Mathematik I. J. Hellmich

Transkript

1 Matematik I J. Hellmic Stuttgart Sommer 008

2 Autor: Dr. Jürgen Hellmic 7070 Tübingen Matematik I c Jürgen Hellmic Alle Recte vorbealten, auc die der fotomecaniscen Wiedergabe und der Speicerung in elektroniscen Medien. Der Hörerscaft der Vorlesung Matematik I (EDV-Nr.: 0) an der Hocscule der Medien Stuttgart, im Sommersemester 008, ist die elektronisce Speicerung und die fotomecanisce Wiedergabe nur zur Begleitung der Vorlesung gestattet. Stand:

3 Inaltsverzeicnis I Differentialrecnung I. Der Funktionsbegriff I.. Erste Annäerung I.. Formalisierung I..3 Zweite Annäerung I..4 Übersictlickeit I..5 Operationen mit Funktionen I..6 Einface Verkettungen I. Eine kleine Funktionssammlung I.. Geraden I.. Parabeln I..3 Parabeln dritter Ordnung I..4 Hyperbel I..5 Trigonometrisce Funktionen I..6 Die Additionssätze der trigonometriscen Funktionen I..7 Zwei wictige Grenzwerte I..8 Erinnerung an das Bogenmaß I..9 Die e-funktion I.3 Die Ableitung I.3. Das Tangentenproblem I.3. Vom Differenzenquotient zur Ableitung I.3.3 Notation I.3.4 Die Ableitung einer Geraden f() = m + c I.3.5 Die Ableitung der Parabel f() = I.3.6 Die Ableitung der Parabel dritter Ordnung f() = I.3.7 Der allgemeine Fall f() = n, n N I.3.8 Die Ableitung der Hyperbel f() = I.3.9 Die Ableitung der Wurzel f() = I.3.0 Die Ableitung der trigonometriscen Funktionen I.3. Die Ableitung der e-funktion I.4 Die Ableitungsregeln I.4. Faktorregel I.4. Summenregel I.4.3 Produktregel I.4.4 Quotientenregel I.4.5 Kettenregel i

4 ii Inaltsverzeicnis I.5 Kurvendiskussion I.5. Markante Punkte einer Funktion I.5. Kurvendiskussion: Die einzelnen Scritte I.5.3 f() = 0 ( ) I.5.4 f() = 40 ( ) I.5.5 g() = I.5.6 f() = () = I.5.7 I.6 Umkerfunktionen I.6. Bedingungen für die Eistenz von f I.6. Ableitung der Umkerfunktion I.6.3 Die ln-funktion I.6.4 Die Arcus-Funktionen I.6.5 Die Ableitung von f() = n, n R I.6.6 Die Umkerung der Hyperbelfunktionen I.7 Etremwertaufgaben I.7. Zylinder I.7. Ein zusammengesetzter Körper I.7.3 Prisma II Integralrecnung 5 II. Das Fläcenproblem II.. Fläceninalte geometriscer Figuren II.. Die Fläce unter einer Kurve II..3 Stammfunktionen II..4 Fläcenberecnung mittels Stammfunktionen II. Integrationstecniken II.. Die Produktiontegration II.. Die Substitutionsmetode II..3 Die Logaritmus-Regel II.3 Anwendungen II.3. Taylor-Entwicklung II.3. Das Volumen eines Rotationskörpers II.3.3 Die Länge einer Kurve J. Hellmic

5 I Differentialrecnung I. Der Funktionsbegriff I.. Erste Annäerung Eine reelle Funktion ist durc eine Vorscrift gegeben, nac der Zalen aus R auf eindeutige Weise wiederum Zalen aus R zugeordnet werden. B Verbale Bescreibung einer Vorscrift: Ordne einer Zal ir Quadrat zu. Ziee aus einer gegebenen Zal die Quadratwurzel. Bilde aus einer Zal iren Kerwert. Quadriere eine gegebene Zal, addiere 3 und teile das Ergebnis durc die Zal.. Der Nacteil einer verbalen Funktionsbescreibung liegt offensictlic in irer Scwerfälligkeit und Unübersictlickeit, wie das letzte Beispiel zeigt. I.. Formalisierung der Funktionsbescreibung: Verbale Bescreibung: gegebene Zal beliebige Zal jeder Zal. Formalisierung: R (t, u,... R) quadriere ziee Wurzel u bilde den Kerwert t.. Funktionsname f (g,, k,...) Funktionswert f() (g(t), (u), k(),...) zuordnen Funktion f : f() f() =...

6 I Differentialrecnung B f :, oder f() =. g : u u, oder g(u) = u. : t t, oder (t) = t. k : + 3, oder k() = + 3. Damit können wir nun beliebige Funktionen bilden, einfac dadurc, daß wir die Vorscrift zur Berecnung des Funktionswertes durc eine Formel angeben, die mit Hilfe der Variablen (oder t, u,...) ausgedrückt wird. B f() = 3 + 8, g(t) = sin(t ), (u) = eu e u e u + e u,... Funktionswerte f() zu konkreten Variablenwerten eralten wir durc Ersetzen von durc eben diese Werte: B f() = : = 0: f(0) = =, = : f() = = 0, = : f( ) = = 0, = : f( ) = = 3, get nict! 0 Problem: Nict immer dürfen alle -Werte aus R eingesetzt werden. B f() = 3 + 8,, g() =, 0, k() =, 0. Diese Beispiele zeigen, daß zur vollständigen Bescreibung einer Funktion noc die Angabe des Bereics zulässiger -Werte geört. I..3 Zweite Annäerung Eine reelle Funktion f ist durc eine Vorscrift f() gegeben, nac der Zalen aus einer Teilmenge D f von R auf eindeutige Weise Zalen f() aus R zugeordnet werden. D f ist der Definitionsbereic der Funktion f. Unter W f versteen wir den Wertebereic, d.., die Menge aller möglicen Zalen, die als Funktionswerte von f vorkommen. Wir verwenden die Screibweise f : f(), D f, wobei f() meist durc einen konkreten Formelausdruck in der Variablen angegeben ist, oder wir geben die Vorscrift f() einfac an: f() =..., D f J. Hellmic

7 I. Der Funktionsbegriff 3 B f :, R, oder f() =, D f = R. g :, D g = R +, oder g() =, 0. :, 0, oder () =, R\{0}. In diesen Beispielen wurde der maimale Definitionsbereic angegeben (inter der Funktionsvorscrift als Bedingung an die Variable ), d.., der maimal möglice Bereic von Zalen R, für die die Vorscriften f(), g(),... noc anwendbar sind. D f muß aber durcaus nict der maimale Definitionsbereic einer Funktion sein. Es kann mitunter sinnvoll sein, den Definitionsbereic als Teilmenge des maimal möglicen zu wälen. So ist f() = natürlic für alle R sinnvoll ausfürbar. Durc Einscränkung dieser Vorscrift auf R + eralten wir eine andere Funktion k() =, R +. Diese ist, im Gegensatz zu f, umkerbar, d.., die Gleicung y = k() läßt sic durc = y eindeutig nac auflösen, wärend y = f() normalerweise zwei Lösungen / = ± y besitzt. An diesem Beispiel wird deutlic, daß eine Abänderung des Definitionsbereics normalerweise auc tatsäclic qualitative Untersciede der beteiligten Funktionen nac sic ziet. Merke: Zu einer Funktion f geört neben der Angabe der Vorscrift f(), nac der aus der Variablen der Funktionswert f() zu bilden ist, immer auc der Definitionsbereic D f, der den Zalenbereic der zulässigen -Werte bescreibt. Wenn bei der Definition einer Funktion der Definitionsbereic nict eplizit angegeben wurde (was mitunter bequem ist, wenn die zulässigen -Werte offensictlic sind und keine Einscränkung auf einen kleineren Bereic gewünsct ist), dann ist immer der maimal möglice Definitionsbereic zu nemen. I..4 Übersictlickeit Die Formalisierung des Funktionsbegriffs gibt uns ein leistungsfäiges Werkzeug zur Konstruktion vielfältiger Funktionen an die Hand. Wie stet es aber mit der Übersict über den Verlauf solcer Funktionen? D.., was mact eine gegebene Funktion eigentlic genau? Wo genau liefert sie z.b. positive Werte (eventuell wictig, wenn sie eine Kostenentwicklung oder eine Gewinnerwartung bescreibt), wo wäcst sie und wie stark (z.b. das Wacstumsveralten der Weltbevölkerung), nimmt sie ire größten oder ire kleinsten Werte an und wenn ja, wo...? Eine erste Metode, sic einen Überblick über den Funktionsverlauf zu verscaffen, kann darin besteen, einfac eine Wertetabelle anzulegen: B g() = f() = Wärend im ersten Beispiel tatsäclic ein gewisser Überblick über den Funktionsverlauf gewonnen wird, ist das beim zweiten Beispiel nict mer der Fall. Auc das Hinzufü- J. Hellmic

8 4 I Differentialrecnung gen weiterer -Werte löst das Problem nict wirklic: Man muß scon etwas mer über die Funktion wissen, um die rictigen Stellen zu finden, an denen sie mit einem feineren -Raster ausgewertet werden muß (bei f andelt es sic um das Veralten in einer Umgebung von 0 und um das Veralten für ± ). -Werte, an denen eine Funktion einen maimalen oder einen minimalen Wert annimmt, lassen sic in einer Wertetabelle normalerweise nur ungefär erkennen. Ein erster Scritt, um diese Scwierigkeiten zu überwinden, bestet darin, y den Funktionsverlauf grapisc in einem rectwinkligen Koordina- tensystem in der Ebene R darzustellen. Dabei tragen wir die -Werte auf der waagrecten Acse der -Acse, die zugeörigen Funktionswerte f() senkrect darüber oder darunter auf, je nacdem, ob f() positiv, oder negativ ist. Wenn dann den Definitionsbereic D f durcläuft, wandern die Punkte ( f()) in der Ebene R auf einer Linie, die f den sog. Grapen der Funktion f wiedergibt. Wir füren für in keine neue Notation ein (was streng genommen nötig wäre), sondern bezeicnen in mit demselben Symbol f wie die Funktion selbst. P( f()) f() f() Diese grapisce Darstellung können wir als eine Art kontinuierlice Wertetabelle anseen, weil wir ja eigentlic für alle zulässigen -Werte die zugeörigen Funktionswerte auftragen und nict nur für einige wenige Stützstellen, wie z.b. bei den Wertetabellen obigen Beispiels. Praktisc bestimmen wir allerdings ebenfalls nur einige wenige Kurvenpunkte und verbinden sie, im Vertrauen darauf, daß die Funktion genügend glatt ist, durc eine Linie one Knicke, die den Kurvenverlauf möglicst gut zu erraten versuct. Die Differenzierbarkeit einer Funktion, Abbildung I. Funktionen grapisc darstellen die wir in Abscnitt I.3 kennenlernen werden, liefert normalerweise eine gute Gewär dafür, daß eine Funktion ausreicend glatt ist, um nac dem gescilderten grapiscen Verfaren veranscaulict werden zu können. Das bedeutet aber nict, daß damit immer auc scon ein vollständiges Verständnis einer Funktion erlangt werden kann. Man muß eine Funktion normalerweise noc sorgfältig untersucen, um etwa lokale Maima oder Minima, Wendepunkte etc. aufzufinden. Die Differentialrecnung wird uns dafür ein leistungsfäiges Werkzeug an die Hand geben. I..5 Operationen mit Funktionen Aus Funktionen f, g,,... lassen sic neue Funktionen gewinnen. Uns steen dafür im wesentlicen dieselben Grundrecenarten zur Verfügung, wie für gewönlice Zalen. Die Summe f+g zweier Funktionen f und g definieren wir dabei einfac durc die Vorscrift, daß der Funktionswert (f + g)() der Summe als Summe f()+g() der Funktionswerte f() und g() zu bilden ist. Genauso verfaren wir bei Subtraktion, Multiplikation und Division. Darüberinaus können wir zwei Funktionen f und g ineinander einsetzen verketten, d.., der Funktionswert g() wird der Funktion f als Argument zugewiesen: f(g()) vorausgesetzt, g() liegt im Definitionsbereic D f von f. Im einzelnen gilt für die -Werte, die sowol in D f als auc in D g, die also im sog. Durcscnitt D f D g von D f und D g liegen, bzw., bei der Verkettung, für die g() D f J. Hellmic

9 I. Der Funktionsbegriff 5 gilt: Addition (f + g)() = f() + g() Division ( f g) () = f() g() Subtraktion (f g)() = f() g() Potenzierung f a () = (f()) a Multiplikation (f g)() = f() g() (t g)() = t g(), t R Verkettung (f g)() = f (g()) B Verkettung, oder Hintereinanderausfürung f g zweier Funktionen f und g: f() = 3, D f = R, g() =, D g = R, W f = [, ) (überprüfen!) Dann ist (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 3 und D f g = R. f() = 3, D f = R\{0}, g() = 4, D g = R, W g = [ 4, ) ist nict vollständig in D f entalten, denn die Zal 0 liegt in W g, die für f verboten ist. 0 wird von g() an den beiden Stellen und angenommen. Also ist D f g = R\{, } und (f g)() = f( 4) = ( 4) 3. f() =, D f = R + 0, g() =, D g = R, W g = [, ). Es muß g() 0 gelten, damit g() in f eingesetzt werden kann. Das ist für oder für der Fall (nacprüfen!), d.., für (, ] oder für [, ). Also ist der Definitionsbereic D f g von f g durc die Vereinigung (, ] [, ) dieser beiden Intervalle gegeben. (f g)() =? J. Hellmic

10 6 I Differentialrecnung I..6 Einface Verkettungen Eine Versciebung einer Funktion f in -Rictung eralten wir, wenn wir sie mit der Funktion g() = + a verketten: () = f( + a). () f(+a) f Für a > 0 wird die Funktion f um a Eineiten nac links gescoben, denn der Funktionswert () an der Stelle wird mit der Vorscrift f an der a Eineiten weiter rects liegenden Stelle + a gebildet. Auf diese Weise wandern alle Funktionswerte von f um a Eineiten nac links. +a Für a < 0 wird die Funktion f nac rects gescoben. Abbildung I. Versciebung in -Rictung: () = f( + a), a > 0 () f a Abbildung I.3 Staucung in -Rictung: () = f(a), a > Eine Staucung einer Funktion f in -Rictung eralten wir, wenn wir sie mit der Funktion g() = a verketten: () = f(a). Für a > wird die Funktion f auf engerem Raum zusammengedrängt, denn der Funktionswert () an der Stelle wird mit der Vorscrift f an der a-fac soweit entfernten Stelle a gebildet. Auf diese Weise wandern weiter außen liegende Funktionswerte von f näer an den Ursprung eran. Für a < wird die Funktion f auf einen weiteren Raum gestreckt, denn der Funktionswert () an der Stelle wird mit der Vorscrift f an der weiter innen liegenden Stelle a gebildet J. Hellmic

11 I. Eine kleine Funktionssammlung 7 I. Eine kleine Funktionssammlung I.. Geraden f() = m + c y f(0) = c ist der y-acsenabscnitt des Scnittpunktes von f mit der y-acse. f( + ) f() = m( + ) + c (m + c) = m + m + c m c = m c m + f()=m+c f(+) f() + D.., m ist der Zuwacs der Gerade in y-rictung, wenn in -Rictung eine Eineit fortgescritten wird. m mißt also die Steileit von f: Großes m bedeutet einen großen y-zuwacs, kleines m einen kleinen Zuwacs bei gleicem Fortscritt in -Rictung. Negatives m bedeutet, daß die Gerade fällt (z.b. g ) und m = 0 gilt für waagrecte Geraden (z.b. ). m eißt daer Steigung der Gerade f. Sie läßt sic aufgrund des Stralensatzes aus jedem sog. Steigungsdreieck als Verältnis von y-zuwacs f( + ) f() zum -Zuwacs ( + ) = bestimmen: = y ()=4 g()= 3 + f()= f( + ) f() = ( ) m + m + c m c = m = m Abbildung I.4 (a) Gerade mit Steigungsdreiecken (b) Beispiele Die senkrecten Geraden sind die einzigen, denen im, y-koordinatensystem keine Steigung zugeordnet werden kann. Sie aben die Gleicung = d. So meint z.b. = die Menge aller Punkte (, y) mit beliebigen y R, also die Parallele zur y-acse, die die -Acse an der Stelle scneidet. J. Hellmic

12 8 I Differentialrecnung I.. Parabeln f() = a + b + c Eine Parabel ist spiegelsymmetrisc zu irem Sceitelpunkt S. Die Nullstellenbestimmung fürt auf die quadratisce Gleicung: a +b+c = 0. Wir lösen sie durc quadratisce Ergänzung: Dazu ergänzen wir die linke Seite von y ()= b a = c a f()= zu einem Binomen ( + p) = + p + p : S g()= ( )( 5) + b a + p + p ( b a + b a + = c a ) = b 4a c a, Abbildung I.5 Parabeln also ( + b ) = b 4ac. a 4a Falls die recte Seite größer oder gleic Null ist, eralten wir daraus durc Wurzelzieen / + b a = ± b 4ac = ± b 4ac 4a a (beacte: a = a!). Da sic a von a allenfalls durc das Vorzeicen untersceidet, können wir auf der recten Seite im Nenner a screiben und ein eventuell vorandenes Vorzeicen mit dem ± des Zälers verrecnen. Auf diese Weise eralten wir die bekannte Lösungsformel für quadratisce Gleicungen (die sog. Mitternactsformel): / = b ± b 4ac a (I.) J. Hellmic

13 I. Eine kleine Funktionssammlung 9 I..3 Parabeln dritter Ordnung f() = a 3 + b + c + d y Die Nullstellenbestimmung stellt normalerweise ein Problem dar. Es gibt zwar eine Auflösungsformel (die sog. Cardanisce Formel), doc ist sie für unsere Zwecke zu kompliziert anzuwenden (vor allem, weil man für iren Gebrauc etwas von kompleen Zalen versteen sollte). Allerdings gibt es eine Situation, in der wir mit unseren Mitteln alle Nullstellen bestimmen können. Immer dann, wenn wir eine Nullstelle bereits kennen, z.b. indem wir sie geraten aben (was leider nict immer geen muß), läßt sic das Problem durc Polynomdivision von f mit ( ) auf eine quadratisce Gleicung zurückfüren. Um ganzzalige Nullstellen zu raten (und etwas anderes wird man normalerweise gar nict erst versucen), gibt es eine wictige Regel: Falls die Koeffizienten a, b, c und d in der Gleicung a 3 + b +c+d = 0 alle ganzzalig sind, muß eine ganzzalige Lösung immer ein Teiler von d sein. Das läßt sic leict folgendermaßen einseen: Aus a 3 + b + c f( 5)=0 f( 3)= 3 5 f( )= 6 5 f(0)= f()=0 f(3)= 3 5 f()= 5 (+5)( ) Abbildung I.6 Kubisce Parabel + d = 0, also d = (a + b + c) folgt, daß d das Produkt aus der (laut Anname) ganzen Zal und dem Ausdruck a + b + c ist. Letzterer ist aber, da er durc Multiplikation und Addition ganzer Zalen entstet, ebenfalls ganzzalig. Also liefert d eine ganze Zal (nämlic (a + b + c)). Offensictlic ängen diese Überlungen nict davon ab, daß es sic um eine Gleicung dritten Grades andelt. Die Regel läßt sic natürlic auc für Gleicungen vierten, fünften und öeren Grades aussprecen. Praktisc bedeutet das, wenn die bescriebenen Voraussetzungen für die Gleicung f() = 0 (eventuell nac Multiplikation mit einem geeigneten Faktor) erfüllt sind, daß wir nur die möglicen Teiler von d zu bestimmen und in f() einzusetzen aben. Liefert einer den Wert Null, dann aben wir eine Nullstelle gefunden, andernfalls gibt es keine ganzzalige Nullstelle. f B Wir betracten f() = Die Nullstellen müssen wir aus = 0 bestimmen. Um unsere Rate-Voraussetzungen zu erfüllen, müssen wir diese Gleicung in eine äquivalente Gleicung mit ganzzaligen Koeffizienten überfüren, was ier leict durc Multiplikation mit 5 zu bewerkstelligen ist: = 0. (I.) J. Hellmic

