Ferienkurs Quantenmechanik

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1 PHYSIKDEPARTMENT TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Felix Rucker, Matthias Herzog Übungsklausur 9.9. Kurze Fragen (6 Punkte) Ferienkurs Quantenmechanik Übungsklausur a) Wie ist ein quantenmechanischer Drehimpuls definiert? Über die Vertauschungsrelation seiner Komponenten [ ] J ˆi, Jˆ j i hε i jk Jˆ k () b) Wie beschreibt man ein Spin- -Teilchen? z.b. durch Spinoren: χ (+) χ ( ) ( ) ( ) () () (4) c) Welche Werte können beim Wasserstoff die Quantenzahlen l und m bei gegebenen n annehmen? l,,...,n, m l,l +,...,l,l d) Wie lauten die Energieeigenwerte des Wasserstoffs, und wie hoch ist ihre Entartung? Entartung: bzw das zweifache mit Spin. e) Was besagt das Variationsprinzip? E n Z e 4 µ h n E n (5) n (l + ) n, (6) l für beliebige Funktionen ψ. E E var ψ H ψ ψ ψ (7)

2 f ) Inwiefern bewirkt der normale Zeemaneffekt eine Aufhebung der Entartung? Energiekorrekturen hängen von magnetischer Quantenzahl m ab: E () lm eb hm (8) µc Halbierter harmonischer Oszillator (6 Punkte) Ein Teilchen bewege sich entlang der positiven x-achse in einem Oszillatorpotential V (x) mω x /. Die negative x-achse sei aufgrund eines unendlich hohen Potentials V (x < ) für das Teilchen unzugänglich. a) Berechnen Sie die diskreten Energie-Eigenwerte des Problems mit Hilfe der WKB-Bedingung: xe k(x)dx (n ) (9) 4 für die eindimensionale Bewegung mit einer harten Wand. (x E Ist der klassische Umkehrpunkt ) Hinweis: y dy /4 () Der Wellenzahlvektor k(x) ist k(x) h ( Punkt) Der klassische Umkehrpunkt wird bestimmt durch m(e V (x)) m(e mω x ) () h E V (x E ) mω x E / x E ( Punkt) womit man die Wellenzahl folgendermaßen ausdrücken kann: Die Bedingung lautet dann: k(x) h m mω (x E x ) mω h (n mω ) 4 h xe mω h (x E) E hω ( Punkte) Für die Energie-Eigenwerte E n folgen dann die Energieniveaus des halben Oszillators (,5 Punkte) E mω () x E x () x E x dx (4) y dy (5) (6) E halb n hω(n 4 ) (7)

3 b) Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit den ungeraden Zuständen des harmonischen Oszillators und begründen Sie mögliche Koinzidenzen. Die ungeraden Energieniveaus des gewöhnlichen harm. Oszillators sind En voll hω(ñ + ) (ñ,,5,...) (8) hω(n ) (n,,,4,...) (9) 4 Die Energienievaus des halbierten harmonischen Oszillators sind also gerade die ungeraden Energieniveaus des gewöhnlichen harmonischen Oszillators.(.5 Punkte) Das liegt daran, dass die ungeraden Wellenfunktionen den harmonischen Oszillators einen Knoten bei x haben. Damit sind sie für x Lösungen der Schrödinger-Gleichung mit dem selben Potential und erfüllen die selben Randbedingungen wie die Wellenfunktionen des halbierten Oszillators, die bei x verschwinden müssen. ( Punkt) Phasenverschiebung durch Gravitation (6 Punkte) Ein Teilchen der Energie E h k /(m) bewege sich im Gravitationspotential V (z) mgz von einem Punkt A bei x, z zu einem Punkt D bei x l und z h auf jeweils geraden wegen entweder über den Punkt B mit x, z h oder über den Punkt C bei x l, z. a) Berechnen Sie den Unterschied ϕ BD ϕ AC in der Phasendifferenz ϕ BD bzw. ϕ AC der stationären Wellenfunktion ψ(x) ψ e iϕ(x) bei der Bewegung entlang der Wege BD und AC als Funktion von m, g, l, h und dem Wellenvektor k(x) λ in x-richtung des bei A einfallenden Teilchens unter der Annahme, dass die Wellenfunktion jeweils eine ebene Welle ist und E >> mgh gilt. Hinweis: Beachten Sie, dass der Wellenvektor bei fester Gesamtenergie E von z abhängt. Die Phasendifferenz ϕ BD ist definiert durch ϕ BD [ϕ(x l) ϕ(x )] zh und analog für ϕ AC bei z. (Aus Semestrale SS9. 4 Punkte) Die stationäre Wellenfunktion einer ebenen Welle in x-richtung ist ψ(x) Ae ik x(z)x () mit einem Wellenvektor in x-richtung der von Höhe z abhängt: k x (z) m(e mgz) h ( Punkt) () me k x (z ) k / h, h () m(e mgh) k x (z h) k mgh E>>mgh k( mgh h E E ) () (mit Näherung Punkt) Die Phasendifferenz zwischen den Punkten C und A bzw. D und B sind: (mit Näherung Punkt) und damit ( Punkt) ϕ AC k x (z ) (l ) kl (4) ϕ BD k x (z h) (l ) kl mgh mgh kl( E E ) (5) ϕ BD ϕ AC kl( mgh E ) m glhλ h. (6)

