Schriftliche Überprüfung Mathematik. Gymnasien, Klasse 10

Transkript

1 Schriftliche Überprüfung Mthemtik, Klsse 0 Schuljhr 009/00 6. Februr 00 Unterlgen für die Lehrerinnen und Lehrer Diese Unterlgen enthlten: I II III Allgemeine Hinweise zur Arbeit Aufgben Erwrtungshorizonte, Punkteverteilung und Bewertung sü-m-lm Seite von 8

2 Schriftliche Überprüfung 00 I Allgemeine Hinweise zur Arbeit. Die zuständige Fchlehrkrft erhält die beiden Prüfungsteile (mit Aufgbe I) und (mit den Aufgben II, III, IV und V) und wählt us den Aufgben II, III, IV und V genu drei Aufgben us.. Zu Beginn der schriftlichen Überprüfung werden beide Prüfungsteile (Aufgbe I und die von der Fchlehrkrft usgewählten drei Aufgben, jedoch ohne Tschenrechner und ohne Formelbltt) n die Schülerinnen und Schüler verteilt. Bei Prüfungsteil erhlten nebeneinnder sitzende Schüler unterschiedliche Gruppen A/B. Eine Einlesezeit von bis zu 0 Minuten wird gewährt.. Die Arbeitszeit beträgt 5 Minuten. Für die Berbeitung des ersten Teils (Aufgbe I) stehen bis zu 45 Minuten zur Verfügung. Nch Abgbe des ersten Teils erhält der Schüler/die Schülerin seinen/ihren Tschenrechner und ds Formelbltt usgehändigt. Für die Berbeitung des zweiten Prüfungsteils steht der verbleibende Rest der Arbeitszeit zur Verfügung. 4. Die Aufsicht übernimmt eine Lehrkrft, die nicht in der Klsse unterrichtet. 5. Zugelssene Arbeitsmittel: Tschenrechner (nicht progrmmierbr, nicht grfikfähig), Formelbltt, Rechtschreiblexikon. 6. Vor Beginn der Arbeit werden die Schülerinnen und Schüler ufgefordert, die Aufgbenblätter und gegebenenflls zugehörige Anlgen mit ihrem vollen Nmen (Vor- und Zunme) sowie der Angbe der Klsse zu versehen. 7. Die Aufgbe I wird uf dem Aufgbenbltt berbeitet. Für die Berbeitung der drei Aufgben des Prüfungsteils ist seprtes Ppier zu verwenden. 8. Die Aufgbenstellung drf von der Aufsicht nicht erläutert werden, uch nicht einzelnen Schülern. Ds Verständnis der Aufgbenstellung gehört mit zur verlngten Leistung. 9. Jede Fchlehrkrft einer 0. Klsse korrigiert einen Klssenstz, ber nicht den ihrer eigenen Klsse. 0. Die Arbeit wird nch dem in den Erwrtungshorizonten vorgegebenen Rhmen korrigiert.. Die Zensurengebung erfolgt nch dem uf Seite 8 gegebenen Schem; uch Tendenzngben (+/ ) sind dnch vorgesehen. Zur zentrlen Auswertung sind nur gnze Noten (ohne die Tendenzngben) zurückzumelden.. Treten beim Korrigieren größere Probleme bzgl. der Bepunktung uf, so sind Rückfrgen möglich beim Fchreferenten Mthemtik, Herrn Renz, Tel , Fx , E-Mil: werner.renz@bsb.hmburg.de. sü-m-lm Seite von 8

3 Schriftliche Überprüfung 00 II Aufgben Gruppe A. Von den jeweils ngebotenen Lösungen ist immer genu eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstben A, B, C oder D in die Splte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlngt. (4 P) Aufgbe A B C D Lösung ) ( x + 7) = x + 7x+ 49 x + 4x+ 49 x + 49 x 4x+ 49 b) Eine Rechnung lutet uf 57 inklusive 9 % Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer beträgt 00,00 67,00 57,00 9,00 c) R H h r r H h = R r H = R h r R = h H r H R = h Ws gilt? d) h h= h= h= h = Ws gilt? e) 5! = f) 7 m 5 = 7 0 cm cm cm cm g) 5 = 4 5 h) 4 = sü-m-lm Seite von 8

