Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Transkript

1 Inhltsverzeichnis Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien 1 Grundlgen und formle Beweise 3 Venn-Digrmme (Folie 28) Beispiele zu Mengenopertionen (Folie 29) Beispiele zur Potenzmenge (Folie 30) Beispiele zum Kreuzprodukt (Folie 32) Beispiele zu Reltioneneigenschften (Folien 34 und 36) Beispiele zu Funktionen (Folie 37) Whrheit und Gültigkeit (Folie 39) Beispiel eines Beweises (Folie 46) Beispiel eines Beweises üer Mengen (Folie 49) Beispiel eines Widerspruchseweises (Folie 50) Beispiel eines Beweises durch Induktion (Folie 52) Sprchen und Grmmtiken 7 Sprchen (Zu Folie 54) Beispielleitung in einer Grmmtik (Zu Folie 63) Bemerkung zu Folie Grmmtiken in Chomsky-Hierrchie einordnen (Folien 70, 71 und 74) Bemerkung zu Folie Wortprolem-Algorithmus für Typ-1-Grmmtiken (Folie 78) Endliche Automten 10 Zu Folie Zu Folie Zu Folie DFA Reguläre Grmmtik (Folie 89) Zu Folie Zu Folie NFA-Beispiele (Zu Folie 96) Potenzmengenkonstruktion (Folie 99) Reguläre Grmmtik NFA (Folie 103) Reguläre Ausdrücke 14 Präzedenz der Opertoren (Folien 108) Beispiele von regulären Ausdrücken (Folie 110) Regulärer Ausdruck NFA (Folien ) NFA regulärer Ausdruck (Folien ) Ds Pumping Lemm 18 Schufchprinzip (Folie 137) Pumping-Lemm-Beispiele Minimlutomten und Myhill-Nerode-Äquivlenz 20 Äquivlenzklssen (Folien ) Zu Folie Zu Folie Beispiele für Myhill-Nerode-Äquivlenz (Folien 156, 160) Zu Folie

2 7 Aschlusseigenschften und Lösungsverfhren 24 Konstruktion des Komplementutomten (Folie 175) Beispiel Kreuzproduktkonstruktion (Folie 178) Progrmmverifiktion: Wechselseitiger Ausschluss 25 Erster Versuch: Prozessmodell (Folie 193) Versuch 1: Üerprüfung mit Gril Versuch 2: Üerprüfung mit Gril Wiederholung regulärer Sprchen 26 Wiederholung: Drei Beweise der Nicht-Regulrität Kontextfreie Grmmtiken 27 Beispiele für kontextfreien Grmmtiken ɛ-produktionen entfernen (Folien 212 und 213) Mehrdeutige Grmmtik (Folie 220) Beispiele Chomsky-Normlform (Folien ) Der CYK-Algorithmus 31 Zu Folien??/?? (Nottioneispiel) CYK-Beispiele Ds Pumping-Lemm für kontextfreien Sprchen 32 Zu Folie Beispiel zum Pumpmechnismus (Folie 227) Pumping-Lemm-Beispiele (Folie 232) Kellerutomten 35 Wrum ein Automtenmodell für kontextfreien Sprchen (zu Folie 233) Zu Folie Bedeuten der Üerführungsfunktion eines Kellerutomten (zu Folien ) Nottion der Üerführungsfunktion Kellerutomt-Beispiel 1 (Folie 250) Zu Folie Kellerutomt-Beispiele Kontextfreie Grmmtik PDA (Folie 258/259) PDA kontextfreie Grmmtik (Folien ) Aschlusseigenschften und Algorithmen kontextfreier Sprchen 42 Kellerutomten mit Endzuständen (Folie 272) Aschluss unter Vereinigung (Folie 275) Aschluss unter Produkt (Folie 276) Aschluss unter der Stern-Opertion (Folie 277) Beispiel Kreuzproduktkonstruktion NFA/Kellerutomt (Folie 279,280) Zu Folie Erzeugen eines Prsers mit JvCC 45 Zu Folien Zu Folie Zu Folie JvCC nrufen

3 1 Grundlgen und formle Beweise Venn-Digrmme (Folie 28) Im oeren Digrmm der Folie 28 sind zwei Mengen ngegeen: A und B. Es ist explizit ein Element von A ngegeen, ds kein Element von B ist. O B Elemente ht (und o es Ojekte git, die Element von sowohl A ls uch von B sind) ist nicht Explizit ngegeen. Im zweiten Digrmm ist A eine Teilmenge von B. Beispiele zu Mengenopertionen (Folie 29) Sei A = {1, 3, 5} und B = {2, 3, 4}. Dnn gilt: A B = {1, 2, 3, 4, 5} A B = {3} A \ B = {1, 5} B \ A = {2, 4} Beispiele zur Potenzmenge (Folie 30) P({, }) = {, {}, {}, {, } } P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } P(P( )) = P({ }) = {, { }} Bemerkung: es ist für lle Mengen A der Fll, dss A und A A. Ds heißt, dss es immer der Fll ist, dss P(A) und A P(A). Beispiele zum Kreuzprodukt (Folie 32) {1, 3} {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)} {,, c} {1} = {(, 1), (, 1), (c, 1)} A = (für lle Mengen A) Beispiele zu Reltioneneigenschften (Folien 34 und 36) () c () c (c) c (d) c d d d d Reltion () ist reflexiv, trnsitiv und symmetrisch. Sie ist deswegen uch eine Qusi-Ordnung und eine Äquivlenzreltion. Die Reltion ist nicht ntisymmetrisch und deshl keine Ordnung. Reltion () ist symmetrisch. (Sie ht keine der nderen gennnten Eigenschften.) Reltion (c) ist trnsitiv und ntisymmetrisch. (Sie ht keine der nderen gennnten Eigenschften.) Reltion (d) ist trnsitiv und ntisymmetrsich. (Sie ht keine der nderen gennnten Eigenschften.) 3

4 Beispiele zu Funktionen (Folie 37) Sei A = {,, c} und B = {1, 2, 3}. Gegeen seien: f 1 = { (, 1), (, 1), (c, 2) } f 2 = { (, 1), (, 2), (c, 3) } f 3 = { (, 1), (, 2), (, 1), (c, 2) } f 4 = { (, 1), (c, 2) } Die Reltion f 1 und f 2 sind Funktionen von A nch B; f 1 ist weder injektiv noch surjektiv, er f 2 is sowohl injektiv ls uch surjektiv. Die Reltion f 3 ist keine Funktion von A nch B, denn es git zwei y B so dss (, y) f 3, nämlich 1 und 2. Die Reltion f 4 ist uch keine Funktion von A nch B, denn es git keine y B so dss (, y) f 4 (es wird uch gesgt: h ist nicht uf definiert). Beispiel (Qudrtfunktion): Sei die Funktion f folgendermßen definiert: f : Z N, f(n) = n 2 Dnn ist f eine Funktion, weil es für jede z Z genu eine n N git, mit f(z) = n. Zum Beispiel: f( 3) = 9 f(1) = 1 f( 2) = 4 f(0) = 0 f(2) = 4 f( 1) = 1 f(3) = 9 Whrheit und Gültigkeit (Folie 39) In der Mthemtik git es einen sutilen Unterschied zwischen Whrheit und Gültigkeit. Eine mthemtische Aussge ist whr, wenn sie mit der Wirklichkeit üereinstimmt. (Mit der Frge ws die Wirklichkeit für einen Mthemtiker ist, eschäftigen wir uns in dieser Vorlesung nicht.) Eine mthemtische Aussge ist gültig, wenn wir sie eweisen können. Gültigkeit ist lso eine stärkere Eigenschft ls Whrheit: wenn eine Aussge gültig ist, ist sie uch whr. Seit Gödel wissen wir er, dss es whre Aussgen git, die nicht eweisr sind. Trotzdem, wird in der Mthemtik eine Aussge im Allgemeinen erst für whr ngenommen, wenn wir sie eweisen können. In dieser Vorlesung ist der Unterschied zwischen whr und gültig nicht weiter von Bedeutung; wir werden deswegen die Worte ls synonym etrchten. Beispiel eines Beweises (Folie 46) Stz. Sei A eine Menge, und A A eine Qusi-Ordnung uf A. Definiere die Reltion wie folgt: x y flls x y und y x. Dnn ist eine Äquivlenzreltion. Beweis. Nch Definition müssen wir zeigen, dss eine Äquivlenzreltion ist, ds heißt, dss reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. 4

