Hauptseminar Wellenphänomene. Daniel Bergen. 22. November Wellen an gespannten Saiten. Daniel Bergen

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Klemens Möller
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1 n an ngleichung Stehende an n an Hauptseminar nphänomene 22. November 2016

2 n an ngleichung Stehende an 1 ngleichung 2 Stehende an 3

3 n an ngleichung Stehende an Wenn die Saite bei x=0 beginnt und bei x=l endet und um y=0 schwingt, so bekommen wir für ein kleines nelement der : ( ) 2 y ds = dx 1 + (1) x wobei ( ) 2 y 1 x

4 n an ngleichung Stehende an ρ = Dichte der Saite T = Spannkraft auf das Element ds ρ δx = Masse des Elementes ds ψ = Winkel zwischen Saite und der y-achse 2 y t 2 = Beschleunigung a y

5 n an ngleichung Stehende an ρ = Dichte der Saite T = Spannkraft auf das Element ds ρ δx = Masse des Elementes ds ψ = Winkel zwischen Saite und der y-achse 2 y t 2 = Beschleunigung a y F y2 F y1 := m a y

6 n an ngleichung Stehende an ρ = Dichte der Saite T = Spannkraft auf das Element ds ρ δx = Masse des Elementes ds ψ = Winkel zwischen Saite und der y-achse 2 y t 2 = Beschleunigung a y F y2 F y1 := m a y Tsin(ψ + δψ) Tsin(ψ) = ρδx 2 y t 2

7 n an ngleichung Stehende an Es gilt: sin(ψ + δψ) = sin(ψ)cos(δψ) + cos(ψ)sin(δψ) da δψ 1folgt daraus: sin(ψ + δψ) sin(ψ) + cos(ψ)δψ

8 n an ngleichung Stehende an Tsin(ψ + δψ) Tsin(ψ) = ρδx 2 y t 2 δψ 0 T (sin(ψ) + cos(ψ)δψ) Tsin(ψ) = ρδx 2 y t 2 Tcos(ψ)δψ = ρδx 2 y t 2 Tcos(ψ) ψ x = ρ 2 y t 2

9 n an ngleichung Stehende an Es gilt: tan(ψ) = y x ( ) 2 y 1 x

10 n an ngleichung Stehende an Es gilt: tan(ψ) = y x ( ) 2 y 1 x tan(ψ) 1 ψ 1 tan(ψ) ψ y x ψ x 2 y x 2

11 n an ngleichung Stehende an ψ 0 Tcos(ψ) ψ x = y ρ 2 t 2 T 2 y x = y 2 ρ 2 t 2 mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit T c = ρ

12 n an ngleichung Stehende an ψ 0 Tcos(ψ) ψ x = y ρ 2 t 2 T 2 y x = y 2 ρ 2 t 2 mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit T c = ρ 2 y x 2 = 1 c 2 2 y t 2 (2)

13 n an ngleichung Stehende an Stehende an Das Seil ist befestigt bei x=0 und x=l y(x,t) ist die Lösung mit den Anfangsbedingungen: y(0, t) = y(l, t) = 0 für t 0

14 n an ngleichung Stehende an y(x, t) = X(x)T (t) X T = 1 XT c2 X X = 1 T c 2 T = κ

15 n an ngleichung Stehende an Lösung für X(x): X + κx = 0

16 n an ngleichung Stehende an Lösung für X(x): X + κx = 0 1. Fall: κ < 0 X = A exp( κx) + B exp( κx)

17 n an ngleichung Stehende an Lösung für X(x): X + κx = 0 1. Fall: κ < 0 X = A exp( κx) + B exp( κx) Da X(0)=X(L)=0 A=B=0

18 n an ngleichung Stehende an 2. Fall: κ > 0 X = A sin( κx) + B cos( κx) (3)

19 n an ngleichung Stehende an 2. Fall: κ > 0 X = A sin( κx) + B cos( κx) (3) X(0)=0 B=0 X(L)=0 A sin( κl) = 0

20 n an ngleichung Stehende an 2. Fall: κ > 0 X = A sin( κx) + B cos( κx) (3) X(0)=0 B=0 X(L)=0 A sin( κl) = 0 Lösung 0 für: κ = n2 π 2 L 2 n = 1, 2, 3... X(x) = A sin( nπ L x)

21 n an ngleichung Stehende an Lösung für T(t): T + n2 π 2 c 2 L 2 T = 0 T (t) = F sin ( ) ( ) nπc nπc L t + G cos L t

22 n an ngleichung Stehende an y(x, t) = X(x)T (t) X(x) = Asin( nπ L x) T (t) = F sin ( nπc L t ) + G cos ( nπc L t )

23 n an ngleichung Stehende an y(x, t) = X(x)T (t) X(x) = Asin( nπ L x) T (t) = F sin ( nπc L t ) + G cos ( nπc L t ) ( ) [ ( ) ( )] nπ nπc nπc y n (x, t) = sin L x F sin L t + G cos L t mit: F = AF ; G = AG (4)

24 n an ngleichung Stehende an E kin = 1 2 mv 2 K = ( ) 2 1 y 2 ρ dx t

25 n an ngleichung Stehende an E pot = F s δv = T (δs δx) ( ) 2 y δv = T δx 1 + δx 1 ( ) 2 y x 2 T δx x V = ( ) 2 1 y 2 T dx x

26 n an ngleichung Stehende an Für die stehenden in (4) einsetzen: K n = ρn2 π 2 c 2 4L V n = ρn2 π 2 c 2 4L [ ( nπc F n cos [ F n sin ( nπc G n sin ) L t ( ) nπc L t + G n cos )]2 L t ( )]2 nπc L t

27 n an ngleichung Stehende an Für die stehenden in (4) einsetzen: K n = ρn2 π 2 c 2 4L V n = ρn2 π 2 c 2 4L [ ( nπc F n cos [ F n sin ( nπc G n sin ) L t ( ) nπc L t + G n cos K n = ρπ2 c 2 ( ) nπc 4L R2 nsin 2 L t + κ n V n = ρπ2 c 2 ( ) nπc 4L R2 ncos 2 L t + κ n mit: R n = n Fn 2 + Gn; 2 κ n = tan 1 )]2 L t ( )]2 nπc L t ( ) Gn F n

28 n an ngleichung Stehende an K n = V n = ρπ2 c 2 8L R2 n E n = K n + V n = ρπ2 c 2 4L R2 n

29 n an ngleichung Stehende an Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

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