so definieren wir nlog k+n j=k x j = x k x k+1 x k+n (durch Induktion über n). Sind k, k N und gibt es kein n N mit k + n = k, so sei k j=k x j := 1. Proposition Für lle n N gilt 2 n j = n (n + 1). j=0 Definition 1.12 (Fkultät). Die Fkultätsfunktion ist wie folgt definiert: (Insbesondere ist 0! = 1).!: N N n n! := n j = 1 2 n. j=1 Proposition 1.13 (Addition uf N, Kürzungsregeln). 1. Es gilt die folgende Kürzungsregel: Für lle k, m, n N gilt: Ist k + n = m + n, so ist bereits k = m. 2. Jede ntürliche Zhl n N \ {0} besitzt einen Vorgänger, d.h. es gibt ein m N mit m + 1 = n. 3. Für lle n, n N gilt: Ist n + n = 0, so ist n = 0 = n. 4. Für lle n, n N existiert ein m N mit n+m = n oder es existiert ein m N mit n + m = n. 16

17 Gnze Zhlen Im llgemeinen sind für m, n N Gleichungen der Form x + m = n nicht mit x N lösbr. Wir erweitern dher die ntürlichen Zhlen zu den sogennnten gnzen Zhlen; grob gesgt sind die gnzen Zhlen die kleinste Gruppe, die die ntürlichen Zhlen enthält. Definition 1.14 (Gruppe). Eine Gruppe ist eine Menge G zusmmen mit einer Abbildung : G G G mit den folgenden Eigenschften: Es gibt ein neutrles Element bezüglich, d.h. es existiert ein e G mit der Eigenschft, dss für lle g G gilt g e = g = e g. [Ds neutrle Element ist durch diese Eigenschft eindeutig bestimmt. Außerdem ist insbesondere jede Gruppe nicht-leer.] Die Verknüpfung ist ssozitiv, d.h. für lle g, h, k gilt g (h k) = (g h) k. Jedes Element besitzt ein inverses Element bezüglich der Verknüpfung, d.h. zu jedem g G gibt es ein h G mit g h = e = h g. [Inverse Elemente sind durch diese Bedingung eindeutig bestimmt; ds inverse Element zu g G bezeichnet mn im Normlfll mit g 1.] Ist die Verknüpfung ußerdem kommuttiv, d.h. gilt g h = h g für lle g, h G, so nennt mn G eine belsche Gruppe. Stz 1.15 (Gnze Zhlen). Bis uf knonische Isomorphie gibt es genu eine belsche Gruppe (Z, +) mit den folgenden Eigenschften: Es ist N Z und die Addition uf Z erweitert die Addition uf N. Für lle x Z gilt x N oder x N; hierbei bezeichnet x ds dditive Inverse von x in Z. Wir nennen (Z, +) die gnzen Zhlen. Mn knn die gnzen Zhlen zum Beispiel ls Menge der formlen Differenzen von ntürlichen Zhlen (bezüglich einer geeigneten Gleichheit) konstruieren. [Dies wird später in der Algebr im Detil usgeführt.] Nottion 1.16 (Subtrktion). Sind x, y Z, so schreiben wir x y := x + ( y). 17

18 Definition 1.17 (Multipliktion uf Z). Sind x, x Z, so definieren wir x x := m m + n n (m n + n m ) Z, wenn x = m n und x = m n Drstellungen mit m, m, n, n N sind; die Multipliktionen uf der rechten Seite beziehen sich uf die bereits definierte Multipliktion in N. [Mn knn zeigen: Dies ist wohldefiniert, lso unbhängig von den gewählten Drstellungen von x bzw. x.] Bemerkung 1.18 (Multipliktion uf Z). 1. Die oben definierte Multipliktion uf Z setzt die Multipliktion uf N fort. 2. Die oben definierte Multipliktion uf Z ht 1 ls neutrles Element, ist kommuttiv und ssozitiv und erfüllt (mit der Addition uf Z) ds Distributivgesetz. Rtionle Zhlen Im llgemeinen sind für, b Z mit b 0 Gleichungen der Form x b = nicht mit x Z lösbr. Wir erweitern dher die gnzen Zhlen zu den sogennnten rtionlen Zhlen; grob gesgt sind die rtionlen Zhlen der kleinste Körper, der die gnzen Zhlen enthält. Definition 1.19 (Körper). Ein Körper ist eine Menge K zusmmen mit Abbildungen +: K K K und : K K K mit den folgenden Eigenschften: Es ist (K, +) eine belsche Gruppe; wir bezeichnen ds neutrle Element bezüglich der Addition + mit 0. Für lle x, y K \ {0} gilt x y 0 und (K \ {0}, K\{0} K\{0} K\{0} ) ist eine belsche Gruppe; wir bezeichnen ds neutrle Element bezüglich mit 1. [Insbesondere ist K \ {0} und 1 0.] Distributivgesetz. Für lle x, y, z K gilt (x + y) z = (x z) + (y z). Stz 1.20 (Rtionle Zhlen). Bis uf knonische Isomorphie gibt es genu einen Körper (Q, +, ) mit den folgenden Eigenschften: Es ist Z Q und die Addition/Multipliktion uf Q setzt die Addition/Multipliktion uf Z fort. Für lle x Q gibt es ein Z und ein b Z \ {0} mit x = b 1. Wir nennen (Q, +, ) die rtionlen Zhlen. Mn knn die rtionlen Zhlen zum Beispiel ls Menge der formlen Brüche von gnzen Zhlen mit nichtverschwindendem Nenner (bezüglich einer geeigneten Gleichheit) konstruieren. [Dies wird später in der Algebr im Detil usgeführt.] 18

19 Nottion 1.21 (Brüche). Sind x, y Q mit y 0, so schreiben wir x y := x y 1. [Mn knn zeigen, dss die gewöhnlichen Bruchrechenregeln gelten.] Ordnungen Bisher hben wir uf N, Z und Q nur lgebrische Opertionen betrchtet. Wir wollen ber uch über Ungleichungen und Anordnungen von Elementen sprechen können. Dies wird durch sogennnte Ordnungen formlisiert. Ordnungen sind spezielle Reltionen; Reltionen sind ein wichtiges und llgemeines Konzept, ds in llen Bereichen der Mthemtik verwendet wird: Definition 1.22 (Reltion). Sei X eine Menge. Eine Reltion uf X ist eine Teilmenge von X X. Ist X X eine Reltion uf X und sind x, y X, so schreiben wir genu dnn x y, wenn (x, y) gilt. Definition 1.23 (Eigenschften von Reltionen). Sei X eine Menge und sei X X eine Reltion uf X. Die Reltion ist reflexiv, flls für lle x X gilt, dss x x. Die Reltion ist symmetrisch, flls für lle x, y X genu dnn x y gilt, wenn y x gilt. Die Reltion ist nti-symmetrisch, flls für lle x, y X gilt: Ist x y und y x, so ist x = y. Die Reltion ist trnsitiv, flls für lle x, y, z X gilt: Ist x y und y z, so ist uch x z. Definition 1.24 ((Prtielle) Ordnung). Sei X eine Menge. Eine prtielle Ordnung uf X ist eine reflexive, nti-symmetrische und trnsitive Reltion uf X. Ist eine prtielle Ordnung uf X, so sgt mn uch, dss (X, ) eine prtiell geordnete Menge ist. Eine Ordnung (oder: totle Ordnung) uf X ist eine prtielle Ordnung uf X, für die ußerdem gilt: Für lle x, y X ist x y oder y x. Nottion Sei (X, ) eine prtiell geordnete Menge. Dnn definieren wir die Reltion < uf X durch die Menge { (x, x ) (x X) (x X) (x x ) (x x ) } X X. Sind x, x X, so schreiben wir uch x x für x x bzw. wir schreiben uch x > x für x < x. Ist x X, so schreiben wir X x := {x X x x} X x := {x X x x} X >x := {x X x > x} X <x := {x X x < x}. 19

20 Bemerkung Ist X eine Menge, so ist die Potenzmenge P (X) durch die Inklusionsreltion prtiell geordnet; im llgemeinen ist dies ber keine totle Ordnung uf P (X). Definition 1.27 (Die Reltionen uf N, Z, Q). Wir definieren die Reltion uf N durch die Menge { (n, n ) (n N) (n N) ( m N n + m = n ) } N N. In nderen Worten: Sind n, n N, so gilt genu dnn n n, wenn es ein m N mit n + m = n gibt. Wir definieren die Reltion uf Z durch die Menge { (x, x ) (x Z) (x Z) ( n N x + n = x ) } Z Z. Wir definieren die Reltion uf Q durch die Menge { (x, x ) (x Q) (x Q) n N\{0} ( (n x Z) (n x Z) (n x n x ) )} Q Q. Proposition Es ist eine Ordnung uf N. 2. Für lle n, n N gilt: Ist n > 0 und n > 0, so ist uch n n > 0. Proposition Es ist eine Ordnung uf Z. 2. Es ist Z 0 = N und für lle x Z ist genu dnn 0 x, wenn x Für lle x, x Z und lle n N gilt: Ist x x, so ist uch n x n x. Proposition Es ist eine Ordnung uf Q. 2. Für lle x, x, y Q gilt: Ist x x, so ist uch x + y x + y. Ist x x und y > 0, so ist x y x y. 3. Für jedes x Q existiert ein n N mit x n. Bemerkung 1.31 (Unterschiede zwischen den Ordnungen uf N, Z, Q). Die Ordnung uf N erfüllt ds Wohlordnungsprinzip, d.h. jede nicht-leere Teilmenge A N enthält ein minimles Element (lso ein Element m A mit der Eigenschft, dss für lle n A gilt, dss m n). Ds Wohlordnungsprinzip ist strk mit dem Induktionsprinzip und dem Rekursionsstz verwndt. Für lle x, x Q mit x < x gibt es ein y Q mit x < y < x, nämlich etw y = x/2+x /2. Für N und Z gilt die nloge Aussge im llgemeinen nicht. Im folgenden betrchten wir N, Z, Q immer mit den oben eingeführten Ordnungen (es sei denn, es wird explizit etws nderes vereinbrt). 20

