Copyright, Page 1 of 5 Der Faktorraum

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1 Copright, Pge of 5 Der Fktorrum Ein sehr wichtiges Konstrukt, welches üerll in der Mthemtik Verwendung findet, ist der Fktorrum, oft uch Quotientenrum gennnt. Dieser ist selst ein Vektorrum, wird er uch us Vektorräumen gewonnen. Elemente der Fktorräume nennt mn Neenklssen. Doch lles der Reihe nch: Definition: Sei nun U ein Unterrum eines K-Vektorrumes V. Für einen estimmten Vektor vv sei vu:{vu uu}, d.h. wir hlten einen Vektor v us dem K-Vektorrum V fest und ddieren zu diesem Vektor lle Elemente u us dem Unterrum U. Wir nennen vu die Neenklsse von U durch v und v ein Repräsentnten der Neenklsse vu. Eine Neenklsse ist eine Menge von Vektoren. Sei V 2 und U{ } die eindimensionle Teilmenge, die -Achse lso eine Gerde. Nch dem Unterrumkriterium ist U ein Unterrum. Es gilt Ds Nullelemente us V liegt in U für gilt U, u für u, u 2 U gilt u u 2 U, d.h. u 2 U, für lle K und lle uu gilt uu. Um eine Neenklsse vu von U zu ilden, wählen wir einen Vektor us dem Vektorrum V, z.b. v. Es gilt U:{ u uu}, d.h. sämtliche Vektoren us werden um eine Einheit in -Richtung verschoen. -Achse 2 Links ist der Vektorrum visulisiert drgestellt. Der Unterrum U wird lso durch die -Achse smolisiert. Die Neenklsse von U wird durch die rote Gerde drgestellt. Hier wird uch deutlich wrum mn dieses Konstrukt Neenklsse nennt. -Achse

2 Copright, Pge 2 of 5 Sind Neenklssen selst Unterräume von V? In der Regel sind Neenklssen keine Unterräume. Die Neenklsse N :{ U} ist kein Unterrum. Wir verifizieren diese Behuptung mit Hilfe der Unterrumkriterien. (i) Offensichtlich liegt ds Nullelement us V nicht in N, ußerdem ist die Menge U weder dditiv noch multipliktiv geschlossen. (ii) Sei dzu n ( 3 ), n ( 2 ) N dnn gilt für die Neenklsse N von U ( 3 ) ( 2 ) 5 2 N. (iii) Sei 3K und sei n( 2 )N dnn gilt 3( 2 ) 6 3 N. Wir können genu estimmen, o eine Neenklsse ein Unterrum ist, oder nicht. Bemerkung: Eine Neenklsse vu ist genu dnn ein Unterrum (und dnn gleich U), wenn v in U liegt. Neenklsse (vu) ist Unterrum vu. Sei V 3 und U(, ) der zweidimensionle Unterrum, d.h. die Eene die von der - und - Achse ufgespnnt wird. Sei v und sei N 2 :{vu uu }. D vu ist sind N 2 und U identisch, d.h. U ist ein Unterrum von V. v hellgrün --Eene im IR 3 violett Slopp formuliert könnte mn sgen, dss die Verschieung durch v verpufft.

3 Copright, Pge 3 of 5 Sei v, dnn knn mn die Neenklsse v U wie folgt drstellen. Hierei wird der UR, lso die Eene um in z-richtung verschoen, lso eine prllele Eene erzeugt. Diese Eene ildet keinen Unterrum von V! Als nächstes wenden wir uns den Repräsentnten einer Neenklsse zu. Sind diese eindeutig estimmt, oder eistieren mehrere? Wenn es viele Repräsentnten der Neenklsse vu git, wie sehen dnn die nderen us? Ekt formuliert: Git es Vektoren v v mit v U vu? Git es lso zwei Vektoren us dem ursprünglichen Vektorrum um diesele Neenklsse zu erzeugen? Sei dzu V 3 und U(, ) der zweidimensionle Unterrum. Sei v und sei v 2 Elemente us V. Wir ilden zu eiden Vektoren die Neenklssen. Es gilt lso N :{ u uu} und N 2 : { u uu}. Sei U, d U ein Unterrum und somit ein Vektorrum ist gilt U er uch U, d.h. eide Vektoren spnnen denselen Rum uf. Diese Ttsche

