1 Holomorphe Funktionen

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1 $Id: olo.tex,v /04/09 17:01:23 k Exp k $ 1 Holomorpe Funktionen In den ersten Kapiteln dieser Vorlesung werden wir uns mit der sogenannten Funktionenteorie bescäftigen, dies ist die Teorie der überall komplex differenzierbaren Funktionen. Der Name Funktionenteorie stammt aus einer Zeit in der die überlang komplex differenzierbaren Funktionen tatsäclic die Funktionen waren, also bevor der abstrakte Funktionsbegriff aus I. 3 eingefürt wurde. Anstelle des etwas langen überall komplex differenzierbare Funktion sprict man etwas kürzer auc von olomorpen Funktionen. Man kann diese in einer oder in mereren Variablen betracten, in diesem Semester werden wir uns dabei auptsäclic auf den Fall einer Variablen konzentrieren. Bevor wir sinnvoll etwas Teorie betreiben können, wollen wir erst einmal die Grundobjekte der Funktionenteorie besprecen, also den Begriff der komplexen Differenzierbarkeit einfüren und die komplexen Grundfunktionen untersucen. Dies wird in diesem Kapitel gesceen, einiges davon sind dabei Wiederolungen aus dem ersten Semester. 1.1 Komplexe Differenzierbarkeit Den Begriff der Ableitung einer komplexen Funktion kann man genau wie im reellen Fall durc den Grenzwert der Differenzenquotienten der Funktion definieren. Für die Differenzierbarkeit in einem Punkt gelten dann genau dieselben Eigenscaften wie in der reellen Situation, sogar mit identiscen Beweisen. Tatsäclic atten wir die Differenzierbarkeit im ersten Semester in I bereits allgemein sowol im reellen als auc im komplexen Fall eingefürt. Für die Zwecke dieses Semesters können wir uns auf Funktionen bescränken die auf offenen Mengen definiert sind, damals atten wir auc etwas allgemeinere Definitionsbereice zugelassen. Definition 1.1 (Komplexe Differenzierbarkeit in einem Punkt) Seien U C eine offene Menge und f : U C eine Funktion. Die Funktion f eißt in einem Punkt z U differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten f (z) : lim w z f(w) f(z) w z lim 0 f(z + ) f(z) existiert, und in diesem Fall wird f (z) als die Ableitung von f im Punkt z bezeicnet. Wir scauen uns erst einmal einige kleine Beispiele an. 1. Sei f : C C eine lineare Funktion, also von der Form f(z) az+b für alle z C mit Konstanten a, b C. Ist z C, so berecnet sic der Differenzenquotient 1-1

2 von f in z für jedes C\{0} als f(z + ) f(z) a(z + ) + b az b a, und damit ist f in z differenzierbar mit der Ableitung f (z) a. 2. Nun betracten wir das Quadrieren, also die Funktion f : C C; z z 2. Ist z C, so ergibt sic der Differenzenquotient von f in z für jedes C\{0} als f(z + ) f(z) und somit ist f in z differenzierbar mit (z + )2 z 2 2z + f (z) lim 0 (2z + ) 2z. 3. In der ersten beiden Beispielen ist eigentlic nicts neues passiert, es at sic beidesmal die bekannte reelle Ableitung ergeben. Um auc einmal etwas anderes zu seen, beandeln wir jetzt die komplexe Konjugation, also f : C C; z z. Sei z C und wir fragen uns ob f in z differenzierbar ist. Für jedes C\{0} gilt f(z + ) f(z) z + z, und diesmal existiert kein Grenzwert für 0. Dies ist leict zu seen, lassen wir R\{0} auf der reellen Acse gegen Null laufen so ist / 1, also müsste der Grenzwert 1 sein. Lassen wir andererseits auf der imaginären Acse gegen Null gegen Null geen, so ist / 1 für alle (R\{0}) i, der Grenzwert müsste also 1 sein. Die Differenzenquotienten divergieren damit, und somit ist die komplexe Konjugation in keinen einzigen Punkt komplex differenzierbar, obwol es sic bei ir um eine rect einface Funktion andelt. 4. Als letztes Beispiel wollen wir das Bilden des Realteils untersucen, also die Funktion f : C R C; z Re z. Ist z C, so aben wir für alle C\{0} f(z + ) f(z) Re(z + ) Re(z) Re, und auc dieser Ausdruck divergiert für 0. Dies können wir wieder durc Untersceiden der reellen und der imaginären Acse einseen, für R\{0} ist Re()/ 1 und für (R\{0}) i ist dagegen Re()/ 0. Also ist auc der Realteil in keinem Punkt komplex differenzierbar. 1-2