5 Reflexiv. Nehme n, dss A. Weil eine Qusi-Ordnung ist, ist reflexiv. Deswegen gilt (und ndersum). Wir schließen, dss. Weil für ein elieiges A, ist die Reltion reflexiv. Symmetrisch. Nehme n, dss, A und. Nch Definition folgt us, dss und. Drus folgt, dss und, und deswegen gilt uch. Weil dies gilt für elieige, A, schließen wir, dss symmetrisch ist. Trnsitiv. Nehme n, dss,, c A, und c. Nch Definition folgt us dss und. Außerdem folgt nch Definition us c dss c und c. Weil eine Qusi-Ordnung ist, ist sie trnsitiv. Deswegen folgt us und c, dss c. Außerdem folgt us c und, dss c. Weil c und c gilt nch Definition, dss c. Dies gilt für elieige,, c A, und deswegen können wir schließen, dss trnsitiv ist. Weil reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist, ist sie eine Äquivlenzreltion. Beispiel eines Beweises üer Mengen (Folie 49) Stz. Für Mengen A, B, C gilt: (A B) C = (A C) (B C) Beweis. Es git zwei Richtungen zu eweisen: Nehme n, dss x (A B) C. Nch Definition, gilt entweder x (A B) oder x C. Wenn x (A B), dnn gilt, dss x A und x B. Aus x A folgt, dss x (A C). Aus x B folgt, dss x (B C). Weil x (A C) und x (B C) gilt, dss x (A C) (B C). Wenn x C, dnn gilt nch Defintion, dss x (A C) und x (B C). Weil x (A C) und x (B C) gilt, dss x (A C) (B C). Weil wir in eiden Fällen x (A C) (B C) geleitet hen, gilt x (A C) (B C). Nehme n, dss x (A C) (B C). Nch Definition von heißt ds, dss x (A C) und x (B C). Aus x (A C) folgt, dss entweder x A oder x C. Nehme n, dss x A. Wegen x (B C) git es zwei Möglichkeiten: Wenn x B, dnn hen wir wegen x A, dss x (A B). Deswegen gilt, dss x (A B) C. Wenn x C, dnn gilt sofort, dss x (A B) C. In eiden Fällen gilt x (A B) C, und deswegen können wir x (A B) C schließen. Nehme n, dss x C. Dn folgt sofort, dss x (A B) C. In eiden Fällen gilt x (A B) C, und deswegen können wir x (A B) C schließen. 5

6 Beispiel eines Widerspruchseweises (Folie 50) Stz. 2 ist irrtionl, ds heißt, es git keine p, q Z, so dss p q = 2. Beweis. Wir nehmen die Negtion der zu eweisenden Aussge n und leiten einen Widerspruch. Wir nehmen lso n, dss es gnze Zhlen p und q git, so dss p q = 2. Weil wir p und q durch gemeinsme Teiler teilen können, können wir, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dvon usgehen, dss p und q teilerfremd sind. Beide Seiten mit q multiplizieren liefert und qudrtieren liefert p = 2 q, p 2 = 2q 2. Ds heißt, dss p 2 eine gerde Zhl ist. Weil ds Qudrt einer ungerden Zhl immer ungerde ist, muss p uch eine gerde Zhl sein. Ds heißt, dss für eine gnze Zhl. Drus folgt teilen durch 2 liefert p = 2 2q 2 = p 2 = (2) 2 = 4 2 ; q 2 = 2 2. Sowohl q 2 ls uch q sind lso uch gerde Zhlen. Dss p und q eide gerde sind, ist er im Widerspruch zur Ttsche, dss p und q teilerfremd sind (2 ist Teiler eider Zhlen). Unsere Annhme wr lso flsch, und deswegen schließen wir, dss es keine gnze Zhlen p und q git, so dss p/q = 2. Beispiel eines Beweises durch Induktion (Folie 52) Stz. Für lle n > 0 gilt, n = n (n + 1). 2 Beweis. Wir eweisen den Stz mit vollständiger Induktion. 1 Induktionsnfng. Für n = 1 gilt: 1 (1 + 1) 2 = = 1 = i i=1 (Bemerkung: n i ist Kurznottion für n.) i=1 1 Vollständige Induktion ist Induktion uf den ntürlichen Zhlen. 6

7 Induktionschritt. Nehme n, dss n i = i=1 n (n + 1). 2 (Dies ist die Induktionsvorussetzung.) Dnn gilt: n+1 i = i=1 n i + (n + 1) i=1 n (n + 1) = + (n + 1) (IH) 2 n (n + 1) (2n + 2) = = n2 + 3n (n + 1) (n + 2) = 2 Der mit (IH) geschrifteten Schritt folgt us der Induktionsvorussetzung. Wegen vollständiger Induktion, gilt der Stz. 2 Sprchen und Grmmtiken Sprchen (Zu Folie 54) Sei Σ = {(, ), +,,, /, }, so können wir die Sprche EXPR der korrekt geklmmerten Ausdrücke definieren. Es gilt eispielsweise: ( ) + /( + ) EXPR ((())) EXPR ((+) ( EXPR Andere Sprchen (üer einem elieigem Alphet Σ): Σ, die Sprche ller Wörter üer Σ, die leere Sprche {ɛ}, die Sprche, die nur ds leere Wort ɛ enthält. Bemerkung: {ɛ}!!! Typische Sprchen üer dem Alphet Σ = {, }: L 1 = {w Σ w enthält ls Teilwort} L 2 = { n n n N} n edeutet: ds Symol, n ml Wiederholt. Im Allgemeinen edeutet w n, wo w ein Wort ist, w n Ml wiederholt. Beispiel: 5 =, () 3 =. 7

8 Beispielleitung in einer Grmmtik (Zu Folie 63) Eine Aleitung des Wortes cc in der Grmmtik der Folie 40: S SBC BCBC BBCC BCC CC cc cc Ds heißt, cc L(G). Bemerkung zu Folie 70 Alle gennnten Bedingungen gelten zusätzlich zu den vorher gennnten Bedingungen. Ds heißt, eine reguläre Grmmtik G = (Σ, V, P, S) muss die folgenden Bedingungen erfüllen: für lle Regeln l r gilt: l r ; l V (l ist eine einzelne Vrile); r = oder r = B, für Σ und B V. Die Chomsky-Hierrchie für Grmmtiken ist eine Hierrchie. Ds heißt, jede Chomsky-i-Grmmtik ist uch eine Chomsky-(i 1)-Grmmtik (für i {1, 2, 3}). Es ist möglich, dss die gleiche Sprche von zwei verschiedenen Grmmtiken erzeugt wird. Die zwei verschiedenen Grmmtiken können uch vom verschiedenen Chomsky-Typ sein. Grmmtiken in Chomsky-Hierrchie einordnen (Folien 70, 71 und 74) Beispiele Sei G 0 = ({S}, {, }, S, P 1 ), woei P die folgende Produktionen enthält: S S ɛ ɛ ɛ Die Grmmtik G 0 ist vom Typ 0, er nicht vom Typ 1, denn es git Produktionen l r mit l > r. Sei G 1 = ({S, A, B}, {, }, S, P ), woei P die folgende Produktionen enthält: S XT ɛ T BT T A B A BA AB XA X XB B Die Grmmtik G 1 ist kontextsensitiv (Typ 1), denn für lle Produktionen l r gilt, dss l r (S ɛ is erlut wegen der ɛ-sonderregel.) Sie ist er nicht kontextfrei, denn drei Produktionen enthlten nicht eine einzelne Vrile ls linke Seite. 8