21 Angeordnete Körper Die rtionlen Zhlen sind ein sogennnter rchimedischer ngeordneter Körper: Definition 1.32 (Angeordneter Körper). Ein ngeordneter Körper ist ein Körper K mit einer Ordnung mit den folgenden Eigenschften: Für lle x, x, y K gilt: Ist x x, so ist uch x + y x + y. Ist x x und ist y 0, so ist uch x y x y. Cvet Ist (K, ) ein ngeordneter Körper und sind x, x, y K mit x x und y < 0, so gilt x y x y; d.h. Multipliktion mit negtiven Elementen dreht Ungleichungen um! Bemerkung Auf dem Körper mit genu zwei Elementen gibt es keine Ordnung, die ihn zu einem ngeordneten Körper mcht. Proposition 1.35 (Qudrte in ngeordneten Körpern). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. Dnn gilt: 1. Für lle x K ist x 2 0; dbei gilt genu dnn x 2 = 0, wenn x = 0 ist. 2. Für lle x, y K 0 ist genu dnn x y, wenn x 2 y 2 ist. Korollr 1.36 (Ntürliche Zhlen in ngeordneten Körpern). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. 1. Dnn ist 0 < 1 und 1 < 0; insbesondere ist 1 kein Qudrt in K. 2. Die Abbildung N K n n 1 ist injektiv. Wir fssen dher immer N ls Teilmenge von K uf. Definition 1.37 (rchimedisch). Ein ngeordneter Körper (K, ) heißt rchimedisch, wenn es zu jedem x K ein n N mit x n gibt; hierbei betrchten wir N ls Teilmenge von K wie in Korollr Cvet Es gibt ngeordnete Körper, die nicht rchimedisch sind! Definition 1.39 (Betrg). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. Dnn definieren wir die Betrgsfunktion uf K durch j=1 : K K 0 { x flls x 0 x x flls x < 0. Proposition 1.40 (Eigenschften des Betrgs). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. Dnn gelten: 21

22 1. Für lle x K ist x x und x = x. 2. Für lle x K ist x 2 = x Für lle x, y K ist x y = x y. 4. Es gilt die Dreiecksungleichung, d.h. für lle x, y K ist x + y x + y und x y x y. 22

23 2 Konvergenz und Vollständigkeit Ds grundlegende Konzept in der Anlysis ist Approximtion. Im folgenden werden wir den Approximtions- bzw. Konvergenzbegriff formlisieren und insbesondere uch die reellen Zhlen einführen. Wrum knn mn in Q keine Anlysis mchen? Genuso wie die ntürlichen Zhlen für die Algebr ungeeignet sind (d sie nicht unter Subtrktion/Division bgeschlossen sind), sind die rtionlen Zhlen für die Anlysis ungeeignet (d sie nicht unter Approximtion bgeschlossen sind): Proposition Für lle ε Q >0 gibt es ein x Q mit x 2 2 < (x + ε) Aber es gibt kein x Q mit x 2 = 2. Wir wollen lso (wie vorher bei den Erweiterungen von N zu Z bzw. Q) die rtionlen Zhlen zu eine ngeordneten Körper erweitern, der unter Approximtion bgeschlossen ist dies wird die reellen Zhlen liefern. Cvet 2.2. Es ist nicht möglich, die reellen Zhlen us den rtionlen Zhlen zu erhlten, indem mn Lösungen von rtionlen polynomilen Gleichungen zu Q hinzufügt! (Korollr 3.26). Der Schritt von den rtionlen Zhlen zu den reellen Zhlen ist kein lgebrischer, sondern ein nlytischer Schritt. Cuchyfolgen und konvergente Folgen Wir werden den Approximtionsbegriff mit Hilfe von Folgen formlisieren: Definition 2.3 (Folge). Sei X eine Menge. Eine Folge in X ist eine Abbildung vom Typ N X. Nottion 2.4. Sei X eine Menge. Wir schreiben ( n ) n N für die Folge, die durch die Abbildung gegeben ist. N X n n Definition 2.5 (Cuchyfolge, Grenzwert, konvergente Folge). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper und sei ( n ) n N eine Folge in K. Die Folge ( n ) n N ist eine Cuchyfolge in K, wenn folgendes gilt: ε K>0 N N n,m N N n m ε; in Worten: Für jedes ε K >0 gibt es ein N N, so dss gilt: für lle n, m N N ist n m < ε. 23

24 Ein Element K ist ein Grenzwert von ( n ) n N, wenn ε K>0 N N n N N n ε. Die Folge ( n ) n N in K ist konvergent in K, wenn sie einen Grenzwert in K besitzt. Eine Folge in K heißt Nullfolge, wenn sie 0 ls Grenzwert besitzt. Cvet 2.6. Die Reihenfolge der Quntoren in der Definition von Cuchyfolge bzw. Konvergenz ist essentiell! Proposition 2.7 (Grundlegende Eigenschften von Cuchyfolgen). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. Dnn gilt: 1. Jede Cuchyfolge ( n ) n N in K ist beschränkt, d.h. es existiert ein K mit der Eigenschft, dss für lle n N gilt, dss n. 2. Sind ( n ) n N und (b n ) n N Cuchyfolgen in K, so sind uch ( n + b n ) n N, ( n b n ) n N, ( n b n ) n N Cuchyfolgen in K; ist ußerdem b n 0 für lle n N und ist (b n ) n N keine Nullfolge, so ist uch ( n /b n ) n N eine Cuchyfolge in K. 3. Ist ( n ) N eine Cuchyfolge in K und ist K, so sind uch ( + n ) n N und ( n ) n N Cuchyfolgen in K. Proposition 2.8 (Grundlegende Eigenschften von konvergenten Folgen). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. Jede in K konvergente Folge in K ist uch eine Cuchyfolge in K. Jede in K konvergente Folge ( n ) n N in K besitzt genu einen Grenzwert in K. Wir schreiben dnn lim n n ( Limes von n für n gegen unendlich ) für diesen Grenzwert. Seien ( n ) n N und (b n ) n N in K konvergente Folge in K. Dnn sind ( n +b n ) n N, ( n b n ) n N und ( n b n ) n N in K konvergente Folgen in K und es gilt lim ( n + b n ) = lim n + lim b n n n n lim ( n b n ) = lim n lim b n n n n lim ( n b n ) = lim n lim b n. n n n Gilt ußerdem b n 0 für lle n N und ist (b n ) n N keine Nullfolge, so ist uch ( n /b n ) n N eine in K konvergente Folge in K und es gilt n lim = lim n n. n b n lim n b n 24

25 Ist ( n ) N eine in K konvergente Folge in K und ist K, so sind uch ( + n ) n N und ( n ) n N in K konvergente Folgen in K und es gilt lim ( + n) = + lim n n n lim ( n) = lim n. n n Cvet 2.9. Nicht lle Cuchyfolgen in Q konvergieren in Q! Vollständigkeit Wie bereits ngedeutet sind die rtionlen Zhlen nicht unter Approximtion bgeschlossen; formuliert in der Sprche der Cuchyfolgen bzw. konvergenten Folgen bedeutet dies: Definition 2.10 (Vollständigkeit). Ein ngeordneter Körper (K, <) ist (Cuchy)vollständig, wenn jede Cuchyfolge in K einen Grenzwert in K besitzt. Die rtionlen Zhlen Q sind nicht vollständig in diesem Sinne, denn zum Beispiel ist die rekursiv durch 0 := 1 und n+1 := 1 ( 2 n + 2 ) n für lle n N definierte Folge ( n ) n N in Q zwr eine Cuchyfolge, besitzt ber in Q keinen Grenzwert. Exkurs: Äquivlenzreltionen Wir erhlten die gnzen Zhlen us den ntürlichen Zhlen, indem wir formle Differenzen hinzufügen; nlog erhlten wir die rtionlen Zhlen us den gnzen Zhlen, indem wir formle Quotienten hinzufügen. Wir werden zeigen, dss mn die reellen Zhlen us den rtionlen Zhlen konstruieren knn, indem mn formle Grenzwerte hinzufügt. All diese Konstruktionen bsieren uf dem Konzept der Äquivlenzreltionen und Bildung von Äquivlenzklssen: Definition 2.11 (Äquivlenzreltion). Sei X eine Menge. Eine Reltion uf X ist eine Äquivlenzreltion uf X, wenn sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Ist X X eine Äquivlenzreltion uf X und x X, so heißt [x] := {y X x y} X Äquivlenzklsse von x bezüglich. Mn schreibt X/ (gelesen: X modulo ) für die Menge X/ := { [x] x X } P (X) ller Äquivlenzklssen. Bemerkung 2.12 (Eigenschften von Äquivlenzklssen). Sei X eine Menge und sei X X eine Äquivlenzreltion uf X. Dnn gilt: 1. Für lle x, y X ist entweder [x] = [y] oder [x] [y] =. 2. Es ist X = (X/ ) und diese Vereinigung ist disjunkt. 25

