KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion

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1 KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere ohne den Huptstz zu verwenden, weshlb ds Ergebnis die qudrtische Funktion F (x) = x + x ist. Bechte, dss die Ableitung dieser Funktion gerde wieder die ursprüngliche Funktion ergibt, dss lso F (x) = f(x). Aufgbe.. Der Grph einer stückweise lineren Funktion f ist im Intervll [; 9] drgestellt. Vervollständige die Wertetbelle und zeichne den Grphen der Funktion F (x) = in ds Koordintensystem ein. x f(t) dt x F (x) Versuche zu erklären, wrum F im Intervll [; 3] eine linere Funktion mit Steigung k = ist.... im Intervll [3; 7] eine qudrtische Funktion ist.... im Intervll [7; 9] eine linere Funktion mit Steigung k = ist. Dtum: 7. März 7.

2 Aufgbe.3. Berechne jeweils ds bestimmte Integrl. ) 4 (5 x x ) + dx = 5) 3 x dx = ) 3 3 ( x 9 ) dx = 6) 4 3 y dy = 3) 7 e x dx = 7) 3 4 x dx = 4) 4 t dt = 8) π/ cos(x) 5 dx = Aufgbe.4. Die Ableitung f einer Funktion f ist grfisch drgestellt. Welche Bedeutung hben die folgenden Informtionen für f? Vervollständige dzu die Sätze: ) f wechselt n der Stelle x = ds Vorzeichen von uf +, lso ht f... ) f ht n der Stelle x = 5 ein lokles Mximum, lso... 3) f ht n der Stelle x = 3 eine Nullstelle und ein lokles Minimum, lso... 4) Im Intervll [5; 9] schließt der Grph von f mit der x-achse eine Fläche mit Inhlt A =,75 ein, lso... 5) Der Grph von f verläuft durch den Punkt (5 7), lso...

3 Aufgbe.5. Berechne jeweils ds bestimmte Integrl und erkläre ds Ergebnis grfisch. ) 6 x dx = ) 7 3 dx = 3) π sin(x) dx = Aufgbe.6. Der Energieverbruch in Kilojoule (kj) pro Minute (min) beim Joggen ist unter nderem bhängig von der Körpermsse in Kilogrmm (kg). Der Energieverbruch bei einer bestimmten Geschwindigkeit durch ebenes Gelände wird durch die folgende Tbelle beschrieben: Eine Joggerin mit einer Körpermsse von 6 kg joggt berguf. Dbei bleibt der Energieverbruch pro Minute nicht konstnt und knn näherungsweise durch die folgende qudrtische Funktion beschrieben werden: f(t) =,5 t + 3 t + 66 min t 3 min t... Zeit in Minuten (min) f(t)... Energieverbruch in Kilojoule pro Minute (kj/min) zum Zeitpunkt t Der Gesmtenergieverbruch E während des Trinings lässt sich über diejenige Fläche berechnen, die der Grph der Funktion f mit der Zeitchse im Intervll [ min; t min] einschließt. Stellen Sie diejenige Gleichung uf, us der mn die Zeitduer berechnen knn, die die Joggerin berguf lufen müsste, um die gleiche Menge n Energie zu verbruchen, die sie für 3 min Joggen in der Ebene benötigt. 3

4 Aufgbe.7. Der Zusmmenhng zwischen dem Alter und der durchschnittlichen Höhe von Fichten knn näherungsweise mithilfe einer Funktion h beschrieben werden: h(t) = e b t t >... Alter in Jhren h(t)... durchschnittliche Höhe im Alter t in Metern >... Prmeter in m b >... Prmeter in Jhren In der nchstehenden Abbildung ist der Grph der momentnen Änderungsrte der durchschnittlichen Höhe eines Fichtenbestndes h (t) drgestellt. Interpretieren Sie die Bedeutung des Inhlts der schrffierten Fläche im gegebenen Schzusmmenhng. Aufgbe.8. Die Streckenlänge eines Mrthons beträgt 4,95 km. Der Verluf der Geschwindigkeit einer Mrthonläuferin lässt sich näherungsweise durch eine linere Funktion v beschreiben. Der Grph dieser Funktion ist in der nchstehenden Abbildung drgestellt. 4

