5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105. f(x) = O(g(x)) für x x 0, f(x) < M g(x). f(x) g(x)

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1 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105 Definition (Landau Symbole (Fortsetzung)) Wir sagen f(x) = O(g(x)) für x falls es ein K > a ein M R + gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < M g(x), f(x) = O(g(x)) für x x 0, falls es ein δ > 0 eine Zal M R + gibt, so dass x B δ (x 0 ) D impliziert f(x) < M g(x). Die Symbole o, O werden als Landau-Symbole 1 bezeicnet. Bemerkung Speziell interessieren wir uns für Ausdrücke der Form f(x) = o( x α ) für x 0 oder x. Diese carakterisieren das Wacstumsveralten bei Grenzwertbetractungen. Ist g 0, so kann man die Bedingungen auc umscreiben: f(x) = o(g(x)) für x genau dann, wenn In diesem Sinne ist f(x) x g(x) = 0. f(x) = O(g(x)) für x, falls f(x) g(x) bescränkt ist auf jeder Menge der Form betracten zwei Beispiele. { } x R x K, K R +. Wir 1 Edm Landau ( ) promovierte, indem er eine auf Euler zurückgeende Formel bewies. Unter anderem bewies er auc den Primzalsatz. Sei Hauptarbeitsgebiet war die sogenannte Funktionenteorie.

2 106 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Lemma Es gilt genauer gilt sogar: Beweis. cos() 1 cos() 1 = o() für 0, sin() = O() für 0, sin() 0 = 1 + f cos 1 () 1 = 1. = f cos 1 () 2 =, für inreicend klein. Für sin() bekommen wir sin() = + f1 sin () 1 + f1 sin () Da für alle R gilt sin() folgt damit sin() 0 = 1.

3 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 107 Satz (Ableitung der trigonometriscen Funktionen) Es gilt 1. (sin(x)) = cos(x); 2. (cos(x)) = sin(x). Wir setzen für x π 2 + kπ tan(x) = sin(x) cos(x) cot(x) = cos(x), x kπ, k Z. sin(x) Dann sind tan, cot an allen Stellen ires Definitionsbereices differenzierbar es gilt 1. (tan(x)) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 (x) = 1 cos 2 (x) ; 2. (cot(x)) = sin2 (x) cos 2 (x) sin 2 (x) = 1 sin 2 (x) ; Beweis. Wir beginnen mit der Sinus-Funktion, aufgr von Satz gilt Damit screiben wir denn sin(x + ) sin(x) 0 sin(x + ) = sin(x) cos() + sin() cos(x). cos() 1 = sin(x) 0 = cos(x), cos() 1 0 = 0 + cos(x) 0 sin(). sin() = 1, 0 wie wir oben geseen aben. Die entsprecende Recnung für den Kosinus ist ganz änlic: cos(x + ) = cos(x) cos() sin(x) sin() wegen des ersten Additionsteoremes in Satz Damit wird cos(x + ) cos(x) = cos(x) cos() sin(x) sin() cos(x) = cos(x) cos() 1 sin(x) sin().

4 108 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Der Grenzwert der recten Seite für 0 ist sin(x). Die Ableitungen für tan cot ergeben sic aus der Quotientenregel. In den Übungen (Aufgabe 6 auf Blatt 9) atten wir die yperboliscen Winkelfunktionen sin, cos eingefürt dafür Additionsteoreme gezeigt. Wir erinnern nocmals an die Definition. Definition (Sinus/Kosinusyperbolicus) Für z C definieren wir cos(z) = 1 2 ( e z + e z), sin(z) = 1 2 ( e z e z). Diese Funktionen werden als Sinusyperbolicus, bzw. Kosinusyperbolicus bezeicnet. Wir nennen diese die yperbolisc triogonometriscen Funktionen. Im Fall der trigonometrisc yperboliscen Funktionen ergeben sic wie im Fall von Sinus/Kosinus Additionsteoreme. Lemma (Additionsteoreme yperboliscer Winkelfunktionen) Die Additionsteoreme für die yperoliscen trigonometriscen Funktionen lauten cos(z 1 + z 2 ) = cos(z 1 ) cos(z 2 ) + sin(z 1 ) sin(z 2 ), sin(z 1 + z 2 ) = cos(z 1 ) sin(z 2 ) + sin(z 1 ) cos(z 2 ). Beweis. Siee Übungen. Wie im Fall von Sinus Kosinus ergeben sic die Ableitungen nun. Satz (Ableitung yperbolisc trigonometriscer Funktionen) Es gilt cos (z) = sin(z) sin (z) = cos(z). Beweis. Aufgr der Additionsteoreme Lemma ergibt sic cos(z + ) = cos(z) cos() + sin(z) sin() sin(z + ) = cos(z) sin() + sin() cos(z),

