Lösungen zu delta 10 H

Transkript

1 Kann ic das noc? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) T () = ( ) + ( + ) + = = = = b) T () = ( + a) a(a + ) = = + a + a a a = = c) T () = ( ) ( + ) ( ) = = = = d) T 4 () = ( )( + ) ( ) = = ( ) + = = = = + 6 e) T () = ( ) + ( + ) ( ) + = = = = +. a) 9 = 8, also falsc _ b) _ + = 8 = 4 = 6 = 48, also war c) _ 60 = 900 = 0; ( 6 ) = 6 = 0, also war d) + =, also war e) _ + = 4 = ; 9 = 6 = 4 =, also war f) ( ) 4 = ( + ) = ( ) = = = 7 7 6, also falsc. a) = 4 6 b) + = 0 c) ( + ) + = 4 = = 4 d) = e) 8 0 _ _ = = =

2 4. a) 4 d) 0 b) 0 0 e) 0 4 c) a), + = 9,9; +,9 0,8 = 8; : 0,8 = 0 X G; L = {0} b) = 4 4 ; 0 4 = ; =,8; : 0 =,8 X G; L = {,8} c) (60 + ) + 00 = 0; = 0; + 94 = 0; 94 = 94; : = 47 G; L = { } d) 7 4 ( + ) 4( ) + 76 = 0; = 0; 0 = 0: falsc; also ist _ L = { }. e) + + ( + ) = 9; = 9; 6 9 = 9; = ; : (6 ) = X G; L = {} f) ( ) + 6 = 0; = 0; = 0; 4 8 = 4; : ( 8) = X G; L = {} g) 6 8 = ; 8 = ; 8 = 0; : ( 8) = 0 X G; L = {0} ) + 6 _ 9 4 = ; 4( + 6) (9 ) = ; = ; 7 + = ; 7 = ; :( 7) = X G; L = {} i) = ; + = ; : = 6; = 6 X G; L = {6}

3 6. a) L = { 4; } b) L = {0; } c) L = {} d) ( + )( + ) = 0; L = { ; } e) ( )( 6) = 0; L = {; 6} f) L = {0}, da G ist g) ( + )( 8) = 0; L = { ; 8} ) ( + )( + ) = 0; L = { ; } i) ( 6) = 0; L = {6} 7. a), = ( 0) ± _ ( 0) 4 8 = 0 ± 8 6 ; b) = _ ± = _ ± 4 ;, = 6 = 4 ; = 8 6 = ; = ; = ; L = { ; 4 } L = { ;_ } c) ( + 0,7)( 0,) = 0; d), = _ ± 6 = ± G; 4 4 L = { 0,7; 0,} L = { } [D = ( ) 4 7 = 6 = < 0] _ e) ( + )( ) = 0; = ; f) = ist für jeden Wert von L = { ; } X G war: L = G = 8. a) 7 > 4 + ; b) 7 + < + 9; > 0; : ( ) 6 < 8; : 6 < 0; G = : < ; G = : L = ] ; 0[ L = {0; ; } c) < 6; G = : d) L = { } L = { ; 4; ; ; ; ; 4; } e) < 6; G = : f) + < ; + 8 L = { 4; ; ; ; ; 4; ; 6} 6 < ; : 6 <,; G = : L = ] ;,[ 9. a) Kongruent zur Normalparabel sind P, P 4, P, P 7, P 9 und P 0, also _ 6 0 = 60%. b) Nac oben geöffnet sind P, P, P 4, P und P 9, also 0%. c) Durc den Ursprung verlaufen P und P 8, also 0%. d) Weiter als die Normalparabel sind P und P 8, also 0%. e) Keinen Punkt mit der -Acse gemeinsam at nur eine der Parabeln, nämlic P 7 ; also 0%. f) Durc alle vier Quadranten verlaufen P, P und P, also 0%. g) Diese Eigenscaft besitzt nur P 6 ; also 0%. Gleicungen in Sceitelform und Grapen: P : = ( ) = + = ( ) ; P 8 : = 0,( 0 + ) +, = 0,( ) +, P P 8 O 0 O

