Mathematik für Molekulare Biologen

Transkript

1 Skriptum zur Vorlesung Matematik für Molekulare Biologen Cristian Scmeiser 1 Contents 1 Einleitung 1 2 Zalensysteme, Grundrecnungsarten 2 3 Komplexe Zalen, Polynome 5 4 Die Polardarstellung, Winkelfunktionen 9 5 Reelle Funktionen, Grenzwerte 12 6 Differentialrecnung, die Exponentialfunktion 17 7 Integration 24 8 Kleinste Felerquadrate 33 9 Differentialgleicungen Reaktionskinetik 4 1 Einleitung Es ist das Ziel dieser Vorlesung, mit einigen matematiscen Metoden Bekanntscaft zu macen, die bei quantitativen Zugängen zur Molekularbiologie eingesetzt werden. Dazu sind als Vorbereitung einige matematisce Grundlagen notwendig, deren Beandlung den größeren Teil der Vorlesung (bis einscließlic Kapitel 7) in Anspruc nimmt. Prinzipiell sind keinerlei matematisce Vorkenntnisse notwendig (nict einmal solce aus der Scule). Allerdings werden HörerInnen, bei denen das wirklic der Fall ist, das Tempo warsceinlic als ser oc empfinden. Matematisce Teorien besteen im Wesentlicen aus Axiomen, Definitionen und Sätzen. Axiome sind Annamen über die Natur matematiscer Objekte, die vorausgesetzt werden und daer nict weiter diskutiert werden müssen, wenn man sic diesbezüglic geeinigt at. Definitionen füren (aufbauend auf Bekanntem) neue Begriffe ein. Sätze sind aus Axiomen, Definitionen und scon bewiesenen Sätzen beweisbare Aussagen. In diesem Skriptum wird der Stoff nict streng nac diesen Gesictspunkten präsentiert. Allerdings ersceinen bei Farbdruck Teile des Textes in Blau bzw. Rot, was auf iren logiscen Rang als Definitionen bzw. Sätze inweist. 1 Institut für Matematik, Universität Wien, Nordbergstraße 15, 19 Wien, Austria. cristian.scmeiser@univie.ac.at 1

2 Die Standardscreibweise der Mengenteorie wird verwendet wie das aufzälende Verfaren zur Angabe von Mengen, z.b. A = {mein Sclüsselbund, meine Geldbörse, mein Handy, mein Laptop}, sowie das bescreibende Verfaren, z.b. B = {x : x ist in meinem Rucksack}. Die Aussage x geört zur Menge A bzw. x ist Element der Menge A screibt man als x A, ire Verneinung als x / A. Die leere Menge {} ist die Menge one Elemente. Teilmengen: A B gilt genau dann, wenn jedes Element von A auc Element von B ist. Vereinigungs- und Durcscnittsmengen: A B = {x : x A oder x B}, A B = {x : x A und x B}, wobei das oder in der Definition der Vereinigungsmenge ein inklusives oder ist. Differenzmenge: A \ B = {x : x A und x / B}. 2 Zalensysteme, Grundrecnungsarten Die Menge der natürlicen Zalen IIN = {1, 2, 3,...} ist abgesclossen bezüglic der Addition, d.. die Summe zweier beliebiger natürlicer Zalen ist wieder eine natürlice Zal. Für die Umkeroperation zur Addition, die Subtraktion, gilt das nict: 3 5 ist keine natürlice Zal. Um diesem Ausdruck Sinn zu geben, erweitert man auf die Menge der ganzen Zalen Z = {..., 2, 1,, 1, 2,...}, die auc bezüglic der Subtraktion abgesclossen ist. Die Menge der natürlicen Zalen ist auc bezüglic der Multiplikation abgesclossen. Diese lässt sic auc auf die ganzen Zalen erweitern (und zwar so, dass die wictigsten Recenregeln gültig bleiben). Wieder bestet das Problem, dass die Umkeroperation zur Multiplikation, die Division p/q nict für beliebige p, q Z wieder eine ganze Zal ergibt. Als Konsequenz fürt eine weitere Erweiterung auf die Menge der rationalen Zalen Q = {p/q : p Z, q IIN}. Man beacte, dass damit die Abgesclosseneit nur fast vollständig ergestellt ist: Division durc Null ist auc in Q nict erlaubt. Die rationalen Zalen sind den Menscen scon seit langer Zeit bekannt, so bildeten sie z.b. das Zalensystem der Pytagoräer. So wie man durc fortgesetztes Addieren mit demselben Summanden auf das Multiplizieren kommen kann, fürt das fortgesetzte Multiplizieren mit demselben Faktor auf das Potenzieren: x n = xx n 1 für n 2, x 1 = x. 2

3 Figure 1: Grapiscer Beweis des Pytagoräiscen Lersatzes Bemerkung 1 Das ist eine sogenannte rekursive Definition. Man beacte, dass auf diese Art x n für alle n IIN definiert ist. Der Grund ist das, was die natürlicen Zalen im Kern ausmact: Sie beginnen bei 1 und man erreict jede von inen, indem man bei 1 zu Zälen beginnt. Hat man das Potenzieren definiert, ist man natürlic wieder an der Umkeroperation, dem Wurzelzieen interessiert. Als Beispiel betracten wir die Quadratwurzel: Die Tatsacen, dass 1 2 = 1 und 2 2 = 4 gilt, screibt man auc als 1 = 1 und 2 = 4. Da 2 zwiscen 1 und 4 liegt, erwarten wir, dass 2 zwiscen 1 und 2 liegt. Mit Hilfe des Pytagoräiscen Lersatzes (grapiscer Beweis siee Fig. 1, vorpytagoräiscer Beweis siee Fig. 2) können wir sogar ein geometrisces Konstruktionsverfaren für eine Strecke mit der Länge 2 (z.b. cm) angeben: Es ist die Länge der Diagonale eines Quadrates mit der Kantenlänge 1. Nac der Logik der pytagoräiscen Matematik muss es also eine rationale Zal p/q = 2 geben. Um p, q IIN eindeutig festzulegen, nemen wir an, dass die Darstellung gekürzt ist, d.. dass p und q keine gemeinsamen Teiler aben. Aus der obigen Gleicung folgt (durc Quadrieren und Multiplizieren mit q 2 ) p 2 = 2q 2. Daraus folgt aber, dass p 2 eine gerade Zal ist, was weiter impliziert, dass p eine gerade Zal ist. Wir können p daer darstellen als p = 2r mit r IIN. Setzen wir das in die obige Gleicung ein und dividieren diese durc 2, so ergibt sic 2r 2 = q 2. Daraus folgt aber analog zu oben, dass q 2 und daer auc q eine gerade Zal ist. Dass p und q beides gerade Zalen sind, widersprict aber unserer Anname, dass die Darstellung p/q gekürzt ist. Dieses Argument zeigt, dass es keine rationale Zal gibt, deren Quadrat 2 ist. 3

4 Figure 2: Beweis des Satzes von Pytagoras aus Zou Bi Suan Jing (Zou-Dynastie, B.C., bzw. Han-Dynastie, 256 B.C. 22 A.D.) Diese katastropale Erkenntnis des Mitglieds Hippasus der Pytagoräer wird das Dilemma der grieciscen Matematik genannt. Geometrisc geseen zeigt es, dass das Einzeicnen aller Punkte, die den rationalen Zalen entsprecen, auf einer Zalengeraden Lücken interlässt. Heute bezeicnen wir diese Lücken als irrationale Zalen, die wir zusätzlic in unser Zalensystem aufnemen, wodurc die Menge IR der reellen Zalen entstet. Eine wesentlice Aussage über irrationale Zalen ist, dass jede irrationale Zal beliebig gut durc rationale Zalen approximiert werden kann. Genauer eißt das, dass man eine beliebige irrationale Zal und einen beliebig kleinen Feler vorgeben kann, und dann immer eine rationale Zal findet, deren Abstand zu der gegebenen irrationalen Zal kleiner als der vorgegebene Feler ist. Am Beispiel der irrationalen Zal 2 werden wir dieses Resultat demonstrieren. Wir wissen scon, dass 1 < 2 < 2 gilt, d.. beide rationalen Zalen 1 und 2 aben öcstens den Abstand 1 von 2. Wir werden das sogenannte Bisektionsverfaren oder Halbierungsverfaren verwenden, um genauere Approximationen zu finden. In der Mitte zwiscen 1 und 2 liegt 3/2, und es gilt (3/2) 2 = 9/4 > 8/4 = 2. Daraus folgern wir 2 2 < 2 < 3 2, woraus folgt, dass wir 2 scon bis auf einen Feler 1/2 approximiert aben. In der Mitte zwiscen 2/2 und 3/2 liegt (2/2 + 3/2)/2 = 5/4, und es gilt (5/4) 2 = 25/16 < 32/16 = 2 und daer 5 4 < 2 <

