S 1. Definition: Ein endlicher Automat ist ein 5-Tupel. Das endliche Eingabealphabet

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1 Der endliche Automt Modell: Eingend rechtsseitig unegrenzt F F F F F F F F F F F F F F Lesekopf S 1 Definition: Ein endlicher Automt ist ein 5-Tupel A = ( Σ;S;F;s 0 ; ϕ ) Dei ist Σ= {e 1;e 2...e n} Ds endliche Eingelphet S = {s 0;s 1...s r} Die endliche Zustndsmenge F S Die Menge der Endzustände s S Der Strtzustnd 0 ϕ:(e;s ) S Die Üerführungsfunktion i j t Σ enthält die Eingezeichen, die uf ds Eingend geschrieen werden können. Ds leere Zeichen F ( Blnk ) gehört nicht zu Σ. ( Φ Σ) S Die Zustndsmenge enthält den esonderen Strtzustnd s 0. Mindestens einer der restlichen Zustände ist ein Endzustnd. ϕ Die Üerführungsfunktion estimmt ei einem ktuell gelesenen Zeichen e i Σ { Φ} und dem ktuellen Zustnd S j den Folgezustnd s t in den der Automt üerführt wird. Nch jedem Lesevorgng rückt der Lesekopf eine Position nch rechts. Wenn ein Blnk gelesen wird, hält der Automt n. 1

2 Initilisieren des endlichen Automten : ( Reset) Zu Beginn der Areit nimmt der Automt den Strtzustnd s 0 ein und der Lesekopf steht üer dem ersten (linken) Zeichen des Eingewortes uf dem Eingend. Außer dem Eingewort stehen nur leere Zeichen BLANKS uf dem Bnd. F F F F F F F F F F F F F F Lesekopf S 0 Die Areitsweise des endlichen Automten: Eingewort eingeen Der Automt wird initilisiert Ds erste Eingezeichen lesen Ist dieses Zeichen ds BLANK, dnn stoppt der Automt. Solnge noch Eingezeichen uf dem Bnd vorhnden sind tue den durch ϕ:(e;s i j) St definierten Folgezustnd einnehmen den Lesekopf um eine Position nch rechts ewegen ds nächste Zeichen uf dem Bnd lesen 2

3 Bemerkung: Theoretische Informtik Ein Eingewort wird kzeptiert, wenn der Automt nch der Areitung des Worts in einem Endzustnd ist. Die Menge ller Eingeworte, die von dem Automten kzeptiert werden, ildet die Sprche L(A) des Automten A. Beispiel für einen Automten, der die Sprche L(A)= {w / w = eginnt und endet mit und ht mindestens2 Zeichen } üer {,} Σ= kzeptiert. Worte w dieser Sprche sind,,,, u.s.w. A = ( Σ;S;F;s ; ϕ ) {,} S = {s,s,s,s } F={ S e } s0 Σ= 0 1 e f ϕ : 1 S S 0 S 1 S e S f, 3

4 Der Folgezustnd ist jeweils n der Spitze der Pfeile. Auf dem Pfeil steht jeweils ds ktuell gelesene Zeichen red Der Zustnd S f ist ein Fehlerzustnd us dem herus nie mehr ein Endzustnd erreicht werden knn. Die Üerführungsfunktion ϕ lässt sich lterntiv durch eine Folge von Automteninstruktionen eschreien. Ds sind 3- Tupel der Form e i S k S m ktuell ktueller Folgegelesenes Zustnd zustnd Zeichen ϕ : S 0 S 1 S 0 S f S 1 S e S 1 S 1 S e S e S e S e S e S 1 S f S f S f S f Alufprotokoll des Automten A 1 für ds Eingewort w 1 = : (Kopfposition ist gel unterlegt) Eingend Zustnd F F F F S 0 F F F F S 1 F F F F S e F F F F S 1 F F F F S e F F F F S 1 F F F F S e 4