26 Die reellen Zhlen Wie bereits ngedeutet konstruieren wir die reellen Zhlen us den rtionlen Zhlen durch Hinzufügen formler Grenzwerte : Definition 2.13 (Reelle Zhlen). Sei Q die Menge ller Cuchyfolgen in Q. Wir definieren die Reltion uf Q durch die Menge {( (n ) n N, (b n ) n N ) Q Q (n b n ) n N ist eine Nullfolge in Q }. Wir schreiben R := Q/ und nennen R die Menge der reellen Zhlen. Definition 2.14 (Addition/Multipliktion uf R). Wir definieren +: R R R ( [(n ) n N ], [(b n ) n N ] ) [ ( n + b n ) n N ] : R R R ( [(n ) n N ], [(b n ) n N ] ) [ ( n b n ) n N ] und schreiben in R = Q/ kurz 0 := [(0) n N ] und 1 := [(1) n N ]. Proposition 2.15 (R ist ein Körper). 1. Die oben definierten Abbildungen +, : R R R sind wohldefiniert (d.h. unbhängig von der Whl der Repräsentnten der Äquivlenzklssen). 2. Die Menge R = Q/ bildet zusmmen mit diesen Verknüpfungen + und einen Körper; ds neutrle Element bezüglich Addition ist [(0) n N ], ds neutrle Element bezüglich Multipliktion ist [(1) n N ]. Als nächsten Schritt führen wir eine Ordnungsreltion uf R ein: Definition 2.16 (Die Reltion uf R). Wir definieren uf R = Q/ durch die Menge {( [(n ) n N ], [(b n ) n N ] ) Q/ Q/ ε Q>0 N N n N N n b n + ε }. Proposition 2.17 ((R, ) ist ein ngeordneter Körper). 1. Die Reltion uf R ist wohldefiniert. 2. Die Reltion uf R ist eine Ordnung uf R. 3. Der Körper R bildet zusmmen mit einen ngeordneten Körper. 4. Die Abbildung Q R [ () n N ] is wohldefiniert, injektiv und verträglich mit Addition, Multipliktion und den Ordnungsreltionen; wir fssen dher Q im folgenden vermöge dieser Abbildung ls Teilmenge von R uf. 26

27 Stz 2.18 (R ist die Vervollständigung von Q). 1. Der ngeordnete Körper (R, ) ist rchimedisch. 2. Die rtionlen Zhlen Q liegen dicht in R, d.h. für lle x R und lle ε R >0 existiert ein Q mit x ε. 3. Der ngeordnete Körper (R, ) ist Cuchy-vollständig. Der Beweis der letzten Aussge beruht uf einem Digonlfolgenrgument. Bemerkung Ds hier ngewndte Konstruktionsprinzip Hinzufügen formler Grenzwerte bzw. Cuchyfolgen modulo Nullfolgen funktioniert uch in llgemeineren Kontexten und gehört zu den Stndrdkonstruktionen in der modernen Anlysis. Stz 2.20 (Axiomtische Chrkterisierung der reellen Zhlen). Ist (K, ) ein rchimedischer ngeordneter Körper, der Cuchy-vollständig ist, so gibt es genu eine Bijektion R K, die mit Addition, Multipliktion und den Ordnungsreltionen verträglich ist. In nderen Worten: Der ngeordnete Körper (R, ) ist bis uf knonische Isomorphie der einzige rchimedische ngeordnete Cuchy-vollständige Körper. Bemerkung 2.21 ( Wurzeln in R). Mn knn zeigen, dss es z.b. Cuchyfolgen in Q gibt, deren Grenzwert x R die Gleichung x 2 = 2 erfüllt. Anlog knn mn (höhere) Wurzeln für lle nicht-negtiven reellen Zhlen erklären; wir werden dies später systemtisch mit Hilfe von Stetigkeitsrgumenten tun. Vollständigkeit und Beschränktheit Neben der Chrkterisierung/Definition von Vollständigkeit über Cuchyfolgen gibt es uch eine Chrkterisierung von Abgeschlossenheit unter Approximtion/Konvergenz in ngeordneten Körpern, die uf der Existenz von kleinsten oberen Schrnken beschränkter Megen beruht: Definition 2.22 (Supremum/Infimum). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper und sei A K. Eine obere Schrnke von A in K ist ein K mit folgender Eigenschft: für lle x A ist x. Eine untere Schrnke von A in K ist ein K mit folgender Eigenschft: für lle x A ist x. Ein K ist eine kleinste obere Schrnke von A in K, wenn eine obere Schrnke von A in K ist und für jede obere Schrnke b K von A gilt, dss b ist. Flls A eine kleinste obere Schrnke besitzt, so ist diese eindeutig und heißt Supremum von A, bezeichnet mit sup A. Anlog sind größte untere Schrnken von A in K und ds Infimium von A in K, geschrieben inf A, definiert. Stz Jede nicht-leere beschränkte Teilmenge in R besitzt ein Supremum und ein Infimum in R; eine Teilmenge A R heißt beschränkt, wenn es ein R gibt, so dss: für lle x A ist x. 27

28 Bemerkung Die obige Eigenschft von Existenz von Suprem bzw. Infim beschränkter Mengen knn ls Definition für Vollständigkeit ngeordneter Körper verwendet werden; sie führt zur Konstruktion von R us Q durch sogennnte Dedekindsche Schnitte. Definition 2.25 (Monotonie). Eine Abbildung f : X Y zwischen prtiell geordneten Mengen (X, ) und (Y, ) heißt monoton wchsend, flls streng monoton wchsend, flls monoton fllend, flls streng monoton fllend, flls x,x X x x = f(x) f(x ). x,x X x < x = f(x) < f(x ). x,x X x x = f(x) f(x ). x,x X x < x = f(x) > f(x ). (streng) monoton, flls sie (streng) monoton wchsend oder (streng) monoton fllend ist. (Insbesondere liefert dies einen Monotoniebegriff für Folgen in prtiell geordneten Mengen.) Monotonie führt zusmmen mit Stz 2.23 zu einem der wichtigsten Konvergenzkriterien für reellwertige Folgen: Korollr Jede beschränkte monotone Folge reeller Zhlen konvergiert in R. Definition 2.27 (Häufungspunkt). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper. Ein Element K ist ein Häufungspunkt der Folge ( n ) n N in K, flls es zu jedem ε K >0 und zu jedem N N ein n N N mit n ε gibt. Stz 2.28 (Stz von Bolzno-Weierstrß). Jede beschränkte Folge in R besitzt einen Häufungspunkt in R. Bemerkung Verllgemeinerungen dieses Stzes führen zu sogennnten Kompktheitsrgumenten, die in der Anlysis eine wichtige Rolle spielen. Komplexe Zhlen Es gibt eine lgebrische Erweiterung der reellen Zhlen, die in vielen Gebieten der Anlysis und Algebr ber uch in den Anwendungen eine wichtige Rolle spielt: die komplexen Zhlen. 28

29 Definition 2.30 (Komplexe Zhlen). Die Menge C := { (x, y) x, y R } = R R heißt Menge der komplexen Zhlen; ist (x, y) C, so nennen wir x den Relteil von (x, y) bzw. y den Imginärteil von (x, y). Mn nennt i := (0, 1) C die imginäre Einheit. Auf C wird wie folgt eine Addition und eine Multipliktion definiert: + : C C C ( (x, y), (x, y ) ) (x + x, y + y ) : C C C ( (x, y), (x, y ) ) (x x y y, x y + x y). Bemerkung Mn knn zeigen, dss C mit dieser Addition/Multipliktion einen Körper bildet; ds neutrle Element bezüglich Addition ist 0 := (0, 0) C, ds neutrle Element bezüglich Multipliktion ist 1 := (1, 0) C. Cvet In C gilt i 2 = i i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Insbesondere gibt es uf C keine Ordnung, die C zu einem ngeordneten Körper mcht. Es gilt sogr llgemeiner (Fundmentlstz der Algebr): Jedes nicht-konstnte Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt in C mindestens eine Nullstelle (diese lssen sich jedoch im llgemeinen nicht explizit durch iteriertes Wurzelziehen berechnen). Wrum knn mn Anlysis mit den komplexen Zhlen mchen, obwohl C kein ngeordneter Körper ist? Dzu verwendet mn den Betrg: Definition 2.33 (Komplexe Konjugtion, Betrg). Die komplexe Konjugtion ist wie folgt definiert ( Spiegeln n der reellen Achse ): Die Betrgsfunktion uf C ist durch : C R 0 : C C (x, y) (x, y). (x, y) x2 + y 2 = (x, y) (x, y) definiert ( Abstnd von 0 in der reellen Ebene ); die (reellen) Wurzeln können hier gezogen werden, d die entsprechenden Terme nicht-negtive reelle Zhlen sind (wir werden später noch genuer uf Wurzeln eingehen). Bemerkung Der Betrg uf C erfüllt die Dreiecksungleichung. Mit Hilfe des Betrgs uf C erhält mn eine Definition für Cuchyfolge bzw. Konvergenz von Folgen mit komplexen Folgengliedern und mn knn zeigen, dss C in diesem Sinne Cuchyvollständig ist. (Wir gehen n dieser Stelle nicht näher druf ein, d wir später llgemeiner den Konvergenzbegriff in metrischen/topologischen Räumen einführen werden). 29