4 Schriftliche Überprüfung 00 Aufgbe A B C D Lösung i) Ein Würfel wird -ml hintereinnder geworfen. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, -ml eine sechs zu würfeln? j) log = k) Eine Kugel mit dem Rdius m besteht us Blei. Wie viele Bleikugeln mit dem Rdius 0,5 m knn mn us derselben Bleimenge herstellen? l) 45 Ds bgebildete Dreieck ist rechtwinklig. Ws gilt? cos 45 = tn 45 = sin 45 = sin 45 = m) Welcher Grph gehört zu f( x) = 0,5x+? n) π 5 π 4 π π Wie groß ist der Anteil der Kreisfläche m Qudrt? sü-m-lm Seite 4 von 8

5 Schriftliche Überprüfung 00. Gleichungen. Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen. ) (x+ 6) ( x 4) = 0 (4P) b) x 4 = x 6 Hinweis: Prüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt. (5P) c) 4 x = (P) 8 sü-m-lm Seite 5 von 8

6 Schriftliche Überprüfung 00. Grphen (P) Die Abbildung zeigt Teile der Grphen von f ( ) x = x, f ( ) x = 0,x, f ( ) x = x und ( ) x f 4 4 x =. Ordne die Grphen mit den Buchstben, b, c und d den Funktionsgleichungen zu. Funktion Grph f ( ) x = x f ( ) x = 0,x f ( ) x = x ( ) x f 4 4 x = 4. Whrscheinlichkeit (5P) Aus einem Krtenspiel mit Krten (Kreuz, Pik, Herz, Kro sind gleich oft vertreten) werden drei Krten gezogen. ) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, mit Zurücklegen dreiml Kreuz zu ziehen? b) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen dreiml Kreuz zu ziehen? Hinweis: Gib die Whrscheinlichkeiten ls Bruch n. sü-m-lm Seite 6 von 8

7 Schriftliche Überprüfung 00 Gruppe B. Von den jeweils ngebotenen Lösungen ist immer genu eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstben A, B, C oder D in die Splte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlngt. (4P) Aufgbe A B C D Lösung ) ( x + 7) = x 4x+ 49 x + 49 x + 4x+ 49 x + 7x+ 49 b) Eine Rechnung lutet uf 57 inklusive 9 % Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer beträgt 9,00 57,00 67,00 00,00 c) R H h r r H h = R r R = h H r H = R h r H R = h Ws gilt? d) h h = h= h= h= Ws gilt? e) 5! = f) 7 m = cm cm cm cm g) 5 = 5 4 h) 4 = sü-m-lm Seite 7 von 8

8 Schriftliche Überprüfung 00 Aufgbe A B C D Lösung i) Ein Würfel wird -ml hintereinnder geworfen. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, -ml eine sechs zu würfeln? j) log = k) Eine Kugel mit dem Rdius m besteht us Blei. Wie viele Bleikugeln mit dem Rdius 0,5 m knn mn us derselben Bleimenge herstellen? l) 45 Ds bgebildete Dreieck ist rechtwinklig. Ws gilt? sin 45 = sin 45 = tn 45 = cos 45 = m) Welcher Grph gehört zu f( x) = 0,5x+? n) π π π 4 π 5 Wie groß ist der Anteil der Kreisfläche m Qudrt? sü-m-lm Seite 8 von 8

9 Schriftliche Überprüfung 00. Gleichungen. Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen. ) (x 4) ( x+ ) = 0 (4P) b) x 5 = x 8 Hinweis: Prüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt. (5P) c) 4 x = (P) 6 sü-m-lm Seite 9 von 8

