Skulptur. 0,25 m. 1,65 m 1,7 m Sockel. 0,6 m 0,6 m 10 m. Aufgabe 1: Die Skulptur

Transkript

1 Aufgabe 1: Die Skulptur Um die Höe einer Skulptur zu bestimmen, die auf einem Sockel stet, stellt sic eine Person (Augenöe 1,70 m) in einer Entfernung von 10 m mit dem Rücken zur Skulptur und ält sic einen 25 cm oen, ebenen Spiegel vertikal so vor das Gesict, dass sie darin die Skulptur gerade formatfüllend (one den Sockel!) siet. Der Abstand des Spiegels zum Gesict des Betracters beträgt dann 60 cm. Die Spiegelunterkante befindet sic 1,65 m über dem Boden. Wie oc ist die Skulptur? Entsceidend für die Lösung der Aufgabe ist eine gute Skizze, die den gegebenen Sacveralt darstellt. Diese muss keineswegs maßstabsgetreu sein: 0,25 m Skulptur 1,65 m 1,7 m s Sockel 0,6 m 0,6 m 10 m Beactet man, dass beim Spiegel Einfallswinkel gleic Ausfallswinkel gilt, so kann man die Skizze zu einer Stralensatzfigur ergänzen (in der Zeicnung gestricelt dargestellt.) Mit dem zweiten Stralensatz folgt: 10 m+0,6 m+0,6 m = 0, 6 m 0,25 m Damit gilt für die gesucte Höe der Skulptur: = 11,2 m 0,6 m 0,25 m 4,7 m Verwendungsvorsclag für diese Aufgabe: Bei Anwendungsaufgaben zu den Stralensätzen bestet die Scwierigkeit meist in der Konstruktion einer passenden Stralensatzfigur. Dabei kann eine informative Figur gute Dienste leisten. Dies muss jedoc geübt werden! Dazu kann diese Aufgabe eingesetzt werden. Die Aufgabe lässt sic statt über die Stralensätze auc mit Hilfe änlicer Dreiecke lösen.

2 Aufgabe 2: Baumspitze Der Scüler in der Abbildung ält seinen Kopf so, dass er die Baumspitze in dem am Boden liegenden Spiegel seen kann. (a) Wie oc ist der Baum? (b) Bei einem Sturm brecen die oberen 37,75 m des Baumes ab. In welcer Entfernung x vom Scüler muss jetzt der Spiegel liegen, damit er darin, bei gleicem Standort wie vorer, die neue Baumspitze seen kann? Bearbeitungstipp für (a) und (b): Bei der Reflexion des Lictes am Spiegel gilt das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel α = Ausfallswinkel β. 1,65m α β 0,9 m 24m (a) Bei dieser Aufgabe sollte erkannt werden, dass man den linken Teil der Zeicnung an der Grundlinie spiegeln kann um eine Stralensatzfigur zu eralten. Dass dies möglic ist, folgt aus der Tatsace, dass die Winkel α und β gleic groß sind: 1,65 m 0,9 m 24 m Mit dem zweiten Stralensatz lässt sic dann die Höe zu = (1,65 m * 24 m) / 0,9 m = 44 m berecnen. Die Aufgabe lässt sic auc one Stralensatz und Umstrukturieren der Figur lösen, wenn man änlice Dreiecke benutzt. (b) Auc diese Aufgabe lässt sic über informative Figur lösen. Diese kann wie oben gezeigt gleic als Stralensatzfigur gezeicnet werden: 1,65 m x 24,9m - x 6,25 m

3 Der Baumstumpf ist nur noc 44 m 37,75 m = 6,25 m oc, die Augenöe des Scülers ist noc immer 1,65 m und sein Abstand zum Baum bleibt bei 24,9 m. Der gesucte Abstand des Spiegels vom Scüler sei x. Damit ergibt sic mit dem zweiten Stralensatz: 1,65 / x = 6,25 / (24,9 x). Auflösen nac x liefert den gesucten Abstand: x = 5,20 m. Verwendungsvorsclag für diese Aufgabe: Bei dieser Aufgabe kann der Einsatz informativer Figuren bei Stralensatzaufgaben geübt werden. Die Aufgabe kann auc im Zusammenang mit dem Tema Änlickeit gestellt werden, da sie auc über änlice Dreiecke one Stralensätze elegant lösbar ist. Aufgabe 3: Facwerk Für den Bau eines Hauses ist eine Facwerkkonstruktion im Giebel geplant. Berecne die Länge der beiden fett gezeicneten Trägerbalken aus den gegebenen Größen a = 18 m, b = 5 m, c = 4 m und der Höe des Daces = 8,1 m. a b c Gegeben: a = 18 m, b = 5 m, c = 4 m und die Höe des Daces = 8,1 m. Gesuct: die Länge der beiden fett gezeicneten Trägerbalken. Entsceidend für die Lösung dieser Aufgabe ist die gescickte Zerlegung der Ausgangsfigur in Teilfiguren. Betractet man nur den Teil rects der eingezeicneten Höe und nur den vertikalen Balken, kann dessen Länge bezeicnet mit x direkt über Stralensätze bestimmt werden: x Aus x / c = / (b + c) folgt x = (c * ) / (b + c) = 8,14 * 4 / 9 = 3,6. Der vertikale Balken ist 3,6 m lang. Die Länge des orizontalen Balkens kann nun bestimmt werden. Dazu muss die bereits bestimmte Länge des vertikalen Balkens (x = 3,6 m) mit der Länge des unteren Abscnittes der Höe identifiziert werden. Die Länge des orizontalen Balkens kann dann direkt mit der großen

