2. Übungsblatt (mit Lösungen) 3.0 VU Formale Modellierung

Transkript

1 . Üungsltt (mit en) 3. VU Formle Modellierung Mrion Brndsteidl, Gernot Slzer 3. Mi 3 (Korrektur 4.6.) Aufge (.3 Punkte) Sei A der folgende Mely-Automt. u/ h/ h/ h/ u/ h/ 3 4 u/ u/ () Geen Sie die Ausge zur Einge uhuhuhuuhhuhu n. () Beschreien Sie A ls 6-Tupel; legen Sie die Üergngsfunktion δ sowie die Ausgefunktion γ durch eine Telle fest. (c) Berechnen Sie schrittweise δ (, huhuu) und γ (, huhuu). (d) Beschreien Sie die Üersetzungsfunktion [A]. () γ (, uhuhuhuuhhuhu) = () A = {,, 3, 4}, {h, u}, {, }, δ, γ,, woei δ und γ durch die folgenden Tellen festgelegt werden. δ h u γ h u

2 (c) δ (, huhuu) = δ (δ(, h), uhuu) = δ (, uhuu) = δ (δ(, u), huu) = δ (3, huu) = δ (δ(3, h), uu) = δ (4, uu) = δ (δ(4, u), u) = δ (3, u) = δ (δ(3, u), ε) = δ (, ε) = γ (, huhuu) = γ(, h) γ (δ(, h), uhuu) = γ (, uhuu) = γ(, u) γ (δ(, u), huu) = γ (3, huu) = γ(3, h) γ (δ(3, h), uu) = γ (4, uu) = γ(4, u) γ (δ(4, u), u) = γ (3, u) = γ(3, u) γ (δ(3, u), ε) = γ (, ε) = ε = (d) Der Mely-Automt ist ein huhu-detektor: Immer wenn die letzten vier Eingesymole ds Wort huhu ilden, wird ds Symol usgegeen, sonst. Aufge (.3 Punkte) Finden Sie einen Moore-Automten, der äquivlent zum Mely-Automten us Aufge ist. Geen Sie ein Verfhren n, mit dem sich zu jedem Mely-Automten ein äquivlenter Moore-Automt konstruieren lässt. Ein Moore-Automt zeichnet sich ddurch us, dss sämtliche Üergänge, die zu einem Zustnd führen, diesele Ausge erzeugen. Der Mely-Automt us Aufge erfüllt diese Bedingung einhe. Nur zum Zustnd 3 führen Üergänge mit den unterschiedlichen Ausgen und. Wir verdoppeln dher diesen Zustnd smt den Üergängen, die vom Zustnd wegführen. Die zum Zustnd 3 führenden Üergänge teilen wir je nch Ausge uf die eiden Zustände uf. u h h h u u 3 h h 4 u 3 u Zur llgemeinen Beschreiung des Verfhrens gehen wir von einem elieigen Mely- Automten A = Q, Σ, Γ, δ, γ, q us. Wir definieren zunächst die Menge Γ q ller Ausgesymole, die eim Üergng in den Zustnd q uftreten. Forml: Γ q = { Γ Es git einen Zustnd p Q und ein Eingesymol s Σ, sodss δ(p, s) = q und γ(p, s) = } gilt.

3 Für den Mely-Automten us Aufge gilt Γ = Γ = Γ 4 = {} und Γ 3 = {, }. Wenn die Menge Γ q für jeden Zustnd q nur ein Element enthält ( Γ q = für lle q Q), dnn edeutet ds, dss lle Üergänge in denselen Zustnd diesele Ausge erzeugen. In diesem Fll knn mn den Mely-Automten A direkt ls Moore-Automten Ā = Q, Σ, Γ, δ, γ, q interpretieren, woei die Ausgefunktion γ festgelegt wird durch γ(q) = flls Γ q = {}. Andernflls wählt mn einen Zustnd q us, ei dem mehr ls ein Ausgesymol uftritt; sei Γ q = {,..., n }, woei n >. Wir definieren einen neuen Mely-Automten A, der genuso ussieht wie der ursprüngliche, nur ersetzen wir q durch n neue Zustände q,..., q n. Die neuen Zustände esitzen dieselen wegführenden Üergänge wie q, die zu q hinführenden Üergänge werden er hängig vom Ausgesymol ufgeteilt. Forml lässt sich der neue Automt definieren ls A = Q, Σ, Γ, δ, γ, q, woei Q, δ, γ und q folgendermßen definiert sind. Die neuen Zustände sind die lten, woei q durch {q,..., q n } ersetzt wird: Q = (Q \ {q}) {q,..., q n } Wenn q Strtzustnd in A ist, wähle einen elieigen der neuen Zustände ls Strtzustnd in A, z.b. q ; ndernflls leit q Strtzustnd. { q q flls q = q = sonst q Die Ausgefunktion leit unverändert, woei die neuen Zustände die Ausge von q üernehmen. γ (p, s) = γ(p, s) und γ (q, s) = γ(q, s) für lle Zustände p Q \ {q}, lle Eingen s Σ und lle Ausgen Γ q. Bei der Definition der neuen Üergngsfunktion müssen wir unterscheiden, o der Üergng von q weg zw. nch q hin führt. { δ(p, s) flls δ(p, s) q (von nicht-q nch nicht-q) δ (p, s) = q γ(p,s) flls δ(p, s) = q (von nicht-q nch q) { δ(q, s) flls δ(q, s) q (von q nch nicht-q) δ (q, s) = q γ(q,s) flls δ(q, s) = q (von q nch q) für lle Zustände p Q \ {q}, lle Eingen s Σ und lle Ausgen Γ q. Diese Ersetzung von Zuständen wiederholen wir solnge, is der Mely-Automt direkt einem Moore-Automten entspricht. Sollten zu einem Zustnd q gr keine Üergänge führen, erhlten wir Γ q = {}. In diesem Fll können wir γ(q) elieig definieren, d der Wert mngels Üergng nie zum Trgen kommt. Diese Sitution knn prktisch nur eim Anfngszustnd uftreten; lle nderen derrtigen Zustände könnte mn entfernen, d sie nicht erreichr sind. 3

