Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2.

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1 Tangentensteigung Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P( ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P( ) und Q( ). Q soll so beweglic sein, dass er sic au dem Grapen in Rictung P verscieben lässt. 5 Q( ) P( )

2 -Metode Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P( ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P( ) und Q(+ (+) ). m Sekante = (+) = ++ = + m Sekante = + m Tangente = lim 0 (+) = 5 Q(+ (+) ) P( ) Begründung ür den letzten Scritt: Je kleiner ist, umso besser approimiert die Sekantensteigung die Tangentensteigung. Um dieses zu verdeutlicen, wälen wir ür Werte, die gegen null streben und betracten die Sekantensteigungen: = 0, m =, = 0,0 m =,0 = 0,00 m =,00 = 0,000 m =,000 5 = 0,0000 m 5 =, Die Folge der Sekantensteigungen strebt (monoton allend, d.. die Folgenglieder werden immer kleiner) gegen den Wert, , also. Der Grenzwert (Limes) beträgt.

3 Intervallscactelung Wir geen der Frage nac, wie man augrund von Näerungen zu einem eakten Ergebnis gelangen kann. Welces a ist ier nur möglic? a),7 < a <,,97 < a <,0,997 < a <,00,9997 < a <,000. b) 0,5 < a < 0, 0,0 < a < 0,05 0,005 < a < 0,00 0,000 < a < 0,0005. c) 6 < a < < a < 5 < a < 7. Um zu erkennen, au welcen Wert sic eine Intervallscactelung zusammenziet, reict die Kenntnis der recten (bzw. linken) Intervallgrenzen aus. Sprecweisen: Die Folge (der Intervallgrenzen) strebt gegen a, die Folge konvergiert gegen a, der Grenzwert ist a, der Limes ist a, lim n a n = a

4 Tangentensteigung -Metode Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P(a a ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P(a a ) und Q(a+ (a+) ). m Sekante = (a+) a = a +a+ a = a+ m Sekante = a+ m Tangente = lim 0 (a+) = a Q(a+ (a+) ) P(a a ) a

5 Ableitungsunktion a) Zwei geradlinig verlauende Straßenabscnitte untersciedlicer Höe werden durc eine Kurve verbunden. Skizziere die Ableitungsunktion. Diese Funktion gibt an jeder Stelle die Steigung (d.. Tangentensteigung) der Kurve an. b) Skizziere ür diesen Kurvenverlau die Ableitungsunktion. 5

6 Ableitungsunktion a) Zwei geradlinig verlauende Straßenabscnitte untersciedlicer Höe werden durc eine Kurve verbunden. Skizziere die Ableitungsunktion. Diese Funktion gibt an jeder Stelle die Steigung (d.. Tangentensteigung) der Kurve an. b) Skizziere ür diesen Kurvenverlau die Ableitungsunktion. 6

7 Tangentensteigung -Metode Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P(a a ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P(a a ) und Q(a+ (a+) ). m Sekante = (a+) a = (a+)(a+)(a+) a = (a +a ) a m Sekante = a m Tangente = lim 0 (a ) = a Q(a+ (a+) ) P(a a ) a (a+) = (a+)(a+)(a+) = a +a +a + 7

8 Vereinacung (a+) = (a+)(a+)(a+) = a +a +a + Es ist nict erorderlic, die Klammern auzulösen. Wie kann der wesentlice Term a ermittelt werden? a a a Die Produkte, die beim Ausmultiplizieren entsteen, entsprecen den Paden. Aus jeder Klammer von (a+)(a+)(a+) wird a oder ausgewält. a entsprict dem Pad aaa. Zu a (nur ein!) gibt es die Pade aa, aa und aa. Wie lautet ür (a+) der Term, der nur ein entält, und wie der ür (a+) 5? 8

9 Tangentensteigung -Metode Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P(a a ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P(a a ) und Q(a+ (a+) ). m Sekante = (a+) a = (a+)(a+)(a+)(a+) a = (a +a ) a m Sekante = a m Tangente = lim 0 (a ) = a Q(a+ (a+) ) P(a a ) a (a+) = a +a +6a +a + 9

