Potentialstufen. Gebiet zerfällt in Regionen, in denen Potential konstant ist. Betrachten nun Idealisierung: Bewegung in Potentialstufen.

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1 Potentialstufen Gebiet zerfällt in Regionen, in denen Potential konstant ist. Betrachten nun Idealisierung: Bewegung in Potentialstufen. Stetigkeit von ψ(x, ψ (x für stückweise stetiges Potential betrachte V (x d 2 ψ(x = 2m (E V (xψ(x dx 2 2 I a II Angenommen, ψ(x wäre unstetig ψ(x θ(x a, ψ (x =δ(x a, ψ (x =δ (x a Angenommen, ψ (x wäre unstetig ψ (x =θ(x a, ψ (x(x =δ(x a

2 Widerspruch mit der rechten Seite der Schrödingergleichung ψ(x, ψ (x müssen stetig sein ψ I (a =ψ II (a, ψ I (a =ψ II (a gilt nicht mehr, wenn V die Form einer δ-distribution aufweist. Beispiel: Potentialstufe V (x =V 0 Θ(x, Θ(x = 1 x 0 0 x < 0 I: d 2 ψ(x = 2mE dx 2 2 ψ(x II: d 2 dx 2 ψ(x = 2m(E V 0 2 ψ(x Betrachte die Fälle für E > V 0 und E < V 0 getrennt.

3 Teilchenenergien oberhalb der Potentialstufe E > V 0 d 2 2mE I: dx 2 ψ(x = k2 ψ(x mit k = 2 II: d 2 dx 2 ψ(x = q2 ψ(x mit q = sqrt 2m(E V 0 2 Fundamentallösungen: e ikx, e ikx, K = k x 0 q x < 0 Wir machen den folgenden Ansatz: ψ I (x =e ikx + Re ikx, ψ II (x =Te iqx, ψ(x =Θ( xψ I (x+θ(xψ II (x einfallende Welle reflektierte Welle durchgehende Welle Stetigkeit von ψ(x bei x = 0: Stetigkeit von ψ (x bei x = 0: 1 + R = T ik(1 R =iqt = R = k q k + q, T = 2k k + q

4 Bemerkungen: i Teilchen wird mit Wahrscheinlichkeit r = R 2 reflektiert. klassisch keine Reflektion, Teilchen wird nur langsamer ii E = q k : R 0, T 1 E =4/3V 0, q/k =1/2

5 Teilchenenergie unterhalb der Potentialstufe E < V 0 I: II: d 2 ψ dx 2 = k2 ψ, k = 2mE/ d 2 ψ dx 2 = 2m(E V 0 2 ψ = κ 2 ψ, κ = 2m(V 0 E/ ψ I = e ikx + Re ikx ψ II = Te κx 1+R = T, ik(1 R = κt i2k =ikt κt T = i2k ik κ = 2k k +iκ R = k iκ k +iκ, T = 2k k +iκ

6 Bemerkungen: i R 2 =1 V 0 Eindringtiefe κ 1 ii V 0 : κ, T = 0, R = 1 ψ I = e ikx e ikx ψ I (0 = 0 allgemeine Randbedingung an unendlich hoher Schwelle: ψ Schwelle =0

7 Tunneleffekt Potentialbarriere V (x =V 0 θ(a x Betrachte nur E < V 0 V 0 ψ(x = Ae ikx + Be ikx Ce κx + De +κx Fe ikx + Ge ikx x < a a < x < a x > a a 0 a k = 2mE, κ = 2m(V0 E Stetigkeit für ψ, ψ bei x = a, x = a x = a : Ae ika + Be ika = Ce κa + De κa ik ( Ae ika Be ika = κ ( Ce κa De κa

8 In Matrixschreibweise: ( e ika e ika e ika e ika ( A B = ( e κa e κa iκ k eκa iκ k e κa ( C D ( A B = 1 2 ( e ika e ika e ika e ika ( e κa e κa iκ k eκa iκ k e κa( C D ( A B = M(a ( C D mit M(a = 1 2 ( 1+ iκ k ( 1 iκ k e κa+ika e κa ika ( 1 iκ k ( 1+ iκ k e κa+ika e κa ika x = a : ( F G ( C = M( a D

9 Zusammenhang zwischen ( A B und ( F G : ( A B = M(aM( a 1 ( F G Mit M( a 1 = 1 2 ( 1 ik κ e κa+ika ( 1+ ik κ e κa ika ( 1+ ik κ e κa ika ( 1 ik κ e κa ika folgt A B = ( cosh(2κa+ iɛ 2 sinh(2κa e 2ika iη 2 sinh(2κa iη 2 sinh(2κa ( cosh(2κa iɛ 2 sinh(2κa e 2ika F G ɛ = κ k k κ, η = κ k + k κ