4 Aufge 3 (.3 Punkte) Sei Σ ds Alphet {, f, l, r, x} und L die Menge ller Wörter üer Σ, in denen rlf oder l ls Teilwort vorkommt. () Geen Sie einen Posix Extended Regulr Expression n, der die Sprche L eschreit. () Geen Sie einen nichtdeterministischen Automten n, der die Sprche L kzeptiert. Der Automt soll der Definition der Sprche direkt entsprechen, sodss die Korrektheit der Modellierung unmittelr einsichtig ist. (c) Konstruieren Sie mit Hilfe des in der Vorlesung esprochenen Determinisierungsverfhrens zu Ihrem nichtdeterministischen Automten einen äquivlenten deterministischen. () [flrx]*(rlf l)[flrx]* (),f,l,r,x r 4 l 6 f,f,l,r,x 7 3 l 5 (c) Wir stellen zunächst die Üergngsfunktion des indeterministischen Automten ls Telle dr. δ f l r x {, 3} {} {} {, } {} {4} {} {} {} {} 3 {} {} {5} {} {} 4 {} {} {6} {} {} 5 {7} {} {} {} {} 6 {} {7} {} {} {} 7 {7} {7} {7} {7} {7} Dmit lässt sich nun systemtisch die Üergngsfunktion des deterministischen Automten konstruieren, indem wir die jeweils relevnten Zeilen vereinigen. Wir wählen {} ls Strtzustnd für den deterministischen Automten, d der Strtzustnd 4

5 f,l,x f,l,x r r r f,x r 34 l l,x 56,f,f,l,r,x 7 r r f,x 3 l 5 f,l,x Aildung : Deterministischer Automt für Rlf und Al (Aufge 3) des nicht-deterministischen ist. δ f l r x {} {, 3} {} {} {, } {} {, } {, 3, 4} {} {} {, } {} {, 3} {, 3} {} {, 5} {, } {} {, 3, 4} {, 3} {} {, 5, 6} {, } {} {, 5} {, 3, 7} {} {} {, } {} {, 5, 6} {, 3, 7} {, 7} {} {, } {} {, 3, 7} {, 3, 7} {, 7} {, 5, 7} {,, 7} {, 7} {, 7} {, 3, 7} {, 7} {, 7} {,, 7} {, 7} {, 5, 7} {, 3, 7} {, 7} {, 7} {,, 7} {, 7} {,, 7} {, 3, 4, 7} {, 7} {, 7} {,, 7} {, 7} {, 3, 4, 7} {, 3, 7} {, 7} {, 5, 6, 7} {,, 7} {, 7} {, 5, 6, 7} {, 3, 7} {, 7} {, 7} {,, 7} {, 7} Die Endzustände sind ll jene, die den ursprünglichen Endzustnd 7 enthlten, lso {, 3, 7}, {, 7}, {, 5, 7}, {,, 7}, {, 3, 4, 7} und {, 5, 6, 7}. In diesem Beispiel hen die Endzustände die Eigenschft, dss mn von ihnen usgehend mit jedem der fünf möglichen Symole wieder nur in einen Endzustnd gelngt. Sold lso ein Endzustnd erreicht ist, wird hier jedes elieige Wort kzeptiert. Wir können den Automten lso vereinfchen, indem wir die Endzustände zu einem einzigen zusmmenfssen, den wir wieder 7 nennen. Aildung stellt den vereinfchten deterministischen Automten grphisch dr. 5