30 3 Reihen Wir wollen im folgenden untersuchen, unter welchen Vorussetzungen mn unendlichen Summen der Form n=0 n eine sinnvolle Bedeutung/einen sinnvollen Wert geben knn und wie mn mit solchen unendlichen Summen rbeiten knn. Solche unendlichen Summen sind ein Hilfsmittel, um viele Funktionen R R geeignet drstellen bzw. definieren zu können (z.b. die Exponentilfunktion). Cvet 3.1. Beim Umgng mit unendlichen Summen ist Vorsicht geboten! Im llgemeinen drf mn mit solchen Summen nicht niv rechnen! Reihen Grundbegriffe Definition 3.2 (Reihe, Konvergenz von Reihen). Sei (K, ) ein ngeordneter Körper und sei ( n ) n N eine Folge in K. Wir schreiben n=0 n für die (formle) Reihe über die ( n ) n N. (Dies ist zunächst nur ein Symbol und besitzt noch keinen Wert in K). Die Reihe n=0 n ist konvergent in K, wenn die Folge ( n ) k k=0 n N der Prtilsummen in K konvergiert. Mn schreibt dnn uch n := lim n=0 n k n k=0 für den (Grenz-)Wert der Reihe n=0 n. Ist die Reihe n=0 n nicht in K konvergent, so heißt sie divergent in K. Die Reihe n=0 n heißt bsolut konvergent in K, flls die Reihe n=0 n in K konvergiert. Im folgenden werden wir im Normlfll zunächst nur Reihen in R betrchten. Beispiel 3.3 (Hrmonische Reihe). Die hrmonische Reihe konvergent, d die Folge der Prtilsummen unbeschränkt ist. n=0 1 n+1 ist in R nicht Proposition 3.4 (Geometrische Reihe). Sei x R mit x < 1. Dnn ist die geometrische Reihe n=0 xn in R konvergent und Konvergenzkriterien n=0 x n = 1 1 x. Im folgenden werden wir einige der grundlegenden Konvergenzkriterien für Reihen kennenlernen: 30

31 Bemerkung 3.5. Wir können ntürlich lle Grenzwertsätze/Konvergenzkriterien für Folgen uf Folgen von Prtilsummen nwenden. Zum Beispiel: 1. Sind n=0 n und n=0 b n konvergente Reihen in R und sind, b R, so ist uch die Reihe n=0 ( n + b b n ) in R konvergent und für den Wert dieser Reihe gilt ( n + b b n ) = n + b b n. n=0 2. Ist ( n ) n N eine Folge in R 0 und ist die Folge ( n k=0 k) n N der Prtilsummen beschränkt, so konvergiert die Reihe n=0 n in R. Proposition 3.6 (Mjorntenkriterium). Seien ( n ) n N und (b n ) n N Folgen in R 0 mit n b n für lle n N. Dnn gilt: 1. Konvergiert n=0 b n in R, so konvergiert uch n=0 n in R. 2. Divergiert n=0 n in R, so divergiert uch n=0 b n in R. Proposition 3.7 (Quotientenkriterium). Sei ( n ) n N eine Folge in R \ {0} mit folgender Eigenschft: Es existiert ein x R mit 0 < x < 1 mit: für lle n N ist n+1 n x. n=0 Dnn ist die Reihe n=0 n in R bsolut konvergent. Beispiel 3.8 (Exponentilreihe). Für lle x R konvergiert die Exponentilreihe n=0 xn /n! bsolut in R. Definition 3.9 (Exponentilfunktion, eulersche Zhl). Die Funktion heißt Exponentilfunktion; die Zhl heißt eulersche Zhl. exp: R R x e := exp(1) = Bemerkung Mn knn zeigen, dss e R \ Q gilt und, dss mn e uch nicht ls Lösung einer (nicht-konstnten) polynomilen Gleichung über Q erhlten knn. Die folgenden Propositionen klären wie ds Konvergenzverhlten einer Reihe mit dem Konvergenzverhlten der unterliegenden Folge zusmmenhängt: Proposition Sei ( n ) n N eine Folge in R, für die die Reihe n=0 n in R konvergiert. Dnn ist ( n ) n N eine Nullfolge in R. n=0 n=0 x n n! 1 n! n=0 31

32 Cvet Die Umkehrung dieser Proposition gilt im llgemeinen nicht! (Mn betrchte etw die hrmonische Reihe.) Proposition 3.13 (Leibnizkriterium). Sei ( n ) n N eine monoton fllende Nullfolge in R 0. Dnn konvergiert die lternierende Reihe n=0 ( 1)n n in R. Proposition Jede bsolut konvergente Reihe in R ist konvergent in R. Cvet Im llgemeinen ist nicht jede konvergente Reihe bsolut konvergent! (Mn betrchte etw die lternierende hrmonische Reihe.) Cvet Im llgemeinen ändert ds Umordnen von Reihe ds Konvergenzverhlten und den Grenzwert! Stz 3.17 (Produkte bsolut konvergenter Reihen). Seien n=0 n und n=0 b n bsolut konvergente Reihen in R. Dnn ist uch die Reihe n=0 ( n k=0 k b n k ) (ds sogennnte Cuchyprodukt dieser beiden Reihen) in R konvergent und für den Wert dieser Reihe gilt: ( n ) k b n k = n b n. n=0 k=0 Korollr 3.18 (Funktionlgleichung der Exponentilfunktion). Für lle x, y R ist n=0 n=0 exp(x + y) = exp(x) exp(y). Insbesondere ist exp(n) = e n für lle n N. Wir werden später noch weitere Konvergenzkriterien für Reihen kennenlernen (z.b. ds Integrlkriterium) und einige verblüffende Werte von Reihen usrechnen. Exkurs: Wieviele reelle Zhlen gibt es? Wir werden uns im folgenden mit der Frge beschäftigen, wieviele reelle Zhlen es gibt; dzu führen wir zunächst den Mächtigkeits- bzw. Abzählbrkeitsbegriff ein und untersuchen dnn die reellen Zhlen mit Hilfe von Dezimldrstellungen. Definition 3.19 (Mächtigkeit von Mengen). Seien X und Y Mengen. Die Mengen X und Y sind gleichmächtig (bzw. hben dieselbe Krdinlität), wenn es eine Bijektion X Y gibt; wir schreiben in diesem Fll X = Y. Die Mächtigkeit von X ist höchstens so groß wie die von Y, wenn es eine Injektion X Y gibt; wir schreiben in diesem Fll X Y. Die Mächtigkeit von X ist echt kleiner ls die von Y, wenn X Y und X Y gilt; wir schreiben in diesem Fll X < Y. Bemerkung Für lle Mengen X ist P (X) > X. Insbesondere gibt es keine Menge mit mximler Mächtigkeit! Bemerkung 3.21 (Stz von Schröder-Bernstein). Sind X, Y Mengen mit X Y und Y X, so folgt X = Y. 32

33 Definition 3.22 (Endlich/unendlich). Eine Menge X heißt endlich, wenn es eine ntürliche Zhl n N mit X = N <n = {0,..., n 1} gibt; mn knn zeigen, dss n in diesem Fll eindeutig bestimmt ist und wir schreiben dnn X = n. Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich ist. Proposition 3.23 (Unendlichkeit und N). 1. Die Menge N ist unendlich. 2. Eine Menge X ist genu dnn unendlich, wenn X N ist. Definition 3.24 (Abzählbr/überbzählbr). Eine Menge X heißt bzählbr, wenn X N ist (wird mnchml uch ls höchstens bzählbr bezeichnet). Eine Menge X heißt bzählbr unendlich, wenn X = N ist (wird mnchml uch ls bzählbr bezeichnet). Eine Menge X heißt überbzählbr, wenn X > N ist. Mit Hilfe eines Digonlrgumentes für Dezimlbrüche konnte Cntor folgendes Resultt zeigen: Stz Die Menge R der reellen Zhlen ist überbzählbr. Korollr 3.26 (Existenz trnszendenter Zhlen). Mn knn zeigen, dss es nur bzählbr viele Polynome mit rtionlen Koeffizienten gibt und dss jedes nicht-konstnte Polynom mit rtionlen Koeffizienten nur endlich viele reelle Nullstellen ht; dher gibt es in R nur bzählbr viele sogennnte lgebrische Zhlen, und somit muss es in R überbzählbr viele sogennnte trnszendente Zhlen geben. Cvet Es ist oft schwer, für konkrete reelle Zhlen nchzuweisen, dss sie trnszendent sind. Zum Beispiel ist beknnt, dss die eulersche Zhl e, die Kreiszhl π und n=0 1/10n! trnszendent sind; es ist jedoch nicht beknnt, ob e+π trnszendent ist! Cvet 3.28 (Kontinuumshypothese). Die Frge, ob es eine Menge X mit N < X < R gibt, ist unbhängig von den Axiomen der Mengenlehre: Gödel und Cohen hben bewiesen, dss (wenn die Mengenlehre konsistent ist) weder die Existenz, noch die Nicht-Existenz einer solchen Menge us den Axiomen der Mengenlehre gefolgert werden knn (!). 33

34 4 Stetigkeit In den folgenden Kpiteln werden wir Funktionen vom Typ R R untersuchen. Solche Funktionen treten häufig in Anwendungen uf (z.b. Modellierung zeitbhängiger Größen) und sind die grundlegenden Busteine für mehrdimensionle Funktionen. Es gibt jedoch sehr viele Abbildungen R R und im llgemeinen knn mn nichts interessntes über solche Abbildungen ussgen. Wir werden uns dher uf hinreichend gutrtige Abbildungen einschränken. So wie mn etw in der lineren Algebr Abbildungen untersucht, die mit der lineren Struktur verträglich sind, werden wir nun Abbildungen R R studieren, die mit Approximtion verträglich sind sogennnte stetige Funktionen. Stetige Funktionen erfüllen unter nderem nützliche Fixpunktsätze, genügen dem Extremlprinzip und hben interessnte Invertierbrkeitseigenschften; insbesondere werden wir Wurzeln einführen. Außerdem werden wir Approximtion von Funktionen durch Funktionen betrchten. Stetige Funktionen Eine Funktion ist stetig, wenn sie mit Approximtion verträglich ist; dzu führen wir zunächst eine Nottion für die Menge ller Punkte ein, die durch eine gegebene Menge pproximiert werden können: Definition 4.1 (Abschluss). Sei X R. Der Abschluss von X in R ist die Menge X := { es gibt eine Folge (n ) n N in X mit ls Grenzwert }. Definition 4.2 (Stetig). Sei X R und sei f : X R eine Abbildung. Sei X und sei y R. Der Grenzwert von f für X x ist y, wenn folgendes gilt: Für lle Folgen ( n ) n N in X, die in R gegen konvergieren, ist uch (f( n )) n N konvergent und lim n f( n ) = y. In diesem Fll schreibt mn lim f(x) = y. X x Sei X. Die Abbildung f ist stetig in, wenn lim X x f(x) = f(). Ausformuliert bedeutet dies: Für lle Folgen ( n ) n N in X, die in R gegen konvergieren, ist uch (f( n )) n N konvergent und lim n f( n ) = f(). Die Abbildung f ist uf X stetig, wenn sie in jedem Punkt von X stetig ist. Zum Beispiel sind lle konstnten Funktionen R R uf R stetig und id R : R R und : R R sind uf R stetig. Proposition 4.3 (Vererbungseigenschften stetiger Funktionen). 1. Sei X R. Sind f, g : X R uf X stetig und sind, b R, so ist uch f + b g : X R x f(x) + b g(x) 34