5 Beispiel für einen endlichen Automten A 2, der die Sprche L(A 2 )={w / w ist so ufgeut, dss nur genu ds 1.,3.,5.,...Zeichen ein ist } üer Σ= {,,c} kzeptiert. Worte w dieser Sprche sind z.b.,, c,, c, c ccc u.s.w. A = ( Σ;S;F;s ; ϕ ) {,,c} S = {s,s,s,s } F={ S e } s0 Σ= 0 1 f e ϕ : 2 S,c S 0 S e S 1,c,c S f,,c Alufprotokoll des Automten A 2 für ds Eingewort w 1 =c : (Kopfposition ist gel unterlegt) Eingend Zustnd F F c F F F S 0 F F c F F F S e F F c F F F S 1 F F c F F F S e F F c F F F S 1 F F c F F F S e 5

6 Beispiel für einen endlichen Automten A 3, der die Sprche 2n L(A 3 )= {w / w = ; n N } üer Σ= {,} kzeptiert. 0 Worte w dieser Sprche sind z.b.,,,... A = ( Σ;S;F;s ; ϕ ) {,} S = {s,s,s,s } F={ S e } s0 Σ= 0 1 f e ϕ : 3 S S e, S 0 S 2 S 4, S 1 Alufprotokoll des Automten A 3 für ds Eingewort w 1 = : (Kopfposition ist gel unterlegt) Eingend Zustnd F F F F F S 0 F F F F F S 1 F F F F F S 2 F F F F F S 1 F F F F F S 2 F F F F F S e 6

7 In der Progrmmiersprche JAVA müssen Bezeichner nch dem folgenden Syntxdigrmm geildet werden: Buchste Buchste Ziffer _ Beispiel für einen endlichen Automten A 4, der korrekte JAVA-Bezeichner kzeptiert. L(A 4 )={w / w ist ein korrekter Jv Bezeichner} üer Σ= {...z;a...z;0...9,_,sonstigezeichen} kzeptiert. Worte w dieser Sprche sind z.b. erste_zhl; Zhl1; Zhl_1; A123 ; xyz_1 A = ( Σ;S;F;s ; ϕ ) : siehe oen S = {s,s,s,s } F={ S e } s0 Σ 0 1 f e S ϕ : 4...z ;A...Z ;0...9 ;_...z ;A...Z S e S 0 sonstige sonstige S 2 lle Zeichen 7

8 Alufprotokoll des Automten A 4 für ds Eingewort w=zhl_1 : (Kopfposition ist gel unterlegt) Eingend Zustnd F F z h l _ 1 F F S 0 F F z h l _ 1 F F S e F F z h l _ 1 F F S e F F z h l _ 1 F F S e F F z h l _ 1 F F S e F F z h l _ 1 F F S e F F z h l _ 1 F F S e 8

9 Die Grenzen der Sprcherkennung ei endlichen Automten D ein endlicher Automt nur endlich viele innere Zustände s 0;s 1...sn 1 esitzt, ht er uch nur ein endliches Gedächtnis, d.h. er knn nur endlich viele Eingen speichern, indem er jeweils in einen neuen Zustnd wechselt. Beispielsweise knn ein kein endlicher Automt die Sprche n n L= {w / w = ; n N } üer Σ= {,} kzeptieren. Wörter dieser Sprche sind z.b. ; ; ; ; u.s.w. Der Versuch einen Automten zu konstruieren zeigt sofort ds Prolem: S f, S e, S 33 S 22 S 32 S 0 S 1 S 2 S 3 S 4... Ds Speichern der Anzhl der gelesenen knn nur üer den Wechsel in einen neuen noch nicht eingenommenen Zustnd erfolgen. Ht der Automt n m m verschiedene innere Zustände und soll ds Wort w = mit m > n kzeptiert werden, dnn kommt der Automt spätestens nch dem (m+1)ten in einen Zustnd S k, in dem er schon einml wr, ls gerde k ml gelesen worden wr. Der Automt knn nicht mehr unterscheiden, o k ml oder m+1 ml gelesen worden ist. Dieses Wort ist dmit nicht entscheidr! Merke: Der endliche Automt ht uch nur eine endliche Speicherfähigkeit, die üer die inneren Zustände geregelt wird. 9

10 Will mn die Leistungsfähigkeit der Endlichen Automten im Hinlick uf ihre Speicherfähigkeit erweitern, so gelngt mn zum Modell des sogennnten Kellerutomten. 10