Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

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1 Inlt der Lösungen zur Prüfung 2012: Pflictteil 2 Wlteil ufgbe W1 11 Wlteil ufgbe W2 15 Wlteil ufgbe W3 19 Wlteil ufgbe W4 24

2 2012 Pflictbereic Lösungen zur Prüfung 2012: Pflictbereic ufgbe P1: erecnung des läceninlts des ierecks : s iereck ist ein rpez mit der öe = (siee ) essen läceninlt ist (s ormelsmmlung): = 2 1 ( + ) die beiden ectecke und lut ufgbentext kongruent (= deckungsgleic) sein sollen, ist = = omit folgt: = s müssen lso noc die Längen und berecnet werden erecnung der Länge : ür die Länge gilt: = (siee ) rin ist = =, sodss gilt: = Wegen der Kongruenz der beiden ectecke und gilt ußerdem: = ie Länge knn im reieck mit der ngensfunktion berecnet werden (siee ) 4,5 s gilt: tn 29 = α 29 tn 29 = 4,5 : tn 29 = 8,12 cm mit ist uc = 8,12 cm ür = erält mn somit: = 3,62 cm erecnung der Länge : Zur erecnung der Länge muss mn zunäcst die ilfslinie K einzeicnen, sodss ds rectwinklige reieck K entstet (siee igur 3) ür die Länge gilt: = K K rin ist K = = 3,62 cm (siee oben), sodss gilt: = 3,62 cm K 29 3,62 cm 29 K ie Länge K knn im reieck K mit der ngensfunktion berecnet werden (siee igur 3) s gilt: igur 3 K tn 29 = 4,5 4,5 2,49 = K bzw K = 2,49 cm ür folgt dmit: = 1,13 cm ür den läceninlt = 2 1 ( + ) folgt somit: = 2 1 (3,62 + 1,13) 4,5 = 10,69 cm 2 rgebnis: er läceninlt des ierecks beträgt: = 10,69 cm 2 Mtemtik-erlg 2012, wwwmteverlgcom Kopieren und usleien verboten! 2

3 2012 Pflictbereic Lösungen zur Prüfung 2012: Pflictbereic ufgbe P2: erecnung der Oberfläce einer Pyrmidenälfte: ür die Oberfläce einer Pyrmidenälfte gilt: O P = s + gru rin ist der läceninlt der rundfläce, s der läceninlt eines eitendreiecks der Pyrmide und gru der läceninlt des gruen reiecks in Mit den entsprecenden ormeln erält mn (siee ormelsmmlung): O P = s d (mit der igonlen d der rundfläce) d s O P = s d Mit = 8,6 cm folgt: O P = 36,98 cm 2 + 8,6 s d ür die igonle d gilt (siee ormelsmmlung): d = 8,6 2 = 12,16 cm mit folgt: O P = 36,98 cm 2 + 8,6 s + 8 Mn muss lso noc die eitenöe s und die Pyrmidenöe berecnen erecnung der eitenöe s : ie eitenöe s knn mit der ngensfunktion berecnet werden In einem gleicscenkligen eitendreieck der Pyrmide gilt (siee ): 4,3 tn 20,4 = s s tn 20,4 = 4,3 : tn 20,4 s s = 11,56 cm erecnung der Pyrmidenöe : ie Pyrmidenöe knn nun mit dem tz des Pytgors im mrkierten reieck von igur 3 berecnet werden Mit 0,5 = 4,3 cm erält mn: (11,56 cm) 2 = 2 + (4,3 cm) 2 (4,3 cm) 2 115,14 cm 2 = 2 10,73 = bzw = 10,73 cm s 2 = 20,4 4,3 cm = 8,6 cm s = 11,56 cm 0,5 0,5 igur 3 Mit s = 11,56 cm und = 10,73 cm erält mn scließlic für O P = 36,98 cm 2 + 8,6 s + 8 : O P = 36,98 cm ,42 cm ,24 cm 2 = 201,64 cm 2 rgebnis: ine Pyrmidenälfte t die Oberfläce O P = 201,64 cm 2 Mtemtik-erlg 2012, wwwmteverlgcom Kopieren und usleien verboten! 3