35 uf X stetig. D 0: X R uf X stetig ist, folgt somit, dss die Menge C(X, R) := {f : X R f ist stetig uf X} bezüglich der obigen lineren Struktur ein R-Vektorrum ist. 2. Sei X R. Sind f, g : X R uf X stetig, so ist uch f g : X R x f(x) g(x) uf X stetig. Gilt ußerdem g(x) 0 für lle x X, so ist uch f g : X R x f(x) g(x) uf X stetig. 3. Seien X, Y R, seien f : X R und g : Y R stetig uf X bzw. Y und es gelte f(x) Y. Dnn ist Komposition g f : X R uf X stetig. Korollr 4.4 (Polynomfunktionen sind stetig). Sei n N und seien 0,..., n R. Dnn ist die Polynomfunktion R R n x k x k = x + + n x n k=0 mit den Koeffizienten 0,..., n stetig uf R. Stetigkeit und offene Mengen Wir werden nun die Stetigkeitsbedingung vi Folgen umformulieren und so eine elegnte und nützliche Chrkterisierung von Stetigkeit durch sogennnte offene Mengen erhlten. Als ersten Schritt leiten wir dzu ds ε-δ-kriterium für Stetigkeit her: Proposition 4.5 (ε-δ-kriterium). Sei X R, sei f : X R eine Abbildung und sei X. Dnn ist f genu dnn in stetig, wenn folgendes gilt: Für lle ε R >0 existiert ein δ R >0 mit x X ( x < δ = f(x) f() < ε ). Im zweiten Schritt formulieren wir dies mit Hilfe offener Mengen um: Definition 4.6 (Offen/bgeschlossen). Sei X R. Ist x R und ε R >0, so nennen wir U(x, ε) := { y R y x < ε } die offene ε-umgebung um x in R. 35

36 Eine Teilmenge U X ist offen in X, flls: Für lle x U gibt es ein ε R >0 mit U(x, ε) X U. Eine Teilmenge A X ist bgeschlossen in X, flls X \ A offen in X ist. Proposition 4.7 (Abgeschlossenheit und Approximtion). Sei X R. 1. Eine Teilmenge A X ist genu dnn in X bgeschlossen, wenn folgendes gilt: Für lle Folgen ( n ) n N in A, die in R gegen einen Grenzwert us X konvergieren, ist lim n n in A. 2. Der Abschluss X im Sinne von Definition 4.1 ist die bezüglich Inklusion kleinste in R bgeschlossene Menge, die X enthält. Nottion 4.8 (Intervlle). Seien, b R. Dnn schreiben wir [, b] für ds bgeschlossene Intervll {x R x b} (, b) für ds offene Intervll {x R < x < b} (, b] für ds hlboffene Intervll {x R < x b} [, b) für ds hlboffene Intervll {x R x < b}. Ttsächlich ist [, b] bgeschlossen in R und (, b) ist offen in R. Cvet 4.9. Offen ist nicht ds Gegenteil von bgeschlossen! Es gibt Teilmengen von R, die in R sowohl offen ls uch bgeschlossen sind, und es gibt Teilmengen von R, die in R weder offen noch bgeschlossen sind! Proposition 4.10 (Stetigkeit und offene Mengen). Sei X R und sei f : X R eine Abbildung. Dnn ist f genu dnn stetig uf X, wenn für lle in R offenen Teilmengen U R ds Urbild f 1 (U) in X offen ist. Bemerkung 4.11 (Loklität von Stetigkeit). Die Eigenschft stetig zu sein ist im folgenden Sinne eine lokle Eigenschft: Sei X R, sei f : X R eine Abbildung, sei X und sei U X eine in X offene Menge mit U. Dnn ist f genu dnn stetig in, wenn die Einschränkung f U in stetig ist. Diese Chrkterisierung von Stetigkeit führt zu elegnten Argumenten und Beweisen und erlubt es, den Stetigkeitsbegriff uch in viel llgemeineren Kontexten einzuführen: Bemerkung 4.12 (Topologie). Sei X R. Aus der Definition in X offener Mengen folgt: Sowohl ls uch X sind offen in X. Ist U P (X) eine Menge offener Mengen in X, so ist uch die Vereinigung U offen in X. Kurz: Vereinigungen offener Mengen sind offen. Sind U, V X offen in X, so ist uch der Durchschnitt U V offen in X. Kurz: Endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen. Nimmt mn diese Eigenschften ls Grundlge für ein Axiomensystem offener Mengen, so erhält mn den Begriff der Topologie und einen llgemeinen Stetigkeitsbegriff. Cvet Unendliche Durchschnitte offener Mengen sind im llgemeinen nicht offen! 36

37 Der Zwischenwertstz Der Zwischenwertstz ist eine Konsequenz us der Ttsche, dss stetige Funktionen keine Sprünge mchen und der Vollständigkeit von R: Stz 4.14 (Zwischenwertstz). Seien, b R mit b und sei f : [, b] R stetig mit f() f(b). Dnn gibt es zu jedem y [f(), f(b)] ein x [, b] mit f(x) = y. Der Zwischenwertstz besgt insbesondere, dss gewisse Gleichungen in R lösbr sind. Korollr 4.15 (Brouwerscher Fixpunktstz in Dimension 1). Ist f : [0, 1] [0, 1] R stetig, so gibt es ein x [0, 1] mit f(x) = x. Bemerkung Ein nloges Resultt gilt uch in höheren Dimensionen; der Beweis erfordert dnn llerdings fortgeschrittene Methoden (lgebrische Topologie). Korollr 4.17 (Umkehrbbildungen streng monotoner Abbildungen). Seien, b R mit b. Ist f : [, b] R stetig und streng monoton wchsend, so ist f injektiv, es ist f([, b]) = [f(), f(b)] und die inverse Abbildung f 1 : [f(), f(b)] [, b] R ist stetig. Korollr 4.18 (Wurzeln). Sei n N >0. Zu jedem y R 0 gibt es genu ein x R 0 mit x n = y; wir schreiben dnn n y := x und nennen x die n-te Wurzel us y. Die Abbildung n : R 0 R 0 R ist stetig. Definition 4.19 (Rtionle Exponenten). Ist x R >0 und sind m N, n N >0, so schreiben wir x m n := n x m und x m n := 1 n x m. Dies liefert eine (wohldefinierte!) Abbildung Q R >0 R (, x) x. Bemerkung 4.20 (Potenzgesetze). Für lle x, y R >0 und lle, b Q gilt x b = (x ) b, x +b = x x b, (x y) = x y b. Wir werden später Exponentition mit reellen Exponenten mit Hilfe der Exponentilfunktion einführen. 37

38 Kompktheit Eines der wichtigsten Konzepte im Zusmmenhng mit Stetigkeit ist Kompktheit; wir werden hier nur einen kleinen Einblick geben und insbesondere ds Extremlprinzip herleiten. Definition 4.21 ((Folgen)kompkt). Eine Teilmenge X R heißt (folgen)kompkt, wenn jede Folge in X eine (in R) konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in X liegt. Eine Teilfolge einer Folge ( n ) n N in X ist dbei eine Folge (b n ) n N, für die es eine streng monoton wchsende Abbildung f : N N mit n N b n = f(n) gibt. In R können kompkte Mengen wie folgt chrkterisiert werden: Stz 4.22 (Stz von Heine-Borel). Eine Teilmenge von R ist genu dnn kompkt, wenn sie beschränkt und bgeschlossen ist. Korollr Sind, b R mit b, so ist [, b] kompkt. Bemerkung 4.24 (Kompktheit und offene Mengen). Mn knn zeigen, dss eine Teilmenge X von R genu dnn kompkt im obigen Sinne ist, wenn folgendes gilt: Für lle Mengen U P (X) von in X offenen Mengen mit U = X gibt es eine endliche Teilmenge V U mit V = X (d.h. jede offene Überdeckung von X enthält eine endliche Teilüberdeckung). Insbesondere erhält mn so einen llgemeinen topologischen Kompktheitsbegriff und es zeigt sich, dss Kompktheit eine Art Endlichkeitsbedingung ist. Proposition 4.25 (Extremlprinzip). Sei X R kompkt und sei f : X R stetig. 1. Dnn ist uch f(x) kompkt. 2. Insbesondere gilt: Ist X, so nimmt f uf X ein Mximum und ein Minimum n, d.h. es existieren x, x + X mit: für lle x X ist Approximtion stetiger Funktionen f(x ) f(x) f(x + ). Oft möchte mn komplizierte Funktionen durch einfchere Funktionen pproximieren/definieren. dher ist es eine nheliegende Frge, wie sich Eigenschften von Funktionen unter Approximtion von Funktionen verhlten bzw. vererben: Definition 4.26 (punktweise Konvergenz/gleichmäßige Konvergenz). Sei X R, sei (f n ) n N eine Folge von Funktionen X R und sei f : X R eine Abbildung. Die Folge (f n ) n N konvergiert uf X punktweise gegen f, flls: für lle x X ist (f n (x)) n N in R konvergent und lim f n(x) = f(x). n 38

