Automaten und formale Sprachen Bemerkungen zu den Folien

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1 Inhltsverzeichnis Automten und formle Sprchen Bemerkungen zu den Folien 1 Wiederholung Mengentheorie 3 Beispiele für die Potenzmenge (Folie 28) Beispiele für ds Kreuzprodukt (Folie 30) Beispiel für Reltionen (Folie 31) Beispiele für Funktionen Sprchen und Grmmtiken 3 Zu Folie Zu Folie 43/ Zu Folie 49/ Zu Folie Zu Folie Zu Folie Endliche Automten 5 Zu Folie Zu Folie Zu Folie DFA Reguläre Grmmtik (Folie 68) Zu Folie Zu Folie NFA-Beispiel (Zu Folie 75) Zu Folie 78/79 (Potenzmengenkonstruktion) Zu Folie Reguläre Grmmtik NFA (Folie 82) Reguläre Ausdrücke 9 Zu Folien Zu Folie Zu Folien (regulärer Ausdruck NFA) Zu Folien (NFA regulärer Ausdruck) Ds Pumping Lemm 13 Zu Folie Zu Folien 122/ Pumping-Lemm-Beispiele Minimlutomten und Myhill-Nerode-Äquivlenz 15 Zu Folie Äquivlenzklssen (Folie ) Zu Folie 131/ Zu Folie 133/ Beispiele für Myhill-Nerode-Äquivlenz (Zu Folie ) Zu Folie Aschlusseigenschften und Lösungsverfhren 19 Zu Folie Zu Folie

2 8 Progrmmverifiktion: Wechselseitiger Ausschluss 20 Erster Versuch: Prozessmodell (Folie 169) Erster Versuch: Gril (Folie 173) Wiederholung 21 Drei Beweise der Nicht-Regulrität Kontextfreie Grmmtiken 22 Beispiele für kontextfreien Grmmtiken (Folie 186) ɛ-produktionen entfernen (Folie 187/188) Zu Folie Beispielgrmmtik (Folie 189) Umwndlung in Chomsky-Normlform (Folie 201) Der CYK-Algorithmus 25 Zu Folien 207/208 (Nottioneispiel) CYK-Beispiel 1 (Folie 213) CYK-Beispiel 2 (Folie 214) Ds Pumping-Lemm für kontextfreien Sprchen 26 Zu Folie Beispiel zum Pumpmechnismus (Folie 220) Pumping-Lemm-Beispiele (Folie 225) Kellerutomten 29 Zu Folie Zu Folie Zu Folien Nottion der Üerführungsfunktion Kellerutomt-Beispiel 1 (Folie 243) Zu Folie Noch ein Kellerutomt-Beispiel (Folie 247) Kellerutomt-Beispiele (Folie 248) Kontextfreie Grmmtik PDA (Folie 251/252) PDA kontextfreie Grmmtik (Folien ) Aschlusseigenschften und Algorithmen kontextfreier Sprchen 36 Kellerutomten mit Endzuständen (Folie 263) Aschluss unter Vereinigung (Folie 267) Aschluss unter Produkt (Folie 268) Aschluss unter der Stern-Opertion (Folie 269) Beispiel Kreuzproduktkonstruktion NFA/Kellerutomt (Folie 271,272) Zu Folie Erzeugen eines Prsers mit JvCC 39 Zu Folien Zu Folie Zu Folie JvCC nrufen

3 1 Wiederholung Mengentheorie Beispiele für die Potenzmenge (Folie 28) P({, }) = {, {}, {}, {, } } P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } Bemerkung: es ist für lle Mengen A der Fll, dss A und A A. Ds heißt, dss es immer der Fll ist, dss P(A) und A P(A). Beispiele für ds Kreuzprodukt (Folie 30) {1, 3} {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)} {,, c} {1} = {(, 1), (, 1), (c, 1)} A = Beispiel für Reltionen (Folie 31) Sei A = {0, 1, 2}. Dnn ist < A A definiert wie: < = { (0, 1), (0, 2), (1, 2) }. Beispiele für Funktionen Eine Funktion wird forml drgestellt ls eine totle und eindeutige Reltion. Sei A = {0, 1, 2} und f = {(0, 1), (1, 2), (2, 2)} g = {(0, 0), (0, 1), (1, 2)} Es gilt: f ist eine Funktion mit f(0) = 1, f(1) = 2 und f(2) = 2. Jedes Element von A kommt genu einml ls linkes Element in einem Tupel us f vor. Aer g ist keine Funktion. Wir können nicht sgen, ws die Ausge von g(0) oder g(2) sein soll. Im ersten Fll git es zwei Tupel mit 0 ls linkem Element, im zweiten Fll keins. 2 Sprchen und Grmmtiken Zu Folie 35 Mit dieser Beispielgrmmtik können Sätze eines Frgments der deutschen Sprche geleitet werden, z.b.: 3

4 Stz Sujekt Prädikt Ojekt Artikel Attr. Sust. Artikel Attr. Sust. Adj. Attr. Adj. Adj. der kleine issige Hund jgt die große Ktze Zu Folie 43/44 Eine Aleitung des Wortes cc in der Grmmtik der Folie 40: S SBC BCBC BBCC BCC CC cc cc Ds heißt, cc L(G). Zu Folie 49/50 Alle gennnten Bedingungen gelten zusätzlich zu den vorher gennnten Bedingungen. Ds heißt, eine reguläre Grmmtik G = (Σ, V, P, S) muss die folgenden Bedingungen erfüllen: für lle Regeln l r gilt: l r ; l V (l ist eine einzelne Vrile); r = oder r = B, für Σ und B V. Die Chomsky-Hierrchie für Grmmtiken ist eine Hierrchie. Ds heißt, jede Chomsky-i-Grmmtik ist uch eine Chomsky-(i 1)-Grmmtik (für i {1, 2, 3}). Es ist möglich, dss die gleiche Sprche von zwei verschiedenen Grmmtiken erzeugt wird. Die zwei verschiedenen Grmmtiken können uch vom verschiedenen Chomsky-Typ sein. Zu Folie 52 Die Beispiel-Grmmtik von Folie 45 ist vom Typ 1/kontextsensitiv. Ds heißt, dss L(G) = { n n c n n 1} eine kontextsensitive Sprche ist. Gegeen sei folgende Grmmtik: G = {V, Σ, P, S}, woei V = S, Σ = {} und P gegeen ist durch: S S Die Grmmtik G ist kontextfrei (vom Typ 2), und die Sprche L(G) = { n n ungerde} ist lso eine kontextfreie Sprche. 4

5 G ist nicht regulär. Ds heißt er nicht, dss die Sprche, die G erzeugt, nicht regulär ist. In diesem Fll git es nämlich uch die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = {S, G} und P gegeen ist durch: S T T S Es gilt, dss L(G ) = L(G). G ist er eine reguläre Grmmtik, und deswegen ist L(G) eine reguläre Sprche, owohl G keine regulre Grmmtik ist. Zu Folie 53 Es gilt folgendes: Die Sprchklssen sind in einnder enthlten. Jede Typ i-sprche ist uch eine Typ-(i 1)- Sprche (für i {1, 2, 3}). Die Sprchklssen sind echt in einnder enthlten. Für jede Sprchklsse Typ i (woei i {0, 1, 2}), git es eine Sprche die vom Typ i ist, er nicht vom Typ (i + 1). Es git uch Sprchen, die gr nicht von einer Grmmtik erzeugt werden! (Dzu mehr in der Vorlesung Berechenrkeit und Komplexität.) Zu Folie 57 Wortprolem für ds Wort c und die Beispiel-Grmmtik von Folie 40/45: T 0 = {S} T 1 = {S, SBC, BC} T 2 = {S, SBC, BC, SBCBC, C} T 3 = {S, SBC, BC, C, c} T 4 = T 3 Weil c / T 4, gilt c / L(G). 3 Endliche Automten Zu Folie 64 Wie sieht die Üerführungfunktion us? δ : Z Σ Z Ds heißt: Ein Pr us Zustnd und Alphetsymol wird uf einen Zustnd geildet. Also, δ(z 1, ) = z 2 heißt, dss ein mit eschrifteter Pfeil von z 1 zu z 2 geht. Beispiel: der Automt uf Folie 57 wird wie folgt textuell drgestellt: M = ({z 1, z 2 }, {, }, δ, z 1, {z 2 }), woei: δ(z 1, ) = z 1 δ(z 2, ) = z 2 δ(z 1, ) = z 2 δ(z 2, ) = z 1 5

