Übungsblatt 2 Musterlösung

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1 MSE SoSe Übungsblatt Musterlösung Lösung 4 Einfluß von Randbedingungen) a) Durc Integration erälten wir: u x) = ux) = x x fy)dy +c = x π sinπz)+c b) Seien nun u) = u) = Daraus folgt: cosπy)dy +c = π sinπx)+c. ) dz +c = π cosπx)+c x+c. u) = π cosπ )+c +c = π! = c = π ; u) = π cosπ )+c +c = π +c π! = c = π. Also ist die Lösung zum omogenen Diriclet-Problem durc ux) = cosπx)+ π x gegeben. π π c) Die Lösung zum omogenen Neumann-Problem recnen wir wie im Teil b): u ) = π sinπ )+c! = c =. Mit der Bedingung u ) = erält man wieder, dass c =. Das eißt, die Lösung zum allgemeinen Neumann-Problem ist nict eindeutig, sondern ux) = π cosπx)+c ) ist eine Lösung für alle c R. Der Mittelwert der Funktion ) ist durc ) ū = ux)dx = π cosπx)+c dx definiert. Sein Mittelwert ist genau dann gleic Null, wenn c = ist. d) Es gilt wieder: u) = π cosπ )+c +c = π! =.5 c =.5 π ; u ) = π sinπ )+c = c! = c =.

2 e) N = ; x = linspace,,n); 4 % Loesung mit omogenen Neumann Randbedingungen 5 un = /pi*pi))*cospi*x); 7 % Loesung mit omogenen Diriclet Randbedingungen 8 ud = un + /pi*pi))*x /pi*pi))*ones,n); 9 % Loesung mit gemiscten Randbedingungen udn = un +.5*x +.5 /pi*pi))*ones,n); plotx,ud,'r', 4 x,un,'b', 5 x,udn,'k','linewidt',); legend'diriclet RB','Neumann RB','Gemiscte RB').5..5 Diriclet RB Neumann RB Gemiscte RB Lösung 5 Auslenkung eines elastiscen Seils) Eine möglice Implementierung der recten Funktion f könnte die Folgende sein: function y = rsx) % Unstetige Recte Seite ifx>.5 && x<.5) 4 y =.; 5 elseifx>4.5 && x<5.5) y =.; 7 else 8 y =.; 9 end end Die Lösung des Problems ) kann wie folgt berecnet werden: % Poisson Gleicung u''=f close all; 4 % Intervall 5 Int = [ ]; 7 % Anzal der inneren Stuetzstellen

3 8 n = 5; 9 % Laenge eines Elementes = Int) Int))/n+); % Aufstellen des Knotenvektors 4 nodes = linspaceint)+,int),n); 5 % Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 7 e = onesn,); 8 A = spdiags[ e,*e, e],[,,],n,n); 9 % Aufstellen des Lastvektors f = zerosn,); for i=:lengtnodes) fi) = *) * rsnodesi)); 4 end 5 % Loesen 7 u = zerosn+,); 8 u:n+) = A\f; 9 % Plot der Loesung figure); clf; title'loesung','fontsize',4,'color','r'); 4 old on;box on; 5 plot [Int);nodes;Int)],u,'b ','Linewidt',4, 'MarkerFaceColor','b'); 7 xlabel'variable x','fontsize',4,'color','k'); 8 ylabel'funktionswert u','fontsize',4,'color','k'); 9 axis[ ]); 4 setgca,'xtick',[ 4 8 ]); 4 setgca,'ytick',[ ]); 4 setgca,'fontsize',4); Funktionswert u Loesung Variable x Lösung Vergleic zwiscen FDM und FEM in D) Sei zuerst c =. Bei der Finite-Elemente-Metode betractet man eine scwace Formulierung der partiellen Differentialgleicung, in der die Differentialgleicung durc eine Testfunktion v die