9 Sei G 2 = ({S}, {, }, S, P ), woei P die folgende Produktionen enthält: S T ɛ T T T Die Grmmtik G 2 ist kontextfrei (Typ 2), denn sie ist kontextsensitiv und lle linke Seiten estehen us einer einzelnen Vrile. (Die Produktion S ɛ ist erlut wegen der ɛ- Sonderregel.) Sie ist er nicht regulär (Typ 3), denn die rechte Seite der Produktion T T ist nicht von der richtigen Form. Sei G 3 = ({S}, {, }, S, P ), woei P die folgende Produktionen enthält: S A B B B ɛ A A B B B Die Grmmtik G 3 ist regulär, denn sie ist konstextsensitiv, kontextfrei, und lle Regeln hen die richtige Form. (S ɛ is wieder erlut wegen der ɛ-sonderregel.) Ürigens gilt: L(G 0 ) = L(G 1 ) = L(G 2 ) = L(G 3 ) = { k n n, m 0}. Die von llen Grmmtiken erzeugte Sprche ist lso regulär, denn es git eine reguläre Grmmtik, die die Sprche erzeugt (in diesem Fll: G 3 ). (Die Sprche ist ntürlich uch kontextfrei und kontextsensitiv.) Bemerkung zu Folie 74 Es gilt folgendes: Die Sprchklssen sind in einnder enthlten. Jede Typ i-sprche ist uch eine Typ-(i 1)- Sprche (für i {1, 2, 3}). Die Sprchklssen sind echt in einnder enthlten. Für jede Sprchklsse Typ i (woei i {0, 1, 2}), git es eine Sprche die vom Typ i ist, er nicht vom Typ (i + 1). Es git uch Sprchen, die gr nicht von einer Grmmtik erzeugt werden! (Dzu mehr in der Vorlesung Berechenrkeit und Komplexität.) Wortprolem-Algorithmus für Typ-1-Grmmtiken (Folie 78) Wortprolem für ds Wort c und die Beispiel-Grmmtik von Folie 66. Anfng: T = {S} 1. Schritt: T = {S, SBC, BC} 2. Schritt: T = {S, SBC, BC, BCBC, SBCBC, C} 3. Schritt: T = {S, SBC, BC, C, c} 4. Schritt: T = {S, SBC, BC, C, c} Keine Änderungen mehr, lso terminiert der Algorithmus. Weil c / T, gilt c / L(G). 9

10 3 Endliche Automten Zu Folie 85 Wie sieht die Üerführungfunktion us? δ : Z Σ Z Ds heißt: Ein Pr us Zustnd und Alphetsymol wird uf einen Zustnd geildet. Also, δ(z 1, ) = z 2 heißt, dss ein mit eschrifteter Pfeil von z 1 zu z 2 geht. Beispiel: der Automt uf Folie 82 wird wie folgt textuell drgestellt: M = ({z 1, z 2 }, {, }, δ, z 1, {z 2 }), woei: δ(z 1, ) = z 1 δ(z 2, ) = z 2 δ(z 1, ) = z 2 δ(z 2, ) = z 1 Zu Folie 86 ˆδ ist die Erweiterung von δ von Symolen uf Wörter. Beispiel (siehe Automt uf Folie 82): ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ) = ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ɛ) = ˆδ(z 2, ɛ) = z 2 Ds edeutet, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 1 in den Zustnd z 2 führt. Zu Folie 88 Antwort der ersten Aufge: L = {x Σ x enthält genu 1 } Antwort der zweiten Aufge: M = (Z, Σ, δ, z 0, E), mit Z = {1, 2, 3, 4}, Σ = {, }, z 0 = 1, E = {4}: , DFA Reguläre Grmmtik (Folie 89) Stz. Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweis. Nch Definition, ist eine Sprche regulär, wenn es eine reguläre Grmmtik git, die sie erzeugt. Sei ein endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) gegeen. Wir müssen zeigen, dss es eine reguläre Grmmtik G git, mit L(G) = T (M). Wir konstruieren die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: 10

11 Flls ɛ T (M), enthält P eine Produktion S ɛ. (Es ist dnn noch notwendig, die Grmmtik noch weiter umzuwndeln, dmit die ɛ-sonderregel nicht verletzt wird.) Für lle z 1 Z und Σ: Flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P. Flls zusätzlich gilt, dss z 2 E, dnn gilt uch (z 1 ) P. Jetzt müssen wir noch eweisen, dss T (M) = L(G). Dfür git es zwei Richtungen. Angenommen, 1... n T (M). Dnn git es Zustände q 0,..., q n, so dss q 0 = z 0, q n E und q i = δ(q i 1, i ), für i {1,..., n}. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Weil ußerdem q n E, gilt uch (q n 1 n ) P. Deswegen ist z 0 1 q q n 1 q n n eine Aleitung von G, und es gilt 1... n L(G). Angenommen, 1... n L(G). Nch Definition muss es eine Aleitung z 0 1 q q n 1 q n n geen. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Ds heißt, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Nch Konstruktion gilt q i = δ(q i 1, i ). Weil ußerdem (q n 1 n ) P, git es einen q n E so dss q n = δ(q n 1, n ). Drus folgt, dss 1... n T (M). Bemerkung: Oiger Beweis ist konstruktiv. Ds heißt, dss er ein Verfhren enthält, ds wir enützen können, um eine zu einem DFA äquivlente reguläre Grmmtik zu erzeugen. Beispiel zur Umwndlung Wenn wir ds Verfhren us dem Beweis uf dem DFA der Folie 82 nwenden, ergit sich folgende reguläre Grmmtik: z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 z 1 Zu Folie 93 Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd und Alphetsymol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet. Beispiel: der Automt uf Folie 92 wird folgendermßen textuell drgestellt: M = ({z 0, z 1, z 2, z 3 }, {, }, δ, {z 0, z 3 }, {z 3 }), woei: δ(z 0, ) = {z 1 } δ(z 1, ) = δ(z 2, ) = {z 3 } δ(z 3, ) = {z 0 } δ(z 0, ) = {z 0, z 2 } δ(z 1, ) = {z 3 } δ(z 2, ) = δ(z 3, ) = 11

12 Zu Folie 94 Genuso wie ei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphetsymolen uf Wörter. Sei Z = {z 1,..., z n }. Dnn edeutet ˆδ(δ(z, ), x) z Z ds gleiche wie: ˆδ(δ(z 1, ), x) ˆδ(δ(z n, ), x) Beispiel (siehe Automt uf Folie 92): ˆδ({z 0 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ) = ˆδ({z 0, z 2 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ɛ) ˆδ(δ(z 2, ), ɛ) = ˆδ({z 1 }, ɛ) ˆδ({z 3 }, ɛ) = {z 1 } {z 3 } = {z 1, z 3 } Ds heißt, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 0 entweder in den Zustnd z 1 oder in den Zustnd z 3 führt. NFA-Beispiele (Zu Folie 96) Die vom NFA kzeptierten Sprche ist: L = {x ds 3-letzte Zeichen von x ist } Folgender NFA kzeptiert die Sprche L = {x x fängt mit n und endet mit }: z 0 z 1 z 2, Potenzmengenkonstruktion (Folie 99) Wir wenden die Potenzmengenkonstruktion n, um den folgenden NFA (üer ds Alphet Σ = {, }) in einen DFA umzuwndeln: 12