14 0 I Differentialrecnung Möglice Teiler von 5 sind ± und ±5 (denn 5 ist ja eine Primzal). Durc Einsetzen siet man scnell, daß = eine Lösung darstellt. Die Polynomdivision von mit stellt eine Metode dar, um als Faktor aus auszuklammern muß sic also als Produkt aus einem quadratiscen Term p() und ( ) screiben lassen: oder = p() ( ), ( ) : ( ) = p(). Erster Scritt: Bestimme den Ausdruck, mit dem der fürende Term (d.., der mit der öcsten Potenz) des Teilers ( ) multipliziert werden muß, um im Ergebnis denselben fürenden Term 3 wie in zu eralten. Offensictlic ist das. Nun wird mit multipliziert und von abgezogen. Dabei fällt natürlic 3 weg (denn so aben wir es ja gerade eingerictet!): ( ) : ( ) = ( 3 ) Zweiter Scritt: Wir verfaren wie beim ersten Scritt, nun aber mit dem Ausdruck Wir müssen ( ) mit 4 multiplizieren, um den fürenden Term 4 zu reproduzieren. Im dritten und letzten Scritt ist der Faktor 5: ( ) : ( ) = ( 3 ) (4 4) ( 5 + 5) 0 Als Ergebnis eralten wir p() = +4 5, also = ( +4 5)( ). Statt (I.) können wir nun ( + 4 5)( ) = 0 setzen. Um die weiteren Nullstellen zu gewinnen, von denen es noc maimal zwei geben kann (aber nict muß), braucen wir nun nur noc die quadratisce Gleicung = J. Hellmic

15 I. Eine kleine Funktionssammlung zu lösen. Die Mitternactsformel (I.) liefert = = und 3 = 5. = ist eine sog. doppelte Nullstelle. Damit at es folgende Bewandtnis: Die beiden Faktoren ( ) und ( + 5) müssen one Rest teilen genau wie oben mit der kubiscen Gleicung bescrieben. Nac Division von mit ( ) kann die öcste Potenz des Ergebnisses nur noc sein und nac anscließender Division mit ( + 5) nur noc 0, d.., das Divisionsergebnis bestet nur noc aus einer Zal s. Somit muß = s( )( + 5) gelten. Offensictlic ist s = (ausmultiplizieren). Wir eralten = (+5)( )( ) = (+5)( ). Die linke Seite ist nac (I.) 5 f(), so daß wir jetzt bei der Darstellung f() = ( + 5)( ) 5 für f angelangt sind. Nun seen wir leict, was damit gemeint ist, daß es sic bei = um eine doppelte Nullstelle andelt: Der Faktor ( ) tauct im Gegensatz zum Faktor ( + 5) quadratisc auf. Das at zur Folge, daß f bei = eine Nullstelle one Vorzeicenwecsel besitzt (bei = 5 findet dagegen ein Vorzeicenwecsel von nac + statt). Eine doppelte Nullstelle ist dadurc gekennzeicnet, daß der Faktor ( ) quadratisc in f auftritt. I..4 Hyperbel f() =, D f = R\{0} y In der Definitionslücke = 0 at f eine senkrecte Asymptote, nämlic die y-acse. Das können wir leict einseen, wenn wir Zalen einsetzen, die ser nae bei 0 liegen: f()= f( ) = f( 00 ) = 00 =, f( 4 ) = 4 = 4, f( 0 ) = 0 = 00, f( 000 ) = 000 = 0, = 000,... Auf der kleinen Strecke zwiscen 0 und ergeben sic, indem wir uns mit der Zal 0 immer weiter näern, beliebig große Funktionswerte f(). Das bedeutet aber gerade, daß sic der Grap der Funktion immer besser an die y-acse anscmiegt, d.., daß die y-acse eine Asymptote ist. Setzen wir dagegen -Werte mit immer größerem Betrag ein, so streben die Funktionswerte gegen 0: f(±0) = ±, f(±00000) = ± = ±0, 0000, Der Grap von f scmiegt sic nun also an die -Acse, d.., die -Acse ist eine waagrecte Asymptote von f. Offensictlic ist f punktsymmetrisc zum Koordinatenursprung: f( ) = f() gilt für alle D f. Abbildung I.7 Hyperbel J. Hellmic

16 I Differentialrecnung I..5 Trigonometrisce Funktionen Die Verältnisse zweier Seiten in einem rectwinkligen Dreieck sind nict von dem Maßstab abängig, in dem es gezeicnet wird. 5π sin() = b c cos() = a c π 3π cos tan() = b a = b c a c cot() = a b = sin() cos() c Hypotenuse Ankatete a Gegenkatete b π π cos() tan π sin cos() sin() tan() sin() π π 3π π 5π Abbildung I.8 Entsteung von sin, cos und tan am Eineitskreis Solce Seitenverältnisse werden demnac von dem Winkel bereits eindeutig festgelegt. Für jedes der vier möglicen at sic ein Name eingebürgert. So bezeicnen wir mit sin() das Verältnis b aus Gegenkatete b und Hypotenuse c, bei gegebenem Winkel. c Auf diese Weise aben wir eine Funktionsvorscrift erklärt, die zunäcst nur jedem Winkel zwiscen 0 und π (^= 90 ) das Verältnis der Seiten b und c zuordnet (zur Erinnerung an das Bogenmaß siee Abscnitt I..8). Wir erweitern sie, indem wir Winkel, die größer als π sind, den y-wert des zugeörigen Farstrals auf dem Eineitskreis zuordnen (vergl J. Hellmic

17 I. Eine kleine Funktionssammlung 3 Abbildung I.8). Die so gebildete Funktion nennen wir Sinus und bezeicnen sie mit sin. Genauso füren wir den Cosinus cos, den Tangens tan und den Cotangens cot ein. Aus der Zeicnung erkennen wir, daß der Tangens bei allen ganzzaligen Vielfacen von π eine Definitionslücke at und dort jeweils eine senkrecte Asymptote besitzt. Dasselbe gilt für den Cotangens bei allen ungeraden Vielfacen von π (in Abbildung I.8 der Übersictlickeit alber, aber auc, weil er nur der Kerwert des Tangens ist, nict mit eingezeicnet). Aus Abbildung I.8 lesen wir noc den zentralen Zusammenang zwiscen sin und cos ab. Nac dem Satz von Pytagoras gilt sin () + cos () =. (I.3) Darüberinaus lassen sic die folgenden Symmetrieeigenscaften erkennen: sin( ) = sin(), cos( ) = cos() (I.4) (I.5) und damit tan( ) = tan(), cot( ) = cot(). (I.6) (I.7) Allgemein bedeutet f( ) = f() für alle D f für eine Funktion f, daß sie punktsymmetrisc zum Ursprung und f( ) = f() für alle D f, daß sie acsensymmetrisc zur y-acse ist. Also sind sin, tan und cot punktsymmetrisc zum Ursprung. cos ist acsensymmetrisc zur y-acse. f( ) f() f( ) Abbildung I.9 Punktsymmetrie und Acsensymmetrie f() J. Hellmic

18 4 I Differentialrecnung I..6 Die Additionssätze der trigonometriscen Funktionen Aus der Zeicnung lesen wir folgendes ab: f cos(y) e sin(y) g y cos(+y) e d=cos()cos(y) +y Abbildung I.0 sin( + y), cos( + y) g=sin() cos(y) sin( + y) = g + f, cos( + y) = d e, cos() = d, cos(y) also d = cos() cos(y), sin() = e, sin(y) also e = sin() sin(y), cos() = f, sin(y) also f = cos() sin(y), sin() = g, cos(y) also g = sin() cos(y). Damit eralten wir die Additionssätze für den Sinus und den Cosinus: sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y), cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y). (I.8) (I.9) Mit irer Hilfe können wir nun auc den Additionssatz für den Tangens erleiten: tan( + y) = sin( + y) cos( + y) Erweitern mit cos() cos(y) ergibt: also = = = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos() cos(y) sin() sin(y). sin() cos(y) + cos() sin(y) cos() cos(y) sin() sin(y) tan() + tan(y) tan() tan(y), tan( + y) = cos()cos(y) cos()cos(y) = sin()cos(y) + cos()sin(y) cos()cos(y) cos()cos(y) cos()cos(y) sin()sin(y) cos()cos(y) cos()cos(y) tan() + tan(y) tan() tan(y). (I.0) J. Hellmic

19 I. Eine kleine Funktionssammlung 5 I..7 Zwei wictige Grenzwerte Um später den Sinus und den Cosinus ableiten zu können, benötigen wir die Grenzwerte lim sin() cos() 0 und lim. Dazu bestimmen wir aus nebensteender Skizze folgende Fläceninalte: Das Dreieck PST mit den beiden Ka- 0 teten der Länge sin() und cos() at den Fläceninalt A = sin() cos() und das Dreieck PQR mit den Kateten der Länge und tan() besitzt die Fläce A = tan(). Die Fläce A des Kreissektors PQT mit der Bogenlänge ist nac Gleicung (I.5) (für r = ): A =. An der nebensteenden Zeicnung erkennen wir, daß die Fläce A immer kleiner als die Sektorfläce A ist, und daß diese von A übertroffen wird: A A A. Das bedeutet also P cos() sin() T S R tan() Q Abbildung I. Abscätzung zum Bogenmaß sin() cos() tan() = sin() cos(). Daraus eralten wir nac Division mit sin(): cos() sin() cos(). (I.) Der Cosinus at an der Stelle = 0 den Wert (vergl. Abbildung I.8). Da er stetig ist, strebt cos() gegen, wenn gegen 0 strebt. Die linke und recte Seite in (I.) strebt also jeweils gegen, und desalb muß auc der mittlere Ausdruck gegen wandern ("Sandwic-Prinzip"). Dasselbe passiert dann mit dem Kerwert sin(). Wir eralten als Ergebnis: sin() lim 0 Damit können wir den zweiten Grenzwert leict bestimmen: cos() = cos() = cos () ( + cos()) = = sin() =. (I.) + cos() + cos() sin () ( + cos()) + cos() sin(). Der letzte Faktor strebt gegen, wie wir oben geseen aben, der zweite gegen und der erste gegen 0 (denn sin(0) = 0). Das Produkt dieser drei Faktoren strebt also gegen 0. cos() lim 0 = 0. (I.3) J. Hellmic

20 6 I Differentialrecnung I..8 Erinnerung an das Bogenmaß Wir stellen ier noc einmal den Zusammenang er, zwiscen den beiden gängigen Metoden einen Winkel zu messen. Die geläufigste bestet darin, den Eineitskreis in 360 gleic große Kreissektoren α A b aufzuteilen. Ein solcer Sektor repräsentiert den Winkel von einem Grad,. Dieser wird in 60 gleic große Teile unterteilt, die eine r Winkel-Minute darstellen,, die sic wiederum aus 60 gleic großen Sektoren zusammensetzt, die jeweils eine Winkel-Sekunde,, definieren. Auf den meisten Tascenrecnern ist diese Winkelmessung voreingestellt (erkennbar an der Anzeige DEG, für Degree). Für matematisce Untersucungen ist es zweckmäßiger, den Winkel mit Abbildung I. dem sog. Bogenmaß zu bescreiben. Hier wird der Winkel durc die Zum Bogenmaß Länge des Bogens auf einem Kreis mit Radius gemessen (bei Tascenrecnern üblicerweise durc RAD (für Radian) gekennzeicnet). Wir stellen, wenn wir nun scon mal dabei sind, den Zusammenang zwiscen Bogenlänge b und zugeörigem Winkel α gleic für einen beliebigen Radius r er. Das Bogenmaß eralten wir dann einfac, indem wir r = setzen. Der Zusammenang von b und α ist denkbar einfac: b ist proportional zu α, d.., doppelter, alber etc. Winkel α fürt zu doppelter bzw. alber Bogenlänge b des zugeörigen Kreissektors. Zum Vollwinkel α = 360 geört offensictlic die Bogenlänge des gesamten Kreisumfangs, also b = πr. Aufgrund der Proportionalität zwiscen α und b folgt nun b πr = α 360, oder b = α 80 πr. Für r = eralten wir den gewünscten Zusammenang zwiscen dem Bogenmaß und dem Winkel α: = α 80 π. (I.4) Offensictlic gilt b = r. Genauso einfac können wir nun auc noc den Zusammenang zwiscen der Sektorfläce A und dem zugeörigen Bogenmaß finden: A ist proportional zu b. Zum Bogen πr, dem Umfang des Vollkreises, geört die Fläce πr der vollen Kreissceibe. Also verält sic der Bogen b zum Gesamtumfang, wie die Fläce A zum Gesamtfläceninalt: woraus wir sofort b πr = A πr, eralten. A = b r = r (I.5) J. Hellmic

21 I. Eine kleine Funktionssammlung 7 I..9 Die e-funktion Die Eulersce Zal e ist durc den Grenzwert ( e = lim + )n, (I.6) n n gegeben. Da wir Grenzwerte eer intuitiv verwenden wollen, können wir nict in die etwas aufwendige Untersucung dieser Zal einsteigen. Wir definieren die Eponentialfunktion, oft durc ep bezeicnet, als die Potenzfunktion mit der Basis e: ep : e, D ep = R. Neben ep werden wir auc die Bezeicnung e-funktion verwenden. Von entsceidender Bedeutung (und nur für die Potenzfunktion mit dieser selt- Abbildung I.3 Die e-funktion samen Basis e erfüllt) wird die sceinbar nebensäclice Tatsace sein, daß die Tangente im Punkt (0 ) die Steigung besitzt. Das können wir ier nict beweisen, sondern müssen es als gegeben annemen. Diese Eigenscaft ist der eigentlice Grund dafür, daß die e-funktion ire eigene Ableitung ist. In Abscnitt I.3. werden wir einen Hinweis darauf geben, warum die Zal mit den bescriebenen Eigenscaften gerade durc (I.6) gegeben ist. Weitere Eigenscaften der e-funktion: (a) Sie ist streng monoton wacsend, d.., für > gilt ep( ) > ep( ) oder e > e : der größere von zwei -Werten liefert auc den größeren Funktionswert. (b) Die e-funktion besitzt keine Nullstellen. ep() = e > 0 gilt für alle R. (c) Die Recenregeln des Potenzierens bedeuten für die e-funktion: e + = e e, e = e ( e und e )a = e a. y e ep Zur Erinnerung: Die Potenzrecengesetze lauten (für a, b > 0,, y R): a a y = a +y, (ab) = a b, a a = a y, (a ) y = a y ; ( y a b) = a b, a 0 =. J. Hellmic

22 f f y y y 8 I Differentialrecnung P( f()) W I.3 Die Ableitung I.3. Das Tangentenproblem t g t An eine Funktion f soll in einem gegebenen Kurvenpunkt P eine Tangente angelegt werden. Um einer Lösung dieses Problems näerzukommen, müssen wir zunäcst einmal klären, was wir überaupt unter einer Tangente versteen wollen. Eine gängige Vorstellung bestet darin, von einer Tangente zu verlangen, daß sie die Kurve im Kurvenpunkt P( f()) nur berürt, aber nict scneidet. Diese Vorstellung wird noc dadurc gestützt, daß sie für die meisten Kurvenpunkte P auc tatsäclic zutrifft. Aber wie stet es etwa mit einem Wendepunkt W der Kurve, also einem Punkt, in dem sie z.b. von einer Rectskurve in eine Linkskurve überget? Hier wird jede Gerade durc W die Kurve in W scneiden. Trotzdem wird vermutlic jeder, der unter den Geraden g, und t zu wälen at, zu dem Scluß gelangen, daß als Tangente wol nur t in Frage kommt. Das liegt daran, daß t die Kurve in einer kleinen Umgebung des Kurvenpunktes W besser annäert, als die anderen Geraden. Für Kurvenpunkte P, die nict gerade Wendepunkte sind, at die Gerade, die die Kurve besser als andere Geraden annäert, normalerweise auc die Eigenscaft, die Kurve nur zu berüren und nict zu scneiden. Aber diese Eigenscaft ist, wie unsere Überlegungen naelegen, eben nur zweitrangig. Im Vordergrund stet die Forderung, daß eine Tangente die Kurve in einer Umgebung des Punktes besser als alle anderen Geraden annäert. Damit meinen wir, daß der Unterscied der y-werte von Kurve und Tangente in einer Umgebung rects und links des Kurvenpunktes kleiner ist, als der Unterscied zwiscen Kurve und jeder anderen Geraden durc diesen Punkt. Damit kann es in einem Kurvenpunkt nur eine Tangente geben vorausgesetzt, es gibt überaupt eine. f Abbildung I.4 Stetige Funktion mit Knick Man mace sic klar, daß es z.b. für einen Punkt, in dem die Kurve einen Knick at, keine Gerade geben kann, die unsere Anforderungen an eine Tangente erfüllt. Die strenge Forderung nac bester Annäerung an die Kurve fürt also dazu, daß es Kurvenpunkte geben kann, in denen keine Tangente möglic ist, obwol es eventuell viele Geraden gibt, die die Funktion in diesen Punkten nur berüren. Tatsäclic ist das aber kein Feler unserer Tangentendefinition! Normalerweise sind wir nämlic weniger an der Tangente selbst interessiert, als vielmer an irer Steigung. Durc sie gewinnen wir ein Maß für die "Steileit" der Kurve an der betreffenden Stelle. Für Kurvenpunkte, an denen wir keine Tangente (in unserem strengen Sinn) anlegen können, wie etwa bei Knickstellen, mact es dann eben keinen Sinn, von der Steileit der Kurve sprecen zu wollen J. Hellmic

