Einführung und Beispiele

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1 Kpitel 8 Prtielle Differentilgleichungen/Rndwertprobleme Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/2 Einführung und Beispiele Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/3

2 Einführung und Beispiele Rndwertprobleme: Differentilgleichungen für eine Lösungsfunktion u uf einem Intervll (, b), für die der Wert n den Grenzen und b vorgegeben sind Mehrdimensionler Fll: Differentilgleichung ist uf einer offenen Teilmenge Ω R d gegeben, enthält prtielle Ableitungen der Lösungsfunktion bezüglich der Rumkoordinten u u(x 0 + he i ) u(x 0 ) (x 0 ) = lim x i h 0 h Werte von u uf dem Rnd Ω sind vorgegeben Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/4 Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung in einer Dimension u (x) = f(x), x (, b) In mehreren Dimensionen u(x) = f(x), x Ω Hierbei ist der Lplce-Opertor: d 2 u u = x 2 i i=1 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/5

3 Die Wärmeleitungsgleichung Die Wärmeleitungsgleichung u(x, t) µ 2 u(x, t) t x 2 = f(x, t) für x (, b) und t > 0 In mehreren Dimensionen u(x, t) µ u(x, t) = f(x, t) t für x Ω R d und t > 0 t Zeit, µ thermische Leitfähigkeit Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/6 Wellengleichung Die Wellengleichung 2 u(x, t) t 2 c 2 2 u(x, t) x 2 = 0 für x (, b) und t > 0 In mehreren Dimensionen 2 u(x, t) t 2 c 2 u(x, t) = 0 für x Ω R d und t > 0 c Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/7

4 Beispiel: Thermodynmik Berechnung der Temperturverteilung in einem Qudrt Ω Seitenlänge L Sei J(x) die Energieübertrgung pro Zeiteinheit. Es gilt (Tylor) J(x) J(x + le i ) = J (x) x i Gesetz von Fourier: J ist proportionl zur räumlichen Veränderung der Tempertur T. Dher: J(x) J(x + le i ) = ( kl T ) = kl 2 2 T x i x i x 2 i Summe der Energieschwnkungen muss Null sein (im Gleichgewicht) d 2 T T (x) = x 2 (x) = 0 i i=1 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/8 Beispiel: Hydrogeologie Studium von Filtrierungsprozessen in Grundwsser Zweidimensionles Gebiet Ω, besteht us einem porösen Medium mit konstnter hydrulische Leitfähigkeit K Drcy-Gesetz: mittlere Filtrierungsgeschwindigkeit des Wssers q = (q 1, q 2, q 2 ) ist proportionl der Veränderung der Wsserhöhe φ ( φ q = Kgrd(φ) = K, φ, φ ) T x 1 x 2 x 3 Mssenerhltung und konstnte Dichte des Fluids führen uf 3 q i div(q) = = 0 x i=1 i Aus beiden Gleichungen zusmmen folgt div(grd(φ)) = φ = 0 d.h. φ erfüllt ds Poisson-Problem Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/9

5 Rndbedingungen Poisson-Gleichung lässt unendlich viele Lösungen zu Für eine eindeutige Lösung müssen geeignet Bedingungen m Rnd Ω gestellt werden Dirichlet-Rndbedingungen schreiben den Wert von u uf Ω vor u(x) = g(x) für x Ω Neumnn-Rndbedingungen schreiben den Wert der Ableitung von u in Normlenrichtung m Rnd vor u (x) = n grd(u) = h(x) n Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/10 Lösbrkeit von Rndwertproblemen Eindeutige Lösbrkeit des Dirichlet-Rndwertproblems knn gezeigt werden, wenn 1 die Funktionen f und g stetige sind und 2 ds Gebiet Ω hinreichend regulär ist Die Lösung des Neumnn-Problems ist unter den gleichen Bedingungen eindeutig, bis uf eine dditive Konstnte Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/11

6 Ds Dirichlet-Rndwertproblem Betrchte eindimensionlen Fll des Dirichlet-Rndwertproblems Gegeben: zwei Konstnten α und β und eine Funktion f(x) Finde eine Funktion u(x), so dss u (x) = f(x) für x (, b) u() = α u(b) = β Mn knn durch zweifche Integrtion leicht zeigen: wenn f C 0 ([, b]) (d.h. f ist stetig), dnn existiert eine eindeutige Lösung u C 2 ([, b]) (d.h. u ist zweiml stetig differenzierbr) Bemerkung: Ds Rndwertproblem knn nicht in die Form eines Cuchy-Problems gebrcht werden, d u n verschiedenen Punkten vorgegeben ist. Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/12 Finite Differenzen Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/13