4 4 0. a) g: =, + 6; A = 4 6 = ; tan ϕ =,; ϕ 6 b) g: = + 6; S ( 0); T (0 6); A = 6 = 6; tan ϕ = ; ϕ 7 c) g: = + 4; S ( 0); T (0 4); A = 4 = 4; tan ϕ = ; ϕ 6 d) g: = ; A ( 0); T (0 ); A = = 0,; tan ϕ = ; ϕ = 4. a) L = {( 4; 6)} b) L = {(; )} c) L = {(; )} d) L = {(; ) = + } e) L = {(; ; )} f) L = {(; ; )} g) L = {( ; ; )} ) L = {(4; 4; 4)}. () a) sin α = a c ; cos α = b c ; (sin α) + (cos α) = a c + _ b c = a + b c = c c = (Satz von Ptagoras) b) cos β = a c ; tan β = b a ; cos β tan β = a c b a = b c = sin β c) tan α = a ; tan β = b b a ; _ tan β = a b = tan α d) sin β = c a ; = a sin β; c A ABC = c = c a sin β = ac sin β c e) sin α = c = b sin α; b ; c A ABC = c = c c b sin α = bc sin α f) sin α = a c ; a = c sin α; cos α = b c ; b = c cos α; U ABC = c + a + b = c + c sin α + c cos α = = c( + sin α + cos α) () a) cos 4 = sin 4 b) cos 0 (= ) = sin 0 = tan 4 c) cos 67 sin = 0 d) sin 0 + cos 60 ( = + = ) = sin 90 e) tan 0 + sin 0 + cos 0 (= ) = f) sin 4 cos 4 + tan 4 ( = + = ) = sin 90 g) (sin ) + (cos ) (= ) = cos 0 ) sin 90 (= ) < sin 0 ( = =, ) i) cos 90 (= 0) < cos 4 (= )

5 Kann ic das? Lösungen zu Seite 0. a) = f() = b) Zeicnung: * O S (,,) c) Umkerfunktion f*: = ; = ; + = + ; D f* = W f : f*: f*() = + ; D f* = Scnittpunkt von und * : = + ; + S S S 8 = 4; : S ( 8 ) S = _ 8 =,; = 4, + =,; S S (,,). a) n s(n) G S n b) Die Funktion s ist umkerbar, da jedem Wert von X W S genau ein Wert von n X D S zugeordnet wird.

6 6. a) Man substituiert = u und erält u u = 0; u = 4; u =, < 0., = 4; = ; =,4 =,: keine reellen Lösungen Lösungsmenge: L = { ; } b) Man substituiert = u; u 09u = 0; (u 00)(u 9) = 0. u = 00; = 00; = 0; = 0; u = 9; = 9; = ; = Lösungsmenge: L = { 0; ; ; 0} 4. a) 0,( + )( + )( ) = 0; L = { ; ; } b) ( + )( ) = 0; L = { ; 0; } c) ( + )( 4 + ) = 0; L = { } ( 4 + für X ). Bedingung wird erfüllt von () () () (4) () f f f f 4 Von den vier Funktionen f bis f 4 erfüllt nur f alle fünf Bedingungen. 6. f(0) = f(0) f(0); f(0) = [f(0)], also [wegen f(0) > 0] f(0) = f() = f( + ) = f() f() = [f()] ; [f()] = 9, also [wegen f() > 0] f() = f() = f( + ) = f() f() = 9 = 7 f(4) = f( + ) = f() f() = 9 9 = 8 oder f(4) = f( + ) = f() f() = 7 = 8 7. a) f() 4 4 b) f() 0, 6 c) f() d) f() 8. Nullstellen der Funktion f: f() = 0,( + )( ) ; D f = : einface Nullstellen: = ; = 0; doppelte Nullstelle:,4 =. < = < < 0 = 0 0 < < = > + < 0 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0 0 > 0 > 0 > 0 ( ) > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 0 > 0 f() > 0 0 < 0 0 > 0 0 > 0 N N N,4 Der Grap kann also nict durc die drei getönten Felder verlaufen:

7 7 Kann ic das? Lösungen zu Seite 64. Funktionsterme: f() =, + ; g() = b) Funktionen: f*: f*() =, ; D f* = ; g*: g*() = ; D g* = c) Koordinaten: S ( 0); B* ( 0,) Fläceninalte: A BSB* = ( + ) ( 4 4 ) cm = cm _ CA : B*B = : _ = : 4; CA = 4 cm = _ 4 6 cm (. Stralensatz; V-Figur mit Sceitel S); A II. Quadrant = _ 6 cm = _ 6 cm _ 6 Bructeil: _ = _ 6 6,% Umfangslänge: _ BS = _ ( + ) + 4 cm = cm = 4 9 cm 4,8 cm; SB* = ( + ) + ( 4 ) cm = _ 7 44 cm = _ 0 cm,68 cm; U BSB* 4,8 cm +,68 cm +,7 cm =,4 cm Winkelgrößen: A BSB* = B*B SB* sin α; sin α 0,996; α 9,4 ; A BSB* = _ BS B*B sin β; sin β 0,; β,7 ; γ 0,9 a) * G g* γ S A C 0 G g B β α B*. a) + = 4 ; + = 4; = X G; L = { } b) + = 0; + 4 = 0; = 0; : = 4; = ; = X G; L = {} c) log + log ( ) = log (6 ); log + log = log 6; (log 6 log ) = log ; :(log 6 log ) log = log 6 log = log log, X G; L = { log log, } d) + > für jeden Wert von X G; also ist L = { }. e) log _ = log 9; _ = 9; ( ) = 8 9; = 8; : 0 =,8 X G; L = {,8} log,. a) log < < log, ; 0,9 < <,80 b) log 0, < < log ; 0,0 < <,04 log c) 0,0 < < 00

8 8 4. a) 0,8 b) 0,4 = = 0,,8 0,8 0,4,8. a) log ( + ) log [( + )] = log _ + ( + ) = log 0, (= _ log log 0,6) b) log [log (log 6)] = log [log 8] = log (= _ log log,8) 6. a) Das Kapital wäcst auf ( 000 f,04 ) 6 0,9 f an. b) f = 000 f,04 n ; : ( 000 f),04 n log = ; n = log,04 =,74 Nac etwa 6 Jaren at sic das Kapital verdoppelt. c) 000 f ( p + 00 ) 0 = f; : ( 000 f) p ( + 00 ) 0 p = ; + 00 = 0 ; p = 00 ( 0 ) 7,8. Herr Stein ätte das Kapital zu etwa 7,8% p. a. anlegen müssen. 7. a) Bevölkerungszal im Jar 00: (, 0 6 ),0,6 Millionen Verdopplung der Bevölkerungszal:,0 = ; 8, Nac etwa 8 Jaren, also im Jar 0, at sic die Bevölkerungszal verdoppelt. b) Bevölkerungszal im Jar 00: (, 0 6 ) 0,997,7 Millionen Halbierung der Bevölkerungszal: 0,997 = 0,; 77 Nac etwa 77 Jaren, also im Jar 7, at sic die Bevölkerungszal albiert. 70 a 70 a 8., =, 0, ; :, 0, = _,, ; _ log 0, = log _, ; 64 a: 70 a, Die Knocen waren etwa 600 Jare alt. 9. Jeder Mitarbeiter erält nac zenjäriger Betriebszugeörigkeit 00 f; dieser Betrag soll mit weiterer Betriebszugeörigkeit steigen. Vorsclag A: Nac weiteren n Jaren erält jeder Mitarbeiter 00 f + n 0 f. Vorsclag B: Nac weiteren n Jaren erält jeder Mitarbeiter 00 f,07 n. Bei einer weiteren Betriebszugeörigkeit von 8 (oder weniger als 8) Jaren ist der Vorsclag A für die Arbeitnemer günstiger: 00 f f = 60 f; 00 f,07 8 6,70 f Bei einer weiteren Betriebszugeörigkeit von 9 (oder mer als 9) Jaren ist dagegen der Vorsclag B für die Arbeitnemer günstiger: 00 f f = 80 f; 00 f,07 9 8,4 f