23 I.3 Die Ableitung 9 I.3. Vom Differenzenquotient zur Ableitung Um die Steigung der Tangente t in P( f()) zu erklären, bestimmen wir zunäcst einmal die Steigung der Sekante s durc P und einen weiteren Kurvenpunkt Q( + f( + )), der von P verscieden ist ( 0). Sie ist durc das Verältnis der Katetenlängen im Steigungsdreieck von s gegeben, also durc das Verältnis des Zuwacses f() = f( + ) f() der Funktionswerte zum Zuwacs = der zugeörigen -Koordinaten: f() = f( + ) f() (I.7) y Tangente t Q 0 Sekante s Dieser Ausdruck wird als Differenzenquotient bezeicnet, da er der P( f()) Quotient aus der Differenz der Funktionswerte von f und der Differenz = ( + ) der zugeörigen - Werte + und ist. Er ist als Näerung für die Tangentensteigung anzu- f f() f(+) seen, die wir zu finden offen. Diese Näerung ist normalerweise um so besser, je dicter die zweite Stelle + bei der eigentlic interessie- + 0 renden Stelle liegt, d.., je kleiner Abbildung I.5 Von der Sekante zur Tangente ist. Lassen wir gegen 0 streben, so wird Q gegen P streben vorausgesetzt, die Funktion f ist an der Stelle stetig. Wir seen also, daß die Stetigkeit von f in eine Mindestvoraussetzung darstellt, um überaupt eine Tangentensteigung über eine Annäerung durc Sekantensteigungen einfüren zu können. Es sei auc gleic betont, daß es sic bei der Stetigkeit wirklic nur um eine notwendige Bedingung andelt, die keineswegs ausreicend sein muß, um die Tangentensteigung angeben zu können: Man denke nur an stetige Funktionen mit Knickstellen (vergl. Abbildung I.4). f(+) f() Wenn der Differenzenquotient (I.7) für beliebig klein werdendes eine feste Zal immer genauer annäert, sic von ir also beliebig wenig untersceidet, so können wir diese Zal mit Fug und Rect als die Steigung der Tangente t in P( f()) anseen. Sie ist also durc einen Grenzwert, der diese Annäerungsprozedur bescreibt, gegeben: f( + ) f() lim 0 (I.8) Um zum Ausdruck zu bringen, daß es sic dabei um die Steigung der Tangente der Funktion f an der Stelle andelt, bezeicnen wir diese Zal mit f (). Auf diese Weise aben wir für jedes aus dem Definitionsbereic von f, für das der Grenzwert eistiert, eine Vorscrift f angegeben, die wir Ableitung von f nennen: f f( + ) f() () = lim. (I.9) 0 J. Hellmic

24 0 I Differentialrecnung Eine Funktion f eißt an der Stelle D f differenzierbar, falls der Grenzwert (I.9) eistiert. Eine Funktion eißt differenzierbar, falls sie für alle Werte aus irem Definitionsbereic differenzierbar ist. I.3.3 Notation Neben f () gibt es auc noc die Screibweise df(), oder d f(), die d d an die Herkunft als Grenzwert des Differenzenquotienten f() für ( =) 0 erinnern soll. f () = df() eißt daer auc Differentialquotient von f an der Stelle. Die d sogenannten Differentiale df() und d sind dabei keine wirklicen matematiscen Objekte, denn df() müßte einfac 0 sein, wenn wir versucen sollten, diesen Ausdruck als Grenzwert von f() für 0 zu definieren. Sie sind nur als Symbole anzuseen. I.3.4 Die Ableitung einer Geraden f() = m + c Wenn unsere Überlegungen zur Tangentensteigung biser rictig waren, dann müßte die konstante Funktion f () = m die Ableitung von f sein, denn eine Gerade besitzt überall die gleice Steigung m: f( + ) f() = m( + ) + c (m + c) = m = m. Der Differenzenquotient ängt, wie erwartet, gar nict mer von ab, so daß sic eine Grenzwertbildung erübrigt: f () = m, wie es sein muß. I.3.5 Die Ableitung der Parabel f() = f( + ) f() = ( + ) = + + = ( + ) = +. Dieser Ausdruck strebt für 0 offensictlic beliebig genau gegen die Zal, die daer den Grenzwert des Differenzenquotienten darstellt: für alle R. f f( + ) f() () = lim = lim + =, 0 0 I.3.6 Die Ableitung der Parabel dritter Ordnung f() = 3 f( + ) f() = ( + )3 3 = ( ) = = Für alle R strebt das gegen 3, wenn gegen 0 strebt: f f( + ) f() () = lim = lim = J. Hellmic

25 I.3 Die Ableitung I.3.7 Der allgemeine Fall f() = n, n N Hier steen wir zunäcst vor dem Problem, den Ausdruck f( + ) = ( + ) n auszuwerten, d.., wir müßten in der Lage sein, das allgemeine Binom ( + ) n auszumultiplizieren. Dafür gibt es zwar eine Formel, doc kommen wir one sie aus. Wenn wir die beiden letzten Fälle analysieren, dann fällt auf, daß sic der Summand mit der öcsten -Potenz (also bzw. 3 ) immer erausebt. Alle anderen Summanden kommen mit mindestens einem multipliziert vor. Dabei werden alle, außer der zweite Summand ( bzw. 3 ), mit, 3 oder noc öeren Potenzen von multipliziert, so daß diese, nac Ausklammern und Kürzen des gemeinsamen Faktors aller Summanden, mindestens noc mit multipliziert bleiben. Den Grenzwert 0 überlebt dann nur noc der zweite Summand, denn er kommt als einziger nict mer in Gesellscaft eines Faktors vor. Wir versucen nun, diese Beobactung auf den allgemeinen Fall zu übertragen. Wenn wir uns (+) n = (+)(+)(+) (+) ausmultipliziert denken, also jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten multiplizieren, dann mit jedem der dritten usw., bis zur letzten, dann werden wir für die ersten Summanden des Ergebnisses den Ausdruck n + n n + a n + b n c n n mit den noc unbestimmten Koeffizienten a, b, c usw. eralten. Dabei gibt es nur eine Möglickeit n zu eralten, wesalb der Vorfaktor von n auc ist. Dagegen gibt es n Möglickeiten, den Ausdruck n zu gewinnen: Wir multiplizieren n -mal mit sic selbst und nur einmal mit. Dafür gibt es die n Möglickeiten n = n = n 3 = = n = n. Also muß der Vorfaktor dieses Ausdrucks n sein. Wir könnten nun einige Arbeit dafür verwenden, auc noc die Koeffizienten a, b, c usw. zu bestimmen. Der Punkt ist aber, daß das gar nict nötig ist. Bei der Grenzwertbildung werden die Summanden mit diesen Koeffizienten sowieso gegen 0 streben: f( + ) f() = ( + )n n = n + n n + a n + b n c n n n = nn + a n + b n c n n = (nn + a n + b n 3 + c n n ) = n n + a n + b n 3 + c n n. Außer dem ersten Summanden n n aben alle anderen mindestens einen Faktor und verscwinden daer im Grenzwert für 0. Wir eralten also für f() = n : f f( + ) f() () = lim = dn 0 d = nn. (I.0) J. Hellmic

26 I Differentialrecnung I.3.8 Die Ableitung der Hyperbel f() = f( + ) f() = + = (+) (+) = (+) = ( + ) 0. Also gilt f () =. Versucen wir die Bezeiung (I.0), nämlic f () = n n für f() = n, auc für n = anzuwenden, d.., auf die Funktion f() = =, so würden wir den Ausdruck ( ) = = eralten, also genau das Ergebnis, daß wir eben für die Ableitung von f() = erzielt aben. Das bedeutet, daß nn zumindest auc noc für n = die Ableitung von f() = n ist. Das läßt offen, daß diese Bezieung sogar für alle negativen ganzen Zalen gültig ist. Um sic davon zu überzeugen, könnte man als näcstes den Fall n = untersucen, also f() =. Wir müßten durc direktes Ausrecnen (so wie oben) als Ableitung f () = 3 = eralten, 3 also wieder das, was (I.0) für n = voraussagen würde. Ü Wir werden diesen Weg aber nict weiterverfolgen, denn die Gültigkeit von (I.0) für alle ganzen Zalen eralten wir viel einfacer, wenn wir uns zunäcst leistungsfäige Recenregeln für die Ableitung bescaffen und diese auf das Problem anwenden. Es wird sic dabei erausstellen, daß n n für alle gebrocenen Hoczalen n, tatsäclic sogar für alle Hoczalen aus R die Ableitung von f() = n ergibt (vergl. Seite 44). I.3.9 Die Ableitung der Wurzel f() = f( + ) f() = = = ( + + ) = ( + + ). Man überzeuge sic davon, daß dieses Ergebnis ebenfalls aus (I.0) für n = entstet ( = ). Der Definitionsbereic von f() = bestet aus allen positiven Zalen einscließlic der Null, wärend die Ableitung f () = nur für alle positiven Zalen (one die Null) eistiert. Das liegt ier daran, daß die Tangente in = 0 senkrect ist und desalb keine endlice Steigung besitzen kann. I.3.0 Die Ableitung der trigonometriscen Funktionen Wir beginnen mit f() = sin(). Um den Differenzenquotienten auswerten zu können, benötigen wir die Additionssätze der trigonometriscen Funktionen, die wir im Abscnitt I..6 mit den Formeln (I.8), (I.9) scon bereitgestellt aben und die Grenzwerte (I.), sowie (I.3) aus Abscnitt I..7: f( + ) f() = sin( + ) sin() = sin()( cos() ) + cos() sin() = sin() cos() + cos() sin() sin() J. Hellmic

27 I.3 Die Ableitung 3 = sin() cos() 0 cos(), + cos() sin() denn nac (I.3), (I.) strebt sin() cos() für 0 gegen 0 und cos() sin() gegen cos(). Genauso untersucen wir nun g() = cos(): g( + ) g() = cos( + ) cos() = cos()( cos() ) sin() sin() = cos() cos() sin() sin() 0 sin(). Wir eralten die Ableitungsregeln = sin = cos, cos = sin. cos() cos() sin() sin() cos() (I.) (I.) Die Ableitung des Tangens können wir daraus leict ausrecnen, wenn wir die Quotientenregel zur Verfügung aben werden (siee Abscnitt I.4.4). I.3. Die Ableitung der e-funktion ep( + ) ep() = e+ e = e e e 0 e = ep(), = e e denn wir atten in Abscnitt I..9 scon darauf ingewiesen, daß die Tangente bei = 0 die Steigung at, d.., daß e für 0 gegen strebt. Das bedeutet ep = ep. (I.3) Nun können wir einen Hinweis darauf geben, warum die Zal e durc den Grenzwert (I.6) gegeben sein muß, damit ep = ep gelten kann. Wir wissen daß ep = ep genau dann gilt, wenn e für 0 gilt. Daraus folgt, daß e für kleine erfüllt sein muß. Wir wälen = mit großem n N und eralten damit naceinander: n e n n, e n n, e n + n. Im letzten Scritt nemen wir beide Seiten zur n-ten Potenz. Links eralten wir (e /n ) n = e und rects ( n. + n) Die eigentlice Arbeit bestet nun darin, naczuweisen, daß das -Zeicen bei diesem letzten Scritt weiterin seine Berectigung beält: ( e + n) n. J. Hellmic

28 4 I Differentialrecnung I.4 Die Ableitungsregeln Um unseren Vorat an ableitbaren Funktionen zu erweitern, stellen wir Recenregeln für die Ableitung auf, die es uns erlauben, die Ableitung von Funktionen aus den Ableitungen irer einfaceren Bestandteile zu gewinnen. Für jede der Operationen, die man mit Funktionen ausfüren kann (vergl. Abscnitt I..5) gibt es eine Ableitungsregel. I.4. Faktorregel Bilden wir aus einer Funktion f durc Multiplikation mit einer festen Zal t die neue Funktion g = t f, so ist ire Ableitung g = t f : (t f) (t f)( + ) (t f)() () = lim 0 = lim 0 t f( + ) f() = lim 0 t f( + ) t f() = t f () = (t f )(). Ob wir also eine Funktion mit der Zal t multiplizieren und die entsteende Funktion ableiten, oder ob wir zuerst ableiten und dann mit t multiplizieren, läuft auf dasselbe inaus. B f() = 4, t = 3, g() = 3 4 = 3f(). Dann ist g () = 3f () = = 3. () = 3 5 = 3 5, () = 3 5 = 3 5. k() = sin(), k () = cos(). l() = 5e, l () = 5e. I.4. Summenregel Die Ableitung (f + g) einer Summe zweier Funktionen f und g ist die Summe f + g irer Ableitungen f und g : (f + g) = f + g (f + g) (f + g)( + ) (f + g)() () = lim 0 f( + ) + g( + ) f() g() = lim 0 f( + ) f() = lim + 0 g( + ) g() = f () + g (). B f() = 3 4, g() = 6, (f + g) () = f () + g () = g() = , g () = = k() = sin() + cos(), k () = cos() sin(). I.4.3 Produktregel (f g) = f g + f g (f g) (f g)( + ) (f g)() f( + )g( + ) f()g() () = lim = lim J. Hellmic

29 I.4 Die Ableitungsregeln 5 f( + )g( + ) f()g( + ) + f()g( + ) f()g() = lim 0 f( + ) f() g( + ) g() = lim g( + ) + f() 0 = f ()g() + f()g (). B () = sin(), f() =, g() = sin(), () = sin() + cos(). f() = e, f () = e + e = ( + ) e = ( + ) e. g() = sin () = sin() sin(), g () = cos() sin() + sin() cos() = cos() sin(). I.4.4 Quotientenregel ( fg ) = f g fg Wir zeigen diese Regel zunäcst nur für die Funktion g : ( g ) = g ( ) () = lim g 0 = lim 0 = lim 0 = g () g (). g ( ( ( + ) () g) g) g() g( + ) g( + )g() g( + ) g() g g( + ) g() = lim 0 g() g( + ) = lim 0 g( + )g() g( + )g() = g () Nun ist der allgemeine Fall nur noc die Anwendung der Produktregel I.4.3: ( ) ( f = f ) ( ) = f g g g ( + f g g() ) = f g f g g = f g fg g. J. Hellmic

30 6 I Differentialrecnung B () = 3 +, f() = 3, f () = 4 3, g() = +, g () =, () = (4 3)( + ) ( 3) ( + ) = ( + ) = ( + ). f() = = ( ) = ( ), f () = ( 3 5 ) = Man siet: Nict immer ist die Quotientenregel die beste Wal. tan() = sin() cos(), tan () = cos() cos() + sin() sin() cos () = cos (). I.4.5 Kettenregel (f g) () = f (g()) g () (f g) (f g)( + ) (f g)() f(g( + )) f(g()) () = lim = lim 0 0 f(g( + )) f(g()) g( + ) g() = lim 0 g( + ) g() f(y + k) f(y) g( + ) g() = lim 0 k = f (y) g () = f (g()) g (), mit k = g(+) g() und g(+) = y+k, wobei wir y = g() setzen. Für 0 strebt auc k gegen Null, denn g ist stetig. Also strebt der erste Bruc gegen f (y) = f (g()) und der zweite gegen g (). B f() =, f () =, g() = 3 8, g () = 3. Dann ist f g() = 3 8 und (f g) () = g() g () = = () = + 5 setzt sic aus den beiden Funktionen f() = und g() = +5 zusammen. f () =, g () = 4. Also ist () = f (g()) g () = g() 4 = 8 ( + 5) J. Hellmic

31 I.4 Die Ableitungsregeln 7 Ü Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. f() = 40 ( ) g() = () = l() = e 3+ k() = e m() = e n() = e p() = sin(e ) q() = 3( ) 3 s() = (e e ) c() = (e + e ) t() = e e e + e cot() = cos() r() = ( + ) e sin() s() = ( 3 8 ) 8 t() = ( 3 + ) 3 u() = sin() cos() v() = e 3 cos() w() = e cos() e + sin() z() = e 3 cos() Kontrollergebnis: f () = 0 (3 3 + ) g () = () = (3 4) k () = ( + ) e l () = 3 e 3+ m () = 4 e n () = ( ) e p () = 4 e cos(e ) q () = 3 ( )( ) ( 3 ) c () = (e e ) = s() s () = (e + e ) = c() t () = 4 (e + e ) = c () cot () = sin () r () = (3 ) e ( ) s () = 8 5 (3 6) ( 8) 7 t () = ( 3 + ) 4 u () = cos() cos() sin() sin() v () = ( 3 cos() + sin() ) e 3 w () = e( sin() cos() e sin() ) z sin() 3 cos() () = (e + sin()) e 3 cos () J. Hellmic

32 8 I Differentialrecnung J. Hellmic

33 I.5 Kurvendiskussion 9 I.5 Kurvendiskussion I.5. Markante Punkte einer Funktion Die Aufgabe der Kurvendiskussion bestet darin, den Kurvenverlauf einer Funktion f möglicst eakt zu ermitteln. Dazu stellt man Untersucungen zur Stetigkeit, Differenzierbarkeit an, versuct Symmetrien und Asymptoten zu erkennen. Besonders wictig sind auc die markanten Punkte einer Funktion, wie Nullstellen, lokale (globale) Maima oder Minima und Wendepunkte (d.., Stellen, an denen die Kurve von einer Rects- in eine Linkskurve oder umgekert wecselt). Für Funktionen, die genügend glatt sind, so wie sie ier überwiegend vorliegen werden, entfallen die Untersucungen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit, da sie gegeben sind. Wir bescränken uns daer im folgenden auf das Finden der markanten Punkte einer Funktion. In der nebensteenden Figur ist eine Funktion f und ire Ableitung f wiedergegeben, die alle markanten Punkte aufweist. H W lokal die kleinste Steigung in W f. Nullstellen: Die Stellen, an denen f() = 0 gilt. Wir untersceiden Nullstellen (a) (b) mit Vorzeicenwecsel (a), al- N N so Stellen, an denen f die -Acse wirklic scneidet und Nullstellen one Vorzeicenwecsel (b), Stellen, an denen f die -Acse nur berürt. Im letzteren Fall liegt dann ein lokales Maimum oder Minimum vor. N ^ S =^ W ^ 3 T 3 f. Etremstellen: Lokale Maima und Minima verraten sic durc ire waagrecte Tangente. Da f () die Steigung der Tangente an der Stelle angibt, finden wir die möglicen Positionen also als Lösungen der Gleicung f () = 0. Identifikation: Stellen, an denen sic ein lokales Maimum befindet, sind zweifelsfrei daran zu erkennen, daß die Ableitung f an der betreffenden Stelle einen Vorzeicenwecsel (VZW) von nac aufweist. Wenn wir nämlic von links nac (f ) ( )= f ( )<0 Tangente an f mit negativer Steigung: H lokales Minimum von f : Wendepunkt von f f ( )=0 lokales Maimum von f : Wendepunkt von f Abbildung I.6 Die markanten Punkte einer Funktion f ( 3 )>0 Tangente an f mit positiver Steigung: T J. Hellmic