6 Zu Folie 65 ˆδ ist die Erweiterung von δ von Symolen uf Wörter. Beispiel (siehe Automt uf Folie 57): ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ) = ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ɛ) = ˆδ(z 2, ɛ) = z 2 Ds edeutet, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 1 in den Zustnd z 2 führt. Zu Folie 67 Antwort der ersten Aufge: L = {x Σ x enthält genu 1 } Antwort der zweiten Aufge: M = (Z, Σ, δ, z 0, E), mit Z = {1, 2, 3, 4}, Σ = {, }, z 0 = 1, E = {4}: , DFA Reguläre Grmmtik (Folie 68) Stz. Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweis. Ein endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) wird in eine Grmmtik G = (V, Σ, P, S) umgewndelt, woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: Flls ɛ T (M), enthält P eine Produktion S ɛ. (Es ist dnn noch notwendig, die Grmmtik noch weiter umzuwndeln, dmit die ɛ-sonderregel nicht verletzt wird.) Flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P. Flls zusätzlich gilt, dss z 2 E, dnn gilt uch (z 1 ) P. Jetzt gilt für lle x = 1,..., n Σ, dss x T (M) gdw. es git Zustände s 0,..., s n so dss s 0 = z 0, s n E und s i = δ(s i 1, i ), für i {1,..., n} gdw. z 0 1 z z n = x gdw. x L(G). 6

7 Zu Folie 72 Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd und Alphetsymol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet. Beispiel: der Automt uf Folie 71 wird folgendermßen textuell drgestellt: M = ({z 0, z 1, z 2, z 3 }, {, }, δ, {z 0, z 3 }, {z 3 }), woei: δ(z 0, ) = {z 1 } δ(z 1, ) = δ(z 2, ) = {z 3 } δ(z 3, ) = {z 0 } δ(z 0, ) = {z 0, z 2 } δ(z 1, ) = {z 3 } δ(z 2, ) = δ(z 3, ) = Zu Folie 73 Genuso wie ei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphetsymolen uf Wörter. Sei Z = {z 1,..., z n }. Dnn edeutet ˆδ(δ(z, ), x) z Z ds gleiche wie: ˆδ(δ(z 1, ), x) ˆδ(δ(z n, ), x) Beispiel (siehe Automt uf Folie 71): ˆδ({z 0 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ) = ˆδ({z 0, z 2 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ɛ) ˆδ(δ(z 2, ), ɛ) = ˆδ({z 1 }, ɛ) ˆδ({z 3 }, ɛ) = {z 1 } {z 3 } = {z 1, z 3 } Ds heißt, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 0 entweder in den Zustnd z 1 oder in den Zustnd z 3 führt. NFA-Beispiel (Zu Folie 75) Die vom NFA kzeptierten Sprche ist: L = {x ds 3-letzte Zeichen von x ist } Folgender NFA kzeptiert die Sprche L = {x x fängt mit n und endet mit }: z 0 z 1 z 2, 7

8 Zu Folie 78/79 (Potenzmengenkonstruktion) Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der oigen NFA in den folgenden DFA umgewndelt (nicht erreichre Zustände, wie z.b. {z 2, z 3 }, sind nicht ngegeen). {z 0 } {z 1 } {z 1, z 2 }, Hier sei ngemerkt, dss Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen NFAs sind. Zu Folie 80 Wir definieren (für lle k 1) die Sprche L k = {x {, } x k und ds k-letzte Zeichen von x ist } Der kleinste NFA, der L k kzeptiert, ht k+1 Zustände (siehe für L 3 zum Beispiel den Automten uf Folie 75 mit 4 Zuständen); der kleinste DFA, der L k kzeptiert, ht er 2 k Zustände. Wenn wir den NFA von Folie 75 mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion determinisieren, wird folgender DFA erzeugt: {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 3} {1, 3, 4} {1, 4} {1, 2, 4} Dieser Automt ist ttsächlich der kleinst mögliche. Der Grund dfür ist, dss wir uns im DFA merken müssen, wo in den letzten 3 eingelesenen Stellen die s stehen:

9 Oen, heißt ein., dss uf der Stellen kein steht (ds heißt, entweder steht dort ein, oder gr nichts wenn noch nicht genügend Symole eingelesen wurden), und heißt, dss uf der Stelle ein steht. Später werden wir noch sehen, wie wir forml zeigen können, dss ein Automt der kleinst mögliche ist. Reguläre Grmmtik NFA (Folie 82) Gegeen Sei G = ({S, U}, {, }, P, S), woei P wie folgt definiert ist: S S U U U S Wir wndeln diese Grmmtik in einen NFA M = (Z, {, }, δ, S, E) um. Wir hen: Z = {S, U, X} E = {X} und δ wie folgt: S X U 4 Reguläre Ausdrücke Zu Folien Der -Opertor ht die höchste Präzedenz, dnch der Konktentionsopertor, und der - Opertor ht die niedrichste Präzedenz. Ds heißt: cd (() (c(d ))) Zu Folie 89 Sei Σ = {,, c}. Beispiele von regulären Ausdrücken: α 1 = ( ) L(α 1 ) = L() L() = {, } α 2 = ( ) L(α 2 ) = L(α 1 ) = {, } = {ɛ,,,,,,,..., } 9

10 α 3 = ( )c L(α 3 ) = L(( )c ) = L(α 1 )L(c ) = {,, c, c, cc, cc, ccc, ccc,...} α 4 = ( c) c( c) L( c) = {,, c} L(c) = {c} L(α 4 ) = {x x enthält c} Reguläre Ausdrücke für gegeenen Sprchen: 1. Sprche ller Wörter, die mit eginnen und mit enden. β 1 = ( c) 2. Sprche ller Wörter, die gerde viele s enthlten. β 2 = ( ( c) ( c) ( c) ) oder β 2 = ( ( c) ( c) ) (Es git immer (unendlich) viele reguläre Ausdrücke, die eine estimmte Sprche eschreien.) Zu Folien (regulärer Ausdruck NFA) Sei α = ( ) c. Wir wollen α, mit Hilfe der Konstruktion us der Vorlesung, in einen Automten umwndeln, der die gleiche Sprche kzeptiert. 1. NFAs für die tomren regulären Ausdrücke: M = z z M = z z M c = z c c z c 2. Wir steln us M und M den folgenden Automten M, so dss T (M ) = L( ): z z M = z z 3. Aus M steln wir den Automten M ( ), für den gilt, dss T (M ( ) ) = L(( ) ): z z M ( ) = z z x 10