13 z 2 z 1 z 4 z 3 Mnchml ist es hilfreich, eine Telle zu erstellen. Wir fngen n mit der Menge von Anfngszuständen ({z 1, z 4 }), und gucken welche Mengen von Zuständen drus nch dem Einlesen eines Symols erreicht werden. Die erreichten Zustände werden wieder in die Telle eingefügt: {z 1, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } Für lle Mengen von Zuständen, die in die Telle ufgenommen werden, gucken wir welche Mengen von Zuständen nch dem Einlesen einzelner Alphetsymole erreicht werden, und fügen diese in die Telle ein (flls sie noch nicht vorhnden sind). Im Beispiel sieht die Telle m Ende folgendermßen us: {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 3 } {z 3 } Auf diese Weise nehmen wir nur die erreichre Zustände des DFA in die Telle uf. (Es sei ngemerkt, dss der vollständige Potenzmengenutomt 2 4 = 16 Zustände ht, von denen wir nur 4 ngegeen hen.) Die Zustände {z 2, z 3 } und {z 3 } sind Endzustände des NFA, denn sie enthlten einen Endzustnd des NFA. Der DFA, der dieser Telle enspricht, ist: {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 }, 13

14 Hier sei ngemerkt, dss Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen NFAs sind. Hinweis: Owohl die Telle hilfreich sein knn, ist es nicht notwendig sie nzugeen. Mn knn die Zustände uch sofort ufzeichnen nsttt sie in die Telle ufzunehmen. (Insesondere drf mn ds uch in der Prüfung zw. Klusur mchen.) Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der NFA von Seite 12 in den folgenden DFA umgewndelt (nicht erreichre Zustände, wie z.b. {z 2, z 3 }, sind nicht ngegeen). {z 0 } {z 1 } {z 1, z 2 }, Reguläre Grmmtik NFA (Folie 103) Gegeen Sei G = ({S, U}, {, }, P, S), woei P wie folgt definiert ist: S S U U U S Wir wndeln diese Grmmtik in einen NFA M = (Z, {, }, δ, S, E) um. Wir hen: Z = {S, U, X} E = {X} und δ wie folgt: S X U 4 Reguläre Ausdrücke Präzedenz der Opertoren (Folien 108) Der -Opertor ht die höchste Präzedenz, dnch der Konktentionsopertor, und der - Opertor ht die niedrichste Präzedenz. Ds heißt: cd (() (c(d ))) 14

15 Beispiele von regulären Ausdrücken (Folie 110) Sei Σ = {,, c}. Die Sprchen eines regulären Ausdrucks: α 1 = ( ) L(α 1 ) = L() L() = {, } α 2 = ( ) L(α 2 ) = L(α 1 ) = {, } = {ɛ,,,,,,,..., } α 3 = ( )c L(α 3 ) = L(( )c ) = L(α 1 )L(c ) = {,, c, c, cc, cc, ccc, ccc,...} α 4 = ( c) c( c) L( c) = {,, c} L(c) = {c} L(α 4 ) = {x x enthält c} Reguläre Ausdrücke ngeen: 1. Sprche ller Wörter, die mit eginnen und mit enden. β 1 = ( c) 2. Sprche ller Wörter, die gerde viele s enthlten. β 2 = ( ( c) ( c) ( c) ) oder β 2 = ( ( c) ( c) ) (Es git immer (unendlich) viele reguläre Ausdrücke, die eine estimmte Sprche eschreien.) Regulärer Ausdruck NFA (Folien ) Sei α = ( ) c. Wir wollen α, mit Hilfe der Konstruktion us der Vorlesung, in einen Automten umwndeln, der die gleiche Sprche kzeptiert. 1. NFAs für die tomren regulären Ausdrücke: M = z z M = z z M c = z c c z c 2. Wir steln us M und M den folgenden Automten M, so dss T (M ) = L( ): M = z z z z 3. Aus M steln wir den Automten M ( ), für den gilt, dss T (M ( ) ) = L(( ) ): 15

16 z z M ( ) = z z x Weil ɛ / L( ), müssen wir einen zusätzlichen Zustnd einführen, der sowohl Anfngs- ls uch Endzustnd ist, dmit der Automt uch ds leere Wort kzeptiert. 4. Zum Schluss, kominieren wir die Automten M ( ) und M c zu einem Automten M α, für den gilt, dss T (M α ) = L(α). M ( ) = z z z z z c c z c x Bemerke, dss die Endzustände von M ( ) im zusmmengesetzten Automten keine Endzustände mehr sind. Die Zustände z, z und x hen eigentlich keine Funktion mehr, weil mn us ihnen keinen Endzustnd mehr erreichen knn. Wenn mn die Konstruktion er genu nwendet, werden die Zustände nicht gelöscht. Weil M ( ) ds leere Wort kzeptiert, sind die Strtzustände vom M c im zusmmengesetzten Automten uch Strtzustände. Der von der Konstruktion erzeugte NFA ist in den meisten Fällen nicht der kleinste NFA, der die gesuchte Sprche kzeptiert. Insesondere, kzeptiert der folgende Automt die gleiche Sprche: z c c z c, Die Konstruktion wird nur enutzt um zu zeigen, dss es für jeden regulären Ausdruck mindestens einen NFA git, der die Sprche kzeptiert. NFA regulärer Ausdruck (Folien ) Korrektheit des Verfhrens Ds Verfhren, ds einen nicht-deterministischen endlichen Automten (NFA) in einen regulären Ausdruck umwndelt, ist korrekt us den folgenden Gründen: 16

17 Die Regeln des Verfhrens erhlten die Sprche des Automten. Ds heißt, der Originlutomt kzeptiert die gleiche Sprche wie der nch der Regelnwendung entstndene Automt. In jedem Schritt wird einen Zustnd oder einen Üergng us dem Automten entfernt. Weil es m Anfng endlich viele Zustände und Üergänge git, muss ds Verfhren ufhören; lso: ds Verfhren terminiert. Beispiel Wir wndeln den folgenden Automten M mit Hilfes des Zustndselimintionsverfhrens in einen regulären Ausdruck um, der die gleiche Sprche erzeugt. M = z 1 z 3 c z 5 z 2 z 4 d 1. Zunächst, fügen wir einen neuen Strt- und Endzustnd hinzu: s ɛ ɛ z 1 z 2 z 3 z 4 c d z 5 ɛ e 2. Indem wir zweiml Regel E verwenden, können z 1 und z 2 gelöscht werden. s ɛ z 3 c z 5 ɛ e ɛ z 4 d 3. Wir löschen z 5 indem wir nochml Regel E verwenden: ɛ z 3 cɛ s e ɛ z 4 dɛ 4. Wir löschen z 4 durch Anwendung der Regel E: ɛ z 3 cɛ s ɛ dɛ e ɛdɛ 5. Mit Hilfe von Regel V können wir die prllellen Pfeile loswerden: 17

