Mathematik - Oberstufe
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- Jacob Hoch
- vor 9 Jahren
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1 Matematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu Ableitungen, Tangenten, Normalen Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Scwerpunkt: Differenzenquotient, Differenzialquotient, Ableitung, Tangente, Normale Aleander Scwarz Letzte Aktualisierung: November 9 Datei: Übungsaufgaben zu Ableitungen, Tangenten, Normalen
2 Übungsaufgaben zu Ableitungen Tangenten, Normalen Definition Ableitung: f( f(a f (a a a f(a f(a f (a (-Metode (-Metode Ableitungsregel: f( a n f ( a n n Punkt-Steigungs-Form: y y m ( Normalensteigung: m m Tangente Normale Aufgabe : Bestimme mit Hilfe der -Metode und der -Metode die Tangentensteigung an der Stelle von folgenden Funktionen: a f( b f ( c f ( Aufgabe : Die Funktion s(t t t 6 bescreibe für ein Farzeug den zurückgelegten Weg in Meter an nac t Minuten. a Welcen Weg at das Farzeug nac Minuten zurückgelegt? b Welce Durcscnittsgescwindigkeit besitzt das Farzeug in den Zeitintervallen t bzw. t? c Berecne die Momentangescwindigkeit des Farzeugs nac 8 Minuten mit Hilfe des Differenzialquotienten und prüfe dein Ergebnis durc direktes Ableiten. Aufgabe : Bestimme die Gleicung der Tangente und der Normale an das Scaubild von f( im an der Stelle. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f(. a Berecne die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe des Differenzialquotienten mit der - Metode an der Stelle b Welcer Punkt auf dem Scaubild von f besitzt eine Tangente mit der Steigung 7? c Bestimme die Gleicung der Tangente aus a.
3 Aufgabe : Leite einmal ab: 6 a f( 6 b f(t t 7 c t d f ( 6 t e g(r s z r f g(s (s f( Aufgabe 6: Bestimme die Ableitung folgender Funktionen: a 8 f(, 8 b c ( 7 g( d f(a a b e f(b b a f f(a b a g i f (q p s q r f( f( a b 6 Aufgabe 7: August 999: In der Stowe-Kurve in Silverstone versagen Micael Scumacer die Bremsen und die Lenkung an der Stelle - an dem durc die Funktion f mit f( gegebenen Streckenverlauf. a Bestimme die Gleicung der Funktion, die den weiteren Fartverlauf nac dem Versagen der Bremsen und der Lenkung bescreibt. b Im Punkt A(/ trifft der Ferrari auf die aufgestapelten Autoreifen, die den Aufprall auf die Mauer dämpfen sollen. Beim Aufprall fliegt das linke Vorderrad im recten Winkel zur Aufprallrictung davon. Bestimme die Gleicung der Funktion, die die Flugban des Reifens bescreibt. Aufgabe 8: Gegeben sind die Funktionen f ( und g (. Die senkrecte Gerade g mit der Gleicung a scneidet das Scaubild von f im Punkt P und das Scaubild von im Punkt Q. Bestimme a so, dass die Tangenten in P und Q parallel sind. Aufgabe 9: Gegeben ist die Funktion f mit f(,. Bestimme die Scnittpunkte der Tangente und der Normalen im Punkt P(-/f(- mit der -Acse. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f( ( (. Bestimme die Tangentensteigungen in den Scnittpunkten mit den Koordinatenacsen.
4 Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f (. Die Tangente an das Scaubild von f im Punkt P(-/f(- scneidet das Scaubild von f in einem weiteren Punkt Q. Bestimme die Koordinaten von Q eakt. Aufgabe : Zeige, dass sic die Scaubilder von f( und ga ( a im Punkt S(/ für jeden Wert von a rectwinklig scneiden.
5 Musterlösungen zu Ableitungen, Tangenten, Normalen Aufgabe : a -Metode: 9( 6 ( 7 6 f( f( 9 6 (die Faktorzerlegung im Zäler erfolgt mit Polynomdivision -Metode: (7 6 ( ( f( f( 8 ( 8 ( 8 b -Metode: f( f( ( ( ( -Metode: (7 8 ( f( f( 9 7 8( ( (7 9 7 ( c -Metode: ( ( 9 ( ( ( ( ( f( f( 6 ( ( ( Bei Wurzelfunktionen muss mit Hilfe der. binomiscen Formel der Bruc erweitert werden.