10 Faktorregel Gegeben sind die Funktionen () = und g() =. Welcer Zusammenang bestet zwiscen den Steigungen? Verallgemeinere diesen. a g a Leite ab. a) () = 5 b) () = c) () = + 0

11 Faktorregel Gegeben sind die Funktionen () = und g() =. Welcer Zusammenang bestet zwiscen den Steigungen? Verallgemeinere diesen. a Der Grap von wird mit dem Faktor in -Acsenrictung gestauct. Die Steigung an der Stelle a albiert sic. () = g () = = g() = k() g () = k () g a

12 Zal als Summand () = + () =? Welces Scicksal widerärt dem konstanten Summanden?

13 Summenregel Gegeben sind die Funktionen () =, g() = und k() = ()+g(). Wie lautet k ()? Verallgemeiner dies. g a a +g Leite ab. a) () = + b) () = + 6 a c) () = ++5 Die Ableitung kann z.b. mit (Y = ()) Y = nderiv(y, X, X) gezeicnet werden.

14 Steigung an einer Stelle mit dem GTR: MATH 8: nderiv auruen (derivation, Ableitung). nderiv(funktionsterm oder z. B. Y, X, Stelle), X ist der Variablenname.

15 Quintessenz () = ++ Zal als Summand ällt raus. Faktorregel: Zal als Faktor bleibt eralten. Potenzregel: () = n () = n n Ableitung (Steigung) m = () = + Diese Zeile wird übersprungen. () = Die Ableitung gibt ür jede Stelle a die Steigung m der Tangente im Punkt P(a (a)) an, es ist m = (a). Das Vorzeicen von (a) gibt Auskunt über das Steigen und Fallen von. 5

16 . Wie groß ist die Fläce, die die Tangente an der Stelle = mit den Koordinatenacsen einscließt? () = +. Welcer ma. Steigungswinkel muss beim Faren über den Hügel bewältigt werden? () = 8 + 6

17 . Wie groß ist die Fläce, die die Tangente an der Stelle = mit den Koordinatenacsen einscließt? () = + Tangentengleicung: = + 7 A = 7 7 = 9 8. Welcer ma. Steigungswinkel muss beim Faren über den Hügel bewältigt werden? () = 8 + ( 6) = α =,7 Ergänzung: Wie groß ist der Steigungswinkel an der Stelle =? 8, 7

18 . Gegeben ist die Funktion () = ++. Bestimme a) die Nullstellen b) die - und -Koordinate des Sceitels. c) Bestimme die Gleicungen der Tangenten in den Nullstellen.. Gegeben ist die Funktion () = 6 +. Bestimme a) die Nullstellen b) die - und -Koordinaten der Punkte mit waagerecten Tangenten. 8

19 . Gegeben ist die Funktion () = ++. Bestimme a) die Nullstellen =, = 6 b) die - und -Koordinate des Sceitels. S( ) c) Bestimme die Gleicungen der Tangenten in den Nullstellen. Tangente an der Stelle : = + Tangente an der Stelle : = Gegeben ist die Funktion () = 6 +. Bestimme a) die Nullstellen =, = 0 b) die - und -Koordinaten der Punkte mit waagerecten Tangenten. E ( ), E (0 0)

20 5. Gegeben ist die Funktion () = +. Bestimme a) die Nullstellen b) die - und -Koordinaten der Punkte mit waagerecten Tangenten. 6. Gegeben ist die Funktion () = ++. a) Ermittle die Steigungen in den Nullstellen. b) An welcer Stelle beträgt die Steigung, an welcer Stelle? c) Untersuce, ob die Gerade = 6+0 eine Tangente ist. 7. Skizziere die Ableitungsunktion von

