Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Transkript

1 Stzgruppe des Pytgors Inlt: 1 Der Stz des Pytgors Pytgors im Rum 3 ufstellen von Formeln 4 Prktise nwendungen 5 Der Ktetenstz 6 Der Höenstz 7 Exkurs: Konstruktion retwinkliger Dreieke 8 ekliste 9 Hinweise zur enutzung Die vorliegenden Folienvorlgen entlten folgende Elemente: nnd von eispielen werden neue Regeln, Definitionen und Kenntnisse eingefürt Die ufgen in den eispielen sind meist so gestellt, dss sie von den Sülerinnen und Sülern u selstständig ereitet werden können Die Merkekästen steen meist im nsluss n ein einfürendes eispiel und fssen witige Regeln, Definitionen und Kenntnisse zusmmen Sie sollten von den Sülerinnen und Sülern unedingt gesrieen werden Hier können die Sülerinnen und Süler die gelernten Regeln und Kenntnisse üen und festigen Im nsluss n die Üungsufgen finden Sie jeweils die usfürlien Lösungen dzu Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 1

2 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 1: Der Stz des Pytgors 1 Der Stz des Pytgors eispiel 1: erene zu den retwinkligen Dreieken die Qudrte der Seitenlängen Ws fällt uf, wenn du die Qudrte der Seitenlängen miteinnder vergleist? Dreiek 1: 3 Dreiek : Dreiek 3: 5,5 4,8 Dreiek 4:,4 7 7,3 7,4 Dreiek 1: Dreiek : Dreiek 3: Dreiek 4: Lösung: Dreiek 1: Dreiek : Dreiek 3: 4,8 5,5 7,3 3,04 30,5 53,9 Dreiek 4: 7,4 7,4 49 5,76 54,76 Die Summe us und ergit jeweils den Wert von Dreiek 1: = 5 Dreiek : = 100 Dreiek 3: 3, ,5 = 53,9 Dreiek 4: ,76 = 54,76 Zustzufge: Zeine weitere retwinklige Dreieke und üerprüfe die Formel + = Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom

3 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 1: Der Stz des Pytgors Merke: Der Stz des Pytgors In jedem retwinkligen Dreiek gilt: + = Drin sind und die Seiten, die den reten Winkel ufspnnen Sie werden Kteten gennnt Die Seite eißt Hypotenuse Sie ist immer die längste Seite des Dreieks und liegt gegenüer dem reten Winkel Gilt umgekert in einem Dreiek + =, dnn ist ds Dreiek retwinklig eweis: ❶ Setzt mn vier retwinklige, kongruente Dreieke wie geildet zusmmen, erält mn ein Vierek D D die vier Seiten von D glei lng sind (= ) und die Winkel jeweils α + β = 90 sind, ist D ein Qudrt ❷ u die eingeslossene (weiße) Fläe ist ein β Qudrt mit der Seitenlänge ( ) und dem Fläeninlt: α w = ( ) (I) ❸ Den Fläeninlt w des weißen Qudrts knn mn er u erenen, indem mn vom Fläeninlt D = den Fläeninlt der 4 Dreieke ziet 1 Für den Fläeninlt eines der retwinkligen Dreieke gilt: 1 = Somit gilt: w = 1 4 w = (II) ❹ us Gleiung (I) und (II) folgt: ( ) = + = + + = Ws zu eweisen wr D α β - - β α β α Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 3

4 3 m 4 m 4 m Stzgruppe des Pytgors Kpitel : Pytgors im Rum Pytgors im Rum eispiel 1: D ) Üertrge die ildung ins Heft und erene mit den eingezeineten Kntenlängen die Rumdigonle d = D des Quders Hinweis: Zeine eine geeignete Hilfslinie ein und üerlege dir, wo retwinklige Dreieke vorkommen ) Üerlege dir eine Formel, mit der mn die Rumdigonle eines Quders in ängigkeit von den Knten, und estimmen knn Ws ergit si für die Rumdigonle eines Würfels? d 8 m 3 m Lösung: ) Mn muss zunäst die Digonle der Grundfläe einzeinen Ddur entsteen die eiden retwinkligen Dreieke D und D Die Digonle d ist die Hypotenuse des retwinkligen Dreieks D Drin lutet der Stz des Pytgors: d = + (4 m) d = + 16 m Die Streke knn mn mit dem Stz des Pytgors im retwinkligen erenen d 8 m 3 m Im Dreiek gilt: = (8 m) + (3 m) Einsetzen in d = + 16 m ergit: d = (8 m) + (3 m) + 16 m 8 m d = 89 m d = 9,43 m ) Mit den llgemeinen Knten, und erält mn: d = + + d = + + In einem Würfel ist = = Dmit folgt: d = + + = 3 = 3 Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 4

