Aufge 4 Die Grmmtik G 2 CFG(f; g) in Chomsky-Normlform sei gegeen wie folgt: S! AB j A! AS j B! SB j ) Stellen Sie mit Hilfe des Cocke-Younger-Ksmi-Al

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1 RHEINISCH- WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN LEHRSTUHL FÜR INFORMATIK II RWTH Achen D Achen GERMANY 2i Klusur für den Leistungsnchweis zur Vorlesung Automtentheorie und Formle Sprchen 18. Juli 2001 Aufge 1 Geen Sie reguläre Ausdrücke ff 1 ; ff 2 2 RegE(f; g) n, so dß und [ff 1 ] = fw 2 f; g Λ j w endet nicht mit g [ff 2 ] = fw 2 f; g Λ j in w erscheint genu einmlg: Aufge 2 (6 + 2 Punkte) Sei A = hfq 0 ; q 1 ; : : : ; q 5 g; f; g; ffi; q 0 ; fq 4 ; q 5 gi 2 DFA(f; g) durch seine Trnsitionstfel wie folgt gegeen: ffi! q 0 q 1 q 2 q 1 q 4 q 5 q 2 q 0 q 0 q 3 q 5 q 4 ) q 4 q 3 q 5 ) q 5 q 3 q 5 ) Konstruieren Sie mit Hilfe des Mrkierungslgorithmus den (minimlen) Fktorutomten A= ο. ) Weisen Sie die Minimlität des Fktorutomten nch, indem Sie für je zwei Zustände p und q mit p 6= q ein Wort ngeen, ds elegt, dß p und q nicht äquivlent sind. Aufge 3 ) Formulieren Sie ds Pumping-Lemm für reguläre Sprchen. ) Zeigen Sie, dß jede endliche Sprche die im Pumping-Lemm für reguläre Sprchen geforderten Eigenschften esitzt. 1

2 Aufge 4 Die Grmmtik G 2 CFG(f; g) in Chomsky-Normlform sei gegeen wie folgt: S! AB j A! AS j B! SB j ) Stellen Sie mit Hilfe des Cocke-Younger-Ksmi-Algorithmus fest, o 2 L(G): ) Stellen Sie mit Hilfe der Vorgängerschluß-Methode fest, o 2 L(G): Aufge 5 (8 Punkte) Ds Komplement w eines Wortes w 2 f; g Λ sei wie folgt induktiv definiert: " := " u := u u := u Sei L = fww R j w 2 f; g Λ g. Geen Sie eine Grmmtik G 2 CFG(f; g) n, so dß L(G) = L: Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktion (ohne Beweis). Aufge 6 Die Grmmtik G 2 CFG(f; g) sei gegeen wie folgt: S! AA A! AAA j A j A j ) Zeigen Sie, dß G mehrdeutig ist. ) Geen Sie eine eindeutige Grmmtik G 0 2 CFG(f; g) n, so dß L(G 0 ) = L(G). 2

3 Aufge 7 ( Punkte) Die Chomsky-Grmmtiken G 1, G 2 und G 3 seien gegeen wie folgt: G 1 : S! B j A A! S j B! S j G 2 : S! A j A j A! A j A! A j G 3 : S! AB A! j ABA B! j BAB AB! j BA Geen Sie für k = 1; 2; 3 die jeweils größte Zhl i 2 f0; 1; 2; 3g n mit der Eigenschft G " k ist vom Typ i. Begründen Sie Ihre Antwort. Erläutern Sie uch, wrum Sie nicht i + 1nstelle von i ngegeen hen. Wrum sind L(G 1 ), L(G 2 ) und L(G 3 ) jeweils vom Typ 1? Aufge 8 (6 Punkte) Geen Sie eine wohldokumentierte Turingmschine A 2 TM(f; g) n, so dß L(A) = [ Λ 2 ]: (Hinweis: Üerlegen Sie zunächst, in welchen Sprchklssen [ Λ 2 ] liegt.) 3

