n 1 Mit k= L n 3 ;n Die Energie ist gegeben durch das Integral über den Hohlraum:

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1 1900 Plancksches Strahlungsgesetz Planck postulierte 1900 die Existenz einer Naturkonstanten h mit der Einheit einer Wirkung h: Planckes Wirkungsquantum [h]=js Zur Regularisierung der Energiedichte der Hohlraumstrahlung. Sei L 3 ein Hohlraum mit Temperatur T. Die Elektromagnetische Wellen im Hohlraum haben also die mittlere Energie k B T. Es können sich im Hohlraum stehende elektromagnetische Wellen bilden. F k, x sin x k x, sin y k y,sin z k z Mit k= L n 1 n i N n 3;n Die Energie ist gegeben durch das Integral über den Hohlraum: k L 0 L dx 0 L dy 0 dz E k,x= k k B T sin x L n 1 = 1 1 sin x n 1 und die Summation über die erlaubten Wellenzahlen k L3... d k... 3 Gesamtenergie E V = k T B d Kugelkoordinaten k = k B T k dk 3 0 mit der relativistischen Beziehung für elektromagnetische Wellen k= c ; m c 3 108???? s E V = k T B d = c 3 Polarisationsrichtungen 0 wenn wir E als Integral über eine Energiedichte e(ω) definieren so ist also e(ω) gegeben durch e=k B T Raleigh-Jeansches Gesetz c 3 man findet experimentell dieses Verhalten für niedrige Frequenzen und hohe Temperaturen Das das Raleigh Jeansches Gesetz nicht für alle Frequenzen gültig sein kann erkennt man daran, dass das Integral über e(ω), also die Gesamtenergie des schwarzen Strahlers, divergiert. Dies nennt man Ultraviolettdivergenz oder Ultraviolettkatastrophe. für hohe Frequenzen und kleine Temperaturen fand Wien e w 3 exp[ g k B T ] ; g : Konstante Wiensches Verschiebungsgesetz Planck interpolierte zwischen beiden Formeln und fand das Plancksche Strahlungsgesetz: e= ħ c 3 exp[ 3 ħ k B T ] 1 mit ħ= h, J s Quantentheorie Kohler 1 von 50 WS1011

2 1905 Einsteins Wunderjahr Einsteins Erklärung des Photoelektrischen Effekts (Brownsche Bewegung, spezielle Relativitätstheorie) E e = m v e =ħ W Licht besteht aus Photonen der Energie E=ħ Photonengeschwindigkeit ist immer c Aus der speziellen Relativitätstheorie ist bekannt: E= p c m 0 c 4 mit m 0 Ruhemasse Photonen haben keine Ruhemasse, daher: E= pc Da für elektromagnetische Wellen außerdem =c k mit Wellenzahl k= 1 zwischen Impuls und Wellenvektor p=ħ k p=h k Konvention Sei x ein 3D Vektor, dann x= x = x 1 x x Rutherfordsches Atommodell gilt, folgt die Beziehung Hat die Inkonstenz, dass das Elektron beschleunigt ist und eine beschleunigte Ladung strahlt nach den Maxwellschen Gleichungen elektromagnetische Wellen ab. Das System wird also ständig Energie verlieren und das Elektron irgendwann im Kern einschlagen. Quantentheorie Kohler von 50 WS1011

3 1913 Bohrsches Atommodell Stationäre Bahnen sind Bahnen mit quadratischer Wirkung T I = 0 p t qt dt=! ħ n, n N,[ I ]=Js : Formulierung der Quantenmechanik: Heisenberg, Bohr, Dirac, Sommerfeld, Fermi : Heisenbergsche Unschärfe-Relation 1935: Einsteins Arbeit zum EPR-Paradoxon ("Der Herrgott würfelt nicht") 1970: Quantenoptik ("nicht klassisches Licht") beschäftigt sich mit Eigenschaften des Lichts die nur durch dessen Teilchencharakter erklärbar sind. 1. Experimente Seit 1850 Spektroskopie 1910 Millikan-Versuch: Quantisierung der elektrischen Ladung 1913 Franck-Hertz Versuch 19 Stern Gerlach Versuch zur Quantisierung des Drehimpulses, Existenz des Spins 19 Compton Effekt. Streuung von Röntgenstrahlen an Graphit 197 Davisson, Germer: Elektronenbeugung am Kristall 1961 Doppelspaltversuch an Elektronen 198 Aspect Experiment, welches die Verletzung der Bellschen Ungleichungen bei verschränkten Photonen beweist 00 Beugung von Fullerenen C 70 PRL, 88, (00) 1.3 Doppelspaltversuch Der Doppelspaltversuch ist von entscheidener Bedeutung für die Entwicklung der Quantenmechanik. 00 wurde der Versuch von den Lesern der Physikzeitschrift "Physics world" zum schönsten Experiment aller Zeiten gewählt. Quantentheorie Kohler 3 von 50 WS1011

4 sin '= s B, tan = x R für kleine Winkel gilt sin ' tan x= s R B wenn s=n konstruktive Interferenz, Maxima d.h. Maxima bei n R B n 1 Minima bei R B Entscheidend ist, dass das Interferenzmuster verschwindet sowie ein Spalt geschlossen wird. Das gleiche Interferenzmuster würde man auch für ein einzelnes Elektron erhalten. Das Elektron befindet sich in einer Überlagerung (Superposition) der beiden Wege durch den Spalt 1 und.. Formalismus der Quantenmechanik.1. Klassisches Mechanik Im folgenden wollen wir die klassische Mechanik eines Punktteilchens betrachten, welches sich in einem äußeren Potential bewegt. Unter diesem Punktteilchen können wir uns zb ein Elektron vorstellen. Die Bewegung der Punktladung wird durch Newtons Gesetz beschrieben Kraft F xt= at at= d m e dt xt = xt träge Masse Beschleunigung Klassische Bewegungsgleichung (*) m xt F xt=0 Die klassische Bewegungsgleichung eines Punktteilchens ist eine bzw 3 gewöhnliche Differentialgleichung ter Ordung Quantentheorie Kohler 4 von 50 WS1011

5 Satz: Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ter Ordung ist durch die Anfangswerte x 0, x0 eindeutig bestimmt. Physikalisch bedeutet dies: Kennen wir den Ort und die Geschwindigkeit eines Punktteilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt, so können wir, sofern wir in der Lage sind die Bewegungsgleichung zu lösen, das Verhalten dieses Teilchens für alle Zeiten voraussagen. Nebenbemerkung: Da diese Aussage nicht nur für ein Punktteilchen sondern auch für mehrere Punktteilchen, ja sogar für alle Punktteilchen gilt, kann man sagen: Wenn jemand zu einem bestimmten Zeitpunkt Ort und Geschwindigkeit aller Teilchen dieser Welt kennt und dazu in der Lage ist die Bewegungsgleichungen zu lösen, kann er das Weltgeschehen für alle Zeiten vorhersagen. Dieser jemand heißt Laplacescher Dämon und war wichtig für den klassichen Determinismus, eine philosophische Richtung des ausgehenden 18. Jahrhunderts. Zum Lösen der klassischen Bewegungsgleichung ist oft folgende Umformulierung nützlich. t = xt Impuls: pt=mvt Einsetzen in (*) liefert m v t F xt =0 pt = F xt bzw p t Hamiltonsche Bewegungsgleichung xt= m Durch diesen Trick haben wir drei Dgls zweiter Ordnung in 6 Dgls erster Ordnung umgewandelt. Dies ist prinzipiell immer möglich, auch wenn die Lösung nicht unbedingt einfacher wird. Bevor wir diese für einen einfachen Fall lösen betrachten wir eine andere wichtige Größe. Energie E = E kin + E pot kinetische Energie E kin = m v t potentielle Energie E pot =V x t x F x= V x= V x y V z V Ein Kraftfeld, das sich als Gradient einer Funktion V x schreiben lässt, heißt konservativ. Die Funktion V x heißt Potential Die Energie ist prinzipiell eine Funktion von Ort (durch das Potential) und Impuls (durch die kinetische Energie) Quantentheorie Kohler 5 von 50 WS1011