11 Weil ɛ / L( ), müssen wir einen zusätzlichen Zustnd einführen, der sowohl Anfngs- ls uch Endzustnd ist, dmit der Automt uch ds leere Wort kzeptiert. 4. Zum Schluss, kominieren wir die Automten M ( ) und M c zu einem Automten M α, für den gilt, dss T (M α ) = L(α). M ( ) = z z z z z c c z c x Bemerke, dss die Endzustände von M ( ) im zusmmengesetzten Automten keine Endzustände mehr sind. Die Zustände z, z und x hen eigentlich keine Funktion mehr, weil mn us ihnen keinen Endzustnd mehr erreichen knn. Wenn mn die Konstruktion er genu nwendet, werden die Zustände nicht gelöscht. Weil M ( ) ds leere Wort kzeptiert, sind die Strtzustände vom M c im zusmmengesetzten Automten uch Strtzustände. Der von der Konstruktion erzeugte NFA ist in den meisten Fällen nicht der kleinste NFA, der die gesuchte Sprche kzeptiert. Insesondere, kzeptiert der folgende Automt die gleiche Sprche: z c c z c, Die Konstruktion wird nur enutzt um zu zeigen, dss es für jeden regulären Ausdruck mindestens einen NFA git, der die Sprche kzeptiert. Zu Folien (NFA regulärer Ausdruck) Korrektheit des Verfhrens Ds Verfhren, ds einen nicht-deterministischen endlichen Automten (NFA) in einen regulären Ausdruck umwndelt, ist korrekt us den folgenden Gründen: Die Regeln des Verfhrens erhlten die Sprche des Automten. Ds heißt, der Originlutomt kzeptiert die gleiche Sprche wie der nch der Regelnwendung entstndene Automt. In jedem Schritt wird einen Zustnd oder einen Üergng us dem Automten entfernt. Weil es m Anfng endlich viele Zustände und Üergänge git, muss ds Verfhren ufhören; lso: ds Verfhren terminiert. Beispiel Wir wndeln den folgenden Automten M mit Hilfes des Zustndselimintionsverfhrens in einen regulären Ausdruck um, der die gleiche Sprche erzeugt. 11

12 M = z 1 z 3 c z 5 z 2 z 4 d 1. Zunächst, fügen wir einen neuen Strt- und Endzustnd hinzu: s ɛ ɛ z 1 z 2 z 3 z 4 c d z 5 ɛ e 2. Indem wir zweiml Regel E verwenden, können z 1 und z 2 gelöscht werden. s ɛ z 3 c z 5 ɛ e ɛ z 4 d 3. Wir löschen z 5 indem wir nochml Regel E verwenden: ɛ z 3 cɛ s e ɛ z 4 dɛ 4. Wir löschen z 4 durch Anwendung der Regel E: ɛ z 3 cɛ s ɛ dɛ e ɛdɛ 5. Mit Hilfe von Regel V können wir die prllellen Pfeile loswerden: s ɛ ɛ z 3 cɛ dɛ e ɛdɛ 6. Jetzt, löschen wir die Schleife mit der Regel S: 12

13 s ɛ ɛ z 3 () (cɛ dɛ) e ɛdɛ 7. Nun knn z 3 einfch entfernt werden (mit der Regel E): (ɛ ɛ)() (cɛ dɛ) s e ɛdɛ 8. Schließlich erhlten wir mit der Regel V ds Endergenis: s (ɛdɛ) (ɛ ɛ)() (cɛ dɛ) e 9. Wenn wir (optionl) die ɛ s weglssen, ergit dies den regulären Ausdruck: d ( )( )(c d) 5 Ds Pumping Lemm Zu Folie 118 Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von Üergängen im Pfd ist. Ds heißt, dss ein Pfd, der eine Länge m ht, m + 1 Zustände enthält. Zu Folien 122/123 Weil ds Pumping-Lemm keine Aussgen üer Automten mehr mcht, knn es (in umgekehrter Richtung) uch uf nicht-reguläre Sprchen (für die es j keine Automten git) ngewendet werden. Die Negtion von ist: Es git eine Zhl n, so dss sich lle Wörter x L mit x n zerlegen lssen in x = uvw, so dss v 1, uv n und für lle i = 0, 1, 2,... gilt: uv i w L. Für lle Zhlen n git es ein Wort x L mit x n, so dss es für lle Zerlegungen x = uvw mit v 1 und uv n eine Zhl i git, so dss uv i w L. So können wir ds Pumping-Lemm enutzen, um zu zeigen, dss eine Sprche nicht regulär ist. Es git er uch Sprchen, die die Bedingungen des Pumping-Lemms erfüllen, er nicht regulär sind. Ds Pumping-Lemm knn lso grundsätzlich nicht dfür ngewendet werden, um zu zeigen, dss eine Sprche regulär ist. 13

14 Pumping-Lemm-Beispiele Die Schritt n -Boxen in den folgenden Beweisen verweisen uf die Schritte des Kochrezepts (Folie 124/125), und gehören nicht zur Beweistext. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 1 = { k k Σ k N 0 } ist nicht regulär. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 1 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 1. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Bemerkung: wir hätten uch i = 0 wählen können. Es gilt Wegen m 1, gilt dnn uch uv 0 w / L 1. uv 0 w = l+n (l+m) n = n m n. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 2 = {ww R w Σ } ist nicht regulär. (Siehe Folie 126.) Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 2 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 2. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Stz. Die Sprche L 3 = { k l c m k 1, l m} ist nicht regulär. (Die Sprche L 3 esteht lso us den Wörtern z L( c ), woei zusätzlich gilt, dss sie mindestens ein enthlten, und die Anzhl von s kleiner gleich die Anzhl von c s ist.) Es sei ngemerkt, dss die Vrilen, die innerhl von einer Mengeneschreiung enutzt werden, im llgemeinen ls lokle Vrilen gesehen werden. Insesondere, hen die l und m die oen enutzt werden nicht unedingt die gleiche Werte ls die l und m die unten im Beweis enutzt werden. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = n c n. Es gilt offensichtlich, dss x L 3 und x n. Schritt 3 Es git folgende Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1: 1. u = ɛ, v = l, w = n l c n, woei m 1. (Bemerke, dss im Fll l = 0, ds Teilwort v nur us dem esteht. Die Bedingung, dss v 0 gilt in dem Fll ntürlich noch immer.) 2. u = l, v = m, w = r c n, woei l + m + r = n und m 1. 14

15 (Der Unterschied zwischen den eiden Fällen, ist o ds in v liegt oder nicht.) Schritt 4 eide Zerlegungen git es ein i, so dss uv i w / L 3 : Für 1. Sei i = 0: Weil u = v 0 = ɛ, gilt uv i w = w = n l c n. Es könnte sein, dss l = 0. Die Anzhl von s und c s muss lso nicht unterschiedlich sein. Ds Wort fängt er nicht mit einem n, und deswegen gilt uv i w / L Sei i = 2: Es gilt uv i w = l+2m+r c n. Wegen n = l + m + r und m 1 hen wir, dss l + 2m + r > n. Deswegen gilt uv i w / L 3. Nch dem Pumping Lemm ist L 3 lso nicht regulär. Stz. Die Sprche L 4 = { 2k k N} ist nicht regulär. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = 2n. Es ist klr, dss x L 4 und x n. Schritt 3 Alle Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1 sind von folgender Form: u = p, v = q, w = 2n p q, woei p + q n und q 1. Schritt 4 Wir wählen jetzt i = 2; dnn gilt uv i w = 2n +q. Weil 2 n > n (für lle n), muss gelten, dss p + q < 2 n und deswegen, dss 0 < q < 2 n. Ds heißt, dss 2 n < 2 n + q < 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1. Drus folgt, dss 2 n + q keine Zweierpotenz ist und somit, dss uv i w = uv 2 w / L 4. Dmit hen wir nchgewiesen, dss die Sprche L 4 die Bedingungen des Pumping Lemms verletzt, und deswegen nicht regulär sein knn. Hinweise zur Benutzung des Pumping-Lemms Der wichtigste Teil eines Beweises, der ds Pumping-Lemm verwendet, ist die Whl des Wortes der Länge n. Einige Hinweise zum Whlen des Wortes: Ds Wort muss länger ls n sein. Es ist er keine oere Schrnke ngegeen. Es ist nicht schlimm, wenn ds Wort viel länger ls n ist. Wähle ein möglichst einfches Wort. Die einzige Bedingung ist, dss ds Wort in der etrchtete Sprche liegt. Wegen der Bedingung, dss uv n, findet ds Pumpen nur in den ersten n Symolen des Wortes sttt. Zusätzlich zum oigen Hinweis, wähle uch ein Wort, in dem die Struktur der ersten n Stellen möglichst einfch ist. (Es sei zum Beispiel ngemerkt, dss ds gewählte Wort in zwei der oigen Beispiele nur Zerlegungen zugelssen ht, ei denen u und v eide nur us s estehen.) 6 Minimlutomten und Myhill-Nerode-Äquivlenz Zu Folie 127 Die Ttsche, dss x, y und z elieige Elemente von M sind, heißt uch, dss es möglich ist, dss zwei oder sogr drei von ihnen gleich sind. Es könnte zum Beispiel gelten, dss x = y. 15