10 Schriftliche Überprüfung 00. Grphen (P) Die Abbildung zeigt Teile der Grphen von f ( ) x = x, f ( ) x = x, ( ) x f 4 x = und f ( ) 4 x = 0,x. Ordne die Buchstben den Funktionsgleichungen zu. Funktion Grph f ( ) x = x f ( ) x = x ( ) x f 4 x = f ( ) 4 x = 0,x 4. Whrscheinlichkeit (5P) Aus einem Krtenspiel mit Krten (Kreuz, Pik, Herz, Kro sind gleich oft vertreten) werden drei Krten gezogen. ) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, mit Zurücklegen dreiml Herz zu ziehen? b) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen dreiml Herz zu ziehen? Hinweis: Gib die Whrscheinlichkeiten ls Bruch n. sü-m-lm Seite 0 von 8

11 Schriftliche Überprüfung 00 Idee der Zhl und des Messens Aufgbe II: Die Schukel (P) Herr Mier kuft für seine Tochter Els eine gebruchte Schukel im Internet. Die Schukel befindet sich insgesmt in einem guten Zustnd. Lediglich die beiden Hlterungen, n denen die Seile der Schukel befestigt werden, muss er etws versetzen und in einem Abstnd von m voneinnder nbringen, d die vorhndenen Bohrungen nicht mehr zu verwenden sind. Die Seile, n denen ds Sitzbrett befestigt wird, ht Herr Mier neu gekuft. ) An beiden Seiten ist der obere Querblken uf zwei Stützen ngebrcht, die in einem Winkel von 40 in einer Höhe von h =,0 m zusmmen lufen. Berechne den Abstnd d, in dem die beiden Stützen voneinnder entfernt im Boden eingesetzt werden müssen. Die Dicke der Blken knn vernchlässigt werden.(4p) 40 h d b) Herr Mier will die Hlterungen,0 m über dem Boden n der Unterseite des oberen Querblkens nbringen. Ds 40 cm breite Sitzbrett soll in Ruhelge genu 40 cm über dem Boden sein. Bestimme die Länge der benötigten Seile und ermittle den Winkel α. (9P) m 40 cm,0 m Nun ht Herr Mier ber nicht berücksichtigt, dss sein Grten uneben ist. Wie in der nebenstehenden Skizze zu sehen, ist der Querblken schief. Nch geschicktem Probieren schfft es Herr Mier, ds Sitzbrett in die Wgerechte zu bringen. Ein Nchmessen ergibt, dss ds rechte Seil,78 m, ds linke,68 m lng ist. Zudem misst er noch die eingezeichnete Digonle e mit e =,79 m. Els befürchtet schon, dss sie sich nicht richtig festhlten knn, d die Seile doch völlig schief seien. m e d c) Zeige, dss die beiden Winkel β und ε m Sitzbrett jeweils etw 00 betrgen. (9P) sü-m-lm Seite von 8