6 H xt,pt Hamiltonfunktion Es hat sich eingebürgert, diese Funktion Hamiltonfunktion zu nennen. Es gilt aber der: Satz der Energieerhaltung: Die Energie ist eine Konstante der Bewegung d H xt, pt =0 dt Achtung: Dies gilt nur für isolierte Systeme Gegenbeispiel: gekicktes Pendel Beweis: H t=e kin E pot = p t V xt m d dt H = 1 m p t pt V xt=vt pt wegen der klassischen Bewegungsgleichung =m x t V xt =0 = F x t Das heißt die Energieerhaltung ist eine direkte Konsequenz der klassischen Bewegungsgleichungen. Die Frage ist: Läßt sich dieses Argument nicht umdrehen und die Bewegungsgleichung aus einer Energie/Hamiltonfunktion konstruieren? Die Antwort ist ja. Die Bewegungsgleichungen lassen sich aus der Hamiltonfunktion H x,p wie folgt gewinnen. ẋ i = H p i,i=1,,3 ṗ i = H x i,i=1,,3 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen. Diese sind identisch mit den klassischen Bewegungsgleichungen a la Newton. Wir beachten, dass die Hamiltonfunktion zwar konstant bleibt entlang einer Lösung der klassischen Bewegungsgleichung aber natürlich bei beliebigen Veränderungen von x,p sich ändern kann. Die Gleichung H x,p=e muss also so gelesen werden, dass sich das Teilchen nur auf Bahnen bewegen kann auf denen H=E. Definition: x i und p i heißen kanonisch konjugierte Koordinaten. Definition: Der durch x und p aufgespannte Raum heißt Phasenraum. Wie schon erwähnt haben wir bei Kenntnis von x und p vollkommene Kenntnis von dem Punktteilchen. Eine beliebige Eigenschaft des Teilchens können wir also durch eine Funktion von x und p ausdrücken. f x,p Eine solche Funktion heißt Phasenraumobservable Quantentheorie Kohler 6 von 50 WS1011

7 Beispiel: Harmonischer Oszillator in einer Dimension V x= 1 m x Energie: H x, p= p m 1 m x Newtonsche Bewegungsgleichung m ẍm x=0 ẍ x=0 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen: Lösung der Bewegungsgleichung d dt cost = cost d dt sin t= sin t allgemeine Lösung: xt=x0cos t ẋ0 sin t ẋ0= E m x 0 ẋ= H p = p m ẍ= ṗ m ṗ= H x = m x ẍ= x für x0= E ẋ0=0 maximale Auslenkung m Man kann sich auch noch für andere Größen interessieren zb die "Varianz" über eine Periode. T T Var T = dt x t= { x 0 cos t v0 sint x0 v0 cos tsin t } 0 0 mit t '=t T = Var T = dt '{ x 0 v 0 0 Var T = m E } = x 0 v 0 = m m v 0 m x 0 Beweis siehe Übung Quantentheorie Kohler 7 von 50 WS1011

8 . Beispiel: Teilchen im Coulombpotential H x,p= 1 m p e,r= r x y z Newton m Hamilton: e x r x=0, e r= x 3 r p x= m x= p m ṗ i = H = e x i r x e 3 i x= m r x 3 Wir sehen, dass auch hier die Newton'sche Mechanik und die Hamilton'sche Mechanik identisch sind. Insgesamt kann man sagen, dass in der Newton'schen Mechanik aus den Bewegungsgleichungen die Energieerhaltung folgt. Newton: Bewegungsgleichung --> Energieerhaltung In der Hamilton'schen Mechanik ist es umgekehrt: Energieerhaltung --> Bewegungsgleichung Für die Quantenmechanik ist die Hamiltons'che Sichtweise nützlicher.. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundbegriffe Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein komplexer Bereich der modernen Mathematik und eine vollständige Behandlung ist an dieser Stelle nicht möglich aber auch nicht nötig. Entscheidend in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff der Zufallsvariable. Dies ist eine Abbildung von einem Ereignisraum Ω auf die reellen Zahlen X : R In der Praxis wird eine Zufallsvariable durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben: P :R [0,1] Quantentheorie Kohler 8 von 50 WS1011

9 P X x ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte kleiner x annimmt. P X x muss monoton wachsend sein. In vielen Fällen lässt sich P X x als Integral schreiben x P X x= px Wahrscheinlichkeitsdichte dx entsprechend können wir auch Erwartungswerte für Funktionen von Zufallsvariablen definieren f x = f x p x dx Besonders wichtig sind die Momente einer Verteilung. Momente m n = x n p xdx heißt n-tes Moment. Das zweite Moment in ein Maß für die Breite einer Verteilung. Dies gilt allerdings nur, wenn der Erwartungswert verschwindet. Ansonsten muß man den Erwartungswert von der Zufallsvariable abziehen um die Verteilung zu zentrieren. Dies führt auf die Varianz Var X = X X = X X Beweis: X X = X X X X = X X X X mit X = X 1 =1 Beispiel: Momente der Gaußverteilung. Wir betrachten die Gaußverteilung p x= 1 [ exp 1 x ] X = x p xdx= 1 xexp x dx= Höhere Momente für µ=0: ungerade Momente verschwinden Setze a= 1 X n = a n 1 exp [ a x ] a = 1 Gauß'sches Integral exp [ a x ] dx= a X n = 1 a n a = 1 n1 a = 1 a n k =1 k 1 = 1 n1 k=1 n k 1 = n Eine Funktion ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn sie folgende beiden Eigenschaften erfüllt. 1. p xdx=1 Normierbarkeit. p x0 positiv definit. Beispiele: 1. Gaußverteilung: px= 1 exp 1 x. Lorentz-Verteilung: p x= 1 x etwas breiter als die Gaußverteilung, langsamerer Abfall für große Abweichungen Quantentheorie Kohler 9 von 50 WS1011

10 3. δ-verteilung: Um auch diskrete Ereignisse durch Wahrscheinlichkeitsdichten beschreiben zu können, führt man die δ-distribution ein. Diese ist definiert durch: so dass Außerdem gilt: 4. Gleichverteilung: 0= x 0=0 f x x x 0 dx= f x 0 f p x={ 1 L für L x L 0 ansonsten xdx=1 Den Erwartungswert einer Zufallsvariable X kennzeichnen wir durch eckige Klammern und er ist gegeben durch: X = x p x dx Für mehrere Zufallsvariable gelten ähnliche Sätze. Seien X 1,...,X n n Zufallsvariable, dann ist p x 1,..., x n eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn gilt: dx 1 dx.. dx n p x 1,..., x n =1 p x 1,..., x n 0 x 1,..., x n 1. Unabhängigkeit: Zwei Zufallsvariable X 1, X heißen unabhängig, wenn für ihre Verteilungsfunktion gilt: px 1, x = p 1 x 1 p x p x 1,..., x n heißt: Verbundwahrscheinlichkeit, joint propability density function Addition zweier unabhängiger Zufallsvariablen: Seien X 1 und X zwei unabhängige Zufallsvariablen die gemäß p 1 x 1 p x verteilt sind. Dann ist deren Summe, dh die Zufallsvariable X 1 X gemäß p y= p 1 y x p xdx (Faltungstheorem) verteilt..3 Einführung in die Funktionalanalysis Funktionalanalysis könnte man definieren als lineare Algebra auf unendlich dimensionalen Vektorräumen und Funktionenräumen. Sie bildet das mathematische Grundgerüst der Quantenmechanik. De facto kann man viele Konepte aus der linearen Algebra auf endlichdimensionalen Vektorräumen eins zu eins übernehmen. Da auch endlich dimensionale Vektorräume in der QM wichtig sind, beginnen wir mit diesen. Quantentheorie Kohler 10 von 50 WS1011