5 Einen Scritt macen wir noc: (5/4 + 6/4)/2 = 11/8, (11/8) 2 = 121/64 < 128/64 = 2, woraus folgt 11 8 < 2 < Damit aben wir gezeigt, dass sowol 11/8 als auc 12/8 = 3/2 öcstens den Abstand 1/8 von 2 aben. Da der Abstand in jedem Scritt albiert wird, kann er beliebig klein gemact werden. Die wictigsten Teilmengen von IR sind Intervalle, die an iren Enden offen oder abgesclossen sein können: (a, b) := {x IR : a < x < b}, [a, b] := {x IR : a x b}, [a, b) := {x IR : a x < b}, (a, b] := {x IR : a < x b}. Intervalle können auc unbescränkt sein: (a, ) := {x IR : x > a}, [a, ) := {x IR : x a}, (, a) := {x IR : x < a}, (, a] := {x IR : x a}. Übungsaufgaben 2.1. Man berecne den Fläceninalt des gleicscenkeligen Dreiecks mit den Kantenlängen 4, 3, Man zeige, dass 3 keine rationale Zal ist Man approximiere 5 mitilfe des Bisektionsverfarens bis auf einen Feler von maximal 1/ Man approximiere eine positive und eine negative Lösung von x 2 + x = 5 jeweils bis auf einen Feler von maximal 1/4. 3 Komplexe Zalen, Polynome Leider aben wir mit der Einfürung der reellen Zalen das Problem des Quadratwurzelzieens noc nict vollständig gelöst, weil das Quadrat einer reellen Zal nict negativ sein kann. Es gibt daer keine reelle Zal x, für die x 2 = 1 gilt. Um diesem Problem Herr zu werden, ist eine küne (aber simple) Idee notwendig: Man postuliert einfac, dass es eine solce Zal gibt und gibt ir einen Namen. Der Name i bezeicnet ab nun eine Zal, für die i 2 = 1 (1) gilt. Diese Zal wird als imaginäre Eineit bezeicnet. Damit diese Erweiterung des Zalenraumes in unserem Sinne braucbar wird, ist aber die Abgesclosseneit bezüglic aller Grundrecnungsarten notwendig. Es müssen also auc Ausdrücke wie 1 + i oder 5i definiert sein. Das fürt auf die Definition der Menge der komplexen Zalen C = {a + ib : a, b IR}. 5

6 Für eine komplexe Zal z = a+ib bezeicnen wir die beiden reellen Zalen Re(z) = a und Im(z) = b als Realteil und Imaginärteil. Jede relle Zal z kann auc komplexe Zal mit Im(z) = angeseen werden. Die Menge aller rein imaginären Zalen mit Re(z) = liefert Quadratwurzeln für alle negativen reellen Zalen. Sei nämlic x IR, x <. Dann existiert x IR und für die rein imaginäre Zal z = i x gilt z 2 = ( i x) 2 = i 2 ( x ) 2 = ( 1) ( x) = x. Wie oben erwänt, können die reellen Zalen als Punkte auf einer Zalengeraden geometrisc interpretiert werden. Änlic gibt es für die komplexen Zalen eine geometrisce Interpretation als Punkte in einer Ebene, die in diesem Zusammenang als Gaußsce Zalenebene bezeicnet wird. Dabei verwendet man ein kartesisces (d.. rectwinkeliges) Koordinatensystem und identifiziert die komplexe Zal z = a+ib mit dem Punkt mit den Koordinaten (a, b). Die a-acse wird als reelle Acse und die b-acse als imaginäre Acse bezeicnet. Die reelle Acse repräsentiert die Menge der reellen Zalen als Teilmenge von C und die imaginäre Acse die Menge der rein imaginären Zalen. Als Erweiterung für den Begriff des Betrages einer reellen Zal definieren wir den Betrag einer komplexen Zal geometrisc als iren Abstand vom Ursprung in der Gaußscen Zalenebene, den wir mit Hilfe des Pytagoräiscen Lersatzes aus Realteil und Imaginärteil berecnen können: a + ib = a 2 + b 2. Beim Recnen praktisc ist oft die konjugiert komplexe Zal z zu einer komplexen Zal z = a + ib, die geometrisc durc Spiegelung an der reellen Acse definiert wird: z := a ib. Als Beispiel für ire Verwendung sei die Identität z 2 = zz angefürt. Wie erofft, ist die Menge der komplexen Zalen abgesclossen bezüglic der Grundrecnungsarten (abgeseen von der Division durc Null, die in den reellen Zalen auc scon verboten war), wobei diese erst zu definieren sind. Dazu sind aber nur die üblicen Recengesetze und die Bezieung (1) notwendig: Addition: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), d.. bei der Addition zweier komplexer Zalen sind einfac die Realteile und die Imaginärteile zu addieren. Analog: Subtraktion: (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d). Etwas komplizierter wird es bei der Multiplikation: (a + ib)(c + id) = ac + i 2 bd + ibc + iad = (ac bd) + i(ad + bc), und noc etwas komplizierter bei der Division, bei der wir mit der konjugiert Komplexen des Nenners erweitern, um diesen reell zu macen: a + ib (a + ib)(c id) ac + bd + i(bc ad) = = c + id (c + id)(c id) c 2 + d 2 = 6 ac + bd ad c 2 + ibc + d2 c 2 + d 2.

7 Das funktioniert natürlic nur, wenn zumindest eine der beiden reellen Zalen c und d verscieden von Null ist, d.. c + id. Offensictlic sind i und i zwei versciedene Lösungen der quadratiscen Gleicung z 2 +1 =. Für allgemeinere quadratisce Gleicungen der Form az 2 + bz + c = (2) mit reellen Koeffizienten a, b, c verwendet man zunäcst quadratisce Ergänzung: az 2 + bz + c = a (z 2 + b ) ( a z + c = a z 2 + b ) a z + b2 4a 2 + c b2 4a = ( a z + b ) 2 4ac b2 +. 2a 4a Die Gleicung (2) kann daer in der Form ( z + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 gescrieben werden. Wurzelzieen liefert die Lösungsformel z 1,2 = b ± b 2 4ac 2a und daer zwei reelle Lösungen, wenn b 2 4ac > gilt. Lassen wir auc komplexe Lösungen zu, dann gibt es auc im Fall b 2 4ac < zwei Lösungen, nämlic z 1,2 = b ± i 4ac b 2 2a Man recnet leict nac, dass sic in beiden Fällen die linke Seite der Gleicung (2) faktorisieren (d.. als Produkt screiben) lässt als az 2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ). Das gilt auc im Grenzfall b 2 4ac = mit z 1 = z 2 = b/(2a). In diesem Fall nennt man b/(2a) eine doppelte Lösung. Wenn man diese auc doppelt zält, ergibt sic das Resultat, dass eine quadratisce Gleicung mit reellen Koeffizienten immer 2 komplexe Lösungen at. Das lässt sic in zwei Rictungen verallgemeinern: Auf Gleicungen mit komplexen Koeffizienten und auf Gleicungen öerer Ordnung. Dazu definieren wir zunäcst den Begriff des Polynoms: Ein Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten ist ein Ausdruck der Form p(z) = n a k z k = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a, k= mit a,..., a n C, a n. Eine Lösung z der Gleicung p(z) = nennt man eine Nullstelle des Polynoms. Das wesentlice Grundresultat (das nict so leict zu beweisen ist) ist,. 7

