Funktionentheorie A. K. Hulek

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1 Funktionenteorie A K. Hulek 1 Holomorpe Funktionen Die wictigsten Objekte dieser Vorlesung sind die olomorpen Funktionen. Es sei U C offen, f : U C eine Abbildung und z 0 U ein Punkt. Definition (i Die Funktion f eißt im Punkt z 0 komplex differenzierbar, falls der Grenzwert f (z 0 := lim 0 f(z 0 + f(z 0 existiert. Dann eißt f (z 0 die (komplexe Ableitung von f im Punkt z 0. (ii Die Funktion f eißt olomorp, falls f in jedem Punkt von U komplex differenzierbar ist, und falls die Abbildung stetig ist. f : U C, z 0 f (z 0 Bemerkung Holomorpe Funktionen sind also das Analogon zu C 1 -Funktionen im Reellen. Später werden wir seen, daß die Stetigkeit der Ableitung aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt. Hier liegt ein großer Unterscied zwiscen dem Reellen und dem Komplexen vor. Satz 1.1 Es seien f und g olomorpe Funktionen. (i Dann sind auc f + g und fg olomorp. Es gilt (f + g = f + g (fg = f g + g f. (ii Ist g(z 0 für alle z U, so ist auc f/g olomorp, und es gilt ( f = f g fg g g. Beweis. Wörtlic wie im reellen Fall. Beispiel (i f(z = z, f (z = 1 1

2 (ii Polynome P (z = n k=0 a kz k, a k C sind stets olomorpe Funktionen mit Ableitung P (z = n k=1 ka kz k 1. Satz 1. Es seien f : U V und g : V C olomorpe Funktionen. Dann ist auc die zusammengesetzte Funktion g f : U C eine olomorpe Funktion und es gilt die Kettenregel (g f (z = g (f(zf (z. Beweis. Wörtlic wie im reellen Fall. Die wictigsten nict-trivialen Beispiele für olomorpe Funktionen sind konvergente Potenzreien. Wir betracten zunäcst Potenzreien um den Ursprung: f(z = a n z n. Es sei ρ der Konvergenzradius dieser Potenzreie und Dann ist (vgl. die Analysisvorlesung U := {z C; z < ρ}. f : U C stetig. Außerdem besitzt die Potenzreie na n z n 1 ( formale Ableitung ebenfalls den Konvergenzradius ρ und ist auf U stetig. Satz 1.3 Die Funktion f : U C ist olomorp mit Ableitung f (z = na n z n 1. Beweis. Wir aben zu zeigen: Ist z U und ε > 0, so gibt es δ > 0 mit f(z + f(z f (z < ε für < δ. Das eißt, daß wir den folgenden Ausdruck abscätzen müssen: ( 1 a n (z + n a n z n na n z n 1.

3 Wir betracten dazu (z+n z n nz n 1 1 = ( n k= ( n k= ( n k k z n k ( n k k z n k n(n 1 ( + z n. Die letzte Ungleicung gilt, da sic die Binomialkoeffizienten bei k z n k wie folgt vergleicen: ( ( ( ( n n n n LS :, RS : n(n 1 = k(k 1. k k k k Also gilt: f(z + f(z f (z n(n 1a n ( + z n. n= Dies fürt uns dazu, die zweite formale Ableitung von f, nämlic f (z = n(n 1a n z n. n= zu betracten. Der Konvergenzradius ist wieder ρ. Wie wälen nun ein r > 0 mit z < r < ρ. Dann gibt es wegen der absoluten Konvergenz der zweiten formalen Ableitung ein N, so daß ( n(n 1 a n r n r < ε. n=n+1 Andererseits ist N a nz n ein komplexes Polynom, also olomorp. mit Ableitung N na nz n 1. Nun wäle man δ > 0 so klein, daß (i + z < r für < δ (ii N a n (z+n z n N na nz n 1 < ε für < δ. Dann gilt für < δ: f(z + f(z + n=n+1 f (z N a n (z + n z n 3 a n (z + n z n n=n+1 N na n z n 1 na n z n 1