3 Die elementaren Eigenscaften des Ableitungsbegriffs sind exakt genau so wie im reellen Fall, und wurden auc alle scon im ersten Semester beandelt. Zur Wiederolung wollen wir sie aber noc einmal kurz durcgeen. 1. Wir aben die Umformulierung der Differenzierbarkeit nac Carateodory d.. eine Funktion f : U C ist genau dann in z U differenzierbar wenn es eine in z stetige Funktion φ : U C mit f(w) f(z) + (w z)φ(w) für alle w U gibt, und in diesem Fall ist φ(z) f (z). In der Tat, es ist ja einfac f(w) f(z) φ(w) w z für w U\{z}. Insbesondere folgt das eine in z U differenzierbare Funktion in z auc stetig ist. Etwas ausfürlicer wurde dies in I. 14.Lemma 2 beandelt. 2. Es gilt die Summenregel, sind also f, g : U C in z U differenzierbar, so ist auc f + g in z differenzierbar mit (f + g) (z) f (z) + g (z). Wäle nämlic in z stetige Funktionen φ, ψ : U C mit f(w) f(z) + (w z)φ(w) und g(w) g(z) + (w z)ψ(w) für alle w U, und dann ist auc θ : φ + ψ in z stetig mit (f + g)(w) (f + g)(z) + (w z)θ(w) für alle w U, d.. f + g ist in z differenzierbar mit (f + g) (z) θ(z) φ(z) + ψ(z) f (z) + g (z). Im ersten Semester war dies I. 14.Satz 4.(a). 3. Es gilt die Vielfacenregel I. 14.Satz 4.(b), d.. ist f : U C in z U differenzierbar und λ C, so ist auc λf in z differenzierbar mit (λf) (z) λf (z), denn es gibt wieder eine in z stetige Funktion φ : U C mit f(w) f(z) + (w z)φ(w) für alle w U, und somit ist auc ψ : λφ in z stetig mit (λf)(w) (λf)(z) + (w z)ψ(w) für alle w U, also ist λf in z differenzierbar mit (λf) (z) ψ(z) λφ(z) λf (z). 4. Allgemeiner ergibt sic die Produktregel I. 14.Satz 4c, d.. sind f, g : U C in z U differenzierbar, so ist auc das Produkt fg in z differenzierbar mit (fg) (z) f (z)g(z) + f(z)g (z). Wäle nämlic wieder in z stetige Funktionen θ, ψ : U C mit f(w) f(z)+(w z)φ(w) und g(w) g(z)+(w z)ψ(w) für alle w U. Dann ist auc θ : U C; w f(z)ψ(w) + g(z)φ(w) + (w z)φ(w)ψ(w) in z stetig und für alle w U gilt f(w)g(w) (f(z) + (w z)φ(w)) (g(z) + (w z)ψ(w)) f(z)g(z) + (w z)(f(z)ψ(w) + g(z)φ(w) + (w z)φ(w)ψ(w)) f(z)g(z) + (w z)θ(w), d.. fg ist in z differenzierbar mit (fg) (z) θ(z) φ(z)g(z) + f(z)ψ(z) f (z)g(z) + f(z)g (z). 1-3