8 Satz 1 Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten und mindestens ersten Grades besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle. Für das Weitere benötigen wir die (leict naczurecnende) Identität z k z k 1 = (z z 1 )(z k 1 + z k 2 z zz k z k 1 1 ). Sei nun z 1 eine Nullstelle des Polynoms p, d.. p(z 1 ) =. Dann gilt wegen der obigen Gleicung p(z) = p(z) p(z 1 ) = n a k (z k z1 k ) = (z z 1 )q(z), k= wobei q ein Polynom (n 1)-sten Grades ist. Diese Recnung und Satz 1 ermöglicen für jedes Polynom p mit Grad n 1 die folgende Vorgangsweise: Der Satz 1 garantiert, dass p eine Nullstelle z 1 C besitzt. Dasselbe gilt für q(z) = p(z)/(z z 1 ), wenn n 2 gilt. Nac n Scritten ist ein Polynom mit Grad Null, d.. eine Konstante, und zwar a n, übrig. Diese Ergebnisse kann man zusammenfassen im Fundamentalsatz der Algebra: Satz 2 Jedes Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten besitzt n Nullstellen z 1,..., z n (Merfacnennungen möglic) und kann in der Form gescrieben werden. p(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) Bei Polynomen zweiten Grades mit reellen Koeffizienten aben wir geseen, dass im Fall komplexer Nullstellen diese als konjugiert komplexes Paar auftreten. Auc diese Eigenscaft kann verallgemeinert werden. Satz 3 Polynome mit reellen Koeffizienten aben eine gerade Anzal komplexer (genauer: nict reeller) Nullstellen, die nur als konjugiert komplexe Paare auftreten. Übungsaufgaben 3.1. Für folgende komplexe Zalen gebe man Realteil und Imaginärteil an: a) (2 + i)(4 3i) b) (8 + 3i)(8 3i) 2 + i 3 c) d) 4 3i i + 3 2i 4 + 6i 3.2. Man zeicne die komplexen Zalen 3+5i, 2/3+5i/2 und 3+5i 3+i ein. in der Gaußsce Zalenebene 3.3. Man berecne den Betrag folgender komplexer Zalen: i(3 + 2i), 2 i 5, 3i, 2 + 5i, 5 2i, 2 i 2+5i, i + 1+i 7 3i Wo liegen die Punkte z in der Gaußscen Zalenebene, für die gilt a) z = 2, b) Re(z) = 1 (Re bezeicnet den Realteil von z) 8

9 3.5. Sei z = a + bi eine komplexe Zal, und z die konjugiert komplexe Zal zu z. Man bestimme Real- und Imaginärteil von: a) i z, b) z z, c) 1 z, d) z z + z z Man bestimme alle Lösungen der Gleicung 2z 2 4z + 2 = Man bestimme alle Nullstellen des Polynoms z 2 6z + 1 und gebe die entsprecende Faktorisierung an i ist eine Lösung der Gleicung 4. Ordnung Man berecne die restlicen Lösungen. z 4 + 5z z 2 + 2z + 28 =. 4 Die Polardarstellung, Winkelfunktionen Das Ziel dieses Abscnittes ist es, mance Recnungen mit komplexen Zalen zu erleictern. Zunäcst stellen wir fest, dass ein Punkt in der Gaußscen Zalenebene auc bescrieben werden kann, indem man einerseits den Abstand r des Punkes vom Ursprung und andererseits den Winkel ϕ zwiscen der reellen Acse und der Geraden durc den Punkt und den Ursprung angibt. Man nennt das die Polardarstellung einer komplexen Zal und das Paar (r, ϕ) die Polarkoordinaten. Dabei verwenden wir als Maß für den Winkel die Bogenlänge auf dem Eineitskreis. Um einen Zusammenang zu der Darstellung mit Real- und Imaginärteil erzustellen, braucen wir Winkelfunktionen: Für Punkte mit Abstand r = 1 vom Ursprung (d.. Punkte auf dem Eineitskreis) und mit Winkel ϕ nennt man den Realteil den Cosinus von ϕ bzw. cos ϕ, und den Imaginärteil den Sinus von ϕ bzw. sin ϕ. Aus dem Pytagoräiscen Lersatz folgt daer sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1. (3) Weitere Eigenscaften von Sinus und Cosinus, die sic aus der Definition ergeben: Sinus ist ungerade und Cosinus gerade: sin( ϕ) = sin ϕ, cos( ϕ) = cos ϕ. Sinus und Cosinus sind periodisc mit Periode 2π (Umfang des Eineitskreises): sin(ϕ + 2π) = sin ϕ, cos(ϕ + 2π) = cos ϕ. Sinus und Cosinus geen auseinander durc Versciebung ervor: Spezielle Werte: sin(ϕ + π/2) = cos ϕ. 9

10 ϕ sin ϕ cos ϕ 1 π/4 1/ 2 1/ 2 π/2 1 3π/4 1/ 2 1/ 2 π 1 Für die Zal z mit den Polarkoordinaten (r, ϕ) gilt z = r(cos ϕ + i sin ϕ) bzw. Re(z) = r cos ϕ, Im(z) = r sin ϕ. Kann man umgekert auc die Polarkoordinaten aus Real- und Imaginärteil berecnen? Sei z = a + bi. Dann gilt r = a 2 + b 2 b und a = sin ϕ =: tan ϕ, cos ϕ wobei die recte Seite der Tangens von ϕ ist. Bei der Verwendung der zweiten Gleicung ist allerdings Vorsict geboten. Sie definiert den korrekten Winkel nict eindeutig. Für die beiden Zalen z = a + bi und z = a bi ergibt sic derselbe Wert für tan ϕ. Die auf den meisten Tascenrecnern vorandene Funkton Arcustangens liefert für arctan(b/a) immer Werte zwiscen π/2 und π/2, d.. im 1. oder 4. Quadranten. Liegt z im 2. (a <, b > ) oder 3. (a, b < ) Quadranten, dann ist der korrekte Winkel gegeben durc ϕ = arctan b a + π. Beispiel: z = 1 + i im 2. Quadranten, a = 1, b = 1. Es gilt r = 2, tan ϕ = 1 und daer ϕ = arctan( 1) + π = π 4 + π = 3π 4. Wictige Recenregeln für die Winkelfunktionen sind die Summensätze: Satz 4 Für alle α, β IR gilt sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α, (4) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β. (5) Verwendet man die Summensätze, dann zeigt sic, dass die Polardarstellung die Multiplikation komplexer Zalen einfac mact: Für z 1 = r(cos ϕ + i sin ϕ), z 2 = ϱ(cos ψ + i sin ψ) gilt z 1 z 2 = rϱ(cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(sin ϕ cos ψ + sin ψ cos ϕ)) = rϱ(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). Um 2 komplexe Zalen zu multiplizieren, muss man also die Beträge multiplizieren und die Winkel addieren. Als Konsequenz ergibt sic für Potenzen von z = r(cos ϕ + i sin ϕ): z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). Als Abscluss dieses Kapitels berecnen wir die Nullstellen spezieller Polynome der Form p(z) = z n w, wobei w eine beliebige gegebene komplexe Zal ist. Die Nullstellen nennen wir die 1

11 Figure 3: Grapiscer Beweis der trigonometriscen Summensätze für α, β, α + β π/2. n-ten Wurzeln von w. Wenn z bzw. w die Polarkoordinaten (r, ϕ) bzw. (ϱ, ψ) besitzen, dann muss also r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = ϱ(cos ψ + i sin ψ) gelten. Offensictlic lässt sic diese Gleicung durc die Wal r = n ϱ und ϕ = ψ/n erfüllen. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt allerdings die Existenz von n n-ten Wurzeln voraus. Weitere Wurzeln kann man finden, indem man sic die Periodizität der Winkelfunktionen zunutze mact. Da r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = r n (cos(nϕ + 2kπ) + i sin(nϕ + 2kπ)), für alle k Z, gilt, ergibt jede Wal r = n ϱ, ϕ k = ψ + 2kπ n mit k Z eine n-te Wurzel von w. Unter den entsprecenden komplexen Zalen gibt es allerdings nur n versciedene, nämlic ( ( ) ( )) z k = n ψ + 2kπ ψ + 2kπ ϱ cos + i sin, k =,..., n 1. n n Diese bilden ein dem Kreis mit Radius n ϱ eingescriebenes regelmäßiges n-eck. Übungsaufgaben 4.1. Für die folgenden komplexen Zalen gebe man Real-, Imaginärteil und Polarkoordinaten an, und man skizziere ire Lage in der Gaußscen Zalenebene. a)2i, b) 2 2i, c)1 i, d) 5, e) 3 + 5i f) 1 i. 11