4 ε + n=n+1 a n n(n 1( + z n < ε. Hierbei folgt das erste Ungleiceitszeicen aus der Dreiecksungleicung, das zweite aus (ii und (* und die letzte Ungleicung scließlic aus (i (womit auc < r folgt und (**. Korollar 1.4 Die Potenzreie f(z = a n(z z 0 n abe Konvergenzradius ρ. Dann ist f auf U = {z C; z z 0 < ρ} olomorp mit Ableitung na n (z z 0 n 1. Beweis. Dies folgt sofort durc Anwendung der Translation z z +z 0. Beispiel (1 Die Exponentialfunktion e z = z n n! ; (ez = e z (z C. ( Sinus und Cosinus, deren Reienentwicklung aus der Analysis bekannt sind: sin z = ( 1 n zn+1 (n + 1! ; sin z = cos z cos z = ( 1 n zn (n! ; cos z = sin z. Definition Eine Funktion f, die auf ganz C definiert und dort olomorp ist, eißt auc ganze Funktion. Geometrisce Deutung Wir betracten den Isomorpismus C (x, y x + iy. R = Ferner betracten wir für festes z 0 C die C-lineare Abbildung C C z z 0 z. Wir wollen die lineare Abbildung, die durc Multiplikation mit z 0 gegeben wird, genauer versteen. Es sei z 0 = a + ib mit a, b R. Unter dem Isomorpismus C = R liefert die Multiplikation mit z 0 eine R-lineare Abbildung 4

5 ϕ : R R, d.. man at ein Diagramm Es gilt für z = x + iy, daß R C ϕ R z 0 C. z = (x + iy z 0 z = (a + ib(x + iy = (ax by + i(bx + ay. Das eißt also, daß bezüglic der kanoniscen Basis von R die lineare Abbildung ϕ durc die Matrix ( a b b a bescrieben wird. Man kann diese Matrix auc wie folgt screiben: ( a b = ( a a b a + b b a +b a +b. b a +b a a +b Hierbei ist z 0 = a + b und die verbleibende Matrix at Determinante 1. Man prüft sofort nac, daß dies ein Element der speziellen ortogonalen Gruppe SO( ist. Anders ausgedrückt: ( ( a b cos ϕ sin ϕ = r, b a sin ϕ cos ϕ wobei r = a + b und 0 ϕ < π. Der Zusammenang mit der Zal z 0 ist, daß z 0 = re iϕ. Das eißt also, daß die Multiplikation mit z 0 einer Dresteckung entsprict. Wir betracten nun eine offene Menge U R = C und ierauf eine Funktion f : U R = C, die wir als komplexe Funktion oder aber als reelle Abbildung auffassen können. Wir können diese in der Form f = u + iv; u, v : U R screiben. Dann nennt man u den Realteil, und v eißt der Imaginärteil der Funktion f. Als Abbildung nac R aben wir f = (u, v. Bekanntlic eißt die Funktion f (total differenzierbar im Punkt z 0 U, wenn es eine lineare Abbildung A : R R gibt, mit f(z 0 + ξ = f(z 0 + Aξ + ϕ(ξ ϕ(ξ mit lim ξ 0 ξ = 0. D.., daß die Funktion f im Punkt z 0 linear approxomierbar ist. Die lineare Abbildung A wird durc eine Matrix Df(z 0 dargestellt, 5

6 die das Differential von f im Punkt z 0 eißt. Ist f = (u, v stetig partiell differenzierbar, so gilt ( u/ x u/ y Df = v/ x v/ y. Satz.1 Die Funktion f ist genau dann in z 0 komplex differenzierbar wenn f in z 0 (total reell differenzierbar ist und Df(z 0 eine Drestreckung ist, d.. durc Multiplikation mit einer komplexen Zal gegeben wird. Dies ist dann die (komplexe Ableitung f (z 0. Beweis. Es sei also f (z 0 = lim 0 f(z 0 + f(z 0 f(z 0 + = f(z 0 + f (z 0 + ϕ( wobei ϕ( durc diese Gleicung definiert wird. Es gilt ( ϕ( lim 0 = lim f(z0 + f(z 0 f (z 0 0 = ( ( f(z0 +n f(z 0 f (z 0 = 0. lim 0 (Hierbei verwenden wir, daß / bescränkt ist. Dies zeigt, daß f reell total differenzierbar ist, und daß die approximierende lineare Abbildung gerade duc Multiplikation mit der komplexen Zal f (z 0 gegeben wird. Es sei umgekert Df(z 0 durc Multiplikation mit der komplexen Zal w C gegeben. Dann gilt f(z 0 + = f(z 0 + w + ϕ( also f(z 0 + f(z 0 ϕ( lim = w + lim 0 0 = w + lim 0 ϕ( = w also ist f komplex differenzierbar. Korollar. Die Funktion f ist genau dann olomorp wenn f stetig reell differenzierbar ist und wenn zusätzlic gilt u x = v y, v x = u y. Definition Diese Gleicungen eißen die Caucy-Riemannscen Differentialgleicungen. 6