4 5. Sind V C eine weitere offene Menge, f : V U in z V differenzierbar und g : U C in f(z) U differenzierbar, so ist auc g f in z differenzierbar und es gilt die Kettenregel I. 14.Satz 4.(e) (g f) (z) g (f(z)) f (z). Es gibt nämlic wieder eine in f(z) stetige Funktion φ : U C mit g(w) g(f(z)) + (w f(z))φ(w) für alle w U und eine in z stetige Funktion ψ : V C mit f(w) f(z) + (w z)ψ(w) für alle w V. Damit ist in z stetig, und für alle w V gilt θ : V C; w ψ(w)φ(f(w)) g(f(w)) g(f(z)) + (f(w) f(z))φ(f(w)) g(f(z)) + (w z)ψ(w)φ(f(w)) g(f(z)) + (w z)θ(w), d.. g f ist in z differenzierbar mit (g f) (z) θ(z) φ(f(z))ψ(z) g (f(z))f (z). 6. Die eben bewiesene Kettenregel gilt auc im gemiscten Fall, d.. sind I R ein Intervall, γ : I U eine in einem Punkt t 0 I differenzierbare Funktion und f : U C eine in γ(t 0 ) U komplex differenzierbare Funktion, so ist auc f γ : I C in t 0 differenzierbar mit (f γ) (t 0 ) γ (t 0 ) f (γ(t 0 )). Sei nämlic φ : U C eine in γ(t 0 ) stetige Funktion mit f(z) f(γ(t 0 )) + (z γ(t 0 ))φ(w) für alle w U. Wenden wir die Carakterisierung der Differenzierbarkeit nac Carateodory auf Real- und Imaginärteil der Funktion γ an, so eralten wir weiter eine in t 0 stetige Funktion δ : I C mit δ(t 0 ) γ (t 0 ) und γ(t) γ(t 0 ) + (t t 0 )δ(t) für alle t I. Für jedes t I ist damit f(γ(t)) f(γ(t 0 )) + (γ(t) γ(t 0 ))φ(γ(t)) f(γ(t 0 )) + (t t 0 )δ(t)φ(γ(t)) f(γ(t 0 )) + (t t 0 )θ(t) mit der in t 0 stetigen Funktion θ : I C; t δ(t) φ(γ(t)). Hieraus folgt die Existenz der Ableitung (f γ) (t 0 ) lim t t0 f(γ(t)) f(γ(t 0 )) t t 0 lim t t0 θ(t) θ(t 0 ) δ(t 0 ) φ(γ(t 0 )) γ (t 0 ) f (γ(t 0 )). Im ersten Semester atten wir diese Tatsace nict explizit festgealten, dies war aber auc nict nötig da wir uns dort nict auf offene Definitionsbereice bescränkt atten und die Aussage somit ein Spezialfall der Kettenregel wird. 7. Die Funktion f : C\{0} C; z 1/z ist in jedem z C\{0} differenzierbar mit f (z) 1/z 2. Für jedes w C\{0} aben wir nämlic f(w) 1 w 1 z + z w wz also ist f in z differenzierbar mit f (z) 1/z f(z) (w z) 1 wz,

5 8. Scließlic eralten wir auc noc die Quotientenregel I. 14.Satz 4.(d), sind f, g : U C in z U differenzierbar und gilt g(w) 0 für jedes w U, so ist f/g in z differenzierbar mit ( ) f (z) f (z)g(z) f(z)g (z). g g(z) 2 Füren wir nämlic die Hilfsfunktion : C\{0} C; z 1/z ein, so ist 1/g g, also ist 1/g in z differenzierbar mit ( ) 1 (z) (g(z)) g (z) g (z) g g(z). 2 Wegen f/g f (1/g) ergibt die Produktregel das auc f/g in z differenzierbar ist mit ( ) f (z) f ( ) (z) 1 g g(z) + f(z) (z) f (z) g g(z) f(z)g (z) g(z) 2 f (z)g(z) f(z)g (z) g(z) 2. Mit diesen Grundrecenregeln ergibt sic zum Beispiel das alle komplexen Polynome p C[z] in jedem Punkt z C differenzierbar mit der üblicen Ableitung sind und das alle rationalen Funktionen, also Quotienten von Polynomen definiert außeralb der Nullstellen des Nenners, ebenfalls in jedem Punkt ires Definitionsbereics differenzierbar mit der üblicen Ableitung sind. Wie scon erwänt sollen überall differenzierbare Funktionen olomorp eißen. Definition 1.2 (Holomorpe Funktionen in einer Variablen) Sei U C offen. Eine Funktion f : U C eißt olomorp wenn sie in jedem Punkt z U komplex differenzierbar ist und die Ableitung f : U C stetig ist. Die Stetigkeit der Ableitung muss dabei gar nict gefordert werden, sie folgt automatisc aus der komplexen Differenzierbarkeit in jedem Punkt. Diese Tatsace at allerdings bislang keine Anwendung inneralb oder außeralb der Matematik gefunden, und daer wollen wir dies auc nict weiter verfolgen sondern gleic die Stetigkeit der Ableitung voraussetzen. Dies wird im näcsten Kapitel einige Erleicterungen im Aufbau der Teorie mit sic bringen. Mit diesem Begriff sind jetzt Polynome und rationale Funktionen auf iren jeweiligen Definitionsbereicen olomorpe Funktionen. Eine noc größere Beispielklasse erält man durc die komplexenen Potenzreien. Auc diese aben wir scon im ersten Semester in I untersuct, und wollen dies jetzt noc einmal wiederolen. Eine komplexe Potenzreie zum Entwicklungspunkt z 0 C ist eine Reie der Form f(z) a n (z z 0 ) n 1-5