21 5. Gegeben ist die Funktion () = +. Bestimme a) die Nullstellen 6 5 = 0, = b) die - und -Koordinaten der Punkte mit waagerecten Tangenten. E (0 0), E ( 7 ) Gegeben ist die Funktion () = ++. a) Ermittle die Steigungen in den Nullstellen. ( ) =, () = b) An welcer Stelle beträgt die Steigung, an welcer Stelle? ( ) =, ( ) = c) Untersuce, ob die Gerade = 6+0 eine Tangente ist. keine Tangente, Tangente an der Stelle = lautet: = Skizziere die Ableitungsunktion von

22 . Gegeben ist die Funktion () = +. Bestimme die -Koordinaten der a) Nullstellen b) Punkte mit waagerecten Tangenten.. Gegeben ist die Funktion () = + a) Wie lautet die Gleicung der Tangente im Punkt P(?). b) Gib die -Koordinaten derjenigen Punkte an, in denen die Funktion Tangenten besitzt, die parallel zur Geraden = 5+ verlauen.. Gegeben sind die Funktionen () = + und g() = 5+6. a) Gibt es eine Stelle, an der und g dieselbe Steigung aben? b) An welcen Stellen at Tangenten, die mit der -Acse einen Winkel von 5 einscließen?

23 . Gegeben ist der Grap der Funktion. Skizziere au diesem Zettel. a) b) Gegeben ist der Grap von. Skizziere au diesem Zettel. Der Punkt P soll au dem Grapen von liegen. a) b) P P

24 . Gegeben ist die Funktion () = +. Bestimme die -Koordinaten der a) Nullstellen = 0, / = ± b) Punkte mit waagerecten Tangenten. E (0 0), E / ( ± ) Gegeben ist die Funktion () = + a) Wie lautet die Gleicung der Tangente im Punkt P(?). = 6+ b) Gib die -Koordinaten derjenigen Punkte an, in denen die Funktion Tangenten besitzt, die parallel zur Geraden = 5+ verlauen. / = ±. Gegeben sind die Funktionen () = + und g() = 5+6. a) Gibt es eine Stelle, an der und g dieselbe Steigung aben? = 5, = 5 b) An welcen Stellen at Tangenten, die mit der -Acse einen Winkel von 5 einscließen? =, = =, =

25 . Gegeben ist der Grap der Funktion. Skizziere au diesem Zettel. a) b) Gegeben ist der Grap von. Skizziere au diesem Zettel. Der Punkt P soll au dem Grapen von liegen. a) b) P P

26 Bergwanderung Ein Wanderer steigt au einen Berg, dessen Silouette durc () = 0,07 0,0 gegeben ist (Angaben in km). a) Welce Querscnittslänge at der Berg? b) Wie oc ist der Berg? c) Wie groß ist der Anstieg maimal, wenn der Wanderer von Westen (von Osten) kommt? 0, 0,

27 Bergwanderung Ein Wanderer steigt au einen Berg, dessen Silouette durc () = 0,07 0,0 gegeben ist (Angaben in km). a) Welce Querscnittslänge at der Berg? b) Wie oc ist der Berg? c) Wie groß ist der Anstieg maimal, wenn der Wanderer von Westen (von Osten) kommt? 0, 0, α β Scnittpunkte mit der -Acse: N (0 0), N (7 0) Ma(,667 0,508) Wendepunkt(, 0,5) maimaler Anstieg, Winkel α = arctan( (,)) = 9, β = arctan( (7)) = 6, 7

28 Gegeben ist der Grap von. Skizziere au diesem Blatt einen möglicen Verlau von. a) b) c)

29 Gegeben ist der Grap von. Skizziere au diesem Blatt einen möglicen Verlau von. at an der Stelle = einen Sattelpunkt. a) b) Für liegt an der Stelle = ein Vorzeicenwecsel von nac + vor und an der Stelle = 5 von + nac. Das bedingt ür ein Minimum und an der Stelle = und ein Maimum an der Stelle = c) 5 Der Grap von ist monoton allend