5 Ermitteln Sie us der obigen Abbildung die Steigung dieser lineren Funktion. Interpretieren Sie b in der nchstehenden Gleichung im gegebenen Schzusmmenhng unter Angbe der entsprechenden Einheit. b v(t) dt = 4,95 km Aufgbe.9. Bei einer Bruchbiegeprüfung wird die Festigkeit von Mterilproben bestimmt. Unter Erhöhung des Betrgs der Krft F #» in Newton (N) wird die verurschte Verformung x in Millimetern (mm) ermittelt. Ds Krft-Verformungs-Digrmm beschreibt den Zusmmenhng von Krft und Verformung. Der Verluf einer Bruchbiegeprüfung n einer Holzprobe ist im nchstehenden Krft-Verformungs- Digrmm drgestellt. F (x) = 65 4 x x mit 8 x 5, ) Berechnen Sie die mximle Krft im drgestellten Bruchbiegeversuch mithilfe der Differenzilrechnung. b) Nch einer Verformung von 5, mm km es zum Bruch. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion F. Berechnen Sie die Arbeit W (W = F (x) dx), die bis zum Bruch verrichtet wurde. 5

6 Aufgbe.. Die drgestellte Funktion F ist eine Stmmfunktion von f. Bestimme den mrkierten Flächeninhlt. Aufgbe.. Der Entwurf für ds Ornment uf einem Sktebord wird in einem Koordintensystem drgestellt: Die mrkierten Frbflächen werden durch die Ränder des Sktebords und die Grphen folgender qudrtischer Funktionen begrenzt: e(x) =,4 x + f(x) =,4 x + 5 x... horizontle Koordinte in cm e(x), f(x), g(x), h(x)... vertikle Koordinte in cm h(x) =,4 x + 5 Der Grph der Funktion g entsteht durch Verschiebung des Grphen der Funktion h entlng der vertiklen Achse. Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g uf. Berechnen Sie die Koordinten der beiden Schnittpunkte der Grphen der Funktionen e und h. Berechnen Sie den Inhlt der schrffierten Fläche. 6

7 Aufgbe.. Ein Logo wird im Intervll [ 7 π ; π 6 6 oben bzw. unten begrenzt. Es soll mit Frbe usgefüllt werden. ] durch die Funktionen f und g nch g(x) = cos(x) + 3 f(x) = cos(x) + 6 Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhlts A zwischen den Funktionsgrphen von f und g im gegebenen Intervll uf. A = Berechnen Sie den entsprechenden Flächeninhlt. Aufgbe.3. Ein Schmuckstück wird gemäß untenstehender Skizze in den schrffierten Teilen mit Blttgold belegt. x... wgrechte Koordinte in cm f(x)... Funktionswert n der Stelle x in cm g(x)... Funktionswert n der Stelle x in cm Der Koordintenursprung des Koordintensystems liegt im Punkt M. Die Begrenzungslinien der Blttgoldfläche sind ußen Prbeln und innen ein Kreis. Die. Prbel wird durch die Funktion f(x) = 9 x + beschrieben, die. Prbel durch die Funktion g(x) = 9 x. ) Berechnen Sie die Länge s. b) Berechnen Sie, wie groß die Fläche ist, die mit Blttgold belegt werden soll. 7

8 . Flächeninhlt von Trpez: F (x) = (f() + f(x)) x = x + x (lterntiv: Rechteck und rechtwinkliges Dreieck) x F (x) , , ) 4,5 ) 36 3) 49,4... 4) 37,8 5) 3, ),3... 7), ),.4 )... n der Stelle x = ein lokles Minimum. )... ht f n der Stelle x = 5 einen Wendepunkt. (Änderung von positiver uf negtive Krümmung) 3)... ht f n der Stelle x = 3 einen Sttelpunkt. 4)... ist f(9) f(5) =,75, d.h. der Funktionswert von f ist n der Stelle x = 9 um,75 größer ls n der Stelle x = 5..5 ) 5)... ht (die Tngente n) f n der Stelle x = 5 die Steigung k = 7. 6 x dx = 8 ) 7 3 dx = 5 3) π sin(x) dx =.6 Die gesuchte Zeitduer T ist eine Lösung der Gleichung T f(t) dt = Der schrffierte Flächeninhlt beträgt h(6) h(3). Im Schzusmmenhng gibt der Wert n, um wie viel Meter die durchschnittliche Höhe des Fichtenbestnds im Zeitrum von t = 3 Jhre bis t = 6 Jhre wächst.,5 km/h.8 k = = km/h b ist die Lufzeit für die gesmte Mrthonstrecke in Stunden.,5 h.9 ) Die mximle Krft beträgt F () = 5 N. b) F (x) = 5 x W = 3 865,5... N mm. A = F () F ( 6) =. g(x) =,4 x Schnittpunkte: (3,69...,5), ( 3,69...,5) A = 4,49... cm. A = π 6 7 π 6 (f(x) g(x)) dx = 8, ) s = 3,... cm b) A = 5,8... cm 8