6 Aufge 4 (.3 Punkte) Sei L die Menge ller nicht-leeren Wörter üer {,, }, die ls Ternärnumerl (d.h., ls Numerl zur Bsis 3) interpretiert den Rest oder 3 ei Division durch 5 liefern. Beispielsweise liegt ds Wort in L, d es der Zhl = entspricht, die ei Division durch 5 den Rest liefert. Geen Sie einen endlichen Automten n, der die Sprche L kzeptiert. Hinweis: Der Wert eines Numerls z z k (z i sind die einzelnen Ziffern) zur Bsis n knn itertiv mittels der Formel (( (wert(z ) n + wert(z )) n + ) n + z k ) n + z k erechnet werden, mn muss lso nicht im Vorhinein die Anzhl der Ziffern kennen, um die Ziffern richtig zu gewichten. (wert(z) ezeichnet die der Ziffer z zugeordnete ntürliche Zhl.) D letztlich nur der Divisionsrest modulo 5 üer die Akzeptnz des Wortes entscheidet, knn mn sich uch in jedem Zwischenschritt uf den Divisionsrest modulo 5 eschränken (Restklssen-Arithmetik). Ddurch liegen lle Zwischenergenisse im Bereich is 4. D es um Teilrkeit modulo 5 geht, sehen wir die Zustände,,, 3 und 4 für die fünf möglichen Divisionsreste vor. Befindet sich der Automt im Zustnd n, so soll ds edeuten, dss ds isher gelesene Ternärnumerl den Rest n ei Division durch 5 liefert. Zustnd und 3 sind Endzustände, d sie dem Divisionsrest zw. 3 entsprechen. Zur Festlegung der Üergänge üerlegen wir, wie sich der Divsionsrest ändert, wenn uf ds isher verreitete Numerl ds Symol, zw. folgt. Wr der isherige Rest n, so ist der Rest nch einem er (3n+) mod 5, nch einem er (3n+) mod 5 und nch einem er (3n + ) mod 5. Somit ergit sich für den Zustnd 4 ei Verreitung des Symols der Folgezustnd (3 4 + ) mod 5 =, ei der Folgezustnd (3 4 + ) mod 5 = 3 und ei der Folgezustnd (3 4 + ) mod 5 = 4. Insgesmt erhlten wir den in Aildung drgestellten Automten. Aufge 5 (.3 Punkte) Sei Σ = {S, R, W, B} ds Einge- und Γ = {, } ds Ausgelphet. Die Eingesymole stehen für folgende Aktivitäten: S: Ds Symol wird usgeen (Set) R: Ds Symol wird usgeen (Reset) W: Die Ausge Wechselt. Wr ds letzte Symol eine, wird usgegeen, sonst. B: Ds zuletzt usgegeene Symol wird nochmls usgegeen (Bewhren). 6

7 3 4 Aildung : Automt für Ternärnumerle (Aufge 4) Beispielsweise führt die Einge SBWRRBW zur Ausge. Geen Sie einen Trnsducer n, der diese Funktion erechnet. Die Aktionen W und B eziehen sich uf die letzte Ausge, dher muss sich der Automt die eiden Möglichkeiten dfür, und, in unterschiedlichen Zuständen merken. Wir erhlten den folgenden Mely-Automten. R/,B/ S/,B/ S/,W/ R/,W/ Der Strtzustnd ist willkürlich gewählt und ewirkt, dss B zw. W ls erste Aktion die Ausge zw. liefert. Der ngegeene Mely-Automt esitzt die Eigenschft, dss lle Üergänge, die in denselen Zustnd führen, diesele Ausge erzeugen. Diese ist lso vom Üergng unhängig und knn dem Zielzustnd zugeordnet werden. Der Automt knn dher unverändert uch ls Moore-Automt ufgefsst werden. R,B S,B S,W R,W 7