4 2012 Pflictbereic Lösungen zur Prüfung 2012: Pflictbereic ufgbe P3: erecnung des Prismenvolumens: ür ds olumen eines Prisms gilt (siee ormelsmmlung): = Im vorliegenden reiecksprism ist ds reieck die rundfläce und die Länge die Prismenöe (siee ) s gilt lso: = (inweis: ie Punkte und wurden in zusätzlic eingefügt) Mn muss lso den läceninlt des gleicscenkligen reiecks und die Länge = berecnen erecnung des läceninlts : ür den läceninlt gilt (siee ): = 38,2 = 2 1 g s ie rundseite g und die öe s können im mrkierten reieck von berecnet werden (Mn becte dbei, dss die öe s den Winkel und die rundseite g des gleicscenkligen reiecks lbiert) 0,5g ür die rundseite g gilt: sin 19,1 = s 2 = 19,1 1,96 = 0,5g : 0,5 g 0,5g 3,92 = g bzw g = 3,92 cm ür die öe s gilt: cos 19,1 = s 5,67 = s bzw s = 5,67 cm Mit g = 3,92 cm und s = 5,67 cm erält mn: = 11,11 cm 2 erecnung der Länge = : ie Prismenöe knn im reieck mit dem tz des Pytgors berecnet werden (siee igur 3) Mn becte drin: = = s gilt: 2 = 2 + () 2 () 2 2 () 2 = 2 2 = 2 36 cm 2 ertuscen der eiten ie Länge wiederum knn mitilfe der Länge des treckenzugs berecnet werden s gilt: + + = 23,4 cm igur 3 = 23,4 cm Mtemtik-erlg 2012, wwwmteverlgcom Kopieren und usleien verboten! 4

5 2012 Pflictbereic Lösungen zur Prüfung 2012: Pflictbereic ie Länge = s wurde bereits oben in berecnet: = 5,67 cm ie Länge knn mn mitilfe der inusfunktion im mrkierten reieck von igur 4 berecnen s gilt: sin 38,2 = 3,71 = bzw = 3,71 cm Mit = 5,67 cm und = 3,71 cm erält mn scließlic für = 23,4 cm : 38,2 = 14,02 cm igur 4 mit knn nun die gesucte Prismenöe berecnet werden us 2 = 2 36 cm 2 folgt: 2 = 160,56 cm 2 = 12,67 cm Mit = 11,11 cm 2 und = 12,67 cm erält mn scließlic ds Prismenvolumen = : = 11,11 cm 2 12,67 cm = 140,76 cm 3 rgebnis: s olumen des Prisms beträgt = 140,76 cm 3 ufgbe P4: Wrsceinlickeit für zwei utos mit gleicer Plkettenfrbe: ie usgänge, bei denen die beiden usfrenden utos Plketten mit gleicer rbe ben, sind: (gr; gr), (ge; ge) und (r; r), mit den ezeicnungen gr = grün, ge = gelb und r = rot Mn becte: s inusfren zweier utos us dem Prkus entsprict einem Zieen us einer rne one Zurücklegen In der entsprecenden Modellurne sind beim ersten Zug insgesmt 85 Kugeln (bzw utos) und beim zweiten Zug nur noc 84 Kugeln (bzw utos) entlten ußerdem felt nc dem ersten inusgefrenen uto im Prkus ein uto mit derjenigen Plkettenfrbe, die ds erste inusgefrene uto t ie Wrsceinlickeiten für die drei älle können dnn mit der Produktregel berecnet werden: P(gr; gr) = = ; P(ge; ge) = = ; P(r; r) = = mit erält mn mit der ummenregel: P(gleice rbe) = + + = 44,3 % rgebnis: ie Wrsceinlickeit, dss beide usfrenden utos die gleice Plkettenfrbe ben, beträgt 44,3 % Mtemtik-erlg 2012, wwwmteverlgcom Kopieren und usleien verboten! 5