Ableitung und Mittelwertsätze

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1 Ableitung und Mittelwertsätze Definition. Sei I R ein Intervall und f : I R. ) f eißt differenzierbar an 0 I, wenn der Grenzwert eistiert. f() f( 0 ) lim 0 0 = f ( 0 ) = lim 0 f( 0 + ) f( 0 ) Ist dabei 0 linker bzw. recter Randpunkt von I, dann eißt f an 0 rectsseitig bzw. linkseitig differenzierbar. ) Die so punktweise definierte Funktion f : I R mit D(f ) = { 0 I : f ( 0 )} eißt Ableitung von f. Ist f stetig auf X 0 D(f ), so eißt f stetig differenzierbar auf X 0 und man screibt f C (X 0 ). 3) Die öeren Ableitungen lassen sic rekursiv definieren : f = (f ),..., f (n) = (f (n ) ) 4) Den Grenzwert des Differenzenquotienten bezeicnet man u.a. auc als df Differentialquotient und man screibt d ( 0) = f ( 0 ). Elementare Beispiele. ) Die konstante Funktion f : R R mit f() = a R ist für jedes 0 R differenzierbar und es gilt f () = 0 R. ) Die Funktion f : R R mit f() = n R (n N) ist auf ganz R differenzierbar. Dabei gilt : f () = n n R. 3) Die Funktion f : R R mit f() = R ist auf ganz R stetig und an 0 = 0 nict differenzierbar. f() f(0) lim = lim f() f(0) = und lim 0 0 = lim =.

2 An jeder Stelle 0 0 ist f allerdings differenzierbar. f ( 0 ) = falls 0 > 0 und f ( 0 ) = falls 0 < 0. f : I R differenzierbar an 0 f stetig in 0. Beweis. Sei ( n ) eine Folge aus I mit n 0 und n 0. Dann gilt f( n ) f( 0 ) = f( n) f( 0 ) n 0 ( n 0 ) f ( 0 )( n 0 ) 0. Bemerkung. Es gibt allerdings stetige Funktionen, die an keinem Punkt ires Definitionsbereices differenzierbar sind. Das eigentlice Wesen der Differenzierbarkeit einer Funktion bestet darin, dass die Funktion in einer bestimmten Weise linear approimierbar ist. Dies zeigt sic später in besonderer Weise bei Funktionen mererer Veränderlicer. Ist f an 0 differenzierbar, dann betracten wir die durc c = f ( 0 ) definierte Gerade g() = f( 0 ) + c( 0 ). Dann gilt offenbar f() g() 0 = f() f( 0) c( 0 ) 0 0 für 0. f() g() Ist umgekert c R, g() = f( 0 ) + c( 0 ) und gilt 0 0 für 0, dann ist f differenzierbar an 0 und es gilt f ( 0 ) = c. Definition. f : I R eißt an 0 I Lipscitz-stetig, wenn eine Umgebung U( 0 ) von 0 und eine Konstante M eistiert, sodass f() f( 0 ) M 0 U( 0 ) I. Man sagt auc, f genüge an der Stelle 0 einer Lipscitz-Bedingung und M eißt dann Lipscitz-Konstante. Sei f : I R an 0 differenzierbar. Dann ist f an 0 Lipscitz-stetig.

3 Beweis. Sei c = f ( 0 ). Dann ist die Funktion () = f() f( 0) c( 0 ) 0 stetig an 0. Zu ε = gibt es daer eine Umgebung U( 0 ) von 0 sodass () für U( 0 ). Damit ist f() f( 0 ) = ()( 0 ) + c( 0 ) = () + c 0 ( + c ) 0 = M 0. (Ableitungsregeln) Es seien f, g : I R an 0 I differenzierbar. Dann gilt ) f ± g sind an 0 differenzierbar und (f ± g) ( 0 ) = f ( 0 ) ± g ( 0 ) ) f g ist an 0 differenzierbar und (f g) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 )... Produktregel 3) Falls g( 0 ) 0, ist f g an 0 differenzierbar und ( f g ) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g ( 0 )... Quotientenregel Beweis. Gelte n 0 (für die Produktregel) mit n 0. Dann ist f( n )g( n ) f( 0 )g( 0 ) n 0 = [f( n )g( n ) f( n )g( 0 )]+[f( n )g( 0 ) f( 0 )g( 0 )] n 0 = f( n ) g( n) g( 0 ) n 0 + f( n) f( 0 ) n 0 g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) + f ( 0 )g( 0 ). Folgerungen. i) Ein Polynom P () = n a k k k=0 es gilt P () = n ka k k. k= ist an jedem R differenzierbar und 3