12 Schriftliche Überprüfung 00 Idee von Rum und Form Aufgbe III: Mülltonne (P) Zum Smmeln von Müll werden in vielen Ländern zylindrische Mülltonnen verwendet. Die bgebildete Mülltonne ht gemäß Herstellerngben einen Durchmesser von 4,0 cm und eine Höhe von 8,5 cm. ) Bestätige, dss ds Volumen der Mülltonne etw 6 Liter beträgt. Hinweis: l = dm. (P) Herr Müller und seine Fru smmeln den Müll zunächst in 5-l-Beuteln. Diese knotet Herr Müller stets ordentlich zu, wenn sie voll sind. Es pssen jedoch nur sechs dieser Beutel in die Mülltonne, worüber Herr Müller sich ärgert. Seine Fru sgt: Wenn wir den Inhlt der Müllbeutel in die Mülltonne entleeren, psst fst 0 % mehr Müll in die Tonne. b) Bestätige die Aussge von Fru Müller. (4P) Die Mülltonne besteht us Sthlblech. cm Sthl wiegt 7,9 g. Die Hersteller überlegen, für die Herstellung der Mülltonne ein dickeres Sthlblech ls bisher zu verwenden, dmit die Tonnen stbiler werden. Dmit mn die volle Tonne noch hochheben knn, drf sie jedoch in leerem Zustnd nicht mehr ls 4 kg wiegen. c) Bestimme wie dick ds Sthlblech dnn höchstens sein drf. Der Deckel soll hierbei vereinfcht ls Kreisscheibe betrchtet werden, jeder der drei Griffe wiegt 50 g. Gib ds Ergebnis in Millimeter uf zwei Nchkommstellen genu n. (6P) Die Männer von der Müllbfuhr hben den Deckel nicht wieder uf die Tonne gelegt und es ht geregnet. Als Herr Müller die Tonne m Abend n ihren Pltz räumen will, sind 7 Liter Wsser in der Mülltonne. l Üblicherweise wird die Niederschlgsmenge in ngegeben. m d) Berechne, wie groß die Niederschlgsmenge n diesem Tg in l m gewesen ist. (P) Aus Mülltonnen, deren Öffnung größer ls der Boden ist, lässt sich der Müll leichter wieder entfernen. Die Stdtwerke erwägen, den Betrieb uf solche Tonnen umzustellen. Ds Volumen soll dsselbe bleiben. Auch die Bodenfläche muss us Gründen der Stndfestigkeit gleich bleiben. Die Höhe soll us technischen Gründen 70 cm betrgen. e) Entscheide, ob die Stdtwerke den Betrieb uf die neuen Tonnen umstellen können, wenn der Durchmesser der Öffnung der neuen Tonnen höchstens 55 cm betrgen drf. Hinweis: Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes: V = πh( r + r + rr ) (6P) sü-m-lm Seite von 8

13 Schriftliche Überprüfung 00 Idee des funktionlen Zusmmenhngs Aufgbe IV: Wchstum im Internet (P) Der Betreiber der Website Friendfce nlysiert die Besucherzhlen (pro Tg) der letzten Monte: Zeitpunkt Besucher pro Tg Zu Beginn (t = 0) nch einem Mont (t = ) nch zwei Monten (t = ) ) Er sieht in der Sttistik klre Anzeichen für ein exponentielles Wchstum der Besucherzhlen. Begründe, wrum die Funktion f mit f() t = 50000, t geeignet ist, um ds ngenommene exponentielle Wchstum zu beschreiben. Berechne die nch diesem Anstz zu erwrtenden Besucherzhlen für die nächsten drei Monte und trge die Werte in ds gegebene Koordintensystem im Anhng ein. Der Buchhlter von Friendfce ht usgerechnet, dss die Firm b Besuchern pro Tg profitbel sein wird. Berechne den Zeitpunkt, zu dem dieser Wert erreicht wird. b) Entscheidend für den Erfolg der Website ist uch, ob sie sich lngfristig gegenüber ihren Mitbewerbern durchsetzen knn. Die Besucherzhlen der Konkurrenzseite Freundeskrtei entwickeln sich zurzeit gemäß der Funktion g mit ( ) 0 000,0 t gt =. Begründe ohne Rechnung durch Argumenttion, dss unter den bisher gemchten Annhmen die Besucherzhlen von Friendfce diejenigen von Freundeskrtei überholen werden. (8P) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem ds pssieren wird. (7P) c) Der für Friendfce zuständige Kundenberter von der Bnk beurteilt die Wchstumsprognosen für die Friendfce-Website deutlich nders. Er interpretiert die Besuchersttistik der letzten Monte (siehe obige Tbelle) vielmehr ls lineres Wchstum und schlägt die Funktion k mit kt ( ) = 5 50 t zur Beschreibung der Entwicklung vor. Begründe, wrum der Kundenberter die Koeffizienten der Funktion genu so gewählt ht. Beurteile ohne Rechnung die Chncen von Friendfce, gemäß der neuen Wchstumsprognose den Konkurrenten Freundeskrtei zukünftig bezüglich der Besucherzhlen zu übertreffen. (7P) sü-m-lm Seite von 8

