8. Eindimensionale (1D) quantenmechanische Probleme. 8.1 Potentialtopf mit endlich hohen Wänden:
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- Günter Kraus
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1 08. 1D Probleme Page 1 8. Eindimensionale (1D) quantenmechanische Probleme 8.1 Potentialtopf mit endlich hohen Wänden: alle realen Potentialtöpfe haben endlich hohe Wände 1D Potentialtopf mit U = 0 für 0 < x < L und U = U 0 < an allen anderen Orten betrachte ein gebundenes Teilchen mit Energie E < U 0 niedriger als die Tiefe des Potentialtopfs zugehörige Schrödinger-Gleichung Drei Bereiche des Problems: Bereich II: U = 0 Bereich I und III: U 0 > E Lösungen:
2 08. 1D Probleme Page 2 allgemeine Lösung: in Bereich I und III: D = F = 0: sonst Divergenz von in Bereich II: mit Randbedingungen stetige Wellenfunktion stetiger Impuls (~ ')
3 08. 1D Probleme Page 3 Wellenfunktionen eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf Wellenfunktionen : Wahrscheinlichkeitsdichten 2 : das Teilchen dringt in die Wand des Potentialtopfs ein Teilchen dauerhaft gebunden für E < U 0 Fragen: Wie erzeugt man einen Potentialtopf? Wie lädt man ein einzelnes Teilchen in einen Potentialtopf? Wie verlässt das Teilchen den Potentialtopf? physikalische Beispiele für Teilchen im Potentialtopf: Quantenpunkte
4 08. 1D Probleme Page Der Tunnel-Effekt ein Teilchen mit kinetischer Energie E trifft auf eine Potentialbarriere mit Höhe U 0 > E und Breite L nach den Regeln der klassischen Physik kann das Teilchen die Barriere nicht überwinden quantenmechanisch kann das Teilchen die Barriere durchdringen und sich auf der anderen Seite der Barriere weiter fortbewegen dieser quantenmechanische Effekt wird Tunneln genannt Beispiele: Erzeugung von -Teilchen in radioaktiven Zerfällen: Ein -Teilchen tunnelt durch die Barriere des Bindungspotentials Tunnelkontakte, Tunneldioden: Elektronen tunneln zwischen zwei Metall-Elektroden durch eine isolierende Barriere Tunnel-Effekte in komplexen Systemen: Ein durch eine effektive Koordinate beschriebenes Objekt tunnelt durch eine Potential-Barriere
5 08. 1D Probleme Page Näherungslösung die Transmissionswahrscheinlichkeit T, dass ein von links (Bereich I) einfallendes Teilchen durch die Barriere (Bereich II) tunnelt und sich weiter nach rechts (Bereich III) ausbreitet, ist gegeben durch T hängt von der Barrierenbreite L, dem Unterschied zwischen der kinetischen Energie des Teilchens und der Barrierenhöhe (U 0 -E) 1/2 und der Masse des Teilchens m 1/2 ab Beispiel: ein Elektron mit kinetischer Energie E = 1 ev tunnelt durch eine Barriere der Höhe U 0 = 10 ev und Breite L = 0.5 nm. Wie gross ist die Transmissionswahrscheinlichkeit T? selbst für leichte Teilchen und niedrige Barrieren ist T klein der Tunneleffekt kann experimentell beobachtet werden und wird z.b. in elektronischen Bauelementen angewandt
6 08. 1D Probleme Page Berechnung der Tunnelrate T Schrödinger-Gleichung außerhalb der Barriere (Bereiche I und III) identisch für III Lösungen einfallende Welle reflektierte Welle transmittierte Welle Fluss S der mit Gruppengeschwindigkeit v I+ einfallenden Teilchen Transmissionswahrscheinlichkeit T ist das Verhältnis des einfallenden zum transmittierten Teilchenfluss
7 08. 1D Probleme Page 7 Schrödinger-Gleichung im Bereich der Barriere: Lösung für U > E exponentiell ansteigende oder abfallende Wellenfunktion (keine Oszillationen) ist keine Lösung eines freien Teilchens dennoch verschwindet die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 2 in der Barriere nicht Randbedingungen: am linken Rand der Barriere (x = 0) am rechten Rand der Barriere (x = L) Löse 4 Gleichungen für die vier Koeffizienten und drücke sie relative zu A aus ( A 2 ist proportional zum einfallenden Teilchenfluss) graphische Darstellung der Lösung