6 -Metode: f( f( ( ( 9 ( ( 9 ( 9 ( 9 9 Bei Wurzelfunktionen muss mit Hilfe der. binomiscen Formel der Bruc erweitert werden. Aufgabe : a Es gilt s( 6 8 Nac Sekunden at das Farzeug m zurückgelegt. b Die Durcscnittsgescwindigkeit entsprict der Steigung der Sekante: Zeitintervall t : Zeitintervall t : s( s( m s s( s( 6 6, 7 Durcscnittsgescwindigkeit m 6, s c Momentangescwindigkeit nac 8 Sekunden: (8 (8 6 s(8 s(8 Durcscnittsgescwindigkeit 6 (6 (6 m 6 s Momentangescwindigkeit Direktes Ableiten: s (t t m Es gilt: s (8 8 6 Momentangescwindigkeit s Aufgabe : Der Punkt an der Stelle at den y-wert y f(, also P(/-. Es gilt f ( 8. Steigung der Tangente in P: f ( Aufstellen der Tangentengleicung mit der Punkt-Steigungs-Form: y ( ( y Tangentengleicung. Steigung der Normale: mnormale mtangente Aufstellen der Normalengleicung mit der Punkt-Steigungs-Form: y ( ( y, Normalengleicung 6
7 Aufgabe : f( f( ( ( ( a Es gilt f ( 6 (6 (6 6 b Es gilt f ( 6 (durc direktes Ableiten oder mit a. Aus f ( 7 folgt 7 6 Wegen f( lauten die Koordinaten des Punktes P(/. c Tangentengleicung mit der Punkt-Steigungs-Form: y 7 ( y 7 Aufgabe : a f( 6 f ( b 6 8 f(t t t 7 f (t t c g(s s s g (s 8s d f ( 8 e g (r f f( 6 f ( 6 8 Aufgabe 6: a f 7 ( 7 6 b g( g ( c ( a b 7 d f(a f (a b a e f(b b a f (b a b f f (a b g f (q q i f ( a b f( 7 ( 9 f (, 7
8 Aufgabe 7: a An der Stelle - färt das Farzeug entlang der Tangente im Kurvenpunkt P(-/f(-, also in P(-/. Es gilt f ( und damit ist die Tangentensteigung in P f (. Tangentengleicung mit Punkt-Steigungs-Form: y ( y 6 b Der Punkt A(/ liegt auf der Tangente aus a. Das Vorderrad fliegt auf einer Gerade, die ortogonal zur Tangente verläuft und den Punkt A(/ entält. Für die Steigung m der gesucten Geraden gilt m m Tangente m Punkt-Steigungs-Form: y ( y, Flugban des Reifens Aufgabe 8: Die Tangenten in P(a/f(a und Q(a/g(a sind parallel, wenn gilt: f (a g (a. Es gilt f ( und g (. Somit soll gelten: a a a a, 97 a a 6 6 8
9 Aufgabe 9: Aufstellen der Tangentengleicung im Punkt P(-/: Aus f (, 6 folgt m Tangente f (. Punkt-Steigungs-Form: y ( y Tangentengleicung Scnittpunkt der Tangente mit der -Acse:, also S(-/. Aufstellen der Normalengleicung im Punkt P(-/: Es gilt mnormale mtangente Punkt-Steigungs-Form: y ( y Normalengleicung Scnittpunkt der Normale mit der -Acse:, also R(/. Aufgabe : Berecnung der Scnittpunkte mit der -Acse: f( ( ( Die Lösungen der Gleicung können direkt abgelesen werden: oder Die Scnittpunkte mit der -Acse lauten P(/ und Q(/. Berecnung des Scnittpunktes mit der y-acse: f( 9 und somit R(/-9. Für die Ermittlung der Steigung wird die Ableitungsfunktion benötigt. f( ( ( f ( Steigung in P: f ( Steigung in Q: f ( Steigung in R: f ( 9
10 Aufgabe : Tangentengleicung im Punkt P(-/-: Mit f ( folgt m Tangente f (. Punkt-Steigungs-Form: y ( y Tangentengleicung Scnittpunkt der Tangente und des Scaubildes von f: Die Lösung der Gleicung erfolgt mit Hilfe der Polynomdivision. Eine Lösung der Gleicung lautet - (da die Tangente das Scaubild an der Stelle - berürt, ist diese Lösung scon gegeben. Polynomdivision: ( : ( Die Gleicung liefert mit der Mitternactsformel die Lösungen - und. Damit lautet der Punkt Q(/f( also Q(/8. Aufgabe : Es gilt f( ga ( und damit liegt der Punkt S(/ auf den Scaubildern von f und von g a für jeden Wert von a. Damit sic die Scaubilder in S rectwinklig scneiden, muss gelten: f ( g ( Es gilt f ( und ( a g a f ( g a( ( also rectwinkliger Scnitt für jeden Wert von a.
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