Identische Teilchen. Kapitel Das Pauli-Prinzip (Ausschlussprinzip) System von zwei Teilchen: Ψ( r 1, r 2,t) Schr. Gl. i Ψ t = HΨ.

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1 Kapitel 5 Identische Teilchen 5.1 Das Pauli-Prinzip (Ausschlussprinzip) System von zwei Teilchen: Schr. Gl mit W keit Normierung Ψ( r 1, r 2,t) i Ψ t = HΨ H = h2 2m h2 2m V( r 1, r 2,t) Ψ( r 1, r 2 ) 2 d 3 r 1 d 3 r 2 Ψ( r 1, r 2 ) 2 d 3 r 1 d 3 r 2 = 1 Zeitunabhängiges Potential: Separationsansatz, die Lösung ist Superposition von stationären Zuständen: Ψ( r 1, r 2,t) = ψ( r 1, r 2,t)e ie nt/ h Hier ψ ist die Lösung von Hψ = Eψ 76

2 5.1.1 Bosonen und Fermionen Wir ignorieren zur Zeit Spin. Sei Teilchen 1,2 im Zustand ψ a ( r 1 ) bzw. ψ b ( r 2 ). Sei Teilchen unterschiedlich. Dann ψ( r 1, r 2 ) = ψ a ( r 1 )ψ b ( r 2 ) Klassisch kann man die Teilchen immer unterscheiden, in QM aber nicht unbedingt. Wir besprechen jetzt solche Teilchens. Wir konstruieren die Wellenfunktion, die bei Umtausch von Teilchen nicht geändert wird: Zwei Typen von Teilchen: 1. Plus Zeichen: Bosonen 2. Minus Zeichen: Fermionen ψ ± ( r 1, r 2,t) = A[ψ a ( r 1 )ψ b ( r 2 )±ψ a ( r 2 )ψ b ( r 1 )] Typ des Teichen ist von Spin abhängig: 1. Spin ganzzahlig: Bosonen 2. Spin halb-ganzzahlig: Fermionen Das wird als Postulat angenommen; Verknüpfung wird in relativistischer QM bewiesen (obwohl es auch andere Versuche gibt). Pauli-Prinzip: zwei identische Fermionen dürfen nicht im gleichen Zustand sein. Wirklich, falls ψ a = ψ b, dann ψ = A[ψ a ( r 1 )ψ b ( r 2 ) ψ a ( r 2 )ψ b ( r 1 )] = 0 Allgemein: wir führen Umtausch-Operator ein: Pf( r 1, r 2 ) = f( r 2, r 1 ) Offensichtlich, P 2 = 1. Eigenwerte: λ 2 = 1, λ = ±1. Sei 2 Teilchen identisch, m 1 = m 2, V( r 1, r 2 ) = V( r 2, r 1 ), dann Hamilton-Operator wirkt gleich und [P, H] = 0. Also, diese zwei Operatoren haben gemeinsame Eigenfkt. Wir bekommen ψ( r 1, r 2 ) = ±ψ( r 2, r 1 ) 77

