Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 2 c 2016 A. Kersch

Transkript

1 Differentialrechnung. Definition Vorkurs Mathematik-Physik, Teil c 06 A. Kersch Geometrische Interpretation Die Ableitung einer Funktion f() an einer Stelle = 0 ist über den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert. Sei dieser y = f( 0 + ) f( 0 ) Die geometrische Bedeutung ist die Steigung der Sekante durch die Punkte ( 0, f( 0 )) und ( 0 +, f( 0 + )). Im Grenzwert 0 ergibt sich der Differenzialquotient und aus der Sekante wird die Tangente f ( 0 ) = df y d 0 f( 0 + ) f( 0 ) () 0 =0 Der Wert f ( 0 ) der Ableitung einer Funktion f() an einer Stelle 0 entspricht geometrisch der Steigung der Tangenten. An jeder Stelle 0 läßt sich die Tangentensteigung bestimmen Die Werte für die Tangentensteigungen lassen sich zusammenfassen und definieren die Ableitungsfunktion f ()

2 Die Bilder zeigen die geometrische Konstruktion der Ableitungsfunktion f (), wenn die Funktion f() gegeben ist. Selbst bei elementaren Funktionen kann es Ausnahmestellen geben, an denen die Ableitung nicht definiert werden kann: Singularitäten wie bei f() = /, Knicke wie bei f() = oder Sprungstellen wie bei f() = /. Diese Punkte müssen aus dem Definitionsbereich der Ableitungsfunktion ausgeschlossen werden. Aufgabe: Welche der unteren Graphen ist die Ableitung der oberen Funktion? f() g() 0. h() f'() g'() h'() f'() g'() h'() f'() g'() h'() ()

3 Analytische Berechnung Wenn f() analytisch (d.h. durch eine Formel) gegeben ist, kann die Ableitungsfunktion immer analytisch berechnet werden. Es gibt eine Reihe von Ableitungsregeln Für die einfachsten Funktionen wären diese z.b. f() = a f () = a f() = a n f () = a n n f() = sin() f () = cos() Wie kommt man darauf? Beweisen kann man die Ableitungsregeln immer durch eplizites Nachrechnen. Z.B. für f() = a n df d y 0 a ( + ) n a n 0 a n + a n n a n a n 0 ( a n n + O() ) = a n n 0 Rechenregeln Nützlich für die analytische Berechnung der Ableitung sind Produktregel und Kettenregel. Seien f und g bzw. h Funktionen, so dass (Multiplikation der Werte) f = g h Für die Ableitungsfunktion gilt folgende Produktregel f = (g h) = g h + g h f () (g( + )h( + ) g()h()) / (g( + )h( + ) g()h( + ) + g()h( + ) g()h()) / ( ) (g( + ) g()) (h( + ) h()) h( + ) + g() = g ()h() + g ()h () Beispiel: g() = sin, h() = cos, also f() = sin cos f () = (sin cos ) = (sin ) cos + sin (cos ) = cos cos sin sin = cos sin Des weiteren gilt die Kettenregel für verkettete Funktionen. Sei f = g h verkettet, d.h. f() = g(h()). Dann gilt f () = g (h()) h () Beispiel: f() = ep( ), also f () = ep( )( ) Aufgabe: Berechne die Ableitungen: (a) f(t) = /t (b) g() = / + y + z (c) h(z) = ep( a z ) (d) f() = ( + ) 00 (e) g(ϕ) = sin ϕ cos ϕ (f) h(ϕ) = tan ϕ Das Differential Das Differential d hat mathematisch allein keine Eistenzberechtigung, aber Physiker benutzen es gerne zum Argumentieren und Herleiten von Zusammenhängen (mit dem Gedanken einer sehr kleinen, aber endlichen Größe - und späterer Grenzwertbildung). Physiker schreiben also gerne nach dem Mathematiker Leibniz dy = y d Die Differentiale d und dy sind beides Variable, aber d ist eine unabhängige Variable und dy ist eine abhängige Variable. Wenn d 0, beide Seiten der Gleichung können durch d geteilt werden um dy d = f () zu erhalten. Daher kann die Ableitung als Quotient von Differentialen interpretiert werden. Mit dieser Schreibweise lassen sich aber manche Zusammenhänge besonders einfach formulieren. Ein Beispiel ist die Kettenregen der Differentialrechnung. Seien y = g(u) und u = h() differentierbare Funktionen, dann gilt für die verkettete Funktion f() = g(h()) df d = dg dh dh d oder noch einfacher df d = df dh dh d

