Basisaufgaben - Lösungen

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1 Arbeitsplan: Trigonometrie am rectwinkligen Dreieck Jargangsstufe 9 Aufgabe 1 Basisaufgaben - Lösungen a) sin δ k m l ; cos δ l m q l ; tan δ k l q, sin ε l m k ; cos ε k m p k ; tan ε l k p b) sin μ 1 q l ; cos μ 1 l ; tan μ 1 q c) sin μ p k ; cos μ k ; tan μ p Aufgabe a) sin φ 0,30 φ 17,5 b) cos φ 0,50 φ 60,0 c) tan φ 0,90 φ 4,0 d) sin φ 1 3 φ 60,0 Aufgabe 3 a) φ 83 sin 83 0,99 ; cos 83 0,1 ; tan 83 8,14 b) φ 45 sin 45 1 ; cos 45 1 ; tan 45 1 c) φ 7 sin 7 0,45 ; cos 7 0,89 ; tan 7 0,51 d) φ 60 sin ; cos 60 1 ; tan 60 3

2 Arbeitsplan: Trigonometrie am rectwinkligen Dreieck Jargangsstufe 9 Standardaufgaben - Lösungen Aufgabe 1 a) γ 180 o 90 o α 50 o (Innenwinkelsumme im Dreieck) a b a b 8 cm sin(40o ) 5,1 cm cos α c b c b cos α 8 cm cos (40o ) 6,1 cm b) a 5 b 1 α 4,6 o cos γ a 5 b 1 γ 65,4o c b a 119 cm 10,9cm Aufgabe Das Teildreieck FBC ist rectwinklig, Der Winkel γ wird durc die Höe albiert (Acsensymmetrie!). a) cos γ a a : cos γ tan γ 0,5c 0,5c tan γ α β (180o γ) 65 o b) tan β 0,5c 8 3 β 69,4 o 10 cm cos (5 ) 11,0 cm 10 cm tan (5 ) c 9,3 cm α β 69,4 o (Basiswinkel) γ 180 o α 41, o (Innenwinkelsumme im Dreieck) sin β a 8 cm 8,5 cm a sin β sin(69,4 ) b a 8,5 cm (gleicscenkliges Dreieck) Aufgabe 3 β (IWS in ) sin 60 7,5 cm 7,5 cm sin 60 6,5 cm sin 75 b 6,5 cm b 6,5 cm b 6,7 cm sin 75 tan 75 6,5 cm c 1 6,5 cm c 1 1,74 cm tan 75 cos 60 c 1 c c 7,5 cm 7,5 cm cos 60 3,75 cm c c 1 + c 1,74 cm + 3,75cm 5,49 cm

3 Aufgabe 4 BAC BAC 59 BAD BAC 118 cos 31 sin 31 e 5,8 f 5,8 e 5,8 cos 31 4,97 e 9,9 cm f 5,8 sin 31,99 f 5,97 cm Aufgabe 5 Das Teildreieck DMC ist gleicscenklig, daer gilt für den Winkel DCM 55. Im Recteck ist der Innenwinkel bei C 90 groß, daer gilt für den Winkel MCB 35. Im rectwinkligen Dreieck ABC sind damit der Winkel MCB sowie seine Ankatete b 7cm bekannt. Dann ergibt sic über den Tangens von 35 die Gegenkatete a 4,9 cm sowie über den Kosinus von 35 die Hypotenuse ( Diagonale des Rectecks) AC 8,5 cm. Aufgabe 6 a) b) Aufgabe 7 Jede Lösungsfigur ist ein rectwinkliges Dreieck mit γ 90. Die angegebenen Lösungen sind Beispiele für geeignete Seitenlängen. Genauso könnte man jeweils gleice Vielface der beiden ier aufgescriebenen Seitenlängen wälen. a) 0,5 1 G a 4 H c a 1 cm ; c 4 cm (oder: a 3 cm; c 1 cm, ) b) cos α 0,1 1 A b 10 H c b 1 cm; c 10 cm c) tan α 0,75 3 G a 4 A b a 3 cm; b 4 cm d) 1 G a 3 H c a 1 cm; c 3 cm e) 1 G a H c a cm; c cm f) tan α G a 3 3 A b a 3 cm; b 3 cm

4 Aufgabe 8 a) Fernpass 15 %: 15 Höenmeter auf 100 m b) Katscberg 5 %: 5 Höenmeter auf 100 m c) Acsenpass 1 %: 1 Höenmeter auf 100 m Aufgabe 9 tan α b 5,4 m 1,86 α 5,1 4, m Aufgabe 10 β: : sin 70 d 5,5 cm 5,5 cm sin 70 5,17 cm x 1 : cos 70 x 1 1 d 5,5 cm x 1 5,5 cm cos 70 1,88 cm x : x a x 1 c 4,1 cm 5,17 cm 1,5 4,1 cm β 51,4 tan β x b: sin β b A a + c 5,17 cm b b U a + b + c + d 6,1 cm 10 cm + 4 cm 5,17 cm 6,6 cm sin 51,4 5,17 cm 36,19 cm