3 Das fundamentale Gesetz: Symmetrie/Antisymmetrie der Wellenfkt. Bsp. Zwei Teilchen, Masse m, (ohne Wechselwirkung) im unendlich hohen Potentialtopf. Für ein Teilchen: ψ n (x) = 2 a sin ( nπ a x ) E n = n 2 π2 h 2 2ma 2 = n2 K Unterschiedliche Teilchen, Teilchen 1 im Zustand n 1, Teilchen 2 im Zustand n 2. W keit ist Produkt: ψ n1 n 2 (x 1,x 2 ) = ψ n1 (x 1 )ψ n2 (x 2 ) E n1 n 2 (x 1,x 2 ) = (n 2 1 +n 2 2)K Z.B. Grundzustand: ψ 11 = 2 a sin(πx 1/a)sin(πx 2 /a) E 11 = 2K Erster angeregter Zustand (Entartung 2): ψ 12 = 2 a sin(πx 1/a)sin(2πx 2 /a) E 12 = 5K ψ 21 = 2 a sin(2πx 1/a)sin(πx 2 /a) E 21 = 5K Identische Teilchen: Bosonen. Grundzustand bleibt unverändert. Erster angeregter Zustand 1 2 [ψ 12 +ψ 21 ] = 2 a [sin(πx 1/a)sin(2πx 2 /a)+sin(2πx 1 /a)sin(πx 2 /a)] hat immer noch Energie E = 5K. Identische Teilchens: Fermionen. Kein Zustand mit E = 2K! Grundzustand ist jetzt 2 a [sin(πx 1/a)sin(2πx 2 /a) sin(2πx 1 /a)sin(πx 2 /a)] mit Energie 5K. Eigenschaften des Mehrteilchensystems sind davon abhängig, ob die Teilchen unterscheidbar, Bosonen oder Fermionen sind. 78

4 5.2 Kristalline Festkörper Im Festkörper Valenzelektronen sind frei: Leitungselektronen als Fermigas (Sommerfeld-Theorie) Elektronengas Rechteck Festkörper, Längen l x,l y,l z. Freies Elektron im Potential: V = 0 für 0 < x < l x, 0 < y < l y, 0 < z < l z, und V = sonst. Die Schrödinger-Gl: Separationsansatz: h2 d 2 X 2m dx 2 = E xx mit E x +E y +E z = E und h2 2m 2 ψ = Eψ ψ(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) h2 d 2 Y 2m dy 2 = E yy h2 d 2 Z 2m dz 2 = E zz Lsg: k x,y,z = 2mEx,y,z X(x) = A x sin(k x x)+b x cos(k x x) und ähnlich für y,z. Randbediengungen X(0) = X(l x ) = 0, dann B x = 0 und k x l x = n x π, wobei n = 1,2,... Die Wellenfkt: ( ) ( ) ( ) 8 nx πx ny πy nz πz ψ nx,n y,n z = sin sin sin l x l y l z l x h l y l z Erlaubte Energiewerte: E nx,n y,n z = h2 π 2 2m ( n 2 x l 2 x + n2 y l 2 y + n2 z l 2 z ) = h2 2m (k2 x +ky 2 +kz) 2 = h2 k 2 2m Betrachte k-raum mit Achsen k x, k y, k z. Jeder Zustand (ein Teilchen) entspricht einen Punkt mit Koordinaten n x,y,z π/l x,y,z und einen Volumen π 3 = π3 l x l y l z V 79

5 Volumen des Körpers V = l x l y l z. Sei es N (Avogadro-Konstante) und sei es q freie Elektronen pro Atom. Wäre Elektronen Bosonen oder unterscheidbare Teilchen, dann wären die alle im Zustand ψ 111 (Festkörper is kalt!). Fermionen: 2 Elektronen pro π 3 /V, Oktant im k-raum, Radius k F. ( ) πk3 F = Nq 2 ( ) π 3 k 3 F = 3 Nq V π2 k F = (3ρπ 2 ) 1/3 mit Elektron-Dichte ρ = N q/v. Fermi-Radius, Fermi-Fläche, Fermi-Energie V E F = h2 2m (3ρπ2 ) 2/3 Volumen einer Schale: 1 8 (4πk2 )dk Anzahl von Zustanden in der Schale: 2 (1/2)πk2 dk π 3 /V = V π 2k2 dk Energie pro Zustand ist h 2 k 2 /2m, totale Energie in der Schale: Totale Energie: de = h2 k 2 2m V π 2k2 dk E tot = h2 V kf 2mπ 2 0 k 4 dk = h2 k 5 F V 10mπ 2 = h2 (3Nqπ 2 ) 5/3 V 10mπ 2 V 5/3 = h2 (3Nqπ 2 ) 5/3 10mπ 2 V 2/3 Ähnlich zur thermischen Energie bei üblichen Gasen. Quantendruck P. Der Körper wird größer: de tot = 2 h 2 (3Nqπ 2 ) 5/3 3 10mπ 2 V 5/3 dv = 2 3 E dv tot V de tot +dw = de tot +PdV = 0 P = 2 3 E tot V = 2 h 2 kf 5 310mπ 2 = (3π2 ) 2/3 h 2 5m ρ5/3 80