9 9 Kann ic das? Lösungen zu Seite 76. a) ϕ b) ϕ 40 c) ϕ 7 ϕ 8 ϕ 0 ϕ 7 ϕ 6 ϕ 400 ϕ 97. a) 4 π b),6 c) 0,8 4 π,0,9 4 π 8,44 7,4. Abszissen der gemeinsamen Punkte der beiden Grapen: sin = tan = cos sin ; cos (cos 0) sin cos = sin ; sin (cos ) = 0; d.. entweder sin = 0; 0 = 0; = π; allgemein: k = k π; k X, oder cos = ; 0 = 0; * = π; allgemein: k = k π; k X, also zusammengefasst: k = kπ; k X. Ordinaten der gemeinsamen Punkte: k = sin k = sin (kπ) = 0 = tan k Alle gemeinsamen Punkte der Sinus- und der Tangenskurve (also sowol die Scnitt- wie auc die Berürpunkte) liegen wegen k = 0 auf der -Acse. 4. a) blau: a = b) blau: b = ; p = π grün: a =, grün: b = 4; p = π rot: a = 0, rot: b = 0,; p = 4π Periode: π Amplitude:. a) b) G () G g π π 0 () π 0 () () π () G π G g () sin sin () sin () cos cos [ 0, ( π ) ] cos [ 0, ( π ) ] Amplitude Wertemenge [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ _ ; ] [0; + _ ] 6. a) = cos b) = 0, sin (0,) + 7. _ OP = 4 cm sin ϕ; PT = 4 cm cos ϕ; A TOP = _ OP PT = 8 cm sin ϕ cos ϕ 8. Koordinaten der Zeigerspitzen um 6 Ur (Ursprung: Mittelpunkt des Zifferblatts; positive -Acse: -Ur- Stellung des Stundenzeigers; Eineit: m): S (0,4); S (0,84 cos 0 0,84 sin 0 ) = (0,4 0,4) Entfernung: S S = (0,4 0) + ( 0,4,4) = 0,9 +,4 =,846; S S =,96: die Zeigerspitzen sind um 6 Ur,96 m weit voneinander entfernt.

10 0 Kann ic das? Lösungen zu Seite 04. () m() = ( _ ) ( ) = = _ 4 lim ( + ) = 4 + () m() = ( _ ) ( ) = + = _ 4 lim ( + ) = 4 Wegen lim m() = lim m() = 4 ist lim m() = 4. + = ( + )( ) = + ; > = ( + )( ) = + ; < V(r + ) V(r). Der Term _ ( > 0) bedeutet die mittlere Volumenzunamerate, wenn die Radiuslänge um zunimmt. 4 _ V(r + ) V(r) = (r +) π 4 r π 4 _ = π (r + r + r + r ) 4 = π (r + r + ) = 4 π (r + r + ); V (r) = lim [ 4 π (r + r + ) ] = 4 π r = 4r π: Dies ist der Kugeloberfläceninalt. 0 f( + ) f(). a) f () = lim = lim ( + ) ( ) = lim _ 4 + = (4 + ) = lim = lim [ (4 + ) ] = Ableitungsfunktion: f : f () = 4; D f = _ f( + ) f() b) f () = lim ( + ) = lim _ ( + ) = lim _ ( + ) = lim ( + ) = lim _ ( + ) = _ Ableitungsfunktion: f : f () = _ ; D = \ {0} f 4. a) f() = 4 + ; f () = 8 + ; f () = f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = 8; t P : = 8 b) f() = + 4; f () = ; f () = f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = ; t P : = + Scnittpunkt von t P mit der -Acse: = 0; 0 = + ; + = ; : =,; S (, 0) Steigung von n P : _ = 0,; Gleicung von n : = 0, + t*; da P ( ) P X n ist, gilt = 0, + t*; P t* =,; n P : = 0, +, Scnittpunkt von n P mit der -Acse: = 0; 0, +, = 0;, 0, =,; : 0, = ; S ( 0) Dreiecksinalt: A = S ( +,) =, S P Umkreis: r Umkreis = ( +,) =,7; A = Umkreis,7 π 44, Prozentsatz: etwa _, 44, % c) f() = ( ) = ; f () = 6 ; f () = 6 oder (Produktregel) f() = ( ); f () = ( ) + ( 0) = + = 6 f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = ; t P : = d) f() = ; f () = ; f () = 6 4 f() = ; f () = ; t P : = + t; da P X t P ist, gilt = + t; t = ; t P : = +

