Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

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Hilke Schenck
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1 Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 008/009

2 Anweseneitsaufgaben Übung 4 Einleitung Es soll darauf ingewiesen werden, daß es in der Woce vor der Klausur Sprecstunden angeboten werden. Die Zeiten und Räume steen im Blackboard. Für die Klausur sind die Abscnitte.5 bis 4. einscließlic relevant. Man kommt bei der Klausur nict durc, wenn man die Aufgaben recnen kann, jedoc kein teoretisces Wissen vorzeigen kann. Das Niveau der Aufgaben in der Klausur soll zwiscen den Anweseneitsaufgaben-Niveau und Hausaufgaben-Niveau liegen. Für die Klausur sollen und dürfen nur mitgebract werden: Screibstift kein Bleistift!, besser zwei, wenn der andere aufgibt, Essen/Trinken, Studentenausweis, Kopf wictig. Tascenrecner und weitere Hilfsmittel sind nict gestattet auc Spickzettel nict, sie werden aber weder gebrauct noc nützlic sein. Wenn jemand Interesse at, am im näcsten Semester stattfindenden Pro-Seminar in Analysis teilzunemen, scickt eine an Frau Dzwigoll. Die Voraussetzung ist, natürlic, die bestandene Analysis I-Klausur. Desweiteren sollen Fragen zur Vorlesung und Hausaufgaben beantwortet werden.

3 Anweseneitsaufgaben Aufgaben Aufgabe Es seien f i : R R für i {,, 3} gegeben durc f i 0 = 0 und i ii iii f = sin f = sin f 3 = sin für 0. Welce der Funktionen sind in 0 stetig, welce differenzierbar? Zusatz: Welce der Funktionen ist stetig differenzierbar? Wir zeigen, daß f nict stetig in 0 ist, f und f 3 stetig in 0 sind, f nict differenzierbar in 0 ist, aber f 3 differenzierbar in 0 ist. Es zeigt sic jedoc, daß f 3 nict stetig differenzierbar in 0 ist. i f ist nict stetig in 0. Damit ist sie auc nict differenzierbar in 0. Daß f nict stetig in 0 ist, folgt aus dem Folgenkriterium für Stetigkeit. Es gilt nict für jede Folge n mit lim n = 0, daß lim f n = f lim n = f 0 = 0. Dazu betracte beispielweise die Folge n = [ + n π ] = 4n+π man sic leict überzeugt: lim n = 0. Wegen [ ] [ ] f n = sin = sin n + n π = sin π =, lim f n = 0 = f lim n.. Es gilt, wie ii f ist stetig in 0, denn wieder mit Folgenkriterium für Stetigkeit gilt für eine beliebige Folge n mit lim n = 0: lim f n n sin n = 0 = f 0 = f lim n, Man kann ier leict eine Folge konstruieren. Man wält einen beliebigen Wert von sin aus, berecnet den dazugeörigen arcsin-wert und addiert das n-face der Periode von sin, also π inzu. Der Kerwert ist dann die gesucte Folge. Hier ist der Wert von sin gleic gewält worden und es gilt: arcsin = π. 3

4 Anweseneitsaufgaben da n eine Nullfolge und sin y R ist. n eine bescränkte Folge wegen siny [, ] f ist nict differenzierbar in 0. Es gilt mit der Definition der Differenzierbarkeit: f 0 f 0 + f 0 0 f f sin 0 sin 0 wie wir oben saen, eistiert dieser Grenzwert aber nict, denn sin ist nict stetig in 0. iii f 3 ist stetig in 0, denn wieder mit Folgenkriterium für Stetigkeit gilt für eine beliebige Folge n mit lim n = 0: lim f 3 n n sin n da n eine Nullfolge und sin y R ist.. n n sin = 0 = f 3 0 = f 3 lim n, n n eine bescränkte Folge wegen siny [, ] f 3 ist auc differenzierbar in 0. Es gilt mit der Definition der Differenzierbarkeit: f 30 f f f 3 f sin sin = 0. Es gilt aber: f 3 ist nict stetig differenzierbar, denn, wenn man für 0 die Ableitung berecnet, gilt: f 3 = sin cos, 0. [ Es gilt zwar, daß lim sin ] 0 = 0, aber, genauso wie bei lim sin 0, eistiert auc lim cos 0 nict, und ist, demnac, nict gleic 0, was der Wert von f 3 0 4

5 Anweseneitsaufgaben ist, wie wir oben berecnet aben. Somit ist die Funktion sin cos, für 0 f 3 = 0, für = 0, die eine Fortsetzung von f 3 darstellt, nict stetig in 0. Aufgabe Seien f, g, : R R differenzierbare Funktionen. Finde eine Formel für f g. Zunäcst definieren wir: H := f g. Dann gilt mit der Produktregel: f g = H = H + H = f g + f g = f g + f g + f g = f g + f g + f g. Hier ist bei die Produktregel auf H und angewandt worden, bei wurde die Produktregel auf f und g angewandt. Aufgabe 3 Sei n N. Bestimme die Ableitungen der Funktionen f, g : R R mit i ii f = sin n sin n g = ep. Mit Summationsregel, Produktregel und Kettenregel folgt: i ii f = sin n sin n = n sin n cos cos n n n = n sin n cos n cos n g = ep = ep = ep Aufgabe 4 Stellen Sie eine Tabelle zur Berecnung einiger einfacen Ableitungen zusammen! 5

6 Anweseneitsaufgaben Hier nur eine kleine möglice Zusammenstellung der wictigen Funktionen und deren Ableitungen: f f c Konstante 0 µ µ µ a ep log a ln sin cos a lna ep log a e cos sin tan sec = cos cot cosec = sin arcsin arccos arctan + arccot + sin cos cos tan cot sin cos sin 6

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