4 Copright, Pge 4 of 5 nlog uf Neenklssen umgelegt erklärt, wrum spn< > und spn< > denselen Fktorrum ufspnnen. Hier sind lso zwei Repräsentnten v und v 2 ein und derselen Neenklsse gefunden worden. Betrchtet mn sich die Vektoren v und v 2 etws genuer, so stellt mn fest, ds gilt: Proposition: (Kriterium für die Gleichheit von Neenklssen) Sei V ein K-Vektorrum, und sei U ein Unterrum von V. Seien v, v V. Dnn gilt vu v U v-v U. Die Proposition esgt lso, dss die Differenz zweier Repräsentnten ein und derselen Neenklsse stets Element von U ist. Üerprüfen wir ds n unserem oigen Beispiel. v -v 2 - U. Seien nun v, v V. Wir definieren ~: v-v U. Ddurch hen wir eine Reltion, genuer, eine Äquivlenzreltion erklärt: Refleivität: v-v U. Smmetrie: Wenn v-v U, so folgt v -v-(v-v ), d.h. wenn v~v so folgt v ~v. Trnsitivität: Wenn v-v u U und v -v u 2 U, so gilt v-v u u U, d.h. wenn v~v und v ~v so folgt v~v Die Äquivlenzklssen ezüglich ~ sind die Neenklssen vu. Die Neenklssen vu liefern eine Klsseneinteilung uf V, und zwei Neenklssen vu und wu sind entweder gleich oder disjunkt. Definition: Sei V ein K-Vektorrum, und sei U ein Unterrum von V. Die Menge V/U{vU vv} wird Fktorrum von V nch U oder Quotientenrum V modulo U gennnt. Ausgesprochen wird V/U ls V nch U oder V modulo U. Proposition: Sei V ein K-Vektorrum, und sei U ein Unterrum von V. Dnn ist V/U ein K-Vektorrum. Dei sei für, (vu)(v U) (vv )U die Vektorddition und (vu)(v)u die Sklrmultipliktion. Fssen wir lso lle Neenklssen eines Vektorrumes V und eines Unterrumes U zu einer Menge zusmmen und definieren druf noch die entsprechenden Verknüpfungen wie Addition oder Sklrmultipliktion (siehe oen) dnn erhlten wir drus den Fktorrum, einen Vektorrum. Um dies zu eweisen, müssen sich sämtliche Aiome der Vektorräume ewhrheiten.

5 Copright, Pge 5 of 5 Ds die Definition der Vektorddition ttsächlich Sinn mcht, knn mn sich n einfchen Beispielen klr mche, jedoch muss mn im Kopf ehlten, dss wir hier mit Mengen hntieren. Bsen von Fktorräumen Wir wollen uns den Fktorrum n einem ntürlichen Beispiel vor Augen führen. Sei V 3 und U { }. Wir ilden drus den Fktorrum V/U, lso V/. Sei weiter,,c,,,z. Wählen wir Vektoren vv der Form v V und ilden dzu die Neenklssen, so ist V/U gerde der Unterrum U selst. Ds liegt uf der Hnd, denn U und die Addition in einem Unterrum ist eknntlich geschlossen. Ds Bild(v U ) ist lso U und der Kern(v U ){ z,z }. Interessnt wird der Fktorrum lso erst dnn, wenn wir Vektoren us V wählen, die nicht in spn(u) liegen. Ist dies der Fll, so werden Neenklssen erzeugt, die nicht unmittelr us dem Unterrum selst entspringen können. Sei dzu v 2 V, so ergit sich für den Teilfktorrum V/U v 2 U. Hier wird lso ein Rum der Dimension 2 erzeugt, ds Bild(v 2 U ){, } und Kern(v 2 U ){ z z }. Treit mn ds Spiel weiter und wählt v 3 c V, so ist der erzeugte Rum j nun gerde der komplette Fktorrum V/U. Sei U der durch ds Bild eines Endomorphismus f:vv erzeugte Unterrum. Mn knn erkennen, dss die Bsis eines Fktorrumes V/U gerde dem Kern von f entspricht! Diese Ttsche wird v.. ei den nilpotenten und jordnschen Normlformen der Schlüssel zum Verständnis sein. Viel Spß mit der Mthemtik!