34 30 I Differentialrecnung f H f T rects ein lokales Maimum H passieren, so müssen wir uns zunäcst bergauf (positives Vorzeicen von f ) und dann bergab (negatives Vorzeicen von f ) bewegen. Genauso läßt sic ein lokales Minimum T durc ein VZW von nac identifizieren. Wir wollen diese Metode die Vorzeicenmetode zur Identifikation lokaler Maima oder Minima (auc als Hocpunkte bzw. Tiefpunkte bezeicnet) nennen. Die Vorzeicenmetode identifiziert uns auc den Sonderfall, in dem zwar f () = 0 gilt, aber kein Vorzeicenwecsel stattfindet. Dann muß für die Ableitung f entweder der Übergang oder vorliegen. Im ersten Fall steigt die Funktion, at dann an f f S S der Stelle eine waagrecte Tangente und steigt anscließend weiter. Im zweiten Fall fällt die Funktion, unterbrocen durc eine Stelle waagrecter Tangente. In beiden Fällen liegt also ein Wendepunkt mit waagrecter Tangente, ein sog. Sattelpunkt vor, denn im ersten Fall bescreibt die Funktion bis zur Stelle eine Rectskurve und anscließend eine Linkskurve, im zweiten Fall get sie von einer Links- in eine Rectskurve über (vergl. auc die Stelle in Abbildung I.6). Eine andere Metode, ein lokales Maimum bzw. Minimum zu erkennen, bestet darin, eine inreicende Bedingung für den VZW von f zu untersucen: f mact an der Stelle sicer dann ein VZW von nac, d.., bei befindet sic ein lokales Maimum, wenn die Steigung der Tangente an f in negativ ist (vergl. f f ()<0 die Stelle in Abbildung I.6). Die Steigung der Tangente an f in wird, wie bei jeder anderen differenzierbaren Funktion auc, durc die Ableitung in gegeben: (f ) () = f (). Als inreicende Bedingung für ein lokales Maimum eralten wir also f () < 0 und entsprecend f () > 0 für ein lokales Minimum. Man beacte aber, daß es sic wirklic nur um inreicende Bedingungen andelt. Wenn sie nict erfüllt sind, wenn also f () = 0 gilt, eißt das noc nict, daß kein Maimum oder Minimum vorliegt (obwol es in vielen Fällen so ist, denn meist tritt diese Situation auf, wenn an der betreffenden Stelle ein Wendepunkt mit waagrecter Tangente, also ein Sattelpunkt vorliegt). Es gibt durcaus die Möglickeit eines Vorzeicenwecsels von f mit waagrecter Tangente, d.., ein VZW, bei dem f () = 0 gilt. Dann liegt also ein lokales Maimum oder Minimum vor, one daß wir es durc das Vorzeicen der zweiten Ableitung identifizieren können. Z.B. at die Funktion f() = 4 an der Stelle = 0 ein Minimum, aber f () ist durc 3 gegeben, so daß f (0) = 0 gilt. Die Vorzeicenmetode ergibt aber mit f ( ) = 4 < 0 und f () = 4 > 0 problemlos den VZW, also ein lokales Minimum. Um sic in solcen Fällen Klareit zu verscaffen, kann man die betreffende Stelle auf Wendepunkt in prüfen (s.u.), um eventuell einen Sattelpunkt zu identifizieren, oder gleic die Vorzeicenmetode anwenden, die immer zu einem definitiven Ergebnis fürt.. Wendestellen: Stellen, an denen eine Kurve von einer Rects- in eine Linkskurve oder von einer Links- in eine Rectskurve überget nennen wir Wendestellen. Die zugeörigen Punkte auf der Kurve eißen Wendepunkte J. Hellmic

35 I.5 Kurvendiskussion 3 Untersucen wir zunäcst einmal den Übergang von einer Rects- in eine Linkskurve: Entlang einer Rectskurve nimmt die Steigung dauernd ab, d.., die Ableitung f wird entlang einer Rectskurve permanent kleiner solange, bis sie die Stelle erreict at, wo sie zur Linkskurve ansetzt. Ab da nimmt die Steigung wieder zu, denn entlang von Linkskurven wäcst die Steigung. An der Wendestelle besitzt die Funktion demnac (lokal) die kleinste Steigung. Die Ableitung f muß an dieser Stelle also ein lokales Minimum annemen. Lokale Minima können wir aber inzwiscen eindeutig mit der Vorzeicenmetode identifizieren: Die Ableitung der betracteten Funktion ier ist es f muß an der betreffenden Stelle ein VZW von nac Rectskurve Linkskurve aufweisen. Das bedeutet: f muß an dieser Stelle einen VZW von aben, wenn sie von einer Rects- in eine Linkskurve wecseln soll. Genauso überlegen wir uns, daß f genau dann von einer Links- in eine Rectskurve wecselt, wenn an der betreffenden Stelle ein VZW für f vorliegt. Da man sic aber normalerweise scon mit der Tatsace begnügt, daß überaupt ein Wendepunkt vorliegt, one genauer nac der Art des Wendens zu fragen, reict es aus, nur den VZW von f festzustellen, um einen Wendepunkt für f naczuweisen. Auc für Wendepunkte gibt es eine alternative Identifizierungsmetode, die jedoc, genau wie für lokale Maima und Minima, nur inreicend, aber nict notwendig ist. Wir wenden nämlic einfac die alternative Metode zur Identifizierung von lokalen Maima und Minima auf f an: Wir setzen die betreffende Stelle in die zweite Ableitung der Funktion ier also f ein. Das ist dann f (). Da wir uns normalerweise, wie oben bescrieben, nict für die genaue Art der Wendestellen interessieren (die durc f () > 0 bzw. f () < 0 zu unterscieden wären), genügt es naczuweisen, daß f () 0 gilt. f W f f W f I.5. Kurvendiskussion: Die einzelnen Scritte. Nullstellen: Löse die Gleicung f() = 0. Die Lösungen,,... liefern die Nullstellen N ( 0), N ( 0), N 3 ( 3 0),..... Etremstellen: Löse die Gleicung f () = 0. Bestimme zu den Lösungen,, 3,... (den möglicen Stellen der lokalen Maima, Minima oder Sattelpunkte) die zugeörigen y-werte ỹ = f( ), ỹ = f( ), ỹ 3 = f( 3 ),.... Identifikation: (a) Vorzeicenmetode: (notwendig und inreicend) Setze einen -Wert links von und einen rects von in f ein (die Punkte sind beliebig wälbar, solange sie sic nict jenseits benacbarter Etremstellen befinden) und stelle jeweils das Vorzeicen fest. J. Hellmic

36 3 I Differentialrecnung VZW für f : lokales Maimum H( ỹ ), f H VZW für f : lokales Minimum T( ỹ ), f T kein VZW für f : Sattelpunkt S( ỹ ), S f : Sattelpunkt S( ỹ ). (b) alternativ: (nur inreicend) Setze in f ein. f ( ) < 0 : lokales Maimum H( ỹ ), f ( ) > 0 : lokales Minimum T( ỹ ), f ( ) = 0 : Teste auf Wendepunkt (s.u.). Falls erfolgreic, dann liegt ein Sattelpunkt S( ỹ ) vor. Verfare genauso mit den restlicen Lösungen, 3, Wendestellen: Löse die Gleicung f () = 0. Bestimme zu den Lösungen ^, ^, ^ 3,... (den möglicen Stellen der Wendepunkte) die zugeörigen y-werte ^y = f(^ ), ^y = f(^ ), ^y 3 = f(^ 3 ),.... Identifikation: (a) Vorzeicenmetode: (notwendig und inreicend) Setze einen -Wert links von ^ und einen rects von ^ in f ein (die Punkte sind beliebig wälbar, solange sie sic nict jenseits benacbarter Wendestellen befinden) und stelle jeweils das Vorzeicen fest. VZW für f : Wendepunkt W(^ ^y ). (b) alternativ: (nur inreicend) Setze ^ in f ein. f (^ ) 0 : Wendepunkt W(^ ^y ). Verfare genauso mit den restlicen Lösungen ^, ^ 3,.... f S J. Hellmic

37 I.5 Kurvendiskussion 33 Markante möglice Art Identifikation Punkte Stellen notwendig und inreicend inreicend. Nullstellen f() = 0. Etremstellen f ( ) = 0 lokales VZW von f bei Maimum f ( ) < 0 bergauf-bergab lokales VZW von f bei Minimum f ( ) > 0 bergab-bergauf Sattelpunkt kein VZW von f bei f ( ) = 0 und f ( ) 0 3. Wendestellen f (^) = 0 Wendepunkt VZW von f bei ^ f (^) 0 J. Hellmic

38 34 I Differentialrecnung H 4 6 y N N N W I.5.3 Beispiel (a) f() = 0 ( ), f () = 3 0 ( 8), f () = 3 ( ), 5 f () = Abbildung I.7 f() = 0 ( ) T N ( 6 0), N 3 ( + 6 0).. Nullstellen: f() = 0 ( ) = 0. Die erste Nullstelle = raten wir. Polynomdivision (vergl. S. 0) von mit ( ( )) = ( + ) ergibt 4 0. Für die weiteren Nullstellen müssen wir nun nur noc die quadratisce Gleicung 4 0 = 0 lösen. Dafür verwenden wir die Mitternactsformel (I.) und eralten = 6.9 und 3 = , also N ( 0),. Etremstellen: f () = 3 0 ( 8) = 0. Diese quadratisce Gleicung at die Lösungen = und = 4 mit den zugeörigen y-werten ỹ = 0.8 und ỹ = 0. Identifikation: Wir untersucen = z.b. mit der Vorzeicenmetode für f. Dazu wälen wir eine Stelle links von, etwa 3 und eine rects, am einfacsten 0. f ( 3) = > 0 und 0 f (0) = 4 < 0. Es liegt also ein Vorzeicenwecsel vor, d.., es 0 andelt sic um ein lokales Maimum. Die Stelle = 4 identifizieren wir durc Einsetzen in die zweite Ableitung: f (4) = 9 > 5 0, d.., es andelt sic um ein lokales Minimum. Also: H( 0.8), T(4 0). 3. Wendepunkte: f () = 3 ( ) = 0 liefert die einzige Lösung ^ = mit y-wert 5 ^y = 4.6. Da die dritte Ableitung konstant 0 ist, also f () 0 gilt, liegt tatsäclic ein Wendepunkt vor: W( 4.6) J. Hellmic

39 I.5 Kurvendiskussion 35 I.5.4 Beispiel (b) f() = 40 ( ), f () = 0 (3 3 + ), f () = 0 (3 3), f () = 3 5. y H W 4 6 W T. Nullstellen: f() = 40 ( ) = 0. Durc Raten eralten wir = als erste Lösung. Nac Polynomdivision mit ( ) verbleibt immer noc eine Gleicung dritten Grades, nämlic = 0, für die ebenfalls eine Lösung ist ( ist also eine doppelte Nullstelle, vergl. S. ). Erneute Polynomdivision mit ( ) ergibt die quadratisce Gleicung + 3 = 0, die wir mit der Mitternactsformel lösen können: = und 3 = T 8 Abbildung I.8 f() = 40 ( ). Etremstellen: f () = 0 (3 3 + ) = 0 ist eine Gleicung dritten Grades. Da bei = eine doppelte Nullstelle vorliegt, also eine Nullstelle one Vorzeicenwecsel, muß es sic um ein lokales Maimum oder Minimum andeln. D.., wir kennen bereits eine Lösung der Gleicung f () = 0. Polynomdivision mit ( ) ergibt + = 0, mit den Lösungen = 4 und 3 = 3. Die y-werte: ỹ = 75 = 9.75 und ỹ 8 3 = 4 = 0.8. Identifikation durc Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt T 5 ( 4 75), 8 T (3 4 ) und H( 0) Wendepunkte: f () = 0 (3 3) = 0 at die Lösungen ^ = 3. 3 und ^ = 3, für die die zugeörigen y-werte ^y 3 = und ^y = lauten. J. Hellmic

40 36 I Differentialrecnung I.5.5 Beispiel (c) 6 4 T y Abbildung I.9 g() = W g() = Wir screiben die Funktion zunäcst etwas um. Auf diese Weise vermeiden wir es, für die Ableitung die Quotientenregel verwenden zu müssen: g() = = ( 3 = ) = ( 5 ), 3 mit der Ableitung g () = 3 ( + 0 3) = 3 3 ( + 0 ) = Als zweite Ableitung eralten wir, indem wir zur Berecnung natürlic die Version g () = ( ) benutzen: g () = ( ) ( = ) = g besitzt die Asymptote y() = 5 und die senkrecte Asymptote = 0, also die 3 3 y-acse. Für die Nullstellen müssen wir die Gleicung g() = 0, also = 0 lösen. Da wir dafür keine Lösungsformel aben, versucen wir eine Lösung zu raten. Wir erinnern uns, daß eine ganzzaligen Lösung ein Teiler des letzten Summanden sein müßte. Da 5 eine Primzal ist, kommen nur die Zalen ± und ±5 in Frage (vergl. Seite 9). Der erste Versuc = fürt bereits zum Ziel. Die Polynomdivision von = 0 mit ( ) fürt auf 4 5. Möglice weitere Nullstellen gewinnen wir also durc Lösen von 4 5 = 0, wofür uns nun die Mitternactsformel (I.) zur Verfügung stet. Wir eralten = und 3 = 5. Die Etremstellen bestimmen wir durc die Lösungen von g () = 0, also = 0. Die Rateversuce = und = mißglücken, aber = ist erfolgreic. Der zugeörige y-wert ist y = 3. 4 f () = 3 > 0 verrät uns, daß es sic um einen Tiefpunkt 3 4 andelt: T( 3 ). Polynomdivision mit ( ) fürt für die weiteren Etremstellen auf die 4 quadratisce Gleicung ++5 = 0, die jedoc keine reellen Lösungen besitzt. Damit ist T die einzige Etremstelle. Der Wendepunkt ist bei = 5 zu finden: W(5 448 ) J. Hellmic

41 I.5 Kurvendiskussion 37 I.5.6 Beispiel (d) f() = 3 + = +, f () = 3 ( + ) 3 = ( + ) ( + ) = ( + ), f () = (43 + 6)( + ) 4( )( + ) ( + ) 4 = ( + ) ( ( )( + ) 4( ) ) ( + ) 4 = (43 + 6)( + ) ( + ) 3 = ( + ) 3 = ( + ) 3 = ( 3) ( + ) 3. y W W Abbildung I.0 f() = 3 + Die Funktion ist punktsymmetrisc zum Ursprung, denn der Zäler besitzt nur ungerade und der Nenner nur gerade Hoczalen. y() = ist eine scräge Asymptote. Nullstelle nur bei = 0. Die einzige Etremstelle liegt ebenfalls bei = 0. Überprüfung mit der zweiten Ableitung ergibt f (0) = 0, d.., nun muß auf Wendepunkt getestet werden. Da wir uns die dritte Ableitung ersparen wollen, wenden wir die Vorzeicenmetode für f an: f ( ) = ( ) < 0, f () = ( ) > 0. Also liegt im Ursprung ein Wendepunkt 8 8 mit waagrecter Tangente, also ein Sattelpunkt vor (man beacte, daß die Zalen und zum testen nict mer zulässig sind, denn sie liegen bereits jenseits der benacbarten Wendestellen ± 3). Für die Wendepunkte müssen wir die Gleicung ( 3) = 0 lösen. Die erste Lösung = 0 aben wir eben untersuct. Die beiden anderen Lösungen = 3 und 3 = 3 ergeben ebenfalls Wendepunkte. y = f( 3) = 4 3 3, y3 = f( 3) = Überprüfung: f ( ) = 4(4 3) > 0, f ( ) < 0. Es liegt also tatsäclic ein Wendepunkt vor. Wegen der Symmetrie der Funktion, ist auc bei 3 ein Wendepunkt: 5 3 W ( ), W3 ( ). W 3 J. Hellmic

42 38 I Differentialrecnung Abbildung I. I.5.7 Beispiel (e) y H () = S 3 3 wir mit der Quotientenregel: T () = D f = R\{ , 3, 3 3} Durc Polynomdivision: () = Die Gerade y() = ist also eine Asymptote. ist punktsymmetrisc zum Ursprung (nur ungerade Hoczalen für den Zäler und nur gerade Hoczalen für den Nenner). In den Definitionslücken 3 3 und 3 3 befinden sic senkrecte Asymptoten. Die Ableitungen von bestimmen () = 3 3 (3 4) 3 6 = (3 4) (3 4) = (3 4) = 9 ( 4) (3 4), () = 9 (43 8)(3 4) 6 ( 4 4 )(3 4) (3 4) 4 = 9 (3 4) ( (4 3 8)(3 4) ( 4 4 ) ) (3 4) 4 = (3 4) 3 = (3 4) 3 = 7 ( + 4) (3 4) 3. Die einzige Nullstelle befindet sic im Ursprung. Wegen (0) = 0, (0) = 0 und dem Vorzeicenwecsel ( ) > 0, () < 0 liegt im Ursprung ein Sattelpunkt S vor. Als Etremstellen ergeben sic aus () = 0 die weiteren Lösungen = und = mit den zugeörigen y-werten y = ( ) = 3 und y = 3. Identifikation: () = 9 4 > 0, d.., bei liegt ein Tiefpunkt und wegen der Punktsymmetrie von in ein Hocpunkt vor: T( 3), H( 3) J. Hellmic

43 I.6 Umkerfunktionen 39 I.6 Umkerfunktionen In vielen Situationen ist es wünscenswert, eine Funktionsvorscrift umkeren zu können. Z.B. kann es für eine Kostenfunktion f, die der Stückzal die Produktionskosten f() zuordnet, sinnvoll sein, bei einem gegebenen Kostenramen y nac der möglicen Stückzal zu fragen, die damit ergestellt werden kann. Es ist also nac dem gefragt, das die Gleicung y = f() erfüllt. Ein anderes Beispiel ist der Winkel in einem rectwinkligen Dreieck. Wenn die Gegenkatete a und die Hypotenuse c bekannt sind, läßt sic der Sinus a c berecnen. Gefragt ist dann nac dem zugeörigen Winkel, der die Gleicung sin() = a c erfüllt. y=f() f f f f =f (y) Wir sagen, eine Funktion f mit Definitionsbereic D f und Wertebereic W f sei invertierbar oder umkerbar, wenn es für jedes y aus dem Wertebereic genau ein D Abbildung I. f gibt, das y als Funktionswert at, das also y = f() erfüllt. Funktion und Umkerfunktion Die Funktionsvorscrift, die jedem y W f das D f mit y = f() zuordnet, eißt Inverse, oder Umkerfunktion von f. Sie wird üblicerweise durc f bezeicnet: f : W f D f. Bemerkungen (a) Die Umkerfunktion f von f muß jedem y W f das D f zuordnen, für das die Gleicung y = f() erfüllt ist: f (y) =. Also gilt für alle y W f? f(f (y)) = y. (I.4) Natürlic ist die Umkerfunktion von f wieder f (man mace sic das klar!). Daer gilt das oben Gesagte auc, wenn wir die Rollen von f und f vertauscen: f (f()) =. (I.5) Diese Gleicung drückt genau das aus, was wir von einer Umkerfunktion f erwarten: Sie ebt die Wirkung von f wieder auf. Wenn wir von einem den Funktionswert y = f() berecnen und dann, mittels f nac dem -Wert fragen, der durc f auf y abbildet wird, so eralten wir natürlic als Antwort. (b) Der Definitionsbereic D f von f ist der Wertebereic W f von f und der Wertebereic W f von f ist der Definitionsbereic D f von f. Wertebereic und Definitionsbereic vertauscen also ire Rollen: D f = W f, W f = D f. (c) Wenn wir den Grapen von f in der Weise zeicnen, wie f wirkt, d.., indem wir jedem Punkt der y-acse, der einen Funktionswert darstellt, waagrect daneben seinen -Wert zuordnen, so eralten wir denselben Grapen wie für f. Eine Funktion auf diese Weise zu zeicnen ist natürlic etwas ungewont. Da Umkerfunktionen auc für sic interessante Funktionen darstellen, zeicnet man sie, wie jede andere Funktion auc, von J. Hellmic

