Das Delta-Potential. Gruppe PLANCK. Anton Hörl Thomas Kloiber Bernd Kollmann Miriam Mutici Jakob Schwarz. Quantenmechanik Projekt 2

Transkript

1 Das Delta-Potential Quantenmecanik Projekt Gruppe PLANCK Anton Hörl Tomas Kloiber Bernd Kollmann Miriam Mutici Jakob Scwarz Max Planck ( )

2 4.4 Delta-Potential Ist die räumlice Ausdenung eines Potentials klein, kann es möglicerweise durc ein Delta-Potential der Form V ( x = V δ ( x ) (4.4.1) ersetzt werden Matematisce Grundlagen Definition: Funktional Eine Abbildung aus einem Funktionenraum in die komplexen Zalen wird Funktional genannt. Φ : f a Φ[ f ] (4.4.) Ein Beispiel ierfür ist z. B. das Skalarprodukt, welces zwei Vektoren eine Zal zuordnet. Definition: Distribution Ein stetiges, lineares Funktional auf dem Testfunktionenraum wird Distribution genannt. (Testfunktionenraum: z. B. C ( ) ) Ω Die Delta-Distribution (auc Dirac-Delta genannt) entsprict solc einem Konstrukt δ x [ f ] = dx f ( δ ( x x ) = f ( x ) (4.4.3) Formal wird sie wie folgt definiert: b f ( x a < x < ) b dx f ( δ ( x x ) (4.4.4) sonst a Vorstellbar ist die Delta-Distribution als Grenzfall einer Funktionenfolge deren Integral über die gesamte reelle Acse gleic bleibt, obwol eine Spitze immer ausgeprägter wird. - -

3 Ein Beispiel für solc eine Funktionenfolge ist 1 x f ε ( = exp für ε (4.4.5) επ ε Das Integral über f ε ( ist unabängig von ε immer f ε (x für drei versciedene Werte von ε (1, 1/1 und 1/1). Abb : ) Für ε wird die Spitze unendlic oc und beliebig scmal, bei konstantem Wert des Integrals von 1. In Abbildung ist dargestellt, wie die Delta-Distribution als lim f ε ( ε definiert ist. Weiterfürende Informationen zu Funktionalen, Distributionen und der Delta-Distribution siee [] Beandlung in der Scrödingergleicung Um die Wellenfunktionen eines Teilcens in einem Potential mit einer bzw. mereren Delta-Distributionen zu finden, muss die Scrödingergleicung gelöst werden. (Allgemeines zur Scrödingergleicung siee [4] bzw. Kapitel 3.1 und 3.) Die eindimensionale, stationäre Scrödingergleicung at im Fall eines Delta-Potentials die Form d Vδ ( x x ) ϕ( = Eϕ( m dx (4.4.6) Da die Delta-Distribution formal nur unter dem Integral definiert ist, wird die gesamte Scrödingergleicung über einen kleinen Bereic von ε bis ε integriert (matematisc exakter lassen sic die folgenden Bedingungen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung erleiten)

4 Hierzu wird x = gesetzt. (Die Verallgemeinerung auf beliebiges x ist trivial; x muss sic zwiscen ε und ε befinden.) ε d lim dx V δ ( ϕ( = Eϕ( m dx ε ε (4.4.7) Die recte Seite ergibt lim ε ε ε dx Eϕ( = lim E ε ε ε dx ϕ( lim Eεϕ( x = ) = ε (4.4.8) Die durcgefürte Näerung ist umso besser je kleiner ε ist. Im ier betracteten Grenzfall ε erält man. Die linke Seite ergibt lim ε m = lim ε m = m ( ϕ ( ε ) ϕ ( ε )) V ( ϕ ( ε ) ϕ ( ε )) ( ϕ ( ) ϕ ( )) V ϕ() dx δ ( ϕ( = Vϕ() = ε ε (4.4.9) wobei bzw. rects- bzw. linksseitiger Grenzwert an der Stelle x = bedeutet. Somit ergibt sic m ( ϕ ( ) ϕ ( )) V ϕ() = (4.4.1) bzw. m ϕ ( ) = ϕ ( ) V ϕ () (4.4.11) ϕ at also einen Sprung an der Stelle x. Dieser Sprung fürt zu einer Delta-Distribution in ϕ, welce gerade diejenige des Potentials in (4.4.6) kompensiert. Weiters bedeutet ein Sprung in ϕ, dass ϕ stetig ist, - 4 -