5 8 m Stzgruppe des Pytgors Kpitel : Pytgors im Rum eispiel : Üertrge ds Srägild der qudrtisen Pyrmide ins Heft und mrkiere die drin vorkommenden retwinkligen Dreieke s s = Grundknte; s = Seitenknte; = Pyrmidenöe; s = Seitenöe; d = Digonle der qudrt Grundfläe 0,5 d Wie lutet jeweils der Stz des Pytgors in diesen Dreieken? Lösung: s s 0,5d s s 0,5 0,5 0,5 s = (0,5) + s = (0,5d) + s = (0,5) + s S Üung : Die Höe einer qudrtisen Pyrmide eträgt 8 m, die Kntenlänge der Grundfläe ist 6 m ) erene die Höe s des Seitendreieks S ) Wie lng ist die Seitenknte s? D 6 m s s M Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 5

6 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 4: Prktise nwendungen 4 Prktise nwendungen Üung 1: Wie weit knn mn von einem 0 m oen Mst eines Siffes üer ds Meer seen? Der Erdrdius eträgt 6370 km Lösung: S S 0 m M 6370 km w H 6370,0 km M w 6370 km H ete: 0 m = 0,0 km Die Sitweite w wird dur die Erdkrümmung egrenzt Der Punkt H, wo die Sitweite m Horizont endet, der Erdmittelpunkt M und die Mstspitze S ilden ds retwinklige Dreiek MHS Drin gilt der Stz des Pytgors: w + (6370 km) = (6370,0 km) (6370 km) w = (6370,0 km) (6370 km) w = 54,8 km w = 15,96 km ntwort: Von dem 0 m oen Mst us knn mn 16 km weit üer ds Meer seen Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 6

7 Stzgruppe des Pytgors Kpitel 5: Der Ktetenstz Merke: Der Ktetenstz In einem retwinkligen Dreiek mit γ = 90 gilt: = p und = q q und p nennt mn die q p Hypotenusensnitte Grfise Vernsuliung des Ktetenstzes: Ds Retek mit den Seiten und q t den gleien Fläeninlt wie ds Qudrt mit der Seite Ds Retek mit den Seiten und p t den gleien Fläeninlt wie ds Qudrt mit der Seite q p q p eweis: Wenn mn ein retwinkliges Dreiek entlng der Höe dursneidet, erält mn zwei Dreieke, die änli zu dem ursprünglien (großen) Dreiek sind Ds eißt, diese eiden Dreieke sind jeweils eine Verkleinerung des α q p β ursprünglien Dreieks Teste selst: Zeine zweiml ds gleie retwinklige Dreiek und sneide eines dvon entlng der Höe dur Dree dnn eide Teildreieke um und vergleie mit dem gnzen Dreiek Ergänze nun mitilfe der änlien Dreieke folgende Lüken: (I) = und (II) = Wie ergeen si drus die Gleiungen des Ktetenstzes? Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 7

8 Stzgruppe des Pytgors ekliste 1) Wie lutet der Stz des Pytgors? Gi die Formel n und die edeutung der Vrilen drin ) Worn erkennt mn in einem retwinkligen Dreiek die Hypotenuse und worn die eiden Kteten? 3) Wie erenet mn in einem retwinkligen Dreiek mit dem Stz des Pytgors eine felende Seite, wenn zwei Seiten eknnt sind? 4) Wie knn mn mit dem Stz des Pytgors die Rumdigonle eines Quders erenen, wenn mn lle Kntenlängen des Quders kennt? 5) Mrkiere in der qudrtisen Pyrmide drei retwinklige Dreieke Zeine felende Linien ein 6) Mit weler Formel knn mn die Digonle d eines Qudrts us der Seitenlänge erenen? 7) Mit weler Formel knn mn die Höe eines gleiseitigen Dreieks in ängigkeit von der Seitenlänge erenen? 8) Nenne eine prktise nwendung, ei der der Stz des Pytgors eine Rolle spielt 9) Ws sind die Hypotenusensnitte p und q in einem retwinkligen Dreiek? 10) Wie lutet der Ktetenstz? Ws edeuten die Vrilen drin? 11) Wie lutet der Höenstz? Ws edeuten die Vrilen drin? Mtemtik-Verlg, wwwmteverlgom 8