Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy.

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1 Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Matematik Sommersemester 015 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt V vom Aufgabe V.1 + Punkte) Gegeben seien die Funktionen f, g : R R, fx, y) = x + y) + xy + 3x, gx, y) = xy + e xy. Berecnen Sie die Gradienten der Funktionen und bestimmen Sie alle Punkte x, y) R derart, dass fx, y) = 0 bzw. gx, y) = 0. Aufgabe V Punkte) Sei f : R R definiert durc fx, y) = {xy x y, x +y falls x, y) 0, 0), 0, falls x, y) = 0, 0). a) Zeigen Sie, dass die Funktion f stetig differenzierbar ist, d.. f C 1 R ). b) Beweisen Sie x yf0, 0) y xf0, 0). c) Zeigen Sie, dass der Satz von Scwarz für die Funktion f nict anwendbar ist. Hinweis: Zeigen Sie ierzu, dass eine Voraussetzung des Satzes verletzt wird. Aufgabe V.3 +3 Punkte) a) Sei f : R 3 R definiert durc fx, y, z) = x siny)z. Berecnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f. b) Zeigen Sie, dass die Funktion g : R R, definiert durc { xy, falls x, y) 0, 0), x gx, y) = +y 0, falls x, y) = 0, 0), auf R partiell differenzierbar ist, jedoc im Nullpunkt nict stetig ist. Zeigen Sie zudem, dass die partiellen Ableitungen für jede Kugel B r0) R unbescränkt sind. Aufgabe V. 3+ Punkte) a) Berecnen Sie die Rictungsableitungen der folgenden Funktionen an den Stellen ξ in den Rictungen v/ v. Bestimmen Sie auc die Rictung des steilsten Anstiegs der Funktion an der Stelle ξ. i) f : R R, x sin 1 x1x), ξ = 1, ), v = 1, 3 ii) f : R 3 R, x expx 1x x 3), ξ = 1, 1, 1), v = 1,, 1). b) Sei f : R R definiert durc fx, y) = { x + y, falls x = 0 oder y = 0, 1, sonst. Bestimmen Sie alle v R mit v = 1 derart, dass die Rictungsableitung von f im Nullpunkt in Rictung v existiert. ). Erreicbare Punktzal: 0

2 Übungsblatt V Lösungen Seite Aufgabe V.1 i) Es gilt für alle x, y) R : Folglic ist: Lösungsvorscläge x fx, y) = + y + 6x und y fx, y) = + x. fx, y) = ) + y + 6x. + x Aus der partiellen Ableitung in Rictung y folgt: y fx, y) = 0 x =. Einsetzen in + y + 6x = 0 liefert y = 10. Also gilt fx, y) = 0 x, y) =, 10). ii) Es gilt für alle x, y) R : x gx, y) = y ye xy und y gx, y) = x xe xy. Folglic ist: ) y ye xy gx, y) = x xe xy. Es gilt x gx, y) = 0 x = 0 oder y = 0. Folglic sind x = 0, y R und y = 0, x R Lösungen von y gx, y) = 0. Analog gilt y gx, y) = 0 y = 0 oder x = 0. Somit löst y = 0, x R und x = 0, y R dioe Gleicung y gx, y) = 0. Also gilt gx, y) = 0 x, y) {x, y) R x = 0 oder y = 0}. Somit verscwindet der Gradient auf den Acsen. Aufgabe V. a) Wir müssen zeigen, dass alle partiellen Ableitungen erster Ordnung existieren und stetig sind. Sei x, y) 0, 0). Dann ist f offensictlic partiell differenzierbar und es gilt nac der Quotientenregel: Sei nun x, y) = 0, 0). Dann gilt: x fx, y) = x + x y y x + y ) y, y fx, y) = x x y y x + y ) x. f, 0) f0, 0) x f0, 0) = 0, f0, ) f0, 0) y f0, 0) = 0. Also ist f in allen Punkten x, y) R partiell differenzierbar. Die partiellen Ableitungen sind in allen Punkten x, y) 0, 0) als Verkettung stetiger Funktionen