4 Da die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, ist somit ein Polynom beliebig oft differenzierbar. ii) Eine rationale Funktion, also der Quotient zweier Polynome, ist auf irem Definitionsbereic differenzierbar. Nun betracten wir zusammengesetzte Funktionen. (Kettenregel) Sei = g f auf I definiert. Ist f an 0 differenzierbar und g an y 0 = f( 0 ) differenzierbar, dann ist = g f an 0 differenzierbar und es gilt ( 0 ) = (g f) ( 0 ) = g (y 0 )f ( 0 ) d d ( 0) = d(g f) d ( 0) = dg dy (y 0) df d ( 0) Beweis. Sei n 0 mit n 0. bzw. Fall : δ > 0 mit f() f( 0 ) für alle K( 0, δ) I, 0. Dann ist ( n) ( 0 ) n 0 = g(f( n)) g(f( 0 )) f( n ) f( 0 ) f( n) f( 0 ) n 0 = g(y n) g(y 0 ) y n y 0 f( n) f( 0 ) n 0 g (y 0 )f ( 0 ). Fall : Es gibt eine Folge ( n ) aus I mit n 0, n 0 und f( n ) = f( 0 ). Dann gilt allerdings f ( 0 ) = 0. ( n ) zerfällt dann möglicerweise in zwei Teilfolgen ( n) und ( n) mit f( n) = f( 0 ) und f( n) f( 0 ). ( n) ( 0 ) n 0 = g(f( n)) g(f( 0 )) n 0 = 0 0 ( n) ( 0 ) n 0 = g(f( n)) g(f( 0 )) f( n) f( 0 ) f( n) f( 0 ) n 0 g (f( 0 ))f ( 0 ) = g (f( 0 )) 0 = 0 Also ist ( 0 ) = 0. Beispiel. Sei () = e. Dann kann als zusammengesetzte Funktion 4

5 = g f gescrieben werden mit f() = und g(y) = e y. Es sei bekannt (siee später) dass (e y ) = e y. Dann ist ( 0 ) = g (y) y=f(0 ) f () =0 = e = e. (Ableitung der Umkerfunktion) Sei f : I R stetig auf dem offenen Intervall I, dort streng monoton und an 0 I differenzierbar. Gilt f ( 0 ) 0, dann ist die Umkerfunktion f an der Stelle y 0 = f( 0 ) differenzierbar und es gilt (f ) (y 0 ) = f ( 0 ). Beweis. Sei (y n ) eine Folge aus D(f ) mit y n y 0 und y n y 0. Dann eistiert eine Folge ( n ) mit f( n ) = y n und n 0 n. Wegen der Stetigkeit von f (siee vorer) gilt n = f (y n ) f (y 0 ) = 0. Damit f (y n ) f (y 0 ) y n y 0 = n 0 f( n ) f( 0 ) = f(n) f( 0 ) n 0 f ( 0 ). Beispiel. f() = ist stetig und streng monoton wacsend auf (0, ). Die Umkerfunktion f ist durc f (y) = + y gegeben. Ist y 0 = 0, dann ist (f ) (y 0 ) = f ( 0 ) = 0 = y 0. Wir befassen uns nun mit den Ableitungen der elementaren Funktionen. ) Logaritmus Sei > 0 fest und n mit n > 0. Setze n = n. Dann gilt n 0 und log b ( n ) log b n = log b(+ n ) log b n = n log b ( + n ) = log b( + n ) n 5 log b e

6 . Also (log b ) = log be ( > 0) Im speziellen, für b = e, eralten wir (ln ) =, > 0. Man beacte auc, dass (ln ) = R \ {0}. ) Eponentialfunktion Für y = e y () = (y) = y Für y = b = e ln b ist = ln y die Umkerfunktion. Daer ist wegen vorer = y = e. Also (e ) = e. gilt wegen der Kettenregel (b ) = (e ln b ) = lnbe ln b = b ln b. Also (b ) = b ln b, R. 3) Potenzfunktion Wegen a = e a ln folgt mit der Kettenregel ( a ) = (e a ln ) = a ea ln = a a und damit ( a ) = a a, ( > 0). 4) Hyperbolisce Funktionen Mit Hilfe der Differentiationsregeln über zusammengesetzte Funktionen eralten wir (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tan ) = (cos ) (cot ) = (sin ), 0. und Mit dem Satz über die Ableitung der Umkerfunktion eralten wir (arsin) = +, (arcos) =, (artan) = ( < ), (arcot) = ( > ). 6