12 4.2. Man gebe die kartesisce Form folgender komplexer Zalen an: a) 3[cos(π/6) + i sin(π/6)], b) 3[cos( π/2) + i sin( π/2)], c) 2[cos(π/4) i sin(π/4)], d) cos(π) + i sin(π). 4.3 Man berecne (1+i)4 (1 i) 8 auf zwei Arten Man bestimme alle Lösungen der Gleicung 4.5. Man berecne alle Lösungen der Gleicung z 5 = 64(1 + 3i). z 4 + i(1 + i) = Man zeige, dass die folgende Gleicung für alle ϕ IR gilt: cos(3ϕ) = 3 cos(ϕ) + 4 cos 3 (ϕ). 5 Reelle Funktionen, Grenzwerte Eine Funktion f : A B ist eine Vorscrift, die jedem Element x der Definitionsmenge A eindeutig ein Element y der Wertemenge B zuordnet. Man verwendet die Screibweise y = f(x). Für relle Funktionen gilt A, B IR. Zumeist get man von der Abbildungsvorscrift aus, also z.b. f(x) = x 2. In diesem Fall kann man A = IR, B = [, ) wälen, wobei die maximale Definitionsmenge und dann die minimale Wertemenge gewält wurde. Beispiele: 1. f(x) = 1 x, A = B = IR \ {} = (, ) (, ). 2. f(x) = tan x, A = IR \ {kπ + π/2 : k Z}, B = IR. Der Grap einer reellen Funktion f : A B ist die Menge {(x, y) : x A, y = f(x)}, d.. eine Menge von Punkten in der (x, y)-ebene, für die der y-wert jeweils das Bild des entsprecenden x-wertes ist. Eine Skizze des Grapen ist zumeist eine gute Illustration der wesentlicen Eigenscaften einer Funktion. Beispiele für Funktionseigenscaften: Eine Funktion f eißt (streng) monoton wacsend, wenn aus x 1 < x 2 folgt, dass f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) < f(x 2 )) gilt. Sie eißt (streng) monoton fallend, wenn aus x 1 < x 2 folgt, dass f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) gilt. Bei einer monoton wacsenden Funktion get der Grap von links nac rects bergauf, bei einer fallenden bergab. 12

13 Eine Funktion f : A B eißt bescränkt, wenn die (minimale Werte) Menge {y = f(x) : x A} bescränkt ist. Das ist der Fall, wenn der ganze Grap zwiscen zwei waagrecten Geraden liegt. Eine Funktion f : A B eißt gerade (bzw. ungerade), wenn für jedes x A auc x A und f(x) = f( x) (bzw. f(x) = f( x)) gilt. Der Grap einer geraden Funktion ist symmetrisc bezüglic der y-acse, der einer ungeraden Funktion bezüglic des Ursprungs. Eine Funktion f : IR B eißt periodisc mit Periode p >, wenn f(x + p) = f(x) für alle x IR. Der Grap einer periodiscen Funktion get in sic selbst über, wenn er um die Periode nac rects (oder links) verscoben wird. Eine Funktion f : A B eißt injektiv, wenn jeder y-wert öcstens einmal als Bild vorkommt; genauer: Aus f(x 1 ) = f(x 2 ) folgt x 1 = x 2. Das gilt, wenn der Grap von jeder waagrecten Linie öcstens einmal gescnitten wird. Ist B der minimale Wertebereic, d.. B = {f(x) : x A}, dann existiert die Umkerfunktion f 1 : B A, die definiert wird durc f 1 (y) = x genau dann, wenn f(x) = y. Den Grapen von f 1 erält man, indem man den Grapen von f an der ersten Mediane (45-Grad-Diagonale im ersten und dritten Quadranten) spiegelt. Beispiel zur Berecnung der Umkerfunktion: y = f(x) = x 1 x + 2 (x + 2)y = x 1 x(y 1) = 1 2y x = f 1 (y) = 1 + 2y 1 y, A = IR \ { 2}, B = IR \ {1}. Wenn ic um 1 Ur in Wien abfare und um 13 Ur im 3 km entfernten Salzburg ankomme, dann ist meine Durcscnittsgescwindigkeit auf dieser Fart 3km 3 = 1 km/. Genauere Informationen über den Fortgang meiner Fart könnte man dadurc angeben, dass man Durcscnittsgescwindigkeiten für Teilzeiten berecnet. Bezeicnen wir mit s(t) die Strecke (in km), die ic nac der Zeit t (in Stunden) zurückgelegt abe (mit den Eigenscaften s() = und s(3) = 3), dann ergibt sic für die mittlere Gescwindigkeit im Zeitraum von t bis t + die Formel s(t + ) s(t). (6) Unser Ziel ist es, zum Begriff der Momentangescwindigkeit zum Zeitpunkt t zu gelangen, indem wir die Länge des Zeitraumes immer kleiner wälen. Bevor wir dieses Ziel im näcsten Abscnitt realisieren, stellen wir als Vorbereitung zunäcst einige matematisce Werkzeuge bereit. Der wictigste Begriff in diesem Zusammenang ist der des Grenzwertes: Wir sagen, dass f der Grenzwert (bzw. Limes) der Funktion f(x) für x gegen x ist, als Formel lim f(x) = f, (7) x x wenn die Werte f(x) beliebig nae bei f sind für alle x, die genügend nae bei x sind. Genauer gesagt bedeutet das, dass ic bei folgendem Spiel immer gewinne: Zuerst gibt mein Gegenspieler einen (beliebig kleinen) Abstand ε von f vor. Dann gewinne ic das Spiel, wenn ic einen (genügend kleinen) Abstand δ von x angeben kann, sodass für alle x, die öcstens den Abstand δ zu x aben, 13

14 die Werte f(x) öcstens den Abstand ε von f aben. Noc genauer: Für jedes ɛ > gibt es ein δ >, sodass f(x) f ε für alle x mit x x δ. Wenn (7) gilt und außerdem x A, dann liegt es nae, f mit f(x ) zu vergleicen. Man nennt die Funktion f stetig and der Stelle x, wenn lim f(x) = f(x ). x x Zur Berecnung von Grenzwerten gibt es einige nützlice Recenregeln. Satz 5 Sei α IR und gelte lim f(x) = f, x x lim g(x) = g, x x dann gilt auc lim (αf(x)) = αf, x x lim x x (f(x)g(x)) = f g, lim (f(x) ± g(x)) = f ± g, x x f(x) lim x x g(x) = f, g wobei man für die Gültigkeit der letzten Regel natürlic die zusätzlice Anname g brauct. Beispiele: Insbesondere ist die Funktion f(x) = x2 2 x+5 x 2 2 lim x 3 x + 5 = = 7 8, stetig an der Stelle x = 3. One Beweis: Für a > ist durc f(x) = a x eine auf IR stetige Funktion, die Exponentialfunktion mit Basis a gegeben. Für diese gelten die Recenregeln a x+y = a x a y und a xy = (a x ) y. Satz 6 Sei f(x) g(x) (x) und lim x x f(x) = lim x x (x) = f. Dann gilt auc lim x x g(x) = f. Man kann in der Definition des Grenzwertes x und/oder f durc (bzw. ) ersetzen, indem man beliebig (genügend) nae bei durc beliebig (genügend) groß ersetzt. Als Beispiel: Es gilt lim f(x) = f, x wenn es für alle (beliebig kleinen) ε > ein (genügend großes) M IR gibt, sodass f(x) f ε für alle x M. Die obigen Recenregeln gelten dann auc, wobei man für α > folgende Regeln verwendet: α ± = ±, α =, α =, α =, + =. 14