14 Schriftliche Überprüfung 00 Anlge zur Aufgbe Wchstum im Internet Besucher pro Tg Zeit in Monten sü-m-lm Seite 4 von 8

15 Schriftliche Überprüfung 00 Idee der Whrscheinlichkeit Aufgbe V: Medikmententest (P) Eine selten uftretende Krnkheit verurscht Anfälle von strken Kopfschmerzen. Diese Anfälle treten morgens uf und duern einige Stunden. Ds beknnte Kopfschmerz-Medikment Aspechtin hilft bei einem Teil der Ptienten, durch tägliche Einnhme vorbeugend die Kopfschmerzen zu verhindern. Inzwischen ist ein neues Medikment Bollibrin uf den Mrkt gekommen. Eine Forschergruppe ht in einer Studie beide Medikmente n 00 von der Kopfschmerzkrnkheit betroffenen Personen zweiml 80 Tge lng getestet: zuerst mit Aspechtin und nch einiger Zeit ohne Mediktion uch mit dem neuen Medikment Bollibrin. Die Ergebnisse der Studie sind in den bgebildeten Tbellen nebeneinnder gestellt, wobei positiv bedeutet, dss die Kopfschmerzen über die gnze Testzeit nicht uftrten. Die Bezeichnung negtiv steht jeweils für ds Gegenteil. Testergebnis: Aspechtin Testergebnis: Bollibrin positiv negtiv positiv negtiv Fruen 4 5 Fruen 5 44 Männer 4 6 Männer 54 5 ) Gib die Whrscheinlichkeit n, bei einer zufälligen Auswhl einer getesteten Person eine Fru mit negtivem Aspechtin-Testergebnis uszuwählen. (P) b) Berechne für die Gruppe der getesteten Fruen und die Gruppe der getesteten Männer getrennt die reltiven Häufigkeiten positiver Erfhrungen mit Aspechtin und die reltiven Häufigkeiten positiver Erfhrungen mit Bollibrin. Stelle die reltiven Häufigkeiten ls Säulen in dem vorbereiteten Säulendigrmm dr (s. Anlge). (8P) c) Die Dten von Männern und Fruen werden zusmmen betrchtet: Berechne für Aspechtin und Bollibrin jeweils die reltiven Häufigkeiten positiver Ergebnisse unter llen getesteten Ptienten. d) Knn mn us den Dten schließen, dss Bollibrin ds wirksmere Medikment ist? für jede von der Krnkheit betroffene Person ds wirksmere Medikment ist? Begründe in beiden Fällen deine Antwort. (P) (6P) Die Kopfschmerzen treten bei Betroffenen zufällig und stochstisch unbhängig uf und zwr z.b. bei Fru Meyer im Mittel einml in 0 Tgen (wie schon erwähnt: morgens für einige Stunden). Deshlb müsste beim Testen eigentlich uch die Möglichkeit bedcht werden, dss die Kopfschmerzen rein zufällig usgeblieben sind. e) Bestimme die Whrscheinlichkeit, dss Fru Meyer ohne Mediktion 80 Tge lng keine Kopfschmerzen ht. (4P) sü-m-lm Seite 5 von 8

16 Schriftliche Überprüfung 00 Anlge zur Aufgbe Medikmententest, Teil ) Reltive Häufigkeit von positiven Erfhrungen/ Ergebnissen,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, A B A B Fruen Männer A: Aspechtin B: Bollibrin sü-m-lm Seite 6 von 8

17 Schriftliche Überprüfung 00 III Erwrtungshorizonte, Punkteverteilung und Bewertung Aufgbe I Gruppe A/B Lösungsskizze Zuordnung Bewertung Gruppe A Gruppe B I II III. ) x + 4x+ 49 B C b) 57,00 C B c) r R = C B h H d) h = D A e) 0 C B 6 f) 7 0 cm B C 4 g) C B h) 6 C B i) 6 D A j) A D k) 8 C B l) tn 45 = B C m) A D n) π 4 B C sü-m-lm Seite 7 von 8