5 5.3. EXTREMA 109 daraus cos(z + ) cos(z) sin(z + ) sin(z) = cos(z) cos() 1 = cos(z) sin() + sin(z) sin() + sin(z) cos() 1. Aufgr der Definition berecnet man wie für die trigonometriscen Funktionen cos() 1 0 sin() = 1. = 0 Damit ergeben sic sofort die angegebenen Formeln. 5.3 Extrema Definition (Extremwert) Es sei (X, d) ein metriscer Raum, f : X R { eine Abbildung, } D(f) X offen. Gibt es ein x 0 D(f) mit f(x 0 ) = sup f(y) y D(f), so eißt f(x 0 ) das { } Maximum von f. Gibt es ein x 1 D(f) mit f(x 1 ) = inf f(y) y D(f), so eißt f(x 1 ) das Minimum von f. f(x 0 ) bzw. f(x 1 ) werden als Extremwerte bezeicnet jedes x D(f) mit f(x) = f(x 0 ) bzw. f(y) = f(x 1 ) als Extremwertstelle. Bemerkung (Extremwert annemen) Wir sagen auc f nimmt in x 0 bzw. x 1 das Maximum bzw. Minimum an. Definition (Maximum/Minimum) Ist x 0 D(f) ein Punkt B ε (x 0 ) eine offene Kugel um x 0, mit f(x 0 ) f(x) für alle x B ε (x 0 ), so eißt f(x 0 ) lokales Maximum von f. Gilt f(x 0 ) f(x) für alle x B ε (x 0 ), so eißt f(x 0 ) lokales Minimum von f. x 0 eißt in diesen Fällen lokale Extremwertstelle f(x 0 ) lokales Extremum. Satz (Notwendige Bedingung für eine Extremwertstelle) Es sei I R ein offenes Intervall, f : I R sei stetig überall differenzierbar. Gibt es einen Punkt x 0 I, so dass f(x 0 ) ein lokales Extremum ist, so ist f (x 0 ) = 0.

6 110 KAPITEL 5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN Beweis. Es gibt ein ε > 0, so dass für alle x B δ (x 0 ) gilt f(x) f(x 0 ) oder f(x) f(x 0 ). Der Beweis des zweiten Falles ist eine unwesentlice Modifikation des Beweises des ersten Falles, wir bescränken uns auf diesen. Gilt x < x 0 x B ε (x 0 ), dann ist x x 0 0, insbesondere folgt Entsprecend at man für x > x 0 es folgt Da der Grenzwert 0. x x 0,x<x 0 x x 0 x x 0 0, 0. x x 0,x>x 0 x x 0 x x 0 x x 0 existiert sind die beiden obigen Limites gleic damit 0. Bemerkung (Notwendige Bedingung ist nict inreicend) Die angegebene Bedingung ist notwendig, jedoc nict inreicend, wie das Beispiel f(x) = x 3 lert, f (0) = 0, jedoc ist 0 keine Extremwertstelle von f. Satz (Rolle 2 ) Es sei I = [a, b] ein abgesclossenes Intervall (a < b) f : I R sei stetig. Ist f auf dem Intervall (a, b) differenzierbar gilt f(a) = f(b), so gibt es ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = 0. Beweis. Ist die Funktion f konstant, so ist f (x) = 0 für alle x I damit der Satz gezeigt. Ist f nict konstant, so gibt es ein x 1 (a, b) mit f(x 1 ) f(a). 2 Micel Rolle ( ) stammte aus einfacen Verältnissen war Autodidakt. Zeitweise war er Gegner der Differentialrecnung.