6 mit komplexen Koeffizienten a n C für n N. Der Konvergenzradius einer solcen Potenzreie ist definiert als die Zal { } r(f) : sup q 0 sup a n q n < R 0 { }, n N und dann ist die Reie f(z) a n(z z 0 ) n nac I. 13.Lemma 16 für jedes z C mit z z 0 < r(f) absolut konvergent und für jedes z C mit z z 0 > r(f) divergent. Mit dem Wurzelkriterium ergab sic dann in I. 13.Satz 17 die Darstellung des Konvergenzradius nac Hadamard als r(f) 1 n lim sup an. n Der Kreis mit Mittelpunkt z 0 und Radius r(f) wurde dann als der Konvergenzkreiz der Potenzreie bezeicnet, und die Potenzreie konnte dann als eine auf diesem Kreis definierte Funktion aufgefasst werden. Im Fall r(f) interpretieren wir den Kreis mit Radius dabei als die gesamte komplexe Ebene. In I. 14.Satz 5 atten wir dann scließlic geseen das eine Potenzreie in jedem Punkt ires Konvergenzkreises differenzierbar ist und sic gliedweise ableiten läßt, also d dz a n (z z 0 ) n na n (z z 0 ) n 1 n1 (n + 1)a n+1 (z z 0 ) n. Diesen Satz wollen wir jetzt noc einmal beweisen, unser Beweis im ersten Semester war noc relativ kompliziert da der Begriff der gleicmäßigen Konvergenz und die damit zusammenängenden Sätze noc nict voranden waren. Hier können wir nun die Gelegeneit nutzen den Satz auc einmal unter Verwendung der gleicmäßigen Konvergenz einzuseen. Wir beginnen mit einer kleinen Vorüberlegung. Unsere Potenzreie abe einen positiven Konvergenzradius r : r(f) > 0. Sei q > 0 mit q < r gegeben. Nac Definition des Konvergenzradius existiert dann ein s 0 mit s > q und d.. für jedes n N gilt C : sup a n s n <, n N a n C s n. Für alle z B q (z 0 ) und alle n N ist damit ( q n a n (z z 0 ) n a n q n C s) und wegen q/s < 1 ist (q/s)n eine konvergente geometrisce Reie. Nac dem Weierstrassscen Konvergenzsatz für Funktionsreien II. 4.Lemma 14 ist die Funktionsreie f(z) a n (z z 0 ) n 1-6