18 Schriftliche Überprüfung 00 Lösungsskizze Zuordnung Bewertung Gruppe A Gruppe B I II III. ) (x+ 6) ( x 4) = 0 Die einzelnen Fktoren sind gleich Null zu setzen, dnn ergibt sich x = 4 sofort und x = nch einem weiteren Rechenschritt. Ausmultiplizieren und ds Lösen einer qudrtischen Gleichung gilt uch ls korrekter Lösungsweg. Auch ds Ablesen us der fktorisierten Form ist möglich. (x 4) ( x+ ) = 0 Die einzelnen Fktoren sind gleich Null zu setzen, dnn ergibt sich x = sofort und x = nch einem weiteren Rechenschritt. Ausmultiplizieren und ds Lösen einer qudrtischen Gleichung gilt uch ls korrekter Lösungsweg. Auch ds Ablesen us der fktorisierten Form ist möglich. 4 b) x 4 = x 6 x ( x 6) = 8 x 6x= 8 x 6x+ 8= 0 x, = ± 9 8 x = 4 x = Die Gleichung ist für beide Ergebnisse definiert. Fehlt dieser Hinweis uf die Definitionsmenge, ist P. bzuziehen. x 5 = x 8 x ( x 8) = 5 x 8x= 5 x 8x+ 5= 0 x, = 4± 6 5 x = 5 x = Die Gleichung ist für beide Ergebnisse definiert. Fehlt dieser Hinweis uf die Definitionsmenge, ist P. bzuziehen. c) 4 x = 8 x = x = x 4 = 6 x = x =. Die Zuordnung gelingt durch Betrchtung des Steigungsverhltens und der y-achsenbschnitte. Funktion Grph f ( ) x = x f ( ) x = c 0,x f ( ) x = b x ( ) x f 4 4 x = d Die Zuordnung gelingt durch Betrchtung des Steigungsverhltens und der y-achsenbschnitte. Funktion Grph f ( ) x = b x f ( ) x = x ( ) x f 4 x = d f ( ) 4 x = c 0,x sü-m-lm Seite 8 von 8

19 Schriftliche Überprüfung 00 Lösungsskizze Zuordnung Bewertung Gruppe A Gruppe B I II III 4. ) -ml Kreuz mit Zurücklegen: P (drei Ml Kreuz) = = =. 64 b) -ml Kreuz ohne Zurücklegen: P (drei Ml Kreuz) = 0 7 = =. 60 ) -ml Herz mit Zurücklegen: P (drei Ml Herz) = = =. 64 b) -ml Herz ohne Zurücklegen: P (drei Ml Herz) = 0 7 = =. 60 Insgesmt 4 BWE sü-m-lm Seite 9 von 8

20 Schriftliche Überprüfung 00 Aufgbe II Die Schukel Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III ) Durch die Teilung des gleichschenkligen Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke lässt sich mit Hilfe des Tngens die Seite d wie folgt berechnen: d tn 0 =, d =, tn 0 d =,tn0 d =,60... Der Abstnd beträgt lso etw,6 m. 0,0m d b) D sich die Hlterungen,0 m über dem Boden befinden und ds Sitzbrett 40 cm über dem Boden sein soll, beträgt der Abstnd zwischen Brett und Unterknte der oberen Stnge =,80 m. b = (00 cm 40 cm) : = 0 cm. Mit Hilfe des Stzes von Pythgors folgt: c² = 0² + 80² c = 8,48... Die Seile müssen lso jeweils c. 8,5 cm lng sein. Zum Beispiel mit Hilfe des Tngens im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich: 0 tn β = 80 β = 9,46... α= 90 + β 99,5 Der Winkel α ht eine Größe von c. 99,5. 7 sü-m-lm Seite 0 von 8

21 Schriftliche Überprüfung 00 Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III c) Zur Berechnung des Winkels β knn mn den Kosinusstz nwenden: 79² = 40² + 68² cos β β 99,494 99,5 e Mit Hilfe des Sinusstzes ergibt sich: sin η sin 99,5 = sin 99,5 sin η = 79 η 67,8 Betrchtet mn nun ds rechte Dreieck, ergibt sich us dem Kosinusstz: 00² = 79² + 78² cos μ μ,5 Schließlich gilt ε =,5 + 67,8 = 00,. Dmit ist gezeigt, dss die beiden Winkel jeweils etw 00 betrgen. 5 4 Insgesmt BWE sü-m-lm Seite von 8

