Ntoneni-be Berechnung der.kennwerte J4helwerY und,,streuung von Funktionen

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1 FOLGE 18 LENZINGER BERICHTE A UG UST 196J Ntoneni-e Berechnung der.kennwerte J4helwerY und,,streuung von Funktionen Dipl.-Ing. Wilhelm Herzog, Wien Die vorliegende Areit eschäftigt sich mit dem Fll, dß die Merkmle, deren rithmetische Mittelwerte und deren Streuung erechnet werden sollen, mit den n einer Stichproe gemessenen Merkmlen in einem estimmten funktionellen Zusmmenhng stehen. Es wird ufgezeigt und mit Anwendungseispielen elegt, dß mn in diesem Fll mit genügender Genuigkeit für den jeweils in Frge stehenden Bereich die Funktion durch eine linere Funktion ngleichen knn. Mit Hilfe der lineren Funktion lssen sich die Kennwerte der Merkmle us den Kennwerten der Meßwerte errechnen. Durch diesen Weg erreicht mn eine wesentliche Verkürzung der Auswertezeit ei Meßreihen. The present Pper is concerned with cses in which there is certin functionl correltion etween properties, the rithmetic mens nd Vrition of which re to e clculted, nd properties determined through mesurements of representtive smples. lt hs een shown nd demonstrted through prctfcl ppliction tht in such cses functions, within the rnges under considertion, my e pproximted wjth dequte ccurcy to liner functions. Chrcteristic vlues of properties my e clculted from chrcteristic vlues of mesured quntities wfth the help of such liner functions. Considerle time svings will thus result in evluting test series. In vielen Fällen stehen die Merkmle yi, deren rithmetischer Mittelwert y und deren Streuung sy2 ls Kennwerte einer Stichproe estimmt werden sollen, mit den Mreßwerten Xi, welche n der Stichproe gemessen werden, in einem funktionellen Zusmmenhng y = f (x). Es ietet sich nun der Weg n, us jedem Meßwert Xi ds Merkml yi = f (Xi) ZU errechnen und schließlich us den so errechneten Werten yi den Mittelwert y und die St.reuung sy2 zu errechnen. Dieser Weg wird jedoch, esonders dnn, wenn es sich um eine große Zhl von M:eßwerten hndelt, sehr zeitufwendig sein und ei einer großen Zhl N von Einzelwerten für eine routinemäßige Prüfuswertung, wie dies z. B. ei einer lufenden Produktionskontrolle der Fll ist, nicht in Frge kommen. In diesem Fll wird mn us den Meßwerten xi mit einem nch rtionellen Gesichtspunkten gut durchdchten Auswerteverfhren us den Meßwerten Xi den rithmetischen Mittelwert X und die Streuung sx2 estimmen und hierus mit einer einmligen Rechnung den Mittelwert 7 und die Streuung sy2 errechnen. Solnge es sich ei dem funktionellen Zusmmenhng y = f (x) um eine linere Funktion der Form y = xf hndelt, ist diese Umrechnung der Mittelwerte exkt und ereitet keinerlei Schwierigkeiten. Hndelt es sich jedoch ei y = f (x) um keine linere Funktion, so ist eine exkte Umrechnung der Kennwerte nicht mehr möglich. Bei jeder prktischen Routi:neprüfung läßt sich jedoch der Bereich [xa, xb], in dem die zu erwrtenden Meßwerte xi liegen werden, von vornherein us Erfhrung festlegen. Somit erscheint für die Umrechnung der Kennwerte nur ein estimmter Bereich [x,, xb] zw. [y-k = f(xn), y13 = f (xß)] von Interesse. In fst llen Fällen der prktischen Routineprüfung ht es sich nun gezeigt, dß mn die gegeene Funktion y = f (x) in dem Bereich [x,, xs] durch