18 s ɛ ɛ z 3 cɛ dɛ e ɛdɛ 6. Jetzt, löschen wir die Schleife mit der Regel S: s ɛ ɛ z 3 () (cɛ dɛ) e ɛdɛ 7. Nun knn z 3 einfch entfernt werden (mit der Regel E): (ɛ ɛ)() (cɛ dɛ) s e ɛdɛ 8. Schließlich erhlten wir mit der Regel V ds Endergenis: s (ɛdɛ) (ɛ ɛ)() (cɛ dɛ) e 9. Wenn wir (optionl) die ɛ s weglssen, ergit dies den regulären Ausdruck: d ( )( )(c d) 5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 137) Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von Üergängen im Pfd ist. Ds heißt, dss ein Pfd, der eine Länge m ht, m + 1 Zustände enthält. Pumping-Lemm-Beispiele Die Schritt n -Boxen in den folgenden Beweisen verweisen uf die Schritte des Kochrezepts (Folien 144 und 145), und gehören nicht zur Beweistext. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 1 = { k k Σ k N 0 } ist nicht regulär. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 1 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: 18

19 u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 1. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Bemerkung: wir hätten uch i = 0 wählen können. Es gilt Wegen m 1, gilt dnn uch uv 0 w / L 1. uv 0 w = l+n (l+m) n = n m n. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 2 = {ww R w Σ } ist nicht regulär. (Hier ezeichnet w R ds Wort w mit umgekehrter Reihenfolge der Buchsten, z.b. R =.) Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 2 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 2. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Stz. Die Sprche L 3 = { k l c m k 1, l m} ist nicht regulär. (Die Sprche L 3 esteht lso us den Wörtern z L( c ), woei zusätzlich gilt, dss sie mindestens ein enthlten, und die Anzhl von s kleiner gleich die Anzhl von c s ist.) Es sei ngemerkt, dss die Vrilen, die innerhl von einer Mengeneschreiung enutzt werden, im llgemeinen ls lokle Vrilen gesehen werden. Insesondere, hen die l und m die oen enutzt werden nicht unedingt die gleiche Werte ls die l und m die unten im Beweis enutzt werden. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = n c n. Es gilt offensichtlich, dss x L 3 und x n. Schritt 3 Es git folgende Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1: 1. u = ɛ, v = l, w = n l c n, woei m 1. (Bemerke, dss im Fll l = 0, ds Teilwort v nur us dem esteht. Die Bedingung, dss v 0 gilt in dem Fll ntürlich noch immer.) 2. u = l, v = m, w = r c n, woei l + m + r = n und m 1. (Der Unterschied zwischen den eiden Fällen, ist o ds in v liegt oder nicht.) Schritt 4 eide Zerlegungen git es ein i, so dss uv i w / L 3 : Für 1. Sei i = 0: Weil u = v 0 = ɛ, gilt uv i w = w = n l c n. Es könnte sein, dss l = 0. Die Anzhl von s und c s muss lso nicht unterschiedlich sein. Ds Wort fängt er nicht mit einem n, und deswegen gilt uv i w / L 3. 19

20 2. Sei i = 2: Es gilt uv i w = l+2m+r c n. Wegen n = l + m + r und m 1 hen wir, dss l + 2m + r > n. Deswegen gilt uv i w / L 3. Nch dem Pumping Lemm ist L 3 lso nicht regulär. Stz. Die Sprche L 4 = { 2k k N} ist nicht regulär. (Siehe Folie 146.) Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = 2n. Es ist klr, dss x L 4 und x n. Schritt 3 Alle Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1 sind von folgender Form: u = p, v = q, w = 2n p q, woei p + q n und q 1. Schritt 4 Wir wählen jetzt i = 2; dnn gilt uv i w = 2n +q. Weil 2 n > n (für lle n), muss gelten, dss p + q < 2 n und deswegen, dss 0 < q < 2 n. Ds heißt, dss 2 n < 2 n + q < 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1. Drus folgt, dss 2 n + q keine Zweierpotenz ist und somit, dss uv i w = uv 2 w / L 4. Dmit hen wir nchgewiesen, dss die Sprche L 4 die Bedingungen des Pumping Lemms verletzt, und deswegen nicht regulär sein knn. Hinweise zur Benutzung des Pumping-Lemms Der wichtigste Teil eines Beweises, der ds Pumping-Lemm verwendet, ist die Whl des Wortes der Länge n. Einige Hinweise zum Whlen des Wortes: Ds Wort muss länger ls n sein. Es ist er keine oere Schrnke ngegeen. Es ist nicht schlimm, wenn ds Wort viel länger ls n ist. Wähle ein möglichst einfches Wort. Die einzige Bedingung ist, dss ds Wort in der etrchtete Sprche liegt. Wegen der Bedingung, dss uv n, findet ds Pumpen nur in den ersten n Symolen des Wortes sttt. Zusätzlich zum oigen Hinweis, wähle uch ein Wort, in dem die Struktur der ersten n Stellen möglichst einfch ist. (Es sei zum Beispiel ngemerkt, dss ds gewählte Wort in zwei der oigen Beispiele nur Zerlegungen zugelssen ht, ei denen u und v eide nur us s estehen.) 6 Minimlutomten und Myhill-Nerode-Äquivlenz Äquivlenzklssen (Folien ) Beispiel 1. Gegeen seien die Menge M = {,, c, d} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, c), (, ), (, ), (, c), (c, ), (c, ), (c, c), (d, d) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: c d 20

21 Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist (siehe Folie 2Äquivlenzreltionen und Minimlutomten). Reflexiv. Für lle Elemente x von M gilt, dss (x, x) R. Zum Beispiel: (, ) R und (d, d) R. Symmetrisch. Für lle Pre x und y, so dss x M, y M und (x, y) R, gilt uch, dss (y, x) R. Zum Beispiel: (, ) R, und es gilt uch, dss (, ) R. Trnsitiv. Für lle x, y, z, so dss x M, y M, z M, (x, y) R und (y, z) R, gilt uch, dss (x, z) R. Zum Beispiel: (, ) R und (, c) R. Es muss lso gelten, dss (, c) R und ds ist uch der Fll. (, ) R und (, ) R. Es muss lso gelten, dss (, ) R und ds ist uch der Fll. Die Äquivlenzklssen der Reltion sind: [] R = {,, c} [] R = {,, c} [c] R = {,, c} [d] R = {d} Weil [] R = [] R = [c] R ht die Reltion R zwei Äquivlenzklssen, nämlich {,, c} und {d}. Beispiel 2. Gegeen sei die Menge M = {,, c, d, e} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, ), (, ), (c, c), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: d c e Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Die Äquivlenzklssen von R sind: [] R = {, } [c] R = {c} [d] R = {d, e} [] R = {, } [e] R = {d, e} Weil [] R = [] R und [d] R = [e] R, ht diese Reltion drie Äquivlenzklssen, nämlich {, }, {c} und {d, e}. Beispiel 3. Gegeen seien ds Alphet Σ = {, } und die Reltion L Σ Σ uf Σ, die folgendermßen definiert ist: (x, y) L gdw. x = y, woei w die Länge eines Wortes w ezeichnet. Ds heißt, zwei Wörter sind in der Reltion L wenn sie die gleiche Länge hen. Für ein Wort x gilt nun, dss [x] L = {y y ht die gleiche Länge wie x}. Weil es unendlich viele mögliche Längen git, ht diese Reltion unendlich viele Äquivlenzklssen. 21