15 Figure 4: Vergleic zwiscen Dreiecks- und Kreissegmentfläcen Beispiele: 1) lim x 2) lim x 1 x n =, x 2 + 2x + 3 2x 2 x + 5 = lim x lim x xn = für alle n IIN, 1 + 2/x + 3/x 2 2 1/x + 5/x 2 = 1 2, x ) lim x x 2 + x = lim x + 1/x 2 x 1 + 1/x =. Scwierigkeiten entsteen, wenn die Anwendung der Recenregeln auf unbestimmte Ausdrücke fürt wie z.b.,,,, denen kein sinnvoller Wert zugewiesen werden kann, weil versciedene Beispiele versciedene Grenzwerte erzeugen. Eine Möglickeit, mit unbestimmten Ausdrücken umzugeen, wurde in den obigen Beispielen 2) und 3) verwendet, die auc zeigen, dass / keinen eindeutigen Wert aben kann. Noc drei Beispiele für den Umgang mit unbestimmten Ausdrücken (in diesem Fall /): x 4 4 lim x 2 x 2 2 = lim (x 2 2)(x 2 + 2) x 2 x 2 = lim 2 x (x 2 + 2) = 4. 2 Wir wollen den Grenzwert lim x sin x x berecnen. Dazu vergleicen wir zunäcst in Fig. 4 die Fläceninalte A 1 des rectwinkeligen Dreiecks mit den Katetenlängen sin x und cos x, A 2 des Kreissegments mit Öffnungswinkel x und A 3 des großen rectwinkeligen Dreieecks mit Katetenlängen 1 und tan x. Offensictlic gilt A 1 < A 2 < A 3, A 1 = sin x cos x 2, A 3 = tan x 2. 15

16 Um A 2 zu berecnen, verwenden wir, dass der Fläceninalt des Eineitskreises gleic π ist (was wir allerdings nict bewiesen aben) und dass das Verältnis von A 2 zum Fläceninalt des Eineitskreises dasselbe ist wie das Verältnis des Winkels x zu 2π: A 2 /π = x/(2π) und daer A 2 = x/2. Verwendet man das in den obigen Ungleicungen und formt sie etwas um, dann erält man cos x < sin x x < 1 cos x. Aus cos = 1 und Satz 6 folgt scließlic sin x lim x x = 1. (8) Für x π/2 gilt cos x und daer 1 cos x (1 cos x)(1 + cos x) = 1 cos2 x x x x Aus dem obigen Resultat, sin = und wieder Satz 6 folgt cos x 1 lim x x Übungsaufgaben = sin x sin x x. =. (9) 5.1. Für folgende Funktionen gebe man den maximalen Definitionsbereic (in IR) an und klassifiziere sie bezüglic Bescränkteit und der Begriffe gerade und ungerade. x 2 a) f(x) = x + 1, b) f(x) = x3 5x, 1 c) f(x) = (x 2 + 7) 3, d) f(x) = x2 + x Man bestimme, welce der folgenden Funktionen periodisc sind, und man gebe gegebenenfalls die kleinste Periode an. 1 + x a) sin 2 (x) 1, b) 3 cos(x) Man ermittle den maximalen Definitionsbereic folgender Funktionen. Man bestimme weiters, welce dieser Funktionen eine Umkerfunktion besitzen und man gebe sie gegebenenfalls an. 3 x a) x 5, b) exp( x + 2), c) 3 cos(x) Man berecne a) lim x 3 x + 9 x 2 9, x 5 b) lim x 5 x 2 3x 1, x 2 + 3x 4 c) lim x 5x x Wo sind folgende Funktionen stetig? Wo sind Lücken im Definitionsbereic? a) f(x) = x 2 + x 1 x + 1, b) f(x) = x2 9 x(x 3), { x 2 c) f(x) = x 4 für x 4, x, 1/4 für x = 4. 16

17 6 Differentialrecnung, die Exponentialfunktion Um zu unserer Motivation zurückzukeren: Unser Ziel ist es, in (6) den Limes für zu berecnen. Leider fürt auc das, wenn s and der Stelle t stetig ist, auf einen unbestimmten Ausdruck, nämlic /, und wir können im Allgemeinen nict garantieren, dass es den Grenzwert gibt. Definition 1 Sei f : (a, b) IR und x (a, b). Man sagt, f ist differenzierbar an x, wenn der Grenzwert f f(x + ) f(x) (x) = lim existiert. Er eißt Ableitung von f and der Stelle x, und es wird auc die Screibweise f (x) = df dx (x) verwendet. Dementsprecend sprict man auc von einem Differentialquotienten (im Vergleic mit dem Differenzenquotienten f x = f(x+) f(x) (x+) x ). Wir aben die Ableitung mit der Idee der Momentangescwindigkeit motiviert. Sie at aber auc eine geometrisce Bedeutung als Tangentenanstieg: Definition 2 Sei f an x differenzierbar. Dann nennen wir die Gerade in der x-y-ebene mit der Gleicung y = f(x ) + f (x )(x x ) die Tangente and den Grapen von f im Punkt (x, f(x )). Beispiele: f(x) = x 2 : f(x + ) f(x) = (x + )2 x 2 = x2 + 2x + 2 x 2 = 2x +. Daer gilt f (x) = 2x. Die Tangente an x = 1 at die Gleicung y = 1 + 2(x 1) = 2x 1. f(x) = x: x + x Daer gilt f (x) = 1 2 x. f(x) = 1/x: Daer gilt f (x) = 1/x 2. = ( x + x)( x + + x) ( x + + x) ( 1 1 x + 1 ) = x 1 x(x + ). = 1 x + + x. f(x) = sin x: Wir verwenden die Summensätze (Satz 4): sin(x + ) sin x = sin x cos 1 + cos x sin. Aus unseren früeren Resultaten (8) und (9) folgt (sin x) = cos x. Analog zeigt man (cos x) = sin x. 17

18 Satz 7 Seien f und g differenzierbar an der Stelle x. Dann gilt (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x), die ( ) Produktregel (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x) und die Quotientenregel f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), g(x) 2 wobei für letztere natürlic g(x) verlangt werden muss. Beweis: a) b) Produktregel: (f(x + ) ± g(x + )) (f(x) ± g(x)) = f(x + ) f(x) ± g(x + ) g(x). f(x + )g(x + ) f(x)g(x) c) Quotientenregel: 1 = = ( f(x + ) g(x + ) f(x) g(x) 1 g(x)g(x + ) f(x + ) f(x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f(x). ) f(x + )g(x) f(x)g(x + ) = g(x)g(x + ) ( f(x + ) f(x) g(x) f(x) g(x + ) g(x) ). Beispiele: Sei f n (x) = x n. Beauptung: f n(x) = nx n 1 für alle n IIN. Beweis: Vollständige Induktion: n = 1: (x+) x = 1 = 1x. Nemen wir nun an, es stimmt, dass f n(x) = nx n 1 für ein bestimmtes n. Dann gilt f n+1 (x) = xf n (x) und daer wegen der Produktregel f n+1(x) = f n (x) + xf n(x) = x n + x nx n 1 = (n + 1)x n. (tan x) = ( ) sin x cos x cos x sin x( sin x) = cos x cos 2 = 1 x cos 2 x. Satz 8 (Kettenregel) Sei g differenzierbar an x und f differenzierbar an g(x), dann gilt f(g(x)) = f (g(x))g (x). Beweis: f(g(x + )) f(g(x)) f(g(x) + k) f(g(x)) g(x + ) g(x) =. k mit g(x + ) g(x) = k. Die Beobactung, dass für auc k, vervollständigt den Beweis. Beispiel: f(x) = x n = (1/x) n. Daer ( ) 1 n 1 f 1 (x) = n x x 2 = nx n 1. Geometrisce Überlegungen legen nae, dass Funktionsgrapen zu Sekanten parallele Tangenten besitzen: 18