4 die Randbedingungen u) = u) = erfüllt) multipliziert und dann auf [, ] integriert. Die scwace Formulierung der partiellen Differentialgleicung u = f lautet nac partieller Integration, siee Vorlesungsmitscrift): u v dx = fvdx. ) Wir setzen nun einen uniformen Gitter auf das Intervall [,] mit Punkten x i = i, i =,,N, wobei = /N für ein gegebenes N N. Als Basisfunktionen betracten wir die Hutfunktionen aus der Vorlesung, nämlic x x i, if x x i,x i ), ϕ i x) = x i+ x, if x x i,x i+ ), für i =,,N., sonst. Wir screiben nun die approximierte FE) Lösung als lineare Kombination der Basisfunktionen: N u x) = u j ϕ j x), ) j= wobei die Koeffizienten {u j } j unbekannt sind und müssen bestimmt werden. Ziel dieser Formulierung ist ein lineares Gleicungssystem für die Koeffizienten {u j } j zu eralten. In dem näcsten Scritt ersetzen wir die exakte Lösung u in der Gleicung ) mit der FE-Lösung u ), d.. gesuct ist eine Funktion u der Form ), die die Gleicung u v dx = fvdx erfüllt. Mit der Definition und Linearität von u folgt: N j= u j ϕ jv dx = N u j ϕ jv dx = j= fvdx fvdx Wir wälen nun als Testfunktion vx) die Hutfunktionen ϕ,ϕ,,ϕ N naceinander, um das folgende lineare Gleicungssystem zu eralten: ) ) ϕ ϕ dx u + + ϕ ϕ N dx u N = fϕ dx ) ) ϕ ϕ dx u + + ϕ ϕ N dx u N = fϕ dx ) ) ϕ iϕ dx u + + ϕ iϕ N dx u N = fϕ i dx ) ) ϕ N ϕ dx u + + ϕ N ϕ N dx u N = fϕ i dx. 4

5 In Matrix-Vektor-Form lautet das lineare Gleicungssystem: aϕ,ϕ ) aϕ,ϕ ) aϕ,ϕ N ) u f,ϕ ) aϕ,ϕ ) aϕ,ϕ ) aϕ,ϕ N ) u..... = f,ϕ )., aϕ N,ϕ ) aϕ N,ϕ ) aϕ N,ϕ N ) f,ϕ N ) wobei aϕ i,ϕ j ) = u N ϕ iϕ jdx, und f,ϕ i ) = fϕ i dx. Bestimmen wir jetzt analytisc die Einträge aϕ i,ϕ j ) und f,ϕ i ). Wir beobacten zuerst, dass der Träger der Hutfunktion ϕ i das Intervall x i,x i+ ) ist. Das eißt, der Term aϕ i,ϕ j ) ist ungleic Null, nur für j {i,i,i+}. Da konstant ist, reict uns die Terme aϕ,ϕ ) und aϕ,ϕ ) als Beispiel zu recnen: aϕ,ϕ ) = ϕ iϕ jdx = dx+ ) ) dx =. Für die Recnung von aϕ,ϕ ) beacten wir, dass suppϕ ) suppϕ ) = x,x ) =,). Daraus folgt: aϕ,ϕ ) = ϕ ϕ dx = ) dx =. Für den Term f,ϕ i ) gilt einfac: f,ϕ i ) = ϕ i dx = xi x x i x i dx+ xi+ x i x i+ x dx =. Das liefert die Matrix und den Vektor: A FEM = R N N f FEM Daraus folgen die Gleicungen A FDM =. RN. = AFEM erälten wir die Koeffizi- Beim Lösen des linearen Gleicungssystems A FEM enten und damit die approximierte Lösung ). und f FDM u i ) = f FEM = ffem. Sei nun c >. Die FE-Lösung u ist wieder durc eine lineare Kombination der Basisfunktionen ϕ i gegeben, wie in ). In der scwacen Formulierung muss man jetzt den Term 5