9 . Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung In der Skizze ist der Grph einer stetigen Funktion f drgestellt: Wie sieht der Grph der Funktion F (x) = x f(t) dt us? Verfolge den Comic und erkläre den Verluf des Grphen von F in eigenen Worten. Gehe dbei uch uf die besonderen Stellen (Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen) der beiden Grphen ein. 9

10 Aufgbe.. Skizziere den Grphen der Funktion F (x) = so gut du knnst. x f(t) dt. Die drgestellten Flächen hben den Inhlt A =, A =, A 3 = 4, A 4 =. Wo befinden sich die kritischen Stellen von F? Sind es lokle Minim, Mxim oder Sttelpunkte? An welchen Stellen ändert sich ds Krümmungsverhlten von F? Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: ) Wenn f eine stetige Funktion ist, dnn ist die Funktion F (x) = x f(t) dt eine Stmmfunktion von f, d.h. es gilt F (x) = f(x). ) Wenn F eine Stmmfunktion einer stetigen Funktion f ist, lso F (x) = f(x) gilt, dnn ist b f(x) dx = F (b) F (). Lss dir ds uf der Zunge zergehen: Um die Fläche zwischen dem Grphen irgendeiner stetigen Funktion f und der horizontlen Achse zu berechnen, bruchen wir nur eine Stmmfunktion von f zu finden. Untersummen, Obersummen, Grenzwertbildung der Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung nimmt uns ll dies b. Er ist ein whrer Meilenstein der Mthemtik, dieser Huptstz. Jetzt verstehen wir ihn noch gemeinsm. Für die nächste Seite ht die Menschheit Jhre gebrucht.

11 Mthemtik mcht Freu(n)de Trommelwirbel In der Begründung des Huptstzes sind Jhre Zivilistionsgeschichte enthlten. Der Grph einer stetigen Funktion f ist drgestellt. Wir betrchten die Funktion F (x) = Z x f (t) dt. In den Bildern siehst du die Flächeninhlte F (x ), F (x + h), F (x + h) F (x ) und h f (x ): Der Flächeninhlt F (x + h) F (x ) ist etw so groß wie h f (x ) mit kleinem Fehler. F (x + h) F (x ) h f (x ). Siehst du ds in den Bildern? Auch den Fehler? Um den Fehler genu zu beschreiben, nennen wir die Spnne zwischen dem kleinsten und dem größten Funktionswert von f uf dem Intervll [x ; x + h] bequem ε. ε ist in der Regel etws Kleines. Erkläre nhnd der Skizze rechts unten, dss unser Fehler höchstens h ε ist. Genuer, h f (x ) h ε F (x + h) F (x ) h f (x ) + h ε. Dividieren wir lles durch h, dnn erhlten wir F (x + h) F (x ) f (x ) + ε. h Ttsächlich folgt drus, dss f (x ) ε F (x + h) F (x ) = f (x ), h weil bei kleinem h bestimmt uch ε klein ist. lim h f ist j stetig. Andererseits ist j F (x + h) F (x ). So ist j die Ableitung definiert. h h Es gilt lso ttsächlich, dss F (x ) = f (x ). Ds ist gerde der Huptstz. F (x ) = lim

12 Begründung für Huptstz ) Erkläre, wrum jede Stmmfunktion von f die Burt F (x) = x f(t) dt + c, ht. Rechne nch, dss drus ttsächlich F (b) F () = folgt. b f(x) c R Beim Anwenden des Hupstzes wird trditionell folgende Schreibweise ls Zwischenschritt verwendet: 4 x dx = x 4 = 4 = 6 Erkläre, wie du diesen Flächeninhlt uch ohne Huptstz einfcher bestimmen knnst. Beim Differenzieren hben wir entdeckt, dss zwischen der Weg-Zeit-Funktion s(t), der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) und der Beschleunigung-Zeit-Funktion (t) die Zusmmenhänge s (t) = v(t) bzw. v (t) = (t) gelten. Beim Integrieren mit Untersummen und Obersummen hben wir eingesehen, dss t v(t) dt = s(t ) s(t ) bzw. (t) dt = v(t ) v(t ). t t Knnst du die Zusmmenhänge der letzten Zeile mit dem Huptstz erklären? t