44 40 I Differentialrecnung y der -Acse aus: f : f (). Das bedeutet also, daß sic dabei die Rollen von y- und -Acse vertauscen. Wir können uns das folgendermaßen vorstellen: Wir denken uns das Koordinatensystem und f in zwei identiscen Kopien auf zwei durcsictige Folien gezeicnet, die deckungsgleic übereinander liegen. Wir nemen nun die obere Folie, blättern sie um und bringen anscließend die Koordinatenacsen wieder zur Deckung (auc in irem Durclaufsinn von f links nac rects bzw. von unten nac oben), wobei nun aber die -Acse auf der y-acse und die y-acse auf der -Acse des unteren Bildes zu liegen kommt. Wir eralten dabei den f Grapen von f durc Spiegelung an der ersten Winkelalbierenden y() =. y()= Abbildung I.3 Umkerfunktion durc Spiegelung an y() = (d) Eine konkrete Umkerfunktion eralten wir, indem wir die Gleicung y = f() nac aufzulösen versucen: = f (y). Für viele Funktionen, für die eine Umkerfunktion eistiert, wie etwa die ep-funktion, ist das aber nict so one weiteres möglic, weil f nict als gesclossener Ausdruck ausgerecnet werden kann. Viele dieser Funktionen spielen eine wictige Rolle (weil sie eben bekannte Funktionen umkeren). Meist aben sie einen eigenen Namen eralten (z.b. ln für ep ) und wurden eingeend untersuct. Wir werden in Abscnitt II.3. Tecniken kennenlernen, mit denen es möglic ist, Funktionswerte von Umkerfunktionen zu berecnen. Überrascenderweise ist es oft einfac, die Ableitung einer Umkerfunktion auszurecnen, auc wenn man die Umkerfunktion selbst gar nict so genau kennt (den Grapen von f kennen wir aber immer, wenn wir den Grapen von f kennen). (e) Die Screibweise f ist etwas mißverständlic, at sic aber international eingebürgert. Unter f ist nict die Funktion zu versteen, auc wenn die Screibweise das f naelegt. Z.B. ist die Umkerfunktion von f() = 3 durc f () = 3 und nict etwa durc gegeben. 3 I.6. Bedingungen für die Eistenz von f Nict jede Funktion besitzt eine Umkerfunktion. Z.B. at f() = mit dem Definitionsbereic R sicer keine Umkerfunktion, denn die Gleicung y = f(), also y =, at für positives y immer die beiden Lösungen = y und = y. Damit läßt sic die Frage nac dem -Wert, der zu einem gegebenen y-wert geört nict eindeutig beantworten. Diese Eindeutigkeit ist aber die notwendige Bedingung für die Eistenz der Umkerfunktion. Wir geben nun eine inreicende Bedingungen an, die für eine differenzierbare Funktion f sicerstellt, daß f eistiert. Dazu macen wir uns zunäcst klar, daß eine stetige Funktion auf einem Intervall dann und nur dann umkerbar ist, wenn sie entweder streng monoton wacsend oder streng monoton fallend ist (für unstetige Funktionen stimmt das nict mer). Das bedeutet: Entweder gilt für zwei Werte und aus dem Definitionsbereic D f mit > immer f( ) > f( ) oder immer f( ) < f( ). Wäre sie nämlic nict entweder streng monoton wacsend oder streng monoton fallend, so müßte es, D f J. Hellmic

45 I.6 Umkerfunktionen 4 geben, für die f( ) = f( ) gilt. Dann wäre aber f, im Widerspruc zu unserer Anname, nict mer umkerbar. Umgekert ist eine streng monoton wacsende oder fallende Funktion sicer umkerbar, denn die Gleicung y = f() kann keine zwei versciedene Lösungen und aben. Sonst würde nämlic, wenn etwa > gilt, aus der strengen Monotonie sofort f( ) > f( ) bzw. f( ) < f( ), jedenfalls f( ) f( ) folgen, im Gegensatz zu unserer Anname f( ) = y = f( ). Mit Hilfe der Differentialrecnung können wir nun leict eine inreicende Bedingung für die Umkerbarkeit einer Funktion angeben: Eine Funktion f auf einem Intervall ist sicer dann umkerbar, wenn ire Ableitung f entweder positiv, oder negativ ist und allenfalls isolierte Nullstellen besitzt. Im Fall f () 0 wäcst die Funktion permanent. An eventuell vorandenen isolierten Nullstellen von f findet kein Vorzeicenwecsel statt, so daß f dort einen Sattelpunkt besitzt (vergl. S. 30). f ist also streng monoton wacsend und daer umkerbar. Entsprecendes gilt für f () 0 mit eventuell vorandenen isolierten Nullstellen von f. Ein einfaces Beispiel ist f() = 3, mit f () = 3 0 und der isolierten Nullstelle = 0 von f, die zum Sattelpunkt im Ursprung fürt. I.6. Ableitung der Umkerfunktion Ist eine Funktion f stetig differenzierbar und umkerbar, so ist auc ire Umkerfunktion f differenzierbar (diesen Satz wollen wir ier nict beweisen). Überrascenderweise läßt sic eine Formel für die Ableitung von f angeben, obwol diese Funktion selbst möglicerweise gar nict bekannt ist. Das liegt an Gleicung (I.4): f(f ()) =. Leiten wir diese Gleicung auf beiden Seiten ab, so entstet rects, wärend wir die linke Seite mit der Kettenregel ableiten müssen und dabei f (f ()) (f ) () = eralten. In dieser Bezieung findet sic die Ableitung der Umkerfunktion (f ), die wir sucen wir müssen die Gleicung also nur noc nac ir auflösen: (f ) () = f (f ()). (I.6) Diese Gleicung siet auf den ersten Blick etwas abscreckend aus. Bei näerer Betractung gibt sie uns aber eine klare Anweisung darüber, was wir im einzelnen zu tun aben, um f abzuleiten. Wir müssen nämlic nur die Ausgangsfunktion f ableiten, dann in dem Ausdruck f () jedes durc f () ersetzen und vom Ergebnis den Kerwert bilden. Um dabei zu einem Ausdruck zu gelangen, den man auswerten kann, suct man üblicerweise nac einem algebraiscen Zusammenang zwiscen f () und f(). Was damit gemeint ist, macen wir uns am besten in den Beispielen klar. Wir aben jetzt ein leistungsstarkes Werkzeug in der Hand, mit dem wir eine große Klasse von Funktionen auf Umkerbarkeit untersucen können. Wir müssen dazu nur die Ableitung ausrecnen und daraufin untersucen, ob sie entweder positiv oder negativ ist. Das wollen wir nun an den wictigsten Beispielen durcfüren. J. Hellmic

46 4 I Differentialrecnung e I.6.3 Die ln-funktion Die Eponentialfunktion ep() = e at die Ableitung ep () = e > 0 und ist daer umkerbar. Die Umkerfunktion ep muß sic aus der Lösung der Gleicung y = e ergeben. Es ist also für ein positives y (andere Werte kommen nict als Funktionswerte von ep vor) die Potenz von e gesuct, die beim Potenzieren gerade y ergibt. Das ist die Definition des Logaritmus zur Basis e von y: = log e (y). Da dieser Logaritmus die Umkerfunktion einer der wictigsten Funktionen ist, at er ein eigenes Symbol eralten: log e = ln. Die Umkerfunktion der ep-funktion ist also ln durc ln gegeben: ep = ln. Der Definitionsbereic von ln ist der Wertebereic der e-funktion, also R + \ {0}, wärend ir Wertebereic R ist. Die e-funktion besitzt die e negative -Acse als waagrecte Asymptote. Desalb ist die negative y-acse die senkrecte Asymptote der ln- Funktion. Gleicung (I.4) lautet für ep: ep(ln()) = e ln() =, > 0. Abbildung I.4 Die ln-funktion Als Ableitung von ln eralten wir mit ep Gleicung (I.6): = ep nac ln () = ep(ln()) = e ln() =. (I.7) Die ln-recenregeln ergeben sic als Umkerung der Potenzrecengesetze (vergl. Seite 7) zu: ( ) ln(y) = ln() + ln(y), ln = ln() ln(y), ln( a ) = a ln(). y Insbesondere ist ln() = 0 und ln(e) = J. Hellmic

47 I.6 Umkerfunktionen 43 I.6.4 Die Arcus-Funktionen sin = cos. Die Cosinus-Funktion ist von π bis π größer oder gleic Null, d.., die Ableitung von sin ist dort positiv, oder at für = π bzw. = π isolierte Nullstellen (vergl. Abbildung I.8). Damit ist die Sinus-Funktion in diesem Bereic π umkerbar. Die Umkerfunktion sin wird als arcsin bezeicnet. Ir Definitionsbereic ist der Wertebereic der Sinus-Funktion, also [, ] und ir Wertebereic [ π, π ]. Es gilt arcsin(±) = ± π. Bilden wir ire Ableitung: Gemäß Gleicung (I.6) müssen wir in die Ableitung von sin (also in cos) die Umkerfunktion arcsin einsetzen und den Kerwert bilden. Damit ist die Ableitung von arcsin arcsin () = cos(arcsin()). Damit können wir allerdings nict viel anfangen. Wenn es uns aber gelingt, den cos mittels einer algebraiscen Bezieung durc sin auszudrücken, dann können wir sin(arcsin()) = ausnützen (Gleicung (I.4)), um zu einer andlicen Formel für arcsin zu gelangen. Der zentrale Zusammenang sin () + cos () = zwiscen sin und cos (vergl. (I.3)) liefert uns diese Bezieung: cos () = sin (). Wir müssen nur noc die Wurzel aus beiden Seiten zieen. Allerdings wissen wir, daß es dafür zwei Möglickeiten gibt, nämlic ± sin (). Da der Cosinus positive und negative Werte annimmt, müssen wir uns darüber klar werden, welces Vorzeicen gelten muß. Glücklicerweise gilt aber cos 0 in dem Bereic [ π, π ], auf dem sin umkerbar ist. Daer benötigen wir auf dem ganzen Bereic nur die positive Wurzel. Wir eralten cos(arcsin()) = = sin (arcsin()) (sin(arcsin())) = π Abbildung I.5 arccos π π arcsin Die arcsin-funktion π π und daraus scließlic arcsin () =. Abbildung I.6 Die arccos-funktion (I.8) Wenn wir genauso für den Cosinus verfaren, der im Bereic [0, π] umkerbar ist, dann eralten wir für die Ableitung der Umkerfunktion arccos von cos: arccos () =. (I.9) J. Hellmic

48 44 I Differentialrecnung Der Tangens ist im Bereic ( π, π) umkerbar, denn tan () = ist dort positiv (man cos () beacte, daß nun die Randpunkte ± π nict zum Intervall dazugeören, denn an diesen Stellen ist der Tangens gar nict definiert). Verwenden wir die Bezieung = + cos () tan () (nacrecnen), so eralten wir für die Ableitung der Umkerfunktion arctan von tan: arctan () = +. (I.30) I.6.5 Die Ableitung von f() = n, n R Mit Hilfe der ln-funktion und der Bezieung a = e ln(a) (Gl. (I.4)) können wir den Ausdruck n für positive und alle n R definieren: n = e nln(). (I.3) Solange n N, n Z oder n Q ist, braucen wir diesen Trick nict, denn in diesen Fällen läßt sic n mittels der bekannten Recenoperationen bilden: Für n = p q Q ist n = p q = q p. In diesen Fällen gilt aber auc die ln-recenregel ln( n ) = n ln(), so daß die recte Seite von (I.3) e nln() wieder e ln(n) = n, also (I.3) ergibt. Diese Gleicung liefert demnac für den Fall n Q wieder die alte Version von n zurück. Anders ist es, wenn wir n = wälen. läßt sic so nict mer über die bekannten Recenoperationen Potenzieren und Wurzelzieen bilden, denn ist kein Bruc, geört also nict mer zu Q. Nun müssen wir durc e ln() definieren. Genauso mact es (I.3) für alle n R. Man kann zeigen, daß die Potenzrecengesetze (vergl. Seite 7) auc für diese erweiterte Definition von n gültig bleiben. Wir wollen uns nun davon überzeugen, daß die Ableitungsregel d d n = n n auc weiterin gilt. Dafür müssen wir nur noc (I.3) mit Hilfe der Kettenregel ableiten: d d n = d d enln() = e nln() n ln () = ne nln() = nn = n n J. Hellmic

49 I.6 Umkerfunktionen 45 I.6.6 Die Umkerung der Hyperbelfunktionen Bei den Hyperbelfunktionen andelt es sic um den yperboliscen Sinus (sinus yperbolicus) 8 s() = ( e e ), (I.3) c 7 den yperboliscen Cosinus (cosinus yperbolicus) 6 c() = ( e + e ), (I.33) 5 und den yperboliscen Tangens (tangens yperbolicus) t() = s() t() = e e e + e (I.34) 4 3 Offensictlic gilt s = c, c = s und t = (vergl. Seite 7). Ganz änlic wie bei c den trigonometriscen Funktionen gibt es auc für die Hyperbelfunktionen eine zentrale algebraisce Bezieung: c () s () =. (I.35) Da s () = c() > 0 für alle R gilt, ist s umkerbar. s können wir berecnen. Dazu müssen wir die Gleicung ( e e ) = y nac auflösen. Wir bringen alles auf eine Seite und multiplizieren anscließend die Gleicung mit e durc: e y e = 0 3 s t 3 (e ) y e = 0 8 Setzen wir darin e = u, so eralten wir eine einface quadratisce Gleicung u y u = 0 Abbildung I.7 Die Hyperbelfunktionen mit den beiden Lösungen u / = y ± y +. Da u = e für alle y R positiv sein muß, kommt nur die + -Lösung in Frage ( y + ist nämlic größer als y, so daß y y + negativ ist): u = y + y + = e J. Hellmic

50 46 I Differentialrecnung Nun müssen wir nur noc auf beiden Seiten die ln-funktion anwenden und eralten: also = ln ( y + y + ), s (y) = ln ( y + y + ). Da wir eine eplizite Formel für die Umkerfunktion des yperboliscen Sinus eralten aben, können wir die Ableitung direkt berecnen, indem wir die Kettenregel merfac anwenden: (s ) (y) = = y + + y y +. ( y ) y + + = y + + y y + y + y + + s ver- Wir können aber auc wieder Gleicung (I.6) benutzen und dabei c = wenden (vergl. Gl. (I.35)): (s ) () = s (s ()) = c(s ()) = + s (s ()) = +. Die Funktion c können wir nur umkeren, wenn wir iren Definitionsbereic auf R + 0 einscränken. Dann ergibt eine Recnung, wie wir sie oben vorgefürt aben: c () = ln ( + ). Dabei ist der Definitionsbereic D c = [, ). Als Ableitung eralten wir für > : (c ) () =. t ist umkerbar, denn die Ableitung ist strikt positiv. Die Umkerfunktion bestimmen c wir wieder durc Auflösung der Gleicung y = e e e + e = e (dabei aben wir den e + Bruc mit e erweitert). Wir eralten zunäcst e = + y und daraus leict y t (y) = ( + y ) ln. y D t = (, ). Die Ableitung ist (t ) (y) = y J. Hellmic

51 I.7 Etremwertaufgaben 47 I.7 Etremwertaufgaben In vielen Gebieten der Tecnik, der Wirtscaft, der Naturwissenscaften usw. treten Probleme auf, die darauf inauslaufen, eine Größe, in Abängigkeit von einer Variablen zu maimieren oder zu minimieren. Die Tecniken, solce Maima bzw. Minima zu finden, aben wir in der Differentialrecnung und dort besonders bei der Kurvendiskussion von Funktionen bereits kennengelernt. Wir wollen nun an einigen Beispielen kurz beleucten, wie solce Funktionen aus konkreten Beispielen gewonnen werden können. Wir bedienen uns dabei geometriscer Beispiele, weil sie die geringsten Spezialkenntnisse aus einem Gebiet erfordern. Die Aufgaben sind jeweils von demselben Typ: Wir sucen für eine Figur (Pyramide, Quader, Kegel, etc.) diejenige Geometrie, die bei einer gegebenen Oberfläce M (in der Fertigung z.b. eine gegebene Menge Material, die zur Verfügung gestellt wird) das größte Volumen V umscließt. Wir könnten bei diesen Aufgaben auc das Volumen konstant alten und die Oberfläce minimieren. Dabei ergibt sic immer eine Annäerung an das allgemeine Prinzip, demgemäß die optimale Figur, die bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläce besitzt, die Kugel ist (mer oder minder deutlic, je nacdem, wie stark die geforderte geometrisce Figur von der Kugelform abweict). I.7. Zylinder Zu gegebener Oberfläce M versucen wir den Radius r und die Höe eines Zylinders so zu bestimmen, daß das Volumen V maimal wird. Dazu stellen wir zunäcst beide Größen in Abängigkeit von r und dar: Das Volumen eines Zylinders ist durc Grundfläce Höe gegeben. Die r Grundfläce ist eine Kreissceibe, mit dem Fläceninalt πr. Also ist V(r, ) = πr. Die Oberfläce setzt sic aus zwei Kreissceiben mit Fläceninalt πr und einem Mantel zusammen, der durc ein Recteck gegeben ist. Es at die Höe und eine Grundlinie mit der Länge des Kreisumfangs πr des Grundkreises. Es besitzt demnac die Fläce πr. Damit ist die Oberfläce M(r, ) = πr + πr. Im Augenblick aben wir noc zwei Unbekannte, nämlic r und. Da wir aber davon ausgeen, daß die Oberfläce durc eine konstante Zal M festgelegt ist, lassen sic r und nict mer unabängig voneinander wälen. Wenn wir einen Radius r angeben, ist bereits bestimmt. Wir braucen nämlic nur nac auflösen, um das einzuseen: M = πr + πr = M πr. πr Setzen wir das in die Gleicung für V(r, ) ein, so eralten wir nun eine Volumenfunktion, die nur noc von einer Variablen, nämlic r abängt: V(r) = πr M πr = M πr r πr3. J. Hellmic