4 Elementare Ableitungen y = f() : y = f () c : 0 n : n n : e : e c e a : ac e a ln : log a : ln a a = e ln a : a ln a a = e a ln a : ea ln = a a sin : cos cos : sin tan : cos arcsin : arccos : arctan : + Ableitung der Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion g(y) einer Funktion y = f() ist so definiert, daß die Verkettung beider die Identität liefert g(f()) = f(g()) = f (f()) = = f(f ()) Wobei f die Umkehrfunktion bezeichnet (Achtung: f () /f()!). Ableiten nach Kettenregel (f() = g(h()) f () = g (h()) h ()) liefert g (f()) f () = g (f()) = f () g d (y) = f = () dy dy f(0) d 0 Beispiel: Ableitung der Wurzelfunktion. Man differenziere die Umkehrfunktion von y = g (y) = f ( = g(y)) = [ ] = =g(y) Beispiel: Ableitung des Arkustangens y = arctan() g (y) = Aufgabe: Ableitung von [arcsin ] f ( = g(y)) = [tan()] = =g(y) = = y y + tan () = =arctan(y) + y

5 Höhere Ableitungen Wenn f eine differentierbare Funktion, dann ist f auch eine Funktion und kann selber eine Ableitung haben Diese Ableitung (f ) wird dann mit f bezeichnet und ist die zweite Ableitung f von f, u.s.w. Die. Ableitung f wird üblicherweise mit f () bezeichnet und ab dann die n-te Ableitung mit f (n) y (n) = f (n) () = dn y d n Aufgabe: (a) Berechne die ersten 3 Ableitungen von f() = 3 +, (b) berechne allgemein die n-te Ableitung von f() = Die Beschleunigung Wenn s = s (t) der Ort eines Körpers als Funktion der Zeit ist, entspricht die Geschwindigkeit v(t) der ersten Ableitung der Ortsfunktion v(t) = s (t) = ds dt Die momentane Änderung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist die Beschleunigung a(t) des Körpers. Daher ist die Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit und daher die zweite Ableitung der Ortsfunktion a(t) = v (t) = s (t) oder in Leibniz scher Notation a = dv dt = d s dt Das Differential und die Approimation einer Funktion Wenn d = a, dann gilt für a sehr nahe bei, dy f () f (a). Dann ist die lineare Approimation von f () nahe bei a. f() f(a) + f (a)( a) Die quadratische Approimation von f() nahe bei a ist Beispiel: f() f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) Sei f () = und a = 3. Die lineare Approimation von f () nahe a = 3 ist f() = f(a) + f (a)( a) = Die quadratische Approimation von f () nahe a = 3 ist f() = f(a) + f (a)( a) + f (a) ( a) = f() rationale Funktion mit. und. Appro. bei =3

6 Sehr oft wird nur bis zur. Approimation entwickelt. dabei gibt es folgende nützliche Formeln: f(ε) lin. Approimation Restglied +ε ε ε + ε + ε 8 ε n(n )! ε ( + ε) n + nε e ε + ε! ε ln ( + ε) ε ε 3 ε3 sin ε ε 3! ε3 5! ε5 cos ε! ε! ε Beispiel: Die relativistische Masse eines bewegten Körpers beträgt (Einstein) m = m 0 v c Schätzen Sie ohne Taschenrechner ab, wie großdie Zunahme der Masse bei 0.km/s ist (c = km/s) ε ε m m 0 ε m 0 ( ) ε Taylor Reihe Eine Verallgemeinerung der lin. und quad. Appro. ist durch die Taylor-Reihe gegeben (für a = 0 Maclaurin-Reihe) f () = f (n) (a) n! ( a) n = f (a) + f (a)! ( a) + f (a)! ( a) + f (a) 3! ( a) Diese unendliche Reihe konvergiert aber häufig nur in einer Umgebung um a an die vorgegebene Funktion. Falls die Taylor-Reihe im ganzen Definitionsbereich gegen die vorgegebene Funktion konvergiert, nennt man die Funktion analytisch. Maclaurin Reihe Konvergenzbereich = n = (, ) e = n n! = +! +! + 3 3! +... (, ) sin = ( ) n n+ (n+)! = 3 3! + 5 5! 7 7! +... (, ) cos = ( ) n n (n)! =! +! 6 6! +... (, ) tan = ( ) n n+ n+ = [, ] Wenn = und e = n n! = +! +! + 3 3! +..., ergibt sich eine Möglichkeit die Zahl e über die unendliche Reihe näherungsweise zu berechnen e = n! = +! +! + 3! +...