2.6. Anwendungs- und Beweisaufgaben zu Kongruenzsätzen

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1 2.6. Anwendung- und eweiufgben zu Kongruenzätzen Aufgbe ) Ermittle zeicneric die Längen der drei Fläcendigonlen d b, d c und d bc und der Rumdigonlen d de bgebildeten Quder mit den Abmeungen = 4 cm, b = 3 cm und. b) Die bgebildeten Pyrmide I t eine qudrticer Grundfläce mit der Seitenlänge = 6 cm. Die crägen Seitenfläcen ind gleiccenklige Dreiecke mit der Scenkellänge = 5 cm. Ermittle zeicneric die Seitenöe und die Höe. erecne dnn den Inlt irer Mntelfläce. c) Die Grundfläce der bgebildeten Pyrmide II it ein regelmäßige Sececk mit der Seitenlänge = 3 cm. Die crägen Seitenfläcen ind gleiccenklige Dreiecke mit der Scenkellänge = 4 cm. Ermittle zeicneric die Seitenöe und die Höe. erecne dnn den Inlt irer Mntelfläce. d) Die Grundfläce der bgebildeten Pyrmide III it ein gleiceitige Dreieck mit der Seitenlänge = 6 cm. Die crägen Seitenfläcen ind gleiccenklige Dreiecke mit der Scenkellänge = 5 cm. Die Spitze befindet icenkrect über dem Scwerpunkt der Grundfläce. Ermittle zeicneric die Seitenöe und die Höe. erecne dnn den Inlt irer Mntelfläce. d c d b Pyrmide I d d bc b c Pyrmide III Pyrmide II Aufgbe 2 Von zwei 40 m voneinnder entfernten Punkten A und wird die Spitze eine Fbrikcorntein unter den Höenwinkel α = 38 und β = 56 ngepeilt. Zeicne d Dreieck AS im penden Mßtb. Wie oc it der Scorntein? Aufgbe 3 Von einem Freibllon u werden die Punkte A und unter den Tiefenwinkeln α = 66 und β = 24 ngepeilt. Wie occwebt der llon über dem Punkt G, wenn A = 2700m it? erecne ierzu die Winkel bei und ; zeicne im Mßtb : und mi dnn die Höe.

2 Aufgbe 4 Wie groß it der Höenuntercied zwicen der Ebene und dem erggipfel? Zeicne im Mßtb : Aufgbe 5 Der rect bgebildete Turm it in Wirklickeit 26 m oc. Wie breit it der n im vorbei fließende Flu, wenn α = 65 und β = 28 ind? Zeicne im Mßtb :00. Aufgbe 6 eweie: Rectwinklige Dreiecke, die in der längten und in einer weiteren Seite übereintimmen, ind kongruent. Aufgbe 7 eweie: Wenn in einem Dreieck die Ortogonle zu einer Dreieckeite durc die gegenüberliegende Ecke zugleic Winkellbierende it, dnn it d Dreieck gleiccenklig. Aufgbe 8 In dem rect bgebildeten rectwinkligen Dreieck A ind die Strecken AF und gleic lng. Zeige: In einem olcen Dreieck timmt der Abtnd de Höenfußpunkte F von A mit der Länge der Strecke F überein. Aufgbe 9 In dem gleiceitigen Dreieck A werden drei gleic lnge Strecken AA, und bgetrgen. Zeige, d d Dreieck A ebenfll gleiceitig it. Aufgbe 0 Über zwei bencbrten Seiten de rect bgebildeten Qudrte wurden gleiceitige Dreiecke kontruiert. eweie: D Dreieck A it gleiceitig. Aufgbe In einen Krei wird ein Durcmeer A gezeicnet und von den Punkten A und u vier gleic lnge Senen. Zeige, d jeweil gegenüber liegende Senen prllel ind. A A A 2

3 2.6. Löungen zu den Anwendung- und eweiufgben zu Kongruenzätzen Aufgbe ) Quder d b 5 cm d c 4,5 cm d b 5 cm = 4 cm d 5,4 cm = 4 cm d bc 3,6 cm b = 3 cm b = 3 cm b) Pyrmide I mit qudrticer Grundfläce 2,65 cm = 5 cm 2 = 3 cm c) Pyrmide II mit ececkiger Grundfläce 2 = 3 cm = 4 cm 2,6 cm 3,7 cm 2,65 cm 3,7 cm = 3 cm =,5 cm 2 d) Pyrmide III mit dreieckiger Grundfläce Die Seitenlbierenden = Höen im gleiceitigen Dreieck cneiden ic im Verältni : 2! 2,6 cm = 5 cm 3,6 cm 5,2 cm 2 = 3 cm 3,7 cm = 6 cm 3

4 Aufgbe 2 Zeicnung im Mßtb : 000 Der Turm it 66 m oc. 6,6 cm 66 m cm 40 m Aufgbe 3 Zeicnung im Mßtb : Der llon cwebt 500 m oc. 3 cm 500 m ,4 cm 2700 m Aufgbe 4 Zeicnung im Mßtb : 2000 Der erggipfel it 90 m +,5 m = 9,5 m über der Ebene. 4,5 cm 90 m cm 80 m Aufgbe 5 Zeicnung im Mßtb : 500 Der Flu it 37 m breit 28 = 5,2 cm 26 m 65 b 7,4 cm 37 m 4

5 Aufgbe 6 In einem rectwinkligen Dreieck it die längte Seite die dem recten Winkel gegenüber liegende Hypotenue. Nc dem Kongruenztz w it d Dreieck durc die Hypotenue, eine Ktete und den recten Winkel bi uf Kongruenz eindeutig fetgelegt. Aufgbe 7 Die durc die Ortogonle = Winkellbierende gebildeten Teildreiecke timmen in dem lbierten Winkel, in dem recten Winkel und in der dzwicen liegenden Seite (der Ortogonlen) überein. Nc dem Kongruenztz ww ind ie lo kongruent und inbeondere die beiden Scenkel ind gleic lng Aufgbe 8 In dem rectwinkligen Dreieck A it α + β = 90 und in dem ebenfll rectwinkligen Dreieck F gilt α2 + β = 90. Die beiden gruen Teildreiecke timmen lo in iren recten Winkeln owie im Winkel α = α2, und den Seitenlängen AF = überein und ind wegen de Kongruenztze ww kongruent. Inbeondere folgt dru FG = F. α G α2 β Aufgbe 9 Die beiden Dreiecke AA und A timmen in dem Winkel 60 und den beiden Seitenlängen AA ' = ' und A' = A ' überein und ind der nc dem Kongruenztz w kongruent. Inbeondere folgt dru A'' = A' '. Au dem gleicen Grund ind uc die Dreiecke A und kongruent, o d uc '' = A' ' gilt. Aufgbe 0 Die drei nc Kontruktion gleiccenkligen gruen Dreiecke timmen in den beiden Scenkeln und dem jeweil eingecloenen Winkel = überein und ind nc dem Kongruenztz w kongruent. Die ilängen A = = A timmen der ebenfll überein A A Aufgbe Nc dem Stz de Tle ind die beiden gruen Dreiecke rectwinklig. Nc Kontruktion timmen ie ußerdem in dern Länge der Hypotenue und einer Ktete (=Sene) überein und ind der nc dem Kongruenztz Sw kongruent. Inbeondere it dnn α = α2. Für die Sceitelwinkel n gilt α2 = α3. Die Stufenwinkel α und α3 der Gerden (A) durc die beiden Senen ind lo gleice, d.., die Senen ind prllel. A α α2 α3 5