11 .3.1 Endlich dimensionale Vektorräume Definition: Ein Vektorraum ℵ über C besteht aus Elementen für die gilt (mit w, z C, ℵ ) 1. Assoziativgesetz: wz =wz. Distributivgesetz w =w w bzw. wz =w z Wir benutzen die in der QM übliche Bezeichnung: Ket für einen Vektor anstelle von Ein solcher Vektor wird auch ket gennant. Ein Vektor wird wie üblich durch sine Komponenten dargestellt. = 1... N, N C dim ℵ= N Wir definieren ein Skalarprodukut zweier Vektoren und wie folgt: N = * n n n=1 C Es gilt die wichtige Beziehung = * (1) Definition: Ein Hibertraum ist ein Vektorraum auf dem ein Skalarprodukt definiert ist. Der Vektor ist aus dem Dualraum zu ℵ. Wir bezeichnen ihn mit ℵ * als bra bezeichnet in der QM. In der linearen Algebra ist ein Zeilenvektor. Der Vektor wird t = 1 *, *,..., N * 1 = * 1, *,..., * N N =... N Matrixmultiplikation n=1 n * n Die Komponenten eines Vektors sind nur bezüglich seiner Basis definiert. e 1 = , en= nte Stelle Wir wollen die orthogonalen Basisvektoren statt mit e n einfach mit n bezeichnen. Für das Skalarprodukt mit Einheitsvektoren findet man: n = n () Die n-te Komponente des Vektors ist gerade das Skalarprodukt mit dem n-ten Basisvektor. Das Skalarprodukt eines Basisvektors mit einem anderen ist besonders einfach: n = 1 wenn n=m nm ={ 0 wenn n m Diese Beziehung wird Orthogonalitätsrelation genannt. Kronecker-delta Mit Beziehung (1) und Beziehung () lässt sich das Skalarprodukt zweier Vektoren wie folgt schreiben: N = n=1 N * n n = n=1 (1) n * N n = n n = n=1 n=1 N n n Quantentheorie Kohler 11 von 50 WS1011

12 Aus der Gleichheit beider Seiten folgt, dass N n=1 n n = 1 gelten muss, wobei hier 1 die Einheitsmatrix ist. Diese Beziehung wird wird Vollständigkeitsrelation genannt. Wichtig ist zu erkennen, dass diese Beziehung unabhängig von der Wahl der Basisvektoren ist. Dies gilt ebenso für das Skalarprodukt. Regel: Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt nicht von der Wahl der Basisvektoren ab. Matrizen werden in der Quantenmechanik Operatoren genannt. Sie wirken auf Vektoren durch Matrixmultiplikationen. Sei In Komponenten bedeutet dies  ein Operator Â: H H  ψ = φ H (*) N A nm ψ m =φ n (**) m=1 Â= A A mn Wir können dies auch eleganter in Bra-Ket-Schreibweise formulieren. Wir agieren von links auf beide Seiten der Gleichung (*) mit einem Basisvektor n Ein Vergleich mit (**) zeigt n  ψ = n φ N 1= m m (Vollständigkeit) m=1 N m=1 n  m m ψ = n φ A nm = n  m Die Matrixelemente von  sind also gegeben durch die Wirkung der Matrix  auf Basisvektoren. Es ist wichtig, sich die unterschiedlichen Bedeutungen der Gleichungen (*) und (**) klarzumachen. Während (*) basisunabhängig formuliert ist, nimmt (**) Bezug auf vorher definierte Basisvektoren. Wir müssen uns auch noch überlegen, wie der Vektor φ = ψ im Dualraum aussieht. Wir schreiben φ = ψ  t und suchen eine Beziehung zwischen  und  t. In Komponenten N φ n = ψ m m  t n m=1 Quantentheorie Kohler 1 von 50 WS1011

13 Andererseits gilt: φ n = n φ * =( N n  m m ψ )* m=1 = m=1 N = m=1 N n  m * m ψ * ψ m n  m * m Ât n = n  m * t A mn * = A nm  t heißt der zu  adjungierte Operator. Oder is  t t die zu  adjungierte Matrix. Man erhält  t aus  indem man  zunächst transponiert und dann alle Einträge komplex konjugiert. Beispiel: x-matrix Â=( a c d b) Ât =( *) a* d * c * b Eine besonders wichtige Klasse von Operatoren sind solche, für die gilt: Â=Ât Diese Operatoren heißen Hermitesch oder selbstadjugiert. Beispiel: x-matrix Â=( a c * b) c, a,b R Ât =( a c c b) * Eine Hermitesche Matrix hat auf der Diagonalen reelle Einträge. Ein Operator kann auf einen Vektor wirken, so dass er diesen bis auf ein Vielfaches reproduziert. Also:  α n =α n α n α C Der Vektor α n heißt Eigenvektor zum Operator  und α n heißt Eigenwert. Um die Eigenwerte einer Matrix  zu bestimmen, berechnet man das charakteristische Polynom Dies ist ein Polynom N-ten Grades in det ( α 1 N)=0 α. Entsprechend hat dieses Polynom N Nullstellen. Wir wollen uns im folgenden auf Hermitesche Operatoren beschränken. Für diese Operatoren kann man folgende, stärkere Aussagen treffen: Quantentheorie Kohler 13 von 50 WS1011

14 Spektralsatz: Sei  ein Hermitescher Operator Â=Ât der Dimension N, dann existiert ein vollständiges Orthogonalsystem von Eigenvektoren α n, n=1,..., N zu diesem Operator. D.h. Es gilt  α n =α n α n n=1,..., N α n α n =δ nm = N N α n k k α m k=1 α n α n = 1 n=1 Die Eigenwerte α n können hierbei auch identisch sein. Es kann also gelten α 1 =α =α 3, etc, aber dennoch < α 1 α >=< α 1 α 3 >=0. Beispiel: x-matrizen Â=( a c * b) c, 1  1 =a 1  =c  =b 1.) Berechnung der Eigenwerte ( α )=0 det( a α c c b α) =0 * Dies liefert ein charakteristisches Polynom zweiten Grades Dieses hat zwei Lösungen α α(a+b)+ab c =0 α 1, = a+b ± (a b) + c 4 Wir sehen, dass beide Eigenwerte reelle Zahlen sind. Dies ist kein Zufall. Allgemein kann man zeigen: Satz: Alle N Eigenwerte einer Hermiteschen Matrix sind reell. Beweis: Übung.) Berechnung der Eigenvektoren: Wir suchen die Vektoren α 1, α für die gilt:  α n =α n α n n=1, in Komponenten finden wir die Gleichungen 1 α n = x n α n = y n (a α n ) x n +c y n =0 c * x n +(b α n ) y n =0 α n =λ n(α n b c * 1 ) xn y n Quantentheorie Kohler 14 von 50 WS1011

15 Es reicht, eine Gleichung nach x n aufzulösen. Die Eigenvektoren α n sind nur bis auf eine Konstante λ n bestimmt, die komplex sein kann. In der Quantenmechanik wollen wir die Vektoren auf Eins normieren. Dies bestimmt die λ n (fast) eindeutig. 3.) Normierung: α 1 α 1 = α α =0 α 1 α =0 α n α n = λ n ( (α n b) c +1) λ n c = (α n b) + c =1 (1 1 ) 4 c 1+ (a b) =( α λ e i φ ) =( 1 λ 1 α λ 1 e i φ ) λ λ c = (w+ z) + c = c (z+w)(z+w+z w) = c z+w λ c = (z w)(z w+z+w) = c 1 z w z 1 z λ 1 = z w z λ = z+w z λ 1, = 1 (1± w z ) = 1 (1± 1 ) c 1+ w α 1 = z w ( z+w ) z c * 1 = z w ( c ) z z w = 1 c z w 1 z( ) z w = z( 1 c z( z+w ei φ z w z - ) = 1 z w z ( ( z+w) z w +1 ) = 1 z (z+w+z w)=1 ( ) α 1 = zw z w ei φ α = z+w z ( c z+w = z w e1 ) z w ) Die Eigenvektoren u α 1 und α bilden ebenso ein Orthogonalsystem wie die ursprünglichen Basisvektoren 1, Quantentheorie Kohler 15 von 50 WS1011

