Rudolphs Schlitten. Aufgabe. Autor: Jochen Ricker

Transkript

1 Rudolps Sclitten Autor: Jocen Ricker Aufgabe Endlic ist es wieder soweit: Weinacten stet vor der Tür! Diesmal at der Weinactsmann sic ein ganz besonderes Gescenk für seine Rentiere einfallen lassen. Sie bekommen einen nagelneuen Sclitten, der dank extraglatter Kufen noc leicter durc den Scnee gleitet. Er ist mit einem Tacometer ausgerüstet, damit der Kutscer immer abscätzen kann, wie lange er unterwegs sein wird. Da noc ein paar Tage bis Heiligabend vergeen werden und der Weinactsmann in Bezug auf sein Gescenk ser unsicer ist, soll die Qualität des Sclittens erst noc bei einer Probefart auf dem Werksgelände der Wictelwerkstatt getestet werden. Um gleiczeitig die Überrascung möglicst lange aufrect zu eralten, wird nur Rudolp, das rotnäsige Rentier, in die Pläne des Weinactsmanns eingeweit. Es wird eine Strecke von genau 20 km abgesteckt, die Rudolp den Sclitten zieen muss. Wärend der Tour fällt dem Weinactsmann auf, dass der Wert von Rudolps Gescwindigkeit in km immer genau dem Dreifacen des Abstandes von Rudolp zum Zielpunkt in Kilometern entsprict. Nun möcte der Weinactsmann wissen, wie viele Kilometer Rudolp nac einer alben Stunde zurückgelegt at. Exakt kann er die Länge der Strecke nict bestimmen, aber er überlegt sic eine Metode, wie er sie annäern kann. Inneralb einer jeden Minute ändert Rudolp seine Gescwindigkeit 1

2 nur wenig, desalb teilt der Weinactsmann die albe Stunde in 30 Intervalle. Zu Beginn eines jeden Intervalls berecnet er stolz die Gescwindigkeit und nimmt an, dass sie in diesem Intervall konstant ist. Am Startpunkt at Rudolp die Gescwindigkeit 60 km.würde er eine Minute mit dieser Gescwindigkeit laufen, ätte er genau einen Kilometer zurückgelegt. Seine Gescwindigkeit für die zweite Minute betrüge dann 57 km. Inneralb der ersten zwei Minuten at Rudolp den Sclitten also 1, 950 km gezogen. Wie lang ist nac den Berecnungen des Weinactsmanns die Strecke, die Rudolp in der ersten alben Stunde den Sclitten ziet? Gib die Länge auf ganze Meter genau gerundet an. 2

3 Antwortmöglickeiten 1. 7, 854 km 2. 15, 707 km 3. 23, 561 km 4. 4, 924 km 5. 9, 848 km 6. 14, 772 km 7. 1, 547 km 8. 3, 094 km 9. 4, 641 km , 000 km 3

4 Lösung Sei u m die Strecke (in Kilometern), die Rudolp nac m Minuten zurückgelegt at. Die Länge der Strecke, die Rudolp den Sclitten in der (m + 1)-ten Minute ziet, beträgt dann u m+1 u m. Da der Weinactsmann annimmt, dass die Gescwindigkeit, inneralb dieser Minute ( 1 ) konstant ist und dass 60 die Gescwindigkeit zu Beginn jeder Minute feststet, ergibt sic folgende Gleicung: u m+1 u m 1 = 3 (20 u m ) 60 Stellen wir die Gleicung nac u m+1 um, so eralten wir diese Rekursion: u m+1 = u m + 1 Sei nun y m = u m 20, so können wir u m durc y m + 20 und u m+1 durc y m ersetzen. y m = y m y m+1 = y m (y m ) m N ist eine geometrisce Folge mit dem Anfangswert y 0 = 20, somit lässt sic y m explizit berecnen: ( ) m 19 y m = ( 20) 20 Somit errecnet der Weinactsmann eine Strecke mit einer Länge von ( ( ) ) u 30 = y = u 30 15, 707 Rudolp, das Rentier mit der roten Nase, legt also nac 30 Minuten eine Strecke von 15, 707km zurück. 4

5 Projektbezug Bei der Aufgabe andelt es sic um ein numerisces Problem. Der Weinactsmann versuct eine Differentialgleicung zu lösen, deren exakte Lösung er nict analytisc ermitteln kann. Differentialgleicungen sind Gleicungen, die eine Funktion y und deren Ableitung y entalten. y (t) = f (t, y (t)) In unserem Fall entält die Gleicung den Weg y als Funktion der Zeit und die Gescwindigkeit y als Ableitung des Weges nac der Zeit. Statt einer einzelnen Zal wird die Funktion selbst gesuct. Die Metode, die bei dieser Aufgabe angewandt wird, nennt sic das explizite Eulerverfaren. Für eine natürlice Zal n wird das gesamte Zeitintervall in n kleinere Zeitabscnitte geteilt, dessen Anfangspunkte ier mit t i bezeicnet werden sollen (für 0 i < n). Anscließend wird die Ableitung durc den Differenzenquotienten ersetzt. Aus der oberen Gleicung ergibt sic dann folgende Näerung: y (t i+1 ) y (t i ) t i+1 t i f (t i, y (t i )) Somit lässt sic ein approximativer Wert für y (t i+1 ) angeben: y (t i+1 ) y (t i ) + (t i+1 t i ) f (t i, y (t i )) Genau dies wird auc in der Aufgabe gemact. 5