19 Satz 9 (Mittelwertsatz der Differentialrecnung, one Beweis) Sei f : [a, b] IR stetig und auf (a, b) stetig differenzierbar, d. differenzierbar für alle x (a, b) und f (x) ist eine in (a, b) stetige Funktion. Dann gibt es ein x (a, b), sodass f (x ) = f(a) f(b) a b. Das Vorzeicen der Ableitung sagt etwas über Monotonie aus: Satz 1 Sei f : (a, b) IR stetig differenzierbar, und es gelte f (x) > (bzw. f (x) < ) für alle x (a, b). Dann ist f streng monoton wacsend (bzw. fallend) und daer injektiv. Ersetzt man > (bzw. <) durc (bzw. ), dann ist f immer noc monoton, aber im allgemeinen nict streng monoton und daer auc nict unbedingt injektiv. Beweis: Sei f > und a < c < d < b. Dann gilt wegen des Mittelwertsatzes f(d) = f(c) + f (x )(d c) > f(c). Andere Fälle analog. Dieses Resultat at eine einface Konsequenz: Satz 11 Sei f : (a, b) IR stetig differenzierbar, und es gelte f (x) = für alle x (a, b). Dann ist f konstant, d.. es existiert f IR, sodass f(x) = f für alle x (a, b). Satz 12 (Ableitung der Umkerfunktion) Sei f : (a, b) IR stetig differenzierbar, und es gelte f (x), x (a, b). Dann ist f 1 differenzierbar, und es gilt f 1 (y) = 1 f (f 1 (y)) für alle y = f(x), x (a, b). Beweis: Differenziert man f(f 1 (y)) = y nac y (Kettenregel), dann erält man das Resultat. Beispiele: f(x) = x n, f 1 (y) = y 1/n, für x, y >, n IIN. f 1 (y) = f(x) = x p/q = (x p ) 1/q, x >, p Z, q IIN. 1 n(y 1/n ) n 1 = 1 n y1/n 1. f (x) = 1 q (xp ) 1/q 1 px p 1 = p q xp/q 1. One Beweis: Es gilt auc (x α ) = αx α 1 für x >, α IR. (arctan x) = cos 2 (arctan x) = cos 2 (arctan x) sin 2 (arctan x) + cos 2 (arctan x) = x 2. 19

20 Nun bescäftigen wir uns mit der Exponentialfunktion f(x) = a x, a >. Es gilt a x+ a x = a 1 a x. Da (one Beweis) der Grenzwert c a = lim (a 1)/ existiert, ist a x an jeder Stelle x IR differenzierbar, und die Ableitung ist gegeben durc (a x ) = c a a x. Für a b gilt (a 1)/ (b 1)/ und daer c a c b. Unter Berücksictigung dieser Tatsace legen Experimente mit dem Tascenrecner nae, dass es eine Zal e (2, 3) gibt, sodass c e = 1. Das ist auc wirklic der Fall, und diese (irrationale) Zal wird Eulersce Zal genannt. Die Exponentialfunktion mit Basis e (oder einfac die Exponentialfunktion) ist ire eigene Ableitung: (e x ) = e x. Sie wird oft auc als exp(x) := e x gescrieben. Für kleine reelle Zalen erwarten wir und tatsäclic gilt e 1 1 e (1 + ) 1/, e = lim (1 + ) 1/. Da (e x ) = e x >, existiert eine Umkerfunktion der Exponentialfunktion, genannt der (natürlice) Logaritmus ln x, x >, d.. exp(ln x) = x (ln stet für logaritmus naturalis). Differenzieren gibt exp(ln x)(ln x) = 1 und daer (ln x) = 1 x, x >. Mit Hilfe des Logaritmus können wir die Ableitung der Exponentialfunktion mit Basis a > bestimmen: Mit λ = ln a folgt a x = e λx und daer mit der Kettenregel (a x ) = (e λx ) = λe λx = (ln a)a x, also c a = ln a. Aus den Recenregeln für die Exponentialfunktion folgt für den Logaritmus (x, y > ) ln(xy) = ln x + ln y, ln(x y ) = y ln x. Noc ein kleiner Ausflug zurück zu den komplexen Zalen und Polarkoordinaten: Für den Ausdruck f(ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ gilt f (ϕ) = sin ϕ + i cos ϕ = if(ϕ), weswegen sic die Screibweise e iϕ := cos ϕ + i sin ϕ anbietet. Damit kann die Exponentialfunktion auc auf komplexe Zalen angewendet werden: e x+iy = e x (cos y + i sin y), und die Polardarstellung einer komplexen Zal erält die Form z = re iϕ (Man merke das einface Multiplizieren: (re iϕ )(ϱe iψ ) = rϱ e i(ϕ+ψ) ). Damit können wir auc eine Lieblingsgleicung vieler MatematikerInnen angeben: e iπ + 1 = 2

21 die die wictigsten Konstanten der Matematik (, 1, e, π und i) entält. Ein weiterer Ausflug zurück zu unbestimmten Ausdrücken: Angenommen, f, g sind differenzierbar an x, f(x ) = g(x ) = und g (x ). Dann gilt Allgemeiner gilt: f(x) lim x x g(x) = lim (f(x) f(x )/(x x ) x x (g(x) g(x )/(x x ) = f (x ) g (x ). Satz 13 (Regel von de l Hopital, one Beweis) Seien f und g differenzierbar an x, f(x ) = g(x ) = und es existiere der Grenzwert lim x x f (x)/g (x). Dann gilt Beispiele: f(x) lim x x g(x) = lim f (x) x x g (x). 1. x 4 4 lim x 2 x 2 2 = lim 4x 3 x 2 2x = lim x 2x 2 = sin x lim x x = lim cos x = 1, x 3. In mancen Fällen muss man die Regel mermals anwenden: lim cos x 1 = lim( sin x) =. x x x x 3 2x 2 + x lim x 1 x 2 2x + 1 = lim 3x 2 4x + 1 6x 4 = lim = 1. x 1 2x 2 x 1 2 Ist eine Funktion f auf einem Intervall (a, b) differenzierbar, dann ist f ebenfalls eine auf (a, b) definierte Funktion, und man kann die Frage nac deren Differenzierbarkeit stellen. Definition 3 Sei f : (a, b) IR. Dann sind öere Ableitungen von f rekursiv definiert durc f () (x) := f(x), f (n+1) (x) := (f (n) (x)), n, solange die recte Seite existiert. Existiert die n-te Ableitung f (n) (x) für alle x (a, b), dann sagt man, f ist in (a, b) n-mal differenzierbar. Ist f (n) stetig in (a, b), dann sagt man, f ist in (a, b) n-mal stetig differenzierbar. Es werden auc die Screibweisen f (n) = dn f dx, f (2) = f, f (3) = f n verwendet. So wie die erste Ableitung etwas über geometrisce Eigenscaften des Funktionsgrapen aussagt (Anstieg der Tangente), ist das auc für öere Ableitungen der Fall. Ist zum Beispiel die zweite Ableitung in einem Intervall größer Null, dann wird der Tangentenanstieg von links nac rects größer. Definition 4 Sei f in (a, b) zweimal stetig differenzierbar und f (bzw. f >, f, f < ) in (a, b), dann nennt man f konvex (bzw. streng konvex, konkav, streng konkav) in (a, b). 21

22 Diese Bezeicnungen sollten verständlic sein, wenn man den Grapen von unten, d.. in die positive y-rictung, anscaut. Will man den Grapen skizzieren, dann ist es ilfreic, Punkte zu kennen, an denen das Vorzeicen von f, die Monotonie, oder die Konvexität wecselt. Kandidaten dafür sind Stellen, an denen f, f, bzw. f Null wird. Das muss aber nict der Fall sein, wie die folgenden Beispiele zeigen: Für f(x) = x 2 gilt f() =. Trotzdem ändert f an der Stelle Null nict das Vorzeicen. Für f(x) = x 3 gilt f () =. Trotzdem ändert f an der Stelle Null nict die Monotonie. Für f(x) = x 4 gilt f () =. Trotzdem ändert f an der Stelle Null nict die Konvexität. Man beacte, dass in allen 3 Fällen die näcste Ableitung nac der untersucten an der Stelle x = auc Null ist. Satz 14 (one Beweis) Sei f stetig differenzierbar in (a, b), f() = und f () > (bzw. f () < ). Dann ist f nae bei x = für x < negativ (bzw. positiv) und für x > positiv (bzw. negativ). Definition 5 Sei f : (a, b) IR stetig. a) Eine Stelle x (a, b) mit f(x ) = nennt man eine Nullstelle von f. b) Eine Stelle x (a, b), für die es ein offenes Intervall I (a, b) gibt mit x I, sodass f(x) f(x ) für alle x I, nennt man ein relatives Maximum von f. c) Eine Stelle x (a, b), für die es ein offenes Intervall I (a, b) gibt mit x I, sodass f(x) f(x ) für alle x I, nennt man ein relatives Minimum von f. d) Eine Stelle x (a, b), die entweder ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum ist, nennt man ein relatives Extremum. e) Eine Stelle x (a, b), an der das Veralten von f von streng konvex auf streng konkav (oder umgekert) wecselt, nennt man einen Wendepunkt von f. Das folgende Resultat ist eine Konsequenz aus Satz 14. Satz 15 Sei f in (a, b) dreimal stetig differenzierbar. Dann gilt a) An einer Nullstelle von f, an der die erste Ableitung nict Null ist, ändert f das Vorzeicen. b) Eine Stelle x (a, b), für die f (x ) = und f (x ) < (bzw. f (x ) > ) gilt, ist ein relatives Maximum (bzw. Minimum) von f. c) Eine Stelle x (a, b), für die f (x ) = und f (x ) gilt, ist ein Wendepunkt von f. Die Aufgabe, mit Hilfe der oben definierten speziellen Punkte den Grapen einer Funktion zu skizzieren, nennt man Kurvendiskussion. Beispiel: f(x) = x 3 3x 2 + 2x = x(x 1)(x 2). Wir berecnen zunäcst f (x) = 3x 2 6x + 2 = 3(x 1 1/ 3)(x 1 + 1/ 3), f (x) = 6x 6 = 6(x 1). Offensictlic gibt es 3 Nullstellen, x =, 1, 2, von denen x = 1 gleiczeitig der einzige Wendepunkt ist, an dem das Veralten von konkav (x < 1) auf konvex (x > 1) wecselt. Der Anstieg der Wendetangente (d.. der Tangente am Wendepunkt) ist f (1) = 1. Es gibt 2 relative Extrema 22