16 Man kann natürlich ebensogut die Eigenvektoren α 1 und α als Basisvektoren benutzen wie die ursprünglichen Basisvektoren. In dieser Basis wird der Operator  diagonal. In der α -Basis sind die Matrixelemente von  gegeben durch α n  α m =α m α n α m da  α m =α m α m =α m δ nm da α n orthogonal Das heißt, es gibt für jeden hermitschen Operator eine Basis, in der dieser diagonal ist. Die neuebasis ist mit der alten Basis durch einen Basistranformation verknüpft. Eine Basis, in der der Operator  diagonal ist, heißt die  -Darstellung α n'  ψ = α n α n ψ (in  Darstellung) Basistransformation: Da die neuen Vektoren α n, n=1,..., N ein vollständiges Orthogonalsystem bilden, gilt die Vollständigkeit Da  α j α j α j i altes Matrixelement N n=1 α n α n = 1 n  m i, j n α i α i α i m neues Matrixelement n α i α i  α j α j m n α i sind die neuen Basisvektoren, dargestellt in der alten Basis. α i m sind die alten Basisvektoren dargestellt in der neuen Basis. Wir können diese als Matrixelemente einer Matrix U auffassen: n α i =Û n i α i m =Û * t n i =Û i n Es gilt offenbar %n m =δ nm = n α i α i m t =δ nm =Û n i Û i m =(Û Û t ) nm Quantentheorie Kohler 16 von 50 WS1011

17 oder Û Ût =1 Matrizen, die diese Eigenschaft erfüllen, werden unitär genannt. Vektoren ψ transformieren wie ψ n = n ψ = n α i α i ψ =Ûn i ψ i Wobei ψ i die Komponente in der neuen Basis bezeichnet. Wichtig ist, dass sich der Vektor ψ nicht ändert. Operatoren Zusammenfassung:  transformieren wie A nm = n  m = t =U ni à ij U jm i, j n α i α i  α j α j m Die Komponenten eines Vektors sind Skalarprodukte des Vektors mit orthonormalen Basisvektoren Hermitesche Operatoren lassen sich immer diagonalisieren. Die Eigenwerte eines Hermiteschen Operators sind die Einträge in Diagonalform. Seien ψ i die Komponenten des Vektors ψ in der Darstellung in der  diagonal ist. Dann wirkt  ψ =α i ψ i Quantentheorie Kohler 17 von 50 WS1011

18 .3. Funktionalanalyse Alles, was wir über Matrizen und Vektoren gelernt haben, besitzt auch für unendlich-dimensionale Vektorräume seine Gültigkeit. Definition: Eine Funktion ψ( x) C heißt quadratintegrabel, wenn das Integral d x ψ( x) ψ * ( x)=i existiert und endlich ist. Die quadratintegrablen Funktionen bilden einen Vektorraum L². Addition: ψ( x)+φ( x), L Skalarprodukt: ψ * ( x)φ( x)d x Wenn eine Funktion quadratintegrabel ist, lässt sie sich so normieren, dass gilt: ψ * ( x) ψ( x )=1 Elemente des Vektorraums L² nennen wir Wellenfunktion. Die Dimension des Vektorraumes L² ist unendlich, d. h. Es lassen sich unendlich viele Funktionen finden, so dass gilt: Vergleich: N-endlich d x ψ 1 * ( x) ψ n ( x)=δ nm n=1,..., Orthogonalität N α n* k k α m =δ nm k =1 ψ 1 ( x) D.h. Im Übergang von endlicher Matrixdimension zu unendlicher Matrixdimension wird die Summe zum Integral, sonst ändert sich nichts. Aufgrund der Normierung hat die Funktion Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichte. ψ( x) =ψ * ( x)ψ( x) 0 die Es gilt auch die Vollständigkeit: Sei φ( x) eine beliebige Funktion L. Dann lässt sich φ( x) wie folgt entwickeln in Basisvektoren ψ n ( x) Vergleich: φ( x)= ψk ( x) ψ * k ( x)φ( x ' )d x ' k=1 φ n = n φ = n α k k =1 m N = k =1 N α k m m φ U nk U km φ m m=1 Quantentheorie Kohler 18 von 50 WS1011

19 Operatoren: Sei Beispiel: x der Ortsraum 1) Ortsoperator x : Multiplikation mit x ) Ableitungsoperator i : x ψ( x)= x ψ( x)=(x 1 ψ( x) x ψ( x) x 3 ψ( x)) δ i δ x 1 ψ( x)= i( δ δ x δ δ x 3 ψ( x)) Die einfache Wirkung des Ortsoperators zeigt, dass wir uns in einer Basis befinden, in der der Ortsoperator diagonal ist. Dies ist die Ortsraumbasis. Wellenfunktion Vektor in Ortsraumbasis ψ( x) = x ψ Die Wirkung des Ortsoperators auf einen Vektor wird in der Ortsraumbasis extrem einfach: daher x x = x x x x ψ = x x ψ = x ψ( x) Das heißt: eine Funktion ψ( x) können wir als einen Vektor ψ in einer Basis, in der der Ortsoperator x diagonal ist, interpretieren. Die Menge der Eigenwerte eines Operators wird Spektrum genannt. Im Falle endlicher Dimension hat ein Operator genau N Eigenwerte. Im Falle unendlicher Matrixdimensionen kann es sein, dass jede reelle Zahl Eigenwert ist. N endlich N unendlich Spec(Â)={ α...,α } 1, Spec( x )=R i Der Ortsoperator hat offenbar ein kontinuierliches Spektrum. Basistransformationen:Auch das Konzept der Basistransformationbehält für den Funktionenraum L² seine Gültigkeit. Als wichtigstes Beispiel betrachten wir hierzu den Ableitungsoperator i. Eigenfunktionen von i sind Funktionen, für die gilt: i ψ( x)= k ψ( x) ψ( k, x)= 1 π 3 ei k x Diese Eigenfunktionen sind vollständig und orthogonal, denn es gilt: Quantentheorie Kohler 19 von 50 WS1011

20 ψ * ( k, x)ψ( k ', x)d x= 1 e i( k k ' ) x d x ( π) 3 =δ ( k k ' ) Orthogonalität Andererseits kann man jede Funktion aus L² in wobei Dies ist gerade die Fouriertransformation. ψ( k, x) entwickeln: φ( x)= 1 π 3 d k e i k x φ( k ) φ( k)= 1 π 3 d x e i k x φ( k) D. h. wir fassen die Fouriertransformation als einen Basiswechsel von der Ortsraumbasis in die Basis, in der der Ableitungsoperator diagonal ist, auf. x k x ψ k ψ = d x k x x ψ k x = 1 π 3 e i k x x k = 1 π 3 ei k x x: Eigenvektor im k-raum k: Eigenvektor im Ortsraum Der k-raum wird Impulsraum genannt. Einige Eigenschaften der Fouriertransformation sind Δ φ( x )= i=1 φ( x)ψ( x) 1 i φ( x) k φ( k) 3 δ δ x φ( x) i=1 3 k i φ( x) π 3 d k ' φ( x ' ) ψ( k k ' ) Faltungssatz Wichtig ist hierbei zu sehen, dass auch der Ableitungsoperator basisabhängig ist. Wirkt er doch in der Ortsdarstellung als Ableitung, aber in der Impulsdarstellung als Multiplikation. Beides sind zwei Darstellungen ein und desselben Operators. Diesen Operator wollen wir Impulsoperator nennen. Impulsoperator p ħ i im Ortsraum In Komponenten: p=ħ k < x p ψ>= d k < x p k > < k ψ> = d k ħ k < x k >< k ψ> im Impulsraum = 1 π 3 d k ħ k e i k x < k ψ> = i ħ < x ψ > = i ħ ψ( x) Quantentheorie Kohler 0 von 50 WS1011

21 k p ψ =( ψ p k ) * =ħ k ψ k * =ħ k k ψ =ħ k ψ( k) da p hermitesch Ortsoperator x{ x i k im Ortsraum im Impulsraum.4 Axiome der Quantenmechanik Wir wollen nun die Quantenmechanik durch einige wenige Grundregeln (Axiome) formulieren 1. Ein physikalischer Zustand wird durch einen normierten Vektor ψ(t) H beschrieben, der Element eines Hilbertraumes H ist.. Physikalische Größen werden Observablen genannt. Observable sind Hermitesche Operatoren, die auf den Zustand ψ(t) wirken. 3. Sei { α n } ein vollständiges Orthonormal-System im Hilbertraum H, dann hat der Vektor ψ(t) die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsamplitude, d.h. α n ψ(t) ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, das durch ψ(t) beschriebene System im Zustand α n anzutreffen. Das heißt, sei { α n } ein vollständiges System von Eigenvektoren des Operators   α n =α n α n n=1,..., dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung der Observablen  der Wert α n gemessen wird, gegeben durch α n ψ(t). Für Operatoren mit einem diskreten Spektrum heißt das, dass nur die Eigenwerte α n des Operators als Messwerte in Frage kommen. 4. Der Erwartungswert bei einer Messung der Observablen  im Zustand ψ(t) ist gegeben durch ψ(t)  ψ(t) = α n α n ψ(t) n=1 Ortsmessung ψ(t) x ψ(t) = d x x x ψ(t ) = d x x ψ( x,t) Befindet sich ein Teilchen im Zustand ψ(t), so wird es im Mittel an der Stelle d x x ψ( x,t) anzutreffen sein. Quantentheorie Kohler 1 von 50 WS1011