16 Äquivlenzklssen (Folie ) Beispiel 1. Gegeen sei die Menge M = {,, c, d} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, c), (, ), (, ), (, c), (c, ), (c, ), (c, c), (d, d) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: c d Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist (siehe Folie 129). Reflexiv. Für lle Elemente x von M gilt, dss (x, x) R. Zum Beispiel: (, ) R und (d, d) R. Symmetrisch. Für lle Pre x und y, so dss x M, y M und (x, y) R, gilt uch, dss (y, x) R. Zum Beispiel: (, ) R, und es gilt uch, dss (, ) R. Trnsitiv. Für lle x, y, z, so dss x M, y M, z M, (x, y) R und (y, z) R, gilt uch, dss (x, z) R. Zum Beispiel: (, ) R und (, c) R. Es muss lso gelten, dss (, c) R und ds ist uch der Fll. (, ) R und (, ) R. Es muss lso gelten, dss (, ) R und ds ist uch der Fll. Die Äquivlenzklssen der Reltion sind: [] R = {,, c} [] R = {,, c} [c] R = {,, c} [d] R = {d} Weil [] R = [] R = [c] R ht die Reltion R zwei Äquivlenzklssen, nämlich {,, c} und {d}. Beispiel 2. Gegeen sei die Menge M = {,, c, d, e} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, ), (, ), (c, c), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: d c e 16

17 Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Die Äquivlenzklssen von R sind: [] R = {, } [c] R = {c} [d] R = {d, e} [] R = {, } [e] R = {d, e} Weil [] R = [] R und [d] R = [e] R, ht diese Reltion drie Äquivlenzklssen, nämlich {, }, {c} und {d, e}. Beispiel 3. Gegeen seien ds Alphet Σ = {, } und die Reltion L Σ Σ uf Σ, die folgendermßen definiert ist: (x, y) L gdw. x = y, woei w die Länge eines Wortes w ezeichnet. Ds heißt, zwei Wörter sind in der Reltion L wenn sie die gleiche Länge hen. Für ein Wort x gilt nun, dss [x] L = {y y ht die gleiche Länge wie x}. Weil es unendlich viele mögliche Längen git, ht diese Reltion unendlich viele Äquivlenzklssen. Zu Folie 131/132 Wir etrchten den folgenden DFA: , 3 5 Feststellung: für die Zustände 4, 5 gilt: Mit einem Wort, ds ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (nämlich 6). Mit einem Wort, ds kein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Nicht- Endzustnd (4 zw. 5). Drus folgt: 4 und 5 sind erkennungsäquivlent und können zu einem Zustnd verschmolzen werden. Etws ähnliches gilt für die Zustände 2 und 3: Mit einem Wort, ds mit einem nfängt und ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (6). Mit einem Wort, ds nicht mit einem nfängt oder kein enthält, lndet mn immer in einem Nicht-Endzustnd. Auch die Zustände 2 und 3 sind Erkennungsäquivlent. Ds heißt, dss die Zustände 4/5 und 2/3 verschmolzen werden können. Ds Ergenis ist der folgende kleinere Automt: 17

18 , 1 2/3 4/5 6, Es können keine weiteren Zustände verschmolzen werden: der Automt ist ttsächlich miniml. Zu Folie 133/134 Jedem Wort x Σ knn mn in einem deterministischen Automt einen eindeutigen Zustnd z = ˆδ(z 0, x) zuordnen. Dher knn die Definition der Erkennungsäquivlenz uf Wörter us Σ und Sprchen (nsttt Automten) erweitert werden. Sie heißt dnn die Myhill-Nerode-Äquivlenz. Beispiele für Myhill-Nerode-Äquivlenz (Zu Folie ) L 1 = {w {, } # (w) gerde} Es git folgende Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {, } # (w) gerde} = L 1 (Äquivlenzklsse von ɛ) [] = {w {, } # (w) ungerde} = {, } \L 1 (Äquivlenzklsse von ) Beispiel: ɛ und sind äquivlent, denn wird n eide ein Wort mit gerde vielen s ngehängt, so leien sie in der Sprche wird n eide ein Wort mit ungerde vielen s ngehängt, so fllen sie us der Sprche herus Es ist leicht einzusehen, dss jedes Wort entweder Myhill-Nerode-äquivlent zu ɛ oder zu ist. Die Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen entsprechen Zuständen eines Automten, der die Sprche kzeptiert: z 1 z 2 Hier entspricht z 1 der Äquivlenzklsse [ɛ] und z 2 der Äquivlenzklsse []. L 2 = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor} Es git folgende Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {,, c} w endet nicht uf oder und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} 18

19 [c] = {w {,, c} w enthält c} Die Wörter und sind nicht äquivlent, denn wird n eide ein c ngehängt, so ist c noch in der Sprche, c ist es er nicht. Die Myhill Nerode-Äquivlenzklssen entsprechen Zuständen eines Automten, der die Sprche kzeptiert: c z 0 z 1 z c 2 z E, c,, c Hier entspricht: z 0 der Klsse [ɛ] z 1 der Klsse [] z 2 der Klsse [] und z 3 der Klsse [c]. Zu Folie 141 Sei L 3 = { k k k 0} Wir etrchten die Wörter ɛ,,,,..., i,... (für i 0). Es gilt ( i R L j ) für i j. weil i i L 3 er j i / L 3. Ds heißt, dss L 3 unendlich viele Myhill Nerode-Äquivlenzklssen ht und deswegen nicht regulär ist. 7 Aschlusseigenschften und Lösungsverfhren Zu Folie 150 Wrum sind Aschlusseigenschften interessnt? D wir die Aschlusseigenschften konstruktiv eweisen können, git es Konstruktionen, mit denen wir reguläre Sprchen us einfcheren regulären Sprchen zusmmenuen können. Zu Folie 158 In der Kreuzproduktkonstruktion werden zwei Automten prllelgeschltet. Die Zustände des neuen Automten geen n, in welchen Zuständen die eiden ursprünglichen Automten sich efinden; ds heißt, die Zustände des neuen Automten sind Pre von Zuständen der ursprünglichen Automten. Wir etrchten die folgenden Automten: 19

20 M 1 = z 1 z 2 M 2 = y 1 y 2 Der Automt M (so dss T (M) = T (M 1 ) T (M 2 )), generiert mit Hilfe der Konstruktion von Folie 152, sieht folgendermßen us: (z 1, y 1 ) (z 2, y 1 ) (z 1, y 2 ) (z 2, y 2 ) 8 Progrmmverifiktion: Wechselseitiger Ausschluss Erster Versuch: Prozessmodell (Folie 169) Bedeutung der Zustände 1, 2, 3, 4, 5: diese entsprechen den mit Lels mrkierten Progrmmzeilen Bedeutung der Schleifen mit Alphetsymolen us i : d wir später ds Kreuzprodukt ilden werden, um mehrere Automten zu synchronisieren, dürfen Üergänge nderer Automten, die den Prozess i nicht etreffen, nicht usgeschlossen werden. Sie werden einfch mitgehört und hen keinen Einfluss uf die Zuständsüergänge. Alle Zustände sind Endzustände. Ds Progrm läuft unendlich durch (wegen dem while true do) und der Automt kzeptiert lle endlichen Präfixe unendlicher Aläufe. Erster Versuch: Gril (Folie 173) Für ds Tool Gril enutzen wir die Kodierung der Folie 168. Wir verwenden die Gril-Werkzeuge folgendermßen, um ds Modell zu verifizieren: $ fmcross p1.ut < p2.ut > psynch.ut $ fmcross f.ut < psynch.ut > sys.ut $ fmcment w.ut > w-cment.ut $ fmcross sys.ut < w-cment.ut > errors.ut $ fmenum errors.ut DdAXx DdAXx DdAxX DdAXx... 20