8 Aufge 6 (.3 Punkte) Seien A = Q, Σ, δ, i, F und A = Q, Σ, δ, i, F zwei elieige deterministische Automten üer dem Alphet Σ und L = L(A ) zw. L = L(A ) die von ihnen kzeptierten Sprchen. Geen Sie ein Verfhren n, um drus einen Automten A für die Differenz dieser Sprchen zu erhlten; es soll lso L(A) = L \L gelten. Der Automt A kzeptiert somit genu jene Worte, die von A er nicht von A kzeptiert werden. Welche Eigenschft regulärer Sprchen ergit sich drus? Geen Sie ls Beispiel zwei konkrete Automten und den drus mit Ihrem Verfhren konstruierten Automten für die Differenzsprche n. Hinweis: Üerlegen Sie sich die Aufgenstellung zuerst n Hnd einfcher konkreter Automten und verllgemeinern Sie dnn Ihre Beochtungen. Wir konstruieren einen Automten A, der die eiden Automten A und A gleichzeitig usführt. Als Zustände für A verwenden wir Pre (q, q ), woei q Q ein Zustnd des ersten Automten und q Q ein Zustnd des zweiten Automten ist. Der neue Automt efindet sich ei Einge eines Wortes w im Zustnd (q, q ), wenn sich der erste Automt ei diesem Wort im Zustnd q und der zweite im Zustnd q efinden würde. Der Strtzustnd (i, i ) entspricht der Sitution, in der sich die eiden ursprünglichen Automten im Strtzustnd efinden. Ein Üergng mit dem Symol s von (q, q ) nch (q, q ) existiert genu dnn, wenn mn mit diesem Symol in A von q nch q = δ (q, s) und in A von q nch q = δ (q, s) gelngt. Uns interessieren nun lle Wörter, die von A er nicht von A kzeptiert werden, lso die Differenz L(A ) \ L(A ). Ein derrtiges Wort liegt genu dnn vor, wenn der neue Automt dmit einen Zustnd (q, q ) erreicht, ei dem q ein Endzustnd des Automten A er q kein Endzustnd des Automten A ist. Ein Automt für die Differenz der Sprchen L(A ) und L(A ) lässt sich somit durch A = Q Q, Σ, δ, (i, i ), F (Q \ F ) definieren, woei die Üergngsfunktion festgelegt ist durch für lle (q, q ) Q Q und lle s Σ. Als Beispiel etrchten wir die Automten mit den Üergngsfunktionen δ((q, q ), s) = (δ (q, s), δ (q, s)) A = {,, 3}, {, }, δ,, {} A = {x, y}, {, }, δ, x, {y} δ δ x y x y y x 8

9 , 3, x y () Automt für L = {} {, } () Automt für L = {, } {} 3x x x x x 3y y y y (c) Automt für die Sprche L \ L = {} {, } {} (mit zw. ohne Flle/unerreichre Zustände) Aildung 3: Beispiel für die Differenzildung ei Automten (Aufge 6) Automt A kzeptiert lle Worte üer Σ = {, }, die mit eginnen, und Automt A jene, die mit ufhören, d.h., L(A ) = {} {, } und L(A ) = {, } {}. Ds oen eschrieene Verfhren liefert den Automten mit der Üergngsfunktion A = {x, y, x, y, 3x, 3y}, {, }, δ, x, {x} δ x y 3x y y 3x x y x y y x 3x 3y 3x 3y 3y 3x woei die Zustndsezeichnugnen (q, q ) uf q q verkürzt wurden. Für den Automten A gilt L(A) = L(A ) \ L(A ) = {} {, } {}, d.h., der Automt kzeptiert lle Wörter, die mit eginnen und mit enden. Aildung 3 stellt die drei Automten grphisch dr. Die konkreten Bezeichnungen der Zustände hen keinen Einfluss uf die kzeptierte Sprche des Automten. Sie können dher so gewählt werden, dss sie einen Anhltspunkt für die Rolle ieten, die die Zutände im Automten spielen. 9

10 Diese Konstruktion zeigt, dss die Differenz von Sprchen, die von Automten kzeptiert werden, wieder durch einen Automten eschrieen werden knn. Die Fmilie der Sprchen, die von endlichen Automten kzeptiert werden, ist dher geschlossen gegenüer Mengendifferenz. In der Vorlesung hen wir gezeigt, dss diese Spchfmilie genu den regulären Sprchen entspricht. Dher sind uch die regulären Sprchen geschlossen gegenüer Differenzildung: Die Differenz zweier regulärer Sprchen ist wieder regulär. Aufge 7 (. Punkte) Vereinfchen Sie die folgenden Ausdrücke. () (({,, cc} {ε}) ({ε, } {})) {c} () {} ({} {ε}) (c) ({} {} + ) {} (d) {,, } {} (e) {,, } {} () L = (({,, cc} {ε}) ({ε, } {})) {c} = ({ε,,, cc} {ε,, }) {c} = {ε,,,,,,, cc, cc, cc} {c} = {ε,,,,,,, c, cc, cc, cc} () L = {} ({} {ε}) = {} {} {} {ε} = {} + {} = {} (c) L 3 = ({} {} + ) {} = {} + {} = {} + (d) L 4 = {,, } {} = {} (e) L 5 = {,, } {} = {,, } Aufge 8 (.3 Punkte) Sind folgende Gleichungen für elieige Sprchen L gültig? Flls j, egründen Sie wrum, flls nein, geen Sie ein Gegeneispiel n. () L {} = L {ε} () {ε} L = L + (c) (L L) = L L (d) L + {ε} = L {}

