Quantentheorie für Nanoingenieure Klausur Lösung

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1 07. April 011 PD Dr. H. Kohler Quantentheorie für Nanoingenieure Klausur Lösung K1. Ja Nein Fragen (8P) Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt. Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt können in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden. richtig falsch Physikalisch beobachtbare Größen werden in der Quantenmechanik durch Hermitesche Operatoren beschrieben. Fermionen haben immer halbzahligen Spin und Bosonen immer ganzzahligen Spin Die klassische Mechanik resultiert aus der Quantenmechanik im Limes großer Quantenzahlen. Das Photon ist ein relativistisches Teilchen. Daher kann ihm nicht eindeutig eine Statistik zugewiesen werden. Ein Photon ist weder Fermion noch Boson. Die Wellenfunktion im Impulsraum ist die Fouriertransformierte der Wellenfunktion im Ortsraum. In einem Isolator ist ein Energieband halb gefüllt. Ein Spin 1 Teilchen wird in einem magnetischen Feld abgelenkt. Die Anzahl der gebundenen Zustände im Wasserstoffatom ist endlich. * * Bei Frage 7 wurde die Antwort richtig erwartet. Allerdings ist die Frage schlecht gestellt: Tatsächlich wird ein Spin 1 nur im räumlich inhomogenen Magnetfeld abgelenkt. Da in der Frage nicht spezifiziert war ob das Magnetfeld homogen oder inhomogen sein soll, wurden beide Antworten als korrekt gewertet.

2 K. Tunneln durch asymmetrische Potentialschwelle (4P) Ein Teilchen bewege sich in einer Dimension in dem Potential (siehe Skizze) V () = V 0 = 0, 0, V 1 > 0, 0 < a, V < V 1, a < b, V 3 = 0, > b y Achse V 1 V a b Achse i) Skizzieren Sie den Realteil der Eigenfunktion zur Energie E für a) 0 < E < V, b) V < E < V 1, c) E > V 1. Lösung: Gezeigt sind echte Lösungen für Fall a) Hier ist wichtig, dass im Bereich des Potenzials keine Oszillationen gezeichnet sind. Die Amplitude ist rechts und links des Potenzials im allgemeinen unterschiedlich, kann aber in Spezialfällen auch gleich sein. Der hier gezeigte Fall entspricht einer von rechts einlaufenden Welle. In diesem Fall ist die Amplitude rechts größer als links. Für den Fall b)

3 oszilliert die Welle in einem Teil des Potenzials. Die Oszillationen sind langsamer (größere Wellenlänge in dem Bereich nichtverwindenden Potezials. Auch hier ist eine von rechts einlaufende Welle gezeigt. Die Amplitude im mittleren Bereich ist sogar größer als rechts. Die genaue Amplitudenverteilung hängt von den Randbedingungen ab und wurde nicht gefragt. Für den Fall c) oszilliert die Welle überall. Die Wellenlánge ist am größten im Bereich zwischen 0 und a am zweitgrößten im Bereich zwischen a und b. Rechts und links vom Potenzial ist die Wellenlänge am kleinsten und gleich. Allgemein gilt: Die Wellenfunktion ist überall stetig und überall ungleich null. Die Lage der Wellenfunktion im Schaubild wird so gewählt, dass die Welle um eine Gerade auf Höhe der Energie des Teilchens oszilliert. Dies wird aus Gründen der Anschaulichkeit so gemacht, korrekter ist es eigentlich die Welle um y = 0 oszilieren zu lassen. Beide Möglichkeiten sind richtig. ii) Wie ist die Struktur des Spektrums in den drei Energiebereichen? diskret kontinuierlich beides 0 < E < V V < E < V 1 E > V 1 Es gelten die Regeln von Aufgabe K1.

4 K3. Erwartungswerte des harmonischen Oszillators (4P) Gegeben sei der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators Ĥ = ˆp m +mω ˆ. Der Oszillator befinde sich im Zustand ψ = 1 ( ψ 0 + ψ 1 ), wobei ψ n Eigenzustand des Hamiltonoperators zum Eigenwert ω(n+1/) ist. Berechnen Sie den Erwartungswert von Energie und Ort ψ Ĥ ψ, ψ ˆ ψ. Zur Erinnerung: Hamiltonoperator Ĥ und Ortsoperator ˆ lassen sich durch den Erzeugungsoperator â bzw. den Vernichteroperator â wie folgt ausdrücken: ( Ĥ = ω â â + 1 ) (, ˆ = â + â ). mω Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren wirken wie folgt auf Eigenzustände von Ĥ â ψ n = n ψ n 1, â ψ n = n + 1 ψ n+1 Lösung: Die Eigenwerte von Ĥ sind: E n = ω ( n + 1 ) ψ Ĥ ψ = 1 ( ψ 0 + ψ 1 ) Ĥ ( ψ 0 + ψ 1 ) = 1 ( ψ 0 + ψ 1 ) (E 0 ψ 0 + E 1 ψ 1 ) = 1 ( ψ 0 E 0 ψ 0 + ψ 1 E 1 ψ 1 ) = 1 (E 0 + E 1 ) = 1 ( ) ω = ω (1) Für den Ortserwartungswert findet man: 1 ψ ˆ ψ = mω ( ψ 0 + ψ 1 ) â + â ( ψ 0 + ψ 1 ) Die Erzeuger und Vernichter koppeln nur Eigenzustände zu Eigenwerten, die sich um eins unterscheiden, daher 1 ( ) ψ ˆ ψ = ψ 0 â ψ 1 + ψ 1 â ψ 0 mω 1 = (1 + 1) = () mω mω

5 K4. Erwartungswerte eines Spins im Magnetfeld (4P) Der Hamiltonoperator eines Elektronenspins in einem Magnetfeld B in z Richtung ist gegeben durch Ĥ = ω L Ŝ z. Hierbei ist ω L = µ B B z / die sogenannte Lamorfrequenz. In der Eigenbasis (, ) von Ŝz sind die Spinoperatoren durch die Matrizen Ŝ = [ ] 0 1, Ŝ 1 0 y = [ ] 0 i, Ŝ i 0 z = [ ] Berechnen Sie die Kommutatoren [Ŝ, Ŝz], [Ŝ, Ŝ z ]. Der Spin befinde sich am zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand ψ = 1 ( + ). Berechnen Sie den Erwartungswert ψ Ŝ ψ. Berechnen Sie die Wellenfunktion ψ(t) zum Zeitpunkt t = π/ω L. Lösung: Kommutatoren: [Ŝ, Ŝz] = i S y, [Ŝ, Ŝ z ] = 0. Der Operator Ŝ z ist ein Vielfaches der Einheitsmatri und kommutiert daher mit allen anderen Operatoren. Erwartungswert: ψ = 1 ( + ) = 1 ( ) 1 1 Daher: ψ Ŝ ψ = 4 ( ) ( ) ( ) = 4 ( ) ( ) = 1. (3) Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion ist gegeben durch: ψ(t) = e iĥt/ ψ(0) = n e ient/ ψ n ψ(0) ψ n.

6 In unserem Fall E 0 = ω L und E 1 = + ω L und ψ 0 =, ψ 1 =. Daher ψ(t) = 1 e iω Lt/ + 1 e iω Lt/ ψ(π/ω L ) = 1 e iπ/ + 1 e iπ/ = i ( ). (4) Der Eigenvektor von Ŝ ist zu einem Eigenvektor von Ŝy geworden. Er hat sich um 90 gedreht.