21 D die Sprche nicht leer ist, ist der vorgestellte Prozedur nicht richtig. Es werden uch flsche Systemläufe usgegeen. Einer dvon ist DdAXx. Üersetzt ins ursprüngliche Alphet: (f = flse?) 2 (f = flse?) 1 (f := true) 2 BkB 2 (f := true) 1 BkB 1. D es keine tomre Schrei- und Leseopertion git, können eide Prozessen ncheinnder die Vrile uslesen, nschließend die Vrile setzen und den kritischen Bereich etreten. Versuch 2: Üerprüfung mit Gril (Folie 182) Üerprüfung mit Gril: $ fmcross p1.ut < p2.ut > psynch.ut $ fmcross f1.ut < psynch.ut > psynch1.ut $ fmcross f2.ut < psynch1.ut > sys.ut $ fmcment w.ut > w-cment.ut $ fmcross sys.ut < w-cment.ut > errors.ut $ fmenum errors.ut (keine Ausge) Es git keine Wörter in dem Schnitt des Komplements des Spezifiktionsmodell und des Systems. Ds heißt, dss ds zweite Modell richtig ist. 9 Wiederholung Drei Beweise der Nicht-Regulrität Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L = {w Σ # (w) # (w)} ist nicht regulär. Beweis mit dem Pumping-Lemm. Sei n eine Belieige ntürliche Zhl. Wir wählen ds Wort x = n n!+n, woei n! die Fkultätsfunktion ezeichnet, ds heißt: n! = n (n 1) (n 2) 1. Es ist klr, dss x L und x n. Alle Zerlegungen von x in x = uvw, woei uv n und v 1 hen folgende Form: u = p, v = q, w = n p q n!+n. Jetzt wählen wir i = n! q + 1. Es sei ngemerkt, ds n! die Zhl q ls Produkt enthält, und dss n! deswegen durch q teilr ist. Jetzt gilt, dss uv i w = m n!+n, woei m = p + i q + n p q. Wir hen er: p + q( n! q + 1) + n p q = q(n! q + 1) + n q = n! + q + n q = n! + n. Ds heißt, dss uv i w / L. Nch dem Pumping-Lemm ist L deswegen nicht regulär. Beweis mit dem Stz von Myhill-Nerode. Sei die folgende Menge M Σ gegeen: M = { k k N}. Sei nun x = i und y = j, woei i j. Dnn gilt für z = i, dss xz / L und yz L. Ds heißt, dss x und y nicht Myhill-Nerode-äquivlent sind zgl. der Sprche L. Weil M undendlich viele Wörter enthält, ht L deswegen unendlich viele Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen und is lso nch dem Stz von Myhill-Nerode nicht regulär. Beweis mit Hilfe von Aschlusseigenschften. Nehme n, dss L regulär wäre. Weil reguläre Sprchen unter Komplement geschlossen sind, wäre dnn uch A = Σ \A regulär. Ds ist, nch Aufge 13() us Bltt 4, er nicht der Fll, und deswegen knn L uch nicht regulär sein. 21

22 10 Kontextfreie Grmmtiken Beispiele für kontextfreien Grmmtiken (Folie 186) Beispiel 1: G 1 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, S } und P die folgenden Produktionen enthält: S S ɛ S S Beispiel 2: G 2 = (V, Σ, P, S), woei V = {S} und P die folgenden Produktionen enthält: S S S ɛ-produktionen entfernen (Folie 187/188) Dieser Stz edeutet, dss mn ɛ-produktionen elieig verwenden drf. Sie verändern nichts n der Ausdrucksmächtigkeit kontextfreier Grmmtiken. Beispiel 1: Sei Σ = {,, c}. Gegeen sei die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = {S, C} und P die folgenden Produktionen enthält: S CSC C cc ɛ Die Menge der Vrilen, us denen sich ds leere Wort leiten lässt, ist V 1 = {C}. Üerll wo C uf der rechte Seite einer Produktion vorkommt, müssen wir lso uch ds leere Wort erluen. Die Ergenis-Grmmtik esteht deswegen us den folgenden Produktionen: S CSC CS SC S C c cc Beispiel 2: Sei Σ = {<, >}. Gegeen sei die Grmmtik G = ({S}, Σ, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S <S>S ɛ Aus S knn mn ds leere Wort, leiten. Wir müssen lso üerll wo S uf der rechten Seite steht, uch erluen, dss ds leere Wort erzeugt wird. Außerdem sorgen wir dfür, dss die neue Grmmtik ds leere Wort erzeugt, indem wir eine neue Strtvrile S hinzufügen. Die resultierende Grmmtik ist G = ({S, S }, Σ, P, S ), woei P die folgenden Produktionen enthält: S S ɛ S <S>S <>S <S> <> Zu Folie 193 Ein Beispiel einer mehrdeutigen Grmmtik ist G = ({S}, {, }, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S SS. Dnn git es folgende (verschiedene) Syntxäume für ds sele Wort (): 22

23 S S S S S S S S S S Beispielgrmmtik (Folie 189) G = ({S}, Σ, P, S), woei P us den folgenden Produktionen esteht: S ɛ SS SS S Umwndlung in Chomsky-Normlform (Folie 201) Beispiel 1: Sei G = ({S, A}, {,, c}, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S A A S Sc B ɛ B A Nch jedem Schritt des Umwndlungsverfhrens werden die Produktionen ngegeen. (Fettgedruckte Buchsten geen Änderungen n.) Schritt 1: ɛ-produktionen entfernen Wir enutzen ds Verfhren von Folien 187/188: S A A S Sc B B A Schritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es git einen Zyklus A B A. Wir ersetzen lso A und B durch eine einzelne Vrile A und löschen die Kettenproduktionen A B und B A: S A A S Sc Es git nun noch eine Kettenproduktion, A S. Diese wird gelöscht und für jede Produktion (S w) P wird eine neue Produktion A w eingefügt. S A A A Sc Schritt 3: Alphetsymole us den rechten Seiten entfernen Wenn eine rechte Seite mehr ls 2 Symolen ht, werden die Alphetsymolen durch Vrilen ersetzt: S U AU U U A U AU U U U U SU c U U U c c 23

24 Schritt 4: Lnge rechte Seiten ufteilen S U C U U C AU A U C U U U D D U E E SU c U U U c c Beispiel 2: Sei die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) gegeen, woei V = {S, A, B, C, D, E, F }, Σ = {,, c} und P die folgende Produktionen enthält: S ABC A B DAD B C EBE C A F CF D E E F F F c Nch jedem Schritt des Umwndlungsverfhrens sind die Produktionen: Schritt 1: ɛ-produktionen entfernen Es git keine ɛ-produktionen in der Grmmtik. Die Grmmtik muss lso nicht geändert werden. Schritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es git zwei Ketten: den Zyklus A B C A und die zyklenfreie Kette D E F. Der Zyklus knn entfernt werden, indem wir lle Vrilen des Zyklus üerll in der Grmmtik durch eine neue Vrile G ersetzen, und die Kettenproduktionen löschen: S GGG G DGD G EGE G F GF D E E F F F c Um die zyklenfreie Kette zu entfernen, löschen wir die letzte Produktion der Kette (E F ) und fügen für jede Produktion (F w) P eine neue Produktion E w ein. S GGG G DGD G EGE G F GF D E E F c F F c Ds gleiche mchen wir, von hinten nch vorne, für lle Produktionen der Kette. In diesem Fll git es nur noch die erste Produktion, D E, und ds ergit: S GGG G DGD G EGE G F GF D F c E F c F F c 24

25 Schritt 3: Alphetsymole us den rechten Seiten entfernen S GGG G DGD G EGE G F GF D U F U c U U U U E U F U c U U U U F U F U c U U U U U c c Schritt 4: Lnge rechte Seiten ufteilen S GW W GG G DX X GD G EY Y GE G F Z Z GF D U V U U U U E U V U U U U F U V U U V F U c U U U c c 11 Der CYK-Algorithmus Zu Folien 207/208 (Nottioneispiel) Sei Σ = {, }. Wir etrchten die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) woei V = {S, A, B, C, D, E} und P die folgenden Produktionen enthält: S AC A B DE C SB D E c Sei x = cc. Es gilt: x 1,1 = T 1,1 = {S, A} x 1,2 = T 1,2 = x 1,4 = c T 1,4 = {S} x 5,2 = c T 5,2 = {B} CYK-Beispiel 1 (Folie 213) Die Grmmtik ist schon in Chomsky-Normlform. Wir wenden den CYK-Algorithmus n und ds Ergenis ist die folgende Telle: 25