23 an x = 1 1/ 3 und an x = 1 + 1/ 3, von denen wegen des Konvexitätsveraltens das erste ein Maximum und das zweite ein Minimum ist. Zusätzlice Information: lim x f(x) =, lim x f(x) =. Jetzt kann der Grap leict skizziert werden. Übungsaufgaben 6.1. Man überprüfe, ob die folgenden Funktionen stetig an x = 2 sind. Sind sie differenzierbar? a) f(x) = { x 2 für x 2, 2x für x < 2. b) f(x) = { x 2 für x 2, 4(x 1) für x < Sei y(t) = a sin(ωt) die vertikale Auslenkung eines an einem Federpendel ängenden Massenpunktes. Man bestimme die Gescwindigkeit des Massenpunktes zu jeder Zeit t. Zu welcer Zeit stet der Massenpunkt still? 6.3. Man vereinface folgende Ausdrücke: ( ) a) 2 ln x ln 4 ln x 2 + ln e 2 ex 5, b) ln e 2 ln 5, ( ( ) 3 1 c) ln + ln. 5) Man berecne die Ableitung von a) x2 + 9 x + 3, cos(x) b) x 2, c) x2 + 3x 4 e x Man berecne die Ableitung von 6.6. Man berecne die Ableitung von 6.7. Man berecne die Grenzwerte 6.8. Man berecne die Grenzwerte a) a x2 +4x, b) e 4x2 x, c) e x2 3x+1. a) tan(x 2 + 2x), b) sin 2 (3x), c) sin(2) cos(2x). ln(x) exp( x) a) lim, b) lim x x x ln(1 + 1 x ). exp(x) a) lim x x 2 + 3x, sin(x) b) lim x exp(x) 1. 23

24 6.9. Sei f(x) = x 2. Man finde alle ξ, für die gilt, und fertige eine Skizze an. f(3) f( 1) 4 = f (ξ) 6.1. Man bestimme die lineare Approximation der Funktion f(x) = exp(x) in der Näe von x = Sei f(x) = x 2 sin(x). Man berecne die vierte Ableitung f (4) (x) Mit Hilfe von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten skizziere man den Grapen von f(x) = x 1 x Integration Motivation Umfang und Fläceninalt des Kreises Als Einstimmung berecnen wir den Umfang und den Fläceninalt des Kreises. Genau genommen werden wir aber erst definieren, was diese beiden Dinge überaupt sind. Die Idee bestet darin, die Begriffe Länge bzw. Fläceninalt von der Strecke bzw. vom Recteck auf gekrümmte Objekte zu übertragen. Wir beginnen damit, einem Kreis mit Radius r ein gleicseitiges N-Eck einzuscreiben, indem wir, ausgeend von einem beliebigen Radius, N Radien einzeicnen, die paarweise jeweils den Winkel 2π/N miteinander einscließen. Wenn man N groß wält, kann man das N-Eck als eine Approximation für den Kreis seen und daer auc seinen Umfang U N und seinen Fläceninalt F N als Approximation für das, was wir uns unter Umfang und Fläceninalt des Kreises vorstellen. Das motiviert die Definitionen: Wenn der Grenzwert lim N U N existiert, dann nennen wir in den Umfang des Kreises. Wenn der Grenzwert lim N F N existiert, dann nennen wir in den Fläceninalt des Kreises. Aus der Definition der Winkelfunktionen folgt, dass eine Seite des N-Ecks die Länge 2r sin(π/n) besitzt. Daraus folgt U N = 2rN sin(π/n) = 2rπ sin(π/n) π/n 2rπ für π/n. Damit aben wir gezeigt, dass der Kreis gemäß unserer Definition einen Umfang besitzt und dass dieser gleic 2rπ ist. Wieder mit Hilfe der Definition der Winkelfunktionen und mit dem Summensatz für den Sinus kann man zeigen, dass der Fläceninalt eines der N Dreiecke, die das N-Eck bilden, gleic r sin(π/n)r cos(π/n) = r2 2 sin(2π/n) ist. Daer F N = r2 N 2 sin(2π/n) = r2 π sin(2π/n) 2π/N r2 π für 2π/N. Der Kreis besitzt also auc einen Fläceninalt, und der ist gleic r 2 π. 24

25 Figure 5: Riemannsumme: Fläcen unteralb der x-acse werden negativ gerecnet. Das Riemann-Integral grundlegende Eigenscaften Stellen wir uns nun die verwandte Aufgabe zu definieren, was der Fläceninalt einer Fläce ist, die vom Grapen einer Funktion f(x), der x-acse und von den vertikalen Geraden x = a und x = b eingesclossen wird. Eine möglice Vorgangsweise bestet darin, das Intervall [a, b] in N gleic lange Teilintervalle der Länge x = b a N zu teilen, indem man die Teilungspunkte x = a, x 1 = a + x, x 2 = a + 2 x,..., x N = a + N x = b einfürt und den gesucten Fläceninalt durc die Summe der Fläceninalte von N Rectecken approximiert, wobei das i-te Recteck eine Seite x besitzt und die andere gleic f(t i ) mit x i 1 t i x i ist. Das ergibt für den Fläceninalt die Approximation (Fig. 5) N F N = f(t i ) x. i=1 Definition 6 Wenn in der oben bescriebenen Situation der Grenzwert lim N F N existiert und unabängig von der Auswal der Punkte t i ist, dann eißt er das (Riemann- )Integral der Funktion f über das Intervall [a, b] und wird bezeicnet mit b a f(x)dx. Man sagt dann: f ist (Riemann-)integrierbar über [a, b]. Bemerkung 2 1) Die Approximation F N wird eine Riemannsumme genannt. Die Einfürung des Integrals als Grenzwert von Riemannsummen ist nur eine von mereren Möglickeiten; deswegen die genauere Bezeicnung Riemann-Integral. Das Integralzeicen ist ein stilisiertes S, das an die Definition mit Hilfe einer Summe erinnern soll. Das Symbol dx erinnert dabei an die x-differenz 25

26 Figure 6: Mittelwertsatz der Integralrecnung x = x i x i 1. 2) Die Funktion f kann auc negative Werte annemen. Das Integral ist dann so zu versteen, dass Fläcen zwiscen dem Grapen und der x-acse, die unter der x-acse liegen, als negativer Beitrag gerecnet werden. Das Integral at Eigenscaften, die man erwarten kann: Kann man den Grapen zwiscen zwei orizontalen Linien einscließen, dann liegt der Wert des Integrals zwiscen den Fläceninalten der entsprecenden Rectecke; durc eine vertikale Gerade kann die Fläce in zwei Teile geteilt werden. Satz 16 Sei f integrierbar über [a, b]. 1) Aus m f(x) M für alle x [a, b] folgt m(b a) b a f(x)dx M(b a). 2) Für c (a, b) gilt b a f(x)dx = c a b f(x)dx + f(x)dx. c Das Integral ist gleic dem Fläceninalt eines geeignet gewälten Rectecks. Das entsprecende Resultat eißt Mittelwertsatz der Integralrecnung (siee Fig. 6): Satz 17 Sei f stetig auf [a, b]. Dann ist f integrierbar über [a, b], und es existiert ein ξ [a, b], sodass b f(x)dx = f(ξ)(b a). a 26