52 48 I Differentialrecnung Um den Radius r 0 maimalen Volumens zu finden, lösen wir zunäcst V (r 0 ) = M 3πr 0 = 0 nac r 0 > 0 auf (der Radius muß natürlic eine positive Zal sein). Wir eralten M r 0 = 6π. Wegen V (r 0 ) = 6πr 0 < 0, und da in r 0 die einzige positive Stelle mit waagrecter Tangente ist, liegt in r 0 ein Maimum von V vor (vergl. Seite 3). Als maimales Volumen eralten wir: ( M ) ( 3M V(r 0 ) = r 0 πr 0 = r 0 6 M ) πm = r 0 6 6π = πr M 0 6π = πr3 0. Aussagekräftiger ist aber das Verältnis r 0, weil das die Geometrie des Zylinders festlegt: = M πr 0 = M π M 6π r 0 πr 0 π M 6π = M M 3 = 3 =. Bei maimalem Volumen ist der Zylinder also so oc wie breit: = r 0 = d (= Durcmesser). I.7. Ein zusammengesetzter Körper Der Körper bestet aus einem Zylinder der Höe und zwei aufgesetzten Halbkugeln mit Radius r. Das Volumen ist demnac V(r, ) = 4 3 πr3 + πr. Dabei ist 4 3 πr3 das Volumen einer Kugel mit Radius r. 4πr ist die Oberfläce einer solcen Kugel, so daß die Oberfläce des Körpers durc M(r, ) = 4πr + πr gegeben ist. Wir wälen wieder M = M(r, ) konstant und lösen nac auf: r = M 4πr πr Das setzen wir in V(r, ) ein und eralten V(r) und die Ableitungen zu V(r) = 4 3 πr3 + M r πr3 = M r 3 πr3, V (r) = M πr, V (r) = 4πr. Die Gleicung V M (r 0 ) = 0 besitzt die einzige positive Lösung r 0 =. V (r 4π 0 ) ist negativ, so daß in r 0 tatsäclic ein Maimum von V vorliegt. Wenn wir r 0 in die Formel für einsetzen, eralten wir = 0. D.., der optimale Körper ist eine Kugel J. Hellmic

53 I.7 Etremwertaufgaben 49 I.7.3 Prisma Gegeben ist ein dreiseitiges Prisma mit einem gleicseitigen Dreieck der Seitenlänge a als Grundfläce (also mit dem Fläceninalt a 4 3) und der Höe. Dann ist V(a, ) = a 4 3 und M(a, ) = a a. Für feste Oberfläce M eralten wir also und damit = M 3 a = M 3 3a 3a 6 a 3 ( M 3 ) V(a) = 4 3 a 6 a3, 3 ( M 3 ) V (a) = 4 3 a, V (a) = 3 4 a. Die einzige positive Etremstelle liegt also bei a 0 = es sic um ein Maimum. Bestimmen wir noc a 0 : = M 3 a 0 3a 0 6 = M 3 M 3 3 Also gilt a 0 = 3. V(a 0 ) = 4 a = M 3 3. Wegen V (a 0 ) < 0 andelt = 3 3 = 3. a a a J. Hellmic

54 50 I Differentialrecnung J. Hellmic

55 II Integralrecnung II. Das Fläcenproblem Wir formulieren das Fläcenproblem zunäcst in einer allgemeinen, eer intuitiven Weise: Finde ein Verfaren zur Bestimmung des Fläceninaltes von Fläcen, die durc Kurven berandet sind. In dieser allgemeinen Form wollen wir das Fläcenproblem nict untersucen. Für die meisten Fälle läßt sic eine Fläcenbestimmung durc geeignete Zerlegung der betracteten Figur (siee z.b. nebensteende Skizze) auf des folgende Problem reduzieren: Finde ein Verfaren zur Bestimmung einer Fläce, die durc den Ausscnitt des Grapen einer Funktion f und der -Acse begrenzt wird. f 4 f 3 f f II.. Fläceninalte geometriscer Figuren Welce Fläcen können wir biser berecnen? Rectecke: a b F = a b. Abbildung II. Zur Reduktion des Fläcenproblems Dreiecke: Trapez: a b F = a. c F = (a + b), a y denn c = a ( + y) = b + ( + y), also + y = c b und damit c = a c + b, oder c = (a + b).. Kreis: r F = π r. (Wieso eigentlic?) Reduktion auf eine Funktion: r f()= r (Vergleice Seite 66.) Den Kreis ausgenommen, können wir biser eigentlic nur den Fläceninalt von Figuren berecnen, die sic auf Rectecke reduzieren lassen. 5

56 5 II Integralrecnung y 0 Feler II.. Die Fläce unter einer Kurve (Metode der Riemann-Summen) Eingedenk unserer ernücternden Beobactung, daß wir biser eigentlic nur in der Lage sind, den Fläceninalt von Figuren auszurecnen, die sic (was iren Fläceninalt anget) auf Rectecke reduzieren lassen, macen wir aus der Not eine Tugend f( i ) Feler a 3 i i+ b Abbildung II. f( i ) i i i+ i i+ Metode der Riemann-Summen n f und bestimmen zunäcst nur einen Näerungswert für die Fläce unter einer Kurve, indem wir sie durc Rectecke annäern. Wie scon beim Tangentenproblem nemen wir dabei einen Feler in Kauf, in der Hoffnung, daß wir in im Nacinein beliebig klein macen können und daß er nac einem Grenzübergang vollständig verscwindet. Dazu unterteilen wir das betractete Fläcenstück unter der Funktion f in möglicst viele kleine Rectecke der Basisbreite i = i+ i und der Höe f( i ). Dabei bilden die Punkte a = 0 < < < < i < i+ < < n < n+ = b eine Zerlegung Z für das Basisintervall [a, b] des Fläcenstücks. Die Feineit von Z ist die Länge der größten Basisbreite i. Wir bezeicnen sie mit Z. Wenn wir die Feineit Z kleiner macen, werden also alle Längen i kleiner. Gleiczeitig wird aber die Anzal n der Unterteilungspunkte größer, denn bei kleineren Basisbreiten braucen wir mer von inen, um die Strecke von a bis b zu überdecken. Der Feler, den wir bei der Überdeckung mit Rectecken gegenüber dem vermuteten wirklicen Fläceninalt macen wird normalerweise kleiner, wenn wir die Zerlegung feiner wälen. Das ist für das Intervall [, 3 ] angedeutet. Es wird also ein Grenzübergang durczufüren sein, und zwar der Grenzübergang Z 0, um die wirklice Fläce zu eralten. Diese wollen wir vorläufig durc F a,b bezeicnen. Bestimmen wir also den Fläceninalt der Näerung. Dazu müssen wir nur die Fläcen der Rectecke mit der Basisbreite i und der Höe f( i ), also f( i ) i von i = 0 bis i = n addieren (Bildung der Riemann-Summe): F a,b f( 0 ) 0 +f( ) +f( ) +f( i ) i +f( i+ ) i+ +f( n ) n. Um diesen etwas scwerfälligen Vorgang, der das Aufsummieren der Ausdrücke f( i ) i von i = 0 bis i = n bescreibt, etwas übersictlicer zu gestalten, at es sic bewärt, die sog. Summenscreibweise zu benutzen: Statt der recten Seite screiben wir dabei n f( i ) i. i=0 Dabei meint das Summenzeicen n, daß in dem folgenden Ausdruck f( i ) i der Sum- i= J. Hellmic

57 II. Das Fläcenproblem 53 mationsinde i durc die Zalen zwiscen den angegebenen Grenzen von i = 0 bis i = n (jeweils einscließlic) zu ersetzen ist und die dabei entsteenden Ausdrücke f( 0 ) 0, f( ), f( ) 3 usw. bis f( n ) n aufzusummieren sind. Nun können wir die Idee zur Berecnung der Fläce F a,b unter dem Grapen von f genauer fassen: F a,b sollte der Grenzwert von n i=0 f( i) i für Z 0 sein: F a,b = lim Z 0 i=0 n f( i ) i. Screibweise: Statt F a,b screiben wir =b =a f() d, oder meist b a f() d. Dabei ist das Integralzeicen als stilisiertes S (für Summe ) anzuseen und f() d soll an die Herkunft f( i ) i in der Riemann-Summe n i=0 f( i) i erinnern: b a f() d = lim Z 0 i=0 n f( i ) i. f b a f()d a b (II.) b f() d eißt bestimmtes (Riemann-)Integral von f in den Grenzen von = a bis = b a und gibt (für positive Funktionen f) die Fläce zwiscen dem Grapen von f und der - Acse, in den Grenzen a und b wieder. f eißt Integrand. Funktionen, für die das Integral in den Grenzen a und b eistiert, nennen wir (Riemann-)integrierbar über [a, b]. Wenn eine Funktion über jedes endlice Intervall [a, b] integrierbar ist, nennen wir sie (Riemann-)integrierbar. Mitunter verwenden wir statt für die Integrationsvariable auc andere Zeicen, wie t, s, etc.. Das ist natürlic one weiteres möglic, denn irer Funktion nac ist die Integrationsvariable eine Summationsvariable, die nac Ausfürung des Integrals verscwunden ist: b a f() d = b a f(t) dt. Für welce Funktionen f läßt sic dieser Grenzwert denn nun prinzipiell bestimmen? Satz. b f() d eistiert für alle stetigen Funktionen und alle Funktionen, die sic stückweise aus stetigen Funktionen a zusammensetzen. Diesen Satz nemen wir zur Kenntnis, wir werden in aber nict beweisen können. Für unsere Zwecke ist das auc gar nict nötig. Seine Aufgabe bestet für uns einfac nur darin, sicerzustellen, daß es genügend viele Funktionen gibt, für die das Fläcenproblem lösbar ist (tatsäclic gibt es noc mer Funktionen, die sic nac der Metode der Riemann-Summen integrieren lassen). Als Metode, um konkrete Fläceninalte auszurecnen, eignet sie sic allenfalls für numerisce Fläcenbestimmungen mit Hilfe eines J. Hellmic

58 54 II Integralrecnung Computers. Selbst für einfacste Funktionen fürt die Metode der Riemann-Summen nur ser scwer zu Ergebnissen, da die auftretenden Summen one Computerunterstützung im Allgemeinen keine auswertbaren Ausdrücken ergeben. Wir wollen uns daer möglicst scnell nac einer alternativen Metode umseen, die es uns in vielen Fällen gestatten wird, die Fläce unter einer Kurve formelmäßig zu bestimmen. Immerin können wir bei unserer Suce nac dieser Metode nun das Objekt Fläce unter einer Kurve einsetzen, denn obiger Satz stellt uns dieses Objekt zur Verfügung. Bevor wir das tun, stellen wir noc die elementaren Eigenscaften des Riemann-Integrals zusammen: () () (3) b a b a b a f() d + c b k f() d = k f() d + (4) f 0 b a b a f() d = b a g() d = f() d 0. c a f() d. b a f() d. (f() + g()) d. (Additionsregel) (Faktorregel) (Summenregel) (Positivität) II..3 Stammfunktionen Eine Funktion F eißt Stammfunktion von f, falls sie differenzierbar und ire Ableitung durc f gegeben ist: F = f. Satz. Zwei Stammfunktionen untersceiden sic nur um eine Konstante. Beweis. F und G seien zwei Stammfunktionen von f. Es gilt also oder F () = f() = G () F () G () = (F G) () = 0. Also ist F G eine Funktion, deren Ableitung überall verscwindet. Sie besitzt daer überall die Steigung Null. Da nur eine konstante Funktion diese Eigenscaft at, folgt F() G() = c = konst, d.., F() = G() + c, was zu zeigen war. B f() F() f() F() f() F() n n+ n+, (n ) ln( ) e e sin() cos() cos() sin() arcsin() + arctan() ln( + ) Tabelle II.: Einige Stammfunktionen J. Hellmic

59 II. Das Fläcenproblem 55 Um uns davon zu überzeugen, daß diese Tabelle stimmt, müssen wir jeweils nur die Einträge in der F()-Spalte ableiten und nacrecnen, daß die Einträge der f()-spalte entsteen: d d n+ n+ = n+ n+ n+ = n nac (I.3). F() = n+ n+ ist natürlic nur für diejenigen n R eine Stammfunktion von f() = n, für die sic diese Formel überaupt inscreiben läßt. Für n = ist das offensictlic nict mer der Fall. Die Funktion f() = = at daer auc ire eigene Regel zur Bildung der Stammfunktion. Man beacte, daß sie nict durc ln() gegeben ist, wie (I.7) naelegen könnte, denn in die ln-funktion lassen sic nur positive Werte einsetzen, in aber auc negative. Um naczuweisen, daß F() = ln( ) die gesucte Stammfunktion ist, müssen wir nur F = f nacrecnen. Nun könnte man denken, daß diese Funktion gar nict differenzierbar ist, denn ist nict differenzierbar. Aber ist nur an der Stelle = 0 nict ableitbar, sonst jedoc überall. 0 ist auc der -Wert, der die Definitionslücke von ln markiert es bestet mitin gar keine Veranlassung, nac der Differenzierbarkeit von F an dieser Stelle zu fragen. Verwenden wir die Definition der Betragsfunktion = { für 0, für < 0, so eralten wir ln( ) = { ln() für > 0, ln( ) für < 0. Für > 0 zeigt (I.7) die Bezieung d ln( ) =. Für < 0 müssen wir sie noc d zeigen. Dazu benutzen wir die Kettenregel: d d ln( ) = d d ln( ) = ( ) =. Die Stammfunktionen für ep, sin und cos ergeben sic einfac aus den Ableitungsregeln (I.3), (I.) und (I.) dieser Funktionen, und die letzte Zeile der Spalte folgt sofort aus (I.8) und (I.30). Damit kennen wir für einige wenige Funktionen eine Stammfunktion. Wir werden später Tecniken kennenlernen, mit deren Hilfe wir auc für kompliziertere Funktionen Stammfunktionen finden können. Vorerst aber wollen wir den zentralen Satz formulieren und beweisen, der den Begriff Stammfunktion mit dem Fläcenproblem in Bezieung setzt und so die Aufmerksamkeit rectfertigt, die wir den Stammfunktionen biser entgegengebract aben. J. Hellmic

60 56 II Integralrecnung y a f Satz. (Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung) Für eine stetige Funktion f ist F() = eine Stammfunktion von f, d.., es gilt F = f. a f(t) dt Beweis. Den Beweis können wir in zwei Scritten füren. Im ersten Scritt stellen wir die Idee vor und kümmern uns nict um die Details. Im zweiten Scritt geen wir etwas mer in die Tiefe. f() f(+) + Erster Scritt: Wir müssen zeigen, daß F differenzierbar ist und F = f gilt. Da wir vorerst noc keine Ableitungsregel für die Funktion F zur Verfügung aben, müssen wir uns auf die Definition der Ableitung zurückzieen. D.., wir müssen versucen, den Grenzwert des Differenzenquotienten auszurecnen: F( + ) F() lim 0 Das macen wir zunäcst etwas informell, um die Idee zu versteen: F() ist die Fläce von a bis zu der variablen oberen Grenze, also F( + ) die Fläce bis zu der (bei kleinem ) na benacbarten Stelle +. Also ist F( + ) F() die Fläce in dem scmalen Streifen von bis + (siee nebensteende Skizze). Für ser kleines (und wir wollen ja scließlic gegen Null streben lassen) sind f() und f( + ) kaum noc verscieden, da wir f als stetig angenommen aben. Damit macen wir keinen großen Feler, wenn wir die tatsäclice Fläce F(+) F() durc das Recteck mit der Höe f() und der Breite ersetzen. Dieser Feler wird tatsäclic beliebig klein, wenn wir gegen Null streben lassen. Also gilt F( + ) F() f() = f(). Nun können wir versteen, wieso man überaupt auf die Idee kommen kann, in der Fläcenfunktion F() die Stammfunktion von f zu vermuten.. Scritt: Nacdem wir die Idee verstanden aben, können wir uns jetzt irer formalen Absicerung zuwenden. Wir benutzen dafür einen Satz über stetige Funktionen, den wir zwar nict bewiesen aben, der aber anscaulic gut zu versteen ist: Jede stetige Funktion nimmt auf einem endlicen Intervall ein Maimum und ein Minimum an. Für uns ist natürlic das Intervall [, + ] von Interesse. sei die Stelle, an der f ein Minimum annimmt und ^ die Stelle des Maimums. Dann f(^) f() verkleinern wir den tatsäclicen Fläceninalt über dem Intervall [, + ], f( ) wenn wir in durc den Fläceninalt f( ) des einbescriebenen Rectecks mit der Höe des minimalen Funktionswertes f( ) ersetzen, und wir vergrößern in, wenn wir f(^), den Fläceninalt des umfassenden Rectecks mit der Höe des Maimums f(^) nemen. Es gilt demnac: f(+) ^ + f( ) F( + ) F() f(^) J. Hellmic

61 II. Das Fläcenproblem 57 Links stet natürlic einfac f( ) und rects f(^), also f( ) F( + ) F() f(^). Lassen wir nun gegen Null streben, so wandert die recte Seite + des Intervalls [, + ] gegen und alle Punkte, die sic in diesem Intervall befinden, ebenfalls. Also streben auc und ^ gegen, und da f stetig ist, streben die Funktionswerte f( ) und f(^) gegen f(). Damit wird der Differenzenquotient F(+) F() von zwei Ausdrücken nac unten und oben eingegrenzt, die beide gegen f() streben. Dann muß er also ebenfalls gegen f() streben: Das wollten wir zeigen. F( + ) F() lim = f(). 0 II..4 Fläcenberecnung mittels Stammfunktionen Die Metode der Riemann- Summen ist eine ziemlic scwerfällige Metode, um konkrete Fläceninalte auszurecnen. Das trifft natürlic um so mer auf die Fläcenfunktion F() = f(t) dt zu. Um sie a nämlic zu kennen, müßten wir für jedes die Metode der Riemann-Summen anwenden. Allerdings würde sie es uns ermöglicen, den Fläceninalt, sagen wir von = b bis = c, einfac als Differenz der Funktionswerte F(c) und F(b) zu eralten: f f f a b c a b c F(c) F(b) = a b c c f(t) dt. b Es lont sic also, nac einer alternativen Berecnungsmetode für F (genauer: für F(c) F(b)) zu sucen. Inzwiscen aben wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung zu unserer Verfügung. Wir wissen also, daß die Fläcenfunktion F eine Stammfunktion von f ist. Darüberinaus wissen wir auc, daß sic zwei Stammfunktionen allenfalls um eine Konstante untersceiden. Für eine weitere Stammfunktion G von f gilt also F() = G()+k, mit einer Konstanten k. Diese Konstante kennen wir nict, denn wir kennen ja die Fläcenfunktion nict. Die entsceidende Beobactung ist nun aber, daß wir sie auc gar nict kennen müssen, denn in der Differenz F(c) F(b) fällt sie eraus: F(c) F(b) = (G(c) + k) (G(b) + k) = G(c) + k G(b) k = G(c) G(b). In der Formel c b f(t) dt = F(c) F(b) (II.) können wir daer jede Stammfunktion F von f nemen, wir müssen nict die scwer erreicbare Fläcenfunktion wälen. J. Hellmic