22 Zu Folie 152 Wir etrchten den folgenden DFA: , 3 5 Feststellung: für die Zustände 4, 5 gilt: Mit einem Wort, ds ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (nämlich 6). Mit einem Wort, ds kein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Nicht- Endzustnd (4 zw. 5). Drus folgt: 4 und 5 sind erkennungsäquivlent und können zu einem Zustnd verschmolzen werden. Etws ähnliches gilt für die Zustände 2 und 3: Mit einem Wort, ds mit einem nfängt und ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (6). Mit einem Wort, ds nicht mit einem nfängt oder kein enthält, lndet mn immer in einem Nicht-Endzustnd. Auch die Zustände 2 und 3 sind Erkennungsäquivlent. Ds heißt, dss die Zustände 4/5 und 2/3 verschmolzen werden können. Ds Ergenis ist der folgende kleinere Automt:, 1 2/3 4/5 6, Es können keine weiteren Zustände verschmolzen werden: der Automt ist ttsächlich miniml. Zu Folie 155 Jedem Wort x Σ knn mn in einem deterministischen Automt einen eindeutigen Zustnd z = ˆδ(z 0, x) zuordnen. Dher knn die Definition der Erkennungsäquivlenz uf Wörter us Σ und Sprchen (nsttt Automten) erweitert werden. Sie heißt dnn die Myhill-Nerode-Äquivlenz. 22

23 Beispiele für Myhill-Nerode-Äquivlenz (Folien 156, 160) Für L = { k k k N} gilt: Sei x = 4 3 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn xz L gdw. z = gdw. yz L. Sei x = 2 2 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn für z = ɛ gilt xz = x = 2 2 L er yz = y = 3 2 / L. Set x = 4 2 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn für z = gilt xz = 4 2 = 4 3 / L er yz = 3 2 = 3 3 L. Myhill-Nerode Äquivlenzklssen ngeen: L 1 = {w {, } # (w) gerde} Es git folgende Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {, } # (w) gerde} = L 1 (Äquivlenzklsse von ɛ) [] = {w {, } # (w) ungerde} = {, } \ L 1 (Äquivlenzklsse von ) Beispiel: ɛ und sind äquivlent, denn wird n eide ein Wort mit gerde vielen s ngehängt, so leien sie in der Sprche wird n eide ein Wort mit ungerde vielen s ngehängt, so fllen sie us der Sprche herus Es ist leicht einzusehen, dss jedes Wort entweder Myhill-Nerode-äquivlent zu ɛ oder zu ist. Die Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen entsprechen Zuständen eines Automten, der die Sprche kzeptiert: z 1 z 2 Hier entspricht z 1 der Äquivlenzklsse [ɛ] und z 2 der Äquivlenzklsse []. L 2 = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor} Es git folgende Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {,, c} w endet nicht uf oder und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [c] = {w {,, c} w enthält c} Die Wörter und sind nicht äquivlent, denn wird n eide ein c ngehängt, so ist c noch in der Sprche, c ist es er nicht. Die Myhill Nerode-Äquivlenzklssen entsprechen Zuständen eines Automten, der die Sprche kzeptiert: 23

24 z 0 c z 1 z 2 c z E, c,, c Hier entspricht: z 0 der Klsse [ɛ] z 1 der Klsse [] z 2 der Klsse [] und z 3 der Klsse [c]. Zu Folie 162 L 1 = { k k k 0} Wir etrchten die Wörter ɛ,,,,..., i,... (für i 0). Es gilt weil i i L 1 er j i / L 1. i L j für i j. Ds heißt, dss L 1 unendlich viele Myhill Nerode-Äquivlenzklssen ht und deswegen nicht regulär ist. 7 Aschlusseigenschften und Lösungsverfhren Konstruktion des Komplementutomten (Folie 175) Die Konstruktion des Komplementutomten funktionier nur ei DFAs. Um die Konstruktion uf NFAs nzuwenden, muss den NFA zunächst in einen DFA umgewndelt werden. Dies knn ggf. zu einem exponentiellen Wchstum führen. Beispiel Kreuzproduktkonstruktion (Folie 178) In der Kreuzproduktkonstruktion werden zwei Automten prllelgeschltet. Die Zustände des neuen Automten geen n, in welchen Zuständen die eiden ursprünglichen Automten sich efinden; ds heißt, die Zustände des neuen Automten sind Pre von Zuständen der ursprünglichen Automten. Wir etrchten die folgenden Automten: M 1 = z 1 z 2 24

25 M 2 = y 1 y 2 Der Automt M (so dss T (M) = T (M 1 ) T (M 2 )), generiert mit Hilfe der Konstruktion von Folie 178, sieht folgendermßen us: (z 1, y 1 ) (z 2, y 1 ) (z 1, y 2 ) (z 2, y 2 ) 8 Progrmmverifiktion: Wechselseitiger Ausschluss Erster Versuch: Prozessmodell (Folie 193) Bedeutung der Zustände 1, 2, 3, 4, 5: diese entsprechen den mit Lels mrkierten Progrmmzeilen Bedeutung der Schleifen mit Alphetsymolen us i : d wir später ds Kreuzprodukt ilden werden, um mehrere Automten zu synchronisieren, dürfen Üergänge nderer Automten, die den Prozess i nicht etreffen, nicht usgeschlossen werden. Sie werden einfch mitgehört und hen keinen Einfluss uf die Zuständsüergänge. Alle Zustände sind Endzustände. Ds Progrm läuft unendlich durch (wegen dem while true do) und der Automt kzeptiert lle endlichen Präfixe unendlicher Aläufe. Versuch 1: Üerprüfung mit Gril Für ds Tool Gril enutzen wir die Kodierung der Folie 196. Wir verwenden die Gril-Werkzeuge folgendermßen, um ds Modell zu verifizieren: $ fmcross p1.ut < p2.ut > psynch.ut $ fmcross f.ut < psynch.ut > sys.ut $ fmcment w.ut > w-cment.ut $ fmcross sys.ut < w-cment.ut > errors.ut $ fmenum errors.ut DdAXx DdAXx DdAxX DdAXx... D die Sprche nicht leer ist, ist der vorgestellte Prozedur nicht richtig. Es werden uch flsche Systemläufe usgegeen. Einer dvon ist DdAXx. Üersetzt ins ursprüngliche Alphet: (f = flse?) 2 (f = flse?) 1 (f := true) 2 BkB 2 (f := true) 1 BkB 1. D es keine tomre Schrei- und Leseopertion git, können eide Prozessen ncheinnder die Vrile uslesen, nschließend die Vrile setzen und den kritischen Bereich etreten. 25

26 Versuch 2: Üerprüfung mit Gril Üerprüfung mit Gril: $ fmcross p1.ut < p2.ut > psynch.ut $ fmcross f1.ut < psynch.ut > psynch1.ut $ fmcross f2.ut < psynch1.ut > sys.ut $ fmcment w.ut > w-cment.ut $ fmcross sys.ut < w-cment.ut > errors.ut $ fmenum errors.ut (keine Ausge) Es git keine Wörter in dem Schnitt des Komplements des Spezifiktionsmodell und des Systems. Ds heißt, dss ds zweite Modell richtig ist. 9 Wiederholung regulärer Sprchen Wiederholung: Drei Beweise der Nicht-Regulrität Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L = {w Σ # (w) # (w)} ist nicht regulär. Beweis mit dem Pumping-Lemm. Sei n eine Belieige ntürliche Zhl. Wir wählen ds Wort x = n n!+n, woei n! die Fkultätsfunktion ezeichnet, ds heißt: n! = n (n 1) (n 2) 1. Es ist klr, dss x L und x n. Alle Zerlegungen von x in x = uvw, woei uv n und v 1 hen folgende Form: u = p, v = q, w = n p q n!+n. Jetzt wählen wir i = n! q + 1. Es sei ngemerkt, ds n! die Zhl q ls Produkt enthält, und dss n! deswegen durch q teilr ist. Jetzt gilt, dss uv i w = m n!+n, woei m = p + i q + n p q. Wir hen er: p + q( n! q + 1) + n p q = q(n! q + 1) + n q = n! + q + n q = n! + n. Ds heißt, dss uv i w / L. Nch dem Pumping-Lemm ist L deswegen nicht regulär. Beweis mit dem Stz von Myhill-Nerode. Sei die folgende Menge M Σ gegeen: M = { k k N}. Sei nun x = i und y = j, woei i j. Dnn gilt für z = i, dss xz / L und yz L. Ds heißt, dss x und y nicht Myhill-Nerode-äquivlent sind zgl. der Sprche L. Weil M undendlich viele Wörter enthält, ht L deswegen unendlich viele Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen und is lso nch dem Stz von Myhill-Nerode nicht regulär. Beweis mit Hilfe von Aschlusseigenschften. Nehme n, dss L regulär wäre. Weil reguläre Sprchen unter Komplement geschlossen sind, wäre dnn uch L = Σ \ L = {w Σ # (w) = # (w)} regulär. Weil { n m n, m 0} eine reguläre Sprche ist (denn der reguläre Ausdruck erzeugt sie), wäre dnn uch L { n m n, m 0} = { n n n 0} regulär. Ds ist er, nch dem Beweis uf Seite 18 (und im Kochrezept uf Folien ) nicht der Fll. Wir müssen die Annhme, dss L regulär ist, lso widerrufen. L is lso nicht regulär. 26