eine linere Näherungsfunktion y - 47 (x) =. x i- mit usreichlender Genuigkeit pproximieren knn. Im folgenden sollen, nchdem vorerst die exkte Umrechnung der Kennwerte ei lineren Funktionen ehndelt wird, Anleitungen für die Aufstellung der lineren Näherungsfunktionen gegeen werden. Errechnung der Kennwerte,,Mittelwert und,,streuung ei lineren Funktionen: Xi Meßwert yi Merkml 1 y = f(x) =.xf 1 Mittelwert: y = k z f (x) = $ ; (xi k ) = =~~~,xi~n]~ ~~,xi~= Streuung: sy2 = kl z 17 - f (xi)l = Beispiele: Umrechnung +, =& - I( Y * ) - ( xi * )] = = j-&-j t+ [z (X--Xi) ] = i 1 = &! (X-Xi)2 s, der Grnnummer: Funktion: Mittelwert: Streuung: Ne = 0,59. Nm Ne = 0,59. Nm sne2 = 0,5g2. sxrn2

2 POL GE 18 LENZINGER BERICHTE d UG UST 196j Fserfestigkeitsprüfung: M... Meßereich v.,. Korrektur des Vorspnngewichtes A... Alesewert P... Reißkrft Funktion: P = l$ V Mittelwert: P = k V 100 Streuung: sp2 = M 2. s.p ( 1 Errechnung der Kennwerte,,Mittelwert und,,streuung ei nichtlineren Funktionen: Xi Meßwert yi Merkml 1 Y=f(x) ( Approximtion der Funktion y = f (x) durch eine Näherungsfunktion q (x) =, x i-. y = f (x) - q (x) =. x -l- Für die Aufstellung einer Näherungsfunktion ieten sich folgende Verfhren n: 1. Tylor sche Reihe: Ist die Funktion y = f (x) in einem Intervll x, is x, i- h einschließlich der Grenzen des Intervlles und smt ihren Aleitungen stetig, so gilt die folgende Reihenentwicklung, welche ls Tylor sche Reihe eknnt ist: y=f(x)=f(x,+h)=f(x,,)+h.f (X,)+;.f (x,,)+....,. + g. f (x,) + R, Hieei wird von einem Wert x, usgegngen und h ist die Differenz der x-werte zu dem x,-wert. h=x-x, Will mn nun die Funktion f (x) durch eine linere Näherungsfunktion q (x) =. x 4- ngleichen, so richt mn die Tylor sche Reihe nch dem zweiten Glied und erhält: y = f (x) = f (x, + h) - zw. für h = x-x,: Q? (4 = f (x,) + (x - x,,). f kl) Q? (x) = f (x,) + h. f (x,) Es liegt somit eine linere Funktion vor, welche sich uch uf die Form p (x) =. x + ringen läßt: Y = f (XI - p> (x) = f (x,). x + f (x,) -x,. f (XJ -d Von welchem Wert x, mn die linere Näherungsfunktion m günstigsten entwickelt, ergit sich us: ) dem Verluf der Funktion y = f (x) in dem Bereich [x.+ XE] und ) us der Art der Verteilung der Werte x in dem Bereich [xa, xs]. Wenn die Werte nch einer Normlverteilung verteilt sind, oder wenn sie zumindest gleichmäßig und symmetrisch um den Mittelwert x verteilt sind, so wird mn x, = X wählen. Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Fehlerqudrte) : Die Funktion f (x) soll in dem Intervll [x,, xl:] durch eine Funktion p, (x) möglichst gut im Sinne der Methode der kleinsten Fehlerqudrte pproximiert werden. Fehler: y (4 - f (XI Die Summe der Fehlerqudrte soll werden:,iy, (x) - f (x)]. dx = Minimum X A ein Minimum Wenn ~1 (x) eine linere Funktion der Form Ei (x) = =. x i- sein soll, so wird: 1 [(. x + ) - f (x)]~. dx = Minimum XA und sind die Prmeter der gesuchten Funktion q (x). Prtielle Differentition nch und :,rl(. x + ) - f (x)]. x dx = 0 x.1.i r(.x+)-f(x)].dx=o X.4 Aus diesen eiden Gleichungen lssen sich die Prmeter und für die Näherungsfunktion q (x) =. x + errechnen. Ei dieser Methode leit die Verteilung der Zhlenwerte Xi in dem Bereich [xq, XE] unerücksichtigt. M.n knn llerdings den Bereich [xa, xe] so wählen, d8 nur ein gewisser