11 . Bei beiden Abbildungen ist einer der beiden Grapen und der andere. a) Die rote Kurve ist ; die grüne Kurve ist. Begründung: Die Abszissen der Punkte von, in denen eine orizontale Tangente besitzt, stimmen mit den Nullstellen der durc dargestellten Funktion überein, aber nict umgekert. b) Die grüne Kurve ist ; die rote Kurve ist. Begründung: Die Tangentensteigung von nimmt zu, demgemäß ist steigend; umgekert ist dies nict der Fall. f() f(0) 6. Für > 0 gilt = _ = 4 = ; lim = 0; 0+ f() f(0) für < 0 gilt = _ = 4 = ; lim = 0 = lim : 0 0+ Die Funktion f: f() = 4 ; D f =, ist also an der Stelle 0 = 0 differenzierbar, und es ist f (0) = Q ( ); Gleicung der Parabel P : = a( ) + ; Q X P : = a ( ) + ; a = P : = ( ) + = + + = + Steigung von P (und von P ) im Punkt Q:. Ableitung: = ; an der Stelle = : m tq = 4 = Gleicung der Tangente t Q : = + t; Q X t Q : = + t; = 4 + t; 4 t = t Q : = Parabel P : = f() = + b + c Q X P : = + b + c; + 4 b + c = 7 (I) f () = + b; f () = 4 + b = m tq = ; b = 6; eingesetzt in (I) 6 + c = 7; c = Gleicung von P : = + 6 = ( ) + 9 = ( ) + 4 a) Der Teil der Parabel P links oberalb des Punkts R ( 4) b) Der Teil der Parabel P links unteralb des Punkts R ( 0).

12 Kann ic das? Lösungen zu Seite. a) -Acsenpunkte: f() = 0; 6 ( + ) ( ) = 0; = ; =,; N ( 0); N (, 0) -Acsenpunkt: f(0) = 6 = _ 0 ; P (0 _ 0 ) b) f() = 6 ( )( ) = = 6 ( ) = = 6 ( + + 0); f () = 6 ( ) = + = = ( + ) = = ( + )( ); f () = ; f () = 0; f () = 0: = ; = ; f( ) = 0; f ( ) = > 0: Tiefpunkt T ( 0) f() = 4,; f () = < 0: Hocpunkt H ( 4,) [oder: Argumentation mit Vorzeicenwecsel von f (); s. Tabelle] f () = 0: 4 = ; f( ) = 9 4 ; f ( ) = 0: Wendepunkt ( 9 4 ) [oder: Argumentation mit Vorzeicenwecsel von f (); s. Tabelle] < < = < < = < < = < < f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeicenwecsel von f () c) + H T = _ = = ; w H + T ist streng monoton fallend = 4, + 0 = 9 4 = : w W ist der Mittelpunkt der Strecke [TH]. von nac + von + nac at den Tiefpunkt T ( 0) ist streng monoton steigend at den Hocpunkt H ( 4,) f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeicenwecsel von f () von + nac ist linksgekrümmt at den Wendepunkt W ( 9 ist rectsgekrümmt 4 ) ist streng monoton fallend