22 5. Wenn die Messung von  den Wert α n ergeben hat, geht die Wellenfunktion in den entsprechenden Eigenzustand α 1 über. Dies nennt man Kollaps der Wellenfunktion. Die Details des quantenmechanischen Messprozesses sind auch heute noch Gegenstand vieler Untersuchungen. 6. Die Zeitentwicklung des Zustandes ψ(t) wird vom Hamiltonoperator gemäß der Schrödinger- Gleichung bestimmt: i ħ δ δ t ψ(t) =Ĥ ψ(t ) Der Hamiltonoperator ergibt sich aus der Hamiltonfunktion durch Quantisierung. In der Ortsdarstellung ergibt sich i ħ δ δ t Hamiltonfunktion Hamiltonoperator H( x, p)= p m +V( x) x ψ(t) = x Ĥ ψ(t ) = 1 p Ĥ= +V( x) m m x p ψ(t) + x V( x) ψ(t) p = ( p x + p y + p z )= p p p x = p p x = ( ħ i) x = ħ Δ x Da p Hermitesch ist, können wir es nach hinten auf x wirken lassen. i ħ δ δt ( ψ( x,t)= ħ m ) Δ+V( x) ψ( x,t) Schrödingergleichung in Ortsdarstellung Δ= δ δ x + δ δ δ y + ist der Laplaceoperator. δ z 7. Vergleich klassische Mechanik Quantenmechanik Klassische Mechanik Quantenmechanik Zustand Punkt im Phasenraum Element eines Hilbertraumes Observable Phasenraumfunktion f ( x, p) Operatoren x, p,...,etc Zeitentwicklung Klassische Bewegungsgleichung Schrödingergleichung Messung exakt Erwartungswerte Quantentheorie Kohler von 50 WS1011

23 .5 Ehrenfest'sches Theorem Natürlich sollte das klassische Verhalten, also insbesondere die klassischen Bewegungsgleichungen, irgendwie auch wieder in der Quantenmechanik auftauchen. Wir betrachten den Erwartungswert des Ortsoperators und dessen Zeitableitung ψ(t) x ψ(t) = d x ψ * ( x,t ) x ψ( x,t) d dt < ψ(t) x ψ(t )>= d x[ψ * ( x,t ) x δ δ t ψ( x,t)+ψ( x,t) x d dt ψ* ( x,t)] Da aber die Schrödingergleichung gilt i ħ δ ψ( x, t) =Ĥ ψ( x,t) δ t i ħ δ δ t ψ* ( x,t)=ĥ ψ * ( x, t) folgt d dt ψ(t) x ψ(t) = 1 i ħ d x [ ψ * ( x,t) x Ĥ ψ( x,t) x ψ( x,t )Ĥ ψ * ( x,t )] Ĥ= ħ Δ+V ( x) enthält unter anderem auch Ableitungsoperatoren. Diese können wir durch partielle m Integration jeweils auf den einen oder den anderen Teil des Integrals wirken lassen. dx ψ(x) δ δ x φ( x)= dx φ( x) δ ψ( x) δ x wobei die Grenzen jeweils verschwinden, da die Wellenfunktionen bei ± verschwinden. Ebenso gilt: Mehrdimensional: d x ψ( x) δ δ x φ( x)= dx φ(x) δ δ x ψ(x) d x ψ( x)( i )φ ( x)= d x ψ( x)i ψ( x ) d x ψ( x)δφ( x)= d x ϕ( x)δ ψ( x) Wir benutzen die letzte Regel, um den Hamiltonoperator im zweiten Term nicht auf ψ * ( x, t), sondern auf den vorderen Teil wirken zu lassen. d dt < ψ(t) x ψ(t )>= 1 i ħ d x ψ * ( x, t)( x Ĥ Ĥ x) ψ( x,t) Die Größe, die im Integral erscheint, heißt der Kommutator von x und Ĥ in der Ortsdarstellung. Er wird mit [ x, Ĥ]= x Ĥ Ĥ x bezeichnet. In obiger Ortsdarstellung ist er explizit. Quantentheorie Kohler 3 von 50 WS1011

24 ( ħ ħ x Δ+ x V ( x)+ m m ) Δ x V( x) x ( = ħ ħ [ x, Δ ]= m m es reduziert sich also auf den Kommutator [ x, δ δ x ] = x δ δ x δ δ x = δ δ x Daraus folgt [ x, Δ ] [ y, Δ ] [ z, Δ])= x=x δ ħ m [ x Δ ]= ħ m ħ m( [x, δ δ x ] [ y, δ ] ]) δ y [ z, δ δ z δ x δ δ x δ δ x x δ δ x d dt ψ(t) x ψ(t) = i ħ m d x ψ * ( x,t) ψ( x,t) i ħ ist aber gerade der Impulsoperator in der Ortsdarstellung. Das heißt, wir können die rechte Seite auch schreiben als = ψ(t ) p ψ(t ) (1) Dies ist aber nichts anderes als die erste Hamilton'sche Bewegungsgleichung. Ähnlich erhält man auch hier den Erwartungswert des Impulses d dt ψ(t) p ψ(t) = ψ(t) V ( x) ψ(t ) () Hieraus lässt sich nun das quantenmechanische Analogon zu Newtons Bewegungsgleichung herleiten d dt ψ(t) x ψ(t) = ψ(t) V( x) ψ(t) (3) Die Gleichungen (1), () und (3) werden als Ehrenfest'sche Theoreme bezeichnet. 3. Anwendungen Die sechs Grundprinzipien reichen im Prinzip aus sämtliche QM-Probleme zu beschreiben. Jedoch sind die Konsequenzen derart tief und weitreichend, dass wir uns hier auf wenige besonders interessante Anwendungen beschränken müssen Einfache 1D Probleme Wir wollen die zeitabhängige Schrödingergleichung zunächst in einer Dimension betrachten. i ħ t x, t= ħ m x V x x, t Das heißt wir können den Vektorpfeil unterdrücken um modellhaft zu zeigen, wie man diese Gleichung löst, bzw wie man physikalische Größen damit ausrechnet, wählen wir den harmonischen Oszillator, der in vielerlei Hinsicht sogar noch einfacher ist, als das freie Teilchen. Quantentheorie Kohler 4 von 50 WS1011

25 Harmonischer Oszillator Der Hamiltonoperator wird zu: H = ħ m x m x Die Schrödingergleichung ist eine partielle lineare DGL i ħ t x, t= ħ m x m x x,t Gesucht ist die Lösung dieser Gleichung zu einer bestimmten Anfangswellenfunktion x,0. Wir wissen, dass H ein hermitischer Operator ist und daher ein vollständiges Basissystem von Eigenvektoren besitzt. Nehmen wir an, wir kennen diese Eigenfunktionen x, 0 N so dass ħ m x m x x= E x gilt, wobei wir hier angenommen haben, dass das Spektrum diskret ist, was sich erst später als richtig herausstellen wird. Dann können wir die Anfangswellenfunktion nach der Zeit der entwickeln. x,0= c x mit c = * x' x ',0 dx' =0 Obige Gleichung wir stationäre Schrödingergleichung genannt: H = E (allgemein) Für diese Zustände ist die Zeitentwicklung besonders einfach. Wir setzen an: x,t = xexp[ i E t ħ ] (Produktansatz) dann löst x,t offenbar die Schrödingergleichung. Ein Zustand dieser Form wird stationärer Zustand genannt, denn das Betragsquadrat hängt nicht von der Zeit ab: x,t = x Die gesuchte Lösung x,t ergibt als als obige Superposition stationärer Zustande: x, t= c xexp[ i E t =0 ħ] diese Wellenfunktion erfüllt per Konstruktion die Schrödingergleichung und liefert die richtige Anfangsbedingung. Wir widmen uns nun der Bestimmung der Eigenwellenfunktionen x des Hamiltonoperators ħ m x m x x= E x Wir skalieren zunächst die Gleichung mit einer charakteristischen Länge x 0= ħ m x= x y 0 1 ħ y y x 0 y=e x 0 y Gesucht ist also das Spektrum des Operators: 1 ħ y y x 0 y=e x 0 y Wir benutzen eine sehr elegante algebraische Methode und führen die beiden Operatoren a= 1 y y Vernichtungsoperator a t = 1 y y Erzeugungsoperator ein. Die Bedeutung der Namen erklärt sich später. Wir können nun schreiben y y = a at a t a Quantentheorie Kohler 5 von 50 WS1011