39 Die Folge (f n ) n N konvergiert uf X gleichmäßig gegen f, flls: für lle ε R >0 existiert ein N N mit: n N N x X f n (x) f(x) ε. Cvet Jede gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen ist uch punktweise konvergent die Umkehrung gilt im llgemeinen jedoch nicht! Proposition 4.28 (Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit). Sei X R und sei (f n ) n N eine Folge stetiger Funktionen X R, die uf X gleichmäßig gegen eine Funktion f : X R konvergiert. Dnn ist uch f uf X stetig. Cvet Grenzfunktionen von punktweise konvergenten Folgen stetiger Funktionen sind im llgemeinen nicht stetig! Korollr 4.30 (Konvergenz und Stetigkeit von Potenzreihen). Sei ( n ) n N eine Folge in R und es gebe ein r R >0 mit der Eigenschft, dss die Reihe n=0 n r n bsolut konvergiert. Zu n N sei f n : [ r, r] R n x k x k. Dnn gilt: 1. Die Folge (f n ) n N konvergiert uf [ r, r] gleichmäßig gegen die (wohldefinierte) Funktion 2. Insbesondere ist f stetig uf [ r, r]. k=0 f : [ r, r] R x n x n. Korollr Insbesondere ist die Exponentilfunktion exp: R R stetig. Korollr 4.32 (Der ntürliche Logrithmus). Die Funktion exp: R R ist injektiv und exp(r) = R >0. Die Umkehrbbildung n=0 ln: R >0 R ist stetig und heißt ntürlicher Logrithmus. Bemerkung 4.33 (Chrkterisierung der Exponentilfunktion über die Funktionlgleichung). Die Exponentilfunktion ist die einzige stetige Funktion f : R R mit f(1) = e und f(x + y) = f(x) f(y). x,y R Anlog ist der ntürliche Logrithmus die einzige stetige Funktion g : R >0 R mit g(e) = 1 und g(x y) = g(x) + g(y). x,y R>0 39

40 Bemerkung 4.34 (Reelle Exponenten). Für lle x R >0 und lle Q gilt x = exp( ln x). Für x R >0 und y R definiert mn dher x y := exp(y ln x). Mn knn zeigen, dss dnn die üblichen Potenzgesetze erfüllt sind. Bemerkung 4.35 (Sinus/Cosinus). Anlog knn mn zeigen, dss die Funktionen Sinus bzw. Cosinus, die durch sin: R R x n=0 cos: R R x definiert sind, uf R stetig sind. Wegen n=0 ( 1) n x 2 n+1, (2 n + 1)! ( 1) n x 2 n (2 n)! cos(0) = 1 > 0 > cos(2) gibt es nch dem Zwischenwertstz ein x [0, 2] mit cos(x) = 0. Mn definiert dnn π := 2 inf { x [0, 2] cos(x) = 0 }. D cos stetig ist, ist dnn cos(π/2) = 0 und nch Definition ist π/2 lso die kleinste positive Nullstelle von cos. Den Zusmmenhng von π mit dem Flächeninhlt/Umfng von Kreisen werden wir später nlysieren. 40

41 5 Differenzierbrkeit Wir möchten nun Funktionen lokl durch möglichst einfche Funktionen (linere Funktionen) beschreiben/nnähern bzw. verstehen, für welche Funktionen dies möglich ist. Dies führt zum Begriff der Differenzierbrkeit und der Ableitung; die Ableitung knn dnn (flls sie existiert) ls lokle Änderungsrte der ursprünglichen Funktion verstnden werden und tritt so uch ntürlich in Anwendungen uf (z.b. ist in der klssischen Mechnik die Ableitung des Orts (in Abhängigkeit von der Zeit) die Geschwindigkeit und die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung). Differenzierbre Funktionen Eine Funktion ist differenzierbr, wenn sie sich lokl gut durch eine linere Abbildung beschreiben lässt: Definition 5.1 (Innerer Punkt). Sei X R. Ein Punkt x X ist ein innerer Punkt von X, wenn es ein ε R >0 mit U(x, ε) X gibt. Definition 5.2 (Differenzierbr/Ableitung). Sei X R und sei f : X R eine Abbildung. Sei x X ein innerer Punkt von X. Dnn ist f in x differenzierbr, wenn es ein R und eine offene Menge U R mit x + U := {x + h h U} X sowie eine Abbildung E : U R mit h U f(x + h) = f(x) + h + E(h) und lim U\{0} h 0 E(h)/h = 0 existiert. Mn knn zeigen, dss in diesem Fll eindeutig bestimmt ist (hier geht ein, dss wir nur innere Punkte betrchten), und mn nennt f (x) := die Ableitung von f in x. Die Abbildung f : X R ist uf X differenzierbr, wenn sie in jedem inneren Punkt von X differenzierbr ist. Bemerkung 5.3 (Loklität von Differenzierbrkeit). Aus der Definition folgt, dss Differenzierbrkeit (wie Stetigkeit) eine lokle Eigenschft ist und dss die Ableitung in einem Punkt uch durch Einschränkung der Abbildung uf eine offene Umgebung dieses Punktes berechnet werden knn. Mn knn Differenzierbrkeit und die Ableitung uch durch den sogennnten Differentilquotienten beschreiben; insbesondere zeigt diese Beschreibung, dss die Ableitung ls lokle Änderungsrte verstnden werden knn. Proposition 5.4 (Differentilquotient). Sei X R, sei x X ein innerer Punkt von X. Eine Abbildung f : X R ist genu dnn in x differenzierbr, wenn es eine offene Menge U R mit 0 U und x + U X gibt, so dss der Grenzwert f(x + h) f(x) lim U\{0} h 0 h 41

42 existiert; in diesem Fll stimmt dieser Grenzwert mit f (x) überein. Proposition 5.5 (Differenzierbrkeit impliziert Stetigkeit). Sei X R, sei X ein innerer Punkt und sei f : X R in differenzierbr. Dnn ist f in uch stetig. Cvet 5.6. Im llgemeinen gilt die Umkehrung nicht nicht jede stetige Funktion ist differenzierbr! Vererbungseigenschften differenzierbrer Funktionen Die folgenden Vererbungseigenschften erluben es häufig, zu entscheiden, ob eine Funktion n einer gewissen Stelle differenzierbr ist bzw. ermöglichen es, die Ableitung zu bestimmen. Proposition 5.7 (Linerität von Differenzierbrkeit). Sei X R und sei x X ein innerer Punkt von X. Sind f, g : X R in x differenzierbr und sind, b R, so ist uch f + b g : X R in x differenzierbr und ( f + b g) (x) = f (x) + b g (x). Definition 5.8 (Die Räume C k ). Sei X R offen. Dnn schreiben wir C 0 (X, R) := C(X, R) und definieren induktiv für lle k N: C k+1 (X, R) := { f : X R f ist uf X differenzierbr und f C k (X, R) }. Die Funktionen us C k (X, R) heißen k-ml stetig uf X differenzierbr. Die Elemente von C (X, R) := k N C k (X, R) heißen gltte Funktionen uf X. Seien, b R mit < b. Dnn schreiben wir C 0 ([, b], R) := C([, b], R) und definieren induktiv für lle k N: C k+1 ([, b], R) := { f C([, b], R) f ist uf (, b) differenzierbr und es gibt ein g C k ([, b], R) mit (f (,b) ) = g (,b) }. Die Funktionen us C k ([, b], R) heißen k-ml stetig uf [, b] differenzierbr. Die Elemente von C ([, b], R) := k N C k ([, b], R) heißen gltte Funktionen uf [, b]. Cvet 5.9. Ist X R offen, so liegt im llgemeinen nicht jede uf X differenzierbre Abbildung bereits in C 1 (X, R); mit nderen Worten: die Ableitung einer differenzierbren Funktion ist im llgemeinen nicht stetig! 42

43 Korollr Sei X R offen. Dnn ist C k (X, R) für lle k N bezüglich punktweiser Addition und punktweiser Sklrmultipliktion ein reeller Vektorrum und die Abbildung ist liner. C k+1 (X, R) C k (X, R) f f Proposition 5.11 (Leibnizregel). Sei X R und sei x X ein innerer Punkt von X. Seien f, g : X R in x differenzierbr. 1. Dnn ist uch f g : X R in x differenzierbr und (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x). 2. Ist g(y) 0 für lle y X, so ist uch f/g : X R in x differenzierbr und ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g g(x) 2. Korollr 5.12 (Ableitung von Polynomfunktionen). Sei n N, seien 0,..., n R, und sei f : R R n x k x k k=0 die zugehörige Polynomfunktion. Dnn ist f uf R differenzierbr und für lle x R gilt n f (x) = k k x k 1. k=1 Induktiv folgt insbesondere f C (R, R). Proposition 5.13 (Kettenregel). Seien X, Y R und seien f : X R und g : Y R Abbildungen mit f(x) Y. Außerdem sei x X ein innerer Punkt von X und sei f(x) ein innerer Punkt von Y. Ist f in x differenzierbr und ist g in f(x) differenzierbr, so ist uch g f : X R in x differenzierbr und es gilt (g f) (x) = g ( f(x) ) f (x). Proposition 5.14 (Differenzierbrkeit inverser Funktionen). Seien X, Y R offen und seien f : X Y R und g : Y X R zueinnder inverse stetige Funktionen. Ist x X und ist f in x differenzierbr mit f (x) 0, so ist g in f(x) differenzierbr und g ( f(x) ) = 1 f (x). 43