26 c c j = 1 A, F A, F B, G C B, G C j = 2 F S E, D G E, D j = 3 S S, H G j = 4 H S j = 5 S H j = 6 H Ds Strtsymol S kommt nicht im untersten Kästchen vor, ds heißt, dss ds Wort cc nicht in der von der Grmmtik erzeugte Sprche liegt. CYK-Beispiel 2 (Folie 214) Die Grmmtik ist noch nicht in Chomsky-Normlform. Wir wndeln sie lso zunächst in Chomsky- Normlform um: S AB A U U U A A AU B c U c B U U U c c Wenn wir den CYK-Algorithmus uf dem Wort cc nwenden, kommt die folgende Telle herus: c c j = 1 U U U U U U B, U c B, U c j = 2 A B j = 3 A j = 4 A j = 5 A j = 6 A j = 7 S j = 8 S Ds Strtsymol S kommt im unteren Kästchen vor, ds heißt, dss ds Wort cc in der von der Grmmtik erzeugten Sprche liegt. 12 Ds Pumping-Lemm für kontextfreien Sprchen Zu Folie 218 Bemerkung: Der Grund, dss wir hier nnehmen, dss die Grmmtik in Chomsky-Normlform ist, ist nur um einfcher zählen zu können. Der Pumpmechnismus der nächsten Folien funktioniert uch, wenn die Grmmtik nicht in Chomsky-Normlform ist. Beispiel zum Pumpmechnismus (Folie 220) Sei Σ = {<, >}. Wir etrchten die Grmmtik G=(V, Σ, P, S), woei V folgenden Produktionen esteht: S <S> SS <>. = {S} und P us 26

27 (Diese Grmmtik erzeugt die Sprche der korrekt geklmmerten Ausdrücke, d.h. <<><>> L(G) er <<> / L(G).) Betrchte den folgenden Aleitungsum des Wortes <<><>>. S < S > S < > S < > Es git zwei gleiche Vrilen uf dem gleichen Pfd. Die zwei S-Knoten, die im oigen Bild durch Kästchen mrkiert sind, ergeen die Zerlegung u = <, v = ɛ, w = <>, x = <>, y = >. Wir können jetzt ds Wort pumpen zw. schrumpfen, indem wir den Teilum des oeren S für den Teilum des unteren S einsetzen oder umgekehrt: S S < S > < S > S S < > S S < > < > < > Der linke Syntxum entspricht dem Wort uv 2 wx 2 y = <<><><>>, der rechte dem Wort uv 0 wx 0 y = <<>>. Es sei ngemerkt, dss x 0 = ɛ, uch wenn x > 0. Pumping-Lemm-Beispiele (Folie 225) Stz. Die Sprche L 1 = { m m2 m 1} ist nicht kontextfrei. Beweis. Sei n eine elieige Zhl. Wir wählen ds Wort z = n n2. Offensichtlich gilt, dss z L 1 und z n. Ds Wort z lässt sich nun folgendermßen in z = uvwxy zerlegen, so dss vwx n und vx 1: 1. vwx esteht nur us s: u = k, v = l, w = p, x = q, y = r n2, woei n = k + l + p + q + r und l + q vwx esteht nur us s: u = n k, v = l, w = p, x = q, y = r, woei n 2 = k + l + p + q + r und l + q v esteht sowohl us s ls uch us s: u = n k, v = k l, w = p, x = q, y = r, woei k > 0, l > 0 (weil v sowohl us s und s estehen soll) und n 2 = l + p + q + r. 27

28 4. x esteht sowohl us s ls uch us s: u = k, v = l, w = p, x = q r, y = n2 r, woei p > 0, q > 0 (weil x sowohl us s und s estehen soll) und n = k + l + p + q. 5. v esteht nur us s und x esteht nur us s: u = k, v = l, w = p q, x = r, y = h, woei n = k + l + p, n 2 = q + r + h und l + r 1. In llen Fällen können wir ein i 0 wählen, so dss uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n+l+q n2. Weil l + q 1, gilt n + l + q n und deswegen uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n n2 +l+q. Weil l + q 1, gilt n + l + q n und deswegen uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n l k n2. Weil k, l > 0 kommen in diesem Wort die s und s in der flschen Reihenfolge vor, und deswegen gilt uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n r q n2. Weil p, q > 0 kommen in diesem Wort die s und s in der flschen Reihenfolge vor, und deswegen gilt uv i wx i y / L Wir zeigen, dss uv 2 wx 2 y / L 1. uv 2 wx 2 y = n+l n2 + r. Wir müssen lso zeigen, dss (n + l) 2 = n 2 + 2nl + l 2 n 2 + r. Ds heißt, dss r 2nl + l 2. Wenn l = 0, dnn knn wegen der Bedingung, dss vx 1 (l + r 1) nicht uch r = 0 gelten, und deswegen gilt r 2nl + l 2. Wenn l > 0, dnn ist 2nl + l 2 > n. Wegen der Bedingung, dss vwx n, muss dnn uch gelten, dss r 2nl + l n. In eiden Fällen, gilt r 2nl + l n. Deswegen diese Aussge llgemein, und schließen wir, dss uv 2 wx 2 y / L 1. Ddurch, dss es einen solchen Index für jede Zerlegung git, ist die gilt nch dem Pumping- Lemm, dss L 1 nicht kontextfrei ist. Stz. Die Sprche L 2 = { m m c m m > 0} ist nicht kontextfrei. Beweis. Sei eine elieige Zhl n gegeen. Wir wählen nun ds Wort z = n n c n. Offensichtlich gilt es, dss z L und z > n. Mn knn z folgendermßen in uvwxy zerlegen, so dss vwx n und vx 1: 1. vwx liegt komplett im -Teil: u = k, v = l, w = p, x = q, y = r n c n, woei k + l + p + q + r = n und l + q x esteht sowohl us s ls uch us s: u = k, v = l, w = p, x = q r, y = n r c n, woei k + l + p + q = n und l + q + r v esteht nur us s und x esteht nur us s: u = k, v = l, w = n k l n p q, x = p, y = q, woei l + p v esteht sowohl us s ls uch us s: u = n k, v = k l, w = p, x = q, y = r c n, woei l + p + q + r = n und k + l + q 1. 28