13 d) H W P N = T O N. f () =, 4 + 0; f () = 6 4; f () = 8 4; f () = 0: 6( 4) = 0; = 0; = ; = ; f (0) = 4 0; f () = 48 0; f ( ) = 48 0: at drei Wendepunkte: f(0) = 4; W (0 4) f() = 9, =,6; W (,6) f( ) = 9, = 6,4; W ( 6,4) Geradengleicung: W W = g: m g =,6 4 =,; g: =, + t; 0 W X g: 4 =, 0 + t; t = 4; g: =, + 4 Liegt W auf g = W W? L.S.: 6,4; R.S.:, ( ) + 4 = 6,4; L.S. = R.S. Ergebnis: W, W und W liegen auf einer Geraden; sie at die Gleicung =, a) f( ) = ( ) ( ) = = = f(): ist smmetrisc zur -Acse. b) f() = 0; = 0; 0 : = 0; ( ) = 0; = 0; = ; < 0: + = 0; ( + ) = 0; = : at mit der -Acse die Punkte S = O (0 0); S ( 0) und S ( 0) gemeinsam. c) Annäerung von rects (mit > 0): lim _ (0 + ) (0 + ) = lim _ = lim ( ) = 0; g W 0 W O W Annäerung von links (mit < 0): lim _ (0 + ) (0 + ) = lim _ + = lim ( + ) = 0 = lim ( ): f ist an der Stelle = 0 differenzierbar, und es ist f (0) = 0.

14 4 d) Etrempunkte: > 0: f() = ; f () = 6 ; f () = 6 6 f () = 0: ( ) = 0; 4 = ; f() = 8 = 4; f () = 6 < 0: Hocpunkt H ( 4); dazu kommt aus Smmetriegründen der Hocpunkt H* ( 4). < 0: f() = + ; f () = 6 + = ( + ) e) < < 0 = 0 0 < < f () f () < 0 f (0) = 0 f () > 0 Vorzeicenwecsel von f () an der Stelle = 0 von nac +: besitzt den Tiefpunkt T = O (0 0). Wendepunkte: > 0: f () = 6 6; f () = 6; f () = 0: = ; f() = ; f () = 6 0: besitzt den Punkt W ( ) und aus Smmetriegründen den Punkt W* ( ) als Wendepunkte. H* H W* W S S = O = T S 4. a) f() = _ = 4( ) f() = 0: kann nict von Abbildung dargestellt sein; für jeden Wert von > ist f() < 0: kann auc nict von Abbildung dargestellt sein. Somit wird von Abbildung dargestellt. b) Für 0 gilt f() + : besitzt eine senkrecte Asmptote mit der Gleicung = 0; für ± gilt f() 0: besitzt eine waagrecte Asmptote mit der Gleicung = 0. c) f () = 4 6 = 4( 4) ; D = f \ {0}; f () = 8 + _ 48 = 8(6 ) 4 ; D = \ {0}; f () = _ 4 4 f 9 4 ; D = \ {0} f Etrempunkt: f () = 0; = 4; f (4) = _ 6 > 0; f(4) = : Tiefpunkt T (4 ) Wendepunkt: f () = 0; = 6; f (6) = ; f(6) = 4 : Wendepunkt W ( ) Wendetangente: m = f (6) = 7 ; = _ 7 + t; W X t : 4 W 9 = 6 + t; 7 t = ; t w : = 7

15 Kann ic das? Lösungen zu Seite 0. a) f() = 6 ( + 6); f () = 6 ( 4 + 6) = ( 8 + ); f () = ( 8) = 4; f () = Etrempunkte: f () = 0: ( 8 + ) = 0; 8 + = 0; ( )( 6) = 0; = ; f() = ; = 6; f(6) = 0; f () = 4 = < 0: besitzt den Hocpunkt E ( ); f (6) = 6 4 = > 0: besitzt den Tiefpunkt E (6 0) O E W g E Wendepunkt: f () = 0: = 4; f(4) = ; f (4) = 0: besitzt den Wendepunkt W (4 ) Geradengleicung: E E = g: m g = 0 _ 6 6 = _ 4 = 4 ; g: = 4 + t; E X g: 0 = t; t = 8; = Liegt W auf g = E E? L.S.: ; R.S.: = _ = ; L.S. = R.S: E, E und W liegen auf einer Geraden; sie at die Gleicung = b) A(a) = a f(a) = a a 6 (a a + 6) = = _ (a4 a + 6a ); A (a) = _ (4a 6a + 7a) = (a 9a + 8a); A (a) = (a 8a + 8) = a 6a + 6; A (a) = 0: a(a 9a + 8) = a(a )(a 6) = 0; a = 0 ]0; 6[: keine Lösung; a = X ]0; 6[: A() = 6 4 ; A () = < 0; a = 6 ]0; 6[: keine Lösung Für a = wird der Fläceninalt des Dreiecks OLA maimal: A ma = 6 4.