7 auf dem abgesclossenen Kreis B q (z 0 ) gleicmäßig konvergent. Nac II. 4.Satz 5.(b) ist f B q (z 0 ) folglic stetig, und da dies für jedes q < r gilt, ist f : B r (z 0 ) C auf dem gesamten Konvergenzkreis stetig. Kommen wir zur Ableitung. Screibe Wegen ( n n + 1) n N 1 gilt lim sup n g(z) : (n + 1)a n+1 (z z 0 ) n. n (n + 1) an+1 lim sup n n an+1 lim sup n n an, und nac der Hadamardscen Formel für den Konvergenzradius ist damit auc r(g) r(f), die Potenzreien f und g aben also denselben Konvergenzkreis. Wenden wir jetzt den Satz II. 4.Satz 11 über Differenzierbarkeit und gleicmäßige Konvergenz an, so ergibt sic die Differenzierbarkeit von f und f g. Dabei ist dieser Satz eigentlic nur für reelle Funktionen formuliert, er gilt aber auc in dieser Situation. 1.2 Die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen In diesem Abscnitt wollen wir beginnen und mit den komplexen Grundfunktionen zu bescäftigen. Wie im Reellen sind dies die Exponentialfunktion und der Logaritmus, die Hyperbelfunktionen und die Areafunktionen sowie die trigonometriscen Funktionen und die Arcusfunktionen. Man kann diese Grundfunktionen in zwei Gruppen einteilen, zum einen die direkt definierten Funktionen und zum anderen die als Umkerfunktion definierten Funktionen. Wie wir seen werden, wird die erste Gruppe von der Exponentialfunktion beersct wärend die zweite Gruppe dem Logaritmus unterstet. In diesem Abscnitt werden wir die direkt definierten Funktionen untersucen. Einiges zu diesem Tema wurde scon in I und I beandelt, in diesem Kapitel werden wir die damaligen Ergebnisse aber noc etwas weiter ausbauen. Wie scon gesagt lassen sic alle direkt definierten komplexen Grundfunktionen auf die komplexe Exponentialfunktion zurückfüren, also beginnen wir auc mit dieser. Definiert war diese durc die Potenzreie exp : C C; z e z : Wie wir wissen at diese Potenzreie den Konvergenzradius r(exp), und die die komplexe Exponentialfunktion ist somit eine auf ganz C olomorpe Funktion. Einige Eigenscaften sind sofort klar, es ist exp(0) 1 und für jedes z C gilt exp (z) 1 (n + 1) (n + 1)! zn 1-7 z n n!. z n n! ez,

8 also exp exp. Weiter aben wir die Funktionalgleicung der Exponentialfunktion, für alle z, w C gilt mit dem Caucyprodukt für Reien I. 7.Satz 18 ( ) ( z n ) w n n 1 exp(z) exp(w) n! n! k!(n k)! zk w n k k0 1 n ( ) n z k w n k (z + w) n exp(z + w). n! k n! k0 Aus der Funktionalgleicung folgt sofort eine weitere wictige Eigenscaften, für jedes z C gilt stets exp(z) exp( z) exp(z z) exp(0) 1, also e z 0 und 1 e z e z. Weiter ist für jedes z C auc exp(z) z n n! z n n! exp(z). Erinnern wir uns nun an den Zusammenang zwiscen Konjugation und dem komplexen Betrag, also an die Formel z 2 zz für alle z C, so ergibt sic aus der eben bewiesenen Konjugationsformel zusammen mit der Funktionalgleicung der Exponentialfunktion sofort auc eine Formel für den Betrag von e z. In der Tat, für jedes z C recnen wir e z e z e z e z e z e z+z e 2 Re z e Re z. Es gibt noc eine weitere grundlegende Eigenscaft von exp, nämlic die überrascende Tatsace das die Exponentialfunktion in der komplexen Situation periodisc ist. Dies können wir an dieser Stelle aber noc nict bequem einseen, daer stellen wir es zurück bis uns die komplexen Varianten der trigonometriscen Funktionen zur Verfügung steten. Auf dem Weg dain füren wir erst einmal zwei der Hyperbelfunktionen ein, nämlic den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus. Diese werden einfac durc die üblice Formel in Termen von e z eingefürt, d.. wir definieren sin : C C; z ez e z und cos : C C; z ez + e z. 2 2 Insbesondere stimmen diese beiden Funktionen für reelle Argumente z R mit den entsprecenden reellen Funktionen überein. Den Tangens Hyperbolicus, also den Quotienten von Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus, wollen wir an dieser Stelle noc nict einfüren, da wir noc nict wissen wo die Nullstellen von cos liegen, und wir daer den Definitionsbereic von sin z/ cos z noc nict inscreiben können. Wir leiten erst einmal die Grundeigenscaften von sin und cos aus denen der Exponentialfunktion er. Für jedes z C sind zunäcst e z z n n! und e z ( 1) n zn n! 1-8

9 und damit ergeben sic auc die Potenzreiendarstellungen sin z z 2n+1 (2n + 1)! und cos z z 2n (2n)!. Mit den Ableitungsregeln und der Gleicung exp exp folgt das auc sin und cos olomorp sind mit den Ableitungen sin cos und cos sin. Die Verträglickeit der komplexen Konjugation mit der Exponentialabbildung liefert für jedes z C auc die Formeln sin z ez e z 2 ez e z 2 sin z und analog cos z cos z. Ebenfalls klar sind sin(0) 0, cos(0) 1 und sin( z) sin(z), cos( z) cos(z). 1-9