44 Korollr 5.15 (Ableitung der Wurzelfunktionen). Sei n N >0. Dnn ist die Abbildung g := n : R >0 R >0 uf R >0 differenzierbr und für lle y R >0 gilt Lokle Extrem g (y) = 1 n y 1 n 1. Nch dem Extremlprinzip nehmen stetige Funktionen uf (nicht-leeren) Kompkt ein Minimum/Mximum n. Dieser Existenzbeweis ist jedoch nicht-konstruktiv. Im differenzierbren Fll knn ds folgende notwendige Kriterium helfen, lokle Extrem zu finden. Definition 5.16 (Lokle Extremlstelle). Sei X R und sei f : X R eine Abbildung. Ein Punkt X ist eine lokle Mximlstelle von f, wenn es eine in X offene Menge U X mit U und x U f(x) f() gibt. Anlog sind lokle Minimlstellen definiert. Ein Punkt in X ist eine lokle Extremlstelle von f, wenn er eine lokle Mximl- oder eine lokle Minimlstelle von f ist. Proposition 5.17 (Sttionrität lokler Extrem). Sei X R, sei X ein innerer Punkt von X und sei f : X R in differenzierbr. Ist eine lokle Extremlstelle von f, so gilt f () = 0. Ein erster Schritt um lokle Extrem zu finden ist lso, Nullstellen der Ableitung zu bestimmen. Dies knn mn für hinreichend gutrtige Funktionen etw über ds sogennnte Newton-Verfhren erreichen. Cvet Die obige Proposition ist nur ein notwendiges Kriterium für lokle Extrem, kein hinreichendes Kriterium. Ein hinreichendes Kriterium knn z.b. mit Hilfe der zweiten Ableitung gegeben werden (Proposition 5.24). Der Mittelwertstz Der Mittelwertstz spielt eine zentrle Rolle in vielen Argumenten, d er es ermöglicht, ds Wchstum uf einem Intervll durch die Ableitung bzuschätzen. Wir beginnen mit einem Spezilfll: Stz 5.19 (Stz von Rolle). Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R eine stetige Funktion, die uf (, b) differenzierbr ist, mit f() = f(b). Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (ξ) = 0. 44

45 Korollr 5.20 (Mittelwertstz). Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (ξ) = f(b) f(). b Wir geben nun einige Anwendungen bzw. Folgerungen des Mittelwertstzes: Korollr 5.21 (Kern des Differenzierens). Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R eine stetige Abbildung, die uf (, b) differenzierbr ist, mit f (x) = 0 für lle x (, b). Dnn ist f konstnt. Korollr 5.22 (Strenge Monotonie vi Ableitung). Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr mit f (x) > 0 für lle x (, b). Dnn ist f streng monoton wchsend. Cvet Die Umkehrung gilt im llgemeinen nicht, d.h. es gibt streng monoton wchsende differenzierbre Abbildungen, deren Ableitung nicht überll positiv ist. Proposition 5.24 (Hinreichendes Kriterium für lokle Extrem). Sei X R offen, sei f : X R zweiml differenzierbr und sei X mit f () = 0 und f () < 0. Dnn ist eine lokle Mximlstelle von f. Korollr 5.25 (Cuchyscher Mittelwertstz). Seien, b R mit < b und seien f, g : [, b] R stetig und uf (, b) differenzierbr. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit g (ξ) (f(b) f() ) = f (ξ) (g(b) g() ). Korollr 5.26 (Regel von l Hospitl). Seien, b R mit < b. Seien f, g : (, b) R Abbildungen mit den folgenden Eigenschften: Es seien f und g uf (, b) differenzierbr, es gelte lim (,b) x f(x) = 0 = lim (,b) x g(x), es existieren die Grenzwerte lim (,b) x f (x) und lim (,b) x g (x) und es sei lim (,b) x g (x) 0. Dnn gibt es ein ε R >0 mit +ε < b, so dss g und g uf (, +ε) keine Nullstellen besitzen, so dss der Grenzwert lim (,+ε) x f(x)/g(x) existiert und f(x) lim (,+ε) x g(x) = lim f (x) (,+ε) x g (x). Von der Regel von l Hospitl gibt es zhlreiche Vrinten; indem mn n und n durch 1/x und x 0 ersetzt, erhält mn ußerdem us der Regel von l Hospitl Konvergenzussgen für gewisse Folgen. Bemerkung Der Mittelwertstz spielt zum Beispiel uch eine wichtige Rolle im Beweis, dss die Zhl n=0 1/10nn trnszendent ist. 45

46 6 Integrtion Die folgenden Frgen, die zunächst nicht zusmmenzuhängen zu scheinen, besitzen eine gemeinsme Antwort: 1. (Wie) Knn mn den Differentitionsprozess umkehren? 2. (Wie) Knn mn den (signierten) Flächeninhlt unter einer Kurve berechnen? Wir werden im folgenden mit einer Antwort uf die zweite Frge beginnen und dfür ds Riemnn-Integrl einführen; den Zusmmenhng mit der ersten Frge stellen wir dnn über den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung her. Ws ist ein Integrl? Unser Ziel ist es, einen Integrlbegriff zu finden, der es erlubt, den Flächeninhlt unter einer Kurve zu berechnen. Im llgemeinen konstruiert mn einen solchen Integrlbegriff mit Hilfe der folgenden Strtegie: 1. Mn erklärt ds Integrl für gewisse geeignete einfche Funktionen (zumeist gewisse Treppenfunktionen). 2. Mn pproximiert llgemeinere Funktionen geeignet durch Treppenfunktionen und definiert dnn ds Integrl ls den Grenzwert der Integrle der Treppenfunktionen (flls dieser existiert). Im Fll des Riemnn-Integrls erlubt mn im ersten Schritt Treppenfunktionen bsierend uf Intervllen (und definiert dfür ds Integrl über den Flächeninhlt von Rechtecken) und verwendet sogennnte Ober- und Untersummen um den zweiten Schritt zu relisieren. Lässt mn llgemeinere Treppenfunktionen zu und verwendet mn eine ndere Approximtion, so gelngt mn zum Beispiel zum Lebesgue-Integrl. Im Idelfll sollte ein Integrlbegriff ußerdem die folgenden Eigenschften besitzen: Linerität, Positivität, Normiertheit, möglichst gute Approximtionseigenschften, möglichst viele Funktionen sollten integrierbr sein. Ds Riemnn-Integrl Ds Riemnn-Integrl wird durch Approximtion mit Unter- bzw. Obersummen konstruiert. Definition 6.1 (Prtition eines Intervlls). Seien, b R mit b. Eine Prtition von [, b] ist eine endliche Folge (t 0,..., t n ) mit n N, t 0,..., t n [, b] und = t 0 < t 1 < < t n = b. Eine Prtition von [, b] ist eine Verfeinerung von den Prtitionen P und Q von [, b], wenn sie P und Q ls Teilfolgen enthält. 46

47 Jede Prtition eines Intervlls liefert für beschränkte Funktionen uf diesem Intervll eine Approximtion durch eine Treppenfunktion von unten bzw. oben; die Summe der Flächen der entsprechenden Rechtecke führen zu Unter- bzw. Obersummen: Definition 6.2 (Unter-/Obersumme). Seien, b R mit b, sei P = (t 0,..., t n ) eine Prtition von [, b] und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Die Untersumme von f bezüglich P ist gegeben durch n 1 S(f, P ) := inf { f(x) x [tj, t j+1 ) } (t j+1 t j ). j=0 Die Obersumme von f bezüglich P ist gegeben durch n 1 S(f, P ) := sup { f(x) x [tj, t j+1 ) } (t j+1 t j ). j=0 Bemerkung 6.3. Seien, b R mit b und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt für lle Prtitionen P von [, b], dss inf f(x) (b ) S(f, P ) S(f, P ) sup f(x) (b ). x [,b] x [,b] Insbesondere können wir ds Supremum ller Untersummen bzw. ds Infimum ller Obersummen bilden und erhlten so ds Unter- bzw. Oberintegrl: Definition 6.4 (Unter-/Oberintegrl). Seien, b R mit b und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Ds Unterintegrl von f uf [, b] ist definiert durch f := f(x) dx := sup { S(f, P ) P ist eine Prtition von [, b] }. Ds Oberintegrl von f uf [, b] ist definiert durch f := f(x) dx := inf { S(f, P ) P ist eine Prtition von [, b] }. Bemerkung 6.5. Seien, b R mit b und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt f Definition 6.6 (Riemnn-integrierbr/Riemnn-Integrl). Seien, b R mit b. Eine Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr, wenn sie beschränkt ist und f = f ist. f. 47

48 Ist f : [, b] R Riemnn-integrierbr, so ist f := ds Riemnn-Integrl von f uf [, b]. Bemerkung 6.7. Seien, b R mit b. Eine beschränkte Funktion f : [, b] R ist genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn es zu jedem ε R >0 Prtitionen P und Q von [, b] mit gibt. S(f, P ) f = f ε und S(f, Q) f f + ε Cvet 6.8. Nicht lle beschränkten Funktionen sind Riemnn-integrierbr! Vererbungseigenschften des Riemnn-Integrls Im folgenden werden wir die Menge der Riemnn-integrierbren Funktionen genuer untersuchen; wir beginnen mit den grundlegenden Eigenschften eines jeden Integrls: Proposition 6.9 (Grundlegende Eigenschften des Riemnn-Integrls). Seien, b R mit b. 1. Linerität. Für lle uf [, b] Riemnn-integrierbren Funktionen f, g : [, b] R und lle c, d R ist uch die Linerkombintion c f + d g : [, b] R Riemnn-integrierbr und es gilt (c f + d g) = c f + d 2. Positivität. Für lle uf [, b] Riemnn-integrierbren Funktionen f : [, b] R mit f(x) 0 für lle x [, b] ist 3. Normiertheit. Es gilt 1 = b. f 0. Korollr 6.10 (Monotonie des Riemnn-Integrls). Seien, b R mit b. Sind f, g : [, b] R Riemnn-integrierbr und gilt f(x) g(x) für lle x [, b], so ist f Proposition 6.11 (Dreiecksungleichung des Riemnn-Integrls). Seien, b R mit b und sei f : [, b] R Riemnn-integrierbr. g. g. 48