5 ϕ ( ) = ϕ( ) (4.4.1) was ja eine Bedingung an ϕ ist. Die Gleicungen (4.4.11) und (4.4.1) stellen die Übergangsbedingungen für die Wellenfunktion bzw. deren Ableitung an der Stelle der Delta- Distribution dar. Somit sind nun alle Informationen bekannt, um Potentiale mit Delta-Distributionen zu beandeln Beispiel Das Delta-Potential wird nun anand eines einfacen Beispiels diskutiert. Hierfür wurde, aus weiter unten ersictlicen Gründen, ein attraktives Delta-Potential gewält. Attraktives Delta-Potential Sei E < und V ( = Vδ ( mit V. < V ( x Abb. 4.4.: Skizze des attraktiven Delta-Potentials an der Stelle x =. Die Scrödingergleicung ergibt sic zu d Vδ ( ϕ( = Eϕ( m dx (4.4.13) Es folgt eine getrennte Beandlung der Bereice x < sowie x > und im Anscluss die Anpassung der eraltenen Lösung an die Übergangsbedingungen an der Stelle x =. In diesen Bereicen lässt sic me die Scrödingergleicung mit Hilfe von κ = umscreiben in - 5 -

6 d dx ϕ ( = κϕ( (4.4.14) Die Lösungen ierzu lauten κx κx A1e B1e x < ϕ ( = κx κx (4.4.15) Ae Be x > Wobei wegen der Bedingungen ϕ ( x ± (4.4.16) die Konstanten A und B 1 verscwinden müssen. Damit verringert sic das Problem auf κx A1 e x < ϕ ( = κx (4.4.17) Be x > Weiters muss die Stetigkeitsbedingung ϕ ( ) = ϕ( ) erfüllt sein, wofür A 1 = B A gelten muss. Die unter 4.4. ergeleitete Bedingung für ϕ an der Stelle x = lautet Hieraus erält man mit m m ϕ ( ) ϕ ( ) = Vϕ() = V A (4.4.18) ϕ () = Aκ ϕ () = Aκ (4.4.19) wobei ϕ () bzw. ϕ () die Wellenfunktionen für x < bzw. für x > jeweils an der Stelle x = bezeicnen, durc Einsetzen in Gleicung (4.4.18) mv κ = > (4.4.) Für pysikalisce Lösungen muss κ > und damit V (wie es in diesem Beispiel onein der Fall ist) sein. Gebundene Lösungen gibt es daer nur im attraktiven Delta-Potential. Mit der gewälten Substitution für < - 6 -

7 E und Gleicung (4.4.) erält man genau eine gebundene Lösung mit dem diskreten Energieeigenwert E κ V m = = m (4.4.1) Die Normierungsbedingung lautet dx ϕ ( = 1 (4.4.) Hieraus erält man für die Normierungskonstante mv A = mv = κ = (4.4.3) Die Eigenfunktion für den gebunden Zustand mit der Energie E (Gleicung (4.4.1)) ergibt sic letztendlic zu m V mv ( = e x ϕ (4.4.4) κ. Abb : Grafisce Darstellung der Wellenfunktion (4.4.4) für = 1 Zu erkennen ist der Sprung von ϕ an der Stelle x =