27 10 Kontextfreie Grmmtiken Beispiele für kontextfreien Grmmtiken Sei Σ = {, }. Beispiel 1 (Folie 211, oen) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G 1 n, so dss L(G 1 ) = { n n n 0}. Lösung: G 1 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, X} und P die folgenden Produktionen enthält: Beispiel 2 (Folie 211, unten) S X ɛ X X Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G 2 n, so dss LG 2 = { k n m n n, m, k 1}. Bemerke, dss die zwei Sequenzen von s gleich lng sein müssen, die zwei Sequenzen von s er nicht. Lösung: G 2 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, A, X} und P die folgenden Produktionen enthält: Erklärung: S AX A A X X A A erzeugt -Sequenzen elieiger Länge (die er mindestens ein enthlten). X erzeugt Wörter der Form n m n (woei n, m 1). Dei wird die Vrile A verwendet um den mittleren Teil des Wortes zu erzeugen. S setzt Wörter erzeugt von A und X zusmmen um Wörter us der Sprche zu erzeugen. Beispiel 3: Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G 3 n, so dss L(G 3 ) = { k w Σ }, woei w R ds Inverse von w ezeichnet. Lösung: G 3 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, X} und P die folgenden Produktionen enthält: S ɛ X X X X ɛ-produktionen entfernen (Folien 212 und 213) Dieser Stz edeutet, dss mn ɛ-produktionen elieig verwenden drf. Sie verändern nichts n der Ausdrucksmächtigkeit kontextfreier Grmmtiken. Beispiel 1: (Sehe Folie 214) Sei G = (V, Σ, P, S), woei V = {S, X, Y, Z}, Σ = {, } und P us den folgenden Produktionen esteht: S XZ X Y ɛ Y X Z ɛ S 27

28 Die Menge der Vrilen, us denen sich ds leere Wort leiten lässt, ist V 1 = {S, X, Z}. Üerll wo eine dieser Vrilen uf der rechten Seite einer Produktion vorkommt müssen wir uch ds leere Wort erluen. Wir ekommen die folgende Grmmtik: S XZ X Z ɛ X Y ɛ Y X Z ɛ S Alle Produktion der Form Q ɛ werden entfernt: S XZ X Z X Y Y X Z S Weil ɛ Teil der Sprche der ursprünglichen Grmmtik ist, müssen wir eine neue Strtvrile S hinzufügen. Die endgültige Grmmtik ist G = (V, Σ, P, S ), woei V = {S, X, Y, Z, S } und P us den folgenden Produktionen esteht: S S ɛ S XZ X Z X Y Y X Z S Beispiel 2: Sei Σ = {,, c}. Gegeen sei die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = {S, C} und P die folgenden Produktionen enthält: S CSC C cc ɛ Die Menge der Vrilen, us denen sich ds leere Wort leiten lässt, ist V 1 = {C}. Üerll wo C uf der rechten Seite einer Produktion vorkommt, müssen wir lso uch ds leere Wort erluen. Die Ergenis-Grmmtik esteht deswegen us den folgenden Produktionen: S CSC CS SC S C c cc Beispiel 3: Sei Σ = {<, >}. Gegeen sei die Grmmtik G = ({S}, Σ, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S <S>S ɛ Aus S knn mn ds leere Wort, leiten. Wir müssen lso üerll wo S uf der rechten Seite steht, uch erluen, dss ds leere Wort erzeugt wird. Außerdem sorgen wir dfür, dss die neue Grmmtik ds leere Wort erzeugt, indem wir eine neue Strtvrile S hinzufügen. Die resultierende Grmmtik ist G = ({S, S }, Σ, P, S ), woei P die folgenden Produktionen enthält: S S ɛ S <S>S <>S <S> <> 28

29 Mehrdeutige Grmmtik (Folie 220) Ein Beispiel einer mehrdeutigen Grmmtik ist G = ({S}, {, }, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S SS. Dnn git es folgende (verschiedene) Syntxäume für ds sele Wort (): S S S S S S S S S S Es git er eine zu dieser Grmmtik äquivlente Grmmtik, die die gleiche Sprche erzeugt: S X XX X X ɛ Dies ist er nicht im llgemeinen der Fll: es git kontextfreie Sprchen, für die es keine eindeutige Grmmtiken git. Beispiele Chomsky-Normlform (Folien ) Beispiel 1: Sei G = ({S, A}, {,, c}, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S A A S Sc B ɛ B A Nch jedem Schritt des Umwndlungsverfhrens werden die Produktionen ngegeen. (Fettgedruckte Buchsten geen Änderungen n.) Schritt 1: ɛ-produktionen entfernen Wir enutzen ds Verfhren von Folien 212/213: S A A S Sc B B A Schritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es git einen Zyklus A B A. Wir ersetzen lso A und B durch eine einzelne Vrile A und löschen die Kettenproduktionen A B und B A: S A A S Sc Es git nun noch eine Kettenproduktion, A S. Diese wird gelöscht und für jede Produktion (S w) P wird eine neue Produktion A w eingefügt. S A A A Sc 29

30 Schritt 3: Alphetsymole us den rechten Seiten entfernen Wenn eine rechte Seite zwei oder mehr Symolen ht, werden die Alphetsymolen durch Vrilen ersetzt: S U AU U U A U AU U U U U SU c U U U c c Schritt 4: Lnge rechte Seiten ufteilen S U C U U C AU A U C U U U D D U E E SU c U U U c c Beispiel 2: Sei die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) gegeen, woei V = {S, A, B, C, D, E, F }, Σ = {,, c} und P die folgende Produktionen enthält: S ABC A B DAD B C EBE C A F CF D E E F F F c Nch jedem Schritt des Umwndlungsverfhrens sind die Produktionen: Schritt 1: ɛ-produktionen entfernen Es git keine ɛ-produktionen in der Grmmtik. Die Grmmtik muss lso nicht geändert werden. Schritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es git zwei Ketten: den Zyklus A B C A und die zyklenfreie Kette D E F. Der Zyklus knn entfernt werden, indem wir lle Vrilen des Zyklus üerll in der Grmmtik durch eine neue Vrile G ersetzen, und die Kettenproduktionen löschen: S GGG G DGD G EGE G F GF D E E F F F c Um die zyklenfreie Kette zu entfernen, löschen wir die letzte Produktion der Kette (E F ) und fügen für jede Produktion (F w) P eine neue Produktion E w ein. S GGG G DGD G EGE G F GF D E E F c F F c 30