4 b) Bestimmen Sie die Periodizität h in der Höhendifferenz h, nach der sich das am Punkt D ergebende Interferenzmuster proportional zu cos(ϕ ABD ϕ ACD ) wiederholt. Wie groß ist h für Neutronen mit Wellenlänge λ.4å und l 5cm? (Verwenden Sie (φh)/m n 4 cm /sec.) Hinweis: Da die Gesamtenergie E und das Potential auf den Abschnitten AB und CD identisch sind, fallen die Änderungen der Phase auf diesen Abschnitten in der gesamten Phasendifferenz ϕ ABD ϕ ACD der beiden Wege heraus. Bemerkung: Die Rechnung ist die Grundlage für das berühmte sogenannte COW -Experiment von Colella, Overhauser und Werner, Phys. Rev. Lett. 4., 47 (975) Da der Cosinus -periodisch ist, wiederholt sich das Interferenzmuster, wenn ϕ ϕ ABD ϕ ACD Z ein ganzzahliges Vielfaches von ist. (,5 Punkte) Aus der Phasendifferenz ϕ (ϕ AB + ϕ BD ) (ϕ AC + ϕ CD ) (7) hebt sich gemäß der Angabe ϕ AB ϕ CD heraus, und man erhält die Bedingung für die Höhendifferenz h bzw. ( Punkt) Für Neutronen mit Masse m m n ist dann (.5 Punkte) h ϕ ϕ BD ϕ AC m gl( h)λ h! (8) h h ( ) (9) glλ m n (4 7 m s ) (9.8ms )(.5m)(.4 mm. () m) 4 Variationsprinzip ( Punkte) Wir betrachten ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen Potential V (x) λx 4. () a) Schreiben Sie den Hamiltonoperator Ĥ in Ortsdarstellung. ( Punkt) b) Berechnen Sie mit der Variationsmethode und folgender Testfunktion d Ĥ h m dx + λx4 () u(x) ( ) α /4 e αx () einen genäherten Wert für den Grundzustand des Systems. Hinweis: x n e bx dx (n)! n+ n!b n b (4) Variationsverfahren: E (α) u Ĥ u u u (5) 4

5 ( Punkt) Nenner: u u ( ) α / + e αx dx (6) ( ) α / + e αx dx (7) ( ) α / ( ) / α (8) (9) ( Punkt) 5

6 Die Funktion u ist also schon normiert, also E (α) u Ĥ u (4) ( ) α / + ( e αx h d ) m dx + λx4 e αx dx (4) h m ( α ) / + 4α e αx x dx (4) + ( ) h α / + α e αx dx m (4) + ( ) α / + λ e αx x 4 dx (44) I + I + I (45) ( ) I h α / + 4α e αx x dx m (46) h m hα m I h m h m ( ) α / 4α ( α ( α!!α) ( ) / (47) α (48) ) / + α e αx dx (49) ) / 4α!! ( ) / (5) α hα m (5) ( Punkte) Jetzt wird E (α) minimiert: (.5 Punkte) I λ ( α ) / + e αx x 4 dx (5) ( ) α / 4! ( ) / λ 5!(α) α (5) λ 6α (54) E (α) hα m + λ 6α (55) de (α) dα h α m λ α 8α (56) ( ) mλ / 4 h (57) ( ) / k /, k mλ 8 h (58) 6

7 damit erhalten wir (.5 Punkte) E (α ) hα m + λ 6α h m h m h m k/ ( ) / k / + 8 ( ) / k / (59) λ 6 ( ) / (6) 8 k / ( ) / hk 8 m k / (6) ( ( ) / + ( ) ) / (6) h m k/ 4 / (6) 5 Störungsrechnung (8 Punkte) Wir betrachten folgenden Hamiltonoperator mit Störung in Matrixdarstellung: für die Konstante c gilt c << Ĥ Hˆ +Ŵ (64) Hˆ (65) Ŵ a) Berechnen Sie die exakten Eigenwerte E,, von Ĥ. ( Punkte) Charakteristisches Polynom: λ c c λ c λ c c c, (66) ( λ)( λ)(c λ) c (c λ) (67) λ c (68) ( λ)( λ) (69) λ 4λ + c (7) λ / ± + c (7) b) Berechnen Sie dann die Eigenwerte von Ĥ in zweiter Ordnung Störungstheorie. nullte Ordnung: E (), E (), E () (7) 7

8 ( Punkt) erste Ordnung: ( Punkt) zweite Ordnung: E n () n W n W nn (7) E () W (74) E () W (75) E () W c (76) n () W m () m () W n () E n () ( ) (77) m n E n () E m () E () W W ( ) + ( W W ) (78) E () E () E () E () E () E () c c + W W ( E () E () W W ( E () E () c ) + ( W W E () E () ) + ( W W E () E () (79) ) (8) (8) ) (8) (8) ( Punkt) Für die Energieeigenwerte haben wir damit in zweiter Ordnung Störungstheorie ( Punkt) E ST c + (84) E ST + c + (85) E ST + c + (86) c) Vergleichen Sie das störungstheoretische Ergebnis mit einer Binomialentwicklung (Taylorentwicklung um c ) der exakten Eigenwerte. E Bi + c (exakt) (87) E, Bi ± + c ± ( + ) c + (88) Die Binomialentwicklung liefert also die gleichen Ergebnisse wie die Störungstheorie (Die Indices kann man natürlich umdeklarieren). ( Punkte) Gesamtpunktzahl 6 8