7 Finite Differenzen Unterteile ds Intervll [, b] in N + 1 Teilintervlle I j = [x j, x j+1 ] mit j = 0,..., N Alle Intervll hben die gleiche Breite h (der Einfchheit hlber) Die Differentilgleichung muss in jedem Punkt erfüllt sein, d.h. für lle j = 1,..., N u (x j ) = f(x j ) (*) An den Rändern gilt u(x 0 ) = α bzw. u(x N+1 ) = β Ersetze in Gl. (*) die zweite Ableitung durch eine finite Differenzenpproximtion δ 2 u(x + h) 2u(x) + u(x h) u(x) = h 2 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/14 Finite Differenzen Für lle Knoten x j mit j = 1,..., N gilt dnn u j+1 2u j + u j 1 h 2 = f(x j ) und n den Rändern gilt u 0 = α bzw. u N+1 = β Fsst mn die Koeffizienten in der Mtrix A zusmmen, die Werte n den Knoten im Lösungsvektor u = (u 1,..., u N ) T und die rechte Seite ls f erhält mn Au = h 2 f Bei dem ersten und letzten Eintrg der rechten Seite müssen um die Rndwerte α und β korrigiert werden f = (f(x 1 ) + α/h 2, f(x 2 ),..., f(x N 1 ), f(x N ) + β/h 2 ) T Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/15

8 Finite Differenzen Die Mtrix A ht folgende Form A = A ist symmetrisch und positiv definit A ist tridigonl knn effizient mit dem Thoms-Algorithmus gelöst werden Schlecht konditioniert: Konditionszhl K(A) = λ mx /λ min = Ch 2 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/16 Fehler der finiten Differenzen Fehler des Verfhrens (wenn f zweiml stetig differenzierbr) mx u(x j) u j h2 j=0,...,n+1 96 mx f (x) x [,b] Folgerung: ds Verfhren konvergiert mit Ordnung 2 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/17

9 Finite Elemente Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/18 Finite Elemente Alterntives Verfhren zu finiten Differenzen Betrchte ds Ausgngsproblem u (x) = f(x) Multipliziere beide Seiten mit einer beliebigen Funktion v und integriere u (x)v(x)dx = f(x)v(x)dx Durch prtielle Integrtion erhlten wir u (x)v (x)dx [u (x)v(x)] b = f(x)v(x)dx Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/19

10 Finite Elemente Annhme v wird Null n den Rändern und b (Dies läßt sich uch streng begründen, soll hier ber nicht gemcht werden) u (x) v(x)dx = f(x)v(x)dx (*) Gleichung (*) ist definiert für lle Funktionen u, v C 1 Einschränkung jetzt uf eine endliche Teilmenge: stückweise linere Polynome Prof. R. Leithner, Quelle: E. Znder A. Qurteroni, Einführung F. Sleri in numerische Methoden für Ingenieure 8/20 Finite Elemente Rum der Stückweise lineren Polynome V h Mit Einschränkung, dss die Funktionen n den Intervllgrenzen verschwinden V 0 h Ds Finite-Elemente-Approximtions-Problem ist dnn folgendermssen definiert: Definition (Finite Elemente Approximtion) Finde u h V h, so dss u h () = α und u h (b) = β und u h (x)v h (x)dx = f(x)v(x)dx für lle v h V 0 h Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/21

11 Finite Elemente Bsisfunktionen Funktionen in Vh 0 sind stückweise linere Polynome Bsisfunktionen φ k in der Abbildung drgestellt Jede Funktion v h in Vh 0 lässt sich drstellen ls N v h (x) = v j φ j (x) mit v j = v h (x j ) j=1 Quelle: A. Qurteroni, F. Sleri Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/22 Finite Elemente Bsisfunktionen Drstellung der Bsisfunktion φ j (x): x x j 1 x j x j 1 fllsx [x j 1, x j ], x x φ j (x) = j+1 x j x j+1 fllsx [x j, x j+1 ], 0 sonst Die φ j heißen uch Formfunktionen oder Hutfunktionen Es gilt φ j (x k ) = δ jk Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/23