7 Beweis. Das totale Differential der Abbildung f wird durc die folgende Matrix gegeben: ( u/ x u/ y v/ x v/ y Nun ist f genau dann olomorp, wenn dies in jedem Punkt von der Form ( u/ x u/ y ( a b v/ x v/ y = b a ist, also wenn gilt. u x = v y, u y = v x Definition Eine reelle Funktktion g : R R eißt armonisc, wenn g := ( x + (g = 0. y Der Operator eißt der Laplace - Operator. Korollar.3 Ist f : U C olomorp und zweimal stetig differenzierbar, so sind Real- und Imaginärteil von f armonisce Funktionen. Bemerkung Wir werden später seen, daß die Voraussetzung zweimal stetig differenzierbar überflüssig ist. Beweis. Zunäcst folgt aus den Caucy-Riemannscen Differentialgleicungen, daß u x = v y x und v x y = u y. Da f zweimal stetig differenzierbar ist, gilt v x y = v y x. also u x = u y d.. u ist armonisc. Die Aussage für v beweist man analog. 7

8 Definition Eine Funktion f : U C eißt eine konforme Abbildung, falls f olomorp und f (z 0 0 ist für alle z 0 U. Die Interpretation dieses Begriffes ist die folgende: die Funktion f : U R = C ist stetig differenzierbar, und in jedem Punkt ist Df(z 0 eine Drestreckung, d.. orientierungs- und winkeleraltend. Wirtinger Kalkül Definition Eine Funktion f : C C eißt C-antilinear, falls für alle z 1, z, λ, µ C gilt f(λz 1 + µz = λf(z 1 + µf(z. Bemerkung Jede C-antilineare Funktion f : C C ist von der Form f(z = a z für ein festes a C. (Dies folgt, da f(z = f(z 1 = zf(1 gilt. Satz.4 Jede R-lineare Abbildung ( a b A = : R R c d läßt sic auf genau eine Weise als Summe einer C-linearen und einer C- antilinearen Abbildung screiben, d.. zu A gibt es eindeutig bestimmte komplexe Zalen A 1, A C, so daß für alle z R = C gilt Az = A 1 z + A z. Beweis. Zunäcst stellen wir fest, daß die Abbildung z A 1 z+a z R-linear ist, da für λ R gilt A 1 λz + A λz = A 1 λz + A λ z = λ(a 1 z + A z. Eine R-lineare Abbildung R R wird durc die Werte auf einer Basis festgelegt, etwa auf 1 = (1, 0 und i = (0, 1. Es gilt Dies ergibt die Bezieungen A1 = (a, c = a + ic Ai = (b, d = b + id. A 1 + A = a + ic i(a 1 A = b + id, also nac Auflˆsung des linearen Gleicungssystems A 1 = a + d + i c b, A = a d + i b + c. 8

9 Bemerkung A = 0. Die Abbildung A ist offenbar genau dann C-linear, wenn gilt Wir können nun die reelle Differenzierbarkeit anders bescreiben. Satz.5 Eine Funktion f : U C ist in z 0 U genau dann reell differenzierbar, wenn es A 1, A C und eine in z 0 stetige Funktion r : U C gibt, so daß r(z 0 = 0 und für alle z U gilt Definition f(z = f(z 0 + A 1 (z z 0 + A ( z z 0 + r(z z z 0. Man setzt z (z 0 := A 1, z (z 0 := A, und nennt dies die Wirtingerableitungen von f im Punkt z 0. Mit Hilfe der Jacobi-Matrix ( ( a b ux u = y c d ergibt sic dann aus dem Beweis von Satz.4, daß z z = u x + v y = u x v y v x + i v x u y + i v x + u y v y = 1 (f x if y = 1 (f x + if y. Bemerkung Die Caucy-Riemannscen Differentialgleicungen sind demnac äquivalent zu z = 0. Wir können dies so zusammenfassen: Satz.6 Für eine Funktion f : U C sind äquivalent: (i f ist in z 0 komplex differenzierbar, (ii f ist in z 0 reell stetig partiell differenzierbar, und es gilt z (z 0 = 0. Bemerkung Ist f in z 0 komplex differenzierbar, so gilt f (z 0 = z (z 0 = 1 ( x (z 0 i y (z 0. 9