4 Lösungsvorschlg Automtentheorie und Formle Sprchen Typische Klusurufgen (Teil 1) " Aufgen Aufge 1 Sei ± ein Alphet, und sei L ko (±) := fl ± Λ j L := ± Λ nl ist endlichg die Klsse der ko-endlichen Sprchen üer ±. ) Zeigen Sie, dß L ko (±) unter Vereinigung, Schnitt und Sternopertion geschlossen ist. ) In welchen Sprchklssen ist L ko (±) enthlten? Aufge 2 Sei ± ein Alphet und 62 ±. Für eine Sprche L ± Λ sei split(l) := fvw j v; w 2 ± Λ und vw 2 Lg: ) Geen Sie split(l) für L = f; ; g explizit n. ) Sei A 2 DFA(f; g) gegeen wie folgt: q 0 q 1 q 2 Geen Sie einen Automten A 0 2 DFA(f; ; g) n, so dß L(A 0 ) = split(l(a)). Aufge 3 Seien ± und ± 0 Alphete mit ± 0 ±. Für eine Sprche L ± Λ sei su(l) := fw 2 L j w 2 ± 0 Λ g: Beweisen oder widerlegen Sie: ) L regulär y su(l) regulär. ) su(l) regulär y L regulär.

5 Lösungen Aufge 1 ) Vereinigung und Schnitt: L 1 ; L 2 2 L ko (±) y L 1 ; L 2 endlich y L 1 L 2 = L 1 [ L 2 und L 1 [ L 2 = L 1 L 2 endlich y L 1 [ L 2 ; L 1 L 2 2 L ko (±) Sternopertion: L 2 L ko (±) und L L Λ L Λ L endlich y L Λ 2 L ko (±) ) L RegL(±), denn L 2 L ko (±) y L endlich y L 2 RegL(±) y L 2 RegL(±) Aufge 2 ) split(l) = f; ; ; ; ; ; ; ; g ) Sei A 0 gegeen durch q 0 q 1 q 0 0 q 0 1 q 2 q 0 2 ; ; q

6 Aufge 3 ) Beweis: Sei L ± Λ regulär. Dnn existiert ein endlicher Automt A = hq; ±; ffi; q 0 ; F i 2 DFA(±), so dß L(A) = L. Sei A 0 = hq [ fq neu g; ±; ffi 0 ; q 0 ; F i 2 DFA(±) gegeen wie folgt: ffi 0 (q; ) = ρ ffi(q; ) flls q 2 Q und 2 ± 0 q neu flls q = q neu oder 2 ±n± 0 Es gilt L(A 0 ) = su(l(a)) = su(l). Also ist su(l) regulär. ) Gegeneispiel: Seien ± = f; ; cg und ± 0 = fcg. L = f n n j n 2 INg [ fcg ist nicht regulär im Gegenstz zu su(l) = f"; cg. (Oder wähle L = f n n j n 2 INg mit su(l) = f"g.)

7 Lösungsvorschlg Automtentheorie und Formle Sprchen Typische Klusurufgen (Teil 2) " Aufge Beweisen oder widerlegen Sie durch Ange einer kontextfreien Grmmtik zw. mit Hilfe des Pumping-Lemms für kontextfreie Sprchen: ) L 1 = fuv j u; v 2 f; g Λ ; juj = jvjg ist kontextfrei. ) L 2 = f n n c i j i» ng ist kontextfrei. Lösung ) L 1 ist kontextfrei. Sei nämlich G 2 CFG(f; g) gegeen wie folgt: Es gilt L(G) = L 1. S! A A! A j A j A j A j ) Wir zeigen, dß L 2 nicht kontextfrei ist. Angenommen, L 2 sei kontextfrei. Dnn existiert ein Pumping-Index k 1 mit den Eigenschften des Pumping-Lemms. Sei z = k k c k 2 L 2. Es git lso eine Zerlegung z = uvwxy, so dß jvxj 1, jvwxj» k und uv i wx i y 2 L 2 für lle i 2 IN. Wir unterscheiden für vwx zwei Fälle (die sich nicht notwendig usschließen): vwx 2 [ Λ Λ ] Dnn gilt uwy = i j c k vwx 2 [ Λ c Λ ]. Dnn gilt mit i < k oder j < k und dmit uwy 62 L 2. Widerspruch. juv 2 wx 2 yj > juv 2 wx 2 yj = k oder juv 2 wx 2 yj c > juv 2 wx 2 yj = k und dmit uv 2 wx 2 y 62 L 2. Widerspruch. Nchdem wir eide Fälle zum Widerspruch geführt hen, können wir dvon usgehen, dß L 2 nicht kontextfrei ist.