11 () Diese Gleichung gilt für elieige Sprchen L, d L {} = L = L {ε}. () Diese Gleichung gilt nicht llgemein. Wegen {ε} L = L ist die Gleichung äquivlent zu L = L +. Diese Gleichung ist genu dnn erfüllt, wenn L ds Leerwort enthält, i.e., wenn ε L. Ein Gegeneispiel wäre L = {}. (c) Diese Gleichung gilt in der Regel nicht. Gegeneispiel: L = {}; wir erhlten ({} {}) = {} {} = {} {}. (d) Diese Gleichung wird von keiner Sprche erfüllt. Die linke Seite vereinfcht sich zu L + {ε} = L ; diese Sprche enthält offenr ds Leerwort. Die rechte Seite vereinfcht sich zu L {} = {}; diese Sprche enthält gr kein Wort, insesondere nicht ds Leerwort. Aufge 9 (.3 Punkte) Geen Sie einen regulären Ausdruck n, der lle E-Mil-Adressen eschreit, die die folgenden Bedingungen erfüllen: Sie enden Vor steht mindestens ein Buchste oder eine Ziffer. Der Teil links esteht nur us Buchsten und Ziffern. Ds erste Zeichen der E-Mil-Adresse ist ein Buchste. () Geen Sie den gesuchten regulären Ausdruck in lgerischer Nottion n. () Geen Sie den gesuchten regulären Ausdruck in egrep-nottion n. (Gesucht sind lle Zeilen, die usschließlich eine E-Mil-Adresse enthlten.) (c) Zeichnen Sie ds Syntxdigrmm, ds Ihrem regulären Ausdruck us Teil entspricht. () lph := A + + Z z num := Regulärer Ausdruck: lph(lph + () ^[-za-z][-za-z-9]*@logic\.t$ oder ^[:lph:][:lnum:]*@logic\.t$ (c) Syntxdigrmm zu lph(lph + lph l o g i c. t num

12 Ạ num =. 9 lph =. Z. z Aufge (.3 Punkte) Konstruieren Sie einen endlichen Automten, der diesele Sprche eschreit wie der reguläre Ausdruck ( + ε)((c) + + ). Konstruiert mn den Automten nch dem llgemeinen Verfhren us der Vorlesung, enötigt mn etw Zustände und fst eensoviele ε-knten. Der folgende Automt ist dem regulären Ausdruck noch ähnlich, enötigt er nur 6 Zustände. 6 ε c Der Automt ist ufgrund der einen ε-knte und der eiden -Knten ei Zustnd 3 indeterministisch. Ds Determinisierungsverfhren us der Vorlesung liefert den folgenden Automten. c c c 5 4 Ntürlich git es uch noch ndere Automten, die zu diesen eiden äquivlent sind. Aufge (.3 Punkte) Konstruieren Sie zu folgendem endlichen Automten einen regulären Ausdruck. Orientieren Sie sich m Algorithmus, der in der Vorlesung esprochen wurde und geen Sie den Automten nch jeder Zustndselimintion n!

13 , ε Neuer Anfngs- und Endzustnd: + ε i f Wir eliminieren die Zustände in der Reihenfolge, und ; ndere Reihenfolgen sind eenflls möglich. Elimintion von Zustnd : ε ε ε ε i ++ ε ε + f Elimintion von Zustnd : ε ++++ i ε++ f Elimintion von Zustnd : i ε + ( ) (ε + + ) f 3

14 D (+) ereits lle möglichen Wörter üer {, } enthält, gilt (++ ) = (+), der reguläre Ausdruck vereinfcht sich dmit zu ε + ( + ) (ε + + ). Mit demselen Argument gilt ( + ) (ε + + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) = ( + ) Dmit erhlten wir ls Ergenis den regulären Ausdruck ε + ( + ). Der Automt kzeptiert somit lle Wörter üer {, } ußer jenen, die mit dem Symol eginnen. Aufge (.3 Punkte) Songtexte enthlten gelegentlich Füllworte wie Schuiduidu oder Schuiduiduhhhhh. Die Grmmtik G = V, T, P, A erzeugt solche Füllwörter, woei V = {A, B, C, D} T = {,, c, d, h, i, s, u} P = {A schu B, B i C schu B, C du B D B, D du D hhhhh ε } () Üerprüfen Sie für die nchfolgenden Wörter, o sie in der von der Grmmtik G spezifizierten Sprche L(G) liegen. Flls j, geen Sie eine Aleitung n. Flls nein, rgumentieren Sie, wrum nicht. () schuschuiduhhhhh () schwschwiduidudu (3) schuiduschuischuschuiduiduduhhhhh () Sind folgende Aussgen üer die Sprche L(G) korrekt? Wenn j, wrum? Wenn nein, geen Sie ein Gegeneispiel! () In jedem Wort der Sprche ist die Anzhl der schu-silen ungerde. () Jedes Wort enthält mindestens ein i. (3) Mn knn elieig lnge Wörter ilden, in denen keine zwei gleichen Silen (schu, i, du, du oder hhhhh) ufeinnder folgen. (4) In jedem Wort ist die Anzhl der du kleiner ls die Anzhl der i. (c) Geen Sie einen endlichen Automten für die Sprche L(G) n. 4