8 08. 1D Probleme Page 8 Bestimme A/F aus den Randbedingungen Vereinfachungen: betrachte im Verhältnis zur kinetischen Teilchen-Energie E hohe Potentialbarriere U betrachte breite Barriere (k II L > 1) Daher: Transmissions-Koeffizient: T hängt exponentiell von der Barrierenhöhe ab T kann aus Teilchenfluss durch eine Tunnelbarriere experimentell bestimmt werden (z.b. ein elektrischer Strom)
9 08. 1D Probleme Page Das Raster-Tunnel-Mikroskop Scanning Tunneling Microscope (STM) eine Anwendung des Tunnel-Effekts in der Mikroskopie Nobel Prize in Physics (1986) "for their design of the scanning tunneling microscope" Gerd Binnig Heinrich Rohrer geteilt mit Ernst Ruska (Elektronenmikroskop)
10 08. 1D Probleme Page Der quantenmechanische harmonische Oszillator grundlegende Eigenschaften: Beispiele: Oszillation um einen Ruhepunkt lineare Rückstellkraft eine feste von der Amplitude unabhängige Oszillationsfrequenz mechanischer Oszillator, z.b. Federpendel elektrischer Oszillator, z.b. LC-Schwingkreis (zweiatomige) Moleküle Gitterschwingungen in einem Kristall Masse an einer Feder elektrischer Oszillator zweiatomiges Molekül
11 08. 1D Probleme Page Die Bewegungsgleichung harmonische Oszillation verlangt lineare Rückstellkraft Hookesches Gesetz Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators allgemeine Lösung Frequenz des Oszillators Bemerkung: in vielen physikalischen Systemen ist die Rückstellkraft nicht strikt linear in der Auslenkung, besonders für grosse Auslenkungen für kleine Auslenkungen gilt die Näherung des harmonischen Oszillators jedoch häufig gut betrachte die Taylor-Entwicklung einer beliebigen Rückstellkraft um ihre Ruhelage
12 08. 1D Probleme Page Potential zum Hooke'schen Gesetz dieses Potential U wird bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators verwandt Erwartungen: nur diskrete Energien werden erlaubt sein die niedrigste mögliche Energie wird nicht E = 0 sein sondern einen endlichen Wert E = E 0 haben das Teilchen wird sich mit endlicher Wahrscheinlichkeit in den Wänden des Potentialtopfs aufhalten (= die maximal möglichen quantenmechanischen Oszillations-Amplituden sind grösser als die klassisch erlaubten) Die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators:
13 08. 1D Probleme Page Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators Schrödinger-Gl.: Normierung: dimensionslose Einheiten x für die Koordinate x und für die Energie E somit ergibt sich die Schrödinger-Gleichung zu Normierungsbedingung für die Wellenfunktion
14 08. 1D Probleme Page Quantisierung der Energie aus Normierungsbedingung für Energie-Niveaus des harmonischen Oszillators charakteristische Eigenschaft des harmonischen Oszillators: äquidistante Energie-Niveaus Nullpunktsenergie (n = 0) niedrigste mögliche Energie eines harmonischen Oszillators
15 08. 1D Probleme Page Energie-Niveaus in verschiedenen charakteristischen Potentialen... und ihre Abhängigkeit von der Hauptquantenzahl n konstantes Potential: x 2 - harmonisches Potential: 1/r - Zentral-Potential: z.b. Teilchen in einem Potentialtopf z.b. harmonischer Oszillator z.b. Wasserstoff-Atom
16 08. 1D Probleme Page Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators mit den Hermite-Polynomen H n die vertikalen Linien entsprechen den klassischen maximalen Oszillationsamplituden bei der gegebenen Energie quantenmechanisch hält sich der Oszillator mit endlicher Wahrscheinlichkeit außerhalb dieser klassischen Grenzen auf
17 08. 1D Probleme Page Erwartungswert der Position, klassisch und quantenmechanisch n = 0: klassisch: grösste Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den klassischen Umkehrpunkten (x = ± A) des Oszillators quantenmechanisch: im Grundzustand (n = 0) ist 2 am grössten in der Ruhelage (x = 0) für steigende Hauptquantenzahl n nähert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der klassischen an Beispiel für das Korrespondenzprinzip für grosse Energien und Quantenzahlen die Wahrscheinlichkeit des quantenmechanischen Oszillators sich bei Amplituden grösser als ± A aufzuhalten sinkt mit steigender Hauptquantenzahl n n = 10:
18 08. 1D Probleme Page Beispiele für quantenmechanische harmonische Oszillatoren Hohlraum Quanten-Elektrodynamik (Cavity QED) Übersichtsartikel: J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Rev. Mod. Phys. 73, 565 (2001) stehende Welle = Mode = harmonischer Oszillator ein Photon kein Photon Photonen beschrieben als quantenmechanische Anregungen eines harmonischen Oszillators: einzelne Photonen eingefangen zwischen Spiegeln (blau) (eine Hohlraum für Photonen) stehende elektromagnetische Welle mit einem einzelnen Photon (rot) einzelnes Atom (grün) als Quelle und Detektor für einzelne Photonen
19 08. 1D Probleme Page 19 Hohlraum Quantenelektrodynamik (QED) mit Rydberg-Atomen Aufbau: Beobachtung: Ofen (O) zur Erzeugung von freien Atomen Wechselwirkung mit Lasern (B) erzeugt Rydberg- Zustände Hohlraumresonator (C) aus zwei Spiegeln zum speichern von einzelnen Photonen Ionisationsdetektor (D) periodische Emission und Reabsorption eines einzelnen Photons durch ein einziges Rydberg- Atom Quantenmechanik mit einzelnen Photonen und einzelnen Atomen. Thema für Vortrag: Cavity QED (J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, ENS, Paris)
20 08. 1D Probleme Page 20 Der elektrische quantenmechanische harmonische Oszillator schematische Darstellung der elektrischen Schaltung ein Photon elektrischer harmonischer LC-Schwingkreis: Induktivität L Kapazität C elektrisches künstliches Atom (Elektron-Paare im Potentialtopf) mit nicht äquidistanten diskreten Energie- Niveaus: charakteristische Energien Ladungsenergie E C Josephson Energie E J kein Photon
21 08. 1D Probleme Page 21 Experiment: Der erste quantenmechanische harmonische Oszillator in einer elektrischen Schaltung planarer Wellenleiter als integrierter harmonischer Oszillator ein Beispiel: Beobachtung einzelner Photonen künstliches Atom (blau) harmonischer LC-Oszillator (grau) A. Wallraff et al., Nature (London) 431, 162 (2004) Spektrum eines künstlichen Atoms eine Spektrallinie für jeden Photonzustand n = 1, 2, 3, Intensitäten der Linien sind proportional zur Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands D. Schuster et al., Nature 445, 515 (2007) einführender Artikel: R. J. Schoelkopf and S. Girvin, Nature (London) 451, 664 (2008)
9.3.3 Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators. Schrödinger-Gl.:
phys4.015 Page 1 9.3.3 Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators Schrödinger-Gl.: Normierung: dimensionslose Einheiten x für die Koordinate x und Ε für die Energie E somit
ν und λ ausgedrückt in Energie E und Impuls p
phys4.011 Page 1 8.3 Die Schrödinger-Gleichung die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik (in den bis jetzt diskutierten Fällen) eine Wellengleichung für Materiewellen (gilt aber auch allgemeiner)
Die meisten Elemente liegen in gebundener Form als einzelne Moleküle, in Flüssigkeiten oder in Festkörpern vor.
phys4.025 Page 1 13. Moleküle Nur eine kleine Anzahl von Elementen kommt natürlich in Form von einzelnen Atomen vor. Die meisten Elemente liegen in gebundener Form als einzelne Moleküle, in Flüssigkeiten
10. Das Wasserstoff-Atom Das Spektrum des Wasserstoff-Atoms. im Bohr-Modell:
phys4.016 Page 1 10. Das Wasserstoff-Atom 10.1.1 Das Spektrum des Wasserstoff-Atoms im Bohr-Modell: Bohr-Modell liefert eine ordentliche erste Beschreibung der grundlegenden Eigenschaften des Spektrums
12.8 Eigenschaften von elektronischen Übergängen. Übergangsfrequenz
phys4.024 Page 1 12.8 Eigenschaften von elektronischen Übergängen Übergangsfrequenz betrachte die allgemeine Lösung ψ n der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung zum Energieeigenwert E n Erwartungswert
Φ muss eineindeutig sein
phys4.018 Page 1 10.6.2 Lösungen für Φ Differentialgleichung: Lösung: Φ muss eineindeutig sein dies gilt nur für m l = 0, ±1, ±2, ±3,, ±l m l ist die magnetische Quantenzahl phys4.018 Page 2 10.6.3 Lösungen
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