Prozentstz (z. B. 67 O/o, 80 O/o oder 90 O/o) ller dieser Werte xi in diesen Bereich fllen. Funktion einer nch Schätzung eingezeichneten Gerden: In diesem Fll wird mn sich die Funktion y = f (x) für den in Frge kommenden Bereich [xar xn] grphisch ufzeichnen und nch Schätzung eine Gerde einzeichnen, welche die Kurve der Funktion y = f (x) esonders dort möglichst gut nnähert, wo erfhrungsgemäß die meisten Werte xi liegen. Zur Unterstützung knn mn n jener Stelle der Funktion, n der erfhrungsgemäß der Mittelwert X liegen wird, die Tngente einzeichnen und die Näherungsgerde prllel zu dieser Tngente ziehen. Die Gleichung der eingezeichneten Gerden y = =. x f erhält mn, indem mn die Koordinten zweier elieiger Punkte P, (xr, yi), P, (x, ys) der Gerden liest und hierus die Prmeter und errechnet. =yzx! x2 --Xi = Yl. Xe - Y2 * Xl X? - x, 72

3 A UG VST 196s LENZINGER BERICHTE FOLGE IS -~-~ Beispiele: 1. Beispiel: Prüfung der Gewichtsschwnkungen Gi von Grnnschnitten mit gleicher Prüflänge L. Errechnung der Schwnkungen der metrischen Gmnummer : Funktion: Nm = G Es hndelt sich um ein Kmmgrn Nm 28/2. Die gleichleiende Länge L eträgt 100m. Die Gewichte der Aschnitte liegen us Erfhrung in dem Bereich von 6,5 is 8,0 g. Errechnung der lineren Näherungsfunktion für diesen Bereich: Nch 1. Tylor sche Reihe: y = f (x,). x + f (x,) - L-V--- x,. f (XJ Nm = f (G,). G + f (G,) - G,. f (G,) G, = 7,25 g f (G) = 00 f (G) = -!$ f (G,) = 2 = 13,793 Nch f (G,) = - $* = - 1,902 Nm = - 1,902. G + 13,793 +?,25. 1,902 Nm = - 1,902. G i- 2?, Ausgleichsrechnung: / [(. G + )--F]. G. dg = ),I [(, G + ) --AT]. dg = 0 4 ) 79,125. i- 10, = 0 10, , ,77 = 0 = - 1,916 = 27,737 Nm = - 1,916. G f 27,737 Die Drstellung der Funktion Nm = F für den Bereich [6,5 g, 8,0 g] (Bild 1) zeigt, dß die Funktion in diesem Bereich nnähernd liner ist und dher eide Näherungsfunktionen eine gute Approximtion ergeen. Der Zusmmenhng der Mittelwerte und der Streuungen ergit sich somit, je nchdem welche Näherungsfunktion vorgezogen wird, nch folgenden Gleichungen: nch: Tylor sche Reihe Mittelwert: Grn - - 1,902. G + 27,5825 Streuung: SNm2-1,902. so2 Jhrzehntelnge wissenschftliche und prktische Erfhrungen, geprt mit moderner Forschung, führten zur Herstellung von: 0 U E C 0 D U R B Grnult, dem esonders wirtschftlichen, prktisch wsserfreien Dimethylolhrnstoffhrz von höchster Lgereständigkeit und usgezeichneter Wirkung, QUECODUR R 14, dem neuen ll-round rectnt für chlorresistente Knitterfest-, wsh-nd-wer-, Schreinerfinish-Ausrüstung usw. QUECODUR HA, dem verätherten Hrnstoffhrz zur Erhöhung der Sprungelstizität, QUECODUR DM, dem flüssigen methnolverätherten Melminhrz 0 DR. QUEHL 6~ CO. GmH., CHEMISCHE FABRIK m 672 SPEYER/WESTDEUTSCHLAND Vertretung und Auslieferungslger für usterreich: DIPL.-INC. RICHARD WAGNER WIEN VI, MARIAHILFER STR. 49/3/64,TEL LlNZ/DONAU, HOFBERG 9,TEL