3 Übungsblatt V Lösungen Seite 3 selbst wieder stetig. Es muss also noc die Stetigkeit im Nullpunkt geprüft werden: x fx, y) x f0, 0) = x + x y y x + y ) y x y x + y ) + x x + y ) + y x + y ) y 1 y 0. Die Stetigkeit von y fx, y) im Nullpunkt zeigt man analog. Somit ist f C 1 R ). b) Es gilt: y f, 0) y f0, 0) x y f0, 0) x f0, ) x f0, ) y x f0, 0) Also gilt: x y f0, 0) = = y x f0, 0) =. =, c) Die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f sind nict stetig im Nullpunkt. Wir zeigen dies für y x f. Seien x, y) 0, 0). Dann gilt: und somit y x fx, y) = x6 + 9x y 9x y y 6 x + y ) 3 lim y x fx, 0) = x6 x 0 x 6 =, lim y x f0, y) = y6 y 0 y 6 =. Folglic ist y x f im Nullpunkt nict stetig. Aufgabe V.3 a) Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung gilt: x fx, y, z) = siny)z, y fx, y, z) = x cosy)z, z fx, y, z) = x siny)z. Für die Ableitungen zweiter Ordnung gilt: x x fx, y, z) = 0, y x fx, y, z) = cosy)z, z x fx, y, z) = siny)z, x y fx, y, z) = cosy)z, y y fx, y, z) = x siny)z, z y fx, y, z) = x cosy)z, x z fx, y, z) = siny)z, y z fx, y, z) = x cosy)z, z z fx, y, z) = x siny).

4 Übungsblatt V Lösungen Seite b) Sei x, y) 0, 0). Dann ist g offensictlic partiell differenzierbar und es gilt: x gx, y) = yx + y ) xy x x + y ) = yy x ) x + y ), y gx, y) = xx y ) x + y ). Sei nun x, y) = 0, 0). Dann gilt: g, 0) g0, 0) x f0, 0) = 0, g0, ) g0, 0) y f0, 0) = 0. Also ist g partiall differenzierbar auf R. Die Funktion g ist im Nullpunkt nict stetig, denn 1 lim g n n, 1 ) ) = n n n = 1 0. Wir zeigen nun, dass die partiellen Ableitungen von g auf jeder Kugel B r 0) unbescränkt sind. Sei r > 0 beliebig und n 0 N derart, dass 1 n 0 < r. Wir betracten zunäcst x g. Wäle die Folge 0, 1 ) n n N,n n 0 B r 0). Dann gilt x g 0, 1 ) = n für n. n Analog zeigen wir, dass y g unbescränkt ist. Hierzu betracten wir die Folge 1 n, 0) n N,n n 0 B r 0). Dann gilt ) 1 y g n, 0 = n für n. Aufgabe V. a) In beiden Teilaufgaben wird die Regel von l Hospital verwendet, um die entsprecenden Grenzwerte zu bestimmen. i) Es ist v = 1. Für die gesucte Rictungsableitung gilt ) sin t ) + t 3 ) sin1) v fξ) t 1 + t 3 + t ) + 3t 8 sin1) sin 3 = t cos1). ) t cos 1 + t 3 + t ) + 3t 8 1

5 Übungsblatt V Lösungen Seite 5 Der Gradient an der Stelle ξ gibt die Rictung des steilsten Anstiegs an: ) 1 1 fξ) = ξ cos ξ 1ξ, 1 )) 1 ξ 1 cos ξ 1ξ = cos1), 1 ) cos1). Alternativ kann man auc den Gradienten verwenden, um die Rictungsableitung zu bestimmen: v fξ) = fξ) v) = + 3 cos1). ii) Es ist v = 6. Setze c = 1 6. Für die gesucte Rictungsableitung gilt damit exp [1 + ct)1 + ct)1 ct)] exp1) v fξ) t exp1 + ct c t c 3 t 3 ) exp1) t c c t 6c 3 t ) exp1 + ct c t c 3 t 3 ) = ce = e 3. Der Gradient an der Stelle ξ gibt die Rictung des steilsten Anstiegs an: fξ) = ξ ξ 3 expξ 1 ξ ξ 3 ), ξ 1 ξ 3 expξ 1 ξ ξ 3 ), ξ 1 ξ expξ 1 ξ ξ 3 )) = e, e, e). Alternativ kann man auc den Gradienten verwenden, um die Rictungsableitung zu bestimmen: v fξ) = c fξ), v = e 3. b) Sei 0. Wir bezeicnen die Standardeineitsvektoren des R mit e j für j {1, }. Es gilt: f0, 0) + ±e j ) f0, 0) = ± = ±1 ±1 für 0. Foglic ist f im Nullpunkt in die Rictungen 1, 0), 1, 0), 0, 1), 0, 1) differenzierbar. Wir zeigen nun, dass für jeden anderen Vektor v R \{1, 0), 1, 0), 0, 1), 0, 1)} mit v = 1 die Rictungsableitung im Nullpunkt nict existiert. Da v R \ {1, 0), 1, 0), 0, 1), 0, 1)} mit v = 1 müssen beide Koordinaten des Vektors v von Null verscieden sein. Also ist auc v von Null verscieden. Es gilt: f0, 0) + v) f0, 0) = 1 0 = 1 für 0. Also sind 1, 0), 1, 0), 0, 1), 0, 1) die einzigen Rictungen, entlang derer f im Nullpunkt differenzierbar ist.