22 Schriftliche Überprüfung 00 Aufgbe III Mülltonne Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III ) V = π r h= π 8,5 = 5684, cm = 5,648 dm 6 l. b) Mit 6 zugeknoteten 5 l Beuteln pssen 90 l Müll in die Tonne. Entleert mn die Beutel, pssen 6 l Müll in die Tonne. 6l, % 90l Fru Müller ht Recht. Es pssen ttsächlich fst 0 % mehr Müll in die Tonne. c) O π r ( r h) π ( ) = + = + 8,5 788,45. Ds Mximlgewicht der Tonne ohne die drei Griffe beträgt g 50 g = 550 g. d sei die Dicke des Sthlblechs. Dnn gilt: 550 = 788,45 d 7,9 550 d = 0,49 788, 45 7, 9 0,4 9 cm =,4 9 mm. Ds Blech drf höchstens,4 mm dick sein. 4 d) Grundfläche der Mülltonne in m : π 0, = 0, l x = x = 50,5... 0,85... Es ht n diesem Tg lso mehr ls 50 Liter pro Qudrtmeter geregnet. e) Die neuen Tonnen sollen folgende Abmessungen hben: Bodendurchmesser: 4 cm Höhe: 70 cm Durchmesser der Öffnung: mximl 55 cm. Eine Mülltonne mit diesen Dten ht ein Volumen von V = π h ( r + r + rr ) V = π ,5 + 7,5 V = 0095, ( ) sü-m-lm Seite von 8

23 Schriftliche Überprüfung 00 Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III Eine Tonne mit dem mximlen Durchmesser von 55 cm ht ein Volumen von etw 0 Litern, lso mehr ls die geforderten 6 Liter. Dmit ist eine Umstellung uf die neuen Tonnen möglich. Alterntive: Berechnet wird der obere Durchmesser einer Tonne mit den neuen Dten, ber mit gleichem Volumen: V = π h ( r + r + rr ) 6000= π 70 ( + r + r) 0 = r + r + 58,45 r + r 4, 45= 0 r, = 0, 5± 0,5+ 4, 45 r = 4, r = 45, keine Lösung im Schkontext d = 49,75... D der Durchmesser der Öffnung der neuen Tonnen kleiner ls 55 cm ist, knn der Betrieb umgestellt werden. Insgesmt BWE 5 5 sü-m-lm Seite von 8

24 Schriftliche Überprüfung 00 Aufgbe IV Wchstum im Internet Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III ) Die Annhme exponentiellen Wchstums verlngt gleiche Wchstumsfktoren in gleichen Zeitintervllen. Hier beträgt der Wchstumsfktor für beide Monte jeweils = =,. Die Bedingung ist somit erfüllt Der Anfngswert ist Die zu erwrtenden Besucherzhlen für die nächsten Monte sind: Zeit Besucher pro Tg t = t = t = Es gilt: t = , t, = log t = =,5... log, Zur Zeit t,5, lso etw Mitte des. Monts, wird die Zhl von Besuchern pro Tg erreicht. 5 sü-m-lm Seite 4 von 8