62 58 II Integralrecnung Damit aben wir die Berecnung von Fläcen auf die Bestimmung von Stammfunktionen zurückgefürt. Unsere matematisce Analyse at uns dabei folgenden Weg zurücklegen lassen: Im ersten Scritt aben wir uns durc die Einfürung der Riemann-Summen zur Approimation von Fläcen und anscließendem Grenzübergang für eine große Klasse von Funktionen den Fläcenbegriff verscafft. Damit atten wir ein Werkzeug in der Hand, das zwar zu konkreten Recnungen scwer zu gebraucen war (außer für Recenmascinen natürlic), das sic für teoretisce Überlegungen aber ser gut eignete. So gewappnet konnten wir uns in einem zweiten Scritt auf die Suce nac einer Alternative zur scwerfälligen Riemann- Metode macen, die wir mit Hilfe der Stammfunktionen auc gefunden aben: Wir müssen zur Berecnung einer Fläce zwiscen dem Grapen einer Funktion f und der -Acse in den Grenzen von b bis c zunäcst eine Stammfunktion F von f finden, dann lediglic die beiden Grenzen einsetzen, und scließlic die Differenz F(c) F(b) bilden. Das screiben wir in folgender Weise: c b f(t) dt = [ ] c F(t) = F(c) F(b). (II.3) b D.., wir setzen in (II.) die Integrationsgrenzen nict sofort ein, denn auf diese Weise ätten wir bei konkreten Funktionen nur die wenig anscaulice Zal F(c) F(b) vorzuweisen, der man keine Information über die Stammfunktion mer ansiet. Durc die Screibweise [F(t)] c b aben wir die volle Information, nämlic die über die Stammfunktion und die Grenzen. Der enge Zusammenang zwiscen Integral und Stammfunktion drückt sic auc in der oft bequem einsetzbaren Screibweise f() d für die Stammfunktion F von f aus. Diesen Ausdruck nennt man auc unbestimmtes Integral von f. Insbesondere gilt also f () d = f(), (II.4) denn die Stammfunktion von f ist natürlic wieder f. B () () (3) Wir wenden unsere Erkenntnisse auf ein paar Funktionen der Tabelle II. an: [ ] 3 d = 4 4 = 4 4 = 4. 0 π 0 e d = [ sin(t) dt = 0 [ e ] = e e. ] π cos(t) = cos(π) + cos(0) = + = J. Hellmic

63 II. Das Fläcenproblem 59 (4) ε +ε [ ] ε d = arcsin() +ε arcsin( ε) ε 0 π = π. = arcsin( ε) arcsin( + ε) = Wir aben die Grenzen und, an denen wir eigentlic interessiert sind, nict direkt einsetzen können, weil der Integrand an diesen Stellen nict definiert ist. Daer aben wir uns mit der Zal ε > 0 einen respektvollen Abstand zu dieser Definitionslücke verscafft und versuct, diesen nac der Integration durc den Grenzübergang ε 0 wieder zum Verscwinden zu bringen (die Funktion arcsin ist stetig). Dabei aben wir den Fläceninalt bestimmt, der von der Funktion, der -Acse und den senkrecten Asymptoten bei und begrenzt wird. D.., wir aben einen endlicen Fläceninalt für die unendlic ausgedente Fläce zwiscen Kurve und senkrecter Asymptote eralten (zeicnen!). Wie wir seen, liefert Beispiel (3) nict gerade das gewünscte Ergebnis. Die Fläce, die die Sinus-Funktion mit der -Acse in den Grenzen von 0 bis π einscließt, ist sicerlic nict 0. Was ist falsc gelaufen? Wir aben uns von einer Idee zur Fläcenberecnung mittels Riemann-Summen n i=0 f( i) i leiten lassen. Dabei tragen die einzelnen Fläcenstücke f( i ) i mer Information, als nur den Fläceninalt. Mit dem Vorzeicen von f( i ) wird auc noc angezeigt, ob sic die Fläce oberalb, oder unteralb der -Acse befindet. Desalb wird eine Fläce, die unteralb der -Acse liegt mit einem negativen Vorzeicen auftreten. Das müssen wir berücksictigen, wenn wir an der Fläce einer Funktion interessiert sind, die Anteile oberalb und unteralb der -Acse at. Am einfacsten gesciet das, indem wir nict über Nullstellen von Funktionen inwegintegrieren, sondern uns sozusagen von Nullstelle zu Nullstelle angeln und die Beträge der dabei entsteenden positiv und negativ gerecneten Fläceninalte addieren. Für das Sinus-Beispiel könnte das folgendermaßen ausseen: π 0 sin(t) dt + π π [ sin(t) dt = cos(t) ] π 0 [ + cos(t) ] π = cos(π) + cos(0) + cos(π) + cos(π) = + = 4. Nacdem wir die Fläcenberecnung im Wesentlicen auf das Finden von Stammfunktionen zurückgefürt aben, benötigen wir jetzt leistungsfäige Integrationstecniken, um unseren Bestand an integrierbaren Funktionen aufzustocken. π J. Hellmic

64 60 II Integralrecnung II. Integrationstecniken Zu der Produkt- und der Kettenregel gibt es eine korrespondierende Integrationsregel, nämlic die Produktiontegration und die Substitution. II.. Die Produktiontegration Die Produktegel der Ableitung lautet (u v) = u v + u v. (II.5) Wenden wir darauf die einface Beobactung, daß die Stammfunktion von f gerade f ist an, daß also das Integral von f die Ausgangsfunktion f liefert, f () d = f(), so ergibt sic aus (II.5) durc Integration auf beiden Seiten: u() v() = u () v() d + u() v () d. Wir stellen das nac einem der Integrale um und eralten bereits die Formel für die Produktintegration (auc als partielle Integration bezeicnet) u () v() d = u() v() u() v () d, (II.6) oder, in etwas übersictlicerer Screibweise: u v = u v u v. (II.7) Was fangen wir nun mit dieser Formel an? Am besten erlernt man diese Integrationstecnik an konkreten Anwendungsbeispielen. Wir fangen mit einem Standardbeispiel an: sin() d. Wenn wir (II.7) anwenden wollen, müssen wir eine der beiden Faktoren, oder sin() als u deklarieren. Da (II.7) auf der recten Seite die Angabe von u v verlangt, müssen wir die Stammfunktion u von u angeben können. Das müssen wir bei unserer Wal berücksictigen. Im vorliegenden Beispiel ist das aber kein Problem, denn wir können beide Faktoren problemlos integrieren ( liefert und sin() ergibt cos()). Wir entsceiden uns für u () = sin(). Dann eralten wir J. Hellmic

65 II. Integrationstecniken 6 sin() d = ( cos()) ( cos()) d = cos() + cos() d. v u = v u v u Erfolg aben wir mit unserer Wal, wenn wir das Integral auf der recten Seite lösen können. Das ist ier der Fall, denn cos() d = sin(). Damit aben wir die Stammfunktion von sin() gefunden: sin() d = cos() + sin(). Wir können uns immer davon überzeugen, daß wir rictig gerecnet aben: d ( cos() + sin()) = cos() + sin() + cos() = sin() d (natürlic unter Verwendung der Produktregel). Die Funktion cos() + sin() ist also tatsäclic eine Stammfunktion von sin(). Wir wollen an diesem Beispiel auc demonstrieren, wie eine sclecte Wal von u und v ausgeseen ätte und woran man das erkennt: Für u () = und v() = sin() eralten wir sin() d = sin() cos() d. Jetzt ist das zweite Integral durc den Faktor statt noc scwerer zu lösen, als das Ausgangsintegral. B () e d = e e d = e e = ( )e. () (3) Dabei aben wir u () = e und v() = gewält. e d = e e d = e ( )e = ( + )e. (u () = e, v() = ) e sin() d = e sin() e cos() d = e sin() e cos() e sin() d. Wir aben die Produktintegration zweimal angewendet: Das erste mal mit u () = e und v() = sin() und das zweite mal mit u () = e und v() = cos(). Damit aben wir sceinbar nicts gewonnen, weil sic unser gesuctes Integral reproduziert at. Entsceidend ist aber, daß es mit einem negativen Vorzeicen entstanden ist, denn so können wir die Gleicung einfac nac dem gewünscten Integral auflösen: e sin() d = (sin() cos())e, J. Hellmic

66 6 II Integralrecnung (4) also e sin() d = (sin() cos())e. sin () d = sin() sin() d = cos() sin() + cos () d = cos() sin() + ( sin ()) d = cos() sin() + sin () d. Wir aben u () = sin() und v() = cos() gesetzt. In der zweiten Gleicung macen wir dann von der zentralen Bezieung (I.3), sin () + cos () =, Gebrauc. Dabei reproduziert sic unser Ausgangsintegral, nac dem wir (wie oben) auflösen: sin () d = ( sin() cos()). (5) Daraus folgt nun leict cos () d = ( + sin() cos()). ln() d = ln() d = ln() d = ln() 4. (6) (7) Hier aben wir, anders als biser, u () = und v() = ln() gesetzt. Dann tauct im zweiten Integral natürlic u() = auf, was wir biser immer vermeiden wollten. Aber, da die Ableitung von ln() ja einfac ist, entstet auf diese Weise trotzdem ein leict zu berecnendes Integral. ln() d = ln() d = ln() d = ln() d = ln(). Wir aben den Trick angewandt, u () = und v() = ln() zu setzen. ln () d = ln() ln() d = ( ln() ) ln() ( ln() ) d J. Hellmic

67 II. Integrationstecniken 63 Ü = ( ln() ) ln() (ln() ) d = ( ln() ) ln() ln() + + = ln () ln() +. Überzeugen Sie sic durc Ableiten, daß in den Beispielen tatsäclic die Stammfunktionen gefunden wurden. Die Produktintegration läßt sic natürlic auc für bestimmte Integrale formulieren: b a u () v() d = [ u() v() ] b a b a u() v () d. (II.8) B e d = [ e ] e d = [ e ] [ e ] = e (e ) = Normalerweise sollte man aber so vorgeen, daß man zunäcst das unbestimmte Integral löst, also die Stammfunktion angibt und dann die Grenzen einsetzt. Auf diese Weise at man Integrationsfelern gegenüber mer Kontrolle. Denn eine vermeintlice Stammfunktion kann einfac durc Ableiten auf ire Rictigkeit in überprüft werden. In unseren Beispielen aben wir geseen, daß man mitunter etwas probieren muß, bis man den rictigen Ansatz zur Lösung des Integrals gefunden at. Trotzdem kann es passieren, daß ein Integral, dessen Integrand als Produkt auftritt, nict mit der Produktintegration gelöst werden kann. Ein Beispiel ist e d, das sic der Produktintegration gegenüber als resistent erweist, jedoc mit der Substitutionsmetode gelöst werden kann. II.. Die Substitutionsmetode ist die Integrationsmetode, die zur Kettenregel korrespondiert. Sie berut auf folgender einfacen Beobactung: Ist F die Stammfunktion von f, also gilt F = f, dann ist F u die Stammfunktion von (f u) u. Denn nac der Kettenregel gilt d d F u() = d d F(u()) = F (u()) u () = f(u()) u (). Also folgt f(u()) u () d = F(u()). (II.9) Für das bestimmte Integral eralten wir: b a f(u()) u () d = b a d d F(u()) d = [ F(u()) ] b a = F(u(b)) F(u(a)) = [ F(t) ] u(b) u(b) = f(t) dt, u(a) u(a) J. Hellmic

68 64 II Integralrecnung also b f(u()) u () d = u(b) a u(a) f(t) dt. (II.0) B Wir macen den Gebrauc dieser Metode wieder an einem Beispiel deutlic: Wir sucen die Stammfunktion d. Um Gleicung (II.9) anwenden zu können, müssen wir f und u bestimmen. Wir wälen f(t) = (also F(t) = ln( t )) und u() = t + 4. Es ist f(u()) =, also bis auf +4 den Faktor 3 der Integrand unseres Integrals. u () = 4, so daß f(u())u () = Das ist nict genau unser Integrand, denn der Faktor 4 im Zäler stimmt nict. Aber das läßt sic reparieren: d = d = 3 f(u())u () d = F(u()) = 3 4 ln( + 4). Das Betragszeicen in ln(...) ist ier wegen + 4 > 0 überflüssig. Üblicerweise gesciet die Anwendung der Substitutionsmetode in formalerer Weise. Der Leitfaden dafür ist die folgende formale Recnung: f(u())u () d = f(u) du d d = f(u) du. D.., wir versucen in unserem Ausgangsintegral einen bestimmtem Ausdruck durc die Variable u zu ersetzen, also aus dem Integral in der Variablen ein Integral in der Variablen u zu macen. Dabei muß insbesondere d in du umgerecnet werden. Vergleicen wir die linke und die recte Seite in obiger Gleicung, dann muß u () d durc du ersetzt werden. Das formalisiert man, indem man für u den Ausdruck du verwendet und diesen nac d du auflöst (dieser Vorgang ist der eigentlic formale, denn d und dy sind symbolisce Objekte, keine Zalen, mit denen wir so one weiteres recnen können trotzdem liefert der bescriebene Vorgang die rictige Merkregel). Für das oben angefürte Beispiel siet das folgendermaßen aus: In 3 d substituieren wir u = Dann ist du = 4, also 4d = du. Vergleicen wir mit unserem Integral, so seen wir, daß 3d scon vorgebildet ist. Das können d wir durc 3 du ersetzen. Damit aben wir insgesamt d = 3 4 u du = 3 4 ln( u ) = 3 4 ln( + 4 ) = 3 4 ln( + 4). Ist unser Ausgangsintegral ein bestimmtes Integral, also etwa 3 d, so steen uns 0 +4 zwei Wege zur Lösung offen. Der erste bestet darin, wie oben bescrieben die Stammfunktion auszurecnen und danac die Grenzen einzusetzen. Das ist üblicerweise zu empfelen, denn man at dabei Recenfelern gegenüber die bessere Kontrolle. Man kann aber J. Hellmic

69 II. Integrationstecniken 65 auc gleic das bestimmte Integral berecnen. Dabei müssen wir dann jedoc auc die - Grenzen des Ausgangsintegrals in die u-grenzen der substituierten Version umrecnen. Das ist nict scwer, denn wenn = 0 ist, ist u einfac durc Einsetzen zu eralten: u(0) = 4. Genauso geört zu = die Grenze u() = + 4 =. Also d = u du = 3 [ ] ln( u ) = (ln() ln(4)) = 3 4 ln( 4 ) = 3 4 ln(3). Das ist die Recenmetode, die zu (II.0) geört. B () e d : Wir substituieren u =. Dann gilt: u () d = du: e d = e u du = eu =. e = du d =, also du ln(t) dt : Wir setzen u = ln(t) und eralten mit t =, also du = dt, dt t t das Integral t ln(t) dt = u du = u = ln (t). (3) d : Nac einigem Probieren findet man eine günstige Substitution, nämlic u =. Mit Hilfe der Kettenregel eralten wir du, also d = d = u du. Für unser Integral benötigen wir d = u du. Quadrieren wir u = und lösen nac auf: = u +. Damit ist d = u du, u + und unser Integral wird zu u d = u u + du = u u u + du = + du u + = du du = u arctan(u) (siee Tabelle II.) u + = arctan ( ). Es ist eine gute Übung, durc Ableiten naczurecnen, daß es sic ierbei tatsäclic um eine Stammfunktion von andelt. II..3 Die Logaritmus-Regel f () f() d = ln( f() ). Wir bestätigen sie, indem wir die recte Seite mit Hilfe der Kettenregel ableiten. Für alle R mit f() < 0 gilt: ln ( f() ) = ln ( f() ). Die Ableitung ist d d ln( f() ) = f() ( f ()) = f () f(). J. Hellmic

70 66 II Integralrecnung Dieses Ergebnis eralten wir auc für alle R mit f() > 0. Die Möglickeiten dieser Formel siet man wieder am besten an den Beispielen. 3 B () 4 d = d = 3 8 ln( 4 ). () (3) (4) Der Zäler 3 des Brucs war nict genau die Ableitung 8 des Nenners 4. Allerdings aben wir das entsceidende vorgefunden, so daß wir den Vorfaktor korrigieren konnten, indem wir die Zal 8 ergänzten. e e tan() d = e + e d = ln(e + e ). sin() tan() d = cos() d = ln( cos() ) = ln(cos ()). 5 d = 4e 4 5 4e 4 e4 = 5 8 ln( e 4 4 ). d = e4 5e 4 e 4 4 d = 5 8 8e 4 e 4 4 d Dieses Integral aben wir in zwei Scritten angepaßt. Im ersten Scritt aben wir durc Erweitern mit e 4 dafür gesorgt, daß im Zäler bis auf einen Vorfaktor die Ableitung des Nenners stet. Im zweiten Scritt aben wir auf die üblice Weise, also wie in (), den Vorfaktor korrigiert. In mancen Situationen ist es vorteilaft, wenn man in einem Integral f() d nict einen Ausdruck durc eine Variable u, sondern durc einen Ausdruck ersetzt, um so z.b. eine bestimmte algebraisce Relation auszunutzen. Wir verdeutlicen das an einem Beispiel. f()= r r Die Berecnung der Kreisfläce fürt auf das Integral r r d. r Die algebraisce Relation, die wir ausnutzen wollen, ist die zentrale Bezieung (I.3) zwiscen Sinus und Cosinus: sin (u) + cos (u) =. Dafür setzen wir = r sin(u). Dann ist r = r r sin (u) = r sin (u) = r cos (). Betracten wir die Grenzen: Für = r muß r = r sin(u), also = sin(u) gelten, d.., u = arcsin( ) = π (vergl. Abbildung I.8). Für = r folgt die u-grenze ebenso: u = π. In dem Bereic von u = π bis u = π ist cos(u) positiv, so daß wir aus cos (u) die positive Wurzel cos(u) zieen können. Nun müssen wir noc d in du umrecnen. Dazu leiten wir nac u ab: d = r cos(u), also d = r cos(u) du. Jetzt aben wir alles beisammen und können die du Substitution durcfüren und damit die Fläce des Kreises bestimmen: r π r d = r π r cos(u) r cos(u) du = r π π cos (u) du J. Hellmic