10 Betrachte von links einlaufendes Teilchen, also G = 0 A = F B = F (cosh(2κa+ iɛ2 sinh(2κa ( iη 2 sinh(2κa e 2ika Transmissionsamplitude S(E := F A = Durchlässigkeitskoeffizient e 2ika cosh(2κa+ ( iɛ 2 sinh(2κa S(E 2 = ( ɛ2 4 sinh2 (2κa = Wahrscheinlichkeit für das Durchdringen der Potentialschwelle

11 betrachte hohe und breite Barriere: κa 1 = sinh(2κa 1 2 e2κa 1 S(E 2 1 = 1 + (1 + ɛ = 16E(V 0 E = exp S(E 2 exp V ɛ2 e4κa 4e 4κa exp 4 4 2m(V 0 E a = 16(κk2 (κ 2 + k 2 2 e 4κa 4 2m(V 0 E a + log ( 16E(V0 E 4 2m(V 0 E a } Klassisches Teilchen würde reflektiert QM: endliche Durchgangswahrscheinlichkeit Tunneleffekt Beispiel: α-zerfall, Josephson-Effekt, Kernfusion } V 2 0 }

12 Kontinuierliche Potentialberge Diskretisieren: dx Stufenbreite 2a S(E 2 = N i=1 exp } 2m(V (xi E 2dx = exp 2 N i=1 } 2m(V (xi E dx N : S(E 2 = exp 2 b a } 2m(V (x E dx

13 Potentialtopf gebundene Zustände im Potentialtopf V (x = V 0 θ(a x Modell für kurzreichweitige Kräfte (Kernphysik, abgeschirmte Störstellen in Festkörpern Bindungszustände: V 0 E 0 ψ = κ 2 ψ, κ = ψ = q 2 ψ, q = 2m( E 2m(E + V0 für x > a für x < a x > a: Fundamentallösungen e +κx,e κx Normierung: Wähle nach außen abfallende Lösung x < a: cos qx, sin qx

14 Spiegelungssymmetrie des Potentials gerade oder ungerade ψ(x = ψ(x = A cos qx e κx A sin qx x < a x > < ± a x < a ±e κx x > < ± a gerade Symmetrie (nach Division mit ζ = 2mV 0 a/ A cos qa = e κa, Aq sin qa = κe κa tan (qa = κ q = ζ2 (qa qa (dimensionsloser Parameter Aus V 0 E 0 folgt: 0 < qa = 2m(E + V 0 a/ ζ

15 transzendente Gleichung: graphische Lösung. Physik steckt in ζ: ζ vorgegeben. Schnittpunkte z = qa Eigenschaften: E = V 0 + q 2m = V 0 (1 (qa2 i ( ζ 2 z bei z = ζ Anzahl der Schnittpunkte n g =[ζ/ ] ([α] nächst größere natürliche Zahl zu α ii Es gibt mindestens einen geraden gebundenen Zustand. ζ 2

16 ungerade Symmetrie Stetigkeitbedingungen A sin(qa =e κa, Aq cos(qa = κe κa ctg(qa = κ q = (ζ2 (qa qa ζ ] π 2 (2n u 1, π 2 (2n u + 1[ n k Lösungen es gibt ungerade Lösungen, wenn 2mV 0 a 2 / 2 > }} ζ 2 π 2 4

17 Zustand qa Symmetrie Knotenzahl Grundzustand [0, π 2 ] gerade 0 1. angeregter Zustand [ π 2, π] ungerade 1 2. angeregter Zustand [π, 3 2π] gerade unendlich tiefer Potentialtopf: V 0 ψ q = Θ(a x cos(qx qa = ( k + 1 π k = 0, 1,... 2 ψ q = Θ(a x sin(qx qa = kπ k = 0, 1,... Symmetrie Parität (Spiegelung Pf (x =f ( x gerade Funktion Pf g = f g, EW 1 ungerade Funktion Pf u = f u, EW 1 betrachte spiegelsymmetrische Potentiale: PV = V kinetische Energie: Ableitung zweiter Ordnung = PHf (x =Hf ( x =HPf (x [H, P] = 0 für symmetrische Potentiale

18 zeitunabhängige Schrödingergleichung: Hψ (x =Eψ (x und Hψ ( x =Eψ ( x mit ψ (x ist auch ψ ( x Eigenfunktion zum Eigenwert E. Summe und Differenz sind EF zum EW E. ψ g (x =ψ (x+ψ ( x ψ u (x =ψ (x ψ ( x Pψ g = ψ g Pψ u = ψ u kann Basissystem wählen, das nur aus geraden und ungeraden stationären Zuständen besteht V symmetrisch: Wenn EW nicht entartet ist Eigenfunktion gerade oder ungerade!