26 Wir bemerken, dass die Reihenfolge der Operatoren wirchtig ist, denn die Operatoren vertauschen nicht (kommutieren nicht). Wir sehen das zb daran, dass wir â,â t auf eine beliebige Testfunktion hintereinander anwenden. a a t x= 1 y y y ' = 1 y y ' y ' ' ' = 1 y ' ' andererseits a t a y = 1 y y y ' = 1 y ' ' dh a a t a t a y= y Da dies aber für jede beliebige Testfunktion gilt, können wir allgemein sagen a a t a t a [ a, a t ]=1 Die Klammer wird "der Kommutator" genannt. Er spielt in der QM eine entscheidene Rolle, wie wir später noch sehen werden. Nun können wir den Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators mit Hilfe des Kommutators auch schreiben als: H =ħ a t a 1 zu beachten ist, dass â t der zu â adjungierte Operator ist und umgekehrt. a t = a * 1 * xx x xdx= x x der Operator a t a n ist aber wieder hermitisch mit A B t = B t A t folgt a t a t = a t a Der Operator n wird Besetzungszahloperator genannt. Es sei x 0 y eine Eigenfunktionen zum Eigenwert von n : n = x * x dx= * x x x x * = n = a t a = a t a 0 da letzter Ausdruck das Betragsquadrat einer quadratintegrablen Funktion ist, ist sein Wert positiv daraus folgt: 0 Der niedrigste Eigenwert von n ist also null. Für diesen Eigenwert folgt das: a =! 0 Dies übersetzt sich in folgende Differentialgleichung 1 y y 0x o y=0 oder wieder in der ursprünglichen Ortskoordinate ausgedrückt: x x 0 x x=0 0 Diese gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung lässt sich mit einem Exponentialansatz lösen: 0 x=exp F x x F ' x x 0 0 x=0 F ' x= x x 0 F x= x x 0 const 0 x= 1 x 0 exp[ ] x x 0 x 0 Quantentheorie Kohler 6 von 50 WS1011

27 Damit haben wir die Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators H 0 =ħ n 1 0 = 1 ħ 0 ħ Die Energie des Grundzustandes ist also nicht etwa 0 sondern. Dies ist typisch für die Quantenmechanik. Das Teilchen kann sich nicht im Zustand der klassisch niedrigsten Energie aufhalten aufgrund von Quantenfluktuationen die eine natürliche Ortsunschärfe erzeugen. Wir berechnen Var x= 0 x 0 = ħ m Wir erinnern uns: Var T x = 1 T x t dt= E T 0 m = ħ für E=ħ m Des gleichen finden wir für den Impuls Var p= 0 p 0 = ħ m 0 x x xdx= ħ m 0 Wenn wird die Varianzen multiplizieren: Var pvar x= ħ 4 Man kann zeigen, dass dies der minimale Wert ist, den dieses Produkt annehmen kann. Es ist eine spezielle Eigenschaft der Gaussfunktion. Würde man die Erwartungswerte bezüglich einer beliebigen Wellenfunktion bilden, käme ein Wert ħ 4 heraus. Dies ist ein spezieller Fall der Heisenbergschen Unschärferelation: Var p Var x ħ 4 Mit Hilfe der Erzeuger und Vernichter lassen sich nun die restlichen Eigenfunktionen vom Grundzustand aus erzeugen. Wir betrachten den Besetzungszahloperator n. Sei Eigenfunktionen von n zum Eigenwert, dann ist a t Eigenfunktion zum Eigenwert 1 n a t = a t a a t = a t a t a[ a, a t ] = a t n1 =1 a t =1 1 desgleichen: n a = 1 a = 1 1 Damit haben wir ausgehend vom Grundzustand unendlich viele Eigenvektoren zu qed H konstruiert. a t 0, 0 N Wobei zu beachten ist, dass die so erzeugten Zustände noch nicht auf eins normiert sind. Sei nämlich auf eins normiert: =1 dann folgt a t a == a a das heißt a hat die Norm, da wir aber wissen, dass a Eigenzustand zu n zum Eigenwert 1 ist, wissen wir, dass a 1 gelten muss. Quantentheorie Kohler 7 von 50 WS1011

28 a = 1 a t =1 1 Das Spektrum des Hamiltonoperators ist, wegen: H =ħ n 1 =ħ 1 gegeben aus Spec H =ħ 1, 0 N Die Frage besteht ob wir auch alle Eigenfunktionen konstruiert haben, man kann mit Hilfe eines Widerspruchbeweises argumentieren. Wir wollen dies aber an dieser Stelle nicht tun und die Vollständig auf eine andere Art zeigen. Wir betrachten den Erzeuger in Ortsdarstellung. x 0 xx0 x 0 x= x wirkend auf den Grundzustand mit: x folgt: x 0 x =exp [ x x 0 ] x exp [ x exp[ x x 0 ] x exp[ x x 0 ] Der Ausdruck exp[ x x 0 ] x 0 ] x exp[ x =H x x 0 ist ein Polynom: H 0 =1 H 1 x=x H x=4x x 0 ] Die so erzeugten Polynome haben einen Namen. Sie heißen Hermite-Polynome. Sie gehören zur Klasse der orthogonalen Polynome. Diese sind von mathematischer Seite sehr gut studiert. Insbesondere weiß man, dass man mit Hilfe orthogonaler Polynome eine beliebige quadratintegrable Funktion entwickeln kann. Also orthogonale Polynome sind vollständig. Eine beliebige Eigenfunktion von H lässt sich also kompakt schreiben als: 1 x= H! x x 0 x 0 exp[ x ] x 0 wobei der Faktor 1/ infinty * x xdx= eine Normierungskonstante ist. Es gilt Orthogonalität: Wobei das komplex konjugierte hier eigentlich überflüssig ist, da die Wellenfunktionen reell sind. Es gilt aber ebenfalls Vollständigkeit =0 * x y= x y Quantentheorie Kohler 8 von 50 WS1011