16 6. a) Ansatz: f() = K( + )( ) = K( 9); f () = K( 9); f (0) = 9K; m t0 = _ 4,, = = f (0); 9K = ; K = Funktionsterm: f() = ( 9) = + b) O Eckpunkte: V ( a f( a)), I (a f( a)), E (a f(a)), R ( a f(a)) mit f(a) = _ a + a; f( a) = _ a a = f(a) Fläceninalt: A VIER = A(a) = a f(a) = a ( _ a + a ) = 4 a4 + a ; A (a) = _ 6 a + 4a; A (a) = 6a + 4; A (a) = 0: _ 6 a ( a 9 ) = 0; 0 < a < : a = ; A ( ) = = 48 < 0: A ( ) = 4 _ = = 7 ist das Maimum von A VIER.. Recnung in Maßzalen (Eineit mm, mm bzw mm ): A = rπ + 4r π; 4r π + rπ = 0; = _ 0 4r π rπ Volumen des Zlinders: V Z = r π; V Z (r) = (0 4r π)r π = r rπ (0 4r π) = r r π; V Z (r) = 6r π; V Z (r) = rπ < 0 wegen r > 0 V Z (r) = 0: 6r π = ; r = 6π ; r = 6π,8; 0 4 6π π 00 = _ π = π 6π 0,0 6π Gesamtvolumen der Kapsel: V K,8 π 0,0 + 4,8 π 86,: Mit r 0,8 mm und 0 0,0 mm (die optimale Kapsel ist also etwa sic ein Kapselvolumen von etwa 86 mm. cm lang und cm breit) ergibt

17 7 4. a) f() = a ( 8); f(4) = 9; 6a ( 4) = 9; a = _ 9 64 : f() = _ 9 64 ( 8) = _ 9 64 ( 8 ) b) f*() = f() = _ 9 64 ( 8) = _ 9 64 ( 8 ); f* () = _ 9 64 ( 6); f* (8) = _ 9 ( ) = 9; 64 tan ϕ = 9; ϕ = 8,6 ; ϕ 67 c) _ O (0 0), P (4 9), N (8 0), P* (4 9); PO = OP* = 97 ; NP = _ P*N = (8 4) + (0 9) = 97 : Das Viereck ist eine Raute. _ Ire Seiten aben alle die gleice Länge 97 9,8; sie besitzt die -Acse sowie die Gerade mit der Gleicung = 4 als Smmetrieacsen; zwei irer Innenwinkel aben etwa die Größe, die anderen beiden etwa die Größe 48. U = 4 PO = ,4; A = ON _ PP* = 8 8 = 7. a) Die Grapen sind für k 0 Parabeln mit dem Sceitel S (0 k ); für k = 0 ergibt sic eine zur -Acse parallele Gerade mit der Gleicung =. b) t * 0 O P P* * * ϕ N 0 P O T 0 P t c) P ( k ) f k () = k; f k () = k; t k : = k + t; P X t k : k = k + t; t = ; t k : = k ; daraus folgt, dass t k für jeden Wert von k den gleicen -Acsenabscnitt at, also durc T (0 ) verläuft. d) k + k = 0; 0 < k < : = _ k k ; = ±, k ; k _ N N = k = ; _ k = ; k k k = k; k = ; k =