7 4) Trigonometrisce Funktionen Für R gilt (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tan ) = (cos ) ( (k + ) π ), (cot ) = (sin ) Beweis. (für sin ) ( kπ) Subtraktion der Additionsteoreme sin( + ) = sin cos +cos sin und sin( ) = sin cos cos sin liefert sin( + ) sin( ) = cos sin. Mit = + und = ergibt sic sin( + ) sin = cos( + ) sin sin(+) sin, also = cos( + )sin Für 0 eralten wir (sin ) = lim ( lim cos( + 0 )sin ) = lim 0 cos( + ) lim 0 sin(+) sin 0 = sin = cos. Unter Verwendung des Satzes für die Ableitung der Umkerabbildung eralten wir (arcsin ) = ( < ), (arccos ) = ( < ) (arctan ) = + ( R), (arc cot ) = + ( R). Die Ableitung f ( 0 ) kann offenbar auc als Steigungsmaß des Grapen einer Funktion f() an der Stelle 0 aufgefaßt werden. Desalb liegt es nae, dass in einem Etremalpunkt (Maimum oder Minimum) die Ableitung f den Wert Null annimmt. (Fermat) Sei f : [a, b] R an 0 (a, b) differenzierbar. Hat f an der Stelle 0 7

8 ein lokales Maimum oder Minimum, gilt notwendigerweise f ( 0 ) = 0. Beweis. (für ein lokales Maimum) Betracte Folgen ( n ) und ( n) mit n = 0 + n bzw. n = 0 n. Hat f an 0 ein lokales Maimum, dann gilt f ( 0 ) = lim f( 0 + n ) f( 0) n n Damit ist f ( 0 ) = 0. 0 bzw. f ( 0 ) = lim f( 0 n ) f( 0) n n 0. (Satz von Rolle) Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b) und es gelte f(a) = f(b). Dann gibt es (mindestens) eine Stelle ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. Beweis. Der Fall einer konstanten Funktion ist trivial. Sei also f nict konstant. Weil f stetig und [a, b] kompakt ist, gibt es ein Maimum und ein Minimum, wobei eines der beiden von f(a) (und damit auc von f(b) ) verscieden sein muß. Sei ξ (a, b) diese Stelle. Nac dem Kriterium von Fermat ist dann f (ξ) = 0. Der Satz von Rolle kann nun verallgemeinert werden zum wictigen (. Mittelwertsatz der Differentialrecnung) Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gibt es eine Stelle ξ (a, b) mit f(b) f(a) b a = f (ξ). (Dies bedeutet: Der Grap von f at an der Stelle ξ eine Tangente, die parallel zur Sekante durc (a, f(a)) und (b, f(b)) ist.) Beweis. Betracte die Hilfsfunktion F () = f() f(a) f(b) f(a) b a ( a). 8

9 Dann ist F () stetig auf [a, b] und auf (a, b) differenzierbar und es gilt F (a) = F (b) = 0. Nac dem Satz von Rolle ξ (a, b) mit F (ξ) = 0, d.. aber f (ξ) f(b) f(a) b a = 0. Folgerungen. Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). ) f () = 0 (a, b) f ist konstant. Beweis. Wende den. MWS auf f im Intervall [a, ] mit a < b an. ) f () = g () (a, b) f() = g() + const. Beweis. Folgt aus ) mit F () = f() g(). 3) i) f () > 0 (a, b) f ist streng monoton wacsend, ii) f () < 0 (a, b) f ist streng monoton fallend. Beweis. Für i) : Gelte f () > 0 (a, b) und sei a < b. Anwendung des. MWS auf f im Intervall [, ] liefert : ξ (, ) mit f( ) f( ) = f (ξ)( ). Weil f (ξ) > 0 und > 0 ist, gilt f( ) > f( ). Mit Hilfe des. MWS lassen sic zalreice interessante und wictige Abscätzungen gewinnen. Beispiel. + < e < für (0, ). Anwendung des. MWS auf f(t) = e t in [0, ] liefert e e 0 = e ξ mit 0 < ξ <. Weil e ξ monoton wäcst, gilt = e 0 < e ξ < e und damit < e < e bzw. + < e <, weil (0, ). 9

10 Beispiel. + < ln( + ) < für > 0. Anwendung des. MWS auf f(t) = ln( + t) in [0, ] liefert ln(+) ln = +ξ mit 0 < ξ <. Weil +ξ monoton fällt, gilt > +ξ > + und damit + < ln(+) < bzw. + < ln( + ) <, weil > 0. One Beweis sei folgende Erweiterung des. Mittelwertsatzes erwänt (. Mittelwertsatz der Differentialrecnung) Seien f und g stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Dann ξ (a, b) sodass [f(b) f(a)]g (ξ) = [g(b) g(a)]f (ξ). Ist g () 0 auf (a, b), gilt weiters. f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ) 0