12 Finite Elemente Es ist usreichend wenn die Gleichung u h (x)v h (x)dx = f(x)v(x)dx nur für lle Bsisfunktionen φ j erfüllt ist Sie ist dnn utomtisch uch für lle v h V 0 h erfüllt Einsetzen des Anstzes u h (x) = αφ 0 (x) + N u j φ j (x) + βφ N+1 (x) j=1 führt dnn uf N linere Gleichungen in den u j, d.h. ein lineres Gleichungssystem der Form Au = f Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/24 Finite Elemente In dem lineren Gleichungssystem Au = f ist die Mtrix A gegeben durch (A) ij = φ i(x)φ j(x)dx und die rechte Seite f durch (f) i = f(x)φ i (x)dx Integrtionen bruchen nicht über ds gnze Intervll [, b] zu lufen, sondern nur über ds kleine Teilintervll, wo φ i bzw. φ j nicht Null ist Die Integrtion wird im Allgemeinen numerisch usgeführt mit Methoden, wie sie in Kpitel 4 vorgestellt wurden (bevorzugt Guss-Integrtion) Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/25

13 Finite Elemente Wenn lle Intervlle die gleiche Länge h hben ist A die gleiche Mtrix wie bei den finiten Differenzen Die rechte Seite unterscheidet sich dgegen: während bei finiten Differenzen der Vektor f die Werte von f n genu n einem Punkt enthält, sind es bei finiten Elementen gemittelte Werte Finite Elemente können uch stückweise Polynome höheren Grdes verwenden, ws die Genuigkeitsordnung des Verfhrens entsprechend erhöht Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/26 Finite Differenzen in zwei Dimensionen Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/27

14 Finite Differenzen in zwei Dimensionen Betrchte prtielle Differentilgleichung in einem zweidimensionlen Gebiet Ω Idee: pproximiere prtielle Ableitungen durch Differenzenquotienten uf einem Gitter Lösung u wird nur in den Knoten des Gitters pproximiert Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/28 Diskretisierungsgitter Problem: Konstruktion eines geeigneten Diskretisierungsgitters Annhme: Ω ist ein Rechteck (, b) (c, d) Unterteile (, b) in Intervlle (x k, x k+1 ) gleicher Länge h x = (b )/(N x + 1) mit k = 0,..., N x Unterteile (c, d) in Intervlle (y k, y k+1 ) gleicher Länge h y = (d c)/(n y + 1) mit k = 0,..., N y Knotenwerte u i,j n Gitterpunkten u(x i, y j ) gesucht Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/29

15 Diskretisierungsgitter Quelle: A. Qurteroni, F. Sleri Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/30 Differenzenquotienten Approximtion der prtiellen Ableitung durch Differenzenquotienten (wie in Kpitel 4) In x-richtung δ 2 xu i,j = u i 1,j 2u i,j + u i+1,j h 2 x In y-richtung δ 2 yu i,j = u i,j 1 2u i,j + u i,j+1 h 2 y Genuigkeitsordnung ist 2 bezüglich h x bzw. h y Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/31

16 Diskretisierung der Differentilgleichung In der prtiellen Differentilgleichung ( 2 ) u x u y 2 = f(x, y) werden die prtiellen Ableitungen jetzt durch die Differenzenquotienten ersetzt ( δ 2 xu i,j + δ 2 yu i,j ) = fi,j Flls ds Gitter in beide Richtungen gleichmäßig ist, d.h. h x = h y = h, erhlten wir 1 h 2 (u i 1,j + u i,j 1 4u i,j + u i+1,j + u i,j+1 ) = f i,j Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/32 Diskretisierung der Differentilgleichung Quelle: A. Qurteroni, F. Sleri Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/33

17 Diskretisierung der Differentilgleichung Für jeden Knoten u i,j benötigt die diskretisierte Gleichung 5 Knotenwerte Nme des Verfhrens uch 5-Punkt-Verfhren für den Lplce-Opertor Zu den Rndknoten gehörige Unbeknnte werden mit u i,j = g i,j eliminert. Für die Rndknoten ist i = 0 oder i = N x oder j = 0 oder j = N y. Ds Verfhren ht dher nur N = N x N Y Unbeknnte. Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/34 Diskretisierung der Differentilgleichung Bringe die Knoten in lexikogrphische Ordnung, d.h. nummeriere von links nch rechst, dnn von oben nch unten Beispiel für N x = 5, N y = 3: (1, 1), (2, 1),..., (5, 1), (1, 2),..., (5, 2), (1, 3),..., (5, 3) }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} Die Mtrix A nimmt jetzt block-tridigonle Form n T D 0 0 D T.... A = D 0. D T D 0 0 D T Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/35

18 Diskretisierung der Differentilgleichung Die Einträge D und T sind selbst wieder Mtrizen (dher block-tridigonl) D ist eine Digonlmtrix mit Einträgen 1/h 2 uf der Digonlen T ist folgende tridigonle Mtrix T = h Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/36 Diskretisierung der Differentilgleichung Quelle: A. Qurteroni, F. Sleri Muster der zum 5-Punkte-Verfhren gehörigen Mtrix mit lexikogrphischer Ordnung der Unbeknnten Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/37