27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung Erinnern wir uns an die Fart von Wien nac Salzburg, wo wir die nac der Zeit t zurückgelegte Strecke mit s(t) bezeicnet aben. Bezeicnen wir den Zeitpunkt der Ankunft mit T und unterteilen wir das Zeitintervall [, T ] in N gleice Teile, d.. t i = i t, i =,..., N, mit t = T/N, dann gilt N s(t ) s() = (s(t i ) s(t i 1 )), i=1 womit wir die Gesamtstrecke in Teilstücke zerlegt aben. Mit der Momentangescwindigkeit v(t) = s (t) folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrecnung N s(t ) s() = v ( t ) i t, i=1 mit geeignet gewälten t i [t i 1, t i ]. Der Ausdruck auf der recten Seite ist eine Riemannsumme. Mit N folgt daer s(t ) s() = T v(t)dt. Wir können also aus der Momentangescwindigkeit die zurückgelegte Strecke berecnen. Wir aben gerade (im wesentlicen) den Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung bewiesen: Satz 18 Sei F stetig differenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Dann gilt Beispiele: F (x) b b := F (b) F (a) = F (x)dx. a 1. π sin x dx = cos x π = 2, 2. 2π sin x dx = cos x 3. 1 x dx = ( x)dx + a 2π x dx = x2 2 =. 2 + x2 2 1 = 5 2. Ersetzen wir den festen Wert b durc ein variables x [a, b], dann siet man, dass die Funktion F aus einem Anfangswert F (a) und aus irer Ableitung berecnet werden kann: F (x) = F (a) + x a F (y)dy. Man kann daer die Integration als Umkeroperation zur Differentiation seen. Die Reienfolge kann dabei auc umgedret werden: Sei f stetig in [a, b]. Definiert man F (x) := x a 27 f(y)dy,

28 dann gilt für > F (x + ) F (x) = 1 x+ x f(y)dy = f(ξ ), wobei die erste Gleicung aus Satz 16, 2) folgt und die zweite (mit x ξ x + ) aus dem Mittelwertsatz der Integralrecnung. Für gilt ξ x und daer wegen der Stetigkeit von f auc f(ξ ) f(x), woraus F (x) = f(x) folgt, d.. d x f(y)dy = f(x). dx a Stammfunktionen Integrationsmetoden Definition 7 Seien f, F : (a, b) IR und F (x) = f(x) für alle x (a, b). Dann eißt F eine Stammfunktion von f. Die obigen Resultate zeigen, dass man mit Hilfe von Stammfunktionen Integrale berecnen kann. Es stellt sic die Frage, wie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion aussiet. Satz 19 Seien F und G Stammfunktionen von f. Dann existiert eine Konstante c IR, sodass F (x) = G(x) + c in (a, b). Mit anderen Worten: Kennt man eine Stammfunktion, dann erält man alle anderen Stammfunktionen durc Addition von Konstanten. Beweis: Für die Funktion H(x) := F (x) G(x) gilt H (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = und daer ist H wegen Satz 11 konstant. Man screibt mancmal f(x)dx als Abkürzung für die Gesamteit aller Stammfunktionen von f, und nennt diesen Ausdruck das unbestimmte Integral (also z.b. 2x dx = x 2 + c) im Gegensatz zum bestimmten Integral b a f(x)dx. Aufgrund der im vorigen Kapitel berecneten Ableitungen lassen sic für mance Funktionen leict Stammfunktionen bestimmen. Beispiele: f(x) x α F (x) xα+1 α+1 für x >, α 1 1/x ln(x) für x > sin x cos x cos x sin x a x a x / ln a für a >, a 1 (1 + x 2 ) 1 arctan x Das Finden von Stammfunktionen, soweit diese überaupt mit Hilfe von Standardfunktionen angescrieben werden können, ist eine zwar trickreice, aber trotzdem automatisierbare Aufgabe (siee z.b. ttp://integrals.wolfram.com/index.jsp). Drei der dabei verwendeten Tricks sollen ier vorgestellt werden. Der erste eißt partielle Integration und berut darauf, die Produktregel für Ableitungen zu verwenden: Aus (fg) = f g + fg folgt f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx, 28

29 bzw. für bestimmte Integrale b f (x)g(x)dx = f(x)g(x) b b a a a f(x)g (x)dx. Das ist dann braucbar, wenn das Integral auf der recten Seite leicter zu berecnen ist, als das auf der linken. Beispiele: 1. xe x dx = f (x) = e x, g(x) = x = xe x e x dx = e x (x 1) + c. 2. ln(x)dx = f x (x) = 1, g(x) = ln x = x ln x dx = x(ln x 1) + c. x 3. e x sin x dx = e x sin x = e x cos x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx = ex (sin x cos x) + c. 2 e x sin x dx Der zweite Trick eißt Substitution und berut auf der Kettenregel, aus der offensictlic f (g(x))g (x)dx = f(g(x)) + c folgt. Beispiele: 1. sin(2x)dx = 1 2 sin(2x)(2x) dx = 1 2 cos(2x) + c, mit f(y) = cos y, g(x) = 2x. 2. x cos(x 2 )dx = 1 2 cos(x 2 )(x 2 ) dx = 1 2 sin(x2 ) + c, mit f(y) = sin y, g(x) = x sin x cos x dx = sin x(sin x) dx = sin2 x 2 mit f(y) = y 2 /2, g(x) = sin x. Hier funktioniert allerdings auc g(x) = cos x mit dem Resultat sin x cos x dx = cos x(cos x) dx = cos2 x + c. 2 Bestet zwiscen den beiden Resultaten ein Widerspruc? Satz 2 (Substitution für bestimmte Integrale) Sei f integrierbar über [a, b] und g : [c, d] [a, b] stetig differenzierbar und invertierbar (d.. streng monoton). Dann gilt b y = g(x) g 1(b) f(y)dy = dy = g (x)dx = f(g(x))g (x)dx. a g 1 (a) + c, 29

30 Dabei gilt g 1 (a) = c und g 1 (b) = d, wenn g streng monoton wacsend ist, und g 1 (a) = d und g 1 (b) = c, wenn g streng monoton fallend ist. Im zweiten Fall gilt die Konvention Beispiele: c d d f(g(x))g (x)dx = f(g(x))g (x)dx. c Kontrolle: 3 π/2 sin x cos x dx = (3 x) 2 dx = 3 (3 x) 2 dx = y = 3 x dy = dx 3 y = sin x dy = cos x dx 1 = 3 = y 2 dy = 3 (9 6x + x 2 )dx = ( y dy = y2 2 y 2 dy = y3 3 9x 3x 2 + x3 3 1 = = 9. ) 3 = Stammfunktion von 1/x für x < : dx x = x = y dx = dy dy = y = ln(y) + c = ln( x) + c. Die Resultate für positive und negative x zusammengefasst: dx x = ln x + c, x. 4. Für x : dx e x 1 = y = e x 1 dy = e x dx = (y + 1)dx = dy y(y + 1). Um ier weiterzukommen, braucen wir den dritten Trick, genannt Partialbruczerlegung, der im Prinzip bei beliebigen rationalen Funktionen, d.. Brücen mit Polynomen in Zäler und Nenner, funktioniert. Im allgemeinen kann seine Anwendung ser aufwendig sein, und wir zeigen in nur an diesem Beispiel. Der Integrand kann in einfacere Ausdrücke zerlegt werden: 1 y(y + 1) = 1 + y y y(y + 1) = 1 + y y(y + 1) y y(y + 1) = 1 y 1 y + 1. Daer gilt ( dy 1 y(y + 1) = y 1 ) dy = ln y ln y c = ln y y + 1 y c, und daer dx e x 1 = ln e x 1 e x + c = ln 1 e x + c, x. 3