Teil 1. Prisma - Zylinder Pyramide - Kegel Pyramidenstumpf - Kegelstumpf Kugel - Kugelteile. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand: 30.

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1 Teil 1 Prism - Zylinder Pyrmide - Kegel Pyrmidenstumpf - Kegelstumpf Kugel - Kugelteile Dtei Nr Stnd: 0. April 016 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Geometrie Körperberenungen Demo-Text für

2 Inlt 1 Prismen 1.1 Quder 1. Würfel 4 1. Prism mit Dreiek ls Grundfläe 4 Einsub: Berenung des gleiseitigen Dreieks Siefe Prismen 6 Zylinder 7 Holzylinder 10 Pyrmiden 11.1 Qudrtise Pyrmiden 11. Regelmäßige dreiseitige Pyrmiden 17 Spezilfll: Tetreder 19 4 Pyrmidenstumpf 0 5 Kegel Senkreter Kreiskegel 5 5. Kegel im Kegel 9 6 Kegelstumpf 6.1 Übungen 6. Herleitungen einiger Formeln 4 7 Kugel und Kugelteile Kugel 6 7. Holkugel 9 7. Kugelkppe und Kugelussnitt 4 Lösungen der Aufgben Hinweis zur Genuigkeit von Ergebnissen Viele neigen dzu, Tsenrenerergebnisse möglist genu bzusreiben. Wenn mn beispielsweise us r =,4 m und =,7 m ds Volumen eines Zylinders berenet: V1 r,4,7 m 66,9566 m, dnn ist ds kompletter Unsinn. Denn r ist j nit,4000 m sondern bereits uf eine Dezimle gerundet, Also könnte es bei gnz genuem Hinseen u r =,9 m oder,4 m sein. Mn knn der u nit erwrten, dss ds Ergebnis genuer ls Ziffern ist. Nun verwenden wir eine genuere Messung: r =,4 m und =,74 m, dnn folgt: V m. Demo-Text für Mn erkennt drus, dss mn ds obere Ergebnis mit den nur uf Ziffern genuen Eingben u nur uf Ziffern genu ngeben drf: V1 67m. Vergleit mn ds mit dem genueren V, dnn erkennt mn, dss selbst diese strke Rundung no zu genu ist, denn V 69 m wäre besser. Do ds sffen wir mit r =,4 m und =,7 m nit. Also: Bitte strk runden und unsinnige Genuigkeit vermeiden und sinnvoll runden, etw so: O 4017 m m.

3 11610 Körperberenungen 1 1 Prismen Definition: Ein Körper mit kongruenter und prlleler Oberseite und Unterseite und Prllelogrmmen ls Außenfläen eißt Prism. 1.1 Die einfste Form nennt mn einen Quder. Identifizierungsmerkle: Ein Quder t ls Grundfläe und Dekfläe ein Retek, und die vier Außenfläen sind ebenflls Reteke. Dmit ben wir überll rete Winkel und einfe Formeln zur Berenung: Kntenlänge: k= 4+ 4b+ 4= 4 ( + b+ ) Oberfläe: O = b + b + = ( b + b + ) Volumen: V = b Jede Fläe eines Quders t eine Digonle, die mn mit Pytgors berenet: d = + 1 d = + b d = b + Vorderseite und Rükseite Oberseite und Unterseite Seitenfläen. Dnn gibt es no vier Rumdigonlen, die von einer Eke zur entgegengesetzten Eke quer dur den Quder geen: Dies mg folgende Skizze ndeuten: Zur Berenung get mn so vor: Wir durqueren die Grundfläe entlng d und geen dnn entlng senkret inuf. N Pytgors folgt dnn: Und wegen folgt insgesmt: Also gilt: d1 d d = d + R d b d = + b + R d = + b + R b Demo-Text für d b d R d b b

