Übungen Quantenphysik

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1 Ue QP 1 Übungen Quantenphysik Kernphysik Historische Entwicklung der Atommodelle Klassische Wellengleichung 5 Schrödinger Gleichung 6 Kastenpotential (Teilchen in einer Box) 8 Teilchen im Potentialtopf 10 Tunneleffekt 11 Unschärferelation 1 Unschärferelation, Nullpunktsenergie 14

2 Ue QP Entwicklung der Atommodelle Experiment zur Bestimmung von q/m der Elektronen Atommodell von Thomson (1909) Kleine, leichte Elektronen eingebettet in einer positiv geladenen Masse Streuexperiment von α-teilchen an einer Goldfolie Atommodell von Rutherford (1911) Atomkern r ~ m Atomhülle mit Elektronen mit r ~ m Photoelektrischer Effekt (Energiequantelung) Wasserstoffspektrum Bohrsches Atommodell (1913) e - auf Kreisbahnen strahlungsfreie Bewegung Bahndrehimpuls = nh/π Welleneigenschaften des Elektrons (de Broglie) Quantenmechanisches Atommodell (Schrödinger, 196) Diskrete Energien durch stehende Wellen beschreiben (Wellenfunktion)

3 Ue QP 3 Atommodelle von Thomson und Rutherford Erwartung des Streuexperiments nach dem Thomsonmodell Atommodell von Thomson Atommodell von Rutherford Der größte Teil der Atommasse konzentriert sich im positiv geladenen Atomkern. Der Durchmesser des Atomkerns (~10-15 m) ist sehr viel kleiner als der Durchmesser des Atoms (~10-10 m).

4 Ue QP 4 Bohrsches Atommodell 1 Elektronen bewegen sich auf (diskreten) Kreisbahnen mit Energien E n. Lt. klassischer Elektrodynamik müßte bei einer solchen beschleunigten Bewegung jedoch Energie in Form von elektromagnetischen Wellen abgestrahlt werden! Die Bewegung der Elektronen erfolt strahlungslos. Beim Übergang des Elektrons von einem Energieniveau E 1 zu einem niedrigerem Niveau E wird ein Photon mit der Energie E=hf= E 1 - E freigesetzt. 3 Der Bahndrehimpuls der Elektronen darf nur diskrete (gequantelte) Werte annehmen: mvr=nh/π h=6, Js Mit dem Bohrschen Atommodell konnte man das Spektrum des Wasserstoffatoms (und wasserstoffähnlicher Atome) berechnen.

5 Ue QP 5 Klassische Wellengleichung Klassische Wellengleichung y x = µ y F t Wellengleichung einer Saite (µ = Masse/Länge) Auslenkung y ( x, t) = Asin( kx ω t) und ω = vk E x = 1 c E t Wellengleichung einer ebenen elektromagnetischen Welle mit E = elektr.feld, E y ( x, t) = E sin( kx ω t) y0 und ω = ck Kreisfrequenz ω = πf Wellenzahl k = π λ Nicht nur die Wellenfunktionen für harmonische Wellen Asin Es gilt : e = cosφ + isinφ, ( kx ω t) oder Acos( kx ω t) i( kx ωt ) ( x, t) = Ae sind Lösungen der Wellengleichung,sondern auch komplexwertige Funktionen y iφ ( i = 1). Realteil und Imaginärteil erfüllen die Wellenfunktion Für die klassische Wellengleichung besitzt nur der Realteil der Wellenfunktion eine physikalische Bedeutung!

6 Ue QP 6 Schrödinger-Gleichung = eine Wellengleichung zur Beschreibung massenbehafteter Teilchen Die Gesamtenergie eines Teilchens mit Masse m und potentieller Energie V ist gegeben mv p durch : E = + V = + V m h de Broglie: E = hf = ω = Dω und E = pc p = h/λ = Dk sowie c = λf π E = p + V Dω = m D k m + V i( kx-ωt ) Wellenfunktion Ψ(x,t) = e : ω erhält man durch Ψ(x,t), k durch t x ( t) D Ψ x, + V x, m x D Ψ( x) + V x m x ( t) Ψ( x, t) ( t) Ψ x, = id t Ψ(x,t) zeitabhängige Schrödinger - Gleichung iωt ( ) Ψ( x) = E Ψ( x) zeitunabhängige S.Gl. über :Ψ( x, t) = Ψ( x) e

7 Ue QP 7 Schrödinger-Gleichung ( t) Ψ x, ( t) Die Wellenfunktion Ψ x, Die Wellenfunktion selbst hat keine anschauliche Bedeutung! jedoch entspricht einer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens zum Zeitpunkt t. beschreibt eindeutig den Zustand eines Systems. Schrödinger, 197 Die Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger - Gleichung können komplexwertig sein. Die Wellenfunktion Ψ x ( ), ( = Lösungen der zeitunabhängigen Gleichung) immer reell gewählt werden, z.b.als Kombination von sin und cos - Funktionen: Asin(kx) + Bcos(kx) können jedoch