71 II.3 Anwendungen 67 ] π = r [u + sin(u) cos(u) π = r ( π ( π ) ) = πr. II.3 Anwendungen II.3. Taylor-Entwicklung Die Taylor-Entwicklung stellt eine Metode dar, mit deren Hilfe es möglic ist, die Funktionswerte vieler Funktionen, wie sin, cos, ep,... in beliebiger Genauigkeit zu berecnen. Wir verscaffen uns die Taylor-Formel mittels Produktintegration. Unser Ziel ist es dabei, die Funktionswerte f() einer Funktion f in einer Umgebung eines geeigneten Punktes 0 beliebig genau durc Summen von Potenzen ( 0 ) n auszudrücken. Wir starten mit der Formel also f() f( 0 ) = 0 f (t) dt, f() = f( 0 ) + 0 f (t) dt. (II.) Nun formen wir das Integral 0 f (t) dt = 0 f (t) dt mittels Produktintegration um. Dabei wälen wir für u (t) die Zal und für die von (II.7) geforderten Stammfunktion u die Funktion t. v(t) ist dann natürlic f (t). Dabei macen wir uns noc einmal klar, daß wir bzgl. der Variablen t integrieren, so daß wie eine gewönlice Konstante beandelt wird. Hier aben wir sie als die Zal genommen, die wir zu jeder Stammfunktion inzuaddieren dürfen: 0 f (t) dt = [ ] (t )f (t) 0 = ( 0 )f ( 0 ) 0 (t )f (t) dt 0 (t )f (t) dt. In der näcsten Runde wälen wir u (t) = (t ), u(t) = (t ) (nacrecnen mittels Kettenregel) und v(t) = f (t). Wir setzen alles in (II.) ein und eralten f() = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) [ (t ) f (t) ] (t ) f (t) dt = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) + ( 0 ) f ( 0 ) + 0 (t ) f (t) dt. J. Hellmic

72 68 II Integralrecnung Wir faren auf diese Weise fort: Jetzt ist u (t) = (t ) und u(t) = 3 (t )3. Wir eralten damit bereits f() = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) + ( 0) f ( 0 ) + [ ] (t ) 3 f (t) (t ) 3 f (4) (t) dt = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) + ( 0) f ( 0 ) 3 ( 0 ) 3 f ( 0 ) 3 0 (t ) 3 f (4) (t) dt. Die näcste Runde wird uns das Gesetz verraten, nac dem die weiteren Summanden zu bilden sind. Wir wälen wieder u (t) = 3! (t )3 und u(t) = 4! (t )4. Dabei benutzen wir die Screibweise 3! = 3, 4! = 3 4,..., n! = 3 4 (n ) n für die Fakutlät n! einer natürlicen Zal n. Wir vereinbaren 0! =. v(t) ist inzwiscen die 4.te Ableitung f (4) (t). Wir eralten: f() = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) + ( 0) f ( 0 ) + 3! ( 0) 3 f ( 0 ) 4! [ ] (t ) 4 f (4) (t) + 0 4! 0 (t ) 4 f (5) (t) dt = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) + ( 0) f ( 0 ) + 3! ( 0) 3 f ( 0 ) + 4! ( 0) 4 f (4) ( 0 ) + 4! 0 (t ) 4 f (5) (t) dt. Der n-te Summand wird also durc n! ( 0) n f (n) ( 0 ) = f(n) ( 0 ) ( n! 0 ) n gegeben sein und das letzte Integral durc R n ( 0, ) = ( )n n! 0 (t ) n f (n+) (t) dt. Dabei bewirkt ( ) n das abwecselnde Vorzeicen des Integrals. Für gerades n ergibt sic das +Zeicen und für ungerades n das Zeicen. Das Ergebnis unserer Überlegungen bestet nun in der folgenden Formel: f() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + f ( 0 ) ( 3! 0 ) f(n) ( 0 ) ( n! 0 ) n + R n ( 0, ). (II.) Das ist die Taylor-Entwicklung der Funktion f um den Punkt 0 erum bis zur n-ten Ordnung. Das Polynom t n () = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + + f(n) ( 0 ) ( n! 0 ) n (II.3) J. Hellmic

73 II.3 Anwendungen 69 ist das Taylor-Polynom n-ter Ordnung. Der Ausdruck R n ( 0, ) wird Restglied der Entwicklung genannt. Für die uns interessierenden Funktionen at es die Eigenscaft, beliebig klein zu werden, wenn wir n nur genügend groß macen. Daer erält man bei großem n eine gute Näerung für den Funktionswert f(), wenn man das Restglied einfac wegläßt: f() f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + + f(n) ( 0 ) ( n! 0 ) n. Die meisten Funktionen werden um die Stelle 0 = 0 erum entwickelt. Dann lautet die Taylor-Formel etwas einfacer: f() = f(0) + f (0) + f (0)! + f (0) 3! f(n) (0) n + R n! n (0, ), (II.4) bzw. f() f(0) + f (0) + f (0)! + f (0) 3! f(n) (0) n. n! (II.5) Wie wendet man diese Formel an? Für eine konkrete Funktion f verlangt sie von uns, daß wir die Ableitungen bis zu der Ordnung bestimmen, bis zu der wir die Funktion entwickeln wollen. Dann aben wir nur noc die Stelle 0 in die Ableitungen einzusetzen. Wenn wir in der Lage sind, die allgemeine Form des n ten Summanden zu bestimmen, dann können wir die Taylor-Entwicklung bequem auf jede Ordnung ausdenen. B () f() = e. Wir wissen bereits: f () = f () =... = f (n) () = e, so daß f(0) = f (0) =... = f (n) (0) = e 0 = gilt. Nun müssen wir nur noc in (II.5) einsetzen und eralten: e ! n! n. () f() = sin(). Dann ist f () = cos(), f () = sin(), f () = cos() und f (4) () = sin(). Ab ier wiederolen sic die Ableitungen in genau derselben Reienfolge, wie die ersten vier. Wir eralten: f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (0) =, f (4) (0) = 0, f (5) (0) =, f (6) (0) = 0, f (7) (0) =,.... Versucen wir das Bildungsgesetz aufzustellen: Offensictlic verscwinden alle geraden Ableitungen an der Stelle 0. Die ungeraden Ableitungen sind abwecselnd und. Zunäcst benötigen wir eine Formel für die ungeraden Zalen. Das ist einfac, denn die geraden Zalen lassen sic leict bestimmen: Sie müssen von der Form n = k sein, weil sie durc teilbar sein müssen. Da neben jeder geraden Zal eine ungerade Zal stet, muß diese von der Form n = k oder n = k + sein (je nacdem, ob wir bei k = oder k = 0 zu zälen anfangen). Nun müssen wir den sog. Vorzeicen-Flip ( ) n rictig J. Hellmic

74 70 II Integralrecnung justieren. Er kann nur von der Form ( ) k oder ( ) k+ sein (k ist die Variable, mit deren Hilfe wir die ungeraden Zalen abzälen, k = 0,,...). Es ist normalerweise ausreicend, wenn wir den Flip an einem Summanden der Entwicklung justieren. Für n =, also k = 0 ( = 0 + ), aben wir das Vorzeicen +, das von ( ) k für k = 0 ebenfalls geliefert wird. Für k = eralten wir ( ) =. k = entsprict n = + = 3. Das Vorzeicen von f (0) ist tatsäclic. Also ist der Vorzeicen-Flip einfac ( ) k, k = 0,,.... Setzen wir in die Taylor-Formel ein, so eralten wir sin() 3! 3 + 5! ( )k (k + )! k+. Die Approimation von sin durc die Taylor-Polynome t n bis zur Ordnung n = ist auf Seite 7 wiedergegeben. (3) f() = cos(). Dasselbe Verfaren ergibt ier cos()! + 4! ( )k (k)! k. (4) f() = ln( + ). Mit Hilfe der Kettenregel eralten wir: f () = +, f () = ( + ), f () = ( + ) 3, f(4) () = 3 ( + ) 4, f (5) () = 3 4 ( + ) 5 = 4! ( + ) 5. = 4! 5! =. Eingesetzt eralten wir die Ent- 5 Damit ist f(0) = ln() = 0, f (0) =, f (0)! f (4) (0) = 3 = 4! 4! 4, f(5) (0) 5! wicklung bis zur 5. Ordnung =, f (0) 3! = 3! = 3, ln( + ) Die Summanden 6. und 7. Ordnung werden wol 6 6 und 7 7 lauten. Daraus können wir den Summanden n-ter Ordnung leict zu ( ) n+ n n bestimmen. Wir eralten also für die Entwicklung des natürlicen Logaritmus: ln( + ) ( ) n+ n n. An diesem Beispiel seen wir auc, daß diese Entwicklung im Allgemeinen nict für alle R sinnvoll ist. Offensictlic ist = auf der linken Seite nict erlaubt, denn 0 liegt nict im Definitionsbereic von ln. Für diesen Wert kann also auc die recte Seite keine Annäerung an den Funktionswert J. Hellmic

75 II.3 Anwendungen 7 ergeben, da dieser ja gar nict voranden ist. Tatsäclic ergibt die recte Seite für = (bis auf ein gemeinsames Vorzeicen) eine berümte Reie, n +, die sog. armonisce Reie, die gegen + divergiert, die sic also nict zu einer endlicen Zal zusammenzälen läßt. Haben wir einen -Wert gefunden, für den sic die recte Seite einer Entwicklung nict mer summieren läßt (wenn wir also versucen, den Grenzwert für n durczufüren), dann läßt sie sic auc für keine andere Zal mer summieren, deren Betrag größer ist. In unserem Beispiel eißt das, daß sic die recte Seite für keine Zal mit > aufsummieren läßt. Für = dagegen konvergiert die Reie noc, und zwar, wie unsere Entwicklung vermuten läßt, gegen ln(): ln() = ( )n+ n +. Allerdings konvergiert diese Reie nur ser langsam. Z.B. ist für n = 6 der genäerte Wert der Reienentwicklung , gegenüber ln() = (5) f() = e. Die Taylor-Entwicklung für diese Funktion eralten wir einfac dadurc, daß wir statt in die Taylor-Entwicklung von e einsetzen. Das ergibt: e +! 4 3! 6 + 4! 8 + ( ) n n! n. J. Hellmic

76 7 II Integralrecnung 6 t5 t9 t3 t t 3π π π π π 3π t3 t7 t t5 t9 t sin Abbildung II.3 Approimation von sin durc Taylor-Polynome t, t 3,..., t J. Hellmic

77 II.3 Anwendungen 73 II.3. Das Volumen eines Rotationskörpers Biser aben wir das Integral dazu benutzt, Fläceninalte zu bestimmen. Tatsäclic at es aber viel weiterreicende Anwendungsmöglickeiten. Um für eine gegebenes Problem den rictigen Integralausdruck zu finden, geen wir den Weg über die Riemann- Summen. Wir füren das ier am Beispiel des Volumens eines Rotationskörpers vor. Dazu denken wir uns den Grapen einer Funktion f um die -Acse rotierend. Dabei bescreibt er die Oberfläce eines Rotationskörpers (siee nebensteende Skizze). Das Volumen bestimmen wir näerungsweise, indem wir den Körper in Sceiben mit der Breite i und dem Radius a i b i f( i ) Abbildung II.4 Zum Volumen eines Rotationskörpers f( i ) zerlegen. Dabei ist a = 0 < < < < i < i+ < < n < n+ = b eine Zerlegung Z des Basisintervalls [a, b] mit der Feineit Z (vergl. Seite 5). Das Volumen einer solcen Sceibe ist dann also πf( i ) i, nämlic Grundfläce πf( i ) Höe i. Zälen wir die Volumina aller dieser Sceibcen zusammen, so eralten wir den Näerungswert ) V π (f( 0 ) 0 + f( ) + f( ) + + f( n ) n = π f n f ( i ) i. Um den genauen Wert des Volumens zu eralten, füren wir den Grenzwert Z 0 beliebig feiner Zerlegungen durc: V = lim π n f ( i ) i. Z 0 i=0 Wenn wir das mit (II.) vergleicen, so seen wir, daß das Volumen V der Grenzwert von Riemann-Summen ist, allerdings nict für die Funktion f, sondern für π f. Also ist das Volumen des Rotationskörpers durc das Integral V = π b a f () d i=0 (II.6) gegeben. Zur Berecnung können wir daer wieder auf unsere Integrationstecniken zurückgreifen, nun eben auf f angewandt. J. Hellmic

78 74 II Integralrecnung B Wir berecnen das Volumen einer Kugel. Dafür lassen wir einen Halbkreis um die -Acse rotieren. Seine Gleicung ist f() = r. Damit ergibt sic für das Kugelvolumen: f()= r r r r V = π f () d = π (r ) d r r [ = π r ] r 3 3 = π (r 3 ) ( r 3 r3 π r 3 + ) 3 r3 = 3 πr3 + 3 πr3 = 4 3 πr3. Das Volumen eines Kegels eralten wir, indem wir eine Ursprungsgerade f() = m um die -Acse rotieren lassen. V = π 0 f () d = π 0 m d [ ] = π 3 m 3 = 3 πm 3 = 3 π(m) = 3 πr, 0 denn der Radius r des Grundkreises ist r = m. f()=m II.3.3 Die Länge einer Kurve Die Länge des Bogens eines Funktionsgrapen bestimmen wir zunäcst näerungsweise, indem wir in durc aneinanderstoßende Geradenstücke, einen sog. Polygonzug, ersetzen. Dazu füren wir wieder die Zerlegung Z, a = 0 < < < < i < i+ < < n < n+ = b, des Basisintervalls [a, b] mit der Feineit Z ein. Dann ersetzen wir den tatsäclicen Kurvenverlauf auf jedem der kleinen Teilintervalle [ i, i+ ] durc ein Geradenstück, das die Randpunkte ( i f( i )) und ( i+ f( i+ )) des Kurvenbogens über [ i, i+ ] miteinander verbindet. Die Länge eines solcen Geradenstücks ist nac dem Satz von Pytagoras: l i = ( i ) + ( f( i )) = ( ) f(i ) + i. i f( i ) f a j b i ( i f( i )) f( i ) ( i ) +( f( i )) ( i+ f( i+ )) i Die Länge L des Kurvenbogens zwiscen a und b eralten wir dann ungefär, wenn wir die Längen l i aufsummieren: n n ( ) f(i ) L l 0 + l + l + + l i + + l n = l i = + i. i Den genauen Wert für L offen wir wieder durc den Grenzwert Z 0 verscwindender Feineit der Zerlegung Z zu gewinnen. Dafür müssen wir die rictige Riemann-Summe finden, die uns verrät, welces Integral wir zur Berecnung von L benutzen können. In obiger Summe stet unter der Wurzel der Differenzenquotient f( i) i, der für Z 0, also i=0 i= J. Hellmic

79 II.3 Anwendungen 75 für kleines i, durc die Ableitung f ( i ) ersetzt werden kann. Dadurc eralten wir nun tatsäclic eine Riemann-Summe für die Approimation von L : L n + (f ( i )) i. i=0 Wir vergleicen das wieder mit (II.) und seen, daß die Länge L durc das Integral gegeben sein muß. L = b a + (f ()) d (II.7) B Als Anwendung bestimmen wir die Länge der sog. Kettenlinie, die durc die Funktion c gegeben ist (vergl. (I.33)): c() = (e + e ). c 3 Sie besitzt die Ableitung und die Stammfunktion s() = (e e ). Der Name Kettenlinie für c stammt daer, daß diese Funktion den Verlauf einer Kette bescreibt, die zwiscen zwei Punkten lose aufgeängt ist. Jetzt können wir die Länge L() der Kettenlinie im Bereic von 0 bis berecnen (dabei verwenden wir + s = c, vergl. (I.35)): L() = + (c (t)) dt = + s (t)dt = 0 0 c (t)dt = t 0 0 c(t) dt = [ ] s(t) = s(). 0 s 3 L() Die Funktion s() gibt also nict nur die Ableitung und die Stammfunktion von c wieder, sondern auc die Länge des Kurvenbogens dieser Funktion über dem Intervall [0, ]. J. Hellmic

80

81 Inde Ableitung, 9 Ableitungsregeln, 4 acsensymmetrisc, 3 Additionssätze, 4 Ankatete, arccos, 43 arcsin, 43 arctan, 44 Asymptote senkrecte,, 3 waagrecte, Betragsfunktion, 55 Bogenmaß, 6 Cosinus, 3 yperboliscer, 45, 75 Cotangens, 3 Definitionsbereic, 3 Differential, 0 Differentialquotient, 0 Differenzenquotient, 9 differenzierbar, 0 Dreieck, 5 e-funktion, 7, 3 Eulersce Zal, 7 Etremwertaufgabe, 47 Faktorregel, 4 Fakultät, 68 Fläcenproblem, 5 Reduktion des, 5 Funktion grapisce Darstellung, 4 reelle, 3 Staucung einer, 6 Streckung einer, 6 trigonometrisce, 3, 4, Versciebung einer, 6 Gegenkatete, Gerade, 7, 0 gerade Zalen, 70 Gleicung quadratisce, 8 Grad, 6 Grap, 4 Hocpunkt, 30 Hyperbel,, Hyperbelfunktionen, 45 Umkerung der, 45 Hypotenuse, Integral bestimmtes, 53 unbestimmtes, 58 Integration partielle, 60 Inverse, 39 Kegelvolumen, 74 Kettenlinie, 75 Kettenregel, 6 Kreisfläce, 5, 66 Kugeloberfläce, 48 Kugelvolumen, 48, 74 Länge einer Kurve, 74 ln-funktion, 4 ln-recenregeln, 4 Logaritmus-Regel, 66 Maimum 77

82 78 Inde lokales, 9 Minimum lokales, 9 Mitternactsformel, 8 monoton fallend, 40 monoton wacsend, 7, 40 Nullstelle doppelte, Parabel, 8, 0 dritter Ordnung, 9, 0 Polygonzug, 74 Polynomdivision, 0 Potenzrecengesetze, 7 Produktiontegration, 60 Produktregel, 5 punktsymmetrisc, 3 quadratisce Ergänzung, 8 Quotientenregel, 5 Radian, 6 Recteck, 5 Restglied, 69 Riemann-Summe, 5 Rotationskörper, 73 Tiefpunkt, 30 Trapez, 5 trigonometrisce Funktionen, 3, 4, Umkerfunktion, 39 ungerade Zal, 70 Vorzeicen-Flip, 70 Vorzeicenmetode, 30 Wendepunkt, 30 Wendestelle, 30 Wertebereic, 3 Wertetabelle, 4 Winkel -Minute, 6 -Sekunde, 6 Bogenmaß, 6 Winkelalbierende, 40 Zerlegung, 5 Zylinder, 47 Sattelpunkt, 30 Sekante, 9 Sinus, 3 yperboliscer, 45, 75 Stammfunktion, 54 Steigung, 8 einer Geraden, 7 Steigungsdreieck, 7, 9 Substitutionsmetode, 63 Summenregel, 4 Summenscreibweise, 5 Tangens, 3 yperboliscer, 45 Tangente, 8 Taylor-Entwicklung, 67, 69 Taylor-Formel, 67, 69 Taylor-Polynom, J. Hellmic