8 Bemerkungen Streulösungen ( E > ) existieren unabängig vom Vorzeicen von V. Der Hamiltonoperator mit einem Delta-Potential ist ein Beispiel für einen Operator, der sowol diskrete, als auc kontinuierlice Eigenwerte (für Streulösungen) at. Diskrete Lösungen sind lokalisiert, Streulösungen dagegen nict. Für weitere Beispiele siee z. B. [4] bzw. [7] Anwendung Anwendung findet die Näerung eines realen Potentials durc ein Delta- Potential z. B. in der Modellierung eines Festkörpers durc das Kronig- Penney-Modell. Das folgende Kapitel dient in erster Linie der überblicksmäßigen Darstellung einer möglicen Anwendung; es wird nict näer auf Details eingegangen. Für einen detaillierteren Überblick und insbesondere näere Informationen zum Bloc scen Teorem siee [6]. Kronig-Penney-Modell Beim diesem Modell (nac Ralp Kronig und William Penney) andelt es sic um ein einfaces Modell der Festkörperpysik, das das Veralten von Valenzelektronen in kristallinen Festkörpern erklärt. Aus im ergibt sic eine Bandstruktur der Energie, wie sie änlic auc in der Natur auftritt, zum Beispiel bei Metallen und Halbleitern. -a -a a a 3a x Abb : Potential des Kronig-Penney-Modells mit periodiscen Delta-Potentialen. Für ein einzelnes unabängiges Elektron, welces ein periodisces Delta- Potential an der Position der Atome spürt, kann die zeitunabängige Scrödingergleicung gelöst werden. Das Potential lautet in diesem Fall - 8 -

9 n= V ( = D δ ( x na) (4.4.5) Wobei das Potential als repulsiv oder attraktiv angenommen werden kann. Analog zum Beispiel unter spürt das Elektron zwiscen den Atomen (ier eben durc Delta-Potentiale angenäert) keine Kraft und die Wellenfunktion kann dort als ( x na) A e ikx ikx ϕ = n n mit B e n und für < x < a (4.4.6) me mit k = angesetzt werden. Eigentlic wären jetzt unendlic viele Konstanten A n und B n zu bestimmen. Aufgrund des Bloc scen Teorems weiß man aber, dass man die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators nac der Gitterwellenzal q klassifizieren kann, sodass iqna ϕ ( x na) = e ϕ( (4.4.7) gilt. In diesen Eigenfunktionen untersceidet sic somit die Wellenfunktion in jedem Intervall nur um einen bekannten Pasenfaktor von der Wellenfunktion im Intervall < x < a. Deswegen bleiben nur die zwei Konstanten A und B zu bestimmen. Die Stetigkeitsbedingungen z. B. bei x = a reicen dann aus, um die Konstanten in Abängigkeit von k und q festzulegen. Dies fürt zu folgenden Ansclussbedingungen ϕ ( ϕ (4.4.8) x a ) = ( x= x ) x= a und ϕ m ( x a) x= ϕ ( x= a = Dϕ( x a) x= (4.4.9) woraus sic folgendes Gleicungssystem ergibt I : II : Ae ia( k q) Be ik( A B Ae ia( k q) ia( kq) = A B Be ia( k q) ) = m D( A B) (4.4.3) - 9 -

10 welces nur dann eine nicttriviale Lösung besitzt, wenn die entsprecende Determinante der Koeffizientenmatrix verscwindet, woraus folgt md cos( qa) cos( ka) sin( ka) = k (4.4.31) woraus wiederum folgende Bedingung für ka und damit für gewonnen werden kann k E = m md cos( ka) sin( ka) 1 k (4.4.3) Es gibt daer erlaubte und verbotene Energiebereice, so wie in realen Festkörpern. Zu jeder Wellenzal q gibt es unendlic viele diskrete Lösungen für k. Als Funktion von q aben sie die Form von Energiebändern. Abb : cos(qa) als Funktion von ( ka) E für Da = 1. Es sind nur diejenigen Energien möglic, für die cos(qa ) zwiscen 1 und 1 liegt. Als Funktion der Gitterwellenzal q betractet, erält man so die möglicen Energiebänder

11 4.4.5 Quellen und weiterfürende Literatur [1] en.wikipedia.org / de.wikipedia.org [] Cristian B. Lang / Norbert Pucker Matematisce Metoden in der Pysik,. Auflage, 5 [3] Quantenmecanik VO UE, Vorlesungsmitscrift SS 8 [4] Torsten Fließbac Quantenmecanik, Lerbuc zur Teoretiscen Pysik III, 4. Auflage, 5 [5] Claude Coen-Tannoudji Quantum Mecanics, Vol. I, 1977 [6] H. G. Evertz / W. von der Linden Quantenmecanik, 3. Auflage, Vorlesungsskriptum SS 7, S. 174 ff. (ttp://itp.tugraz.at/lv/evertz/qm_skript/qm.tml) [7] Yoav Peleg, et. al. Scaum s Outlines, Quantum Mecanics, 1998, S. 4 ff