19 Diskretisierung der Differentilgleichung Die Mtrix A ist symmetrisch und positiv definit A ist dher uch nicht-singulär und ds System besitzt eine eindeutige Lösung A ist eine dünnbesetzte Mtrix: die Anzhl der Elemente ungleich Null ist sehr viel kleiner ls die gesmte Anzhl der Elemente der Mtrix Alle Elemente ungleich Null liegen uf nur fünf Digonlen Erzeugung dünnbesetzter Mtrizen in Mtlb mit dem Befehl sprse System knn mit direkten ls uch mit itertiven Verfhren gelöst werden. Aber: die Mtrix ist schlecht konditioniert für kleine h (Konditionszhl O(h 2)) Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/38 Beispiel Beispiel: Lösen des Poisson-Problems mit rechter Seite f(x, y) = 8π 2 Dirichlet-Rndbedingungen: g(0, y) = g(1, y) = 0 g(x, 0) = g(x, 1) = sin(2πx) Numerische Lösung mit dem 5-Punkte-Verfhren mit h = 1/10 und h = 1/20 Reltiver Fehler in den Knoten bzw Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/39

20 Beispiel Quelle: A. Qurteroni, F. Sleri Lösung der Poisson-Gleichung mit finiten Differenzen und h = 1/10 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/40 Beispiel Quelle: A. Qurteroni, F. Sleri Lösung der Poisson-Gleichung mit finiten Differenzen und h = 1/20 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/41

21 Konvergenz Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/42 Konsistenz und Konvergenz Wie groß ist der Approximtionsfehler? Geht dieser gegen Null, wenn h 0? Flls j, d.h. mx i,j u(x i, y i ) u i,j 0 wenn h 0 ist ds Verfhren konvergent. Notwendige Bedingung für die Konvergenz eines Verfhrens ist die Konsistenz. Konsistenz: der lokle Abschneidefehler geht gegen Null für h 0 Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/43

22 Konsistenz und Konvergenz Lokler Abschneidefehler: der Fehler, der entsteht, wenn die exkte Lösung in ds numerische Verfhren eingesetzt wird Lokler Abschneidefehler τ h im Knoten (x i, y j ) für ds 5-Punkte-Verfhren: τ h (x i, y i ) = f(x i, y j ) (u(x i 1, y j ) + u(x i, y j 1 ) 4u(x i, y j ) + u(x i, y j+1 ) + u(x i+1, y j ))/h 2 Es lässt sich schließen (Hinweis: Tylor-Entwicklung in zwei Vriblen), dss lim τ h(x i, y j ) = 0 h 0 D.h. ds Verfhren ist konsistent. Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/44 Konsistenz und Konvergenz Ferner knn mn zeigen, dss ds Verfhren uch konvergent ist. Es gilt folgender Stz: Stz (Konvergenz des 5-Punkte-Verfhrens) Sei die exkte Lösung u C 4 ( Ω), ds heißt, ll ihre Ableitungen bis zur vierten Ordnung sind uf dem bgeschlossenen Gebiet Ω stetig. Dnn existiert eine Konstnte C > 0, so dss mx i,j u(x i, y j ) u i,j CMh 2, wobei M der mximle Absolutbetrg der vierten Ableitung von u in Ω ist. Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/45

23 Zusmmenfssung Rndwertprobleme sind Differentilgleichungen uf einem Gebiet Ω R d (einem Intervll, flls d = 1), die Informtionen über die Lösung uf dem Rnd von Ω benötigen; Die Approximtion mit finiten Differenzen bsiert uf der Diskretisierung einer gegebenen Differentilgleichung in usgewählten Punkten (Knoten gennnt), in denen die Ableitungen durch Finite-Differenzen-Formeln ersetzt werden; Ds Verfhren der finiten Differenzen erzeugt einen Vektor, dessen Komponenten bezüglich der Schrittweite qudrtisch gegen die exkte Lösung konvergieren; Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/46 Zusmmenfssung Ds Verfhren der finiten Elemente bsiert uf einer geeigneten Umformulierung der ursprünglichen Differentilgleichung und uf der Annhme, dss die ngenäherte Lösung ein stückweise stetiges Polynom ist; Die zu den Diskretisierungen mit finiten Differenzen und finiten Elementen gehörigen Mtrizen sind dünn besetzt und schlecht konditioniert. Prof. R. Leithner, E. Znder Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 8/47