4 11610 Körperberenungen Ein besonders einfer Quder ist der Würfel. Bei einem Würfel sind lle Seiten glei lng, lso gilt = b =. Aus den Formeln des Quders wird dnn: Kntenlänge: k= 1 Oberfläe: Volumen: Fläendigonle ist: Rumdigonle: O= 6 V = d= = dr = = 1. Ein Prism knn u jede ndere Fläe ls Grundfläe ben, etw ein Dreiek. Betrten wir den Fll des gleiseitigen Dreieks. Die Grundfläe G des gleiseitigen Dreieks wurde im Srägbild drgestellt und wirkt der verzerrt. Für ds Volumen gilt die Grundformel: V = G Ds gleiseitige Dreiek t diese Grundfläe: G (siee Seite 5) 4 Somit folgt für dieses Prismenvolumen: V= 4 Die Berenungsformeln für Volumen und Oberfläe leitet mn si m besten er und lernt sie nit uswendig. Die Oberfläe dieses Prisms bestet us drei Reteken und zwei Dreieken: 1 O= + = + Demo-Text für A 4 D S B In diesen Formeln steken Formeln des gleiseitigen Dreieks. Diese werden uf der nästen Seite wiederolt und stmmen us dem Text 1111 (Pytgors).

5 11610 Körperberenungen 1 5 Die Berenung des gleiseitigen Dreieks Es t drei glei lnge Seiten und drei glei große Winkel, von denen der jeder 60 o beträgt. Jede Seitenlbierende ist zuglei Mittelsenkrete und Winkellbierende. Die drei Seitenlbierenden sneiden si in einem Punkt, den mn Swerpunkt nennt. Der Swerpunkt t die nützlie Eigensft, dss er die Seitenlbierende im Verältnis 1: teilt. Also ist beispielsweise: FS FC, CS CF und der SC SF. 1 Die Höe im gleiseitigen Dreiek: FC knn dur den Stz des Pytgors berenet werden. Im retwinkligen Teildreiek FBC gilt: BC FB FC, d.. Drus folgt: Also erält mn 4 4 Ziet mn teilweise die Wurzel, lso us 4 und us 4, dnn folgt ds Ergebnis: Diese Herleitung sollte jeder Süler beerrsen, weil sie oft benötigt wird. Folgli knn mn den Inlt des gleiseitigen Dreieks so berenen: Ergebnis: A g 4 A 4 EINSCHUB Demo-Text für Dbei ist g eine ls Grundseite gewälte Dreieksseite, die zugeörige Höe im Dreiek. A G S C F E B

6 11610 Körperberenungen Siefe Prismen Mn stelle si einen Ppierstpel vor, dessen Seitenfläe sräg weggedrükt wird, etw so: Dnn sprit mn von einer räumlien Serung. Diese ändert ds Volumen nit, ws j u einleutend ist, denn wir ändern j dbei die Ppiermenge nit. So knn mn nvollzieen, dss die Grundformel für ds Volumen eines Prisms u für sräge Prismen gilt: V= G Dbei ist G eine ls Grundfläe gewälte Fläe, etw in der Abbildung die untere Fläe, ist die zugeörige Höe. Aufgben zu Prismen 1.1 Ein Quder t die Grundknten = 4 m und b = 6 m. Sein Volumen beträgt 168 m. Berene seine Höe und seine Oberfläe sowie die Länge seiner Rumdigonlen. 1. Die Grundfläe eines Quders beträgt 48 m, er t ds Volumen 64 m. Berene seine Höe. Wie groß sind die Seiten, wenn die Rumdigonle die Länge 18,87 m t? 1. Ein Quder mit qudrtiser Grundfläe t die Höe 16 m und ds Volumen 400 m. Wie groß ist seine Oberfläe? 1.4 Ein Würfel t ds Volumen 178 m. Berene seine Oberfläe. 1.5 Ein Würfel t die Oberfläe 894 m. Berene seinen Ruminlt. 1.6 Die Rumdigonle eines Würfels t die Länge 7,07 m. Wie groß sind Knten, Oberfläe und Volumen. 1.7 Erstelle je eine Formel für Volumen und Oberfläe eines Würfels, deren Werte mn direkt us der Länge der Rumdigonlen berenen knn, one zuerst die Kntenlänge zu berenen. 1.8 Berene Ruminlt und Oberfläe eines gerden dreiseitigen Prisms, dessen Abmessungen wie folgt gegeben sind: (Die Grundfläe t die Seiten, b und.) ) O = m, 90, b = 6 m, = 15 m. b) b 0 m ) = b = 5 m, = 8 m, = 1 m. d) O 60, = 8 m, b = 5 m, = 8 m. 1.9 Ein Prism t ls Grundfläe ein gleiseitiges Dreiek. Sein Volumen beträgt 100 m. Berene seine Grundknte, wenn die Höe 10 m beträgt. Demo-Text für Lösungen m Textende.