49 1. Dnn ist uch mx(f, 0): [, b] R x mx ( f(x), 0 ) Riemnn-integrierbr. 2. Insbesondere ist f = mx(f, 0) + mx( f, 0) uf [, b] Riemnn-integrierbr und b f f. Proposition 6.12 (Linerität des Riemnn-Integrls bezüglich Intervllen). Seien, b, c R mit b c und sei f : [, c] R eine Funktion. Dnn ist f genu dnn uf [, c] Riemnn-integrierbr, wenn die Einschränkungen f [,b] und f [b,c] uf [, b] bzw. [b, c] Riemnn-integrierbr sind, und in diesem Fll gilt c f = f [,b] + c b f [b,c]. Nottion Sind, b R mit < b und ist f : [, b] R Riemnn-integrierbr, so schreiben wir uch b f := (Dnn gelten nloge Lineritätsussgen wie in Proposition 6.12). Stz 6.14 (Stetige/monotone Funktionen sind Riemnn-integrierbr). Seien, b R mit b. 1. Ist f : [, b] R stetig, so ist f Riemnn-integrierbr. 2. Ist f : [, b] R monoton, so ist f Riemnn-integrierbr. Mn bechte jedoch, dss dieser Stz keine explizite Berechnung der Integrle liefert. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung stellt einen Zusmmenhng zwischen Differentition und Integrtion her; insbesondere erlubt er es, gewisse Integrle explizit zu berechnen, ohne Ober-/Untersummen zu nlysieren. Stz 6.15 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, I). Seien, b R mit b und sei f : [, b] R Riemnn-integrierbr. Dnn ist die Funktion F : [, b] R x wohldefiniert und es gilt: 1. Die Funktion F ist uf [, b] stetig. f. x f [,x] 49

50 2. Ist x (, b) und ist f in x stetig, so ist F in x differenzierbr. Insbesondere knn mn Integrtion uch ls Glättungsprozess uffssen. Stz 6.16 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, II). Seien, b R mit < b und sei F : [, b] R uf [, b] stetig und uf (, b) differenzierbr. Außerdem gebe es eine Riemnn-integrierbre Funktion f : [, b] R mit: für lle x (, b) ist F (x) = f(x). Dnn gilt f = F (b) F (). Der zweite Huptstz erlubt es lso, Integrle f zu berechnen, indem mn eine Funktion F mit F = f (eine sogennnte Stmmfunktion von f) n den Integrlgrenzen uswertet. Korollr 6.17 (Riemnn-Integrl von Polynomfunktionen). Für lle n N, lle 0,..., n R und lle, b R mit b gilt n j x j dx = j=0 n j=0 j j + 1 bj+1 n j=0 j j + 1 j+1. Cvet Mn knn zeigen, dss mn im llgemeinen Stmmfunktionen nicht explizit bestimmen knn! Indem mn den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung mit den Vererbungseigenschften der Ableitung kombiniert, erhält mn die folgenden Integrtionstechniken: Proposition 6.19 (Prtielle Integrtion). Seien, b R mit < b und seien f, g C 1 ([, b], R). Dnn ist f g = (f g)(b) (f g)() f g. Hierbei stehen f bzw. g (die j eigentlich nur uf (, b) definiert sind) für die stetigen Fortsetzungen von f bzw. g uf [, b]; diese stetigen Fortsetzungen existieren wegen f, g C 1 ([, b], R) und sind ußerdem eindeutig. Proposition 6.20 (Integrtion durch Substitution). Seien, b R mit < b, sei τ C 1 ([, b], R), und sei f : I R stetig, wobei {[ ] τ(), τ(b) flls τ() τ(b) I := [ ] τ(b), τ() flls τ() > τ(b). Dnn gilt τ(b) f(t) dt = τ() f ( τ(x) ) τ (x) dx. 50

51 Approximtion von Funktionen und Integrtion bzw. Differentition Wir werden im folgenden untersuchen wie sich Integrierbrkeit und Differenzierbrkeit unter Approximtion von Funktionen verhlten; insbesondere wird dies entsprechende Resultte für Potenzreihenfunktionen (und somit für die Exponentilfunktion, Sinus und Cosinus) liefern. Stz 6.21 (Gleichmäßige Konvergenz und Riemnn-Integrl). Seien, b R mit < b und sei (f n ) n N eine Folge Riemnn-integrierbrer Funktionen [, b] R, die uf [, b] gleichmäßig gegen f : [, b] R konvergiert. Dnn ist uch f uf [, b] Riemnn-integrierbr und es gilt lim n f n = Cvet Punktweise Konvergenz verträgt sich im llgemeinen nicht mit Integrtion! Korollr 6.23 (Konvergenz von Funktionenfolgen und Differentition). Seien, b R mit < b und sei (f n ) n N eine Folge von Funktionen vom Typ [, b] R und seien f, g : [, b] R mit folgenden Eigenschften: für lle n N ist f n C 1 ([, b], R), die Folge (f n ) n N konvergiert uf [, b] punktweise gegen f, die Folge (f n) n N konvergiert uf [, b] gleichmäßig gegen g. Dnn ist f uf (, b) differenzierbr und für lle x (, b) gilt f. f (x) = lim n f n(x) = g(x). Cvet Konvergiert eine Folge von C 1 -Funktionen gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion, so ist diese Grenzfunktion im llgemeinen nicht differenzierbr gleichmäßige Konvergenz liefert im llgemeinen nicht genug Kontrolle über die Ableitungen. Korollr 6.25 (Differentition von Potenzreihenfunktionen). Sei ( n ) n N eine Folge in R, für die es ein r R >0 gibt, so dss n=0 n r n bsolut konvergiert. Dnn ist die Potenzreihenfunktion f : [, b] R x n x n wohldefiniert, uf [ r, r] stetig, uf ( r, r) differenzierbr und für lle x ( r, r) gilt f (x) = n=0 n n x n 1. n=1 51

52 Korollr 6.26 (Differenzierbrkeit der Exponentilfunktion und von Sinus, Cosinus). Die Funktionen exp, sin, cos: R R sind uf R differenzierbr und es gilt exp = exp sin = cos cos = sin. Bemerkung Bis uf konstnte Fktoren ist die Exponentilfunktion die einzige differenzierbre Funktion f : R R mit f = f. Korollr 6.28 (Differenzierbrkeit/Stmmfunktion von ln). 1. Die Funktion ln: R >0 R ist uf R >0 differenzierbr und für lle x R >0 ist ln (x) = 1 x. 2. Die Funktion F : R >0 R x x ln x x ist uf R >0 differenzierbr und für lle x R >0 ist F (x) = ln(x). Bemerkung Mit den bisher vorgestellten Techniken knn mn zeigen, dss 1 1 x2 dx = π 1 2 ist (!). Tylorentwicklung Wir hben die Exponentilfunktion sowie Sinus und Cosinus über Potenzreihen definiert. Es stellt sich dher die Frge, ob mn jede hinreichend gltte Funktion (lokl) ls Potenzreihe entwickeln knn. Im folgenden werden wir diese Frge genuer untersuchen. Nch Definition liefert die Ableitung eine linere Approximtion n die gegebene Funktion; nlog liefern die höheren Ableitungen bessere Approximtionen: Stz 6.30 (Tylorentwicklung). Seien, b R mit < b, sei N N, sei f C N+1 ((, b), R) und sei t (, b). Dnn gilt für lle x (, b), dss f(x) = N j=0 f (j) (t) j! x (x t) j f (N+1) (s) + (x s) N ds; t N! den ersten Summnden bezeichnet mn uch ls N-tes Tylorpolynom von f um t und den zweiten ls N-tes Restglied in Integrlform. 52

53 Definition 6.31 (Tylorreihe). Seien, b R mit < b, sei f C ((, b), R) und sei t (, b). Ist r R >0 so dss die Reihe n=0 f (n) (t)/n! r n bsolut konvergiert, so heißt [t r, t + r] R x Tylorreihe von f um t in [t r, t + r]. n=0 f (n) (t) n! (x t) n Bemerkung Die Tylorreihe einer gltten Funktion konvergiert genu dnn gegen die Funktion, wenn die Restglieder gegen 0 konvergieren, wenn die Ordnung gegen geht. Cvet Es gibt gltte Funktionen, für die die entsprechende Tylorreihe (um einen gegebenen Punkt) konvergiert, die Tylorreihe ber in keiner offenen Umgebung dieses Punktes die ursprüngliche Funktion beschreibt. Ein Beispiel einer solchen Funktion ist f : R R { 0 flls x 0 x exp( 1 x ) flls x > 0; 2 diese Funktion ist gltt(!) und für lle n N ist f (n) (0) = 0. Korollr 6.34 (Tylorentwicklung des Logrithmus). Für lle x ( 1, 1) ist ln(1 + x) = ( 1) n+1 xn n. n=1 Bemerkung Für die Exponentilfunktion, Sinus und Cosinus stimmt die Tylorreihe um 0 mit den definierenden Potenzreihen überein; mn bechte in diesem Zusmmenhng uch den Identitätsstz für Potenzreihen. 53