15 () () J, ds Wort liegt in der Sprche L(G): A schu B schu schu B schu schu i C schu schu i D schu schu i du D schu schu i du hhhhh () Ds Wort ist nicht Teil der Sprche L(G), d jedes Wort mit schu eginnen muss. (3) J, ds Wort liegt in der Sprche L(G): A schu B schu i C schu i du B schu i du schu B schu i du schu i C schu i du schu i B schu i du schu i schu B schu i du schu i schu schu B schu i du schu i schu schu i C schu i du schu i schu schu i du B schu i du schu i schu schu i du i C schu i du schu i schu schu i du i D schu i du schu i schu schu i du i du D schu i du schu i schu schu i du i du du D schu i du schu i schu schu i du i du du hhhhh () () Flsch. Z.B. ist schuschui ein Wort der Sprche L(G) (siehe Aleitung unten) mit einer gerden Anzhl n schu-silen. A schu B schu schu B schu schu i C schu schu i D schu schu i 5

16 () Richtig. Jede Aleitung eginnt mit A schu B (schu) n B (schu) n i C für n. Somit enthält jedes leitre Wort die Sile i. (3) Richtig. Z.B. ist ds Wort (schu i) n für jedes n Teil der Sprche L(G): A schu B schu i C schu i B schu i schu B schu i schu i C (schu i) n C (schu i) n D (schu i) n ε = (schu i) n (4) Richtig. Enthält ein Wort der Sprche die Sile du n Ml, dnn kommt die Sile i mindestens n + Ml vor. Ds lässt sich folgendermßen sehen. Die Sile du knn nur durch die Produktion C du B in ein Wort gelngen. Ds Nonterminl C wiederum knn nur durch die Produktion B i C entstehen. Somit steht vor du immer die Sile i. Weiters knn jedes Wort nur üer D-Produktionen eendet werden. D knn er nur üer die Aleitungsschritte w B w i C w i D erreicht werden, d.h., nch dem letzten du kommt mindestens noch ein weiteres i. (c) D ds Alphet lut Ange us einzelnen Buchsten esteht und Üergänge nur für einzelne Symole definiert sind, müssen wir die Silen mit Hilfe von zusätzlichen Zuständen in einzelne Buchsten zerlegen. ε ε u d s c h u i A B C h h h h D ε d u Aufge 3 (.3 Punkte) Sei M folgende Teilmenge der Anweisungen der Progrmmiersprche Modul. Zuweisungen hen die Form := ist ein Bezeichner, der mit einem Buchsten eginnt und uf den elieig viele Buchsten und Ziffern folgen können. steht für einen Ausdruck. Blöcke esitzen die Form BEGIN m ;... ; m n END Dei können m,..., m n (n ) elieige Anweisungen us M sein, die durch einen Strichpunkt getrennt werden. 6

17 Konditionle können folgende Formen nnehmen: IF THEN f END IF THEN f ELSE f END IF THEN f ELSIF THEN f END IF THEN f ELSIF THEN f ELSE f 3 END IF THEN f ELSIF THEN f ELSIF THEN f 3 END IF THEN f ELSIF THEN f ELSIF THEN f 3 ELSE f 4 END. Ds heißt, dem If-Teil folgt immer ein Then-Teil, dnn kommt eine elieige Zhl von Elsif-Teilen, und zuletzt knn optionl ein Else-Teil folgen. i steht dei für Ausdrücke, f i für Anweisungsfolgen der Form m ;... ; m n, wie sie uch ei Blöcken vorkommen. Exit-Anweisungen estehen nur us dem Schlüsselwort EXIT. Schleifen sehen genuso us wie Blöcke, ußer dss BEGIN durch ds Schlüsselwort LOOP ersetzt ist. Beispiel eines Progrmms in M: LOOP X := ; IF THEN EXIT ELSIF 3 THEN X := 4 END END Beschreien Sie die Sprche M ller derrtigen Anweisungen mit Hilfe einer kontextfreien Grmmtik. Verwenden Sie so weit wie möglich Enf-Nottionen, um die Grmmtik üersichtlich zu hlten und rekursive Regeln zu vermeiden. Nehmen Sie n, dss es ereits Produktionen git, die es ermöglichen, us dem Nonterminl Ausdruck die zulässigen Ausdrücke (wie,,... ) zu erzeugen. Es ist nicht notwendig, Leerzeichen und ähnliches (white spce) zu erücksichtigen. 7