25 Schriftliche Überprüfung 00 Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III b) Die Freundeskrtei ht zwr zurzeit noch höhere tägliche Besucherzhlen, der Wchstumsfktor beträgt ber lediglich,0, so dss Friendfce mit einem Wchstumsfktor von, Freundeskrtei in bsehbrer Zeit überholen wird. Berechnung des Zeitpunktes, zu dem Freundeskrtei von Friendfce überholt wird: t t 0 000,0 = , log t log,0 = log t log, t log, t log,0= log0000 log50000 t ( log, log,0) = log log log log t = log, log,0 t =,... Friendfce wird bei weiterhin gleichbleibendem Wchstum Freundeskrtei nch c., Monten bezüglich der Besucherzhlen überholen. 5 c) Für den y-achsenbschnitt, lso k(0) wurde der Strtwert (t = 0) übernommen. Die Steigung der Funktion ergibt sich, wenn mn den Strtwert und den Wert des. Monts zugrunde legt: Δy m = = = = 550. Δx 0 Alterntive Lösungsmöglichkeit: Der montliche Zuwchs für den. Mont beträgt 5000 Besucher pro Tg, der montliche Zuwchs für den. Mont beträgt 5500 Besucher pro Tg. Der Mittelwert ist eben gerde die Steigung m = 550. Der derzeitige (t = 0) Zuwchs von Friendfce (5 50 Besucher pro Tg) übersteigt zwr den Zuwchs von Freundeskrtei ( % 600 Besucher pro Tg), es ist ber bsehbr, dss sich ds exponentielle Wchstum von Freundeskrtei uf lnge Sicht gegenüber dem lineren Wchstum durchsetzen wird. Eine rechnerische Überprüfung (die nicht gefordert ist) würde sogr ergeben, dss die Besucherzhl von Friendfce jene von Freundeskrtei zu keinem Zeitpunkt übertreffen wird. Andere Begründungen sind möglich. 5 Insgesmt BWE 5 4 sü-m-lm Seite 5 von 8

26 Schriftliche Überprüfung 00 Aufgbe V Medikmententest Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III ) 5 0,65 6,5 % 00 = =. Eine Drstellung der gesuchten Whrscheinlichkeit genügt. b) Weibliche Ptienten: Aspechtin: 4 0,44 95, Bollibrin: 5 0, Männliche Ptienten: Aspechtin: 4 0, =, Bollibrin: 54 0,54 05.,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, Reltive Häufigkeit von positiven Erfhrungen/Ergebnissen 0, A B A B Fruen Männer 4 4 sü-m-lm Seite 6 von 8

27 Schriftliche Überprüfung 00 Lösungsskizze Zuordnung Bewertung I II III c) Aspechtin: 84 0,4 00 = ; Bollibrin: 05 0,55 00 =. d) Die Unterschiede der positiven Ergebnisse sind deutlich: Bei den 00 Personen sind es 05 bei Bollibrin gegenüber 84 bei Aspechtin. Mn könnte lso bei ller Vorsicht gegenüber einer zufälligen Auswhl der 00 Testpersonen behupten, dss Bollibrin im Mittel wirksmer ist ls Aspechtin. Es könnte sein, dss Ptienten unterschiedlich uf die beiden Medikmente regieren. Ds knn mn mit den Dten us den beiden Tbellen ber überhupt nicht feststellen, dzu müsste mn z.b. für jede einzelne Testperson beide Ergebnisse kennen. Deshlb ist es unzulässig zu behupten, dss bei llen von der Krnkheit betroffenen Personen Bollibrin ds wirksmere Medikment ist. Bemerkung: Die sehr geringe Stichprobengröße von 00 Personen lässt eigentlich zuverlässige sttistische Schlüsse uch uf die erste Frge kum zu. Dies festzustellen, wird von den Schülerinnen und Schülern nicht erwrtet, sollte ber ggf. ntürlich positiv bewertet werden. Ds Gleiche gilt für ndere sinnvolle kritische Würdigungen der Dten. e) Die Whrscheinlichkeit für Fru Meyer, n einem beliebig usgewählten Tg Kopfschmerzen zu bekommen, beträgt 0. 9 Die Gegenwhrscheinlichkeit ist p =. 0 Die Whrscheinlichkeit, n beliebig usgewählten ufeinnder folgenden 80 Tgen keine Kopfschmerzen zu bekommen, beträgt wegen der ngenommenen 80 Unbhängigkeit p 0,00. Insgesmt BWE sü-m-lm Seite 7 von 8

28 Schriftliche Überprüfung 00 Bewertung: Bewertungseinheiten Note < 9 6 sü-m-lm Seite 8 von 8