Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS. Hypotenuse

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1 Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester ARBEITSBLATT 10 SATZ DES PYTHAGORAS Definition: Ktete Ktete Hypotenuse Jene beiden Seiten, die den recten Winkel bilden (,b) nennt mn Kteten, die dritte und längste Seite nennt mn die Hypotenuse ( c ). SATZ DES PYTHAGORAS: In jedem rectwinkeligen Dreieck gilt: + b = c Die Summe der Fläcen der Qudrte über den Kteten ist gleic der Fläce des Qudrtes über der Hypotenuse. (Vergleice dzu Zeicnung in REI- CHEL ; Seite 156; gnz unten). Beispiel: Von einem rectwinkeligen Dreieck kennt mn die Seiten =0 mm und b=8 mm. Berecne die Seite c, den Umfng und den Fläceninlt des Dreiecks. c = + b c = c = 70 c = 70 c = 5mm U = + b + c U = U = 10mm b 0 8 A = A = A = 80mm Beispiel: Von einem rectwinkeligen Dreieck kennt mn die Seiten = mm und c=51 mm. Berecne die Seite b, den Umfng und den Fläceninlt des Dreiecks. c = + b b = c b = 51 b = 05 b = 5mm 1

2 Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester U = + b + c U = 10mm A = b A= 50 mm Übungen: Übungsbltt 10; Aufgbe 19 Stz: Für ein rectwinkeliges Dreieck gilt: c Umkreisrdius r = b Inkreisrdius ρ = U Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben Beispiel: In einem rectwinkeligen Dreieck verlten sic die Kteten wie 1:5. Der Umfng des Dreiecks beträgt 180 mm. Berecne die drei Seitenlängen. Wir wissen : b = 1 : 5. Dies bedeutet, dss 1 Teile lng ist, b 5 Teile. Wir müssen uns lso die Länge eines Teiles errecnen. Für 1 Teil screiben wir t. Forml gilt lso: = 1t b = 5t D es sic um ein rectwinkeliges Dreieck ndelt, gilt der pytroräisce Lerstz: c = + b Wir setzen für und b ein: c = 1t + 5 t ( ) ( ) c = 1t + 5t c = 169t c = 1t Nun können wir den beknnten Umfng usnützen: U = + b + c Wir setzen die beknnten Werte ein: 180 = 1t + 5t + 1t 180 = 0t t = 6 Wir wissen nun, dß 1 Teil 6 mm lng ist. Nun setzen wir wieder in unsere Terme für,b,c ein: = 1t = 7mm b = 5t = 0mm c = 1t = 78mm

3 Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben 1-1 Anwendungen des pytgoräiscen Lerstzes: Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben 1-15 Anwendung im Recteck und Qudrt Angenommen, wir kennen in einem Recteck die Seitenlängen und b. Wie lng ist dnn die Digonle d? D C d b A B D wir mit den Eckpunkten A,B,C ein rectwinkeliges Dreieck erlten, muss ier der pytgoräisce Lerstz gelten: d = + b Um d zu erlten zieen wir uf beiden Seiten die Wurzel: d = + b Stz: Für die Digonle d eines Rectecks (,b) gilt: d = + b Beispiel: Ein Recteck t die Seitenlängen = cm und b = cm. Wie lng ist die Digonle d? d = + b d = + d = 5 d = 5cm Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben Ds Qudrt ist nun j lediglic ein besonderes Recteck. Es gilt: = b. Wir screiben nun in der Formel für die Berecnung der Digonle eines Rectecks sttt b : d = + d = d =

4 Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester d = Stz: für die Digonle d eines Qudrtes mit der Seitenlänge gilt: d = Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben 10-1 Anwendung m gleicscenkeligen Dreieck Beispiel: Von einem gleicscenkeligen Dreieck ABC kennt mn die Seiten =96 mm und c=18 mm. Berecne die Höe c, den Fläceninlt und die Höe des Dreiecks. Wir mcen uns zunäcst eine Skizze: Wir seen, dß sic ein rectwinkeliges Dreieck ergibt (scrffiert eingezeicnet). Von diesem kennen wir zwei Seiten (, ). Folglic können c wir uns die dritte Seite usrecnen: = c = 96 7 = 70 = 61, 16mm Nun können wir die Fläce ermitteln: c A = , A = = 55, 8mm Dmit wir noc berecnen, nützen wir die Fläce us. Für diese muss j ußerdem gelten: A = , = / = 96 /: 96,

5 Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester = 9, 9mm Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben 1 15 Anwendung m gleicseitigen Dreieck Für ds gleicseitige Dreieck können wir uns mittels des pytgoräiscen Lerstzes spezielle Formeln für die Höe und den Fläceninlt erleiten. Zunäcst mcen wir uns eine Skizze: C A B Wir erlten offensictlic ein rectwinkeliges Dreieck (scrffiert eingezeicnet). In diesem gilt lso der Stz des Pytgors. = = = = = = Für die Fläce setzen wir nun in die uns beknnte Fläcenformel für beliebige Dreiecke ein: A = 1 A = A = 5

6 Mtemtik: Mg. Scmid Wolfgng Arbeitsbltt 10. Semester Stz: Im gleicseitigen Dreieck gelten folgende Formeln: Dreiecksöe = Fläceninlt A = Beispiel: Von einem gleicseitigem Dreieck ABC kennt mn die Höe =6 mm. Berecne die Länge der Seite und den Fläceninlt. Aus der beknnten Höe können wir uns zunäcst die Dreiecksseite ermitteln. Wir setzen in die Formel für die Höe ein: = 6 = / 18 = /: = 7, 9mm Nun lässt sic die Fläce leict ermitteln: 7, 9 A = = = 6, 77mm Übungen: Übungsbltt 10; Aufgben