8 Kastenpotential ( Teilchen in einer Box ) Klassisches Teilchen mit Geschwindigkeit v im (unendlich hohen) Potentialtopf: Impuls und Energie bleibt erhalten Impuls und Energie können beliebige Werte annehmen Quantenmechanik (zeitunabh. Schrödinger-Gl.): Aufgrund des unendlich hohen Potentialtopfes ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nur im Topf ungleich Null Randbedingungen bestimmen die Lösungen für Ψ ( ) ( ) Ψ x Ψ x π L D k m n ( ) = 0 k = n mit n = 1,, 3,... nur Energiewerte E = möglich Ψ L Ue QP 8 = Asin(kx) + Bcos(kx) = 0 für x 0 und x L nur Asin(kx) möglich n n

9 Ue QP 9 Kastenpotential ( Teilchen in einer Box ) Ψ 8 n=8 Quantenmechanik: Energie ist quantisiert E n = D k m n Ψ n= Niedrigste Energie > 0! Es gibt kein ruhendes Teilchen in einem Kastenpotential Ψ 1 n=1 0 x L Quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsdichte Für große Quantenzahlen n nähert man sich der klassischen Mechanik, d.h. die Aufenhaltswahrscheinlich keit ist überall im Kasten gleich groß.

10 Ue QP 10 Teilchen im Potentialtopf Lösen der Schrödinger-Gleichung für die Bereiche I, II, und III (Stetigkeitsbedingungen an den Übergängen): Es gibt eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in den Bereichen außerhalb des Potentialtopfes!

11 Tunneleffekt Teilchen kann quantenmechanisch mit endlicher Wahrscheinlichkeit eine Potentialbarriere durchdringen (nicht jedoch lt.klassischer Theorie) Tunneleffekt lieferte eine Erklärung für die Bandbreite von Halbwertszeiten beim α-zerfall in radioaktiven Kernen gefunden (Zunahme der Halbwertszeiten mit fallender Energie der α- Teilchen. 4-7 MeV bzw bis Jahre) Anwendung: Rastertunnelmikroskop Ue QP 11 Web Ausstellung der ZB für Physik zum Schaffen von Erwin Schrödinger: Java Applets zur Schrödinger-Gleichung:

12 Ue QP 1 Unschärferelation ( t) Ψ x, = Wahrscheinlichkeit, zu einem Zeitpunkt (Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte) t ein Teilchen am Ort x zu finden D D Heisenberg: x p Unschärfe kann natürlich auch größer als sein! Ort und Impuls eines Teilchens lassen sich nicht beliebig genau gleichzeitig messen E t D Unschärferelation für Energie und Zeit t Unschärfe einer Messung von Zeitpunkten t = z.b. Aufenthaltsdauer eines Teilchens in der Umgebung des Ortes x, oder Zeitspanne für die Energiemessung eines Teilchens t = bei instabilen Zuständen die mittlere Lebensdauer des Zustandes

13 Unschärferelation: Gedankenexperiment Orts- und Impulsmessung eines Teilchens (Masse sei bekannt) Ort zu verschiedenen Zeiten messen Geschwindigkeit Ortsmessung mit em Strahlung: Beugungseffekte Position nur mit der Ungenauigkeit der Wellenlänge der Strahlung bestimmbar Kleinere Wellenlänge wählen weniger Einflüsse durch Beugungseffekte Aber: Impulsübertragung durch em Strahlung Ungenauigkeit der Impulsmessung Impuls der em Strahlung mit h/λ quantisiert Für Ortsmessung muß mindestens ein Photon gestreut werden, um Teilchen überhaupt zu detektieren kleine Wellenlänge notwendig um gute Ortsauflösung zu erhalten gleichzeitig jedoch große Unschärfe bei der Impulsmessung (oder umgekehrt) Ue QP 13

14 Ue QP 14 Unschärferelation - Nullpunktsenergie Eine Auswirkung der Unschärferelation ist die Forderung nach einer minimalen kinetischen Energie eines eingeschlossenen Teilchens. Beispiel: Kastenpotential (eindimensional), Länge L, die maximale Ortsunschärfe kann nur L betragen. Daher gilt: p x D p Die Größe des Impulses muß mindestens so groß wie die Impulsunschlärfe sein, daher gilt für die kinetische Energie: mv p m D L D L m D 8L E = = = kin m Diese Energie stellt lt. Unschärferelation die kleinst mögliche Energie dar, die ein Teilchen in einem Kastenpotential mit Breite L haben kann. Anm.: der exakte Wert der Nullpunktsenergie für ein 1dim. Kastenpotential ist um den Faktor 4π größer