18 Die Sprche M wird durch die Grmmtik V, T, P, Anweisung erzeugt, woei V, T und P die folgenden Mengen sind. V = {Anweisung, Zuweisung, Block, Konditionl, If, Elsif, Else, Exit, Loop, Anweisungsfolge, Bezeichner, Buchst, Ziff, Ausdruck}, T = {":=", "BEGIN", "END", "IF", "THEN", "ELSIF", "ELSE", "EXIT", "LOOP", ";", "A",..., "Z", "",..., "z", "",..., "9"}, P = {Anweisung Zuweisung Block Konditionl Exit Loop, Zuweisung Bezeichner ":=" Ausdruck, Block "BEGIN" Anweisungsfolge "END", Konditionl If { Elsif } [ Else ] "END", If "IF" Ausdruck "THEN" Anweisungsfolge, Elsif "ELSIF" Ausdruck "THEN" Anweisungsfolge, Else "ELSE" Anweisungsfolge, Exit "EXIT", Loop "LOOP" Anweisungsfolge "END", Anweisungsfolge Anweisung { ";" Anweisung }, Bezeichner Buchste { Buchste Ziffer }, Buchste "A" "Z" "" "z", Ziffer "" "9", Ausdruck }. Aufge 4 (.3 Punkte) Gegeen seien die folgenden Aussgen. Drücken Sie diese Aussgen ls prädiktenlogische Formeln us. Bestimmen Sie dei Ihre Prädikte selst und geen Sie diese n! () Alle rtionlen Zhlen sind reelle Zhlen. () Nicht lle reellen Zhlen sind rtionle Zhlen. (c) Mnche reellen Zhlen sind keine rtionlen Zhlen. (d) Jede ntürliche Zhl ist entweder gerde oder ungerde. (e) Keine ntürliche Zhl ist sowohl gerde ls uch ungerde. Wir enutzen die folgenden Prädikte: Q(x): x ist eine rtionle Zhl. R(x): x ist eine reelle Zhl. N(x): x ist eine ntürliche Zhl. G(x): x ist eine gerde Zhl. U(x): x ist eine ungerde Zhl. 8

19 () x (Q(x) R(x)) () x (R(x) Q(x)) (c) x (R(x) Q(x)) (d) x (N(x) (G(x) U(x))) oder x (N(x) (G(x) U(x))) (e) x (N(x) G(x) U(x)) Aufge 5 (.3 Punkte) Seien Verprügelt, Angriffslustig, Gllier und Römer Prädiktensymole und oelix, lcmus und cäsr Konstntensymole mit folgender Bedeutung: Verprügelt(x, y)... x verprügelt y Angriffslustig(x)... x ist ngriffslustig Gllier(x)... x ist ein Gllier Römer(x)... x ist ein Römer oelix... Oelix lcmus... Lcmus cäsr... Cäsr Verwenden Sie diese Symole, um die eiden nchfolgenden Sätze in prädiktenlogische Formeln zu üersetzen. () Alle Römer werden von Oelix er nicht von Cäsr verprügelt. () Mnche Gllier verprügeln lle ngriffslustigen Römer. Sei weiters folgende Interprettion gegeen: U = {Aerous, Asterix, Bonus, Cäsr, Lcmus, Oelix, Troudix, Verleihnix} I(Gllier) = {Asterix, Oelix, Verleihnix} I(Römer) = {Aerous, Bonus, Cäsr} I(Verprügelt) = {(Asterix, Aerous), (Asterix, Lcmus), (Oelix, Aerous), (Oelix, Bonus), I(cäsr) = Cäsr I(lcmus) = Lcmus I(oelix) = Oelix (Oelix, Cäsr), (Oelix, Lcmus), (Troudix, Bonus), (Verleihnix, Lcmus)} Geen Sie n, o die nchfolgenden Formeln in dieser Interprettion whr oder flsch sind. Begründen Sie Ihre Antwort mit einem konkreten Beispiel; es ist keine formle Auswertung erforderlich. (c) xverprügelt(x, lcmus) (d) x y(römer(y) Verprügelt(x, y)) (e) x y(römer(x) (Gllier(y) Verprügelt(y, x))) 9