4 Stralensatzfigur oder durc Zerlegung der Gesamtfigur in zwei Teildreiecke abscnittsweise mit Hilfe einfacerer Stralensatzfiguren berecnet werden. Letztere Variante sei ier näer bescrieben: Man denkt sic den orizontalen Balken zusammengesetzt aus den beiden Teilstücken y 1 und y 2 links und rects der eingezeicneten Dacöe: y 1 y 2 a b c Mit Hilfe von Stralensatzfiguren lassen sic dann die folgenden Gleicungen aufstellen: a / = y 1 / ( 3,6) für das linke Teilstück y 1 und (b + c) / = y 2 / ( 3,6) für das recte Teilstück y 2. Mit den gegebenen Zalenwerten folgt y 1 = 10 m und y 2 = 5 m. Der orizontale Balken ist 15 m lang. Verwendungsvorsclag für diese Aufgabe: Die sinnvolle Zerlegung in Teildreiecke ist ein in vielen Bereicen der Geometrie nützlices Verfaren. Dies gilt für den Temenbereic Stralensätze ebenso wie für den Temenbereic Satz des Pytagoras. Diese wictige Anwendung des Zerlegungsprinzips kann anand dieser Aufgabe erausgearbeitet werden. Um dieses Ziel zu erreicen, kann die Aufgabe im Unterrictsgespräc gemeinsam bearbeitet und besprocen werden. Es ist aber auc möglic, die Aufgabe den Scülerinnen und Scülern erst zur selbstständigen Bearbeitung zu stellen und dann beim Besprecen des Lösungsweges auf das Zerlegungsprinzip einzugeen. Aufgabe 4: Das Regal Die Seitenteile eines Regals sind 1,8 m bzw. 1,5 m oc. Zur Stabilisierung des Regals sollen zwei Diagonalstreben eingebaut werden. In welcer Höe treffen sic die beiden Streben? 1,8m 1,5m Die Aufgabe siet auf den ersten Blick leict aus. Allerdings ist die Lösung mit Hilfe von Stralensätzen oder änlicen Dreiecken relativ kompliziert. Dafür müssen wenigstens eine Hilfslinie (Parallele zur Grundlinie durc den Scnittpunkt) und zwei weitere Variablen eingefürt werden, wodurc man mit drei Unbekannten arbeiten muss.

5 Eine elegantere Möglickeit ist die Lösung mit linearen Funktionen, die vom Recenaufwand geringer ist. Dazu stellt man Funktionsgleicungen für beide Diagonalen auf, wobei man den Ursprung des Koordinatensystems zum Beispiel in den Fußpunkt des linken Seitenteils legen kann. Zum Aufstellen der Funktionsgleicungen benötigt man den Abstand der Seitenteile voneinander. Hat man erkannt, dass unabängig von diesem Abstand ist, kann man in 1 setzen oder allgemein mit einem Parameter p bezeicnen, der sic bei der weiteren Recnung erauskürzt. Recnet man mit der Länge 1, ergeben sic folgende Geradengleicungen: y 1 = m 1 * x + b = -1,8 * x + 1,8 für die fallende Gerade und y 2 = m 2 * x + b = 1,5 * x für die steigende Ursprungsgerade. Am Scnittpunkt ist -1,8 * x + 1,8 = 1,5 * x Dies liefert x 0,55. Die zugeörige y-koordinate entsprict der gesucten Höe ( 82 cm.) Verwendungsvorsclag für diese Aufgabe: Diese Aufgabe zeigt, dass es sinnvoll sein kann, nac alternativen Lösungsmöglickeiten mit anderen matematiscen Mitteln zu sucen, anstatt - wie bei diesem Aufgabentyp meist üblic - mit den Stralensätzen zu arbeiten Je mer Lösungsansätze gefunden werden, desto größer sind die Cancen, ein Problem tatsäclic auc zu lösen. Die Aufgabe kann als Übungsaufgabe gestellt werden. Die Scülerinnen und Scüler können besonders viel dabei lernen, wenn sie dazu angeregt werden, versciedene Lösungswege zu finden. Daran kann sic eine Diskussion darüber anscließen, welce Lösungswege gefunden wurden und welce besonders sinnvoll sind. Aufgabe 5: Änlickeit (a) Mikroskope werden in der Cemie äufig eingesetzt, um kleine Kristalle besser betracten zu können. Erkläre, wo ierbei Änlickeit im Sinne der Matematik auftritt! (b) Sie dir die unten steende vergrößerte Abbildung genau an! Sie zeigt einen so genannten Silberbaum. Was kann man entdecken, wenn man einzelne Teile noc weiter vergrößert? Was bedeutet Änlickeit in diesem Zusammenang?

6 (a) Durc die Vergrößerung mit Hilfe des Mikroskops kann man den Kristall besser betracten. Ein Mikroskop vergrößert alle Strecken des Originals in einem bestimmten Maßstab. Das eißt, dass die Bildfigur dem Ausgangsobjekt änlic im Sinne der Matematik ist, da es sic ier um ein maßstabsänlices Vergrößern andelt. (b) Zoomt man (beispielsweise mit Hilfe des Mikroskops) näer an die Figur eran, kann man eine Figur entdecken, die der Ausgangsfigur änlic ist: Die Figur zeigt eine änlice Verästelung. Hierbei andelt es sic allerdings um keine Änlickeit im Sinne der Matematik, denn keine maßstabsgetreue Vergrößerung eines Teils der Figur entsprict der Ausgangsfigur. Weder die Winkel der Äste noc ire Anzal ist gleic. Die Änlickeit bestet ier allein in der Struktur.