6 5.2.2 Bandstruktur Kristallgitter, Dirac-Kamm. Periodisches Potential V(x+a) = V(x) Bloch-Theorem: die Lsg der Schrödinger-Gl: erfüllt h2 d 2 ψ +V(x)ψ = Eψ 2m dx2 ψ(x+a) = e ika ψ(x) wobei K ist von x unabh. Beweis: Verschiebung-Operator: Potential ist periodisch, dann Df(x) = f(x+a) [D,H] = 0 Gemeinsame Eigenfunktionen: Dψ = λψ, oder ψ(x+a) = λψ(x) λ 0, wir schreiben λ = e ika. Wir vernachlässigen Randeffekte (das Gitter ist sehr gross, N ), periodische Randbedingungen: ψ(x+na) = ψ(x) e inka ψ(x) = ψ(x) e inka = 1 NKa = 2πn Also, K = 2πn Na K (Bloch-Faktor) ist reell, dann n = 0,±1,±2,... ψ(x+a) 2 = ψ(x) 2 W keit is periodisch, obwohl ψ(x) ist es nicht. Potential: Dirac-Kamm N 1 V(x) = α δ(x ja) j=0 81

7 Das Modell ist nicht realistisch, aber Effekt der Periodizität ist da. Man kann annehmen, dass Atomen in Punkten ±a/2, ±3/2a,... sind. Laut Bloch-Theorem sollen wir die Gl nur im Intervall 0 x a lösen. Hier ist V = 0: mit Lsg: Lsg im Intervall a x 0: Kontinuität am x = 0: h2 d 2 ψ 2m dx 2 = Eψ k = 2mE ψ(x) = Asin(kx)+Bcos(kx) h d 2 ψ dx 2 = k2 ψ 0 x a ψ(x) = e ika [Asin(k(x+a))+Bcos(k(x+a))] B = e ika [Asin(ka)+Bcos(ka)] A = [e ika cos(ka)]b/sin(ka) Ableitung am x = 0. Für δ-potential haben wir hergeleitet: ( ) dψ = 2mα dx h 2 ψ(0) Hier α α. Dann ka e ika k[acos(ka) Bsin(ka)] = 2mα h 2 B [ k [eika cos(ka)]b [e e ika ika ] cos(ka)]b k cos(ka) B sin(ka) sin(ka) sin(ka) [e ika cos(ka)][1 e ika cos(ka)]+e ika ksin 2 (ka) = 2mα k h 2 sin(ka) Multiplizieren und umformen: cos(ka) = cos(ka)+ mα k h 2 sin(ka) Mehr realistische Potentiale geben ähnliche Ergebnisse. Diese Gl. bestimmt erlaubte Werte von k und E. Notation: z = ka β = mαa h 2 82 = 2mα h 2 B

8 cos(ka) = f(z) = cos(z)+β sin(z) z Bild für β = 10. Bandstruktur: erlaubte Energiebänder und Energielücken ( verbotene Zonen ). Im Band: N Energieneveaus: K = 2π n N Es gibt N q freie Elektronen. Pauli-Prinzip: nur 2 Elektronen dürfen im gleichen Energiezustand sein (wegen Unterschied in Spin). Dann: 1. q = 1: Hälfte des ersten Bandes voll 2. q = 2: Das erste Band voll. 3. q = 3: Band 1 und eine Hälfte des zweiten Bandes voll. Band voll: Isolator. Band nicht voll: Leiter. Falls einige Atomen von anderen Typ sind und mehr oder weniger freien Elektronen haben (q 1 q ): Halbleiter (Elektronen in dem oberen Band oder Löcher). 83