29 Wir wollen nun einige Eigenschaften der Wellenfunktion diskutieren, die allgemein sind und nicht nur für den harmonischen Oszillator gelten. 1. Diskretes Spektrum: Das Spektrum ist diskret, dh wir können nur für ganz bestimmte Energien überhaupt Lösungen der stationären Schrödingergleichung finden: H = E Die ist typisch für gebundene Zustände, also Zustände, deren Wellenfunktion nur in einem begrenzten Bereich von Null verschieden ist, an den Grenzen aber sehr schnell, meistens exponentiell abfällt. Wie wir sehen werden, deutet ein kontinuierliches Spektrum auf ungebundene Zustände hin, die sich über den ganzen Raum R 3 bzw R erstrecken können.. Existenz eines Grundzustandes, die ist essentiell damit ein System wohldefiniert ist. Auf den Folien geben wir zunächst die Wellenfunktion zu den Eigenwerten E =ħ 1 mit =0,1,,3,5,10,0 es ist auch das Oszillatorpotential eingezeichnet auf genau die Art und Weise, daß an der Stelle, wo das Potential die x-achse schneidet, das klassische Teilchen mit der entsprechenden Energie seinen Umkehrpunkt hat. x max= E m Wir sehen folgendes: 1. Die Anzahl der Knoten, Stellen an denen die Wellenfunktion verschwindet, nimmt mit zunehmender Energie immer mehr zu. In der Tat entspricht die Anzahl der Knoten der Quantenzahl, also dem Eigenwert des Besetzungsoperators. Dies ist immer so in eindimensionalen Modellen: Die Anzahl der Knoten entspricht dem Anregungszustand des Systems. Ebenfalls charakteristisch ist, dass der Grundzustand keine Knoten hat. Dies gilt allgemein, nicht nur in einer Dimension, wenn es keine sonstigen topologischen Gründe gibt, die einen knotenfreien Grundzustand verbieten.. Bemerkenswert ist, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des QM-Teilchens auch dort nicht verschwindet, wo das klassische Teilchen mit der gleichen Energie nicht mehr hinkommt. Dies ist ein typischer QM-Effekt. Eine nicht verschwindene Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in klassisch verbotenem Gebiet. Dieser Effekt ist Grundlage für das Rastertunnelelektronenmikroskop. Wir sehen auch, dass diese Wahrscheinlichkeit kleiner wird, je größer die Energie/Anregung ist. Nun kommen wir zur Zeitentwicklung. Wir können eine beliebige Anfangswellenfunktion x,0 entwickeln nach Eigenfunktionen. Die Zeitentwicklung der Eigenfunktionen ist ja einfach: x,t= xexp[ i E t ħ ] x,t = c xexp [ t i E ħ ] Eine beliebige Anfangswellenfunktion enthält also prinzipiell Komponenten von allen Oszillatoreigenfunktionen. De facto muss man sich auf eine begrenzte Anzahl von Eigenfunktionen beschränken. Wir haben gesehen, dass die Eigenfunktionen oszillierende Funktionen mit einer Wellenlänge x 0 aufzulösen. sind. Man benötigt Wellen der Wellenlänge um Strukturen x In den folgenden Bildern haben wir als Anfangszustand ein Gaussches Wellenpaket gewählt, welches bei x 0 zentriert ist. Quantentheorie Kohler 9 von 50 WS1011

30 x,0 = 1 exp [ 1 x,0 = 1 exp [ 1 ] x x ] 0 x x 0 Mit der Breite =0,1 x 0 Es ist klar, dass je spitzer unser Anfangswellenpaket gewählt ist, desto mehr Eigenzustände muss man mitnehmen um die Anfangswellenfunktion gut zu approximieren. In der Animation haben wir einmal die wichtigsten drei, zehn bzw zwanzig Eigenzustände gewählt um x,0 zu approximieren. Wir sehen wie sich das Wellenpaket bewegt. Zu beachten ist die Periodizität mit der Periode T = das Paket zwischendurch verläuft, ist es zum Zeitpunkt T und T/ immer wieder das alte.. Auch wenn 3.1. Teilchen im Kastenpotential H = ħ m x Wir betrachten zunächst den Fall, dass der Kasten unendlich tief (die Wände unendlich hoch) ist. Wir fordern, dass die Wellenfunktion für x L verschwindet. Außerdem fordern wir Stetigkeit der Wellenfunktion. Die stationäre Schrödingergleichung H x= E x hat dann wiederum nur für bestimmte Eigenwerte Lösungen. Die Lösungen des freien Hamiltonoperators sind Linearkombinationen von mit: k= m E ħ x= { sin kx coskx x= { expikx exp ikx Wir arbeiten mit ersterem. Die Bedingung L L = =0 liefert die Diskretisierung/Quantisierung der Impulse bzw. der Energie. sin k L =0 k= L n, n0 N cos k L =0 k= n1,n 0 N L Quantentheorie Kohler 30 von 50 WS1011

31 E= ħ m L { n n0 N ungerade (sin) n 1 n 0 N gerade (cos) Wir sehen wir hier das für den harmonischen Oszillator gesagte wieder zutrifft. Der Grundzustand ist 0 x=cos L x Er hat keine Knoten. Die Grundzustandsenergie E 0 = ħ Druck p= E 0 L 1 L 3 m L wächst, je kleiner wir L wählen. Beim harmonischen Oszillator galt: p= E 0 1 x 0 x mit E = ħ 3 0 x 0 0 = ħ m Das heißt, es kostet Kraft das Teilchen weiter einzuschränken für L 0 geht die benötigte Kraft sogar gegen unendlich. Dieses Phänomen heißt Quantendruck und kann experimentell beobachtet werden. Die Anzahl der Knoten wächst mit dem Grad der Anregung. 1ster angeregter Zustand: 1 x=sin L x ter angeregter Zustand: x=cos 3 L x wobei sich Sinus und Cosinus immer abwechseln. Es ist bemerkenswert und ebenfalls typisch für eindimensionale gebundene Systeme, dass alle Wellenfunktionen reell sind. Dies ändert sich wenn wir die Wände im Kasten nicht mehr unendlich hoch machen, sondern endlich lassen. Quantentheorie Kohler 31 von 50 WS1011

32 H = ħ m x V 0, x L H = ħ, x L m x Wir berechnen Lösungen der stationären Schrödingergleichung in beiden Fällen. In beiden Fällen lässt sich die Lösung offenbar wieder als Exponentialfunktion angeben. x L I x=a I exp [i k ' x ]B I exp [ i k ' x ],k '= m ħ E V 0 L x L II x= A II exp [i k x ]B II exp [ i k x ] III x= A III exp [i k ' x ]B III exp [ i k ' x ],k= m ħ E,k '= m ħ E V 0 Wir fordern neben der Stetigkeit auch Stetigkeit der ersten Ableitung von x an beiden Nahtstellen I L = II L II L = III L I ' L = II ' L II ' L = III ' L Dies sind 4 Gleichungen für 6 Unbekannte, so ein Gleichungssystem hat immer Lösungen für beliebige k, k' (bzw für beliebige Energie)- Dies deutet schon an, dass wir es hier mit einem System zu tun haben in dem das Spektrum auch einen kontinuierlichen Anteil hat. Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: k '= m ħ E V 0 ist { reell für E V 0 rein imaginär für E V 0 Wir betrachten zunächst den Fall E<V 0, dann ist k '=i k rein imaginär dh Terme wie e kx entstehen, die die Wellenfunktion im explodieren lassen und die Quadratintegrabilität zerstören. Dh wir müssen, um solche Terme zu verhindern A I =B III =0 setzen. Jetzt haben wir nur noch 4 Gleichungen für 4 Unbekannte. B I exp[ ik ' L ] =A II exp [ ik L ] B II exp [ ik L ] i k ' B I exp[ ik ' L ] =ik A II exp[ ik L ] B II exp[ ik L ] i k ' A III exp[ ik ' L ] =ik A II exp [ ik L ] B II exp [ ik L ] A III exp[ ik ' L ] = A II exp [ ik L ] B II exp [ ik L ] Diese Gleichung hat im allgemeinen keine Lösung für B I, A II, B II und A III es sein denn die Determinante der Matrix * * * 0 * B I * * * 0 A 0 * * * verschwindet. B 0 * * A III=0 Quantentheorie Kohler 3 von 50 WS1011

33 Dies liefert eine Bedingung an E setzen wir A II =B II folgt: i k ' =tan kl k dies lässt sich auch schreiben als: m V L 0 ħ kl =tan kl kl Es tritt also die dimensionslose Größe = mv 0 L ħ auf, die so etwas wie die Stärke des Potentials charakterisiert. Bezeichnen wir noch a= kl, so finden wir eine anszendente Gleichung für a. a =tan a für A II =B II a a = cot a für A a II = B II Wobei a= m E L mit der Energie in Verbindung steht. Wann immer eine der beiden Gleichungen ħ für ein a erfüllt ist, haben wir eine Eigenfunktion von H gefunden. Die Lösung lässt sich nur graphisch finden Tunneleffekt Wir wollen das eindimensionale Streuproblem noch etwas allgemeiner betrachten. Wir betrachten eine Potentialschwelle der Form Wir können die Wellenfunktion wieder ansetzen mit I =e ikx R e ikx III =T e ikx ; k= me ħ für eine von links einlaufende Welle. Wenn EV max ist, wird das klassische Teilchen nicht über den Potentialberg hinüberkommen. Das heißt, klassisch ist T E =0 für EV max. Quantenmechanisch ist die Transmissionswahrscheinlichkeit T 0 für beliebig niedrige Energien. Sei V a=v b=e dann kann man die Transmissionswahrscheinlichkeit nähern durch T E exp ħ b m V x E dx a Quantentheorie Kohler 33 von 50 WS1011