31 Ds gleiche mchen wir, von hinten nch vorne, für lle Produktionen der Kette. In diesem Fll git es nur noch die erste Produktion, D E, und ds ergit: S GGG G DGD G EGE G F GF D F c E F c F F c Schritt 3: Alphetsymole us den rechten Seiten entfernen S GGG G DGD G EGE G F GF D U F U c U U U U E U F U c U U U U F U F U c U U U U U c c Schritt 4: Lnge rechte Seiten ufteilen S GW W GG G DX X GD G EY Y GE G F Z Z GF D U V U U U U E U V U U U U F U V U U V F U c U U U c c 11 Der CYK-Algorithmus Zu Folien??/?? (Nottioneispiel) Sei Σ = {, }. Wir etrchten die Grmmtik G = (V, Σ, P, S) woei V = {S, A, B, C, D, E} und P die folgenden Produktionen enthält: S AC A B DE C SB D E c Sei x = cc. Es gilt: x 1,1 = T 1,1 = {S, A} x 1,2 = T 1,2 = x 1,4 = c T 1,4 = {S} x 5,2 = c T 5,2 = {B} 31

32 CYK-Beispiele Beispiel 1 (Folie 220) Die Grmmtik ist schon in Chomsky-Normlform. Wir wenden den CYK-Algorithmus n und ds Ergenis ist die folgende Telle: c c j = 1 A, F A, F B, G C B, G C j = 2 F S E, D G E, D j = 3 S S, H G j = 4 H S j = 5 S D, H j = 6 S, H Ds Strtsymol S kommt im untersten Kästchen vor, ds heißt, dss ds Wort cc in der von der Grmmtik erzeugte Sprche liegt. Beispiel 2 (Folie 221) Die Grmmtik ist noch nicht in Chomsky-Normlform. Wir wndeln sie lso zunächst in Chomsky- Normlform um: S AB A U U U A A AU B c U c B U U U c c Wenn wir den CYK-Algorithmus uf dem Wort cc nwenden, kommt die folgende Telle herus: c c j = 1 U U U U U U B, U c B, U c j = 2 A B j = 3 A j = 4 A j = 5 A j = 6 A j = 7 S j = 8 S Ds Strtsymol S kommt im unteren Kästchen vor, ds heißt, dss ds Wort cc in der von der Grmmtik erzeugten Sprche liegt. 12 Ds Pumping-Lemm für kontextfreien Sprchen Zu Folie 225 Bemerkung: Der Grund, dss wir hier nnehmen, dss die Grmmtik in Chomsky-Normlform ist, ist nur um einfcher zählen zu können. Der Pumpmechnismus der nächsten Folien funktioniert uch, wenn die Grmmtik nicht in Chomsky-Normlform ist. 32

33 Beispiel zum Pumpmechnismus (Folie 227) Sei Σ = {<, >}. Wir etrchten die Grmmtik G=(V, Σ, P, S), woei V folgenden Produktionen esteht: S <S> SS <>. = {S} und P us (Diese Grmmtik erzeugt die Sprche der korrekt geklmmerten Ausdrücke, d.h. <<><>> L(G) er <<> / L(G).) Betrchte den folgenden Aleitungsum des Wortes <<><>>. S < S > S < > S < > Es git zwei gleiche Vrilen uf dem gleichen Pfd. Die zwei S-Knoten, die im oigen Bild durch Kästchen mrkiert sind, ergeen die Zerlegung u = <, v = ɛ, w = <>, x = <>, y = >. Wir können jetzt ds Wort pumpen zw. schrumpfen, indem wir den Teilum des oeren S für den Teilum des unteren S einsetzen oder umgekehrt: S S < S > < S > S S < > S S < > < > < > Der linke Syntxum entspricht dem Wort uv 2 wx 2 y = <<><><>>, der rechte dem Wort uv 0 wx 0 y = <<>>. Es sei ngemerkt, dss x 0 = ɛ, uch wenn x > 0. Pumping-Lemm-Beispiele (Folie 232) Stz. Die Sprche L 1 = { m m2 m 1} ist nicht kontextfrei. Beweis. Sei n eine elieige Zhl. Wir wählen ds Wort z = n n2. Offensichtlich gilt, dss z L 1 und z n. Ds Wort z lässt sich nun folgendermßen in z = uvwxy zerlegen, so dss vwx n und vx 1: 1. vwx esteht nur us s: u = k, v = l, w = p, x = q, y = r n2, woei n = k + l + p + q + r und l + q vwx esteht nur us s: u = n k, v = l, w = p, x = q, y = r, woei n 2 = k + l + p + q + r und l + q 1. 33

34 3. v esteht sowohl us s ls uch us s: u = n k, v = k l, w = p, x = q, y = r, woei k > 0, l > 0 (weil v sowohl us s und s estehen soll) und n 2 = l + p + q + r. 4. x esteht sowohl us s ls uch us s: u = k, v = l, w = p, x = q r, y = n2 r, woei p > 0, q > 0 (weil x sowohl us s und s estehen soll) und n = k + l + p + q. 5. v esteht nur us s und x esteht nur us s: u = k, v = l, w = p q, x = r, y = h, woei n = k + l + p, n 2 = q + r + h und l + r 1. In llen Fällen können wir ein i 0 wählen, so dss uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n+l+q n2. Weil l + q 1, gilt n + l + q n und deswegen uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n n2 +l+q. Weil l + q 1, gilt n + l + q n und deswegen uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n l k n2. Weil k, l > 0 kommen in diesem Wort die s und s in der flschen Reihenfolge vor, und deswegen gilt uv i wx i y / L Wir wählen i = 2. Dnn gilt uv i wx i y = n r q n2. Weil p, q > 0 kommen in diesem Wort die s und s in der flschen Reihenfolge vor, und deswegen gilt uv i wx i y / L Wir zeigen, dss uv 2 wx 2 y / L 1. uv 2 wx 2 y = n+l n2 +r. Wir müssen lso zeigen, dss (n + l) 2 = n 2 + 2nl + l 2 n 2 + r. Ds heißt, dss r 2nl + l 2. Wenn l = 0, dnn knn wegen der Bedingung, dss vx 1 (l + r 1) nicht uch r = 0 gelten, und deswegen gilt r 2nl + l 2. Wenn l > 0, dnn ist 2nl + l 2 > n. Wegen der Bedingung, dss vwx n, muss dnn uch gelten, dss r 2nl + l 2. In eiden Fällen, gilt r 2nl + l 2. Deswegen diese Aussge llgemein, und schließen wir, dss uv 2 wx 2 y / L 1. Ddurch, dss es einen solchen Index für jede Zerlegung git, ist die gilt nch dem Pumping- Lemm, dss L 1 nicht kontextfrei ist. Stz. Die Sprche L 2 = { m m c m m > 0} ist nicht kontextfrei. Beweis. Sei eine elieige Zhl n gegeen. Wir wählen nun ds Wort z = n n c n. Offensichtlich gilt es, dss z L und z > n. Mn knn z folgendermßen in uvwxy zerlegen, so dss vwx n und vx 1: 1. vwx liegt komplett im -Teil: u = k, v = l, w = p, x = q, y = r n c n, woei k + l + p + q + r = n und l + q x esteht sowohl us s ls uch us s: u = k, v = l, w = p, x = q r, y = n r c n, woei k + l + p + q = n und l + q + r v esteht nur us s und x esteht nur us s: u = k, v = l, w = n k l n p q, x = p, y = q, woei l + p 1. 34