6 cu auc berücksictigen. Mit den gleicen Argumenten von oben muss die FE-Lösung u die Gleicung N N u j ϕ jϕ idx+c u j ϕ j ϕ i dx = fϕ i dx j= j= für alle i =,,N erfüllen. Diese Formulierung liefert das lineare Gleicungssystem wobei A FEM und f FEM A FEM +cm FEM )u i ) = f FEM, die gleicen Terme wie oben sind und M FEM M FEM = ϕ,ϕ ) ϕ,ϕ ) ϕ,ϕ N ) ϕ,ϕ ) ϕ,ϕ ) ϕ,ϕ N ).... ϕ N,ϕ ) ϕ N,ϕ ) ϕ N,ϕ N ) die Matrix ist mit ϕ i,ϕ j ) = ϕ i ϕ j dx. Änlice Überlegungen wie oben liefern: ) x xi xi+ x i ϕ,ϕ ) = dx+ ) xi+ x x xi ϕ,ϕ ) = usw. Das liefert die Matrix wärend M FDM M FEM = die Identitätsmatrix ist. Lösung 7 Lösung von einfacen PDGL) ) dx =, ) dx =, R N N, a) Da u xy u x = u y u) x ist, fürt die Substitution v = u y u auf die gewönlice Differentialgleicung: x v =. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleicung lautet: vx,y) = Ay), wobei wir mit A eine Funktion bezeicnen wollen, welce nur von y abängig ist und inreicend oft differenzierbar ist. Einsetzen in v = u y u fürt zu: u y u = Ay).

7 Die allgemeine Lösung zu dieser gewönlicen Differentialgleicung lautet ux, y) = Cx,y)e y. Zur Bestimmung von Cx,y) berecnen wir: Ay) = Cx,y)e y +C y x,y)e y Cx,y)e y = C y x,y)e y. Integriert man nac y, erält man für den Vorfaktor C: Cx,y) = Ay)e y dy +Bx), wobei B eine nur von x abängige Funktion ist, welce inreicend oft differenzierbar sein möge. Insgesamt ergibt sic die folgende Lösung: ) ux,y) = Ay)e y dy +Bx) e y. b) Durc die Substitution z = lnx lassen sic die ersten beiden Ableitungen nac x mit den Kettenregel transformieren, d.. es gilt u x x,y) = u z z,y) dz. Also eralten dx wir u x = x u z, u xx = u x x,y)) x = u z z,y) ) = x x u z + x u zz. Damit gilt für die Differentialgleicung aus b): x u zz +u z u =. Das Fundamentalsystem für diese GDL ist durc e z und e z bestimmt, d.. uz,y) = Ay)e z +By)e z. A und B sind Funktionen, welce von y abängen und inreicend oft differenzierbar sein sollen. Damit gilt für die Lösung der ursprünglicen Gleicung: ux,y) = Ay)x+By) x. c) Wir bestimmen zunäcst die Lösung des omogenen Systems: u yy +u y +u =. Sie besitzt die carakteristice Gleicung λ +λ+ =, die die Lösungen λ = +i und λ = i at. Dies fürt zu den Fundamentalbasis u = e +i)y und u = e i)y. Dann ist die allgemeine Lösung zum omogenen Problem durc u H x,y) = C x)e +i)y +C x)e i)y gegeben. Der Ansatz ux,y) = Ax)e y liefert die spezielle Lösung durc Einsetzen in die PDGL da u yy = u y = u = Ax)e y ): Ax)e y = 4e y. Für die Funktion A lesen wir Ax) = ab. Da die Lösung zur Aufgabe die Summe 5 der allgemeinen und speziellen Lösung ist, folgt: ux,y) = 5 ey +u H x,y) = 5 ey +C x)e +i)y +C x)e i)y. 7

8 d) Die Substitution v = u x +u fürt auf die gewönlice Differentialgleicung: y v +v =. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleicung lautet: vx,y) = Ax)e y, wobei wir mit A eine Funktion bezeicnen wollen, welce von x abängt und inreicend oft differenzierbar ist. Die Gleicung wird durc den Ansatz: u x +u = v = Ax)e y ux,y) = Bx,y)e x gelöst. Für die Funktion B ergibt sic durc Einsetzen: u x +u = B x x,y)e x Bx,y)e x +Bx,y)e x. Da u x +u = v = Ax)e y, eralten wir B x x,y) = Ax)e x e y und daraus folgt Bx,y) = Ax)e x dx e y +Cy). C bezeicnet wiederum eine Funktion, welce von y abängt und inreicend oft differenzierbar ist. Damit gilt: ) ux,y) = Ax)e x dx e y +Cy) e x. 8