34 d.h. Die Fläche des Potentials über der Energie des Teilchens ist entscheidend für die Tunnelwahrscheinlichkeit. Für hohe und für breite Potentialbarrieren ist die Wahrscheinlichkeit vernachlässigbar klein. In vielen Fällen ist der Tunneleffekt jedoch auch beobachtbar. Der Tunneleffekt ist ein spektakulärer QM-Effekt, den man sich im Rastertunnelektronemikroskop auf geniale Weise zunutze machen konnte. a) Raster-Tunnel-Mikroskop b) α-zerfall von Kernen Der Atomkern besteht aus etwa gleich vielen Protonen und Neutronen Aus Gründen, die bis heute nicht vollständig verstanden sind, neigen sich jeweils zwei Protonen und zwei Neutronen zu α-teilchen zusammenzuschließen α-teilchen In einem effektiven Modell des Atomkerns werden die starken aber kurzreichweitigen Kernkräfte durch einen Potentialtopf der Breite ~10 18 m beschrieben. Zudem gibt es die langreichweitige Coulomb- Abstoßung zwischen den Protonen untereinander. Es ergibt sich folgendes Potential für ein α-teilchen: Quantentheorie Kohler 34 von 50 WS1011

35 Man findet für die Tunnelwahrscheinlichkeit T F =exp m k Z a e ħ Z T E 4 Z T Z R wobei Z = die Ladungszahl des α-teilchens und Z T die Ladungszahl des Tochterkerns sind. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist dimensionslos im Gegensatz zur normierbaren Wellenfunktion, die die Einheit [ ]=m d hat. Kerne mit α-teilchen mit Energien E > 0 sind instabil. Man kann zeigen, dass sie einem exponentiellen Zufallsgesetz folgen Nt =e t wobei die Zerfallsrate proportional zu T E ist. = R V T E, wobei, V die mittlere Geschwindigkeit des α-teilchens im Kern ist. Setzt man realistische Werte für R und E in MeV ein, so folgt für die Halbwertszeit N T 1/ = 1 T 1 / =ln 8 101,61 Z T E Z / T 3 Diese phänomenologische Formel von Taagepera and Nurmia wurde experimentell von Geiger und Nutall bestätigt. Insbesondere die Abhängigkeit ln T 1/ 1 E 8,9 e 3.. Dreidimensionale Systeme Wir betrachten nun Systeme in drei Raumdimensionen. Dies bedeutet für die Schrödingergleichung, dass wir die zweifache Ableitung nach x durch den Laplace-Operator ersetzen müssen x Das Teilchen bewege sich in einem Zentralpotential V x=v = x y z Beispiele: Coulomb-Potential: V x= e 3-dimensionaler harmonischer Oszillator: V x= 0 m Quantentheorie Kohler 35 von 50 WS1011

36 3..1. Drehimpuls Bei kugelsymmetrischen Systemen spielt klassisch wie quantenmechanisch der Drehimpuls, oder genauer gesagt, der Bahndrehimpuls eine große Rolle. Klassisch ist der Drehimpulst definiert als L=x x p L= x x p klassisch QM in der Ortsdarstellung wird dies zu L= ħ i x x Wir hatten in einer Übungsaufgabe gesehen, dass der klassische Drehimpuls bei der Bewegung in einem Zentralpotential eine Konstante der Bewegung ist. Dies überträgt sich in die Quantenmechanik durch folgende Aussage Satz: Für kugelsymmetrische Potentiale vertauscht der Hamiltonoperator Komponenten des Drehimpulses. [ H, L i ]=0 i=1,,3 Beweis: H= i m p V [ H, L i ]= 1 m [ p,l i ][V, L i ] ħ i ijk x jk j[ L i = ik ijk x j p k jk H mit allen drei [ H, L i ]= 1 m ijk [ p l, x j p k ] ijk [ x j p k,v ] l jk jk Der erste Term (der kinetische Anteil zur Gesamtenergie) verschwindet. Für den zweiten Term ergibt sich in Ortsdarstellung,V x k ] V x =i ħ ijk x k j =0 das heißt, die drei Operatoren L1, L, L 3 vertauschen mit dem Hamiltonoperator. Es gilt aber der folgende wichtige Satz: Satz: Wenn der Kommutator zweier Operatoren verschwindet, dann gibt es eine Basis, in der beide Operatoren diagonal sind. Beweis: Man benutzt, dass der Kommutator in jeder Basis gleich ist. [ A, B]=0 U 1 [ A, B] U =0 Es bietet sich daher an, die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators eines kugelsymmetrischen Systems in der Basis anzugeben, in der die Drehimpulskomponenten diagonal sind. Hier ist allerdings zu beachten, dass die Drehimpulskomponenten untereinander nicht kommutieren. Wir betrachten die Drehimpulsoperatoren etwas genauer, sie erfüllen folgende Kommutatorrelation: d.h. Sie vertauschen nicht untereinander. [ L i, L j ]=i ħ k Aus demselben Grund, aus dem man also eine gemeinsame Eigenbasis von Li und H finden kann, kann man keine gemeinsame Basis für zwei Drehimpulskomponenten gleichzeitig finden. Man kann H also nur zusammen mit einer Drehimpulskomponente diagonalisieren. Man wählt per Konvention die z-komponente. Es gibt aber noch einen weiteren Operator, der sowohl mit H als auch mit allen 3 Komponenten des Drehimpulses kommutiert. Dies ist L = L x L y L z ijk L k Quantentheorie Kohler 36 von 50 WS1011

37 man kann zeigen: [ L, L i ]=0 k [ L k, L i ]= k =i ħ kl =i ħ kl L k [ L k, L i ][ L k, L i ] L k L k Ll kil kil Ll Lk ikl L x Ll L l =0 Wir bezeichnen die gemeinsame Eigenbasis von L = L z mit lm. Das Spektrum von L = L z bestimmen wir ähnlich wie im Fall des harmonischen Oszillators. L + = L x i L y Aufsteigesoperator L - = L x i L y Absteigeoperator L = L - L+ ħ L z L z L+ t = L - Sei E lm igenvektor zu Lz zu EW ħ m L z lm =ħ m lm Dann folgt mit d.h. [ L z, L ± ]=±ħ L ± L z L ± lm = L ± L z [ L z, L ± ] lm =ħ m L ± ±ħ L ± lm =ħ m±1 L ± lm L± lm Ist ebenfalls Eigenvektor von L z zum EW ħ m±1 Auch die weiteren Überlegungen folgen in Analogie zu dem Verfahren beim harmonischen Oszillator. lm L L± lm = lm L L z m ħ L z lm = lm L lm ħ m m±1 0 Wir bezeichnen den Eigenwert von L mit ħ l l1 L lm =ħ l l1 lm dann folgt l l1 m m1 m0 l l1 m m 1 m0 Das heißt, m hat einen Maximalwert l und einen Minimalwert l. Alle Werte ln,n N dazwischen können ebenfalls angenommen werden. Damit aber keine höheren/niedrigeren Werte angenommen werden können muss beim Anwenden des Auf-/Absteigers l N gelten. Lk Es gibt also zwei Fälle: l= 1, 3, 5,... halbzahliger Drehimpuls l=0,1,,... ganzzahliger Drehimpuls l ist die Drehimpuls-Quantenzahl und m ist die magnetische Quantenzahl. Sowohl der halbzahlige als auch der ganzzahlige Drehimpuls existieren in der Natur. Der durch L= x x p beschriebene Drehimpuls heißt Bahndrehimpuls und man kann zeigen, dass dieser nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Um die Bedeutung der Drehimpulsquantenzahl besser zu verstehen, erinnern wir uns an die klassische Bedeutung des Drehimpulses eines Teilchens, welches mit Geschwindigkeit v um ein Zentrum kreist. Quantentheorie Kohler 37 von 50 WS1011