4 FOLGE 18 LENZINGER BERICHTE 1 UG UST 190s BILD 1 Nch 2. Ausgleichsrechnung: ) rr [(, D + ) - 9,86, Dz]. D. dd = 0 ) c [(. D f ) - 9,86, Dz]. dd = 0 io ) 581, , =0 ) , - 9, ,3 = 0 = 0,237 = - 1,407 Td - 0,237. D - 1,407 Die grphische Drstellung (Bild 2) zeigt, dß die eiden Näherungsfunktionen die vorgegeene Funktion in dem in Frge kommenden Bereich sehr gut und mit usreichender Genuigkeit ngleichen. BILD 2 nch: Ausgleichsrechnung 40 Mittelwert: Nm - - 1,916. G + 27,737 Streuung: %n2-1,916. so* Beispiel: Prüfung der Fserfeinheitsschwnkungen (Titerschwnkungen) ei Fsern mit kreisrundem Quer-,,~ schnitt durch Messung des Projektionsdurchmessers. Funktion: Td = D*. z. s z. B. für Polyesterfsern: Td = 9,86. 10e3. D* (D in Mikron) 13 Bei dem vorliegenden Beispiel hndelt es sich um Polyesterfsern mit 1,5 den Nenntiter. Der Bereich, in dem die Projektionsdurchmesser ei dieser Fsertype,,, schwnken, liegt erfhrungsgemäß zwischen 10 und 14 Mikron. Errechnung der lineren Näherungsfunktion für die-,( sen Bereich: 74 Nch 1. Tylor sche Reihe: y = f (X ). x + f (XJ x,. f (X ) Td - f (DJ. D + f (D,) - D, < f (DJ D, = 12 Mikron f (D) = 9,86. lo-3,dz f (D) = 2. 9,86. IO-. D f (D,,) = 9, , 12 = 1,41984 f (DJ = 2, 9, = 0,23664 Td - 0, D + 1, ,23664 Td - 0, D - 1,41984 re IJ 14 DURCHME55ER D (MIKRON) Auch wenn der Bereich der vorkommenden Meßwerte noch größer sein sollte, ergit die Näherung noch immer eine für prktische Verhältnisse usreichende Genuigkeit. Die rscheste und einfchste Näherungsmethode für die prktische Prüfreit git ds 3. Verfhren, ei dem die pproximierte Gerde nch Schätzung eingezeichnet wird. Im nchfolgenden Beispiel wird diese Methode demonstriert, woei ein esonders großer Bereich für die vorkommenden Meßwerte gewählt wurde.

5 FOLGE 16 LENZINGER BERICHTE AUGLJST Beispiel: Prüfung der Titerschwnkungen durch die Messung des Fserprojektionsdurchmessers. Viskose-Teppichfsertype mit kreisrundem Querschnitt. Funktion: Td = D*. n. s s = 1,52 g/cm3 Td = O,OlO?. D Der Bereich, in dem die Projektionsdurchmesser für diese Type (7 den Nenntiter) schwnken, liegt erfhrungsgemäß zwischen 20 und 30 Mikron. BILD 3 Mit Hilfe dieser Näherungsgleichung ergit sich der Zusmmenhng zwischen den Mittelwerten und den Streuungen: Mittelwert: Td - 0,545. D -- 6,88 Streuung: std2-0,545*. sn* An dem Beispiel einer konstruierten Meßreihe sollen die Fehler estimmt werden, welche sich durch ds Näherungsverfhren ergeen. Meßwerte: Rechenwerte: Di Di2 D; D = &! Di = &. 502 = 25,1 Mikron sd2 =&[; Di2-N.D ] =& = = [ ,12] = 6,41 Durch Umrechnung der Einzelwerte: In Bild 3 wurde die Funktion in dem ngegeenen Bereich eingezeichnet. Als Hilfsmittel für ds Einzeichnen der Näherungsgerden wurde zuerst eine Hilfsgerde ls Tngente n die Kurve im Mittel des ngenommenen Bereiches (25 Mikron) eingezeichnet. Die Näherungsgerde wurde dnn prllel zu dieser Hilfsgerden so eingezeichnet, dß die Annäherung im Bereich des Mittelwertes esonders gut ist. Die Gleichung der Näherungsgerden ergit sich us folgenden Punkten: Pi (Dl = 20, Tdl = 4,02) PB (Dz = 30, Tde = 9,4?) Td - Tdi 9,4? - 4,02 - = 0,545 = Dz-Dl-= =Td~.De-Tdn.D1 Dz--D1 = Td - 0,545. D - 6,88 4, ,47.20 = _ Td = 0,0107. N i Di2 = 0,0107. ~ = 6,806 S rd2 = 0,0107. ~~~ In Di4-N(E Di*) ] I 1 = 0,0107. FL7 [ &. 12?22*] = 1,836 Nch Näherungsfunktion: Td - 0, ,88 = 0, ,l - 6,88 = 6,800 STd2-0,545*. sd2 = 0,545. 6,41 = 1,904 Die durch ds Näherungsverfhren entstndenen Fehler etrgen eim Mittelwert Td 0,006 und ei der Streuung 0,068. Dies würde ei der Stndrdweichung 0,025 und eim Vritionskoeffizenten 0,38 O/o s. etrgen. Diese Fehler liegen jedoch weit unter der Meßgenuigkeit und können ei der prktischen Prüfreit ohneweiters kzeptiert werden. 76