29 5. vwx liegt komplett im -Teil: u = n k, v = l, w = p, x = q, y = r c n, woei k + l + p + q + r = n und l + q x esteht sowohl us s ls uch us c s: u = n k, v = l, w = p, x = q c r, y = c n r, woei k + l + p + q = n und l + q + r v esteht nur us s und x esteht nur us c s: u = n k, v = l, w = n k l c n p q, x = c p, y = c q, woei l + p v esteht sowohl us s ls uch us c s: u = n n k, v = k c l, w = c p, x = c q, y = c r, woei l + p + q + r = n und k + l + q uvw liegt komplett im c-teil: u = n n c k, v = c l, w = c p, x = c q, y = c r, woei k + l + p + q + r = n und l + q 1. Wegen vwx n, ist immer mindestens ein Symol us dem Alphet,, oder c, nicht n dem Pumpen eteiligt. Ds heißt, dss sich eim Pumpen die Anzhl mindestens eines Symols verändert und die Anzhl mindestens eines weiteren Symols nicht verändert. Ds Ergenis knn deswegen nicht mehr in der Sprche liegen. Zum Beispiel wählen wir i = 0 und zeigen wir, dss uv 0 wx 0 y / L im Fll 2: 2. uv 0 wx 0 y = k+p n r c n Diese Wort liegt in der Sprche, wenn k + p = n r = n. Wegen l + q + r 1 wissen wir, dss l 1 oder q 1 oder r 1 (oder mehrere dvon). Wenn l 1 oder q 1, folgt wegen k + l + p + q = n, dss k + p n. Wenn r 1 folgt wegen k + l + p + q = n, dss n r n. (In llen nderen Fällen knn mnn uch i = 0 wählen.) Ddurch, dss es einen solchen Index für jede Zerlegung git, gilt nch dem Pumping Lemm, dss L 2 nicht kontextfrei ist. 13 Kellerutomten Zu Folie 227 Wrum ein Automtenmodell für kontextfreien Sprchen? Mnche Konstruktionen und Verfhren lssen sich esser mit Hilfe des Automtenmodells durchführen (nsttt uf Grmmtiken). Dzu gehört: ds Wortprolem (wir werden herusfinden, dss ds Wortprolem unter estimmten Umständen effizienter ls in Zeit O(n 3 ) gelöst werden knn) Aschlusseigenschften (Aschluss von kontextfreien Sprchen unter Schnitt mit regulären Sprchen lässt sich gut mit Kellerutomten zeigen) Zu Folie 228 Ein endlicher Automt knn diese Sprche deshl nicht erkennen, weil er sich keine elieig lngen Wörter der Form n merken knn. Er müsste sich er solche Wörter merken, um die Üereinstimmung mit dem Wortteil nch dem $ zu üerprüfen. 29

30 Zu Folien Ws ist die Bedeutung der Üerführungsfunktion? Σ {ɛ} ist ds Alphet mit einem zusätzlichem Symol ɛ. Z (Σ {ɛ}) Γ ist die Menge von 3-Tupeln, die us einem Zustnd, einem Alphetsymol oder ɛ, und us einem Kellersymol estehen. Z Γ ist die Menge von Pren, die us einem Zustnd und us einer Folge von Kellersymolen estehen. Ds heißt, δ ist eine Funktion, die ls Einge einen Zustnd (den ktiven Zustnd), ein Alphetsymol oder ɛ (ds eingelesene Symol, woei ɛ ngit, dss nichts eingelesen werden soll) und einen Kellersymol (ds oerste Symol uf dem Keller) nimmt, und einen Zustnd (den Nchfolgezustnd) und eine Folge von Kellersymolen usgit. Nottion der Üerführungsfunktion Sei M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0, #) ein Kellerutomt. Für z Z, Σ {ɛ} und A Γ, ist δ(z,, A) eine endliche Menge von Pren. Zum Beispiel, Z = {z 0, z 1 }, Σ = {, } und Γ = {A, #}. Dnn könnte δ folgendermßen definiert sein: δ(z 0,, #) = {(z 0, #), (z 0, A#)} δ(z 0,, A) = {(z 0, A), (z 0, AA)} δ(z 0,, #) = δ(z 0,, A) = {(z 1, ɛ)} δ(z 0, ɛ, #) = δ(z 0, ɛ, A) = δ(z 1,, #) = δ(z 1,, A) = δ(z 1,, #) = δ(z 1,, A) = {(z 1, ɛ)} δ(z 1, ɛ, #) = {(z 1, ɛ)} δ(z 1, ɛ, A) = Es sei ngemerkt, dss δ eine vollständige Funktion ist, und deswegen muss sie für lle Komintionen von Zustnd, Alphetsymol (oder ɛ) und Kellersymol definiert sein. Aus Klrheitsgründen werden wir die Üerführungsfunktion er folgendermßen ngegeen: δ(z 0,, #) (z 0, #) δ(z 1,, A) (z 1, ɛ) δ(z 0,, #) (z 0, A#) δ(z 1, ɛ, #) (z 1, ɛ) δ(z 0,, A) (z 0, A) δ(z 0,, A) (z 0, AA) δ(z 0,, A) (z 1, ɛ) oder noch kürzer selst folgendermßen: (z 0,, #) (z 0, #) (z 1,, A) (z 1, ɛ) (z 0,, #) (z 0, A#) (z 1, ɛ, #) (z 1, ɛ) (z 0,, A) (z 0, A) (z 0,, A) (z 0, AA) (z 0,, A) (z 1, ɛ). Dei werden wir dvon usgehen, dss wenn δ(z,, A) (z, γ) zw. (z,, A) (z, γ) nicht ngegeen ist (für z Z, Σ {ɛ}, γ Γ ), dnn (z, γ) / δ(z,, A) gemeint ist. Wir werden uch eine grphische Drstellung verwenden. Ein Üergng (z,, A) (z, B 1... B n ) wird dnn wie folgt ngegeen: 30

31 , A/B z 1... B n z Kellerutomt-Beispiel 1 (Folie 243) Geen Sie einen Kellerutomten M für die Sprche L(M) = {w$w R w {, } } n. Antwort: M = ({z 1, z 2 }, {,, $}, {#, A, B}, δ, z 1, #), woei δ folgendermßen definiert ist (wir schreien (z,, A) (z, x), flls (z, x) δ(z,, A)). (z 1,, #) (z 1, A#) (z 1,, A) (z 1, AA) (z 1,, B) (z 1, AB) (z 1,, #) (z 1, B#) (z 1,, A) (z 1, BA) (z 1,, B) (z 1, BB) (z 1, $, #) (z 2, #) (z 1, $, A) (z 2, A) (z 1, $, B) (z 2, B) (z 2,, A) (z 2, ɛ) (z 2,, B) (z 2, ɛ) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ) Grphisch drgestellt sieht der Kellerutomt folgendermßen us:, #/A#,, #/B#,, A/AA,, A/BA,, B/AB,, B/BB, A/ɛ,, B/ɛ, ɛ, #/ɛ $, #/#, $, A/A, $, B/B z 1 z 2 Wenn ein Pfeil zwei Beschriftungen ht (z.b. ngegeen ls $, #/#, $, A/A, $, B/B ) heißt ds, dss er zwei Üergänge repräsentiert (genuso hen wir ds uch ei endlichen Automten gemcht). Zu Folie 245 ezeichnet die reflexive und trnsitive Hülle von. Ds heißt, dss (z, w, γ) (z, w, γ ), wenn (z, w, γ ) in keinem, einem oder mehreren Schritten us (z, w, γ) erreicht werden knn. In nderen Worten: (z, w, γ) (z, w, γ ) genu dnn, wenn es Konfigurtionen k 1,..., k n git, so dss k 1 = (z, w, γ), k n = (z, w, γ ) und k i k i+1, für 0 < i < n gilt. Noch ein Kellerutomt-Beispiel (Folie 247) Antwort: woei δ wie folgt definiert ist: L = {ww R w {, } }. M = ({z 1, z 2 }, {, }, {#, A, B}, δ, z 1, #), (z 1,, #) (z 1, A#) (z 1,, A) (z 1, AA) (z 1,, B) (z 1, AB) (z 1,, #) (z 1, B#) (z 1,, A) (z 1, BA) (z 1,, B) (z 1, BB) (z 1, ɛ, #) (z 2, #) (z 1, ɛ, A) (z 2, A) (z 1, ɛ, B) (z 2, B) (z 2,, A) (z 2, ɛ) (z 2,, B) (z 2, ɛ) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ) Ein Aluf dieses Kellerutomten, woei der Automt mit einem leeren Keller endet: (z 1,, #) (z 1,, A#) (z 1,, AA#) (z 1,, BAA#) (z 2,, BAA#) (z 2,, AA#) (z 2,, A#) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ, ɛ) 31