5 Aufgabe 11 a) Scnittpunkt mit der x-acse: 0 3x x 3 Neigungswinkel: tan α 3 3 α 71,6 1 S( 3 ; 0) b) Scnittpunkt mit der x-acse: S( 3 0) Neigungswinkel: tan α 3 3 α 30 c) Scnittpunkt mit der x-acse: S(4 0) Neigungswinkel: tan α 1 α 6,6 d) Scnittpunkt mit der x-acse: S(0,75 0) Neigungswinkel: tan α 0,8 α 38,7 Aufgabe 1 a) tan α cos α b) Aufgabe 13 tan α cos α cos α cos α cos α a) tan 38,7 AB 100 m AB 100 m tan 38,7 80,1 m Die Flussbreite beträgt ca. 80,1 m. cos α

6 b) Wegen ABIICD gilt nac dem Stralensatz: AB AZ CD CZ AB AZ CZ CD 100 m AB 0 m 5 m AB 80 m Aufgabe 14 Im Punkt A wird der Teodolit, im Punkt B ein Stab mit Maßeineiten senkrect aufgestellt. Durc den Teodolit wird der Punkt B anvisiert, außerdem wird eine orizontale Visierlinie in der Höe des Teodolits betractet. Diese scneidet den Stab in Punkt C. Nun erfolgt die Messung des Winkels zwiscen diesen beiden Scenkeln. Im entsteenden rectwinkligen Dreieck kann man mit Hilfe des Tangens des Winkels unter Verwendung der Länge der Strecke [BC] die orizontale Entfernung der Punkte A und B berecnen. tan,4,5 m a a,5 m tan,4 54 m Die Geländepunkte sind orizontal 54 m voneinander entfernt. Aufgabe 15 a) α 90 ( ) 7 CAD: tan 7 CA 5 m CA 5 m tan 7 13 m Der Turm ist vom naen Flussufer etwa 13 m entfernt. D C b) CBD: tan m 13 m 36 m CB 5 m Der Fluss ist 36 m breit. CB 5 m tan m

7 Arbeitsplan: Trigonometrie am rectwinkligen Dreieck Jargangsstufe 9 Aufgabe 1 Es gilt: (cosα) + (sinα) 1 Expertenaufgaben - Lösungen cosα 1 sin(α) Aufgabe Koordinaten des Scnittpunktes: 3x + 8 1,5x + 3 x y 1, S ( ) Scnittwinkel: Neigungswinkel von G g : tan α 3 α 56,3 Neigungswinkel von G f : tan β 3 1 β 71,6 Scnittwinkel: γ 180 α β ,3 71,6 5,1 Aufgabe 3 a) Winkel GHD α (Z-Winkelsatz) GH 1631 m GH b) tan α DH tan α 1398 m DH Kartenmaßstab: 1398 m: ,6 cm Der Berggipfel ist vom Haus (gemessene Luftlinie) etwa 1630 m entfernt. Auf der Karte liegen die beiden Orte etwa 5,6 cm auseinander.

8 Aufgabe 4 Sei d die Höe im Dreieck ABE: d d AB sinα 5,36m AB Winkelsumme im Dreieck: ε AEB [180 5 ( )] 10 sin ε d BE d 146,03m BE sin ε sin β BE sin β 83,76m BE Der Turm weist eine Höe von etwa 84m auf. Aufgabe 5 BDC: tan 40 x I x tan 40 ADC: tan 5 e + x II (e + x) tan 5 III x tan 40 (e + x) tan 5 x tan 40 e tan 5 + x tan 5 x (tan 40 tan 5 ) e tan 5 e tan 5 x 6,5 m tan 40 tan 5 in I einsetzen: Die Projektöe beträgt ca. 5 m. x tan 40 6, 5 m tan 40 5 m Aufgabe 6 1 α 30 sin β 1 b a 3 γ ,5 130,5 β 19,5 Aufgabe 7 b sin β a b sin β a b sin β a b sin β a b sin β (dies entsprict Wortlaut) Aufgabe 8 Edi at nict rect. Bei einer direkten Proportionalität müsste sic bei Verdoppeln des Steigungswinkels auc die Steigung verdoppeln. Es müsste also z.b. gelten: tan(60 ) tan( 30 ) tan (30 ). Es gilt aber: tan(60 ) 3 ( 1,73) tan(30 ) 1 3 ( 1,15) 3