13 Beispiel.. Der Grph einer qudrtischen Funktion verläuft durch den Nullpunkt und ht den Scheitel bei S = (3 9). Berechne den drgestellten Flächeninhlt: Lösung. Die Funktionsgleichung können wir uf verschiedenste Arten ufstellen: ) Scheitelpunktform und Punkt ( ) einsetzen: f(x) = (x x S ) + y S mit Scheitelpunkt S = (x S y S ) b) Fktorisierung mit Nullstellen und Punkt ( ) einsetzen: f(x) = x (x 6) c) Lineres Gleichungssystem lösen: f(x) = x + b x + c mit f() =, f(3) = 9, f (3) = In jedem Fll erhlten wir Der drgestellte Flächeninhlt beträgt lso A = 6 f(x) = x + 6 x. ( x + 6 x ) dx = x x 6 = = 36. Beispiel.3. Eine Funktion f erfüllt f() = 4 und 9 f (x) dx = 7. Berechne f(9). Lösung. Eine Stmmfunktion von f ist f, lso: 9 f 9 (x) dx = f(x) = f(9) f() = 7 = f(9) = 7 + f() = 3. 3

14 Erkläre und beschreibe die folgende Gleichung in eigenen Worten: b f (x) dx = f(b) f(). Beispiel.4. Welchen Wert ht ds bestimmte Integrl x dx? Lösung. Eine Stmmfunktion von f(x) = x = x ist Wir berechnen x F (x) = x = x. = ( ) = und sollten uns über ds negtive Ergebnis wundern, wo doch kein Funktionswert von f(x) = x negtiv ist. Wir können in diesem Beispiel nicht den Huptstz nwenden, weil die Funktion f im Intervll [ ; ] nicht stetig ist. Bei x = ht sie eine Polstelle: Ttsächlich gilt: x dx = 4

15 Mthemtik mcht Freu(n)de 3. Flächeninhlte zwischen Funktionsgrphen Die Grphen der Funktionen f und g schließen im Intervll [; 7] eine Fläche ein. Wie knnst du ihren Inhlt mit der Integrlrechnung bestimmen? Erkläre nhnd der Bilder, wrum der Flächeninhlt A= Z 7 f (x) dx Z 7 g(x) dx beträgt. D die Intervllgrenzen beider Intergle übereinstimmen, gilt A= Z 7 (f (x) g(x)) dx. Sind f und g stetige Funktionen mit f (x) g(x) für lle x im Intervll [; b], dnn ist Z b (f (x) g(x)) dx der Flächeninhlt zwischen den Grphen von f und g im Intervll [; b]. 5

16 Wir verschieben beide Funktionsgrphen um dieselbe Konstnte nch unten. Ws pssiert dbei mit dem Flächeninhlt zwischen den Funktionsgrphen? Der drgestellte Flächeninhlt ist in jedem der drei Bilder gleich groß, und zwr A = 7 (f(x) g(x)) dx. Ds Ergebnis hängt lso nicht dvon b, ob die Funktionswerte positiv oder negtiv sind. Es kommt nur druf n, dss f(x) g(x) ist. Beispiel 3.. Die Grphen der Funktionen f(x) = 4 x x und g(x) = 5 x + 5 x 44 5 sind drgestellt. Der mrkierte Flächeninhlt soll berechnet werden. ) Luks rechnet: A = 7 (f(x) g(x)) dx Erkläre, welchen Flächeninhlt er so berechnet. b) Stelle den Anstz richtig und berechne den gesuchten Flächeninhlt A. 6

17 Lösung. ) Luks berechnet dmit den Flächeninhlt, den f und g im Intervll [; 7] einschließen. Ds ist ber nicht der gesuchte Flächeninhlt, sondern der rechts drgestellte Flächeninhlt. b) Der gesuchte Flächeninhlt beträgt A = 7 f(x) dx 7 4 g(x) dx = = = 97 =,8.... Der Flächeninhlt, den die beiden drgestellten Funktionen im Intervll [; d] einschließen, soll berechnet werden: Erkläre, wrum d (f(x) g(x)) dx nicht der gesuchte Flächeninhlt ist. Drum berechnen wir zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen, lso die Lösungen der Gleichung f(x) = g(x). Der gesuchte Flächeninhlt ist dnn A = A + A + A 3 = b (g(x) f(x)) dx + c b (f(x) g(x)) dx + d c (g(x) f(x)) dx. Dieses Werk von Mthemtik mcht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4. Lizenz.