32 Es git er uch Aläufe, die nicht in den leeren Keller enden: (z 1,, #) (z 1,, A#) (z 1,, AA#) (z 1,, BAA#) (z 1,, BBAA#) (z 1,, ABBAA#) (z 2,, ABBAA#) (z 2, ɛ, BBAA#) Ein Wort wird von dem Kellerutomten kzeptiert, flls es mindestens einen Aluf git, der mit einem leeren Keller endet (und ds gnze Eingewort eingelesen ht). In diesem Fll wird lso von dem Automten kzeptiert. Kellerutomt-Beispiele (Folie 248) Beispiel 1 Wir ruchen zwei Zustände: z 1 : Einlesen der s (Anfngszustnd) In diesem Zustnd liest der Automt die s ein, und speichert die Anzhl der s uf den Keller (in unärer Drstellung, ds heißt die Anzhl der Symolen uf dem Keller entspricht der Anzhl der gelesenen s). z 2 : Einlesen der s In diesem Zustnd ut der Automt den Keller. Für jedes Kellersymol, ds uf dem Keller liegt, muss ein eingelesen werden. Weil es nur gefordert ist, dss die Anzhl der s größer oder gleich der Anzhl der s ist, können uch s eingelesen werden, ohne den Keller zu ändern. Forml drgestellt, lässt sich der Kellerutomt M 1 folgendermßen definieren: M 1 = (Z, Σ, Γ, δ, z 1, #), woei Z = {z 1, z 2 }, Σ = {, }, Γ = {A, #} und δ folgendermßen definiert ist: (z 1,, #) (z 1, A#) wenn ds einzulesene Symol ein ist (z 1,, A) (z 1, AA) push A uf den Keller (z 1, ɛ, #) (z 2, #) oder springe nicht-deterministisch zu (z 1, ɛ, A) (z 2, A) Zustnd z 2 um den Keller zuuen (z 2,, #) (z 2, ɛ) lese ein ein, und pop optionl (z 2,, #) (z 2, #) ds oerste Symol (A oder #) vom Keller (z 2,, A) (z 2, ɛ) (ein soll in z 2 nie eingelesen werden) (z 2,, A) (z 2, A) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ) sorgt dfür, dss der PDA ufhören knn, wenn n = m Beispiel 2 Die Sprche esteht us Wörtern der Form x$y, woei x und y nicht gleich sind. Weil wir nur ds oerste Kellerzeichen etrchten können, reicht es nicht den Teil des Wortes vor dem $ uf dem Keller zu speichern: ds Wort efindet sich dnn in umgekehrter Reihenfolge uf dem Keller. Wir müssen uns lso üerlegen, wie wir üerprüfen können, dss die zwei Teilen des Wortes (x und y) ungleich sind ohne den gnzen ersten Teil (x) uf den Keller zu pushen. Es git zwei mögliche Gründe, wrum x und y ungleich sind: entweder git es eine ntürliche Zhl i, so dss ds i-te Symol vom x ungleich dem i-ten Symol vom y ist, oder x und y hen eine unterschiedliche Länge. Wir versuchen jetzt einen Automten zu uen, der während dem Einlesen von x nichtdeterministisch entweder eine Position wählt, in der sich x und y unterscheiden, oder die Länge 32

33 üerprüft. Im ersten Fll wird die Position uf den Keller gespeichert, im zweiten Fll die Länge von x. Unser Automt esteht us den folgenden Zuständen: z 1 : x und Stelle oder Länge wählen Wenn ein eingelesen wird, knn nichtdeterministisch entschieden werden, zu z 3 zu gehen (um zu üerprüfen, o ds entsprechende Symol von y ein ist). Wenn ein eingelesen wird, knn nichtdeterministisch entschieden werden, zu z 5 zu gehen (um zu üerprüfen, o ds entsprechende Symol von y ein ist). In eiden Fällen knn mn uch in z 1 leien und ein 1 uf den Keller pushen, so dss eine ndere Position oder die Länge gewählt werden knn. Wenn $ eingelesen wird, geh zu z 2 um die Länge zu üerprüfen. z 2 : Länge von y üerprüfen Dieser Zustnd üerprüft, o y eine ndere Anzhl von Symolen ht, ls es Symolen uf dem Keller git. Ein Wort wird kzeptiert, sold entweder der Keller leer ist (in diesem Fll wird in z 7 gewechselt um den Rest der Einge einzulesen), oder ds Eingewort vollständig gelesen wurde (in diesem Fll wird in z 8 gewechselt um den Keller zu leeren), er nicht gleichzeitig. z 3 : Rest von x einlesen 1 Zusmmen mit z 4 üerprüft dieser Zustnd, o die entsprechende Position von y ein enthält. Insesondere, liest dieser Zustnd die restlichen Symole von x ein, ohne den Keller zu ändern, und wechselt dnn in z 4. z 4 : Position üerprüfen 1 Wenn es noch Symole uf dem Keller git, wird ein Symol von der Einge eingelesen und ds oerste Kellersymol gepopt. Sonst, wird eingelesen und in den Akzeptnzzustnd z 7 gewechselt. (Es git in diesem Fll keine Üergänge, wo ein eingelesen wird.) z 5 und z 6 : Anolog zu z 4 und z 5, er es wird uf geprüft und nicht uf. z 7 : Akzeptnzzustnd 1 Der Rest des Eingewortes wird eingelesen und schließlich ds Kellerodenzeichen vom Keller entfernt. z 8 : Akzeptnzzustnd 2 In diesem Zustnd wird den Keller geut, er kein Teil der Einge gelesen. Der Automt M 2 wird forml wie folgt drgestellt: M 2 = (Z, Σ, Γ, δ, z 1, #) 33

34 woei Z = {z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7 }, Σ = {,, $}, Γ = {1, #} und δ enthält die folgende Üergänge: Zustnd z 1 Zustnd z 2 (z 1,, #) (z 1, 1#) (z 2,, 1) (z 2, ɛ) (z 1,, 1) (z 1, 11) (z 2,, 1) (z 2, ɛ) (z 1,, #) (z 3, #) (z 2,, #) (z 7, #) (z 1,, 1) (z 3, 1) (z 2,, #) (z 7, #) (z 1,, #) (z 1, 1#) (z 2, ɛ, 1) (z 8, ɛ) (z 1,, 1) (z 1, 11) (z 1,, #) (z 5, #) (z 1,, 1) (z 5, 1) (z 1, $, #) (z 2, #) (z 1, $, 1) (z 2, 1) Zustnd z 3 Zustnd z 5 (z 3,, #) (z 3, #) (z 5,, #) (z 5, #) (z 3,, 1) (z 3, 1) (z 5,, 1) (z 5, 1) (z 3,, #) (z 3, #) (z 5,, #) (z 5, #) (z 3,, 1) (z 3, 1) (z 5,, 1) (z 5, 1) (z 3, $, #) (z 4, #) (z 5, $, #) (z 6, #) (z 3, $, 1) (z 4, 1) (z 5, $, 1) (z 6, 1) Zustnd z 4 Zustnd z 6 (z 4,, 1) (z 4, ɛ) (z 6,, 1) (z 6, ɛ) (z 4,, 1) (z 4, ɛ) (z 6,, 1) (z 6, ɛ) (z 4,, #) (z 7, #) (z 6,, #) (z 7, #) Zustnd z 7 Zustnd z 8 (z 7,, #) (z 7, #) (z 8, ɛ, 1) (z 8, ɛ) (z 7,, #) (z 7, #) (z 8, ɛ, #) (z 8, ɛ) (z 7, ɛ, #) (z 7, ɛ) Kontextfreie Grmmtik PDA (Folie 251/252) Kellerutomten können in einem Konfigurtionsüergng ein Symol uf dem Keller durch mehrere verschiedene ersetzen. Deswegen können wir den Keller verwenden, um ds leiten eines Wortes zu simulieren. Weil wir üer kontextfreie Grmmtiken reden, können Terminlsymole nicht mehr durch etws nderes ersetzt werden (nur einzelne Vrilen können ersetzt werden). Ds heißt, dss Terminlsymolen, die links von der ersten Vrile vorkommen (üer der höchsten Vrile uf dem Stck) und die mit der Einge üereinstimmen, ohne Proleme entfernt werden können, dmit eine Vrile wieder ds erste Symol ist. Beispiel von Folie 252: Wenn wir die Konstruktion uf die Beispielgrmmtik nwenden, kommt folgender Kellerutomt M rus: M = ({z}, {[, ]}, {S, [, ]}, δ, z, S), 34