7 11610 Körperberenungen 1 7 Zylinder Ein senkreter Kreiszylinder (kurz u oft nur Zylinder gennnt), t ls Grund- und Dekfläe kongruente Kreise. Die Mntelfläe get vom Grundkreis us senkret n oben und bestet us einem ringförmig zusmmen gebogenen Retek. Beispiel 1 Lösung: Beispiel Lösung: Beispiel Volumen: V G r = =p Mntel: M= U = p r Oberfläe: O = G + M = p r + p r = p r ( r + ) Ein Zylinder t den Rdius 5 m und die Höe 80 m. Berene Volumen und Oberfläe. p V= 5 m 80m» 68m O = p 5 m 5 m + 80 m» 670 m ( ) Ein Zylinder t die Höe 0 m und ds Volumen 40 m. Berene seinen Rdius. Mn muss die Formel Beweise diese Formel für den Kreiszylinder: Beweis: Mntel U Volumen: r V G r = =p n r umstellen: V V 40 m r = r = = p p p 0 m r V M bzw. V r V M r (1) Mntel: M r ()»,1 m Demo-Text für Mntel U Division (1) : () V r r r V M M r

8 11610 Körperberenungen 1 8 Beispiel 4 (swer) Ein Zylinder t die Oberfläe 09 m und die Höe 1 m. Berene seinen Rdius. Lösung: Oberfläenformel n r ordnen: p p pr + p r- O = 0 (*) O = r + r 1. Lösungsweg: Mn setzt die Werte von O und in die Gleiung (*) ein: WISSEN: x bx 0 + pr 4pr - 09 = 0 ìï ïî - p p p r = m» í 4p < , m + + = t die Lösungsformel x 1, b b 4 Die. Lösung mit dem Minuszeien vor der Wurzel ergibt einen negtiven Rdius, der zwr eine Lösung der Gleiung drstellt, ber geometris one Bedeutung ist..(llgemeine) Lösung: p p r + r- O = 0 -p 4p + 8p O r =, 1, 4p denn r ist die Unbeknnte sttt x, und = p, b = p und =- O. Setzt mn jetzt Zlen ein, folgt: ìï ïî - p p + p r =» í 4p < , m Aufgben zu Zylindern.1 Eine oben offene zylindrise Regentonne us Ble fsst 500 Liter. Ire Höe ist doppelt so groß wir ir Durmesser. ) Welen Rdius t sie? b) Wie viel kg Frbe werden für einen Anstri innen und ußen benötigt, wenn mn für 1 m etw 100 g Frbe benötigt?. Berene für einen Zylinder die jeweils felenden Größen: ) b) ) d) e) f) g) ) r 8 m 50 m 4 m 6,5 m 1, m 4 m V 980 m 100 m 150 m m Demo-Text für M 4000 m,5 m 75 m O 800 m 00 m 0 m

9 11610 Körperberenungen 1 9. Die Asen eines Reteks verlten si :5. Es wird um die kleinere Seite gedret, wodur ein Zylinder entstet. Seine Oberfläe t den Inlt 180 m. Wie lng sind die Retekseiten?.4 Ein Retek t den Umfng 60 m. Dret mn es um eine Seite, entstet ein Zylinder, der eine Mntelfläe von 400 m t. Wele Abmessungen t ds Retek?.5 Ein Retek mit den Seiten und b wird einml um die Seite gedret und ein zweites Ml um die Seite b. Berene ds Verältnis der Volumin der so entsteenden Zylinder..6 Ein gerder Kreiszylinders ist um 7 m öer ls sein Durmesser. Die dur seine Ase geende Quersnittsfläe t eine Digonle der Länge 1 m. Berene Mntel, Oberfläe und Volumen des Zylinders. Demo-Text für