20 Bestimmen Sie unter Verwendung der Evluierungsfunktion den Whrheitswert der Formel (f) x(gllier(x) Verprügelt(x, lcmus)) () x(römer(x) (Verprügelt(oelix, x) Verprügelt(cäsr, x))) () x y(gllier(x) ((Angriffslustig(y) Römer(y)) Verprügelt(x, y))) oder x(gllier(x) y((angriffslustig(y) Römer(y)) Verprügelt(x, y))) (c) Flsch, d z.b. (Aerous, Lcmus) / I(Verprügelt) (d) Whr, d Oelix lle Römer verprügelt: Für jeden der drei Römer r I(Römer) git es ein entsprechendes Pr (Oelix, r) in I(Verprügelt). (e) Flsch, d keiner der drei Römer Aerous, Bonus und Cäsr von jedem der drei Gllier Asterix, Oelix und Verleihnix verprügelt wird. Lcmus ist kein Beleg für die Whrheit der Formel: Er wird zwr von llen Glliern verprügelt, er ist er kein Römer in dieser Interprettion. (f) vl I,σ ( x(gllier(x) Verprügelt(x, lcmus))) = Für lle σ x σ gilt: vli,σ (Gllier(x) Verprügelt(x, lcmus)) = Für lle σ x σ gilt: Wenn vl I,σ (Gllier(x)) =, dnn vl I,σ (Verprügelt(x, lcmus) =. Für lle σ x σ gilt: Wenn σ (x) I(Gllier), dnn (σ (x), Lcmus) I(Verprügelt). Wegen I(Gllier) = {Asterix, Oelix, Verleihnix} müssen wir drei Möglichkeiten für σ (x) untersuchen. σ (x) (σ (x), Lcmus) I(Verprügelt)? Asterix (Asterix, Lcmus) I(Verprügelt) Oelix (Oelix, Lcmus) I(Verprügelt) Verleihnix (Verleihnix, Lcmus) I(Verprügelt) Die Formel ist dher whr in der gegeenen Interprettion. Aufge 6 (.3 Punkte) Gegeen sei ds folgende Petri-Netz mit Anfngsmrkierung. Geen Sie lle möglichen Reihenfolgen n, in denen die Trnsitionen feuern können. Geen Sie jene erreichren Mrkierungen n, in denen keine Trnsition ktiviert ist.

21 t t t 3 Die Trnsitionsfolgen t t t 3 t 3 und t t 3 t t 3 liefern: t t t 3 Die Trnsitionsfolgen t t t 3, t t 3 t und t t t 3 liefern: t t t 3

22 Aufge 7 (.3 Punkte) Ein Sender und ein Empfänger kommunizieren miteinnder üer einen Knl mit Kpzität, ds heißt, der Knl ist ein FIFO-Buffer (First-In-First-Out, Queue) mit zwei Plätzen. Wenn der Sender eine Nchricht sendet, elegt diese Pltz. Nchrichten in Pltz werden uf Pltz verschoen. Der Empfänger empfängt schließlich die Nchricht, die sich uf Pltz efindet. Der Sender und der Empfänger können sich entweder im Zustnd elegt oder ereit efinden. Der Sender knn nur senden, wenn er sendeereit ist; der Empfänger knn nur empfngen, wenn er empfngsereit ist und Pltz des Knls eine Nchricht enthält. Nch einer erfolgreichen Sendeopertion (zw. Empfngsopertion) geht der Sender (zw.der Empfänger) in den Zustnd elegt und wechselt nch einer kurzen Zeit wieder in den Zustnd ereit. Modellieren Sie ds eschrieene System mit Hilfe eines Petri-Netzes. S eschäftigt K frei K frei E ereit t t t 3 t 4 t 5 S ereit K elegt K elegt E eschäftigt Die eiden Stellen links modellieren den Sender. S eschäftigt edeutet, dss der Sender die Nchricht erstellt, wohingegen eine Mrkierung ei S ereit nzeigt, dss die Nchricht sendeereit ist. Die Bereitschft der Nchricht knn von weiteren Bedingungen hängig gemcht werden, indem weitere Stellen mit t verunden werden. Jeder der eiden Knl-Plätze wird durch zwei Stellen modelliert. Eine Mrkierung uf der Stelle K i frei zw. K i elegt zeigt n, dss der Pltz i frei zw. elegt ist. Anlog zeigt eine Mrkierung ei E ereit zw. E eschäftigt n, dss der Empfänger ereit zum Nchrichtenempfng zw. eschäftigt mit der Verreitung der letzten Nchricht ist. Die Ankunft einer Nchricht knn weitere Aktionen uslösen, indem t 5 mit weiteren Stellen verunden wird. Durch die Art der Verindungen und die gewählten Mrkierungen ist sichergestellt, dss eine Nchricht... nur gesendet werden knn, wenn K frei ist;... nur dnn von K nch K gelngt, wenn K frei ist;... nur empfngen werden knn, wenn der Empfänger ereit ist.